计算方法—— 函数逼近与计算
函数逼近与泰勒级数
函数逼近与泰勒级数函数逼近是指通过一系列近似函数来近似表示一个较为复杂的函数。
而泰勒级数是一种常用的函数逼近方法，通过使用函数在某一点的各阶导数来逼近原函数。
本文将介绍函数逼近的一般概念和泰勒级数的计算方法，并分析其在实际问题中的应用。
1. 函数逼近的概念在数学分析中，函数逼近是指通过一系列较为简单的函数来近似表示一个复杂的函数。
这种逼近可以使得原函数的某些性质得以保留，并能够在一定程度上减少计算复杂度。
函数逼近可以通过各种方法来实现，其中一种常用的方法是泰勒级数逼近。
2. 泰勒级数的计算方法泰勒级数是以数学家泰勒命名的，它是一种将一个函数表示为无穷级数的方法。
泰勒级数的计算方法是基于函数在某一点的各阶导数。
具体地，对于一个可无限次可导的函数f(x)，它的泰勒级数展开式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (f''(a)/2!)(x-a)^2 + ...其中f'(x)表示函数f(x)的一阶导数，f''(x)表示函数f(x)的二阶导数，以此类推。
展开式中的a表示展开点，通常选择为函数的某一点来进行逼近。
3. 泰勒级数的应用泰勒级数的应用非常广泛，特别是在近似计算和数值分析中。
通过将复杂的函数逼近为泰勒级数，我们可以在一定程度上简化计算，并且可以利用级数的性质来研究原函数的性质。
以下是泰勒级数在实际问题中的几个应用：3.1 函数近似计算当我们需要计算某个函数在某一点附近的值时，可以利用泰勒级数来进行近似计算。
由于级数展开式中只需要知道函数在某一点的各阶导数，因此可以大大简化计算过程。
3.2 函数性质研究通过泰勒级数，我们可以推测原函数在某一点的特性，比如函数的增减性、凸凹性等。
通过分析级数展开式，可以推断原函数在某一点附近的行为。
3.3 数值积分泰勒级数还可以用来进行数值积分，特别是在求解无法解析求积的情况下。
通过将被积函数在某一点附近进行泰勒展开，并进行级数求和，可以得到近似的积分值。
什么是函数逼近及其应用
函数逼近是数学中一个重要的概念，它在各个领域的应用非常广泛。
在数学中，函数逼近是指用一个已知函数来近似描述另一个未知函数的过程。
这个过程的目的是找到一个函数来尽可能地接近给定的函数，以便进行各种计算和分析。
函数逼近的应用非常广泛，下面我将以几个典型的应用来阐述函数逼近的重要性。
首先，函数逼近在数学分析和数值计算中起着重要的作用。
在复杂的数学问题中，我们往往无法直接求得解析解，这时就需要使用函数逼近的方法来得到近似解。
例如在微积分中，我们常常需要使用泰勒级数对一个函数进行逼近，以便在不同点上进行计算。
这种逼近方法在数值计算中广泛应用，可以大大简化计算的复杂性。
其次，函数逼近在机器学习和数据分析中也起着关键作用。
在数据分析中，我们经常需要对一组离散的数据进行拟合，以便得到一个可以用来预测未知数据的模型。
函数逼近提供了一种有效的方法来构建这样的模型。
通常情况下，我们会选择一个适当的函数形式，并通过优化算法来确定函数的参数，使得函数与数据的拟合误差最小。
这种方法可以帮助我们从数据中提取有用的信息，进行各种预测和分析。
另外，函数逼近广泛应用于图像处理和信号处理中。
在这些领域中，我们通常需要对图像或信号进行压缩和去噪处理。
函数逼近提供了一种有效的方法来近似和表示这些复杂的图像和信号。
例如，在图像压缩中，我们可以使用小波变换来将图像分解成具有不同频率和分辨率的小波系数，然后根据一定的阈值选择保留哪些系数，从而实现图像的压缩。
在语音信号处理中，我们可以使用线性预测编码来对信号进行压缩和重构，从而提高通信的效率。
最后，函数逼近在工程领域中也有重要的应用。
例如，在控制系统设计中，我们需要建立一个数学模型来描述控制对象的动态特性。
函数逼近提供了一种有效的方法来近似这个系统的传递函数，以便进行系统的分析和控制设计。
同时，在电路设计中，我们也经常需要使用函数逼近来近似和建模电路的特性，以便对电路进行分析和仿真。
总结起来，函数逼近是数学中一个重要的概念，它在各个领域的应用非常广泛。
函数逼近的几种算法及其应用汇总
函数逼近的几种算法及其应用汇总函数逼近是数值计算中非常重要的技术之一，它主要用于用已知函数逼近未知函数，从而得到未知函数的一些近似值。
在实际应用中，函数逼近广泛用于数据拟合、插值、信号处理、图像处理等领域。
下面将介绍几种常用的函数逼近算法及其应用。
1. 最小二乘法（Least Square Method）最小二乘法将函数逼近问题转化为最小化离散数据与拟合函数之间的残差平方和的问题。
它在数据拟合和插值中应用广泛。
例如，最小二乘法可以用于拟合数据点，找出最佳拟合曲线；也可以用于信号处理中的滤波器设计。
2. 插值法（Interpolation）插值法旨在通过已知数据点之间的连线或曲线，来逼近未知函数在这些数据点上的取值。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和分段线性插值等。
插值法在图像处理中广泛应用，例如可以通过已知的像素点来重构图像，提高图像的质量和分辨率。
3. 最小二乘曲线拟合（Least Square Curve Fitting）最小二乘曲线拟合是一种将渐近函数与离散数据拟合的方法，常见的函数包括多项式、指数函数、对数函数等。
最小二乘曲线拟合可以在一定程度上逼近原始数据，从而得到曲线的一些参数。
这种方法在数据分析和统计学中经常使用，在实际应用中可以拟合出模型参数，从而做出预测。
4. 正交多项式逼近（Orthogonal Polynomial Approximation）正交多项式逼近是一种通过正交多项式来逼近未知函数的方法。
正交多项式具有良好的性质，例如正交性和递推关系，因此可以用于高效地逼近函数。
常见的正交多项式包括勒让德多项式、拉盖尔多项式和切比雪夫多项式等。
正交多项式逼近广泛应用于数值计算和信号处理中，例如用于图像压缩和数据压缩。
5. 插值样条曲线（Interpolating Spline）插值样条曲线是将多个局部的多项式插值片段拼接在一起，从而逼近未知函数的方法。
插值样条曲线在实现光滑拟合的同时，还能逼近离散数据点。
函数逼近理论
函数逼近理论函数逼近是数学中研究近似计算方法的重要分支，它通过寻找一个接近所需函数的近似函数来简化复杂的计算问题。
函数逼近理论涵盖了多项式逼近、三角函数逼近、最小二乘逼近等各种方法。
本文将从数学背景、函数逼近的原理和应用领域三个方面进行讨论。
一、数学背景在了解函数逼近理论之前，我们需要回顾一些数学背景知识。
首先，我们要了解函数及其性质的概念。
函数是一种将一个集合中的元素映射到另一个集合中元素的规则，常用来描述数学、物理和工程问题。
其次，我们要熟悉多项式的性质。
多项式是由常数和变量的乘积相加而成的表达式，其具有高度的可控性和计算性能。
最后，我们需要了解一些数学分析工具，如泰勒级数展开和傅里叶级数展开等。
二、函数逼近的原理函数逼近的核心思想是通过构造一个近似函数，在一定范围内保持与所需函数的接近程度。
常用的函数逼近方法包括最小二乘逼近、插值逼近和曲线拟合等。
最小二乘逼近是一种基于最小化残差平方和的方法。
其基本思想是通过寻找一个多项式函数，使得所需函数与多项式函数的差异最小化。
这种逼近方法在实际问题中应用广泛，如信号处理、数据拟合等领域。
插值逼近是一种通过在给定数据点上构造插值多项式来逼近函数的方法。
插值多项式与原函数在数据点处相等，通过连接这些数据点构造出一个逼近函数。
插值逼近在图像处理、数值计算和计算机图形学等领域具有重要应用。
曲线拟合是一种寻找一条曲线与给定数据集最匹配的方法。
常用的曲线拟合方法包括多项式拟合、指数拟合和对数拟合等。
曲线拟合方法在统计学、经济学和物理学等领域具有广泛应用。
三、函数逼近的应用领域函数逼近理论在数学和工程领域中有着广泛的应用。
在数学领域，函数逼近可用于求解复杂的数学问题，如微积分、方程求解等。
在工程领域，函数逼近可用于优化算法、信号处理、图像处理等领域。
在优化算法中，函数逼近可用于近似解决无法求得精确解的优化问题。
通过构造一个逼近函数，可以减少计算量和提高计算效率，从而更好地解决实际问题。
牛顿迭代法的函数逼近和拟合
牛顿迭代法的函数逼近和拟合在数学和计算机科学中，函数逼近（function approximation）和拟合（function fitting）是重要的问题之一，它们涉及到如何用已知数据或函数来找出与之近似的函数形式。
而牛顿迭代法是一种常用的数值计算方法，可以被广泛地应用在函数逼近和拟合中。
一、牛顿迭代法简介牛顿迭代法是一种求解方程的方法，其本质是一种迭代算法，可以通过给出一个函数在某点的值以及该点的导数，迭代地求出函数的零点或者极值点。
其基本公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中，$f(x_n)$表示函数在点$x_n$处的函数值，$f'(x_n)$表示函数在点$x_n$处的导数，$x_{n+1}$是通过迭代算法得到的新的近似解。
在使用牛顿迭代法时，需要注意函数的光滑性和局部收敛性，如果函数不光滑或者在某些点处导数为零，那么迭代可能会导致发散或者收敛速度极慢。
二、牛顿迭代法在函数逼近中的应用在函数逼近中，如果我们已知一些数据点$(x_i, y_i)$，并且想要找到一个函数$f(x)$，可以用这些数据点来拟合函数，那么可以使用牛顿迭代法来实现。
具体的方法如下：1.首先定义一个函数$g(x)$，它满足$g(x_i)=y_i$；2.然后利用牛顿迭代公式，给出$f(x)$的递归式：$$f(x_{n+1})=f(x_n)+\frac{g(x_n)-f(x_n)}{g'(x_n)}$$其中，$g(x)$是一个在点$(x_i, y_i)$处值为$y_i$，在其他点处为零的光滑函数。
3.重复进行上述迭代，直到得到一个满足精度要求的近似解。
通过牛顿迭代法的函数逼近方法，我们可以得到在数据点上的逼近函数，这个函数可以用来进行插值和外推等操作，同时也可以作为一个简单的近似模型来使用。
三、牛顿迭代法在函数拟合中的应用除了函数逼近，牛顿迭代法还可以用于函数拟合，这里的函数拟合指的是通过一些给定的函数基，将一个在某些点处已知函数值的函数表示为基函数线性组合的形式。
函数逼近
第七章 函数逼近用简单的函数p (x )近似地代替函数f (x )，是计算数学中最基本的概念和方法之一。
近似代替又称为逼近，函数f (x )称为被逼近的函数，p (x )称为逼近函数，两者之差)()()(x p x f x R -=称为逼近的误差或余项在计算数学里，所谓简单的函数主要是指可以用加、减、乘、除四则运算进行计算的函数，如有理分式函数、多项式等。
由于多项式最简单，计算其值只需用到加、减与乘三种运算，且求其微分和积分都很方便，所以常用它来作为逼近函数，而被逼近的函数f (x )一般是一个比较复杂的不易计算的函数或以表格形式给出的函数。
第六章介绍的插值法实际上也是函数逼近的一种方法。
不过，它要求函数p (x )与f (x )在节点处具有相同的函数值 (甚至要求有相同的导数值)，但在非节点处，p (x ) 虽然有可能很好地逼f (x )，但也可能使逼近f (x ) 的误差很大，如果实际问题要求p (x )在区间[a , b ] 上每一点都“很好”地逼近的话，用插值多项式p (x ) 去逼近f (x )有时就要失败，所谓龙格现象，就是典型一例。
大家知道，用f (x )的泰勒(Taylor)展开式)()()!1()()(!)()(!2)())(()()(010)1(00)(200000之间与在x x x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n n ξξ++-++-++-''+-'+=Λ的部分和去逼近函数f (x )，也是常用的方法。
这种方法的特点是：x 越接近于x 0，误差就越小，x 越偏离x 0，误差就越大。
若要使这种逼近在整个所讨论的区间上都达到精度要求，则需取很多项，这样，计算工作量就大大增加。
因此，如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是函数逼近要解决的问题，这个问题的一般提法是：对于函数类A 中给定的函数f (x )，要求在另一类较简单的且便于计算的函数类B (⊂ A )中寻找一个函数p (x )，使p (x )与f (x )之差在某种度量意义下最小。
数值分析06函数逼近
函数逼近的历史与发展
早期发展
早在古希腊时期，数学家就开始研究用简单的几何图形来近 似表示复杂的曲线。随着数学的发展，函数逼近的理论和方 法不断完善和丰富。
现代进展
随着计算机科学和数值分析的兴起，函数逼近在数值计算、 信号处理、图像处理等领域的应用越来越广泛。现代的逼近 方法不仅追求形式简单，还注重逼近的精度和计算效率。
数据拟合
在数据分析和机器学习中，利用数值逼近方法对数据进行拟合， 以提高预测精度。
图像处理
在图像处理中，利用数值逼近方法对图像进行平滑、去噪等处理， 以提高图像质量。
工程计算
在工程计算中，利用数值逼近方法对复杂函数进行近似计算，以简 化计算过程和提高计算效率。
05
结论与展望
总结与评价
总结
数值分析06函数逼近课程是一门重要的数学课程，它涉及到许多实际问题的求解，如插值、拟合、最小二乘法等。 通过学习这门课程，学生可以掌握如何使用数学工具来近似描述和分析函数，从而更好地理解和解决实际问题。
数。
稳定性分析
稳定性定义
稳定性是指在逼近过程中，对于小的扰动或误差，逼近结果的变 化程度。
不稳定性影响
不稳定的逼近可能导致结果出现较大的偏差，影响数值计算的精 度和可靠性。
稳定性判据
根据稳定性判据，判断逼近函数的稳定性以及如何提高稳定性。
04
数值实例与应用
一元函数逼近实例
01
线性逼近
通过多项式逼近方法，将一元函 数在某点附近展开成线性形式， 如泰勒级数展开。
评价
这门课程的内容非常实用，对于数学专业的学生来说是一门必修课程。它不仅有助于提高学生的数学素养，还可 以为学生提供解决实际问题的能力。然而，该课程难度较大，需要学生具备较高的数学基础和思维能力。
函数逼近的几种算法及其应用
函数逼近的几种算法及其应用函数逼近是数值计算中的一种重要技术，用于在给定的函数空间中找到与目标函数最相近的函数。
函数逼近算法可以在不知道目标函数解析表达式的情况下，通过对给定数据进行处理来逼近目标函数的结果。
这篇文章将介绍几种常见的函数逼近算法及其应用。
1.多项式逼近：多项式逼近是一种利用多项式函数逼近目标函数的方法。
多项式逼近算法有很多种，常见的有最小二乘法、拉格朗日插值法和牛顿插值法等。
多项式逼近广泛应用于数据拟合、信号处理和图像处理等领域。
最小二乘法是一种通过最小化实际观测值与多项式模型之间的差异来确定多项式系数的方法。
最小二乘法可以用于拟合非线性和线性函数。
拉格朗日插值法和牛顿插值法是通过插值多项式来逼近目标函数的方法，可以用于填充缺失数据或者生成曲线过程中的中间点。
2.三角函数逼近：三角函数逼近是一种利用三角函数来逼近目标函数的方法。
三角函数逼近算法有傅里叶级数逼近和小波变换等。
傅里叶级数逼近是一种利用三角函数的线性组合来逼近目标函数的方法。
这种方法广泛应用于信号处理、图像处理和数学建模等领域。
小波变换是一种通过特定的基函数来逼近目标函数的方法。
小波变换可以用于信号去噪、图像压缩和模式识别等应用。
3.插值逼近：插值逼近是一种通过已知数据点在给定区间内的函数值来确定目标函数的方法。
常见的插值逼近方法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和差值多项式法等。
插值逼近广泛应用于任何需要通过已知数据点来逼近目标函数的领域。
在实际应用中，函数逼近常用于数据分析和模型构建。
例如，在金融领域，函数逼近可以用于确定股票价格走势的模型和预测。
在工程领域，函数逼近可以用于建立复杂系统的模型和优化控制。
在计算机图形学领域，函数逼近可以用于生成真实感图像和动画。
总结起来，函数逼近是一种重要的数值计算技术，有多种算法可供选择。
多项式逼近、三角函数逼近和插值逼近是常见的函数逼近算法。
函数逼近广泛应用于数据分析、模型构建和优化控制等领域，对于解决实际问题具有重要作用。
数字的逼近与近似认识数的逼近和近似计算方法
数字的逼近与近似认识数的逼近和近似计算方法在现实生活中，我们经常遇到需要准确计算数值的情况，然而有些复杂的运算可能会让我们陷入困境。
为了解决这个问题，人们提出了数的逼近和近似计算方法，以帮助我们更方便地处理数字。
一、数的逼近方法数的逼近是指通过无穷个有理数逐渐靠近某个数的过程。
常见的数的逼近方法有以下几种：1. 分数逼近法分数逼近是指通过有限小数或无限小数的形式来逼近一个数。
例如，要逼近圆周率π，我们可以使用3.14或3.14159等有限位数的近似值。
这种方法在实际应用中非常常见，它可以有效地满足我们对数值精度的要求。
2. 牛顿逼近法牛顿逼近法是一种用多项式逼近函数的方法。
它通过选取一个初始值，并利用切线的斜率逐步逼近函数的根。
这种方法在数学和物理领域被广泛应用，可以高效地求解函数的零点。
3. 数列逼近法数列逼近法是指通过数列的极限来逼近一个数。
例如，要逼近自然常数e，我们可以使用以1为首项，n趋于无穷大时的极限值。
这种方法可以直接将数的逼近问题转化为数列极限的计算问题。
二、近似认识数的近似计算方法近似计算方法是指通过一定的近似规则和技巧，对于复杂计算或无法准确进行的计算，进行近似求解。
常见的近似计算方法有以下几种：1. 舍入法舍入法是一种常见的近似计算方法，它根据一定的规则将数值进行近似。
最常见的舍入规则有四舍五入、向下取整和向上取整等。
例如，我们可以使用舍入法将3.14159近似为3.14或3.142。
2. 位数法位数法是一种将数值限制在一定位数以内进行近似计算的方法。
例如，当我们要计算π的前100位小数时，由于无法直接计算出确切的值，我们可以使用近似计算方法来获得前100位的近似值。
3. 同类项相消法同类项相消法是一种通过将数值中相近的项进行相消，从而简化计算过程的方法。
例如，在求和时，我们可以将一些项进行合并，从而减少计算的复杂度。
这种方法在数列求和、积分等领域中广泛应用。
通过数的逼近和近似计算方法，我们可以更方便地处理数字，解决实际生活中存在的计算问题。
指数函数与对数函数的函数逼近与最小二乘法
指数函数与对数函数的函数逼近与最小二乘法在数学中，指数函数和对数函数是非常常见且重要的函数。
它们在许多领域中扮演着重要的角色，例如物理学、经济学和统计学等。
本文将讨论指数函数和对数函数的函数逼近问题，并介绍最小二乘法在函数逼近中的应用。
一、指数函数的函数逼近指数函数可以表示为y = a^x的形式，其中a为底数，x为指数。
指数函数具有与底数a有关的特定增长率。
当底数a>1时，函数呈现增长趋势；当0<a<1时，函数呈现下降趋势。
在实际问题中，我们经常需要通过已知的数据去逼近一个未知的指数函数。
最常用的方法是使用最小二乘法进行函数逼近。
最小二乘法通过优化参数估计，来找到最能拟合给定数据的指数函数。
最小二乘法的基本原理是使得观测值与预测值之间的误差平方和最小化。
对于指数函数逼近，我们可以使用以下步骤：1. 收集指数函数的已知数据，包括自变量x和对应的函数值y。
2. 取对数转化：计算ln(y)，将指数函数转化为对数函数。
3. 建立线性方程：将对数函数转化为线性方程，形式为ln(y) =ln(a)·x + ln(b)。
4. 进行最小二乘拟合：对转化后的线性方程应用最小二乘法，计算出拟合的参数估计值ln(a)和ln(b)。
5. 反转转化：根据拟合得到的ln(a)和ln(b)，反转转化为a和b，得到拟合的指数函数。
通过这样的方法，我们可以使用最小二乘法逼近给定的指数函数，并找到最能拟合已知数据的指数函数。
二、对数函数的函数逼近对数函数可以表示为y = log_a(x)的形式，其中a为底数，x为对数的真数。
对数函数具有与底数a有关的特定增长率。
当底数a>1时，函数呈现增长趋势；当0<a<1时，函数呈现下降趋势。
对于对数函数的函数逼近，我们同样可以使用最小二乘法进行拟合。
以下是逼近对数函数的步骤：1. 收集对数函数的已知数据，包括自变量x和对应的函数值y。
2. 建立线性方程：将对数函数转化为线性方程，形式为y = a·ln(x)+ b。
计算方法讲义：六 函数逼近
第六章 函数逼近用简单的函数近似代替复杂函数，是计算数学中最基本的方法之一。
近似又称为逼近，被逼近的函数与逼近函数之差)()()(x p x f x R -=称为逼近的误差或余项。
简单函数：仅用加、减、乘、除。
多项式是简单函数。
插值也可以理解为一种逼近形式。
用Taylor展开：10)1(00)(000)()!1()()(!)())(()()(++-++-+-'+=n n nn x x n f x x n x fx x x f x f x f ξ 的部分和逼近f (x )也是一种逼近方法，其特点是：x 越接近于x 0，误差就越小。
如何在给定精度下求出计算量最小的近似式，这就是函数逼近要解决的问题。
逼近的度量标准有：一致逼近和平方逼近。
6.1 函数内积本节介绍几个基本定义：权函数、内积、正交、正交函数系。
定义1 设ρ (x )定义在有限或无限区间[a , b ]上，若具有下列性质：(1) ρ(3) 对非负的连续函数g (x )，若⎰=ba dx x x g 0)()(ρ，则在(a ,b )上g (x ) ≡ 0，称ρ (x )为[a , b ]上的权函数。
常用权函数有：211)(],1,1[xx -=-ρ；x e x -=∞)(],,0[ρ；2)(],,[x e x -=∞+-∞ρ；1)(],1,1[=-x ρ等。
定义2 设f (x )，g (x ) ∈ C [a , b ]，ρ (x )是[a , b ]上的权函数，则称⎰=ba dx x g x f x g f )()()(),(ρ为f (x )与g (x )在[a ,b ]上以ρ (x )为权函数的内积。
内积有如下性质：(1) (f , f )≥0，且(f , f )=0 ⇔ f = 0；(2) (f , g ) = (g , f )；(3) (f 1 + f 2, g ) = (f 1, g ) + (f 2,g )；(4)对任意实数k ，(kf , g ) = k (f , g )。
《数值分析》第3讲：函数逼近与计算
函数的逼近与计算
pn * ( x) ? 1、Chebyshev给出如下概念
设 f ( x) C[a,b], 如p果( x) Hn ,
f (x)
|
p( x0 )
f
(
x0
)
|
max
a xb
|
p( x)
f ( x) |
p4 0*(x)
则称 x是0 偏差点。
如果 p( x0 ) f ( x0 ) 则称 x是0 正偏差点。
b
2a
a0 (
x ) 0 (
x)k
(
x)dx
b
b
2a an( x)n( x)k ( x)dx 2a ( x) f ( x)k ( x)dx
即
I ak
2a0 0( x),k ( x) 2a11( x),k ( x)
2an n( x),k ( x) 2 f ( x),k ( x)
函数的逼近与计算
则
1
1 1
2
n1
1 H 2
1 3
1 n2
1 n 1
1 n2
1 2n 1
例3.2 (P56)
已知 f ( x) 1 x2 C[0, 1], span{1, x}
则
1
(0 , 0 )
1dx 1,
0
(0 , 1)
1
1
xdx
0
2
(1, 0 )
1
1
xdx ,
▲ 1856年解决了椭圆积分的雅可比逆转问题，建立了椭圆函数 新结构的定理，一致收敛的解析函数项级数的和函数的解析性的 定理，圆环上解析函数的级数展开定理等。
函数的逼近与计算
计算方法第四章(逼近法)
2n {
m j0
aj
m i 1
x jk i
m i 1
xik
yi }
m
m
记： sl xil , tl xil yi
i 1
i 1
n
得正规方程组(法方程)： s jkaj tk , k 0,1,L , n
j0
2. 内积
定义：设 X 为 R 上的线性空间，对于 X 中的任意两
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.58 0.81 1.01 1.32 1.49 1.67 1.93 2.18 2.395
得正规方程组：
94a50a0452a815a15.83141.962 a0 0.15342, a1 0.09845 a 1.424, b 0.2267 y 1.424e0.2267x
1 8
(35x4
30x2
3),
P5
(
x)
x3
15
x)
LL
证明:
由分部积分法得(Pk , Pj )
1 [(x2 1) j ]( j)[(x2 1)k ](k) dx
1
1 [(x2 1) j ]( j) d[(x2 1)k ](k1) 0 1 [(x2 1)k ](k1)[(x2 1) j ]( j1) dx
多项式，或称为变量x 和 y 之间的经验公式.
显然，S 达到最小值，则
S 0 , k 0,1,L , n ak
S
ak
2 m
m i 1
[ P( xi
)
yi
函数逼近方法
函数逼近方法一、概述函数逼近方法是一种数学工具，用于通过已知数据点的集合来估计或近似出一条连续函数的近似函数。
它在各个领域都有广泛的应用，比如数值计算、统计学、机器学习和信号处理等。
通过函数逼近方法，我们可以在缺少完整数据的情况下对函数的行为进行研究和预测。
二、插值法插值法是函数逼近方法中最常见的一种方法，它基于已知点的函数值，构造出一个多项式函数来逼近原函数。
插值法的基本思想是通过已知点之间的连线或曲线来构造一个连续的函数。
常见的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值等。
2.1 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种通过利用拉格朗日基函数构造插值多项式的方法。
给定一个已知函数的离散采样点集合，拉格朗日插值的目标是构造一个多项式函数，该函数在已知点上的函数值等于已知函数在相应点上的函数值。
拉格朗日插值多项式的形式如下：L(x)=∑y ini=0∏x−x jx i−x j nj=0,j≠i其中，y i表示已知点的函数值，x i表示已知点的横坐标。
2.2 牛顿插值牛顿插值是另一种常见的插值方法，它利用差商的概念构造出一个多项式函数。
牛顿插值的优势在于可以递归地计算插值多项式，而不需要重新计算整个多项式。
牛顿插值多项式的形式如下：N(x)=f(x0)+∑[∏(x−x j)i−1j=0]ni=1f[x0,x1,…,x i]其中，f(x0)表示已知点的函数值，f[x0,x1,…,x i]表示差商。
三、最小二乘法最小二乘法是一种通过最小化误差平方和来逼近函数的方法。
最小二乘法的基本思想是找到一个函数的近似函数，使得所有已知数据点到近似函数的距离的平方和最小。
3.1 线性最小二乘法线性最小二乘法是最简单的一种最小二乘逼近方法，它假设要逼近的函数是一个线性函数。
给定一组已知数据点(x i,y i)，其中x i为自变量，y i为因变量，线性最小二乘法的目标是找到一个形如y=ax+b的线性函数，使得所有已知数据点到该直线的距离的平方和最小。
数值分析Ch3函数逼近与计算
函数逼近与计算§1. 引言1. 引例某气象仪器厂要在某仪器中设计一种专用计算芯片，以便于计算观测中经常遇到的三角函数以及其它初等函数。
设计要求x 在区间[]b a ,中变化时，近似函数在每一点的误差都要小于某一指定的正数ε。
(1) 由于插值法的特点是在区间[]b a ,中的1+n 个节点处，插值函数)(x P n 与被插值函数)(x f 无误差，而在其它点处)()(x f x P n ≈。
对于i x x ≠，)(x P n 逼近)(x f 的效果可能很好，也可能很差。
在本问题中要求)(x P n 在区间[]b a ,中的每一点都要“很好”地逼近)(x f ，应用一般的插值方法显然是不可行的，龙格现象就是典型的例证。
采用样条插值固然可以在区间的每一点上满足误差要求。
但由于样条插值的计算比较复杂，需要求解一个大型的三对角方程组，在芯片中固化这些计算过程较为复杂。
(2) 可以采用泰勒展式解决本问题。
将)(x f 在特殊点0x 处做泰勒展开，10)(00)(000)()!1()()(!)())(()()(+-++-++-'+=n n nn x x n f x x n x f x x x f x f x f ξ 。
取其前1+n 项作为)(x f 的近似，即)()(!)())(()()(00)(000x f x x n x f x x x f x f x P n n n ≈-++-'+= 。
但泰勒展式仅对0x 附近的点效果较好，为了使得远离0x 的点的误差也小于ε，只好将项数n 取得相当大，这大大增加了计算量，降低了计算速度。
因此，从数值计算的角度来说，用泰勒展式做函数在区间上的近似计算是不合适的。
(3) 引例提出了一个新的问题，即能否找到一个近似函数)(x P n ，比如说，它仍然是一个n 次多项式，)(x P n 不一定要在某些点处与)(x f 相等，但)(x P n 却在区间[]b a ,中的每一点处都能“很好”地、“均匀”地逼近)(x f 。
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a ( x ) ( x ) y ( x )
i 0 j 0 j j i k i i 0 i k i
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n
m
k 0,1,, n
22
3.4 曲线拟合的最小二乘法
Chapter3 函数逼近
m i 0 i k i
i 0
m
min
S ( x )
m
2 2
min ( S ( xi ) yi )2
S ( x ) i 0
m
其中S ( x) a j j ( x)为中的任意函数。
j 0
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3.4 曲线拟合的最小二乘法
n
Chapter3 函数逼近
称满足条件的求函数S *( x) a* j ( x)的方法为 j 数据拟合的最小二乘法。
n
j 0
S * ( x ) a *j j ( x )为最小二乘解
j 0
S ( x) a j j ( x)为拟合函数, a j ( j 0,1, , n)为拟合系数。
j 0
n
* 2 称为最小二乘解的误差平方和（残差平方和）。
2
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3.4 曲线拟合的最小二乘法
i 0 i 0
m
yi k ( xi )
i 0
m
k 0,1,, n
显然是一个关于a0 , a1 ,, an的n 1元线性方程组。
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3.4 曲线拟合的最小二乘法
引入记号
Chapter3 函数逼近
k (k ( x 0 ), k ( x1 ),, k ( xm ))
2
法。
17
3.4 曲线拟合的最小二乘法
设( xi , yi )(i 0 ,1,, m)为给定的一组数据 设x , y的关系为 y S ( x)
Chapter3 函数逼近
设函数类的基函数为i ( x)(i 0,1,, n)， 一般要求n m 也称是由i ( x)(i 0 ,1,, n)生成的函数集,即
上章讨论的插值法就是函数逼近问题的一种。
我们的做法是在多项式类中寻找一个合适的多项式来代替 原来的函数，使误差较小。
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2
3.1 函数逼近的基本概念
Chapter3 函数逼近
如果我们把问题一般化，则可以提出如下的方 法：对函数类A中给定的函数f(x)，记作f(x)∈A ， 要求在另一类简单的便于计算的函数类 B中求函数 p(x) ∈B，使得p(x)与f(x)的误差在某种度量意义下 最小。函数类B通常是区间[a,b] 上的连续函数，记 作C[a,b] ，称为连续函数空间，而函数类B通常为n
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5
3.1 函数逼近的基本概念
Chapter3 函数逼近
更一般地，可以用一组在C[a, b] 上线性无关的函数 集合 i ( x)i 0来逼近 f C[a, b]。函数逼近问题就是
n
对任何 f C[a, b]，在子空间
span{ 0 ( x), 1 ( x), , n ( x)}
我们选取的度量标准是
在函数类中选取一个函数S * ( x)
S * ( x ) a *j j ( x )
j 0 n
Chapter3 函数逼近
a0 * 0 ( x) a1 * 1 ( x) an * n ( x)
*
2 2
( S * ( xi ) yi )2
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1
3.1 函数逼近的基本概念
Chapter3 函数逼近
用简单的函数p(x)近似地代替函数f (x)，是计算数学中最基 本的概念和方法之一。近似代替又称为逼近，函数f (x)称
为被逼近的函数，p (x)称为逼近函数，两者之差
称为逼近的误差或余项。
R( x) f ( x) p( x)
3.4 曲线拟合的最小二乘法
a0 ( k ,0 ) a1 ( k ,1 ) an ( k , n ) ( k , f )
Chapter3 函数逼近
k 0,1,, n
这是一个系数为( k , j ), 常数项为( k , f )的线性方程组
将其表示成矩阵形式
-范数
1 -范数
1 2
x 1 xi
i 1
n
x
2
n 2 xi i 1
2 -范数
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3.1 函数逼近的基本概念
Chapter3 函数逼近
类似地，在连续函数空间C[a, b]，可定义三种用
的范数如下：
f
max f ( x )
a x b
a ( x ) ( x ) y ( x )
i 0 j 0 n m j j i k i
m
n
[ ( x ) ( x )]a y
即
m i 0
j 0 i 0 j i k i j i 0 i
m
k
( xi )
m
k 0,1,, n
a0 0 ( xi ) k ( xi ) a1 1 ( xi ) k ( xi ) an n ( xi ) k ( xi )
法方程组
Chapter3 函数逼近
由 可知
S ( x ) a j j ( x )
j 0
n
2 2
( S ( xi ) yi )2 ( a j j ( xi ) yi )2
i 0
i 0 j 0
m
m
n
为拟合系数a j ( j 0,1,, n)的函数。
5 5.2 6 6.3 6.5 7.1 8 8 8.9 9 9.5 10
5.5 5 5.5 6.4 6 5.3 6.5 7 8.5 8 8.1 8.1
15
3.4 曲线拟合的最小二乘法
Chapter3 函数逼近
纤维强度随拉伸倍数增加而增加，并且24个点大致分布在
一条直线附近，因此可以认为强度y与拉伸倍数x的主要关系是 线性关系： y( x) 0 1 x (其中 0，1为待定参数)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
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1.9 2 2.1 2.5 2.7 2.7 3.5 3.5 4 4 4.5 4.6
1.4 1.3 1.8 2.5 2.8 2.5 3 2.7 4 3.5 4.2 3.5
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
中找一个元素 * ( x) ，使 f ( x) * ( x) 在某中意义下最 小。
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6
3.1 函数逼近的基本概念
定义1：向量范数Chapter3 Nhomakorabea函数逼近
设 S 为线性空间， S，若存在唯一实数 ，满足条件： X
①非负性
②齐次性 ③三角不等式
X 0, 且 X 0 X 0 a R, aX a X X Y X Y
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3.4 曲线拟合的最小二乘法
Chapter3 函数逼近
所谓曲线拟合就是从数据集( xi , yi )(i 0,1, 2,..., m) 中找出总体规律性，并构造一条能较好反映这种规律 的曲线p ( x)，不要求曲线p ( x)通过每个数据点，但要求 曲线p ( x)能尽可能地靠近数据点。即误差 i p ( xi ) yi (i 0,1, 2,..., m)按某种标准达到最小。一般采用如下三种 标准来度量误差的大小：
(1) i 1
i 0 m
(2)
2 2
i2
i 0
m
(3)
max i
0 i m
由于2 范数中没有绝对值，在 计算上较方便，通 常采用2 范数作为总体误差的度 量标准。我们称使范 数 2 达到最小的曲线拟合方 法为曲线拟合的最小二 乘
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由多元函数取极值的必要条件
F (a0 , a1 , , an ) 0 ak
Chapter3 函数逼近
k 0,1,, n
得
F ak
m
[ 2( a j j ( xi ) yi ) k ( xi )] 0
i 0 j 0 n
m
n
即
[ a ( x ) ( x ) y ( x )] 0
0 , 0 ) ( ( 1 ,0 ) , ) ( n 0
-范数
1 -范数
1 2
f
f
1
f ( x) dx
a
b
2
b f 2 ( x)dx 2 -范数 a
可以验证这样定义的范数满足定义的条件。
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3.1 函数逼近的基本概念
Chapter3 函数逼近
例：计算向量x＝（1 －3 0 2）T的2-范数，
1-范数，∞范数。
span{0 ( x), 1 ( x),, n ( x)}
S ( x ) a j j ( x )
j 0 n
仍然定义平方误差
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2 2
i2 ( S ( xi ) yi )2
i 0 i 0
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m
m
3.4 曲线拟合的最小二乘法
则称 为线性空间 S上的范数，S 与 一起称为赋范线性 空间。
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3.1 函数逼近的基本概念 常用范数
n 例如，在 R 上的向量 x ( x1 , x 2 ,, x n ) T R n ，