《数值分析》第三讲：函数逼近与计算

函数的逼近与计算
Bernstein逼近函数 2、Bernstein逼近函数 p45 3.1.4
1912年构造 1912年构造 n k B n ( f , x ) = ∑ f Pk ( x ) k =0 n k Pk ( x ) = C n x k (1 − x ) n − k 且
sin x
1 3 1 5 1 7 x− x + x − x 3! 5! 7!
函数的逼近与计算
2、逼近的思想
目标函数 集合 简单函数 集合
f ( x)
f ( x ) ≈ p( x )
何为”逼近” 何为”逼近”?
p( x ) x ∈ [a , b]
如何逼近？ 如何逼近？
f ( x)
p( x )
|| 无穷范数： 无穷范数： f ( x ) − p( x ) ||∞ = max | f ( x ) − p( x ) |
中最佳（ 所谓最佳是指在 H n 中最佳（是一个在局部找最优的 思想） 思想）
函数的逼近与计算
pn * ( x ) = ?
Chebyshev给出如下概念 1、Chebyshev给出如下概念 设 f ( x ) ∈ C [a , b], p( x ) ∈ H n , 如果
a≤ x≤b
f ( x)
| p( x0 ) − f ( x0 ) |= max | p( x ) − f ( x ) |= µpn * ( x ) >0
函数的逼近与计算 他把严格的论证引进分析学，建立了实数理论， ▲ 他把严格的论证引进分析学，建立了实数理论，引进了 现今分析学上通用的ε 现今分析学上通用的ε-δ定义，奠基了分析学的算术化。 定义，奠基了分析学的算术化。 在变分法中，给出了带有参数的函数的变分结构， ▲ 在变分法中，给出了带有参数的函数的变分结构，研究 了变分问题的间断解。 了变分问题的间断解。 在微分几何中，研究了测地线和最小曲面； ▲ 在微分几何中，研究了测地线和最小曲面； 在线性代数中，建立了初等因子理论，并用来简化矩阵。 ▲ 在线性代数中，建立了初等因子理论，并用来简化矩阵。 魏尔斯特拉斯一生中培养了很多有成就的学生， ▲ 魏尔斯特拉斯一生中培养了很多有成就的学生，其中著 施瓦兹、 富克斯、 名的有C.B.柯瓦列夫斯卡娅 H.A.施瓦兹 I.L.富克斯 名的有C.B.柯瓦列夫斯卡娅、H.A.施瓦兹、I.L.富克斯、G. C.B.柯瓦列夫斯卡娅、 米塔格-列夫勒等 米塔格-列夫勒等。
函数的逼近与计算
最佳一致逼近多项式（ 3、最佳一致逼近多项式（Chebyshev)
令
H n = span{1, x ,⋯ , x n }
n
∀ Pn ( x ) ∈ H n 则 Pn ( x ) = a0 + a1 x + ⋯ + an x
对 ∀ pn ( x ) ∈ H n 找 pn * ( x ) ∈ H n ,
pn ∈ H n
使得 || f ( x ) − pn * ( x ) ||∞ = min || f ( x ) − pn ( x ) ||∞ 即 max | f ( x ) − pn * ( x ) |= min max | f ( x ) − pn ( x ) |
a≤ x≤b pn ∈ H n a ≤ x ≤ b
偏差点。 则称 x0 是偏差点。 如果 p( x0 ) − f ( x0 ) = µ 则称 x0 是正偏差点。 正偏差点。 a
b
负偏差点。 如果 p( x0 ) − f ( x0 ) = − µ 则称 x0 是负偏差点。
Chebyshev得到如下结论 2、Chebyshev得到如下结论 如果 Pn ( x ) ∈ H n 是 f ( x ) ∈ C [a , b] 的最佳一致逼近多项 在区间[a,b] [a,b]存在 个轮流为正、 式，则 Pn ( x ) 在区间[a,b]存在 n + 2 个轮流为正、负 的偏差点。 的偏差点。
函数的逼近与计算
所求一次最佳逼近多项式为 p1 ( x ) = 0.414 x + 0.955
1 + 1 + 0.4551 0.4551 = − 0.414 × ≈ 0.955 2 2
2
函数的逼近与计算 Matlab程序 Matlab程序 x=0:0.1:1; y1=sqrt(1+x.*x); y2=0.414*x+0.955; plot(x,y1); hold on plot(x,y2);
lim Bn ( f , x ) = f ( x ),
n→ ∞
x ∈ [0,1]
一致成立
lim Bn
n→ ∞
(m)
( f , x ) = f ( m ) ( x ),
x ∈ [0,1]
优点：构造性证明，不仅解决了“ 优点：构造性证明，不仅解决了“有”还解决了如何 “ 有 ”。 缺点：收敛速度太慢， 缺点：收敛速度太慢，收敛依赖与多项式次数 n → ∞
函数的逼近与计算
4、以最佳一次逼近多项式为例
f ( x ) ∈ C 2 [a , b], 且 f ' ' ( x ) 不变号, 不变号, 设 令 p1 ( x ) = a1 x + a0
由Chebyshev定理 Chebyshev定理 存在 ξ ∈ ( a , b ) 使得
p1 ( x )
a
ξ
b
p1 (a ) − f (a ) = f (ξ ) − p1 (ξ ) = p1 (b ) − f (b )
再由 a1a + a0 − f (a ) = f (ξ ) − a1ξ − a0 得
2a0 = f (a ) + f (ξ ) − a1ξ − a1a
f (a ) + f (ξ ) a+ξ a0 = − a1 即 2 2 令 g ( x ) = f ( x ) − p1 ( x )
令 g' (ξ ) = f ' (ξ ) − a1 = 0 又 所以 ξ 唯一 则
a≤ x≤b
b
平方范数： 平方范数：|| f ( x ) − p( x ) ||2 =
( f ( x ) − p( x ))2 dx ∫a
函数的逼近与计算
f ( x)
p( x )
aபைடு நூலகம்
a≤ x≤b
b
一致逼近
|| f ( x ) − p( x ) ||∞ = max | f ( x ) − p( x ) |< ε f ( x) p( x )
ρ ( x )( f ( x ))2 dx =|| f ( x ) ||2 2 ∫a
2
b
则称 || f ( x ) ||2 =
∫
b
a
ρ ( x )( f ( x )) dx = ( f ( x ), f ( x ))
范数或Euclid范数 范数。 为函数 f ( x ) 的2范数或Euclid范数。 关于内积、范数的详尽内容可参见《高等代数》 关于内积、范数的详尽内容可参见《高等代数》或 线性代数》等相关书籍。 《线性代数》等相关书籍。
p1 ( x ) = 0.414 x + 0.955
f ( x) = 1 + x2
函数的逼近与计算
事实上
n 在 H n = {a0 + a1 x + ⋯ + an x } 中找 pn * ( x ) ∈ H n ,
满足 || f ( x ) − pn * ( x ) ||∞ = min || f ( x ) − pn ( x ) ||∞
?
由Chebyshev定理可知 a , ξ , b 是 g ( x ) 的极值点 Chebyshev定理可知
f ' (ξ ) = a1
g' ' ( x ) = f ' ' ( x ) 不变号， g' (ξ ) 单调增（减） 单调增（ 不变号，
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3.1（p50） 例3.1（p50）
在区间[0,1]上的最佳一致逼近多项式。 [0,1]上的最佳一致逼近多项式 求函数 f ( x ) = 1 + x 2 在区间[0,1]上的最佳一致逼近多项式。 解
函数的逼近与计算
设 f ( x ) ∈ C [a , b], 令 Φ = span{ ϕ 0 ( x ), ϕ1 ( x ), ⋯ , ϕ n ( x ) } ⊂ C [a , b] 其中， 其中， ϕ i ( x ) ∈ C [a , b], ( i = 0,1,2, ⋯ , n) 称为简单基函数 称为简单基函数 对 ∀S ( x ) ∈ Φ ,
pn ∈ H n
即 max | f ( x ) − pn * ( x ) |= min max | f ( x ) − pn ( x ) |
a≤ x≤b pn ∈ H n a ≤ x ≤ b
是十分困难的
函数的逼近与计算 1837年 ▲ 1837年，切比雪夫进入莫斯科大 学，在哲学系学习物理数学专业。 在哲学系学习物理数学专业。 1846年 ▲ 1846年，切比雪夫任彼得堡大学助 教，1860-1882年任彼得堡大学教授。 1860-1882年任彼得堡大学教授。 年任彼得堡大学教授 1853年任彼得堡科学院候补院士 年任彼得堡科学院候补院士， ▲ 1853年任彼得堡科学院候补院士， 1856年任副院士，1859年任院士。 1856年任副院士，1859年任院士。 年任副院士 年任院士 1877年 1880年 1893年分别任伦 ▲ 1877年、1880年、1893年分别任伦 敦皇家科学院、意大利皇家科学院、 敦皇家科学院、意大利皇家科学院、 瑞典皇家科学院外籍院士。 瑞典皇家科学院外籍院士。 学生：马尔科夫、李雅普诺夫、伯恩斯坦、辛钦等。 ▲ 学生：马尔科夫、李雅普诺夫、伯恩斯坦、辛钦等。
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