左手介质中电磁波的传播速度
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c ck n= = 也为负数 . v ω
波叠加而成的 ,即可将任何波写成傅里叶级数或傅 里叶积分的形式 . 在无色散介质 ( 如真空 ) 中所有这 些组成波的单色平面波都以同一速度传播 , 那么该 波在传播过程中将永远保持形状不变 , 整个波也永 远以这一速度向前传播 . 但是除真空以外 ,任何介质 通常都具有色散的特征 ,也就是说 ,各个单色平面波 各以不同的相速传播 ,其大小随频率而变 ,所以由它 们叠加而成的波在传播过程中将不断改变其形状 . 在寻常介质中 , E ×H 给出平面波的传播方向 , 同时也是能流方向 . 而对于 μ 和ε同时为负数的左 手介质 , E ×H 的方向仍是能流方向 ,但波的传播方 向 ( 相速度的方向) 却反了过来 . 由于群速度是波包 振幅的传播速度 ,因此也是能量传播的速度 . ω, 假定两列波具有不同的角频率 : ω1 = ω + Δ ω2 = ω - Δ ω , 具有相同的振幅 A , 并沿相同方向传 播 ,则可表为 : ξ 1 = A cos (ω 1 t - k 1 r) ξ 2 = A cos (ω 2 t - k 2 r)
( 16) ( 17) ( 18)
( 9)
令 得
π ν和 k = 2 π λ 都是不随 t 和 r 而改变的 式中 ω = 2 Π 量 . 故等相面方程为 ωt - k r = 常量 ( 10) 由此得 ωd t - k d r = 0 ,或 ω dr λ ( 11) = v= =ν dt k
两波叠加后的合成波的包络不按波的相速度 v =
研工作 .
Δ
[ E ( r) , H ( r) ] = [ E0 e
- j k・ r
, H0 e
Байду номын сангаас
- j k・ r
]
( 2)
利用 Maxwell 方程可得 μH0 k × E0 = ω εE0 k × H0 = - ω 物质的本构关系为
D =εE B = εH
( 3)
( 4)
由式 ( 3) 可以看出 , 当 ε> 0 ,μ > 0 时 , 电场 E 、 磁场
2. 2 群速度
在左手介质中传播的高斯波或微波都可以看成 是由众多不同频率 、 不同振幅的单色正弦波或余弦
图1 左手介质中的 ( E , H , k) 与 ( E , H , S )
式 ( 5) 表明 E 、 H 和坡印亭矢量 S 的方向始终呈右 手螺旋关系 . 坡印亭矢量 S 指示的方向是能量传播的方向 , 而 k 的方向表示相速度的方向 . 因此 , 在左手介质 (ε< 0 ,μ < 0 ) 中能量传播方向 ( 也即群速度 v g 的方 向) 与相速度的方向是相反的 ,即波前是朝着波源方 ε 向传播的 . 取 k = - ω μ 为负数 ,则介质的折射率
1 左手介质
对于式 ( 1) 所示的平面波在介质中的传播可表 示为
[4 ]
基金项目 : 湖南省教育厅重点科研基金资助项目 (04A006) ; 湖南省教育厅科研基金资助项目 (03C095)
) ,男 ,湖南祁阳人 ,衡阳师范学院物理与电子科学信息系教授 , 博士 , 主要从事光学及量子信息等方面的教学和科 作者简介 : 张登玉 (1962 —
在经典电动力学中 , 介质的电磁性质可以用介 电常量 ε及磁导率μ 两个宏观参数来描述 , 它们决 定着电磁波在物质中的传播特性 . 长久以来 ,人们 对各类自然物质的 ε和μ 已作了详细的研究 , 对于 大多数各向同性的自然物质 ,ε和 μ 的实部均取正 值 ; 而有些自然物质 , 如金属和等离子体 , 对于频率 低于其等离子体频率的电磁波而言 , 其 ε表现为负 值 . 但迄今为止 ,在自然界中尚没有发现ε和μ 同时 为负值的物质 . 根据 Maxwell 方程组和介质的本构 关系 ,从理论上可推出正弦时变电磁场的波动方程 , [2 ] 即 Helmholtz 方程 : 2 2 ( 1) E+ k E=0 2 2 2 ε = ω μrμ0ε 其中 k = ω μ rε 0 . 对于 ε 和 μ 都为正 数的介质 ,方程 ( 1) 有波动解 ,电磁波能在其中传播 . 2 2 ε 如果两者中一个为正数而另一个为负数 , k = ω μ < 0 , k 无实数解 , 即方程 ( 1 ) 无波动解 , 电磁波不能 2 在其中传播 . 如果介质的 ε 和 μ 都 小 于 零 , k = 2 ωμ ε> 0 , k 有实数解 ,即方程 ( 1 ) 有波动解 ,但传播 规律与在常规介质中不同 . 这种介质的 E 、 H、 k三 者间不再满足右手螺旋关系 , 而是满足左手螺旋关 系 . 1968 年 ,前苏联科学家 Vesalago 首次指出 , 当 ε 和μ 同时为负数时 ,Maxwell 方程仍然成立 ,但电磁 波将逆着波矢方向传播 , 并可表现出一些奇异的电 磁特性 ,如逆多普勒效应 、 逆斯涅耳折射效应及逆 [3 ] Cerenkov 辐 射 效 应 等 . 1996 年 , 英 国 皇 家 学 院 John Pendry 指出可以用细金属导线阵列构造介电 常量 ε为负的人工介质 . 1999 年 , 有人指出可以用 谐振环阵列构造磁导率为负的人工介质 . 2001 年美
( 25) 看出 , 当 n < 0 时 , 仍旧有 ( 22) dn [6 ] < 0 .而 n +ω dω
即
c kc d n k dn - 2 = v- v n n dk n dk k dn n dk
u= v 1-
dn < 0 ( 现有的左手介质材料中 , n 都小于 - 1 ,所以 dω
n +ω
收稿日期 :2006 - 01 - 11 ; 修回日期 :2006 - 07 - 20
[1 ]
国加州大学圣迭戈分校的 David Smit h 等人在 《Sci2
ence》 杂志上发表文章 , 沿用 Pendry 的方法构造出
了介电常量与磁导率同时为负的人工介质 , 并通过 实验观察了微波频段的电磁波通过这种人工介质与 空气的交界面时发生的 “负折射” 现象 . Vesalago 最 初称此类介质为 “左手介质” , 中文文献中有人叫做 “异向介质” . 下面对左手介质及其中电磁波的相速 和群速作些分析 .
= 常量 ,
ω
v
有
r t= 常量 v
( 7)
这两列波相互叠加的合成波为 ξ= ξ 1 +ξ 2 = A cos (ω 1 t - k 1 r ) + A cos (ω 2 t - k 2 r)
( 15)
由此得到 d t -
1
v
d r = 0 ,或
v=
式中 k 1 = k +Δ k , k 2 = k - Δ k . 上式可改写为
S = E ×H
( 5)
第 12 期
张登玉等 : 左手介质中电磁波的传播速度
15
式 ( 11) 表示的相位速度乃是严格的单色波 (ω 有单 一的确定值) 所特有的一种速度 ,单色波以 t 和 r 的 余弦函数表达 ,ω 为常量 . 这种严格的单色波的空间 和时间延续都是无穷无尽的余弦 ( 或正弦 ) 波 , 但是 这种波仅是理想的极限情况 .
dn dω
代入式 ( 22) ,得
u= v-λ
dv dλ
( 24)
式 ( 24) 即为瑞利公式 . 2) 当 1 > n > 0 时 若介质是色散性质的 , 即 n = n (ω) , 则 k = ωn (ω) ,由式 ( 19) 可知
c u=
dω 1 1 = = dk dk d ωn dω dω c
v
=
c n +ω
一负 ,并有 v < c . 根据以上讨论可以得出结论 : S 始终与 E 、 H构 成右手螺旋关系 , 在左手介质中 , k 与 E 、 H 构成左 手螺旋关系 . S 是能流的方向 ,同时也是群速度的方 向 ; k 代表相速度的方向 , 若取 k 的方向为正 , 则 S 的方向相反 ,即负方向 . 这就是说 ,在左手介质中 ,群 速度为负群速度 ,能流的方向在负方向 ,即为负向能 流 . 对于负群速度可以形象地解释为 : 有一排汽车首 尾相接地匀速前进 ; 第一辆突然加速 ,之后又恢复原 速 ,这时第一辆和第二辆之间拉开了一个空隙 ; 紧接 着 ,第二辆突然加速 , 追上第一辆后也恢复原速 , 因 此那个空隙就移到了第二辆和第三辆之间 ; 依此类 推 ,空隙将以一定速度向后移动 ,这种移动并不携带
dω d c = k dk dk n
=
c dk d + k n dk dk
c n
= ( 21)
若 n < 0 , 则 ln n 不存在 , 所以无法推出瑞利公式 ( 20) . 从上面的讨论可以看出 , 而在左手介质中 , 由 于 n < 0 时 ,群速度方向与相速度方向相反 ,故群速 度和相速度不再满足瑞利关系 . 这一点也可由式
ω
k
Δ ω 传播 ,而是按由式 ( 17 ) 得到的 u = Δ 速度传播 , u k 就是群速度 . 极限情况下 ,应为
16
大 学 物 理
第 25 卷
u=
dω dk
( 19)
利用 ω = kv = k
u =
c ,得 n
描述相速度和群速度关系的瑞利公式为 δv u= v-λ δ λ
2. 3 讨论
k=
2 电磁波在左手介质中的传播速度
2. 1 相速度
在左手介质中 ,按照波动理论 ,波速的数值由下 [5 ] 列方程决定 :
E = A cos ω t r v
( 6)
( 12) ( 13) ( 14)
不难看出 ,这里 v 代表的是单色平面波以一定相位
r 向前移动的速度 ,由等相面方程 ω t v
( 8)
dr dt
ξ = 2 A cos
这个速度为相位速度 ,简称相速度 . 波的场量表达式总是 t 和 r 的函数 , 可以写成 下列形式 :
E = A cos (ωt - k r)
ω1 + ω2 k1 + k2 tr ・ 2 2 ω1 - ω2 k1 - k2 cos tr = 2 2 ωt - Δ k r) cos (ωt - k r) 2 A cos (Δ ωt - Δ k r) A 0 = 2 A cos (Δ ξ= A 0 cos (ωt - k r)
( 20)
dω d c = k dk dk n
k dn n dk
=
c dk d + k n dk dk
c n
= ( 27)
下面讨论瑞利公式为何不适用于左手介质 . 即 1) 当 n > 1 时
c 利用 ω = kv = k ,得 n u =
v 1 -
u= v 1-
k
dk
d ln n
( 28)
π π π 2 c 2 2 因为 k = λ , n = ,d k = d λ = - 2 dλ,所以 v λ π v d k dn 2 = n dk λ c dk
c v
dn < - 1) ,得到 u 的方向和 v 的方向为一正 dω
λ = v
1 dv λ dv ( 23) = 2 v dλ v dλ
H 和传播常数 k 满足右手螺旋关系 , 这类物质叫右
手介质 ( RHM , right2handed material ) , 又称同向介 质 ;而当 ε < 0 ,μ < 0 时 , E 、 H、 k 满足左手螺旋关 系 ,如图 1 ,这类介质称为左手介质 (L HM) . 表征电磁波功率流动的坡印亭矢量定义为
第 25 卷第 12 期 2006 年 12 月
大 学 物 理 COLL EGE PH YSICS
Vol. 25 No. 12 Dec. 2006
左手介质中电磁波的传播速度
张登玉 ,赵 晗 ,游开明 ,高 峰
( 衡阳师范学院 物理与电子科学信息系 ,湖南 衡阳 421008)
摘要 : 在同向介质中 ,电磁波的群速度一般是能量传播的方向 , 并且电磁波的相速度和群速度在大部分情况下都满足瑞 利关系 . 为了研究左手介质的电磁特性 ,本文从理论上导出了左手介质中电磁波的相速度 、 群速度及其关系 ,得出左手介质中 电磁波的群速度为负 ,并介绍了左手介质的一些应用前景 . 关键词 : 左手介质 ; 相速度 ; 群速度 ; 负向能流 中图分类号 :O 436. 1 文献标识码 :A 文章编号 :1000 20712 ( 2006) 12 2014 204
波叠加而成的 ,即可将任何波写成傅里叶级数或傅 里叶积分的形式 . 在无色散介质 ( 如真空 ) 中所有这 些组成波的单色平面波都以同一速度传播 , 那么该 波在传播过程中将永远保持形状不变 , 整个波也永 远以这一速度向前传播 . 但是除真空以外 ,任何介质 通常都具有色散的特征 ,也就是说 ,各个单色平面波 各以不同的相速传播 ,其大小随频率而变 ,所以由它 们叠加而成的波在传播过程中将不断改变其形状 . 在寻常介质中 , E ×H 给出平面波的传播方向 , 同时也是能流方向 . 而对于 μ 和ε同时为负数的左 手介质 , E ×H 的方向仍是能流方向 ,但波的传播方 向 ( 相速度的方向) 却反了过来 . 由于群速度是波包 振幅的传播速度 ,因此也是能量传播的速度 . ω, 假定两列波具有不同的角频率 : ω1 = ω + Δ ω2 = ω - Δ ω , 具有相同的振幅 A , 并沿相同方向传 播 ,则可表为 : ξ 1 = A cos (ω 1 t - k 1 r) ξ 2 = A cos (ω 2 t - k 2 r)
( 16) ( 17) ( 18)
( 9)
令 得
π ν和 k = 2 π λ 都是不随 t 和 r 而改变的 式中 ω = 2 Π 量 . 故等相面方程为 ωt - k r = 常量 ( 10) 由此得 ωd t - k d r = 0 ,或 ω dr λ ( 11) = v= =ν dt k
两波叠加后的合成波的包络不按波的相速度 v =
研工作 .
Δ
[ E ( r) , H ( r) ] = [ E0 e
- j k・ r
, H0 e
Байду номын сангаас
- j k・ r
]
( 2)
利用 Maxwell 方程可得 μH0 k × E0 = ω εE0 k × H0 = - ω 物质的本构关系为
D =εE B = εH
( 3)
( 4)
由式 ( 3) 可以看出 , 当 ε> 0 ,μ > 0 时 , 电场 E 、 磁场
2. 2 群速度
在左手介质中传播的高斯波或微波都可以看成 是由众多不同频率 、 不同振幅的单色正弦波或余弦
图1 左手介质中的 ( E , H , k) 与 ( E , H , S )
式 ( 5) 表明 E 、 H 和坡印亭矢量 S 的方向始终呈右 手螺旋关系 . 坡印亭矢量 S 指示的方向是能量传播的方向 , 而 k 的方向表示相速度的方向 . 因此 , 在左手介质 (ε< 0 ,μ < 0 ) 中能量传播方向 ( 也即群速度 v g 的方 向) 与相速度的方向是相反的 ,即波前是朝着波源方 ε 向传播的 . 取 k = - ω μ 为负数 ,则介质的折射率
1 左手介质
对于式 ( 1) 所示的平面波在介质中的传播可表 示为
[4 ]
基金项目 : 湖南省教育厅重点科研基金资助项目 (04A006) ; 湖南省教育厅科研基金资助项目 (03C095)
) ,男 ,湖南祁阳人 ,衡阳师范学院物理与电子科学信息系教授 , 博士 , 主要从事光学及量子信息等方面的教学和科 作者简介 : 张登玉 (1962 —
在经典电动力学中 , 介质的电磁性质可以用介 电常量 ε及磁导率μ 两个宏观参数来描述 , 它们决 定着电磁波在物质中的传播特性 . 长久以来 ,人们 对各类自然物质的 ε和μ 已作了详细的研究 , 对于 大多数各向同性的自然物质 ,ε和 μ 的实部均取正 值 ; 而有些自然物质 , 如金属和等离子体 , 对于频率 低于其等离子体频率的电磁波而言 , 其 ε表现为负 值 . 但迄今为止 ,在自然界中尚没有发现ε和μ 同时 为负值的物质 . 根据 Maxwell 方程组和介质的本构 关系 ,从理论上可推出正弦时变电磁场的波动方程 , [2 ] 即 Helmholtz 方程 : 2 2 ( 1) E+ k E=0 2 2 2 ε = ω μrμ0ε 其中 k = ω μ rε 0 . 对于 ε 和 μ 都为正 数的介质 ,方程 ( 1) 有波动解 ,电磁波能在其中传播 . 2 2 ε 如果两者中一个为正数而另一个为负数 , k = ω μ < 0 , k 无实数解 , 即方程 ( 1 ) 无波动解 , 电磁波不能 2 在其中传播 . 如果介质的 ε 和 μ 都 小 于 零 , k = 2 ωμ ε> 0 , k 有实数解 ,即方程 ( 1 ) 有波动解 ,但传播 规律与在常规介质中不同 . 这种介质的 E 、 H、 k三 者间不再满足右手螺旋关系 , 而是满足左手螺旋关 系 . 1968 年 ,前苏联科学家 Vesalago 首次指出 , 当 ε 和μ 同时为负数时 ,Maxwell 方程仍然成立 ,但电磁 波将逆着波矢方向传播 , 并可表现出一些奇异的电 磁特性 ,如逆多普勒效应 、 逆斯涅耳折射效应及逆 [3 ] Cerenkov 辐 射 效 应 等 . 1996 年 , 英 国 皇 家 学 院 John Pendry 指出可以用细金属导线阵列构造介电 常量 ε为负的人工介质 . 1999 年 , 有人指出可以用 谐振环阵列构造磁导率为负的人工介质 . 2001 年美
( 25) 看出 , 当 n < 0 时 , 仍旧有 ( 22) dn [6 ] < 0 .而 n +ω dω
即
c kc d n k dn - 2 = v- v n n dk n dk k dn n dk
u= v 1-
dn < 0 ( 现有的左手介质材料中 , n 都小于 - 1 ,所以 dω
n +ω
收稿日期 :2006 - 01 - 11 ; 修回日期 :2006 - 07 - 20
[1 ]
国加州大学圣迭戈分校的 David Smit h 等人在 《Sci2
ence》 杂志上发表文章 , 沿用 Pendry 的方法构造出
了介电常量与磁导率同时为负的人工介质 , 并通过 实验观察了微波频段的电磁波通过这种人工介质与 空气的交界面时发生的 “负折射” 现象 . Vesalago 最 初称此类介质为 “左手介质” , 中文文献中有人叫做 “异向介质” . 下面对左手介质及其中电磁波的相速 和群速作些分析 .
= 常量 ,
ω
v
有
r t= 常量 v
( 7)
这两列波相互叠加的合成波为 ξ= ξ 1 +ξ 2 = A cos (ω 1 t - k 1 r ) + A cos (ω 2 t - k 2 r)
( 15)
由此得到 d t -
1
v
d r = 0 ,或
v=
式中 k 1 = k +Δ k , k 2 = k - Δ k . 上式可改写为
S = E ×H
( 5)
第 12 期
张登玉等 : 左手介质中电磁波的传播速度
15
式 ( 11) 表示的相位速度乃是严格的单色波 (ω 有单 一的确定值) 所特有的一种速度 ,单色波以 t 和 r 的 余弦函数表达 ,ω 为常量 . 这种严格的单色波的空间 和时间延续都是无穷无尽的余弦 ( 或正弦 ) 波 , 但是 这种波仅是理想的极限情况 .
dn dω
代入式 ( 22) ,得
u= v-λ
dv dλ
( 24)
式 ( 24) 即为瑞利公式 . 2) 当 1 > n > 0 时 若介质是色散性质的 , 即 n = n (ω) , 则 k = ωn (ω) ,由式 ( 19) 可知
c u=
dω 1 1 = = dk dk d ωn dω dω c
v
=
c n +ω
一负 ,并有 v < c . 根据以上讨论可以得出结论 : S 始终与 E 、 H构 成右手螺旋关系 , 在左手介质中 , k 与 E 、 H 构成左 手螺旋关系 . S 是能流的方向 ,同时也是群速度的方 向 ; k 代表相速度的方向 , 若取 k 的方向为正 , 则 S 的方向相反 ,即负方向 . 这就是说 ,在左手介质中 ,群 速度为负群速度 ,能流的方向在负方向 ,即为负向能 流 . 对于负群速度可以形象地解释为 : 有一排汽车首 尾相接地匀速前进 ; 第一辆突然加速 ,之后又恢复原 速 ,这时第一辆和第二辆之间拉开了一个空隙 ; 紧接 着 ,第二辆突然加速 , 追上第一辆后也恢复原速 , 因 此那个空隙就移到了第二辆和第三辆之间 ; 依此类 推 ,空隙将以一定速度向后移动 ,这种移动并不携带
dω d c = k dk dk n
=
c dk d + k n dk dk
c n
= ( 21)
若 n < 0 , 则 ln n 不存在 , 所以无法推出瑞利公式 ( 20) . 从上面的讨论可以看出 , 而在左手介质中 , 由 于 n < 0 时 ,群速度方向与相速度方向相反 ,故群速 度和相速度不再满足瑞利关系 . 这一点也可由式
ω
k
Δ ω 传播 ,而是按由式 ( 17 ) 得到的 u = Δ 速度传播 , u k 就是群速度 . 极限情况下 ,应为
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大 学 物 理
第 25 卷
u=
dω dk
( 19)
利用 ω = kv = k
u =
c ,得 n
描述相速度和群速度关系的瑞利公式为 δv u= v-λ δ λ
2. 3 讨论
k=
2 电磁波在左手介质中的传播速度
2. 1 相速度
在左手介质中 ,按照波动理论 ,波速的数值由下 [5 ] 列方程决定 :
E = A cos ω t r v
( 6)
( 12) ( 13) ( 14)
不难看出 ,这里 v 代表的是单色平面波以一定相位
r 向前移动的速度 ,由等相面方程 ω t v
( 8)
dr dt
ξ = 2 A cos
这个速度为相位速度 ,简称相速度 . 波的场量表达式总是 t 和 r 的函数 , 可以写成 下列形式 :
E = A cos (ωt - k r)
ω1 + ω2 k1 + k2 tr ・ 2 2 ω1 - ω2 k1 - k2 cos tr = 2 2 ωt - Δ k r) cos (ωt - k r) 2 A cos (Δ ωt - Δ k r) A 0 = 2 A cos (Δ ξ= A 0 cos (ωt - k r)
( 20)
dω d c = k dk dk n
k dn n dk
=
c dk d + k n dk dk
c n
= ( 27)
下面讨论瑞利公式为何不适用于左手介质 . 即 1) 当 n > 1 时
c 利用 ω = kv = k ,得 n u =
v 1 -
u= v 1-
k
dk
d ln n
( 28)
π π π 2 c 2 2 因为 k = λ , n = ,d k = d λ = - 2 dλ,所以 v λ π v d k dn 2 = n dk λ c dk
c v
dn < - 1) ,得到 u 的方向和 v 的方向为一正 dω
λ = v
1 dv λ dv ( 23) = 2 v dλ v dλ
H 和传播常数 k 满足右手螺旋关系 , 这类物质叫右
手介质 ( RHM , right2handed material ) , 又称同向介 质 ;而当 ε < 0 ,μ < 0 时 , E 、 H、 k 满足左手螺旋关 系 ,如图 1 ,这类介质称为左手介质 (L HM) . 表征电磁波功率流动的坡印亭矢量定义为
第 25 卷第 12 期 2006 年 12 月
大 学 物 理 COLL EGE PH YSICS
Vol. 25 No. 12 Dec. 2006
左手介质中电磁波的传播速度
张登玉 ,赵 晗 ,游开明 ,高 峰
( 衡阳师范学院 物理与电子科学信息系 ,湖南 衡阳 421008)
摘要 : 在同向介质中 ,电磁波的群速度一般是能量传播的方向 , 并且电磁波的相速度和群速度在大部分情况下都满足瑞 利关系 . 为了研究左手介质的电磁特性 ,本文从理论上导出了左手介质中电磁波的相速度 、 群速度及其关系 ,得出左手介质中 电磁波的群速度为负 ,并介绍了左手介质的一些应用前景 . 关键词 : 左手介质 ; 相速度 ; 群速度 ; 负向能流 中图分类号 :O 436. 1 文献标识码 :A 文章编号 :1000 20712 ( 2006) 12 2014 204