精品课件-随机过程-第7章

第7章 非平稳随机过程
所谓高阶统计量，通常应理解为高阶矩、高阶累积量以及 它们的谱———高阶矩谱和高阶累积量谱这四种主要统计量。 一般来说 ，在信号处理等中利用高阶统计量和高阶谱具有以 下三个方面的原因:
(1 )在检测、参数估计和信号重建问题中抑制未知谱特 性的高斯噪声(双谱还能抑制具有对称概率密度函数的非高斯 噪声);
第7章 非平稳随机过程 (2 )双谱: n Nhomakorabea3 ，则
其中 cε3 X (τ 1 ， τ 2 )为 X 的三阶累积量函数。
第7章 非平稳随机过程 (3 )三谱: n =4 ，则
其中 Cε4 X ( τ 1 ， τ 2 ， τ 3 )为 X 的四阶累积量函 数。
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7.1.3 线性非正态过程 设线性时不变系统 L 的输入和输出分别为平稳过程 X =
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7.2 非平稳过程的 Wigner-Ville 时频谱分析
在通信、雷达和水声等应用中，传输介质和目标散射的作 用常作为随机时变空变的系统来处理，这时，即使被传输的信 号是确定性的，其接收信号或回波也是随机时变的，甚至是非 平稳的，通过对这种系统输出的 Wigner-Viller ( WV )谱分 析，可获得系统的时频分布的信息特征。因此，很有必要研究 线性随机时变系统的 WV 谱。
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与确定性连续信号的 WVD 定义相比，只是在上式中还需要取 数学期望。将( 7.2.2 )式代入(7.2.3 )式，得
可见随机时变连续信号和非平稳随机过程 X 的 WV 谱是 ( 7.2.2 )式对称型自相关函数R X ( t ， τ )关于 τ 的 Fourier 变换。
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数为
在上式中先以 n - ( m / 2 )代替 n ，并令 k = m / 2 ， 可得对称型自相关函数为
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与确定性离散信号的 WV 分布定义相似(关于确定性离散信号 的 WV 分布定义和性质可参阅参考文献[9 ])，随机时变离散 信号和非平稳随机序列的 WV 谱定义为
同样，它和确定性离散信号的 WVD 定义相比，只是在上式中 还需取数学期望。将( 7.2.6 )式对称型自相关函数代入 (7.2.7 )式 WV 谱，得它们的关系为
第7章 非平稳随机过程 性质 7.1.3 (可加性)如果 X ik ， i =1 ， 2 ，…，
m ， k =1 ， 2 ，…， n 为独立复随机变量，则
可加性是累积量的一个非常重要的性质，但这一性质对高 阶矩并不成立。
第7章 非平稳随机过程 性质 7.1.4 (盲高斯性)设( X 1 ， X 2 ，…， X n )为
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第二个原因是因为高阶谱保持了信号的真实相位特性。由 于二阶统计量一般是由最小二乘优化准则得到的，故对于信号 处理问题中的时间序列数据的处理几乎毫无例外地使用了二阶 统计量。然而，自相关域中相位信息受到抑制，在自相关域 (或功率谱域)中进行准确的相位重建仅对最小相位信号才能实 现。另一方面，由于多谱既保持了正确的振幅信息，也保持了 正确的非最小相位信息，因此可在高阶谱域内进行非最小相位 信号的重建或系统识别。
X i ， i =1 ， 2 ，…， n 为复随机变量，则
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7.1.2 多谱(累积量谱)
如果平稳过程 X = { X (t )， t ∈ T }的 n 阶累积量
函数 c
ε nX
(τ
1
，…，
τ
n
-1
)绝对可积，即
则 cεnX(τ 1 ，…， τ n -1 )的 n -1 维 Fourier 变换存在 且连续，称之为 X 的 n 阶谱或 n -1 谱，即
q }为 I 的一种分割( Partition )，求和符号
示对
I 所有可能的分割求和。
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利用( M－C )公式知，复严平稳过程 X ( t )的一、二、 三和四阶累积量(假设存在)分别为
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特别地，若 X (t )为实的严平稳过程，则在( 7.1.6 )式中 取 τ =0 得
这种 WV 谱也具有确定性离散信号 WVD 的很多性质。
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7.2.3 线性随机时变系统输出的 WV 谱 由上述研究可知，只要对线性非随机时变系统输出的
WVD 式中有关量取数学期望即得线性随机时变系统输出的 WV 谱。因此，若输入 x (t )是确定性信号，系统是线性随机时 变的，则输出 Y 的 WV 谱定义为
7.1 随机过程的高阶统计量的定义和性质
平稳过程的自相关函数和功率谱密度只含有信号的二阶统 计量中所包含的信息。因此，自相关函数和功率谱密度足以完 全地统计描述具有已知均值的平稳正态过程。但由于平稳过程 的自相关函数和功率谱密度不包含该平稳过程的相位信息，而 在实际应用中往往需要提取信号的相位信息。随机过程的高于 二阶的统计量及其 Fourier 变换———高阶谱则含有过程的 相位信息和由于偏离高斯性的有关信息。
WV 谱具有确定性连续信号 WVD 的很多性质，和其它谱 表示(如周期图等)比较， WV谱不要求过程的能量有限，也不 受分析时间的限制，因此，它特别适合随机时变和非平稳随机 过程的分析。
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7.2.2 随机时变离散信号和非平稳随机序列的 WV 谱 随机时变离散信号和非平稳随机序列 X (n )的自相关函
n 维复高斯随机变量，且 n >2 ，则
该性质是累积量的另一个重要性质，它对高阶矩也不成立。
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性质 7.1.5 如果复随机变量 X i (i =1 ， 2 ，…， n )的一个子集与其余的随机变量独立，则
这一性质对高阶矩也不成立。 性质 7.1.6 设 αi ， i =1 ， 2 ，…， n 为复常数，
每个随机变量都有共轭和非共轭两种选择，因此其 k 阶矩和 其 k 阶累积量有 2k种形式。为使之具有一般性，我们定义
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分别为 X 的 k 阶矩和 k 阶累积量，其中
而 ΦεX ( ω 1 ， ω 2 ，…， ω k ) = E { exp [ j ( ω 1 X( ε 0 ) (t ) + ω 2 X ( ε 1 ) (t + τ 1 ) + … + ω k X( ε k -1 ) (t + τ k -1 )]}为 k 维 随机向量( X ( ε 0 ) (t )， X( ε 1 ) (t + τ 1 )，…， X( ε k -1 ) (t + τ k -1 ))的 特征函数(也称为矩生成函数)，其对数 ln ΦεX ( ω 1 ， ω 2 ，…， ω k )通常称为 k 维随机向量( X( ε 0 ) (t )， X( ε 1 ) (t + τ 1 )，…，X( ε k -1 ) (t + τ k -1 )的第二特征函数(或
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最后，高阶谱对于我们识别在随机输入工作下系统的非线 性性是非常有用的，高阶谱在利用输出数据来检测和刻画系统 的非线性性中起着至关重要的作用。
本节简要介绍复随机过程的高阶统计量的定义及性质。
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7.1.1 矩与累积量 设 X = { X (t )， t ∈ T }为一复随机过程，由于其
第7章 非平稳随机过程 特别地，若 X 为非正态的独立过程，则其 n 阶累积量
谱为
从而输出过程 Y 的 n 阶累积量谱为
第7章 非平稳随机过程 可见， Y 的 n 阶累积量谱与 n -1 阶累积量谱具有关系
因此，除了一个常数因子外，可由非正态的线性过程的双谱得 到其功率谱，即
由于高阶谱能够保持相位信息，因此可将之用于非最小相 位系统的识别。
{ X (t )， t ∈ ( -∞ ， ∞ )}和 Y ={Y ( t )， t ∈ ( -∞ ， ∞ )}，且线性时不变系统 L 是稳定的，即其脉冲 响应函数绝对可积，若输入过程 X 的 n 阶累积量谱存在， 则输出过程 Y 的 n 阶累积量谱也存在且为
其中 H (ω )为线性时不变系统 L 的频率响应。
一般地，对 n >2 ， CεnX ( ω 1 ，…， ω n -1 )是复的，它 存在振幅和相位。
第7章 非平稳随机过程 累积量谱还是一个周期为 2π 的周期函数:
我们设功率谱、双谱和三谱为累积量的特例，具体说明如下: (1 )功率谱: n =2 ，则
其中 c2 X (τ )为 X 的协方差函数。
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7.2.1 随机时变连续信号和非平稳随机过程的 WV 谱 随机时变连续信号和非平稳随机过程 X 的自相关函数为
若用 t - (τ / 2 )代替上式中的 t ，可得其对称型的自相关 函数为(仍记为 R X ( t ， τ ))
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与确定性连续信号的 Wigner-Ville 分布( WVD )定义相似 (关于确定性连续信号的 WV 分布定义与性质，可参阅参考文 献[9 ])，随机时变连续信号和非平稳随机过程 X 的 WV 谱 定义为
(2 )重建信号或系统的相位与振幅响应; (3 )识别非线性系统或检测与刻画时间序列的非线性性。
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其中第一个原因的根据是只有正态过程的所有阶数大于 2 的高阶累积量恒为 0 。若接收到的是伴有加性正态噪声的非 正态信号，则在高阶累积量域中处理便可去掉噪声。可见，在 类似这样的信号处理应用中，在观测数据的高阶谱域中进行检 测与估计信号参数，便有某些优势。特别地，高阶谱域可以变 为高信噪比(SNR )域，因此在高阶谱域可以进行检测、参数 估计，甚至于整个信号的重建。
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第7章 非平稳随机过程
7.1 随机过程的高阶统计量的定义和性质 7.2 非平稳过程的 Wigner-Ville时频谱分析 7.3 循环平稳过程 7.4 二阶循环平稳过程的循环相关函数与循环谱 7.5 高阶循环平稳过程的循环累积量与循环谱 习题七