均值不等式高考题
高考备考 均值不等式和柯西不等式 含历年高考真题

1、(2008江苏)设a ,b ,c 为正实数,求证:333111abc+++abc ≥.2、(2010辽宁理数)已知c b a ,,均为正数,证明:36)111(2222≥+++++cbac b a ,并确定c b a ,,为何值时,等号成立。
3、(2012江苏理数)已知实数x ,y 满足:11|||2|36x y x y +<-<,,求证:5||18y <. 4、(2013新课标Ⅱ)设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.5、(2012福建)已知函数f (x )=m -|x -2|,m ∈R,且f (x +2)≥0的解集为[-1,1].(1)求m 的值; (2)若a ,b ,c ∈R,且1a + 12b + 13c =m ,求证:a + 2b +3c ≥96、(2011浙江)设正数z y x ,,满足122=++z y x . (1)求zx yz xy ++3的最大值; (2)证明:26125111113≥+++++xz yz xy 7. (2017全国新课标II 卷) 已知330,0,2a b a b >>+=。
证明: (1)55()()4a b a b ++≥; (2)2a b +≤。
8.(2017天津) 若,a b ∈R ,0ab >,则4441a b ab++的最小值为___________.9. 【2015高考新课标2,理24】设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+,证明:(Ⅰ)若ab cd >+>(Ⅱ)>是a b c d -<-的充要条件. 10. 【2015高考福建,理21】选修4-5:不等式选讲已知0,0,0a b c >>>,函数()||||f x x a x b c =++-+的最小值为4. (Ⅰ)求a b c ++的值; (Ⅱ)求2221149a b c ++的最小值.11.【2015高考陕西,理24】(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<.(I )求实数a ,b 的值;(II )求+的最大值. 【均值不等式】例题1:已知y x ,均为正数,且y x >,求证:3221222+≥+-+y yxy x x . 例题2:已知z y x ,,均为正数.求证:zy x xy z zx y yz x 111++≥++. 变式:设z y x ,,为正数,证明:()()()()y x z z x y z y x z y x +++++≥++2223332. 【柯西不等式】例题1:若正数c b a ,,满足1=++c b a ,求121121121+++++c b a 的最小值.变式:若21,32x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭<例题2:已知z y x ,,是正数.()1若1=+y x ,求y y x x +++2222的最小值; ()2若1222=+++++z zy y x x ,求证:1222222≥+++++zz y y x x . 变式1:设0,,>c b a ,1=++c b a ,求证:53222≥-+-+-c c b b a a . 变式2:已知正数y x ,满足xyz z y x =++,求zxyzxy211++的最大值.【能力提升】1、 设c b a ,,均为正实数,求证:ba c a cbc b a +++++≥++111212121.。
(完整版)均值不等式专题20道-带答案

(完整版)均值不等式专题20道-带答案均值不等式专题3学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________⼀、填空题1.若则的最⼩值是__________.2.若,且则的最⼤值为______________.3.已知,且,则的最⼩值为______.4.已知正数满⾜,则的最⼩值是_______.5.若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则+的最⼩值是______.6.设正实数满⾜,则的最⼩值为________7.已知,且,则的最⼩值是________8.已知正实数x,y满⾜,则的最⼩值是______9.已知,函数的值域为,则的最⼩值为________.10.已知,,且,则的最⼩值为__________.11.若正数x,y满⾜,则的最⼩值是______.12.已知正实数x,y满⾜,则的最⼩值为______.13.若,,,则的最⼩值为______.14.若,则的最⼩值为________.15.已知a,b都是正数,满⾜,则的最⼩值为______.16.已知,且,则的最⼩值为______.17.已知点在圆上运动,则的最⼩值为___________.18.若函数的单调递增区间为,则的最⼩值为____.19.已知正实数,满⾜,则的最⼤值为______.20.已知,,则的最⼩值为____.参考答案1.【解析】【分析】根据对数相等得到,利⽤基本不等式求解的最⼩值得到所求结果. 【详解】则,即由题意知,则,则当且仅当,即时取等号本题考查基本不等式求解和的最⼩值问题,关键是能够利⽤对数相等得到的关系,从⽽构造出符合基本不等式的形式. 2.【解析】【分析】先平⽅,再消元,最后利⽤基本不等式求最值.【详解】当时,,,所以最⼤值为1,当时,因为,当且仅当时取等号,所以,即最⼤值为,综上的最⼤值为【点睛】本题考查利⽤基本不等式求最值,考查基本分析求解能⼒,属中档题.3.4.【解析】【分析】直接利⽤代数式的恒等变换和利⽤均值不等式的应⽤求出结果.【详解】∵,∴,∴,当且仅当,时取等号,故答案为:4.【点睛】本题考查的知识要点:代数式的恒等变换,均值不等式的应⽤,主要考查学⽣的运算能⼒和转化能⼒,属于基础题型.4.【解析】【分析】由题得,所以,再根据基本不等式即可求出答案.【详解】正数,满⾜,则,则,当且仅当时,即,时取等号,故答案为:.【点睛】由题意可得经过圆⼼,可得,再+利⽤基本不等式求得它的最⼩值.【详解】圆,即,表⽰以为圆⼼、半径等于2的圆.再根据弦长为4,可得经过圆⼼,故有,求得,则,当且仅当时,取等号,故则的最⼩值为4,故答案为:4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系,基本不等式的应⽤,属于基础题.6.8【解析】【分析】根据基本不等式求最⼩值.【详解】令,则当且仅当时取等号.即的最⼩值为8.【点睛】在利⽤基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满⾜基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另⼀边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应⽤,否则会出现错误.7.【解析】【分析】根据基本不等式求最⼩值.【详解】因为,当且仅当时取等号,所以的最⼩值是【点睛】由已知分离,然后进⾏1的代换后利⽤基本不等式即可求解.【详解】正实数x,y满⾜,则当且仅当且即,时取得最⼩值是故答案为:【点睛】本题主要考查了利⽤基本不等式求解最值,解题的关键是进⾏分离后利⽤1的代换,在利⽤基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满⾜基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另⼀边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应⽤,否则会出现错误.9.【解析】【分析】由函数的值域为,可得,化为,利⽤基本不等式可得结果.【详解】的值域为,,,,,当,即是等号成⽴,所以的最⼩值为,故答案为.【点睛】本题主要考查⼆次函数的图象与性质,以及基本不等式的应⽤,属于中档题. 在利⽤基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满⾜基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另⼀边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应⽤,否则会出现错误.10.【解析】【分析】因为,所以,=(当且仅当,即,时取等号),所以的最⼩值为,故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利⽤基本不等式求最值,将所求式运⽤“1”的变换,化为积为常数的形式是关键,属于中档题. 11.【解析】【分析】利⽤乘“1”法,借助基本不等式即可求出.【详解】正数x,y满⾜,则,,当且仅当时取等号,故的最⼩值是12,故答案为:12【点睛】本题考查了基本不等式及其应⽤属基础题.12.2【解析】【分析】利⽤“1”的代换,求得最值,再对直接利⽤基本不等式求得最值,再结合题意求解即可【详解】正实数x,y满⾜,,,当且仅当,即,时,取等号,的最⼩值为2.故答案为:2.【点睛】本题考查基本不等式的应⽤,熟记不等式应⽤条件,多次运⽤基本不等式要注意“=”是否同时取到,是中档题【分析】由条件可得,即有,由基本不等式可得所求最⼩值.【详解】若,,,即,则,当且仅当取得最⼩值9,故答案为:9.【点睛】本题考查基本不等式的运⽤,注意运⽤“1”的代换,考查化简运算能⼒,属于基础题.【解析】【分析】由基本不等式,可得到,然后利⽤,可得到最⼩值,要注意等号取得的条件。
均值不等式的应用(习题+答案)

均值不等式应用一.均值不等式1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”)2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=”) (3)若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 4.若R b a ∈,,则2)2(222b a b a +≤+(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值例1:求下列函数的值域(1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1x解:(1)y =3x 2+12x2 ≥23x 2·12x2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞)(2)当x >0时,y =x +1x≥2x ·1x=2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1x )≤-2x ·1x=-2∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值。
高考考前复习均值不等式典型题汇编

高考考前复习均值不等式典型题汇编【典型例题】例1、若x 、y +∈R ,求4()f x x x=+)10(≤<x 的最小值。
例2、已知正数x 、y 满足811x y+=,求2x y +的最小值。
例3、已知正数x y 、满足3xy x y =++,试求xy 、x y +的范围。
例4、 求函数221632y x x =++的最小值.例5、已知0,0x y >>,且满足3212x y +=,求lg lg x y +的最大值.例6、 已知1x >-,求函数()()521x x y x ++=+的最小值.例7、 已知102x <<,求函数2(1)(12)x y x x +=-的最小值. 例8、已知0,0x y >>且22283y x +=求.例9、求函数25y x =+的最大值.【高考题汇编】例1、(重庆理,2005)若x ,y 是正数,则22)21()21(xy y x +++的最小值是【 】 A .3 B .27 C .4 D .29例2、(天津文,2009) 设yx b a b a b a R y x yx11,32,3,1,1,,+=+==>>∈则若的最大值为【 】A. 2B.23 C. 1 D. 21 例3.(福建文,2011)若0,0>>b a ,且函数224)(23+--=bx ax x x f 在1=x 处有极值,则ab 的最大值等于【 】A.2 B .3 C .6 D .9例4、(重庆文,2011)若函数)2(21)(>-+=x x x x f 在x a =处取最小值,则a =【 】 A.21+ B .31+ C .3 D .4例5、已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值.例6、函数1(3)3x x x +>-的最小值为【 】 A. 2B. 3C. 4D. 5例7、函数232(0)x x x+>的最小值为【 】A. B. 例8、(天津文,2011)已知22log log 1a b +≥,则39ab+的最小值为__________.例9、(重庆文,2009)已知0,0a b >>,则11a b++ 】A.2 B ..4 D .5 例10、(四川理,2009)设0a b c >>>,则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是【 】A.2B.4C.5 例11、(重庆文,2005)若y x y x -=+则,422的最大值是 .例12、(福建理,2005)设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是【 】A .22-B .335-C .3-D .27-例13、设,x y 是实数,且224,x y +=则22xyS x y =+-的最小值是【 】A.2-B.C. 2-1)例14、已知实数,,0a b c >满足9,24,a b c ab bc ca ++=++=,则b 的取值范围为例15、(重庆理,2011)已知2,0,0=+>>b a b a ,则14y a b=+的最小值是【 】 A.72 B .4 C .92D .5例16、(天津理,2009)设0,0.a b >>1133aba b+与的等比中项,则的最小值为 【 】A. 8B. 4C. 1D.14例17、已知,,a b c 都是正实数,且满足93log (9)log a b +=4a b c +≥恒成立的c 的取值范围是【 】A.4[,2)3B. [0,22)C. [2,23)D. (0,25]例18、(重庆文,2010)0t >已知,则函数241t t y t-+=的最小值为__________.例19、(湖北文,2004)已知4254)(,252-+-=≥x x x x f x 则有【 】A .最大值45 B .最小值45C .最大值1D .最小值1 例20、(浙江理,2011)设,x y 为实数,若2241,x y xy ++=则2x y +的最大值是 .例21、(重庆文,2004)已知()2320,0x y x y+=>>,则xy 的最小值是 . 例22、(重庆理,2007)若a 是12b +与12b -的等比中项,则22aba b+的最大值为【 】A.15 B .4 C .5 D .2例22、(重庆文,2006)若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=,则a b c ++的最小值是【 】A. B. 3 C. 2例23、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则222a b c ++最小值为【 】A.12 B. 13 C. 14D. 15 例24、若,,1a b R a b +∈+=,则1ab ab+的最小值为【 】 A. 144 B. 142 C. 124D. 2 例25、已知1a b +=,则44a b +的最小值是【 】A. 1B.12 C. 14D. 18例26、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则222111a b c ++最小值为【 】 A. 12 B. 18 C. 24 D. 27例27、(全国1,2004),2,2,1222222=+=+=+a c c b b a 则ca bc ab ++的最小值【 】12 B .12 C .12- D .12+例28、(湖南理,2004)设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立....的是【 】 A .()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭B .2332ab b a ≥+C .b a b a 22222+≥++ D .b a b a -≥-||例29、(陕西理,2006)已知不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立,则正实数a 的最小值为【 】A. 8B. 6C. 4D. 2例30、(全国1理,2008)若直线1x ya b+=通过点()cos sin M αα,,则【 】 A .221a b +≤B .221a b +≥ C .22111a b +≤ D .22111a b+≥例31、已知0,0>>b a 且1=+b a ,求证:425)1)(1(≥++b b a a . 例32、若+∈R b a ,且1=+b a ,求证:22121≤+++b a。
均值不等式的应用(习题+答案)

均值不等式的应用(习题+答案)均值不等式应用一.均值不等式1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”)2. (1)若*,R b a ∈,则abba ≥+2(2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=”) (3)若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”)3.若0x >,则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”)若0x ≠,则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+abb a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 4.若R b a ∈,,则2)2(222b a b a +≤+(当且仅当b a =时取“=”)注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.(2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域(1)y =3x 2+12x2 (2)y =x +1x解:(1)y =3x 2+12x2 ≥23x 2·12x2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞)(2)当x >0时,y =x +1x≥2x ·1x=2;当x <0时, y =x +1x = -(- x -1x)≤-2x ·1x=-2∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)解题技巧: 技巧一:凑项例1:已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式练习题及答案解析

均值不等式练习题及答案解析一.均值不等式1.若a,b?R,则a2?b2?2ab 若a,b?R,则ab2. 若a,b?R*,则a?b2?*?a?b222a?b时取“=”)ab 若a,b?R,则a?b?22aba?b?若a,b?R,则ab??) ?? ?2a?b2注:当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.求最值的条件“一正,二定,三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.应用一:求最值例1:求下列函数的值域y=3x解:y=3x+11y=x+xx13x =∴值域为[,+∞)2x1x· =2; x1x· =-2x1≥22x1当x>0时,y=x+≥x11当x<0时, y=x+= -≤-2xx∴值域为解题技巧:技巧一:凑项例1:已知x?54,求函数y?4x?2?14x?5的最大值。
1解:因4x?5?0,所以首先要“调整”符号,又?x?54,?5?4x?0,?y?4x?2?14x?5不是常数,所以对4x?2要进行拆、凑项,???2?3?1 ??3?1????5?4x?4x?55?4x?当且仅当5?4x?15?4x,即x?1时,上式等号成立,故当x?1时,ymax?1。
评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。
技巧二:凑系数例1. 当时,求y?x的最大值。
解析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。
注意到2x??8为定值,故只需将y?x凑上一个系数即可。
当,即x=2时取等号当x=2时,y?x的最大值为8。
32评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。
变式:设0?x?,求函数y?4x的最大值。
322x?3?2x?9解:∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x?2?2x?2????222??当且仅当2x?3?2x,即x?3?3???0,?时等号成立。
高考数学均值不等式专题含答案家教文理通用

高考:均值不等式专题◆知识梳理1.常见基本不等式2,0,a R a ∈≥0a ≥222()22a b a b ++≥, 222a b c ab bc ac ++≥++ 若a>b>0,m>0,则b b m a a m +<+; 若a,b 同号且a>b 则11a b<。
ab b a R b a 2,,22≥+∈则;.2,,22ab b a R b a -≥+∈2.均值不等式:两个正数的均值不等式:ab b a ≥+2 变形ab b a 2≥+,22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,ab b a 222≥+等。
3.最值定理:设,0,x y x y >+≥由(1)如果x,y 是正数,且积(xy P =是定值),则 时,x y +和有最小值(2)如果x,y 是正数和(x y S +=是定值),则 时,22Sxy 积有最大值()4.利用均值不等式可以证明不等式,求最值、取值范围,比较大小等。
注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”;② 熟悉一个重要的不等式链:ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
◆课前热身1. 已知,x y R +∈,且41x y +=,则x y ⋅的最大值为 . 2. 2. 若0,0x y >>1x y +=,则41x y+的最小值为 . 3. 已知:0>>x y ,且1=xy ,则22x y x y+-的最小值是 .4. 4. 已知下列四个结论①当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且;②02x >≥当时;③x x x 1,2+≥时当的最小值为2;④当xx x 1,20-≤<时无最大值. 则其中正确的个数为◆考点剖析 一、基础题型。
1.直接利用均值不等式求解最值。
例1:(2010年高考山东文科卷第14题)已知,x y R +∈,且满足134x y+=,则xy 的最大值为 。
(完整版)均值不等式高考一轮复习(教师总结含历年高考真题)

基础篇一、单变量部分1、 求)0(1>+=x xx y 最小值及对应的x 值答案当x=1最小值2 2、 2、(添负号)求)0(1<+=x xx y 最大值-23、(添系数)求)31,0()31(∈-=x x x y 最大值1214、(添项)求)2(24>-+=x x x y 最小值65、(添根号)02>≥x 求24x x y -=最大值26、(取倒数或除分子)求)0(12>+=x x x y 最大值217、(换元法)求)1(132>-+=x xxx y 最大值-9 8、(换元法)求)2(522->++=x x x y 最大值42二、多变量部分1、(凑系数或消元法)已知041>>a ,b>0且4a+b=1求ab 最大值161 2、(乘“1”法或拆“1”法)已知x>0,y>0,x+y=1求yx 94+最小值25 3、(放缩法)已知正数a ,b 满足ab=a+b+3则求ab 范围),9[+∞ 三、均值+解不等式1. 若正数a,b 满足ab=a+2b+6则ab 的取值范围是______),18[+∞_________2、已知x>0,y>0, x+2y+2xy=8则x+2y 的最小值__________4__________ 练习1. 已知x>0,y>0,且182=+yx 则xy 的最小值_______64_______ 2.)0(1324>++=k kk y 最小值_________2_________ 3. 设0≥a ,0≥b ,1222=+b a ,则21b a +的最大值为_________423_________4. 已知45<x ,求函数54124-+-=x x y 的最大值________1________ 5. 已知x>0,y>0且191=+yx 求x+y 的最小值______16__________ 6. 已知)0,0(232>>=+y x yx 则xy 的最小值是___6_____ 7. 已知a>0,b>0,a+b=2,则b a y 41+=的最小值______29________ 8. 已知+∈R y x ,且满足143=+yx 则xy 的最大值________3_______11、已知x>0,y>0,z>0,x-y+2z=0,则2y xz=_____________D_______ A 、最小值8 B 、最大值8C 、最小值81D 、最大值81注:消y12、设R y x ∈,则)41(12222y xy x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+的最小值是_______9_________ 13、若R b a ∈,,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是(D )A 、ab b a 222>+ B 、ab b a 2≥+C 、abb a 211>+ D 、2≥+b a a b 14、若a,b,c,d,x,y 是正实数,且cd ab +=P ,ydx b cy ax Q +⋅+=则有(C )A 、P=QB 、Q P ≥C 、Q P ≤D 、P>Q15、已知25≥x 则4254)(2-+-=x x x x f 有(D )A 、有最大值45 B 、有最小值45 C 、最大值1 D 、最小值116、建造一个容积为83m ,深为2m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元,那么水池的最低总造价为1760元 17、函数y=x(3-2x))10(≤≤x 的最大值为89 18、函数1)(+=x xx f 的最大值是(C )A 、52B 、21C 、22D 、119、已知正数x,y 满足141=+yx 则xy 有(C )A 、最小值161B 、最大值16C 、最小值16D 、最大值16120、若-4<x<1,则当22222-+-x x x 取最大值时,x 的值为(A )A 、-3B 、-2C 、-1D 、021、若122=+yx ,则x+y 的取值范围是(D ) A 、[0,2] B 、[-2,0] C 、),2[+∞- D 、]2,(--∞22、某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(300≤<t )的关系大致满足1610)(2++=t t t f 则该商场前t 天月饼的平均销售量最少为18 23、已知点P (x,y )在直线x+3y-2=0上,那么代数式yx273+的最小值是6提高篇一、函数与均值 1、)2(21>-+=a a a m ,)0(2122<⎪⎭⎫ ⎝⎛=-x n x 则m,n 之间关系_____m ≥n______________2、 设x ≥0,x x P -+=22,2)cos (sin x x Q +=则( C ) A 、Q P ≥ B 、Q P ≤ C 、P>Q D 、P<Q3、已知函数()x a x f 21+-=若()02≥+x x f 在()+∞,0上恒成立,则a 的取值范围是__),41[)0,(+∞⋃-∞_4、若对任意x>0,a x x x≤++132恒成立,则a 的取值范围是_______51≥a ____________5、函数xxxy 2log 2log +=的值域_______),3[]1,(+∞⋃--∞___________ 6、设a,b,c 都是正实数,且a,b 满足191=+ba 则使cb a ≥+恒成立的c 的取值范围是_D__A 、]8,0(B 、(0,10] C(0,12] D 、(0,16] 7、已知函数())1,0(log 1)1(≠>+=-a a ax f x 的图象恒过定点P ,又点P的坐标满足方程mx+ny=1,则mn 的最大值为_________81_____________ 8、已知函数()()),0(22+∞∈++=x xax x x f⑴当21=a 时,求f(x)的最小值答案:22+⑵若对任意),0(+∞∈x ,f(x)>6恒成立,求正实数a 的取值范围___a>4__ 9、0)1(42>-++x k x 对]3,1[∈x 恒成立,求k 的范围 10、若a+b=2则ba33+的最小值为______6___________11、设x,y,z 均为大于1的实数,且z 为x 和y 的等比中项,则yzx z lg lg lg 4lg +的最小值为A A 、89 B 、49 C 、29D 、9 12、已知a>1,b>1,且lga+lgb=6,则b a lg lg ⋅的最大值为(B )A 、6B 、9C 、12D 、1813、R y x ∈,且x+y=5,则yx33+的最小值为(D ) A 、10 B 、36 C 、64 D 、31814、设a>0,b>0,若3是a 3与b3的等比中项,则ba 11+的最小值为(B ) A 、8 B 、4 C 、1 D 、4115、函数)1,0(1≠>=-a a ay x的图象恒过点A ,若点A 在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,则nm 11+的最小值为4 16、当x>1时,不等式a x x ≥-+11恒成立,则实数a 的取值范围是(D )A 、]2,(-∞B 、),2[+∞C 、),3[+∞D 、]3,(-∞17、函数)1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点A ,若点A 在直线mx+ny+2=0上,其中m>0,n>0,则nm 12+的最小值为(D ) A 、22 B 、4 C 、25 D 、29二、数列与均值1、已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,则cdba2)(+的最小值是__4_2、已知等比数列{a n}中a2=1,则其前3项的和S3的取值范围是。
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均值不等式高考题文档编制序号:[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]应用一、求最值直接求例1、若x ,y 是正数,则22)21()21(x y y x +++的最小值是【 】 A .3 B .27 C .4 D .29例2、设yx b a b a b a R y x yx 11,32,3,1,1,,+=+==>>∈则若的最大值为【 】A. 2B. 23C. 1D. 21练习1.若0x >,则2x x+的最小值为 .练习2.设,x y 为正数, 则14()()x y x y++的最小值为【 】A.6B. 9C. 12D. 15练习3.若0,0>>b a ,且函数224)(23+--=bx ax x x f 在1=x 处有极值,则ab 的最大值等于【 】A.2 B .3 C .6 D .9练习4.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x 吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x = 吨. 练习5.求下列函数的值域:(1)22213x x y += (2)xx y 1+=练习6.已知0x >,0y >,x a b y ,,,成等差数列,x c d y ,,,成等比数列,则2()a b cd+的最小值是【 】A.0B.4C.2D.1例3、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则111(1)(1)(1)a b c---最小值为【 】A. 5B. 6C. 7D. 8凑系数例4、若x y ∈+R ,,且14=+y x ,则x y ⋅的最大值是 .练习1.已知,x y R +∈,且满足134x y+=,则xy 的最大值为 . 练习2. 当40<<x 时,求(82)y x x =-的最大值. 凑项例5、若函数)2(21)(>-+=x x x x f 在x a =处取最小值,则a =【 】 A.21+ B .31+ C .3 D .4练习1.已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值.练习2.函数1(3)3x x x +>-的最小值为【 】 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5练习3.函数232(0)x x x +>的最小值为【 】B.例6、已知22log log 1a b +≥,则39ab+的最小值为__________.例7、已知0,0a b >>,则11b++ 】A.2 B ..4 D .5例8、设0a b c >>>,则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是【 】A.2B.4C.5练习1.设0a b >>,则()211a ab a a b ++-的最小值是【 】 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4练习2.设0a b >>,则21()a b a b +-的最小值是【 】 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5练习3.设0a b ≥>,则1(2)a b a b +-的最小值是【 】A. C. 练习4.设20a b >>,则29()(2)a b b a b -+-的最小值是 .换元例9、若y x y x -=+则,422的最大值是 .练习1.设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是【 】A .22-B .335-C .3-D .27-例10、设,x y 是实数,且224,x y +=则22xy S x y =+-的最小值是【 】A.2-B.C. 2-1) 练习1.若221,x y +=1xyx y +-则最大值是练习2.若01,01,a x y <<<≤<且(log )(log )1a a x y =则xy 【 】 A.无最大值也无最小值 B.无最大值但有最小值 C.有最大值但无最小值 D.有最大值也有最小值 消元例11、设,,x y z 为正实数,满足230x y z -+=,则2y xz的最小值是 .练习1。
已知实数,,0a b c >满足9,24,a b c ab bc ca ++=++=,则b 的取值范围为两次用例12、已知正数,,x y z 满足2221,x y z ++=则12zS xyz+=的最小值是【 】A. 3 C. 4 D. 1) 练习1。
已知正数,,x y z 满足2221,x y z ++=则212S xyz=的最小值是【 】A. 3B.92C. 4D. 练习2.已知,,x y z 均为正数,则222xy yzx y z+++的最大值是【 】A.2 D.练习3.已知实数,,x y z 满足2221,x y z ++=yz +的最大值是整体代换例13、已知2,0,0=+>>b a b a ,则14y a b=+的最小值是【 】 A.72 B .4 C .92D .5 例14、函数1(01)xy a a a -=>≠,的图象恒过定点A ,若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上,则11m n+的最小值为 .例15、设0,0.a b >>1133a ba b+与的等比中项,则的最小值为A. 8B. 4C. 1D. 14例16、已知,,a b c 都是正实数,且满足93log (9)log a b +=4a b c +≥恒成立的c 的取值范围是A.4[,2)3B. [0,22)C. [2,23)D. (0,25]练习1.函数log (3)1a y x =+-(01)a a >≠且,的图象恒过定点A ,若点A 在直线10mx ny ++=上,其中0mn >,则12m n+的最小值为__________. 练习2.若+∈R y x ,,且12=+y x ,则yx 11+的最小值为 .练习3.已知0,0x y >>,且191x y+=,求x y +的最小值.练习4.若+∈R y x ,且12=+y x ,求yx11+的最小值.练习5.已知+∈R y x b a ,,,且1=+yb x a ,求y x +的最小值.练习6.已知212121,1,1000,x x x x >>=则1213lg lg x x +的最小值等于【 】 A. 4练习7.若01,,x a b <<为常数,则221a b x x+-的最小值是 练习8.已知11ma b c a b b c a c>>+≥---且恒成立,则m 的取值范围是 练习9.,(0,),31,a b a b ∈+∞+=最小值为 分离法【分式】例17、0t >已知,则函数241t t y t-+=的最小值为__________.例18、已知4254)(,252-+-=≥x x x x f x 则有【 】A .最大值45B .最小值45C .最大值1D .最小值1练习1.求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 练习2.若1x >,则函数21161xy x x x =+++的最小值为 .放缩法—— 解不等式例19、设,x y 为实数,若2241,x y xy ++=则2x y +的最大值 是 .例20已知()2320,0x y x y+=>>,则xy 的最小值是 . 例21、若a 是12b +与12b -的等比中项,则22aba b+的最大值为【 】A.15B.4 C.5 D.2 练习1.若实数,x y 满足221x y xy ++=,则x y +的最大值是__________.练习2.若正实数,X Y 满足26,X Y XY ++= 则XY 的最小值是 练习3.已知0,0,228x y x y xy >>++=,则2x y +的最小值是【 】A.3B.4C.92D.112练习4.已知1)(,0,0=+->>b a ab b a ,求b a +的最小值.练习5:已知532(0,0)x y x y+=>>恒成立,则xy 的最小值是 .练习6.若直角三角形周长为1,求它的面积最大值.练习7.若实数,x y 满足114422x y x y +++=+则22x y t =+的取值范围是 取平方例22、若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=,则a b c ++的最小值是【 】A. B. 3 C. 2练习1.若,,0a b c >且()4a a b c bc +++=-则2a b c ++的最小值为【 】11 C. 2 D. 2 练习2.已知y x ,为正实数,1023=+y x ,求函数y x W 23+=的最值. 取平方+解不等式例23、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则222a b c ++最小值为【 】 A.12 B. 13 C. 14D. 15 结合单调性——与函数例24、若,,1a b R a b +∈+=,则1ab ab+的最小值为【 】 A. 144 B. 142 C. 124D. 2练习1.求函数2y =的值域.练习2.求下列函数的最小值,并求取得最小值时x 的值.(1)231,(0)x x y x x ++=> (2)12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x xπ=+∈练习3.已知01x <<,求函数y .练习4.203x <<,求函数y . 练习5.设+∈R b a ,且2242,12b a ab S b a --==+的最大值是【 】A.12-B.212- C.12+ D.212+ 例25、已知1a b +=,则44a b +的最小值是【 】A. 1B. 12C. 14D. 18练习1.若实数,,222,2222,a b a b a b c a b ca b c c ++++=++=满足则的最大值是的最大值为 .练习1.已知22,,1,2b a b R a +∈+=,则的最大值是【 】A. 1B.122例27、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则222111a b c ++最小值为【 】 A. 12 B. 18 C. 24 D. 27 直接取值【讨论】例28、,2,2,1222222=+=+=+a c c b b a 则ca bc ab ++的最小值【 】12B .12- C .12-D .12+应用二、恒成立问题例1、若,a b R ∈,且0ab >,则下列不等式中,恒成立的是【 】A .222a b ab +> B .a b +≥C .11a b +>.2b a a b +≥例2、设,,a b c 是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立....的是【 】A .||||||c b c a b a -+-≤-B .aa a a 1122+≥+ C .21||≥-+-ba b a D .a a a a -+≤+-+213 例3、设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立....的是【 】A .()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭ B .2332ab b a ≥+ C .b a b a 22222+≥++ D .b a b a -≥-||例4、已知不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立,则正实数a的最小值为【 】A. 8B. 6C. 4D. 2例5、若直线1x ya b+=通过点()cos sin M αα,,则【 】 A .221a b +≤ B .221a b +≥ C .22111a b+≤D .22111a b+≥ 练习1.设+∈R b a ,,则下列不等式中不成立的是【 】A.4)11)((≥++b a b aB.ab ab b a 222≥+C.21≥+abab D.ab b a ab ≤+2 练习2.已知下列不等式:①)(233+∈>+R x x x ;②),(322355+∈+≥+R b a b a b a b a ;③)1(222--≥+b a b a . 其中正确的个数是【 】A.0个B.1个C.2个D.3个 练习3.已知0,0x y >>且191x y+=,求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围. 练习4.若+∈R y x a ,,,且y x a y x +≤+恒成立,则a 的最小值是【 】A.22B.2C.2D.1练习5.已知,a b R +∈,则使不等式333()()a b k a b +≤+成立的最小k 的值是【 】 A.1B. 2C. 3D. 4练习6.是否存在常数c ,使得不等式yx yy x x c y x y y x x +++≤≤+++2222对任意正数y x ,恒成立,试证明你的结论.应用三、证明不等式例1、已知0,0>>b a 且1=+b a ,求证:425)1)(1(≥++b b a a . 例2、若+∈R b a ,且1=+b a ,求证:22121≤+++b a .例3、已知z y x ,,是互不相等的正数且1=++z y x ,求证:8)11)(11)(11(>---z y x .练习1.在某两个正数y x ,之间插入一个数a ,使y a x ,,成等差数列;若插入两个数c b ,,使y c b x ,,,成等比数列,求证:)1)(1()1(2++≥+c b a .练习2.证明:对于任意实数,,y x 有244)(21y x xy y x +≥+.应用四、比较大小 例1、若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=>>,则R Q P ,,的大小关系是 .例2、若b a b a ≠<<<<且,10,10,则ab b a ab b a 2,,2,22++中最大的是 .练习1.若12120,0a a b b <<<<,且12121a a b b +=+=,则下列代数式中值最大的是【 】 A. 1122a b a b + B. 1212a a b b + C. 1221a b a b + D.21。