均值不等式高考题
高考备考 均值不等式和柯西不等式 含历年高考真题
1、(2008江苏)设a ，b ，c 为正实数，求证：333111abc+++abc ≥．2、（2010辽宁理数）已知c b a ,,均为正数，证明：36)111(2222≥+++++cbac b a ，并确定c b a ,,为何值时，等号成立。
3、（2012江苏理数）已知实数x ，y 满足：11|||2|36x y x y +<-<，，求证：5||18y <． 4、（2013新课标Ⅱ）设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.5、（2012福建）已知函数f (x )=m -|x -2|,m ∈R,且f (x +2)≥0的解集为[-1,1].(1)求m 的值; (2)若a ,b ,c ∈R,且1a + 12b + 13c =m ,求证:a + 2b +3c ≥96、（2011浙江）设正数z y x ,,满足122=++z y x . (1)求zx yz xy ++3的最大值； （2）证明：26125111113≥+++++xz yz xy 7. (2017全国新课标II 卷) 已知330,0,2a b a b >>+=。
证明： （1）55()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤。
8.(2017天津) 若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.9. 【2015高考新课标2，理24】设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：（Ⅰ）若ab cd >+>（Ⅱ）>是a b c d -<-的充要条件． 10. 【2015高考福建，理21】选修4-5：不等式选讲已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c =++-+的最小值为4． (Ⅰ)求a b c ++的值； (Ⅱ)求2221149a b c ++的最小值．11.【2015高考陕西，理24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<．（I ）求实数a ，b 的值；（II ）求+的最大值． 【均值不等式】例题1：已知y x ,均为正数，且y x >，求证：3221222+≥+-+y yxy x x ． 例题2：已知z y x ,,均为正数．求证：zy x xy z zx y yz x 111++≥++． 变式：设z y x ,,为正数，证明：()()()()y x z z x y z y x z y x +++++≥++2223332． 【柯西不等式】例题1：若正数c b a ,,满足1=++c b a ，求121121121+++++c b a 的最小值．变式：若21,32x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭<例题2：已知z y x ,,是正数．()1若1=+y x ，求y y x x +++2222的最小值； ()2若1222=+++++z zy y x x ，求证：1222222≥+++++zz y y x x ． 变式1：设0,,>c b a ，1=++c b a ，求证：53222≥-+-+-c c b b a a ． 变式2：已知正数y x ,满足xyz z y x =++，求zxyzxy211++的最大值．【能力提升】1、 设c b a ,,均为正实数，求证：ba c a cbc b a +++++≥++111212121．。
（完整版）均值不等式专题20道-带答案
（完整版）均值不等式专题20道-带答案均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________⼀、填空题1．若则的最⼩值是__________．2．若,且则的最⼤值为______________.3．已知，且，则的最⼩值为______．4．已知正数满⾜，则的最⼩值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最⼩值是______．6．设正实数满⾜，则的最⼩值为________7．已知，且，则的最⼩值是________8．已知正实数x，y满⾜，则的最⼩值是______9．已知，函数的值域为，则的最⼩值为________．10．已知，，且，则的最⼩值为__________．11．若正数x，y满⾜，则的最⼩值是______．12．已知正实数x，y满⾜，则的最⼩值为______．13．若，，，则的最⼩值为______．14．若，则的最⼩值为________.15．已知a，b都是正数，满⾜，则的最⼩值为______．16．已知，且，则的最⼩值为______．17．已知点在圆上运动，则的最⼩值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最⼩值为____．19．已知正实数，满⾜，则的最⼤值为______.20．已知，，则的最⼩值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利⽤基本不等式求解的最⼩值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题考查基本不等式求解和的最⼩值问题，关键是能够利⽤对数相等得到的关系，从⽽构造出符合基本不等式的形式. 2．【解析】【分析】先平⽅，再消元，最后利⽤基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最⼤值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最⼤值为，综上的最⼤值为【点睛】本题考查利⽤基本不等式求最值，考查基本分析求解能⼒，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利⽤代数式的恒等变换和利⽤均值不等式的应⽤求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应⽤，主要考查学⽣的运算能⼒和转化能⼒，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满⾜，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】由题意可得经过圆⼼，可得，再+利⽤基本不等式求得它的最⼩值．【详解】圆，即，表⽰以为圆⼼、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆⼼，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最⼩值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应⽤，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最⼩值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最⼩值为8.【点睛】在利⽤基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满⾜基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另⼀边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应⽤，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最⼩值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最⼩值是【点睛】由已知分离，然后进⾏1的代换后利⽤基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满⾜，则当且仅当且即，时取得最⼩值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利⽤基本不等式求解最值，解题的关键是进⾏分离后利⽤1的代换，在利⽤基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满⾜基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另⼀边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应⽤，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利⽤基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成⽴，所以的最⼩值为，故答案为.【点睛】本题主要考查⼆次函数的图象与性质，以及基本不等式的应⽤，属于中档题. 在利⽤基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满⾜基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另⼀边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应⽤，否则会出现错误.10．【解析】【分析】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最⼩值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利⽤基本不等式求最值,将所求式运⽤“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题. 11．【解析】【分析】利⽤乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满⾜，则，，当且仅当时取等号，故的最⼩值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应⽤属基础题．12．2【解析】【分析】利⽤“1”的代换，求得最值，再对直接利⽤基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满⾜，，，当且仅当，即，时，取等号，的最⼩值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应⽤，熟记不等式应⽤条件，多次运⽤基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最⼩值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最⼩值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运⽤，注意运⽤“1”的代换，考查化简运算能⼒，属于基础题．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利⽤，可得到最⼩值，要注意等号取得的条件。
均值不等式的应用(习题+答案)
均值不等式应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
高考考前复习均值不等式典型题汇编
高考考前复习均值不等式典型题汇编【典型例题】例1、若x 、y +∈R ，求4()f x x x=+)10(≤<x 的最小值。
例2、已知正数x 、y 满足811x y+=，求2x y +的最小值。
例3、已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围。
例4、 求函数221632y x x =++的最小值.例5、已知0,0x y >>，且满足3212x y +=，求lg lg x y +的最大值.例6、 已知1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值.例7、 已知102x <<，求函数2(1)(12)x y x x +=-的最小值. 例8、已知0,0x y >>且22283y x +=求.例9、求函数25y x =+的最大值.【高考题汇编】例1、（重庆理，2005）若x ，y 是正数，则22)21()21(xy y x +++的最小值是【 】 A ．3 B ．27 C ．4 D ．29例2、（天津文，2009） 设yx b a b a b a R y x yx11,32,3,1,1,,+=+==>>∈则若的最大值为【 】A. 2B.23 C. 1 D. 21 例3.（福建文，2011）若0,0>>b a ,且函数224)(23+--=bx ax x x f 在1=x 处有极值，则ab 的最大值等于【 】A.2 B ．3 C ．6 D ．9例4、（重庆文，2011）若函数)2(21)(>-+=x x x x f 在x a =处取最小值，则a =【 】 A.21+ B ．31+ C ．3 D ．4例5、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值.例6、函数1(3)3x x x +>-的最小值为【 】 A. 2B. 3C. 4D. 5例7、函数232(0)x x x+>的最小值为【 】A. B. 例8、（天津文，2011）已知22log log 1a b +≥，则39ab+的最小值为__________.例9、（重庆文，2009）已知0,0a b >>，则11a b++ 】A.2 B ．．4 D ．5 例10、（四川理，2009）设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是【 】A.2B.4C.5 例11、（重庆文，2005）若y x y x -=+则,422的最大值是 .例12、（福建理，2005）设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是【 】A ．22-B ．335-C ．3-D ．27-例13、设,x y 是实数，且224,x y +=则22xyS x y =+-的最小值是【 】A.2-B.C. 2-1)例14、已知实数,,0a b c >满足9,24,a b c ab bc ca ++=++=,则b 的取值范围为例15、（重庆理，2011）已知2,0,0=+>>b a b a ，则14y a b=+的最小值是【 】 A.72 B ．4 C ．92D ．5例16、（天津理，2009）设0,0.a b >>1133aba b+与的等比中项，则的最小值为 【 】A. 8B. 4C. 1D.14例17、已知,,a b c 都是正实数，且满足93log (9)log a b +=4a b c +≥恒成立的c 的取值范围是【 】A.4[,2)3B. [0,22)C. [2,23)D. (0,25]例18、（重庆文，2010）0t >已知，则函数241t t y t-+=的最小值为__________.例19、（湖北文，2004）已知4254)(,252-+-=≥x x x x f x 则有【 】A ．最大值45 B ．最小值45C ．最大值1D ．最小值1 例20、（浙江理，2011）设,x y 为实数，若2241,x y xy ++=则2x y +的最大值是 .例21、(重庆文，2004)已知()2320,0x y x y+=>>,则xy 的最小值是 . 例22、（重庆理，2007）若a 是12b +与12b -的等比中项，则22aba b+的最大值为【 】A.15 B ．4 C ．5 D ．2例22、（重庆文，2006）若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是【 】A. B. 3 C. 2例23、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则222a b c ++最小值为【 】A.12 B. 13 C. 14D. 15 例24、若,,1a b R a b +∈+=，则1ab ab+的最小值为【 】 A. 144 B. 142 C. 124D. 2 例25、已知1a b +=，则44a b +的最小值是【 】A. 1B.12 C. 14D. 18例26、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则222111a b c ++最小值为【 】 A. 12 B. 18 C. 24 D. 27例27、（全国1，2004）,2,2,1222222=+=+=+a c c b b a 则ca bc ab ++的最小值【 】12 B ．12 C ．12- D ．12+例28、（湖南理，2004）设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立．．．．的是【 】 A ．()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭B ．2332ab b a ≥+C ．b a b a 22222+≥++ D ．b a b a -≥-||例29、（陕西理，2006）已知不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立,则正实数a 的最小值为【 】A. 8B. 6C. 4D. 2例30、（全国1理，2008）若直线1x ya b+=通过点()cos sin M αα，，则【 】 A ．221a b +≤B ．221a b +≥ C ．22111a b +≤ D ．22111a b+≥例31、已知0,0>>b a 且1=+b a ，求证：425)1)(1(≥++b b a a . 例32、若+∈R b a ,且1=+b a ，求证：22121≤+++b a。
均值不等式的应用(习题+答案)
均值不等式的应用(习题+答案)均值不等式应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则abba ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+abb a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式练习题及答案解析
均值不等式练习题及答案解析一．均值不等式1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab2. 若a,b?R*，则a?b2?*?a?b222a?b时取“=”）ab 若a,b?R，则a?b?22aba?b?若a,b?R，则ab??） ?? ?2a?b2注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域y＝3x解：y＝3x＋11y＝x＋xx13x ＝∴值域为[，+∞）2x1x· ＝2； x1x· =－2x1≥22x1当x＞0时，y＝x＋≥x11当x＜0时， y＝x＋= －≤－2xx∴值域为解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?54，求函数y?4x?2?14x?5的最大值。
1解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又?x?54,?5?4x?0，?y?4x?2?14x?5不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项，???2?3?1 ??3?1????5?4x?4x?55?4x?当且仅当5?4x?15?4x，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数例1. 当时，求y?x的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2x??8为定值，故只需将y?x凑上一个系数即可。
当，即x＝2时取等号当x＝2时，y?x的最大值为8。
32评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
变式：设0?x?，求函数y?4x的最大值。
322x?3?2x?9解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x?2?2x?2????222??当且仅当2x?3?2x,即x?3?3???0,?时等号成立。
高考数学均值不等式专题含答案家教文理通用
高考：均值不等式专题◆知识梳理1．常见基本不等式2,0,a R a ∈≥0a ≥222()22a b a b ++≥， 222a b c ab bc ac ++≥++ 若a>b>0,m>0,则b b m a a m +<+； 若a,b 同号且a>b 则11a b<。
ab b a R b a 2,,22≥+∈则;.2,,22ab b a R b a -≥+∈2．均值不等式:两个正数的均值不等式：ab b a ≥+2 变形ab b a 2≥+，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,ab b a 222≥+等。
3．最值定理:设,0,x y x y >+≥由（1）如果x,y 是正数,且积(xy P =是定值）,则 时,x y +和有最小值（2）如果x,y 是正数和(x y S +=是定值）,则 时,22Sxy 积有最大值（）4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。
注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
◆课前热身1. 已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 . 2. 2. 若0,0x y >>1x y +=,则41x y+的最小值为 ． 3. 已知：0>>x y ，且1=xy ，则22x y x y+-的最小值是 .4. 4. 已知下列四个结论①当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且；②02x >≥当时；③x x x 1,2+≥时当的最小值为2；④当xx x 1,20-≤<时无最大值. 则其中正确的个数为◆考点剖析 一、基础题型。
1.直接利用均值不等式求解最值。
例1：（2010年高考山东文科卷第14题）已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 。
(完整版)均值不等式高考一轮复习(教师总结含历年高考真题)
基础篇一、单变量部分1、 求)0(1>+=x xx y 最小值及对应的x 值答案当x=1最小值2 2、 2、（添负号）求)0(1<+=x xx y 最大值-23、（添系数）求)31,0()31(∈-=x x x y 最大值1214、（添项）求)2(24>-+=x x x y 最小值65、（添根号）02>≥x 求24x x y -=最大值26、（取倒数或除分子）求)0(12>+=x x x y 最大值217、（换元法）求)1(132>-+=x xxx y 最大值-9 8、（换元法）求)2(522->++=x x x y 最大值42二、多变量部分1、（凑系数或消元法）已知041>>a ，b>0且4a+b=1求ab 最大值161 2、（乘“1”法或拆“1”法）已知x>0,y>0，x+y=1求yx 94+最小值25 3、（放缩法）已知正数a ，b 满足ab=a+b+3则求ab 范围),9[+∞ 三、均值+解不等式1. 若正数a,b 满足ab=a+2b+6则ab 的取值范围是______),18[+∞_________2、已知x>0,y>0, x+2y+2xy=8则x+2y 的最小值__________4__________ 练习1. 已知x>0，y>0，且182=+yx 则xy 的最小值_______64_______ 2.)0(1324>++=k kk y 最小值_________2_________ 3. 设0≥a ，0≥b ，1222=+b a ，则21b a +的最大值为_________423_________4. 已知45<x ，求函数54124-+-=x x y 的最大值________1________ 5. 已知x>0,y>0且191=+yx 求x+y 的最小值______16__________ 6. 已知)0,0(232>>=+y x yx 则xy 的最小值是___6_____ 7. 已知a>0,b>0,a+b=2，则b a y 41+=的最小值______29________ 8. 已知+∈R y x ,且满足143=+yx 则xy 的最大值________3_______11、已知x>0,y>0,z>0,x-y+2z=0,则2y xz=_____________D_______ A 、最小值8 B 、最大值8C 、最小值81D 、最大值81注:消y12、设R y x ∈,则)41(12222y xy x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+的最小值是_______9_________ 13、若R b a ∈,,且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是（D ）A 、ab b a 222>+ B 、ab b a 2≥+C 、abb a 211>+ D 、2≥+b a a b 14、若a,b,c,d,x,y 是正实数，且cd ab +=P ，ydx b cy ax Q +⋅+=则有（C ）A 、P=QB 、Q P ≥C 、Q P ≤D 、P>Q15、已知25≥x 则4254)(2-+-=x x x x f 有（D ）A 、有最大值45 B 、有最小值45 C 、最大值1 D 、最小值116、建造一个容积为83m ，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为1760元 17、函数y=x(3-2x))10(≤≤x 的最大值为89 18、函数1)(+=x xx f 的最大值是（C ）A 、52B 、21C 、22D 、119、已知正数x,y 满足141=+yx 则xy 有（C ）A 、最小值161B 、最大值16C 、最小值16D 、最大值16120、若-4<x<1，则当22222-+-x x x 取最大值时，x 的值为（A ）A 、-3B 、-2C 、-1D 、021、若122=+yx ，则x+y 的取值范围是（D ） A 、[0,2] B 、[-2,0] C 、),2[+∞- D 、]2,(--∞22、某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(300≤<t )的关系大致满足1610)(2++=t t t f 则该商场前t 天月饼的平均销售量最少为18 23、已知点P （x,y ）在直线x+3y-2=0上，那么代数式yx273+的最小值是6提高篇一、函数与均值 1、)2(21>-+=a a a m ,)0(2122<⎪⎭⎫ ⎝⎛=-x n x 则m,n 之间关系_____m ≥n______________2、 设x ≥0,x x P -+=22,2)cos (sin x x Q +=则（ C ） A 、Q P ≥ B 、Q P ≤ C 、P>Q D 、P<Q3、已知函数()x a x f 21+-=若()02≥+x x f 在()+∞,0上恒成立，则a 的取值范围是__),41[)0,(+∞⋃-∞_4、若对任意x>0,a x x x≤++132恒成立，则a 的取值范围是_______51≥a ____________5、函数xxxy 2log 2log +=的值域_______),3[]1,(+∞⋃--∞___________ 6、设a,b,c 都是正实数，且a,b 满足191=+ba 则使cb a ≥+恒成立的c 的取值范围是_D__A 、]8,0(B 、（0,10] C(0,12] D 、（0,16] 7、已知函数())1,0(log 1)1(≠>+=-a a ax f x 的图象恒过定点P ，又点P的坐标满足方程mx+ny=1,则mn 的最大值为_________81_____________ 8、已知函数()()),0(22+∞∈++=x xax x x f⑴当21=a 时，求f(x)的最小值答案：22+⑵若对任意),0(+∞∈x ，f(x)>6恒成立，求正实数a 的取值范围___a>4__ 9、0)1(42>-++x k x 对]3,1[∈x 恒成立，求k 的范围 10、若a+b=2则ba33+的最小值为______6___________11、设x,y,z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则yzx z lg lg lg 4lg +的最小值为A A 、89 B 、49 C 、29D 、9 12、已知a>1，b>1，且lga+lgb=6，则b a lg lg ⋅的最大值为（B ）A 、6B 、9C 、12D 、1813、R y x ∈,且x+y=5,则yx33+的最小值为（D ） A 、10 B 、36 C 、64 D 、31814、设a>0,b>0,若3是a 3与b3的等比中项，则ba 11+的最小值为（B ） A 、8 B 、4 C 、1 D 、4115、函数)1,0(1≠>=-a a ay x的图象恒过点A ，若点A 在直线mx+ny-1=0（mn>0）上，则nm 11+的最小值为4 16、当x>1时，不等式a x x ≥-+11恒成立，则实数a 的取值范围是（D ）A 、]2,(-∞B 、),2[+∞C 、),3[+∞D 、]3,(-∞17、函数)1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+2=0上，其中m>0,n>0,则nm 12+的最小值为（D ） A 、22 B 、4 C 、25 D 、29二、数列与均值1、已知x>0,y>0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则cdba2）（+的最小值是__4_2、已知等比数列{a n}中a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是。
基本(均值)不等式及应用41
课时跟踪检测(四十一) 基本(均值)不等式及应用[高考基础题型得分练]1．已知a ，b ∈(0,1)且a ≠b ，下列各式中最大的是( ) A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b答案：D解析：只需比较a 2＋b 2与a ＋b .由于a ，b ∈(0,1)，∴a 2<a ，b 2<b ，∴a 2＋b 2<a ＋b .2．[2018·河北张家口模拟]已知a ＋2b ＝2，且a >1，b >0，则2a －1＋1b 的最小值为( )A ．4B ．5C ．6D ．8 答案：D解析：因为a >1，b >0，且a ＋2b ＝2，所以a －1>0，(a －1)＋2b ＝1，所以2a －1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2a －1＋1b ·[(a －1)＋2b ]＝4＋4b a －1＋a －1b ≥4＋24b a －1·a －1b ＝8，当且仅当4b a －1＝a －1b 时取等号，所以2a －1＋1b 的最小值是8，故选D.3．[2018·江西南昌一模]若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A.1ab >12B.1a ＋1b ≤1C.ab ≥2D.1a 2＋b2≤18 答案：D解析：∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4， ∴4＝a ＋b ≥2ab ， ∴ab ≤2，即ab ≤4.A 项，∵ab ≤4，∴1ab ≥14，故A 不恒成立； B 项，∵ab ≤4＝a ＋b ， ∴1a ＋1b ≥1，故B 不恒成立； C 项，∵ab ≤2，∴C 不恒成立； D 项，∵2＝a ＋b2≤a 2＋b 22，∴a 2＋b 2≥8， ∴1a 2＋b2≤18，∴D 恒成立． 4.(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3 D.322答案：B解析：解法一：因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0， 则由基本(均值)不等式可知， (3－a )(a ＋6)≤(3－a )＋(a ＋6)2＝92， 当且仅当a ＝－32时等号成立． 解法二：(3－a )(a ＋6)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋814≤92， 当且仅当a ＝－32时等号成立．5．已知x ，y ∈(0，＋∞)，且log 2x ＋log 2y ＝2，则1x ＋1y 的最小值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1答案：D解析：1x ＋1y ＝x ＋y xy ≥2xy xy ＝2xy ，当且仅当x ＝y 时等号成立． ∵log 2x ＋log 2y ＝log 2(xy )＝2，∴xy ＝4. ∴1x ＋1y ≥2xy＝1.6．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a <v <abB ．v ＝abC.ab <v <a ＋b2 D ．v ＝a ＋b2答案：A解析：设甲、乙两地之间的距离为s . ∵a <b ，∴v ＝2ssa ＋sb ＝2ab a ＋b <2ab 2ab ＝ab . 又v －a ＝2aba ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a 2a ＋b＝0，∴v >a .7．已知x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( ) A ．有最大值e B ．有最大值 e C ．有最小值e D ．有最小值 e答案：C解析：∵x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，∴ln x ·ln y ＝14≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ln x ＋ln y 22， ∴ln x ＋ln y ＝ln xy ≥1⇒xy ≥e.8．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2答案：A解析：∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －1＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号．9．[2018·河南开封模拟]已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是________．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14解析：∵圆关于直线对称， ∴直线过圆心(－1,2)，即a ＋b ＝1.∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立． 10．[2018·广东东莞模拟]函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n 的最小值为________．答案：8解析：函数y ＝log a (x ＋3)－1恒过定点A (－2，－1)，又点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，∴2m ＋n ＝1.∴1m ＋2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (2m ＋n )＝4＋n m ＋4m n ≥8，当且仅当n m ＝4mn ，即m＝14，n ＝12时等号成立．11．[2018·山东潍坊模拟]已知a ，b 为正实数，直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －b )2＋(y －1)2＝2相切，则a2b ＋1的取值范围是________．答案：(0，＋∞)解析：由题意知，(b,1)到x ＋y ＋a ＝0的距离为2，即b ＋1＋a2＝2，得a ＋b ＝1，a ＝1－b ，a 2b ＋1＝(1－b )2b ＋1＝(b ＋1)2－4(b ＋1)＋4b ＋1 ＝(b ＋1)＋4b ＋1－4≥2(b ＋1)·4b ＋1－4＝0，当且仅当b ＝1，a ＝0时等号成立， 又a ＞0，b ＞0，所以a 2b ＋1＞0. 12．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________．答案：2解析：依题意，得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xy x ＋y ≤2(当且仅当x ＝2y 时等号成立)，即x ＋22xy x ＋y的最大值为2.又λ≥x ＋22xy x ＋y，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.[冲刺名校能力提升练]1．已知x ＞0，y ＞0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) A.22 B ．2 2 C. 2 D ．2答案：D解析：∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ， 即(2xy －2)(2xy ＋1)≥0， ∴2xy ≥2，∴xy ≥2.2．[2017·内蒙古包头二模]已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( )A.32B.53C.94D.256 答案：A解析：解法一(常数代换法)：设数列{a n }的公比为q (q >0)，由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，所以q 2－q －2＝0，所以q ＝2.因为a m a n ＝4a 1，所以q m ＋n －2＝16，所以2m ＋n －2＝24，所以m ＋n ＝6，所以1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16×(5＋4)＝32，当且仅当n m ＝4m n 时，等号成立，所以1m ＋4n 的最小值为32，故选A.解法二(拼凑法)：由解法一可得m ＋n ＝6，所以n ＝6－m ， 又m ，n ≥1，所以1≤m ≤5.故1m ＋4n ＝1m ＋46－m ＝6－m ＋4m m (6－m )＝3(m ＋2)m (6－m )＝3m (6－m )m ＋2＝－3[(m ＋2)－2][(m ＋2)－8]m ＋2＝－3(m ＋2)＋16m ＋2－10. 由基本不等式可得(m ＋2)＋16m ＋2－10≥2(m ＋2)×16m ＋2－10＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫当且仅当m ＋2＝16m ＋2，即m ＝2时等号成立，易知(m ＋2)＋16m ＋2－10<0， 所以1m ＋4n ≥－3－2＝32.故选A.3．[2018·河北唐山一模]已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，求z ＝x 2＋4y 2的取值范围．解：∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y22， ∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y22，∴x 2＋4y 2≥4，当且仅当|x |＝2|y |时等号成立． 又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12，当且仅当x ＝－2y 时等号成立． 综上可知，x 2＋4y 2的取值范围为[4,12]． 4．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值． 解：(1)∵x ＞0，y ＞0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，即xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x ＞0，y ＞0， ∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy 时等号成立．由⎩⎨⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎨⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020.5．[2018·江苏常州期末调研]某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)．(1)求S 关于x 的函数关系式；(2)求S 的最大值．解：(1)由题设，得S ＝(x －8)⎝ ⎛⎭⎪⎫900x －2＝－2x －7 200x ＋916，x ∈(8,450)．(2)因为8<x <450，所以2x ＋7 200x ≥2 2x ×7 200x ＝240，当且仅当x ＝60时等号成立，从而S ≤676.故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m 2.。
(完整版)均值不等式专题20道-带答案
均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若,且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知，且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为，则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x，y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________.15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______.20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.2．【解析】【分析】先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最大值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为，综上的最大值为【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满足，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．5．4【解析】【分析】由题意可得经过圆心，可得，再+利用基本不等式求得它的最小值．【详解】圆，即，表示以为圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆心，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最小值为8.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8．【解析】【分析】由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成立，所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10．【解析】【分析】由已知将化为一次式，运用“1”的变换，再利用基本不等式可得.【详解】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题.11．【解析】【分析】利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满足，则，，当且仅当时取等号，故的最小值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．12．2【解析】【分析】利用“1”的代换，求得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题13．9【解析】【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最小值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最小值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题．14．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。
均值不等式【高考题】
利用一、求最值之杨若古兰创作直接求 例1、若x,y 是负数，则(x +1)2+(y +1)2的最小值是【】2y LXA.3B.7C .4D .922例2、设X ,”R ,a >1,b >1,若a x -b y -3,a +b =23,则1+1的最大值为【】xyA.2B.3C.1D.122练习1.若x >0，则x +2的最小值为.x练习2.设x ,y 为负数,则(x +y )(1+4)的最小值为【】xyA.6B.9C.12D 15练习3.若a >0,b >0,且函数f (x )-4x 3一ax 2-2bx +2在x -1处有极值，则ab 的最大值等于【】A.2B.3C.6D.9练习4.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，贝1J x -吨. 练习5.求以下函数的值域：（a +b ）2的最小值是【】cd A.0B.4C.2D.1 例3、已知a>0,b >0,c >0且a +b +c —1,则（1一1）（1一1）（1一1）最小值为【】abcA.5B.6C.7D.8凑系数例4、若x ,y e R +，且x +4y -1，则x .y 的最大值是. 练习1.已知x ,y E R +，且满足x +y =1，则孙的最大值为. 34练习2.当0<x <4时，求y -x (8-2x )的最大值.凑项例5、若函数f (x )-x +1(x >2)在x -a 处取最小值，则a -【】x -2⑴y-3x 2+2：2⑵ 练习6.已知x >0,y >0, 1 y -x + x x ,a ,b ,y 成等差数列，x , d ,y 成等比数列，则A-1+2B-1+3C-3D-4练习1.已知x <5，求函数尸4，一2+，的最大值.44%—5 练习2.函数，+%(%>3)的最小值为【】%—3A.2B.3C.4D.5练习3.函数2%2+3(%>0)的最小值为【】% A-艰BYCWD-微 两次用不等式例6、已知抽a +log b >1，贝I3a +9b 的最小值为 22例7、已知a >0,b >0，则1+1+2%a 的最小值是【】ab A-2B-2R C-4D-5例8、设a >b >c >0，则2a 2+L -10ac +25c 2的最小值是【aba (a -b ) A-2B-4C-2V 5D-5练习1.设a >b >0，A-1B-2C-3D-4 练习2.设a >b >0，则a 2+1的最小值是【】b (a —b )A-2B-3C-4D-5练习3.设a >b >0，则a +1的最小值是【】 十b (2a -b )A-33/2B-3<3C-232D-33/4222 练习4.设a >2b >0，则(a -b )2+9的最小值是-b (a-2b ) 换元例9、若%2+y 2二4,则％-y 的最大值是-练习1.设a ,b G R ,a 2+2b 2=6,则a +b 的最小值是【】 A--22B--52C--3D--732 例10、设%,y 是实数，且%2+y 2=4,则S =2%y 的最小值是【】%+y -2A --2B--、2C-2-2k D-2(<2+1)练习1.若%2+y2T 盯则最大值是%y —±,%+y -1 练习2.若0<a <1,0<%<y <1,且(log x )(log y )二1则冲【】aa 消元例11、设x ,y ,z 为正实数，满足%.2y +3z =0，则竺的最小值是. xz练习1.已知实数a ,b ,c 〉0满足a +b +c =9,ab +b c +ca=24,，则b 的取值范围为 两次用 11 a 2+—+j aba (a —b ) 的最小值是【例12、已知负数x,y,z满足x2+y2+z2=1,则S=上z的最小值是【】2xyzA.3B.3a+；")C.4D.2(v2+1)练习1.已知负数x,y,z满足x2+y2+z2=1,则S=上的最小值是【】2xyz2A.3B.9C.4D.2c2练习2.已知x,y,z均为负数，则盯+y z的最大值是【】x2+y2+z2A.q初C.2,/2D.2V3练习3.已知实数x,y,z满足x2+y2+z2=1,则尤xy+yz的最大值是全体代换例13、已知〃>0,b>0,a+b=2，贝y=1+4的最小值是【】abA.7B.4C.9D.5例14、函数y=a-(a>0,a01)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上，则I—+—的最小值为.mn例15、设a>0,b>0,若4万是3a与3b的等比中项，则1+1的最小值为abA.8B.4C.1D.14、例16、已知a,b,c都是正实数，且满足log(9a+b)=log abb，则使4a+b>c恒成93立的c的取值范围是A.[4,2)B.[0,22)C.[2,23)D.(0,25]练习1.函数klogG+3)」(〃>0且a=1)的图象恒过定点A，若点A在直线a mx+ny+1=0上，其中mn>0,则1+2的最小值为.mn练习2.若x,y e R+,且2x+y=1，则L1的最小值为.xy练习3.已知x>0,y>0，且1+9=1，求x+y的最小值.xy练习4.若x,y e R+且2x+y=1，求11的最小值.+xy练习5.已知a,b,x,y e R+且ab［，求x+y的最小值.+=1xy练习6.已知x>1,x>1,xx2=1000,则上+▲的最小值等于【I1212lg x lg x12A.4B,4<6C,7+2、落D.7—261-33练习7.若0<x<1,a,b为常数，则竺+上的最小值是x 1一x练习8.已知a >b >也,+'>与恒成立，则m 的取值范围是a -bb -ca 一c 练习9.a ,b e(0,+8),a +3b =1,则+_L 最小值为aa33b分离法【分式】例17、已知t >0，则函数y ='2一4t +1的最小值为.t例18、已知x >5,则f (x )=x 2一4x +5有【】 22x -4A.£大值58.最小值50最大值1口.最小值1 练习1.求y =x 2+7x +10(x >_1)的值域.x +1练习2.若x >1,则函数y =x +1+上的最小值为.'xx 2+1放缩法——解不等式例19、设x ,y 为实数，若4x 2+y 2+町=1,则2x +y 的最大值 是.例20已知2+1=2(x >0,y >0)，则xy 的最小值是.xy 例21、若a 是1+2b 与1_2b 的等比中项，则2ab 的最大值为【】a +2bA.空B.,翔C.V5D.\；215丁"5"万 练习1.若实数x ,y 满足x 2+y 2+町=1，则x +y 的最大值是. 练习2.若正实数X ,Y 满足2X +Y +6=XY ,则XY 的最小值是 练习3.已知x >0,y >0,x +2y +2町=8,则X +2y 的最小值是【】A.3B.4C.£D.q练习4.已知a >0,b >0,ab -（a +b ）=1，求a +b 的最小值.练习5：已知5+2=2（X >0,y >0）恒成立，则xy 的最小值是. Xy 练习6.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值. 练习7.若实数X ,y 满足4X +4y =2X +1+2y +1则t=2X +2y 的取值范围是 取平方例22、若a ,b ,c >0且a 2+2ab +2ac +4bc =12，则a +b +c 的最小值是【】A.2x /3B .3C .2D .<3练习1.若a ,b ,c>0且a （a+b+c ）+bc =4-2a ，则2a +b +c 的最小值为【】A -<3-1B .\；3+1C .2七3+2D.2,；3-2练习2.已知X ,y 为正实数，3X +2y =10，求函数w =3X +2y 的最值.取平方+解不等式 例23、已知a>0,b>0,c >0且a +b+c =1,则a 2+b 2+c 2最小值为【】A.1B.1C.1D.1结合2单3调性4——5与函数例24、若a ,b e R +,a +b=1,则ab+-1的最小值为【】abA.41B.41C.°1D,2 44224-练习1,求函数丫_%2+5的值域. y _E练习2.求以下函数的最小值，并求取得最小值时工的值. ⑴y _X 2+3X +1,（X >0）（2）y _2X +—,X >3X X -3（3）y _2sin X +—i —,X e （0,兀）sin X练习3.已知0<%<1,求函数y =\X E ）的最大值. 练习4.0<X <2,求函数y _.X 2F 的最大值.3 练习5.设a ,b e R +且2a+b_1,S_2ab-4a 2-b 2的最大值是【】A.2-1B.2-1C.2+1D.2+122例25、已知0+b_1，则a 4+b 4的最小值是【】A.1B.£C.1D.1练习1.若实数a ,b ,c 满足2a +2b =2a +b ,2a +2b +2c =2a +b +c ,则c 的最大值是 用另一个公式例26、函数、3+4=7的最大值为.练习1.已知a ,b G R+,a 2+吃=1,，则a 、瓦的最大值是【】2 A.1B.1C.32D.三212例27、已知a 〉0,b >0,c >0且a+b+c =1,则工+_!+_!最小值为【】a 2b 2c 2A.12B.11C.21D.27直接取值【讨论】例28、a 2+b 2-1,b 2+c 2-2,c 2+a 2=2,则ab +bc +ca 的最小值【】A.右一1B.1_、,3C.-1_,运D.1+；32222利用二、恒成立成绩例1、若a ,b e R ，且ab>0，则以下不等式中，恒成立的是【】 A,a 2+b 2>2ab B-a +b>2、/abC 112ba 、C*-+->^=D--+->2ababbab 例2、设a ,b ,c 是互不相等的负数， A*|a -b 1<1a -c 1+1b -c I B,a 2+—>a +1a 2a0*I a -b I +>2D *a+3-a+1<a+2-aa -b例3、设a >0,b>0,则以下不等式中不恒成立的是【••••a 2+b 2+2>2a +2b *I a —b I >a —例4、已知不等式a+y )(i+a )>9对任意正实数羽》恒成立，则正实数a xy的最小值为【】 A.8B.6C.4D.2例5、若直线x +y =1通过点M (cos a ,sin 。
高中均值不等式讲解及习题
高中均值不等式讲解及习题一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当ba =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x2（2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
高考数学 均值不等式专题试卷
高考数学 均值不等式专题试卷1．设a 、b∈R ＋2．若a 、b 、c∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝13．设a 、b 、m∈R ＋，且b b m a a m<＋＋，求证：a ＞b.4．若a 、b∈R ＋，且a≠b，MN M 与N 的大小关系． 5．用数学归纳法证明不等式1111122n n n n ⋯>＋＋＋＋＋＋(n>1，n ∈N *)的过程中，用n ＝k ＋1时左边的代数式减去n ＝k 时左边的代数式的结果是A ，求代数式A.6．求证：a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1.7．已知a>0，b>08．已知x 、y 、z 均为正数，求证：111x y z yz zx xy x y z≥＋＋＋＋9．已知a>0a ＋1a －2.103a b c≥＋＋ 11．若实数x 、y 、z 满足x ＋2y ＋3z ＝a(a 为常数)，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．12．用数学归纳法证明：当n 是不小于5的自然数时，总有2n >n 2成立．13．求函数y 14．设x 、y∈R，求2222114x y y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＋＋的最小值． 15．已知a 、b 、m 、n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，求(am ＋bn)(bm ＋an)的最小值．16．设x 、y 、z∈R，且满足x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z x ＋y ＋z 的值．17．已知a≥b>0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b.18．设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明：(1)ab ＋bc ＋ca≤13；(2)222a b c b c a＋＋≥119．已知正数a 、b 、c 满足abc ＝1，求证：(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)≥27.20．已知函数f(x)＝m －|x －2|，m ∈R ，且f(x ＋2)≥0的解集为[－1，1]． (1)求m 的值；(2)若a，b，c∈R，且11123a b c＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.21．已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1(1)若2x2＋3y2＋6z2＝1，求x，y，z的值．(2)若2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，求正数t的取值范围．22．(1)求函数y(2)若函数y＝a的值．四、新添加的题型参考答案12－2＝22≥022≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝33．见解析【解析】由b b ma a m<＋＋，得b b m b a ma a m a a m＋(-)-＝＋（+）＜0.因为a、b、m∈R＋，所以b－a＜0，即b＜a. 4．M>NM>N.5．1(2122k k+)(+)【解析】当n＝k时，左边＝11112k k k k⋯＋＋＋＋＋＋，n＝k＋1时，左边＝12k＋＋13k＋＋…＋111k k（＋）＋（＋），故左边增加的式子是11121221k k k＋－+++，即A＝1(2122k k+)(+) 6．见解析【解析】∵(a2＋b2)－(ab＋a＋b－1)＝a2＋b2－ab－a－b＋1＝12(2a2＋2b2－2ab－2a－2b＋2)＝12[(a2－2ab＋b2)＋(a2－2a＋1)＋(b2－2b＋1)]＝12[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0.∴a2＋b2≥ab＋a＋b－1.7．见解析【解析】(证法1)∵－(＋)＝+＝2（－0，∴原不等式成立． (证法2)－1＝1.又a>0，b>08．见解析【解析】(证法1：综合法)因为x 、y 、z 都是正数，所以x y yz zx ＋＝1()x y z y x+≥2z .同理可得y z zx xy ＋≥2x ，x z yz xy ＋≥2y.将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得 111x y z yz zx xy x y z≥＋＋＋＋. (证法2：分析法)因为x 、y 、z 均为正数，要证111x y z yz zx xy x y z≥＋＋＋＋.只要证222x y z xyz＋＋≥yz zx xy xyz ++，只要证x 2＋y 2＋z 2≥yz ＋zx ＋xy ，只要证(x －y)2＋(y －z)2＋(z －x)2≥0，而(x －y)2＋(y －z)2＋(z －x)2≥0显然成立，所以原不等式成立．9．见解析a ＋1a －2，＋2≥a＋1a只需证a 2＋21a ＋4＋a 2＋21a ＋2＋1a a ⎫+⎪⎭＋2， 即证1a a ⎫+⎪⎭，只需证4221a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋≥22212a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋， 即证a 2＋21a≥2，此式显然成立． ∴原不等式成立． 10．见解析【解析】∵(12＋12＋12)(a 2＋b 2＋c 2)≥(a＋b ＋c)2，∴2223a b c ＋＋≥()29a b c ＋＋3a b c ≥＋＋ 11．214a【解析】∵(12＋22＋32)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x＋2y ＋3z)2＝a 2，即14(x 2＋y 2＋z 2)≥a 2，∴x 2＋y 2＋z 2≥214a ，即x 2＋y 2＋z 2的最小值为214a .12．见解析【解析】(1)当n ＝5时，25>52，结论成立．(2)假设当n ＝k(k N *∈，k ≥5)时，结论成立，即有2k>k 2，那么当n ＝k ＋1时，左边＝2k ＋1＝2·2k >2·k 2＝(k ＋1)2＋(k 2－2k －1)＝(k ＋1)2＋(k －1－－1＋1)2＝右边.∴也就是说，当n ＝k ＋1时，结论成立．∴由(1)、(2)可知，不等式2n>n 2对n N *∈，n ≥5时恒成立． 13．3【解析】∵y 2＝2≤[12＋2](1－x ＋2＋x)＝3×3，∴y ≤3，时取“＝”号，即当x ＝0时，y max ＝3. 14．9【解析】由柯西不等式，得2222114x y y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＋＋≥(1＋2)2＝9.∴2222114x y y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＋＋的最小值为9.15．2【解析】利用柯西不等式求解，(am ＋bn)(an 2＝mn·(a＋b)2＝2·1＝2，且仅当am bn an bm＝即m ＝n 时取最小值2.16．7【解析】由柯西不等式可知(x ＋2y ＋3z)2＝14≤(x 2＋y 2＋z 2)·(12＋22＋32)， 因为x 2＋y 2＋z 2＝1，所以当且仅当123x y z ＝＝时取等号．此时y ＝2x ，z ＝3x 代入x ＋2y ＋3z x ＝14，即y ＝14，z ＝14，所以x ＋y ＋z 17．见解析【解析】∵2a 3－b 3－2ab 2＋a 2b ＝(2a 3－2ab 2)＋(a 2b －b 3)＝2a(a 2－b 2)＋b(a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b)＝(a ＋b)(a －b)(2a ＋b)， 又a≥b>0，∴a ＋b>0，a －b≥0，2a ＋b≥0， ∴(a ＋b)(a －b)(2a ＋b)≥0，∴2a 3－b 3－2ab 2＋a 2b ≥0，∴2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b. 18．（1）见解析（2）见解析【解析】(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca.由题设得(a ＋b ＋c)2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca)≤1，即ab ＋bc ＋ca≤13. (2)因为2a b ＋b≥2a，2b c ＋c≥2b，2c a＋a≥2c，故222a b c b c a ＋＋＋(a ＋b ＋c)≥2(a＋b ＋c)，即222a b c b c a ＋＋≥a ＋b ＋c. 所以222a b c b c a＋＋≥1.19．见解析【解析】(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)＝(a ＋1＋1)(b ＋1＋1)(c ＋1＋1)≥33327(当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立)． 20．（1）m ＝1（2）见解析【解析】(1)∵f(x＋2)＝m －|x|≥0，∴|x|≤m ，∴m ≥0，－m≤x≤m， ∴f(x ＋2)≥0的解集是[－1，1]，故m ＝1. (2)由(1)知11123a b c＋＋＝1，a 、b 、c∈R，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c)11123a b c⎛⎫⎪⎝⎭＋＋≥)2＝9.21．（1）x＝12，y＝13，z＝16（2）t≥6【解析】(1)∵(2x2＋3y2＋6z2)(111236＋＋)≥(x＋y＋z)2＝1，当且仅当111＝＝时取“＝”．∴2x＝3y＝6z，又∵x＋y＋z＝1，∴x＝12，y＝13，z＝16.(2)∵(2x2＋3y2＋tz2)11123t⎛⎫⎪⎝⎭＋＋≥(x＋y＋z)2＝1，∴(2x2＋3y2＋tz2)min＝1516t＋.∵2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，∴1516t＋≥1.∴t≥6.22．（1）2）2【解析】(1)∵(2≤(1＋1)(x－1＋5－x)＝8,当且仅当x＝3时，y max＝2＝⎛⎝2≤(a2＋4)(x＋1＋32－x)＝52(a2＋4)，由已知52(a2＋4)＝20得a＝±2，又∵a>0，∴a＝2.。
均值不等式专题20道-带答案
均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若,且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知，且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为，则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x，y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________.15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______.20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.2．【解析】【分析】先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最大值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为，综上的最大值为【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满足，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．5．4【解析】【分析】由题意可得经过圆心，可得，再+利用基本不等式求得它的最小值．【详解】圆，即，表示以为圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆心，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最小值为8.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8．【解析】【分析】由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成立，所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10．【解析】【分析】由已知将化为一次式，运用“1”的变换，再利用基本不等式可得.【详解】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题.11．【解析】【分析】利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满足，则，，当且仅当时取等号，故的最小值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．12．2【解析】【分析】利用“1”的代换，求得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题13．9【解析】【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最小值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最小值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题．14．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。
高考均值不等式经典例题
2022年3月23日；第1页共1页 高考【1】均值不等式经典例题1.已知正数,,a b c 满足215b ab bc ca +++=，则58310a b c +++的最小值为。
2.设M 是ABC 内一点，且23,30AB AC A =∠=︒，定义()(,,)f M m n p =，其中,,m n p 分别是,,MBC MCA MAB 的面积，若1()(,,)2f M x y =，则14x y +的最小值为. 3.已知实数1,12m n >>，则224211n m m n +--的最小值为。
4.设22110,21025()a b c a ac c ab a a b >>>++-+-的最小值为。
5.设,,a b c R ∈，且222,2222a b a b a b c a b c ++++=++=，则c 的最大值为。
6.已知ABC 中，142,10sin sin a b A B +=+=，则ABC 的外接圆半径R 的最大值为。
7.已知112,,339a b ab ≥≥=，则a b +的最大值为。
8.,,a b c 均为正数，且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值为。
9.,,,()4a b c R a a b c bc +∈+++=-2ab c ++的最小值为。
10.函数()f x =11.已知0,0,228x y x y xy >>++=，则2x y +的最小值为。
12.若*3()k k N ≥∈，则(1)log k k+与(1)log k k -的大小：。
13.设正数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z取最大值时，212x y z +-的最大值为。
14.若平面向量,a b 满足23a b -≤，则a b ⋅的最小值为。
15.的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为。
高中均值不等式讲解及习题
高中均值不等式讲解及习题一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x2（2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式常考题型
均值不等式及其应用【1】一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三相等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式【高考题】.
0 ，则 x
2
的最小值为
.
x
练习 2. 设 x, y 为正数 , 则 ( x
1 y )(
4 ) 的最小值为【
】
xy
A.
6
B.
9
C.
12
D.
15
练习 3. 若 a 0, b 0, 且函数 f ( x) 4x3 ax2 2bx 2 在 x 1处有极值，则 ab 的最大值等于【
A.
2
B
．3
C
．6
D
．9
练习 4. 某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，运费为 4 万元 / 次，一年的总存储费用为
】
x3
A. 2
B.
3
C.
4
D.
练习 3. 函数 2x2 3 (x 0) 的最小值为【
】
x
【】
．4
5
9 A. 33
2
B. 43 9
53 9
D.
9
3
2
2
2
】
4x 万
两次用不等式
例 6、 已知 log 2 a log 2 b 1，则 3a 9b 的最小值为 __________.
例 7、 已知 a 0, b 0 ，则 1 1 2 ab 的最小值是【
.
练习 1. 设 a, b R , a 2 2b 2 6,则a b 的最小值是【 】
4 5 334 2
A ． 22
B ． 53 3
例 10、 设 x, y 是实数，且 x2 y2 4, 则 S
C． 3
D． 7 2
2 xy
的最小值是【 】
x y2
A. 2
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均值不等式高考题文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]应用一、求最值直接求例1、若x ，y 是正数，则22)21()21(x y y x +++的最小值是【 】 A ．3 B ．27 C ．4 D ．29例2、设yx b a b a b a R y x yx 11,32,3,1,1,,+=+==>>∈则若的最大值为【 】A. 2B. 23C. 1D. 21练习1.若0x >，则2x x+的最小值为 .练习2.设,x y 为正数, 则14()()x y x y++的最小值为【 】A.6B. 9C. 12D. 15练习3.若0,0>>b a ,且函数224)(23+--=bx ax x x f 在1=x 处有极值，则ab 的最大值等于【 】A.2 B ．3 C ．6 D ．9练习4.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨. 练习5.求下列函数的值域：（1）22213x x y += （2）xx y 1+=练习6.已知0x >，0y >，x a b y ，，，成等差数列，x c d y ，，，成等比数列，则2()a b cd+的最小值是【 】A.0B.4C.2D.1例3、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则111(1)(1)(1)a b c---最小值为【 】A. 5B. 6C. 7D. 8凑系数例4、若x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y ⋅的最大值是 ．练习1.已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 . 练习2. 当40<<x 时，求(82)y x x =-的最大值. 凑项例5、若函数)2(21)(>-+=x x x x f 在x a =处取最小值，则a =【 】 A.21+ B ．31+ C ．3 D ．4练习1.已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值.练习2.函数1(3)3x x x +>-的最小值为【 】 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5练习3.函数232(0)x x x +>的最小值为【 】B.例6、已知22log log 1a b +≥，则39ab+的最小值为__________.例7、已知0,0a b >>，则11b++ 】A.2 B ．．4 D ．5例8、设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是【 】A.2B.4C.5练习1.设0a b >>，则()211a ab a a b ++-的最小值是【 】 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4练习2.设0a b >>，则21()a b a b +-的最小值是【 】 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5练习3.设0a b ≥>，则1(2)a b a b +-的最小值是【 】A. C. 练习4.设20a b >>，则29()(2)a b b a b -+-的最小值是 .换元例9、若y x y x -=+则,422的最大值是 .练习1.设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是【 】A ．22-B ．335-C ．3-D ．27-例10、设,x y 是实数，且224,x y +=则22xy S x y =+-的最小值是【 】A.2-B.C. 2-1) 练习1.若221,x y +=1xyx y +-则最大值是练习2.若01,01,a x y <<<≤<且(log )(log )1a a x y =则xy 【 】 A.无最大值也无最小值 B.无最大值但有最小值 C.有最大值但无最小值 D.有最大值也有最小值 消元例11、设,,x y z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz的最小值是 .练习1。
已知实数,,0a b c >满足9,24,a b c ab bc ca ++=++=,则b 的取值范围为两次用例12、已知正数,,x y z 满足2221,x y z ++=则12zS xyz+=的最小值是【 】A. 3 C. 4 D. 1) 练习1。
已知正数,,x y z 满足2221,x y z ++=则212S xyz=的最小值是【 】A. 3B.92C. 4D. 练习2.已知,,x y z 均为正数，则222xy yzx y z+++的最大值是【 】A.2 D.练习3.已知实数,,x y z 满足2221,x y z ++=yz +的最大值是整体代换例13、已知2,0,0=+>>b a b a ，则14y a b=+的最小值是【 】 A.72 B ．4 C ．92D ．5 例14、函数1(01)xy a a a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则11m n+的最小值为 ．例15、设0,0.a b >>1133a ba b+与的等比中项，则的最小值为A. 8B. 4C. 1D. 14例16、已知,,a b c 都是正实数，且满足93log (9)log a b +=4a b c +≥恒成立的c 的取值范围是A.4[,2)3B. [0,22)C. [2,23)D. (0,25]练习1.函数log (3)1a y x =+-(01)a a >≠且，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为__________． 练习2.若+∈R y x ,,且12=+y x ，则yx 11+的最小值为 .练习3.已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值.练习4.若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx11+的最小值.练习5.已知+∈R y x b a ,,,且1=+yb x a ，求y x +的最小值.练习6.已知212121,1,1000,x x x x >>=则1213lg lg x x +的最小值等于【 】 A. 4练习7.若01,,x a b <<为常数，则221a b x x+-的最小值是 练习8.已知11ma b c a b b c a c>>+≥---且恒成立，则m 的取值范围是 练习9.,(0,),31,a b a b ∈+∞+=最小值为 分离法【分式】例17、0t >已知，则函数241t t y t-+=的最小值为__________.例18、已知4254)(,252-+-=≥x x x x f x 则有【 】A ．最大值45B ．最小值45C ．最大值1D ．最小值1练习1.求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 练习2.若1x >，则函数21161xy x x x =+++的最小值为 .放缩法—— 解不等式例19、设,x y 为实数，若2241,x y xy ++=则2x y +的最大值 是 .例20已知()2320,0x y x y+=>>,则xy 的最小值是 . 例21、若a 是12b +与12b -的等比中项，则22aba b+的最大值为【 】A.15B．4 C．5 D．2 练习1.若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是__________.练习2.若正实数,X Y 满足26,X Y XY ++= 则XY 的最小值是 练习3.已知0,0,228x y x y xy >>++=，则2x y +的最小值是【 】A.3B.4C.92D.112练习4.已知1)(,0,0=+->>b a ab b a ，求b a +的最小值.练习5：已知532(0,0)x y x y+=>>恒成立，则xy 的最小值是 .练习6.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值.练习7.若实数,x y 满足114422x y x y +++=+则22x y t =+的取值范围是 取平方例22、若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是【 】A. B. 3 C. 2练习1.若,,0a b c >且()4a a b c bc +++=-则2a b c ++的最小值为【 】11 C. 2 D. 2 练习2.已知y x ,为正实数，1023=+y x ，求函数y x W 23+=的最值. 取平方+解不等式例23、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则222a b c ++最小值为【 】 A.12 B. 13 C. 14D. 15 结合单调性——与函数例24、若,,1a b R a b +∈+=，则1ab ab+的最小值为【 】 A. 144 B. 142 C. 124D. 2练习1.求函数2y =的值域.练习2．求下列函数的最小值，并求取得最小值时x 的值.（1）231,(0)x x y x x ++=> （2）12,33y x x x =+>- （3）12sin ,(0,)sin y x x xπ=+∈练习3．已知01x <<，求函数y .练习4．203x <<，求函数y . 练习5.设+∈R b a ,且2242,12b a ab S b a --==+的最大值是【 】A.12-B.212- C.12+ D.212+ 例25、已知1a b +=，则44a b +的最小值是【 】A. 1B. 12C. 14D. 18练习1.若实数,,222,2222,a b a b a b c a b ca b c c ++++=++=满足则的最大值是的最大值为 .练习1.已知22,,1,2b a b R a +∈+=，则的最大值是【 】A. 1B.122例27、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则222111a b c ++最小值为【 】 A. 12 B. 18 C. 24 D. 27 直接取值【讨论】例28、,2,2,1222222=+=+=+a c c b b a 则ca bc ab ++的最小值【 】12B ．12- C ．12-D ．12+应用二、恒成立问题例1、若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是【 】A ．222a b ab +> B ．a b +≥C ．11a b +>．2b a a b +≥例2、设,,a b c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是【 】A ．||||||c b c a b a -+-≤-B ．aa a a 1122+≥+ C ．21||≥-+-ba b a D ．a a a a -+≤+-+213 例3、设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立．．．．的是【 】A ．()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭ B ．2332ab b a ≥+ C ．b a b a 22222+≥++ D ．b a b a -≥-||例4、已知不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立,则正实数a的最小值为【 】A. 8B. 6C. 4D. 2例5、若直线1x ya b+=通过点()cos sin M αα，，则【 】 A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b+≥ 练习1.设+∈R b a ,，则下列不等式中不成立的是【 】A.4)11)((≥++b a b aB.ab ab b a 222≥+C.21≥+abab D.ab b a ab ≤+2 练习2.已知下列不等式：①)(233+∈>+R x x x ；②),(322355+∈+≥+R b a b a b a b a ；③)1(222--≥+b a b a . 其中正确的个数是【 】A.0个B.1个C.2个D.3个 练习3.已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围. 练习4.若+∈R y x a ,,，且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是【 】A.22B.2C.2D.1练习5.已知,a b R +∈，则使不等式333()()a b k a b +≤+成立的最小k 的值是【 】 A.1B. 2C. 3D. 4练习6.是否存在常数c ，使得不等式yx yy x x c y x y y x x +++≤≤+++2222对任意正数y x ,恒成立，试证明你的结论.应用三、证明不等式例1、已知0,0>>b a 且1=+b a ，求证：425)1)(1(≥++b b a a . 例2、若+∈R b a ,且1=+b a ，求证：22121≤+++b a .例3、已知z y x ,,是互不相等的正数且1=++z y x ，求证：8)11)(11)(11(>---z y x .练习1.在某两个正数y x ,之间插入一个数a ，使y a x ,,成等差数列；若插入两个数c b ,，使y c b x ,,,成等比数列，求证：)1)(1()1(2++≥+c b a .练习2.证明：对于任意实数,,y x 有244)(21y x xy y x +≥+.应用四、比较大小 例1、若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是 .例2、若b a b a ≠<<<<且,10,10，则ab b a ab b a 2,,2,22++中最大的是 .练习1.若12120,0a a b b <<<<，且12121a a b b +=+=，则下列代数式中值最大的是【 】 A. 1122a b a b + B. 1212a a b b + C. 1221a b a b + D.21。