第二章 单自由度系统的自由振动

位转角所需的力矩 (N m / rad)
k
I
在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作 为角位移的起点位置
由牛顿第二定律：
I&& k 0
&& 02 0
扭振固有频率
0
k I
第二章 单自由度系统的自由振动
由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动与直线振动的数学描述 完全相同。如果在弹簧质量系统中将 m、k 称为广义质量及广义刚度，则弹 簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质 量系统是广义的 。
对时间求导 取平衡位置为势能零点，根据自由振动的特点，系统在平衡位置时，系统的势能 为零，其动能的极大值就是全部机械能；而在振动系统的极端位置时，系统的动 能为零，其势能的极大值等于全部的机械能，即有：
例题讲解3 均匀悬臂梁长为 l， 弯曲刚度为EJ，重量不计， 自由端附有重为Ｐ＝ｍg的物体，如图所示。试 写出物体的振动微分方程，并求出频率。 梁的自由端将有静挠度： 物体的振动微分方程为：
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第二章 单自由度系统的自由振动
例题讲解3 重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞
梁长 L，抗弯刚度 EJ m
h
第二章 单自由度系统的自由振动
2.1 简谐振动
由牛顿定律，有 设系统固有频率为 二阶常系数线性齐次常微分方程
通解形式为
1
第二章 单自由度系统的自由振动
根据三角关系式
改 写
由此可以知道：该系统以 固有频率作简谐振动。
振动周期：
振动频率：
2
第二章 单自由度系统的自由振动
设在初始时刻t=0，物体有初位移
弹簧原长位置
m&x& kx 0
m
0
静平衡位置
k
I&& k 0
0 k I
0 k m k
x
I
第二章 单自由度系统的自由振动
例题讲解4：复摆 刚体质量 m
a
0
重心 C
对悬点的转动惯量 I 0
I0
C
mg
求： 复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率
第二章 单自由度系统的自由振动
解： 由牛顿定律 ：
3
第二章 单自由度系统的自由振动
例题讲解1
当振动系统为静平衡时 ， 弹簧在重力mg的作用下将有静伸长
物体的运动微分方程为：
s
mg k
mx mg k(s x)
mx kx 0
则有：
0
k m
g
s
对于不易得到 m 和 k 的系统，若能测出静变形 s ，则用该式计算是较为方便的。
4
第二章 单自由度系统的自由振动
重物匀速下降时处于静平衡位置，若 将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所 在位置
则 t=0 时，有： x0 0 x0 v
振动解：
x
t
x0
cos
0t
x&0
0
sin
0t
v
k
静平衡位置
W
W
x
x
t
v
0
sin
0t
1.28
sin
19.6t
(cm)
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第二章 单自由度系统的自由振动
振动解：
x(t)
v
0
s in(0t )
弹簧原长位置
m&x& kx 0
m
0
静平衡位置
k
I&& k 0
0 k I
0 k m k
x
I
第二章 单自由度系统的自由振动
从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着惯性元件和弹 性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度的元件，它表现为系统的质 量或转动惯量，而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元件， 它表现为具有刚度或扭转刚度度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加， 则使固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大 。
l/2
0
l/2
求： 梁的自由振动频率和最大挠度
第二章 单自由度系统的自由振动
解： 取平衡位置 以梁承受重物时的静平衡位 置为坐标原点建立坐标系
静变形 由材料力学 ： mgl3
48EJ
m h
l/2
0
l/2
x
静平衡位置
自由振动频率为 ： 0
g
48EJ ml 3
• 第二章 单自由度系统的自由振动
I0&& mga sin 0
因为微振动： sin
则有 ： I0 mga 0
固有频率 ：0 mga / I0
a
0
I0
C
mg
若已测出物体的固有频率 心的转动惯量：
0
，则可求出
I
0
，再由移轴定理，可得物质绕质
Ic I0 ma2
实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法
第二章 单自由度系统的自由振动
70 rad s
振动初始条件：
kx0 mg sin 300
运动方程： x t 0.1cos 70t cm
x
300
考虑方向
x0 0.1 (cm) 初始速度： x0 0
第二章 单自由度系统的自由振动
2.2 能量法
对于能量无耗散的振动系统，在自由振动时系统的机械能守恒。令T和U分别代表 振动系统的动能与势能，则有：
1.28
sin(19.6t)
( cm)
绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力 之和 ：
Tmax
Ts
kA
W
k
v
0
1.47 105 0.74 105
v W
2.21105 (N )
（动张力几乎是静张力的一半）
请思考：为了减少振动引起的动张力，应当采取什么措施？
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第二章 单自由度系统的自由振动
例题讲解2：提升机系统
重物重 量 W 1.47105 N
钢丝绳的弹簧刚度
k 5.78104 N / cm
重物以 v 15m / min 的速度均匀下降
求，绳的上端突然被卡住时： 1. 重物的振动频率； 2. 钢丝绳中的最大张力。
v W
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第二章 单自由度系统的自由振动 Nhomakorabea解：
振动频率 0
k m
gk 19.6rad / s W
撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：
x0 x0 2gh
则自由振动振幅为 ：
m h
l/2
0
l/2
静平衡位置
A
x02
x&0
0
2
2 2h
x
梁的最大扰度：
max A
x(t)
x0
cos(0t)
x0
0
sin(0t)
第二章 单自由度系统的自由振动
例：圆盘转动
圆盘转动惯量 I
k为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘产生单
例题讲解5：弹簧－质量系统沿光滑斜面做自由振动
30o
斜面倾角 质量 m =1 kg 弹簧刚度 k=49 N/cm 开始时弹簧无伸长，且速度为零
k
300
重力角速度取 9.8
求： 系统的运动方程
第二章 单自由度系统的自由振动
解：
以静平衡位置为坐标原点建立 坐标系
k 0
振动固有频率：
0 k m
49102 /1
，与初速度
，将其代入上述方程可得：
简谐振动的振幅与初相角随初始条件的不同而改变，但振动频率和周期则取决于振 动系统参数，与初始条件无关。
无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 为振动频率的简谐振0
动，并且永无休止。
初始条件：
x0 2, x0 0
固有频率从左到右：
0 , 20 , 30