电动力学第三章-余飞(完整版)

第三章 静磁场
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电动力学
第三章 静磁场
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电动力学
3-1 矢势及其微分方程
第三章 静磁场
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电动力学
3-1 矢势及其微分方程
第三章 静磁场
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电动力学
3-1 矢势及其微分方程
第三章 静磁场
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电动力学
3-1 矢势及其微分方程

r
dS1
B
L
dS2
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电动力学
3-1 矢势及其微分方程
1 2

(A J )dV
Ae J )dV
第三章 静磁场
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电动力学
3-1 矢势及其微分方程
最后一项称为相互作用能，记为
可以证明： Wi
(A Je )dV
Wi ，
(Ae
J )dV
第三章 静磁场
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电动力学
3-1 矢势及其微分方程
例1 求长度为l 的载流直导线的磁矢位。
定理：给V 定内V稳内恒传电导流电磁流场J由和V边2 A界S上的J
At 或 Bt
和边界
条件唯一确定。
第三章 静磁场
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电动力学
3-1 矢势及其微分方程
5．稳恒电流磁场的能量
已知均匀介质
W 1
B HdV
中总能量为
2
1）在稳恒场中有
W

1 2

A
JdV
① 能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。
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3-1 矢势及其微分方程
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3-1 矢势及其微分方程
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3-1 矢势及其微分方程
（1）稳恒电流磁场矢势满足(矢量)泊松方程 （2）与静电场中 2 形式相同 （3）矢势为无源有旋场
第三章 静磁场
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电动力学


(A r

H r
)dV r
( A H ) A J ÑS (A H ) dS 0
W1
B
HdV
1
(A
H )dV

1
A JdV
2
1

A
JdV
2

2
2
第三章 静磁场
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电动力学
3-1 矢势及其微分方程
若考虑l >> r, 即是无限长的载流导线，则有
A
0I 4
ln

l r
2


0I 2
ln
l r
第三章 静磁场
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电动力学
3-1 矢势及其微分方程
r A
erz
0I 4
ln

l r
2

erz
0I 2
ln
l r
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第三章 静磁场
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电动力学
3-1 矢势及其微分方程
第三章 静磁场
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电动力学
3）
3-1 矢势及其微分方程
第三章 静磁场
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电动力学
3-1 矢势及其微分方程
例：写出均匀磁场的矢势：
第三章 静磁场
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电动力学
3-1 矢势及其微分方程

L
A
r
dl

r
( A2t

r
A1t )l
r
ÑL A dl S B dS 0
2） 电流分布在外磁场中的相互作用能


势发；的设场JJ e的为为矢处外势于磁为外场磁A电场。流B总分e中能布的量，电A：e流为分外布磁场，的它矢激
W

1
2
( A Ae ) (J J e
1
2
( Ae
J e )dV

1 2
)dV
(A

Je
A2t A1t
第三章 静磁场
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电动力学
3-1 矢势及其微分方程
第三章 静磁场
A2t A1t rr A1 A2
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电动力学
3-1 矢势及其微分方程

（b） n (H 2

H1)


n ( 1
特殊情况：
2

A2

1
1

A1 )

z

A
y
① 若分界面为柱面，柱坐标系中当
②
1
A
J
不是能量密度。
2
第三章 静磁场
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电动力学
3-1 矢势及其微分方程
③ 导出过程


(
f
g)

(
f)

g
f
(
g)


B H ( A) H


rr
( A H ) A ( H )

V
解 : 用矢量磁位的叠加计算
取一电流元 Idz/ ，在场点的
矢量磁位
r dA
为
rr dA ezdA
dA 0I dz/ 0I
dz /
4 R 4 r2 (z z/ )2
r
A

erz
l 2

l 2
dA
第三章 静磁场
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电动力学
3-1 矢势及其微分方程
A 0I
4


(
r J
(xr)
)dV




1
r J
(
xr)dV

4
V
r J
4 (xr)
r3
V

rr
dV

r
4 V r
这正是毕奥-- 萨伐尔定律
第三章 静磁场
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电动力学
3-1 矢势及其微分方程
第三章 静磁场
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电动力学
3-1 矢势及其微分方程
已经证明上述表达式满足库仑规范：
l/2 l / 2
dz' [r2 (z z ')2 ]1/2

0I 4
ln
(l (l
/ /
2 2

z) z)
[(l / 2 z)2 r2]1/2 [(l / 2 z)2 r2]1/2
当l >> z 时有
A

0I 4
ln
l / 2 [(l / 2)2 r2]1/2 l / 2 [(l / 2)2 r2]1/2
电动力学
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电动力学
稳恒电流及其所激发的电场
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稳恒电流及其所激发的电场
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稳恒电流及其所激发的电场
3-1 矢势及其微分方程
矢势的形式解
J(x)dV
A
4 V
r
通过类比

Ai


1
4
4 V
( x)dV
Vr
Ji (xr)dV r

已知电流密度，可从方程直接积分求解，但一般电流分布
与磁场相互制约，因此一般情况需要求解矢量泊松方程。
B的解
r
r
B A
x
r A

Aerz
r erz
1 A1 1 A2 1 r 2 r
② 若分界面为球面，当
A Ae

e
1[ 1
r 1
r
(rA1 )

1
2
r
(rA2
)]

z x
A
y
第三章 静磁场
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电动力学
3-1 矢势及其微分方程
矢量泊松方程解的唯一性定理