实验6二次型及其标准形
第六章 实二次型
例 求一正交变换 X PY，将二次型f ( x1 , x2 , x3 ) x1 x2 x1 x3 x2 x3化为标准形。 1 1 解 二次型的矩阵为
0 1 A 2 1 2
，得 由E A 0
1 2 1 2
1 2
1 2
2 2 1 0 2 1 0 2 把第2、3行加到第1行 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2
ห้องสมุดไป่ตู้
Y T Y
因此， 问题进一步演变为： 对于给定的n阶对称矩阵 A (aij ) nn ，如何找出 n阶可逆矩阵C， 使得 C T AC 为对角矩阵。
那么就把原二次型化为标准型， 标准型中平方项的系数就是对角矩阵 的n个对角元。
T 使得 B P AP 定义 如果对于n阶方阵A和B， 存在n阶可逆矩阵P，
属于三重根 2 1的特征向量满足：x1 x2 x3 x4 0 利用直观法求出三个两两正交解（然后再单位化）：
1 1 1 p2 0 2 0 0 1 0 p3 1 2 1
1 1 1 p4 2 1 1
( 1) 2 (2 2 3) ( 1) 3 ( 3) 0 A的4个特征值为1
3, 2 3 4 1
属于1 3的特征向量满足：
3 x1 x 2 x3 x 4 0 x 3 x x x 0 1 1 1 2 3 4 可取单位特征向量 p1 2 1 x1 x 2 3 x3 x 4 0 1 x1 x 2 x3 3 x 4 0 1
第六节 二次型的标准形和规范形
但是，标准形中所含有的项数是确定的，项数 等于二次型的秩．
f k1 y12 k2 y22 kr yr2 , (ki 0)
实际上，不仅标准形中的非零系数的个数是确 定的，其中正的系数个数和负的系数个数也被原二 次型所确定，这就是下面的“惯性定理”。
A
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 11
0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
1
0 0 0
,
1
1
1
2
1 0 0
,
3
0 1 0
,
4
0 0 1
,
18
1
1
1
2
1 0 0
,
3
0 1 0
,
4
0 0 1
,
正交化，
1 1 1
正交化，
3
2 0 1
4 5
2 1 0
1 5
2 4 5
,
再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵
1 3 2 5 2 45
P 2 3 1 5 4 45
2 3
0
5 45
14
于是所求正交变换为 X PY , 标准形为 f 9 y12 18y22 18y32 .
2 1
3 1 1 1
1 3 ,
3E
A
1 1 1
3 1 1
1 3 1
1
13
17
3E
A
3 1 1
1 E3A 1
1 1 3
二次型及其标准形
例1 求一个正交变换x Py,把二次型
f x12 2x22 x32 2x1 x3 化为标准形.
解
1 (1)A 0
0 1 2 0
1 0 1
(2)A的特征值1 2 2,3 0.
当1 2 2时，特征向量为：
p1 (0,1,0)T , p2 (1,0,1)T .
当3 0时，特征向量为：p3 (1,0,1)T .
定理1 对于实二次型 f xT Ax, 总存在正交 变换 x Py,使 f 化为标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2 其中 1，2，,n为A的特征值.
用正交变换化二次型为标准型的步骤： (1)写出二次型的矩阵; (2)求 A的全部特征值,特征向量并正交化、单位化; (3)求正交矩阵P; (4)写出正交变换和标准形.
(3)将p1，p2，p3单位化：q1 (0,1,0)T , q2 (1/ 2,0,1/ 2)T ,q3 (1/ 2,0,1/ 2)T .
0
令Q
1
0
1 2
0 1
2
1
2 0 1
2
,
(4)作正交变换
0
x 1
0
1 2
0 1
2
1 2
0 y,
1
2
标准形为 f 2 y12 2 y22 .
定义2 设A和B是n阶方阵，若有可逆矩阵C，使 B CT AC, 则称矩阵A与B合同. congruent
合同是方阵间又一个特殊的等价关系, 因此具 有以下性质: (1) 自反性; (2) 对称性; (3) 传递性;
(4) 合同变换不改变矩阵的秩;
(5) 合同变换不改变矩阵的对称性;
4.4.3 二次型的标准化的方法
称为二次型.
二次型及其标准型
含有n个变量x1, x2 , , xn的二次齐次多项式
f (x1, x2, , xn ) a11x12 2a12 x1x2 2a13x1x3 2a1n x1xn
a22 x22 2a23x2x3 2a2n x2xn
a33x32 2a3n x3xn
阵B CT AC且r(A) r(B).
正交变换化二次型为标准形：
d1
问题1：标准形的矩阵 = ？
dn
问题2：将二次型化为标准形实际上是什么问题？
找可逆阵 C, 使CT AC 为对角阵.
问题3：二次型能否化为标准形？
能！因为任意实对称阵都与对角阵正交合同。
x y
x,
y
2 0
0 8
x y
2x2 8y2
启示
1. 二次齐次多项式可以写成矩阵形式，其矩阵的主对角元恰是 平方项系数，关于主对角线的对称元恰是交叉项的系数的一半 ；
2. 通过一正交变换就将二次齐次多项式化简成只含有平方项的标 准形.
二次型（quadratic form ）的定义
例 求一个正交变换x =Qy，， 化二次型为标准形
f x12 2x22 2x32 4x1x2 4x1x3 8x2 x3
解 二次型的矩阵
1 2 2 A 2 2 4
2 4 2
特征多项式
1 2
2
A E 2 2 4 ( 7)( 2)2
2 4 5
单位化
2
2 2
1 5
2 1 0
3
二次型及其标准形
xn
a21
a22
an1
an 2
a1n x1
a2
n
x2
ann
xn
a11 a12
a1n
x1
记
A
a21
a22
a2n
,x
x2
an1
an 2
ann
xn
得二次型的矩阵形式 其中，A 为对称阵。
f xT Ax
只含平方项的二次型 f k1 y12 k2 y22 kn yn2
线性代数
二次型及其标准形
1
二次型及其矩阵 的表示形式
本节内容
2
用正交变换化二 次型为标准形
在解析几何中，为了便于研究二次曲线 ax2 bxy cy2 1
的几何性质，可选择直角坐标系的一个适当的旋转变换
x xcos ysin
y
x
sin
y
cos
把二次曲线方程化为标准形
mx2 ny2 1
(3)在正交变换 x Py 下，化二次型为标准形。
f xT Ax yT P T AP y yT Λy 1 y12 2 y22 n yn2
标准形平方项的系数ii 1, 2, , n 即对称阵A 的特征值。
例2 设二次型 f x1, x2, x3 x12 2x1x3 2x22 x32 ，求一个正交交
解
二次型矩阵为
2 A 3 5
3 5
1 0 0 1
于是得
f x1, x2,
2
, xn 3
5
3 1 0
5
0 1
x1 x2 x3
1.2 用正交变换化二次型为标准形
化二次型(1.1)为标准形(1.3)，用矩阵表示就是以 x 代Cy入，得
第六章二次型及其标准型讲解
ann
x
2 n
当系数属于数域 F 时，称为数域 F 上的一个n元二次
型.本章讨论实数域上的 n 元二次型，简称二次型.
令 aij = aji，则 2 aij xi xj = aij xi xj + aji xi xj ，于是
f ( x1, x2 ,
, xn ) ax111(xa1121x1a12ax112xx22 ax221(xa22x1 x1 1a型的标准形.
易知， r RA RB
6.2 化二次型为标准形
● 用配方法化二次型为标准形 ● 用正交变换法化二次型为标准形
化二次型为标准形
定理6.2.1 任何一个二次型都可以通过非退化线性变换化为标准 形。
定理6.2.2 对任意一个n阶实对称矩阵A，都存在可逆矩阵C，使 得
CTAC=diag(d1, d2, ¨, dn)
方法一、用配方法把二次型为标准型 方法二、用正交变换法把二次型为标准型
用正交变换法化二次型为标准形
定理6.2.3 对于二次型 f (x)=XTAX，一定存在正交矩阵Q， 使得经过正交变换
X=QY 后能够把它化为标准形 f 1 y12 2 y22 n yn2 其中 1, 2 , 是,二n次型f (x)的矩阵A的全部特征值。
ann xn
a11 a12
( x1, x2 ,
,
xn
)
a21
a22
xT Ax
an1 an2
a1n x1
a2
n
x2
ann xn
nn
f (x1,x2,,xn )
aij xi x j xT Ax,
i1 j1
其中 A = (aij)n×n , x = (x1 , x2 , ···, xn)T
二次型及其标准型
其中
a11 a12 a21 a22 A a a n1 n 2
a1n x1 a2 n x2 , x ann xn
1）称A为二次型 f 的矩阵，显然 A=AT; 2）A=(aij), 若 aij 为复数，称 f 为复二次型； 3) A=(aij), 若 aij 为实数，称 f 为实二次型； 4）称为R(A)为二次型 f 的秩。
例 1. 把下面的二次型写成矩阵形式；
(1)
(2)
解： (1)
f ( x1 , x2 ) x 4 x1 x2 3x ;
2 1 2 2
f ( x1 , x2 , x3 ) x 4 x1 x2 3x ;
2 1 2 2
f ( x1 , x2 ) x1
1 2 x1 x2 2 3 x2
定理10. 任意 二次型
n n
f ( x1 , x2 ,, xn ) aij xi x j
(aij a ji ), 总有正交变换x Py, 使f 化为标准型
2 f 1 y12 2 y2 2 n yn
i 1 j 1
其中1， ，2， n是 f 的矩阵A的n个特征值 .
故 B 为对称矩阵.
再证 R(B)=R(A).
因
又因
B=C TAC, 故 R(B) ≤R(AC) ≤R(A).
A=(C T) -1BC -1,故 R(A) ≤R(BC -1) ≤R(B)
于是
R(B)=R(A).
这定理说明：经可逆变换 x=C y ,把 f 化成 yTC TACy ， C TAC 仍为对称矩阵，且二次型的秩不变。要使二次型 f 经过可逆变换 x=C y化成标准形，即使 f = x TAx
实二次型及其标准形
A与B等价：PAQ = B, 与 等价 等价：
P, Q 可逆； 可逆；
可逆； A与B相似：P -1AP = B , P 可逆； 与 相似 相似： 请思考：矩阵合同与等价、相似有何关系？ 请思考：矩阵合同与等价、相似有何关系？
三、用配方法化二次型为标准形
只含平方项的二次型 d1 y12 + d2 y22 + … +dr yr2 称为标准形. 称为标准形 形如 z12 + …+ zp2 – zp+12 - … - zr2 +1 的二次型称为规范形. 的二次型称为规范形 p: 正惯性指数； 正惯性指数； r - p: 负正惯性指数； 负正惯性指数； |r - 2p|: 符号差 符号差. (di ≠0)
2 1 2 2 2 3
3 －2 − 3 3 c 1 2
3 1 0
1 2 0 －1
f ( x1 , x2 , x3 ) = 5x + 5x + cx − 2x1 x2 + 6x1 x3 − 6x2 x3
5 −1 3 解：A = −1 5 −3 3 −3 c ∵ r ( A) = 2 ∴ A =0 ∴ c=3
可逆， ），（满秩 若C可逆，则称 为非退化（可逆），（满秩）线性变换。 可逆 则称(2)为非退化（可逆），（满秩）线性变换。 正交， 若C正交，则称 为正交线性变换。 正交 则称(2)为正交线性变换。
非退化线性替换的性质： （1）非退化线性替换的逆还是非退化线性替换 证： 由X = CY
⇒ Y = C -1 X
可逆， 设P , Q可逆，则 r ( PA) = r ( A) = r ( AQ ).
两个 n 阶对称方阵 A、B , 若存在可逆 矩阵的合同： 矩阵的合同： 矩阵 C , 使得 B = C AC , 则称 A 合同 ~ 于 B . 记作A − B。 所以，通过非退化线性变换， 所以，通过非退化线性变换， 新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的. 新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.
二次型的标准形
以 1 与2 正交，只需单位化得 p1
1 1
1 2
(1，1，0)T
，
p2
2 2
(0 ，0 ，1)T ．
②
当 3 0 时，由 Ax 0 得基础解系为 3 (1，1，0)T ，直接单位化得
p3
3 3
1 (1，1，0)T ． 2
1.1 用正交变换化二次型为标准形
1
2
（4）令
P
(
p1
，p2
，p3
应用线性代数
二次型的标准形
若二次型 f (x1 ，x2 ， ，xn ) 经过可逆线性变换 x Cy 可化为只含平方项的形式 f b1 y12 b2 y22 bn yn2 ， 则称上式为二次型 f (x1 ，x2 ， ，xn ) 的标准形， B diag(b1 ，b2 ， ，bn ) 为标准形矩阵．
T
，1
，再将
2
，3
单位化得
p2
2 2
(
2 5
，1 5
，0)T
，
p3
3 3
( 2 ， 4 ， 5 )T ． 35 35 35
1
3
（4）令
P
(
p1
，p2
，p3
)
2 3
2
3
2 5
1 5
0
2 35
4 35 5
，
x
x1 x2 x3
，
y
y1 y2 y3
，则正交变换
解
二次型
f
( x1
，x2
，x3 ) 不含平方项，令
x1 x2
y1 y1
y2 ，
y2
，即
x1 x2
1
6.1二次型及其标准形
0 3 3
见书上例2、例3.
只含有平方项的二次型 f k1 y12 k2 y22 kn yn2
称为二次型的标准形（或法式）． 例如
f x1, x2 , x3 2x12 4x22 5x32 4x1x3 f x1, x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
其中1,2 ,, n是 f 的矩阵A aij 的特征值.
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式f xT Ax,求出A;
2. 求出A的所有特征值1,2 ,,n;
3. 求出对应于特征值的特征向量1 ,2 ,,n;
4.
将
特征向量
1
,
2
,,
正
n
交化,
单位化,
得
1 ,2 ,,n ,记C 1 ,2 ,,n ;
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
记C (cij),则上述可逆线性变换可 记作
x Cy
将其代入 f xT Ax,有
f xT Ax CyT ACy yT CT AC y.
这样问题就演变为如何找出n阶可逆矩阵C使得CT AC 为对角矩阵。
定义：如果对于n阶方阵A和B，存在n阶可逆矩阵P，使
a1n
a2n
,
ann
x1
x
x2
,
xn
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为对称矩阵.
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵A的二次型;
例１ 写出二次型 f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 6 x2 x3
的矩阵.
解 a11 1, a22 2, a33 3, a12 a21 2, a13 a31 0, a23 a32 3.
第6章 二次型及其标准形
问： 在二次型 f = x T Ax 中,如不限制 A对称 A唯一吗 对称, 唯一吗? 如不限制 对称 唯一吗
定义 只含平方项的二次型
2 2 2 f = k1 x1 + k 2 x 2 + L + k n x n
k1 x1 M O = [ x1 ,L , x n ] kn xn
目标： 目标：
1. 正交变换法（重点） 正交变换法（重点） 2. 配方法
T
二次型 f = X AX
↓
可逆线性变换 X = CY
标准形 f = Y T (C T AC )Y
2 = k 1 y12 + k 2 y 22 + L + k n y n
= Y ΛY
T
问题转化为： 问题转化为： 求可逆矩阵 C ，使得 C T AC 为对角矩阵
解（1）写出二次型 f 的矩阵
求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量 (2) 求出 的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量
而它们所对应的标准正交的特征向量为
2 1 P= 1 1 3 − 2
2 1 P = − 2 2 3 1
1 1 P = 2 3 3 2
非退化线性变换（可逆线性变换） 一、 非退化线性变换（可逆线性变换） 设
若
简记 是可逆矩阵时, 当C 是可逆矩阵时, 称 为可逆线性变换。 可逆线性变换。
对于二次型，我们讨论的主要问题是 对于二次型，我们讨论的主要问题是： 主要问题 寻求可逆的线性变换，使二次型只含平方项。 寻求可逆的线性变换，使二次型只含平方项。 可逆的线性变换 即二次型
(完整版)线性代数第六章实二次型(自考经管类原创)
正定 半正定 负定 半负定 不定
二、正定矩阵
n元实二次型f xT Ax,及对称矩阵A一一对 应，能够判定A为正定矩阵，则f 必为正定二 次型.正定矩阵有哪些性质，怎样判定？
正定矩阵的性质 定理 对角矩阵为正定矩阵当且仅当中所 有对角元全大于零. 例 E为正定矩阵.
定理(必要条件) 对称矩阵A为正定矩阵，则A 中所有对角元必全部大于零. 反之，若存着对角元aii 0, 则A必然不正定. 例2 f 4x12 6x22 +15x32 x1x2 2x2 x3是否正定？ 定理 正定矩阵的合同矩阵必为正定矩阵. 定理 同阶正定矩阵之和必为正定矩阵.
2a12x1x2 + 2a13x1x3 + ···+ 2an-1,nxn-1xn
为二次型.
取 aij = aji , 则
2aijxixj = aijxixj + ajixjxi ,
nn
于是 二次型可写成 f (x1, x2,..., xn )
aij xi x j .
i1 j1
a11 a12 a1n
令
y1 y2
x1 x2
2x2 x3
y3 x3
即作可逆变换
x1 x2
y1+2 y2 y2 +y3
+2y3
x3 = y3
x1 1 2 2 y1
即经可逆变换
x2
=
0
1
1
y2
x3 0 0 1 y3
将二次型化为标准形y12 6 y22 4 y32
O
定义 规范形中k称为二次型的正惯性指数，k r称 为负惯性指数，正负惯性指数的差2k r称为二次 型的符号差.
定理 对称矩阵A与B合同当且仅当它们有相同的 秩和相同的正惯性指数.
第6章二次型及其标准型
推论 任给 n 元二次型 f = xTAx (AT = A),
总有可逆变换 x = Pz，使 f(Pz) 为规范形.
黄凤英 二次型
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤: 1. 写出二次型 f 2, , n. 3. 对每个 =i 求出对应方程(AE)x=0的基础
对 2 = 3= 5,
对 1= 4,
4 2 4 由A 5 E 2 1 2 4 2 4
黄凤英 二次型
1 r 0 0
1 1 2 0 0 , 0 0
1 0 得 : 2 2 , 3 2 , 0 1 1 2 2 2 , 正交化得： 0 4 1 3 2 5 5
2 2 2
如果标准形的系数只在 1 , -1 , 0 三个数中 取值，则称之为规范形.
二次型的秩的意义： 一个二次型
的标准形中所含的项数即为该二次型的秩.
黄凤英 二次型
合同矩阵
定义 3 设 A 和 B 是 n 阶方阵，若有可逆
矩阵 C，使 B = CTAC，则称矩阵 A 与 B 合同.
可逆矩阵C称为合同变化矩阵.
二次型及其标准形
主要内容
二次型的概念
合同矩阵
化二次型为标准型
黄凤英 二次型
二、二次型的概念
定义 1 称 n 个变量的二次齐次多项式
f(x1 , x2 , · · · , xn ) = a11x12 + a22x22 + · · · + annxn2 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + · · · + 2an-1,nxn-1xn 为二次型. 取 aij = aji , 则 2aijxixj = aijxixj + ajixjxi , 于是 (2) 式可写成
二次型标准型规范型
二次型标准型规范型二次型是数学中一个重要的概念，它在代数、几何和物理等领域都有着广泛的应用。
在矩阵和向量的理论中，二次型的标准型和规范型是非常重要的概念，它们能够帮助我们更好地理解和处理二次型的性质和特征。
本文将对二次型的标准型和规范型进行详细的介绍和解释。
首先，我们来看一下二次型的标准型。
对于一个二次型，通过合适的线性变换，我们可以将其化为标准型。
具体来说，对于一个n元二次型。
\[f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j\]我们可以找到一个非奇异矩阵P，使得通过线性变换。
\[y = Px\]原二次型可以化为标准型。
\[g(y_1, y_2, \cdots, y_n) = \lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2 + \cdots +\lambda_ny_n^2\]其中$\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$为二次型的特征值。
这个标准型的形式简单明了，能够直观地展现二次型的特征。
接下来，我们来讨论二次型的规范型。
对于一个实二次型，通过合适的正交变换，我们可以将其化为规范型。
具体来说，对于一个n元实二次型。
\[f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j\]我们可以找到一个正交矩阵Q，使得通过正交变换。
\[y = Qx\]原二次型可以化为规范型。
\[h(y_1, y_2, \cdots, y_n) = \varepsilon_1y_1^2 + \varepsilon_2y_2^2 + \cdots +\varepsilon_r y_r^2\]其中$r$为二次型的秩，$\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_r$为二次型的非零特征值。
二次型及其标准形
第五节 二次型及其标准形定义 8 n 个变量 x1 , x2 , ……, x n 的二次齐次函数f (x1 , x2 , ……, xn ) =222222111nnn x a x a x a +++ )1(2221,131132112nn n n x x a x x a x x a --++++称为二次型.,ij ji a a =若取i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2则于是（1）式可写成f (x1 , x2 , ……, xn ) )2(1,∑==nj i jiij xx a对二次型 (1) ，记,212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x x 21 则二次型 (1) 又表示为f (x 1 , x 2 , ……, x n )= x A x T其中 A 为对称矩阵，叫做二次型 f (x 1 , x 2 , ……, x n ) 的矩阵，也把 f (x 1 , x 2 , ……, x n ) 叫做对称矩阵 A 的二次型.对称矩阵 A 的秩， 叫做二次型 f (x 1 , x 2 , ……, x n ) = x T A x 的秩.二次型 f (x 1 , x 2 , ……, x n )经过可逆的线性变换)3(22112222121212121111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x即用(3) 代入 (1) ，还是变成二次型.那么新二次型的矩阵与原二次型的矩阵 A 的关系是什么？可逆线性变换 (3),记作x = C y , ).(ij c C =其中矩阵 把可逆的线性变换 x = C y 代入二次型 f = x T A x , 得二次型f = x T A x = (C y )T A (C y ) = y T (C T AC ) y就是说，若原二次型的矩阵为 A ，那么新二次型的矩阵为C T AC , 其中 C 是所用可逆线性变换的矩阵．f (x 1 , x 2 , ……, x n )g (y 1 , y 2 , ……, y n )x = C y 可逆线性变换( A T = ) AB ( = B T )C T AC =定理 9 设有可逆矩阵 C ,使 B = C T AC ,如果 A 为对称矩阵，则B 也为对称矩阵，且R (A ) = R (B ) .证 因为 A 是对称矩阵,即 A T = A ，所以B T = (C T AC )T = C T A T (C T )T = C T A T C = B ,即 B 为对称矩阵.因为 B = C T AC ，所以R (B ) ≤R (AC ) ≤R (A ) . 因为A =( C T )–1BC –1， 所以 R (A ) ≤R ( BC -1) ≤R (B ) , 故得 R (A ) = R (B ). 主要问题：求可逆的线性变换)3(22112222121212121111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x将二次型 (1) 化为只含平方项，即用(3) 代入 (1) ，能使f (x 1 , x 2 , ……, x n ) )4(2222211nn y k y k y k +++=称（4）为二次型的标准形.（二次型的标准型不唯一）也就是说，已知对称矩阵A ，求一个可逆矩阵C 使Λ=AC C T为对角矩阵.定理 9 设 A 为 n 阶对称矩阵，则必有正交矩阵 P ,使Λ==-AP P P A P T 1Λ其中是以 A 的 n 个特征值为对角元素的对角矩阵. 定理 10 ),(1,ji ij nj i ji ij a a x x a f ==∑=任意二次型总有正交变换 x = Py ，使 f 化为标准形2222211nn y y y f λλλ+++= ，.)(,,,21的特征值的矩阵是其中ij n a A f =λλλ 例 1 用矩阵记号表示二次型23322121242x x x x x x f +-+-= 解 二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---220201011那么()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=321321220201011,,x x x x x x f 例 2 求一个正交变换 x = Py ，把二次型233222212225x x x x x f +++=化为标准形.解 二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210120005A它的特征多项式为),5)(3)(1(21120005λλλλλλλ---=---=-E A .531321===λλλ，，的特征值为于是A ,0)(11=-=x E A 时，解方程组当λ,110321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x 解得基础解系.212101⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=p 单位化得,0)3(32=-=E A 时，解方程组当λ,110321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x 解得基础解系.212102⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=p 单位化得 ,0)553=-=x E A 时，解方程组（当λ,001321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x 解得基础解系.0013⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=p 单位化得于是正交变换为,0212102121100321321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y y y x x x .53232221y y y f ++=且有例 3 求一个正交变换 x = Py ，把二次型233222312121221221x x x x x x x x x f -+++-=化为标准形. 解 二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=11112/12/112/12/1A 它的特征多项式为)2()1(11112121121212λλλλλλ+-=------=-E A.2,1321-===λλλ故得特征值,0),121=-==x E A 解齐次线性方程组（时当λλ,102,01121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b b 解得基础解系正交化： 取,01111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==b q⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-=11101122102],[],[1112121112122q b b b b b q b b b b b q T T再单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=313131,0212121p p,0)2(23=+-=x E A 时，解方程组当λ,211321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x 解得基础解系.6261613⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=p 单位化得于是正交变换为,62310613121613121321321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y y y x x x .2232221y y y f -+=且有例4 已知在直角坐标系 o x 1 x 2中, 二次曲线的方程为123222121=+-x x x x 试确定其形状．解 先将曲线方程化为标准方程，也就是用正交变换把二次型22212123x x x x f +-=化为标准形． 二次型 f 的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=22/32/31AA 的特征多项式为,4/532+-=-λλλE A 于是 A 的特征值为.2/1,2/521==λλ可求得对应的特征向量为.13,3121⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=q q将它们单位化得.2/12/3,2/32/121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=p p令⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛21212/12/32/32/1y y x x 就有.21252221y y f +=故在新坐标系o y1 y2中该曲线的方程为.121252221=+y y这是一个椭圆．其短、长半轴长分别为.21,510121==λλ。
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实验6 二次型及其标准形
一、 实验目的
学习利用Matlab 命令求二次型的秩，化二次型为标准形，判断二次型的正定性.
二、实验原理
（一）预备知识
• 线性代数中的关于二次型的知识：
1. 二次型的秩就是二次型的矩阵的秩；
2．判别二次型为正定二次型的充要条件是，它的矩阵A 的特征值全为正，或
A 的各阶主子式为正。
• 本实验所用Matlab 命令提示：
1. 二次型的矩阵为A, 因此用命令rank(A)可以求二次型的秩；
2. d = eig(A)输出方阵 A 的全部特征值组成的列向量d ；
3. 命令[P,D]=eig(A)输出的是对角线上的元素为A 的特征值的对角矩阵D ，以A
的相应的特征向量为列的矩阵P.
（二）实验举例
在Matlab 中，我们运用函数[P,D]=eig(A)求出二次型的矩阵A 的特征值矩阵X 和特征向量矩阵P ，所求的矩阵X 即为系数矩阵A 的标准形，矩阵P 即为二次型的变换矩阵.
例1 把二次型222122332343f x x x x x =+++化为标准形.
解 输入:
clear
A=[2 0 0;0 3 2;0 2 3];
syms y1 y2 y3
y=[y1;y2;y3];
[P ,D]= eig(A)
x=P*y
输出为:
P =
0 0
D =
0 0
0 0
0 0
x =
[ y2 ]
[ -1/2*2^(1/2)*y1+1/2*2^(1/2)*y3]
[ 1/2*2^(1/2)*y1+1/2*2^(1/2)*y3]
f=[y1 y2 y3]*D*y
f =y1^2+2*y2^2+5*y3^2.
由输出结果可知,线性变换x=py 化二次型为标准型22212325f y y y =++.
判别二次型为正定二次型的充要条件是，它的矩阵A 的特征值全为正，或 A 的各阶主子式为正.
例2 判断二次型222112213324824f x x x x x x x =+++-的正定性.
解１ 输入:
clear
A=[2 2 1;2 8 0;1 0 -4];
D= eig(A)
输出为：
D =
由输出结果可知二次型的矩阵的特征值为，，，不全为正，所以二次型不是正定的．
解2 二次型的矩阵为221280104A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
,所以输入
c lear
A2=[2,2;2,8];
A3=[2,2,1;2,8,0;1,0,-4];
D2=det(A2)
D3=det(A3)
输出为：
D2=
12
D3=
-56
输出结果显示：二次型的3阶主子式为-56<0,所以二次型不正定.
三、实验练习
1．求二次型22221223341234222f x x x x x x x x x x =++++++的秩.
2.化二次型222123121323564610f x x x x x x x x x =++---为标准形,并求出所作的非退化的线性变换.
3.用正交变换化二次型121323222f x x x x x x =++为标准形.
4.判别二次型222123122313104224f x x x x x x x x x =+++--是否正定?。