质量管理方法 直方图法
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三、质量管理常用的统计方法
5、直方图法
频率直方图，又名质量分布图。 作用：确定质量的分布的基本特征；
判断质量的现状和变化趋势； 分析和判断生产过程是否稳定。
f
频率直方图
质量特性
频率直方图的作法 （1）用随机抽样的方法收集有关质量数据，并对 数据进行筛选处理，去掉小概率事件的数据，一 般应抽取50个以上。例6-4 （2）计算极差R。从数据中找出最大值Xmax和最 小值Xmin，R= Xmax- Xmin R= Xmax- Xmin=47.0-30.8=16.2
• [解读]尺虽比寸长，但和更长的东西相 比，就显得短，寸虽比尺短，但和更短 的东西相比，就显得长；事物总有它的 不足之处，智者也总有不明智的地方。 人或事物各有长处和短处，不应求全责 备，而应扬长避短。
i j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 15.0 15.8 15.2 15.1 15.9 14.7 14.8 15.5 15.6 15.3 2 15.1 15.3 15.0 15.6 15.7 14.8 14.5 14.2 14.9 14.9 3 15.2 15.0 15.3 15.6 15.1 14.9 14.2 14.6 15.8 15.2 4 15.9 15.2 15.0 14.9 14.8 14.5 15.1 15.5 15.6 15.1 5 15.1 15.0 15.3 14.7 14.5 15.5 15.0 14.7 14.2 14.2
3
0.06
5
0.10
10 0.20
16 0.32
8
0.16
6
0.12
2
0.04
50 100%
直方图(练习)
18 频数 16 14 12 10
8 6 4 2
X
0 14.2 14.5 14.8 15.1 15.4 15.7 16.0
直方图(练习)
• 尺有所短，寸有所长；物有所不足,智有 所不明。——战国·楚·屈原《卜居》
直方图与标准比较
当产品质量特性值符合规定标准时，其对应的直方图，必定
在标准范围之内。符合规定的直方图大致有下面四种类型：
T
T
B
B
SL ( S )
T B
( L ) Su
SL ( S )
( L ) Su
T B
SL ( S )
( L ) Su
SL ( S )
( L ) Su
直方图在标准范围内的情况
直方图的分布范围B位于标准范围T内，但有余量;直方图的分布中心与标准中 心近似重合，这是理想的直方图。此时，全部产品合格，工序处于正常管理状 态。
孤岛型
4）双峰型：两组机器、或材料、或操作工人施工； 然后把这两方面数据混在一起整理产生的。
双峰型
5）陡壁型：有意将不合格的产品剔除；
陡壁型
对于正常型直方图，将其分布范围B=[S，L](S 为一批数据中的最小值，L为一批数据中的最大 值)与标准范围T=[SL，Su]， SL为标准下界限， Su为标准上界限)进行比较，就可以看出产品质 量特性值的分布是否在标准范围内，从而可以 了解生产过程或工序加工能力是否处于所希望 的状态。为了方便，可在直方图上标出标准下 界限值和标准上界限值。
i 1
加权算数平均数
k
X
x1f1
x2
f2
k
xk
fk
xi
i1 k
fi
fi
fi
i1
i1
xi 第i组组中值 fi 第i组的频数
列表计算例6-4中50个混凝土试块的平均强度
k
xi fi
X
i1 k
fi
i1
18880 37.76 50
②计算中位数 X~
中位数是全部数据由小到大顺次排列中位置居
中的那个数据，其确定方法有两种。
相等。数值最好取整。
组距 组 极数 差即
HR k
HR16 .21.82.0 k9
③确定组限。 该组的最大值为上限，最小值为下限，上、下 限统称组限。 组距等于相邻两组上限（或下限）之差。 连续取值的计量型数据，要令较低组的上限与 相邻较高组下限为同一数值。 本例中，质量标准下限为30.0，以此作为第一 组下限，其上限为：30.0+2.0=32.0，最高组组限为 46.0~48.0，覆盖了全部数据。
当出现非正常型直方图时，表明生产过程或 者数据的收集、整理方法存在问题，需要进一步分 析判断，找出原因，采取相应措施加以纠正。
折齿型、缓坡型、孤岛型、双峰型、绝壁型
1）折齿型：是由于分组不当或组距确定不当 出现的分布状态
折齿型
2）缓坡型：主要是由于操作中上限或下限控 制太严造成的。
缓坡型
3）孤岛型：原材料一时发生变化，工人一时变换；
Su ( L )
直方图超出标准范围内的情况
直方图的分布范围B大大超出标准范围T，此时已出现大量不合格品，必须立即 分析原因，采取紧急措施;如果标准允许改变，就重新修订标准。
T B
( S ) SL
Su ( L )
直方图超出标准范围内的情况
（7）计算质量分布特征值 ①平均数
简单算数平均数
1 n
X
n
xi
③计算极差R 极差是数据最大值与最小值之差。 在数据未分组时的计算式为
RXma x Xmin 在数据分组时极差值等于最高组上限与最低组 下限之差
④标准偏差：描述数据对于平均值的离散程度，
用样本的标准差S表示
A。当数据未经分组时（n足够大时n-1可用n代
替）
S
n
1
1
n i 1
百度文库
(
xi
X
)2
B。当数据分组时（xi为组中值）
( L ) Su
SL ( S )
( L ) Su
直方图在标准范围内的情况
直方图的分布范围B没有超出标准范围T，但没有余量。此时分布中心稍有偏移 便会出现不合格品，所以应及时采取措施，缩小产品质量特性值的分布范围。
T
分
B
析
一
下
SL ( S )
直方图在标准范围内的情况
( L ) Su
产品质量特性值的分布非常集中，致使直方图的分布范围B与标准范围T之间的 余量过大。此时，可对原材料、设备、工艺等适当放宽要求，从而降低生产成 本;或者加严标准，提高产品的性能，以利于组装等
T
分
B
析
一
下
SL
(S)
Su
(L)
直方图在标准范围内的情况
产品质量特性值的分布中心向左(或向右〉偏离标准中心，致使直方图分布范 围B的下界限(上界限)超出标准范围T的下界限(或上界限)，因而在下界限(或 上界限)出现不合格品，此时，应设法提高(或降低)产品质量特性值的平均值， 使直方图的分布中心向右(或向左)移动，从而使直方图的分布范围完全落在标 准范围之内。
A.数据未经分组处理时，中位数的确定：
数据总个数为奇数时（n为奇数）
中位数项 n数 1 2
即中位 X ~数 xn1
2
数据总个数为偶数时，中位数应该等于居中的
两个数据的平均数，即
X~
xn
2
xn 1 2
2
B.数据经分组整理后，中位数的确定。 先确定中位数所在组，然后用内插法计算中位 数。
X~中位数组下 中 中 限位 位数 数组 组频 组 数 距 （中位数项 -中数位数组前一组频 的数 累） 计
•
（5）计算累计频数
（6）绘制频率直方图 直方图是用横坐标表示数据的变化，以纵
坐标表示频数（或频率，或频率密度）而绘制 出的描述质量分布状况的图形，直方图将同时 显示数据的所有可能值及这些数值所对应的频 数（或频率）
频率直方图分析 （1）观察整个图形，可判断质量分布状态。
正常型直方图是“中间高、两侧低、左右接 近对称的图形。
（3）数据分组。包括确定组数、组距和划分组限。 ①确定组数k。原则是使分组的结果能正确反映数 据的分布规律，参考表6-7.例6-4中，取k=9
数据总数N 分组数k 数据总数N 分组数k 数据总数N 分组数k 50~100 6~10 100~250 7~12 250以上 10~20
②确定组距H。组距即一个组的范围，各组距最好
S
1 n 1
k i 1
( xi
X
)2
fi
⑤变异系数
变异系数是表示数据相对波动大小的数值，用
表示离散程度的数字特征值除以相应的平均值
求得，变异系数指标有：
A 极差系数：
CVRR/X
极差系 平 极 数 均 差数
B 标准差系数
CVS/X
标准差平 标 系均 准 数数 差
生产某种圆形零件，要求其直径x为15.0 ±1.0 (mm)，试用 直方图进行统计分析。
组号 1 2 3 4 5 6 7
∑
下界限 ~上界限 14.05~14.35 14.35~14.65 14.65~14.95 14.95~15.25 15.25~15.55 15.55~15.85 15.85~16.15
组中值 14.2 14.5 14.8 15.1 15.4 15.7 16.0
频数 fi 频率 Pi
T B
( S ) SL
( L ) Su
直方图超出标准范围内的情况
直方图的分布范围B超出标准范围T，此时，在标准上界限和下界限都出现不合 格品。这种情况通常是由于产品质量特性值的标准差太大，这时，应及时采取 技术措施，降低分布的标准差。如果属于标准定得不合理，可以放宽标准范围。
T B
( S ) SL
T B
SL ( S )
( L ) Su
直方图在标准范围内的情况
直方图的分布范围B位于标准范围T内，数据变化仍比较集中，但分布中心偏移 标准中心，并且直方图的一侧已达到标准界限， 此时状态稍有变化，产品就 可能超出标准，出现不合格品。因此，需要采取措施，使得分布中心与标准中 心重合。
T
T
B
B
SL ( S )
直方图(练习)
1、从数据中找出最小值S和最大值L。
S = 14.2 L = 15.9 2、决定组数。
计算极差R=15.9-14.2=1.7 k=6
3、计算组距。
组距 H= R/k≈0.3
4、求界限值。
下限值 S – H/2 = 14.05
5、计算组中值。
6、统计频数。
7、列频数分布表。
直方图(练习)
5、直方图法
频率直方图，又名质量分布图。 作用：确定质量的分布的基本特征；
判断质量的现状和变化趋势； 分析和判断生产过程是否稳定。
f
频率直方图
质量特性
频率直方图的作法 （1）用随机抽样的方法收集有关质量数据，并对 数据进行筛选处理，去掉小概率事件的数据，一 般应抽取50个以上。例6-4 （2）计算极差R。从数据中找出最大值Xmax和最 小值Xmin，R= Xmax- Xmin R= Xmax- Xmin=47.0-30.8=16.2
• [解读]尺虽比寸长，但和更长的东西相 比，就显得短，寸虽比尺短，但和更短 的东西相比，就显得长；事物总有它的 不足之处，智者也总有不明智的地方。 人或事物各有长处和短处，不应求全责 备，而应扬长避短。
i j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 15.0 15.8 15.2 15.1 15.9 14.7 14.8 15.5 15.6 15.3 2 15.1 15.3 15.0 15.6 15.7 14.8 14.5 14.2 14.9 14.9 3 15.2 15.0 15.3 15.6 15.1 14.9 14.2 14.6 15.8 15.2 4 15.9 15.2 15.0 14.9 14.8 14.5 15.1 15.5 15.6 15.1 5 15.1 15.0 15.3 14.7 14.5 15.5 15.0 14.7 14.2 14.2
3
0.06
5
0.10
10 0.20
16 0.32
8
0.16
6
0.12
2
0.04
50 100%
直方图(练习)
18 频数 16 14 12 10
8 6 4 2
X
0 14.2 14.5 14.8 15.1 15.4 15.7 16.0
直方图(练习)
• 尺有所短，寸有所长；物有所不足,智有 所不明。——战国·楚·屈原《卜居》
直方图与标准比较
当产品质量特性值符合规定标准时，其对应的直方图，必定
在标准范围之内。符合规定的直方图大致有下面四种类型：
T
T
B
B
SL ( S )
T B
( L ) Su
SL ( S )
( L ) Su
T B
SL ( S )
( L ) Su
SL ( S )
( L ) Su
直方图在标准范围内的情况
直方图的分布范围B位于标准范围T内，但有余量;直方图的分布中心与标准中 心近似重合，这是理想的直方图。此时，全部产品合格，工序处于正常管理状 态。
孤岛型
4）双峰型：两组机器、或材料、或操作工人施工； 然后把这两方面数据混在一起整理产生的。
双峰型
5）陡壁型：有意将不合格的产品剔除；
陡壁型
对于正常型直方图，将其分布范围B=[S，L](S 为一批数据中的最小值，L为一批数据中的最大 值)与标准范围T=[SL，Su]， SL为标准下界限， Su为标准上界限)进行比较，就可以看出产品质 量特性值的分布是否在标准范围内，从而可以 了解生产过程或工序加工能力是否处于所希望 的状态。为了方便，可在直方图上标出标准下 界限值和标准上界限值。
i 1
加权算数平均数
k
X
x1f1
x2
f2
k
xk
fk
xi
i1 k
fi
fi
fi
i1
i1
xi 第i组组中值 fi 第i组的频数
列表计算例6-4中50个混凝土试块的平均强度
k
xi fi
X
i1 k
fi
i1
18880 37.76 50
②计算中位数 X~
中位数是全部数据由小到大顺次排列中位置居
中的那个数据，其确定方法有两种。
相等。数值最好取整。
组距 组 极数 差即
HR k
HR16 .21.82.0 k9
③确定组限。 该组的最大值为上限，最小值为下限，上、下 限统称组限。 组距等于相邻两组上限（或下限）之差。 连续取值的计量型数据，要令较低组的上限与 相邻较高组下限为同一数值。 本例中，质量标准下限为30.0，以此作为第一 组下限，其上限为：30.0+2.0=32.0，最高组组限为 46.0~48.0，覆盖了全部数据。
当出现非正常型直方图时，表明生产过程或 者数据的收集、整理方法存在问题，需要进一步分 析判断，找出原因，采取相应措施加以纠正。
折齿型、缓坡型、孤岛型、双峰型、绝壁型
1）折齿型：是由于分组不当或组距确定不当 出现的分布状态
折齿型
2）缓坡型：主要是由于操作中上限或下限控 制太严造成的。
缓坡型
3）孤岛型：原材料一时发生变化，工人一时变换；
Su ( L )
直方图超出标准范围内的情况
直方图的分布范围B大大超出标准范围T，此时已出现大量不合格品，必须立即 分析原因，采取紧急措施;如果标准允许改变，就重新修订标准。
T B
( S ) SL
Su ( L )
直方图超出标准范围内的情况
（7）计算质量分布特征值 ①平均数
简单算数平均数
1 n
X
n
xi
③计算极差R 极差是数据最大值与最小值之差。 在数据未分组时的计算式为
RXma x Xmin 在数据分组时极差值等于最高组上限与最低组 下限之差
④标准偏差：描述数据对于平均值的离散程度，
用样本的标准差S表示
A。当数据未经分组时（n足够大时n-1可用n代
替）
S
n
1
1
n i 1
百度文库
(
xi
X
)2
B。当数据分组时（xi为组中值）
( L ) Su
SL ( S )
( L ) Su
直方图在标准范围内的情况
直方图的分布范围B没有超出标准范围T，但没有余量。此时分布中心稍有偏移 便会出现不合格品，所以应及时采取措施，缩小产品质量特性值的分布范围。
T
分
B
析
一
下
SL ( S )
直方图在标准范围内的情况
( L ) Su
产品质量特性值的分布非常集中，致使直方图的分布范围B与标准范围T之间的 余量过大。此时，可对原材料、设备、工艺等适当放宽要求，从而降低生产成 本;或者加严标准，提高产品的性能，以利于组装等
T
分
B
析
一
下
SL
(S)
Su
(L)
直方图在标准范围内的情况
产品质量特性值的分布中心向左(或向右〉偏离标准中心，致使直方图分布范 围B的下界限(上界限)超出标准范围T的下界限(或上界限)，因而在下界限(或 上界限)出现不合格品，此时，应设法提高(或降低)产品质量特性值的平均值， 使直方图的分布中心向右(或向左)移动，从而使直方图的分布范围完全落在标 准范围之内。
A.数据未经分组处理时，中位数的确定：
数据总个数为奇数时（n为奇数）
中位数项 n数 1 2
即中位 X ~数 xn1
2
数据总个数为偶数时，中位数应该等于居中的
两个数据的平均数，即
X~
xn
2
xn 1 2
2
B.数据经分组整理后，中位数的确定。 先确定中位数所在组，然后用内插法计算中位 数。
X~中位数组下 中 中 限位 位数 数组 组频 组 数 距 （中位数项 -中数位数组前一组频 的数 累） 计
•
（5）计算累计频数
（6）绘制频率直方图 直方图是用横坐标表示数据的变化，以纵
坐标表示频数（或频率，或频率密度）而绘制 出的描述质量分布状况的图形，直方图将同时 显示数据的所有可能值及这些数值所对应的频 数（或频率）
频率直方图分析 （1）观察整个图形，可判断质量分布状态。
正常型直方图是“中间高、两侧低、左右接 近对称的图形。
（3）数据分组。包括确定组数、组距和划分组限。 ①确定组数k。原则是使分组的结果能正确反映数 据的分布规律，参考表6-7.例6-4中，取k=9
数据总数N 分组数k 数据总数N 分组数k 数据总数N 分组数k 50~100 6~10 100~250 7~12 250以上 10~20
②确定组距H。组距即一个组的范围，各组距最好
S
1 n 1
k i 1
( xi
X
)2
fi
⑤变异系数
变异系数是表示数据相对波动大小的数值，用
表示离散程度的数字特征值除以相应的平均值
求得，变异系数指标有：
A 极差系数：
CVRR/X
极差系 平 极 数 均 差数
B 标准差系数
CVS/X
标准差平 标 系均 准 数数 差
生产某种圆形零件，要求其直径x为15.0 ±1.0 (mm)，试用 直方图进行统计分析。
组号 1 2 3 4 5 6 7
∑
下界限 ~上界限 14.05~14.35 14.35~14.65 14.65~14.95 14.95~15.25 15.25~15.55 15.55~15.85 15.85~16.15
组中值 14.2 14.5 14.8 15.1 15.4 15.7 16.0
频数 fi 频率 Pi
T B
( S ) SL
( L ) Su
直方图超出标准范围内的情况
直方图的分布范围B超出标准范围T，此时，在标准上界限和下界限都出现不合 格品。这种情况通常是由于产品质量特性值的标准差太大，这时，应及时采取 技术措施，降低分布的标准差。如果属于标准定得不合理，可以放宽标准范围。
T B
( S ) SL
T B
SL ( S )
( L ) Su
直方图在标准范围内的情况
直方图的分布范围B位于标准范围T内，数据变化仍比较集中，但分布中心偏移 标准中心，并且直方图的一侧已达到标准界限， 此时状态稍有变化，产品就 可能超出标准，出现不合格品。因此，需要采取措施，使得分布中心与标准中 心重合。
T
T
B
B
SL ( S )
直方图(练习)
1、从数据中找出最小值S和最大值L。
S = 14.2 L = 15.9 2、决定组数。
计算极差R=15.9-14.2=1.7 k=6
3、计算组距。
组距 H= R/k≈0.3
4、求界限值。
下限值 S – H/2 = 14.05
5、计算组中值。
6、统计频数。
7、列频数分布表。
直方图(练习)