正态分布t分布-修正版.pdf
(完整版)t分布的概念及表和查表方法.doc
t分布介绍在概率论和统计学中，学生 t - 分布（t -distribution ），可简称为 t 分布，用于根据小样本来估计呈正态分布且方差未知的总体的均值。
如果总体方差已知（例如在样本数量足够多时），则应该用正态分布来估计总体均值。
t 分布曲线形态与 n（确切地说与自由度 df ）大小有关。
与标准正态分布曲线相比，自由度df 越小， t 分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度 df 愈大， t 分布曲线愈接近正态分布曲线，当自由度 df= ∞时， t 分布曲线为标准正态分布曲线。
中文名t 分布应用在对呈正态分布的总体外文名t -distribution 别称学生 t 分布学科概率论和统计学相关术语t 检验目录1历史2定义3扩展4特征5置信区间6计算历史在概率论和统计学中，学生 t -分布（ Student's t-distribution ）经常应用在对呈正态分布的总体的均值进行估计。
它是对两个样本均值差异进行显著性测试的学生t 测定的基础。
t 检定改进了Z 检定（en:Z-test ），不论样本数量大或小皆可应用。
在样本数量大（超过 120 等）时，可以应用Z 检定，但 Z 检定用在小的样本会产生很大的误差，因此样本很小的情况下得改用学生t 检定。
在数据有三组以上时，因为误差无法压低，此时可以用变异数分析代替学生t 检定。
当母群体的标准差是未知的但却又需要估计时，我们可以运用学生t-分布。
学生 t-分布可简称为t 分布。
其推导由威廉·戈塞于 1908 年首先发表，当时他还在都柏林的健力士酿酒厂工作。
因为不能以他本人的名义发表，所以论文使用了学生（Student ）这一笔名。
之后t 检验以及相关理论经由罗纳德·费雪的工作发扬光大，而正是他将此分布称为学生分布。
定义由于在实际工作中，往往σ是未知的，常用s 作为σ的估计值，为了与u 变换区别，称为t 变换，统计量 t 值的分布称为t 分布。
正态分布 t分布
未知时，以样本标准差 S 代替 σ 所得到的统 计量
xμ S/ n
态分布，而是服从 t 分布(t-distribution)。 它的概率分布密度函数如下：
t 分布概率密度曲线特点: 1、t 分布受自由度的制约，每一个自由度都有一条 t 分布概率密度曲线。 2、t 分布概率密度曲线以纵轴为对称轴，左右对称， 且在t＝0时，取得最大值。 3、与标准正态分布曲线相比，t 分布曲线顶部略低， 两尾部稍高而平。df 越小这种趋势越明显。df 越大，t 分布越趋近于标准正态分布。当n >50时，t 分布与标 准正态分布的区别很小；n >100时，t 分布基本与标准 正态分布相同；n→+∞时，t 分布与标准正态分布完全 一致。
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
x=
1 2
x
-3 -2 -1 0
x=
1 2 3 x
x=
不同均数 均值 反映随机变量的平均水平（位置参数），向 右平移表示逐渐增大，向左平移表示逐渐减小。
（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴永不相交 （2）曲线是单峰的,它关于直线 x=μ对称 1 （3）曲线在 x=μ 处达到峰值(最高点) σ 2π （4）曲线与横轴 x所夹面积为1
例3 某地1986年120名8岁男孩身高均数为 X =123.02cm ，标准差为S=4.79cm，试估 计: (1)该地8岁男孩身高在130cm以上者占该地8 岁男孩总数的百分比； (2)身高在120cm～128cm者占该地8岁男孩总 数的百分比; (3)该地80%的男孩身高集中在哪个范围？
t 分布
利用公式，查附表得： (1) P(x＜1.64) =Φ(1.64) =0.9495 (2) P (x≥2.58) =1-Φ(2.58) =1-0.9951 =0.0049 (3) P (│x│≥2.56) =2-2Φ(2.56) =2-2×0.9948 =0.0104 (4) P (0.34＜x≤1.53) =Φ(1.53)-Φ(0.34) = 0.9370-0.6331=0.3039 (5) P(x＜-1.82) =1-Φ(1.82) =1-0.9656 =0.0344
(完整版)t分布的概念及表和查表方法
t分布介绍在概率论和统计学中，学生t-分布（t-distribution），可简称为t分布，用于根据小样本来估计呈正态分布且方差未知的总体的均值。
如果总体方差已知（例如在样本数量足够多时），则应该用正态分布来估计总体均值。
t分布曲线形态与n（确切地说与自由度df）大小有关。
与标准正态分布曲线相比，自由度df越小，t分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度df愈大，t分布曲线愈接近正态分布曲线，当自由度df=∞时，t分布曲线为标准正态分布曲线。
目录1历史2定义3扩展4特征5置信区间6计算历史在概率论和统计学中，学生t-分布（Student's t-distribution）经常应用在对呈正态分布的总体的均值进行估计。
它是对两个样本均值差异进行显著性测试的学生t测定的基础。
t检定改进了Z检定（en:Z-test），不论样本数量大或小皆可应用。
在样本数量大（超过120等）时，可以应用Z检定，但Z检定用在小的样本会产生很大的误差，因此样本很小的情况下得改用学生t检定。
在数据有三组以上时，因为误差无法压低，此时可以用变异数分析代替学生t检定。
当母群体的标准差是未知的但却又需要估计时，我们可以运用学生t-分布。
学生t-分布可简称为t分布。
其推导由威廉·戈塞于1908年首先发表，当时他还在都柏林的健力士酿酒厂工作。
因为不能以他本人的名义发表，所以论文使用了学生（Student）这一笔名。
之后t检验以及相关理论经由罗纳德·费雪的工作发扬光大，而正是他将此分布称为学生分布。
定义由于在实际工作中，往往σ是未知的，常用s作为σ的估计值，为了与u变换区别，称为t变换，统计量t 值的分布称为t分布。
假设X服从标准正态分布N（0,1），Y服从分布，那么的分布称为自由度为n 的t分布，记为。
分布密度函数，其中，Gam(x)为伽马函数。
扩展正态分布（normal distribution）是数理统计中的一种重要的理论分布，是许多统计方法的理论基础。
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t分布介绍在概率论和统计学中，学生 t - 分布（t -distribution ），可简称为 t 分布，用于根据小样本来估计呈正态分布且方差未知的总体的均值。
如果总体方差已知（例如在样本数量足够多时），则应该用正态分布来估计总体均值。
t 分布曲线形态与 n（确切地说与自由度 df ）大小有关。
与标准正态分布曲线相比，自由度df 越小， t 分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度 df 愈大， t 分布曲线愈接近正态分布曲线，当自由度 df= ∞时， t 分布曲线为标准正态分布曲线。
中文名t 分布应用在对呈正态分布的总体外文名t -distribution 别称学生 t 分布学科概率论和统计学相关术语t 检验目录1历史2定义3扩展4特征5置信区间6计算历史在概率论和统计学中，学生 t -分布（ Student's t-distribution ）经常应用在对呈正态分布的总体的均值进行估计。
它是对两个样本均值差异进行显著性测试的学生t 测定的基础。
t 检定改进了Z 检定（en:Z-test ），不论样本数量大或小皆可应用。
在样本数量大（超过 120 等）时，可以应用Z 检定，但 Z 检定用在小的样本会产生很大的误差，因此样本很小的情况下得改用学生t 检定。
在数据有三组以上时，因为误差无法压低，此时可以用变异数分析代替学生t 检定。
当母群体的标准差是未知的但却又需要估计时，我们可以运用学生t-分布。
学生 t-分布可简称为t 分布。
其推导由威廉·戈塞于 1908 年首先发表，当时他还在都柏林的健力士酿酒厂工作。
因为不能以他本人的名义发表，所以论文使用了学生（Student ）这一笔名。
之后t 检验以及相关理论经由罗纳德·费雪的工作发扬光大，而正是他将此分布称为学生分布。
定义由于在实际工作中，往往σ是未知的，常用s 作为σ的估计值，为了与u 变换区别，称为t 变换，统计量 t 值的分布称为t 分布。
t分布表精确完整图
t分布在概率论和统计学中，t-分布（t-distribution）用于根据小样本来估计呈正态分布且方差未知的总体的均值。
如果总体方差已知（例如在样本数量足够多时），则应该用正态分布来估计总体均值。
t分布曲线形态与n（确切地说与自由度df）大小有关。
与标准正态分布曲线相比，自由度df越小，t分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度df 愈大，t分布曲线愈接近正态分布曲线，当自由度df=∞时，t分布曲线为标准正态分布曲线。
设随机变量T ∼ t n, 则其密度函数为：t n(x)=Γ(n+12)Γ(n2)√nπ(1+x2)−n+12,−∞<x<∞该密度函数的图形如下：t分布表如下：n | α0.250.10 0.050.0250.010.005 1 1.0000 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 20.8165 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 30.7649 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 40.7407 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 50.7267 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 60.7176 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 70.7111 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980 3.4995 80.7064 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 90.7027 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 100.6998 1.3722 1.8125 2.2281 2.7638 3.1693 110.6974 1.3634 1.7959 2.2010 2.7181 3.1058 120.6955 1.3562 1.7823 2.1788 2.6810 3.0545 130.6938 1.3502 1.7709 2.1604 2.6503 3.0123 140.6924 1.3450 1.7613 2.1448 2.6245 2.9768 150.6912 1.3406 1.7531 2.1314 2.6025 2.9467160.6901 1.3368 1.7459 2.1199 2.5835 2.9208 170.6892 1.3334 1.7396 2.1098 2.5669 2.8982 180.6884 1.3304 1.7341 2.1009 2.5524 2.8784 190.6876 1.3277 1.7291 2.0930 2.5395 2.8609 200.6870 1.3253 1.7247 2.0860 2.5280 2.8453 210.6864 1.3232 1.7207 2.0796 2.5176 2.8314 220.6858 1.3212 1.7171 2.0739 2.5083 2.8188 230.6853 1.3195 1.7139 2.0687 2.4999 2.8073 240.6848 1.3178 1.7109 2.0639 2.4922 2.7969 250.6844 1.3163 1.7081 2.0595 2.4851 2.7874 260.6840 1.3150 1.7056 2.0555 2.4786 2.7787 270.6837 1.3137 1.7033 2.0518 2.4727 2.7707 280.6834 1.3125 1.7011 2.0484 2.4671 2.7633 290.6830 1.3114 1.6991 2.0452 2.4620 2.7564 300.6828 1.3104 1.6973 2.0423 2.4573 2.7500 310.6825 1.3095 1.6955 2.0395 2.4528 2.7440 320.6822 1.3086 1.6939 2.0369 2.4487 2.7385 330.6820 1.3077 1.6924 2.0345 2.4448 2.7333 340.6818 1.3070 1.6909 2.0322 2.4411 2.7284 350.6816 1.3062 1.6896 2.0301 2.4377 2.7238 360.6814 1.3055 1.6883 2.0281 2.4345 2.7195 370.6812 1.3049 1.6871 2.0262 2.4314 2.7154 380.6810 1.3042 1.6860 2.0244 2.4286 2.7116 390.6808 1.3036 1.6849 2.0227 2.4258 2.7079 400.6807 1.3031 1.6839 2.0211 2.4233 2.7045 410.6805 1.3025 1.6829 2.0195 2.4208 2.7012 420.6804 1.3020 1.6820 2.0181 2.4185 2.6981 430.6802 1.3016 1.6811 2.0167 2.4163 2.6951 440.6801 1.3011 1.6802 2.0154 2.4141 2.6923 450.6800 1.3006 1.6794 2.0141 2.4121 2.6896 460.6799 1.3002 1.6787 2.0129 2.4102 2.6870 470.6797 1.2998 1.6779 2.0117 2.4083 2.6846 480.6796 1.2994 1.6772 2.0106 2.4066 2.6822 490.6795 1.2991 1.6766 2.0096 2.4049 2.6800 500.6794 1.2987 1.6759 2.0086 2.4033 2.6778 510.6793 1.2984 1.6753 2.0076 2.4017 2.6757 520.6792 1.2980 1.6747 2.0066 2.4002 2.6737 530.6791 1.2977 1.6741 2.0057 2.3988 2.6718 540.6791 1.2974 1.6736 2.0049 2.3974 2.6700 550.6790 1.2971 1.6730 2.0040 2.3961 2.6682 560.6789 1.2969 1.6725 2.0032 2.3948 2.6665 570.6788 1.2966 1.6720 2.0025 2.3936 2.6649 580.6787 1.2963 1.6716 2.0017 2.3924 2.6633 590.6787 1.2961 1.6711 2.0010 2.3912 2.6618600.6786 1.2958 1.6706 2.0003 2.3901 2.6603 610.6785 1.2956 1.6702 1.9996 2.3890 2.6589 620.6785 1.2954 1.6698 1.9990 2.3880 2.6575 630.6784 1.2951 1.6694 1.9983 2.3870 2.6561 640.6783 1.2949 1.6690 1.9977 2.3860 2.6549 650.6783 1.2947 1.6686 1.9971 2.3851 2.6536 660.6782 1.2945 1.6683 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2.3363 2.5889 3780.6751 1.2838 1.6489 1.9663 2.3363 2.5889 3790.6751 1.2838 1.6489 1.9662 2.3362 2.5889 3800.6751 1.2838 1.6489 1.9662 2.3362 2.5888 3810.6751 1.2838 1.6489 1.9662 2.3362 2.5888 3820.6751 1.2838 1.6489 1.9662 2.3361 2.5888 3830.6751 1.2838 1.6488 1.9662 2.3361 2.5887 3840.6751 1.2838 1.6488 1.9662 2.3361 2.5887 3850.6751 1.2838 1.6488 1.9661 2.3361 2.5887 3860.6751 1.2837 1.6488 1.9661 2.3360 2.5886 3870.6751 1.2837 1.6488 1.9661 2.3360 2.5886 3880.6751 1.2837 1.6488 1.9661 2.3360 2.5886 3890.6751 1.2837 1.6488 1.9661 2.3360 2.5885 3900.6751 1.2837 1.6488 1.9661 2.3359 2.5885 3910.6751 1.2837 1.6488 1.9660 2.3359 2.5885 3920.6751 1.2837 1.6488 1.9660 2.3359 2.5884 3930.6751 1.2837 1.6487 1.9660 2.3359 2.5884 3940.6751 1.2837 1.6487 1.9660 2.3358 2.5884 3950.6751 1.2837 1.6487 1.9660 2.3358 2.5883 3960.6751 1.2837 1.6487 1.9660 2.3358 2.5883 3970.6751 1.2837 1.6487 1.9660 2.3358 2.5883 3980.6751 1.2837 1.6487 1.9659 2.3358 2.5882 3990.6751 1.2837 1.6487 1.9659 2.3357 2.5882 4000.6751 1.2837 1.6487 1.9659 2.3357 2.5882 4010.6751 1.2837 1.6487 1.9659 2.3357 2.5881 4020.6751 1.2837 1.6487 1.9659 2.3357 2.5881 4030.6751 1.2837 1.6486 1.9659 2.3356 2.5881 4040.6751 1.2837 1.6486 1.9659 2.3356 2.5881 4050.6751 1.2836 1.6486 1.9658 2.3356 2.5880 4060.6751 1.2836 1.6486 1.9658 2.3356 2.5880 4070.6751 1.2836 1.6486 1.9658 2.3355 2.5880 4080.6751 1.2836 1.6486 1.9658 2.3355 2.5879 4090.6751 1.2836 1.6486 1.9658 2.3355 2.5879 4100.6751 1.2836 1.6486 1.9658 2.3355 2.5879 4110.6751 1.2836 1.6486 1.9658 2.3355 2.58784130.6751 1.2836 1.6486 1.9657 2.3354 2.5878 4140.6751 1.2836 1.6485 1.9657 2.3354 2.5878 4150.6751 1.2836 1.6485 1.9657 2.3354 2.5877 4160.6751 1.2836 1.6485 1.9657 2.3353 2.5877 4170.6751 1.2836 1.6485 1.9657 2.3353 2.5877 4180.6751 1.2836 1.6485 1.9657 2.3353 2.5876 4190.6751 1.2836 1.6485 1.9656 2.3353 2.5876 4200.6751 1.2836 1.6485 1.9656 2.3353 2.5876 4210.6751 1.2836 1.6485 1.9656 2.3352 2.5876 4220.6751 1.2836 1.6485 1.9656 2.3352 2.5875 4230.6751 1.2836 1.6485 1.9656 2.3352 2.5875 4240.6751 1.2836 1.6485 1.9656 2.3352 2.5875 4250.6751 1.2835 1.6484 1.9656 2.3352 2.5874 4260.6751 1.2835 1.6484 1.9655 2.3351 2.5874 4270.6751 1.2835 1.6484 1.9655 2.3351 2.5874 4280.6751 1.2835 1.6484 1.9655 2.3351 2.5874 4290.6751 1.2835 1.6484 1.9655 2.3351 2.5873 4300.6751 1.2835 1.6484 1.9655 2.3351 2.5873 4310.6751 1.2835 1.6484 1.9655 2.3350 2.5873 4320.6751 1.2835 1.6484 1.9655 2.3350 2.5873 4330.6751 1.2835 1.6484 1.9655 2.3350 2.5872 4340.6751 1.2835 1.6484 1.9654 2.3350 2.5872 4350.6751 1.2835 1.6484 1.9654 2.3350 2.5872 4360.6751 1.2835 1.6484 1.9654 2.3349 2.5872 4370.6751 1.2835 1.6483 1.9654 2.3349 2.5871 4380.6751 1.2835 1.6483 1.9654 2.3349 2.5871 4390.6750 1.2835 1.6483 1.9654 2.3349 2.5871 4400.6750 1.2835 1.6483 1.9654 2.3349 2.5870 4410.6750 1.2835 1.6483 1.9654 2.3348 2.5870 4420.6750 1.2835 1.6483 1.9653 2.3348 2.5870 4430.6750 1.2835 1.6483 1.9653 2.3348 2.5870 4440.6750 1.2835 1.6483 1.9653 2.3348 2.5869 4450.6750 1.2835 1.6483 1.9653 2.3348 2.5869 4460.6750 1.2835 1.6483 1.9653 2.3347 2.5869 4470.6750 1.2834 1.6483 1.9653 2.3347 2.5869 4480.6750 1.2834 1.6483 1.9653 2.3347 2.5868 4490.6750 1.2834 1.6483 1.9653 2.3347 2.5868 4500.6750 1.2834 1.6482 1.9652 2.3347 2.5868 4510.6750 1.2834 1.6482 1.9652 2.3346 2.5868 4520.6750 1.2834 1.6482 1.9652 2.3346 2.5867 4530.6750 1.2834 1.6482 1.9652 2.3346 2.5867 4540.6750 1.2834 1.6482 1.9652 2.3346 2.5867 4550.6750 1.2834 1.6482 1.9652 2.3346 2.58674570.6750 1.2834 1.6482 1.9652 2.3345 2.5866 4580.6750 1.2834 1.6482 1.9652 2.3345 2.5866 4590.6750 1.2834 1.6482 1.9651 2.3345 2.5866 4600.6750 1.2834 1.6482 1.9651 2.3345 2.5866 4610.6750 1.2834 1.6482 1.9651 2.3345 2.5865 4620.6750 1.2834 1.6482 1.9651 2.3344 2.5865 4630.6750 1.2834 1.6482 1.9651 2.3344 2.5865 4640.6750 1.2834 1.6481 1.9651 2.3344 2.5865 4650.6750 1.2834 1.6481 1.9651 2.3344 2.5864 4660.6750 1.2834 1.6481 1.9651 2.3344 2.5864 4670.6750 1.2834 1.6481 1.9651 2.3344 2.5864 4680.6750 1.2834 1.6481 1.9650 2.3343 2.5864 4690.6750 1.2834 1.6481 1.9650 2.3343 2.5864 4700.6750 1.2834 1.6481 1.9650 2.3343 2.5863 4710.6750 1.2834 1.6481 1.9650 2.3343 2.5863 4720.6750 1.2833 1.6481 1.9650 2.3343 2.5863 4730.6750 1.2833 1.6481 1.9650 2.3343 2.5863 4740.6750 1.2833 1.6481 1.9650 2.3342 2.5862 4750.6750 1.2833 1.6481 1.9650 2.3342 2.5862 4760.6750 1.2833 1.6481 1.9650 2.3342 2.5862 4770.6750 1.2833 1.6481 1.9649 2.3342 2.5862 4780.6750 1.2833 1.6480 1.9649 2.3342 2.5862 4790.6750 1.2833 1.6480 1.9649 2.3342 2.5861 4800.6750 1.2833 1.6480 1.9649 2.3341 2.5861 4810.6750 1.2833 1.6480 1.9649 2.3341 2.5861 4820.6750 1.2833 1.6480 1.9649 2.3341 2.5861 4830.6750 1.2833 1.6480 1.9649 2.3341 2.5860 4840.6750 1.2833 1.6480 1.9649 2.3341 2.5860 4850.6750 1.2833 1.6480 1.9649 2.3341 2.5860 4860.6750 1.2833 1.6480 1.9649 2.3340 2.5860 4870.6750 1.2833 1.6480 1.9648 2.3340 2.5860 4880.6750 1.2833 1.6480 1.9648 2.3340 2.5859 4890.6750 1.2833 1.6480 1.9648 2.3340 2.5859 4900.6750 1.2833 1.6480 1.9648 2.3340 2.5859 4910.6750 1.2833 1.6480 1.9648 2.3340 2.5859 4920.6750 1.2833 1.6480 1.9648 2.3340 2.5859 4930.6750 1.2833 1.6480 1.9648 2.3339 2.5858 4940.6750 1.2833 1.6479 1.9648 2.3339 2.5858 4950.6750 1.2833 1.6479 1.9648 2.3339 2.5858 4960.6750 1.2833 1.6479 1.9648 2.3339 2.5858 4970.6750 1.2833 1.6479 1.9647 2.3339 2.5858 4980.6750 1.2833 1.6479 1.9647 2.3339 2.5857 4990.6750 1.2833 1.6479 1.9647 2.3338 2.58575000.6750 1.2832 1.6479 1.9647 2.3338 2.5857。
t分布
第二节t分布一．t分布(t-distribution)（一）u分布在前一章中，我们已经讲述了正态分布（normal distribution）是数理统计中的一种重要的理论分布，是许多统计方法的理论基础。
正态分布有两个参数，μ和σ，决定了正态分布的位置和形态。
为了应用方便，常将一般的正态变量X通过u变换[]转化成标准正态变量u，以使原来各种形态的正态分布都转换为μ=0，σ=1的标准正态分布（standard normal distribution）,亦称u分布。
根据中心极限定理，通过上述的抽样模拟试验表明，在正态分布总体中以固定n （本次试验n=10）抽取若干个样本时，样本均数的分布仍服从正态分布，即N （μ，σ）。
所以，对样本均数的分布进行u变换[]，也可变换为标准正态分布N (0,1)（二）t分布由于在实际工作中，往往σ是未知的，常用s作为σ的估计值，为了与u变换区别，称为t变换t=，统计量t 值的分布称为t分布。
t分布有如下特征：1．以0为中心，左右对称的单峰分布；2．t分布是一簇曲线，其形态变化与n（确切地说与自由度ν）大小有关。
自由度ν越小，t分布曲线越低平；自由度ν越大，t分布曲线越接近标准正态分布（u分布）曲线，如图4.1。
t=图4.1自由度为1、5、∞的t分布对应于每一个自由度ν，就有一条t分布曲线，每条曲线都有其曲线下统计量t 的分布规律，计算较复杂。
因此，统计学家上根据自由度ν的大小与t分布曲线下面积的关系，编制了附表2，t界值表，以便于应用。
表中的横标目为自由度ν，纵标目为概率P，表中数字表示自由度ν为某值时，P为某值时，t的界值。
因t分布是以0为中心的对称分布，故附表中只列出正值，如果算出的t 值为负值，可以用绝对值查表。
t分布曲线下面积为95%或99%的界值不是一个常量，而是随着自由度大小而变化的，分别用和表示。
T分布(t-distribution)（一）u分布正态分布（normal distribution）是数理统计中的一种重要的理论分布，是许多统计方法的理论基础。
t 分布
⑴ 自由度为（n-1），而不是n。
⑵ t分布表具有对称性，t值大于等 于某一特定值的概率与t值小于等于该
特定值相反数的概率相等。
9
数学期望与方差：
设T～t (n)，则E(T)=0，D(T)= n/(n-2) (n≥2)
小组成员： 主讲： 叶娇旗14、 PPT制作： 侯晓爽04、刘雨49、李舒婷03、 收集资料：花蕾17、王茜13
t 分布
主讲人：叶娇旗 营销131班
1
定义：
设X~N(0, 1), Y~ 2(n)，X与Y相互独立， 则称随机变量 X T Y n 所服从的分布为自由度为n的t分布。 记为T~t(n).又称为学生氏分布
2
图像：
3
特点：
1、t分布的概率密度函数是偶函数，所以图形关于y轴对称。 2、其形态变化与n（确切地说与自由度ν）大小有关 自由度n越小，t分布曲线越低平； 自由度n越大，t分布曲线越接近标准正态分布曲线
10
0.05
0.05
-1.812
0
1.812
6Leabharlann t分布表举例：例：变量 X表示面包房每日出售的面包量，在15天内，出 售面包的样本方差为16。假定真实的出售量为70条，求任 意15天内出售面包平均数量为74条的概率。 分析：本例中已知样本方差S² =16，则S=4，总体均值（真 实的出售量）=70，运用t变量公式得：
4
t分布的均值与标准正态分布均值相
同，为0，但方差为k/(k-2)。由此，在 求t分布的方差时定义自由度必须大于2。
标准正态分布的方差等于1，因此，t
分布方差总大于标准分布的方差，也就 是说，t分布比正态分布略“胖”些。
5
t分布表的使用:
[修订]标准偏差及t分布表
![[修订]标准偏差及t分布表](https://img.taocdn.com/s3/m/5dd0f68b1711cc7930b716bc.png)
[修订]标准偏差及t分布表标准偏差标准偏差(Std Dev,Standard Deviation) -统计学名词。
一种量度数据分布的分散程度之标准，用以衡量数据值偏离算术平均值的程度。
标准偏差越小，这些值偏离平均值就越少，反之亦然。
标准偏差的大小可通过标准偏差与平均值的倍率关系来衡量。
标准偏差公式:S = Sqr(?(xn-x拨)^2 /(n-1))公式中?代表总和，x拨代表x的算术平均值，^2代表二次方，Sqr代表平方根。
例:有一组数字分别是200、50、100、200，求它们的标准偏差。
x拨 = (200+50+100+200)/4 = 550/4 = 137.5S^2 = [(200-137.5)^2+(50-137.5)^2+(100-137.5)^2+(200-137.5)^2]/(4-1) 标准偏差 S = Sqr(S^2)STDEV基于样本估算标准偏差。
标准偏差反映数值相对于平均值 (mean) 的离散程度。
t 分布表n 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0025 0.001 0.0005 11.000 1.376 1.963 3.078 6.314 12.71 31.82 63.66 127.3 318.3 636.6 20.816 1.061 1.386 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 14.09 22.33 31.60 30.765 0.978 1.250 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 7.453 10.21 12.92 40.741 0.941 1.190 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5.598 7.173 8.610 50.727 0.920 1.156 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 4.773 5.893 6.869 60.718 0.906 1.134 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 4.317 5.208 5.959 70.711 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.029 4.785 5.408 80.706 0.889 1.108 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 3.833 4.501 5.041 90.703 0.883 1.100 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 3.690 4.297 4.781 10 0.700 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 3.581 4.144 4.587 11 0.697 0.876 1.088 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 3.497 4.025 4.437 12 0.695 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.428 3.930 4.318 13 0.694 0.870 1.079 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.372 3.852 4.221 14 0.692 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.326 3.787 4.140 15 0.691 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.286 3.733 4.073 16 0.690 0.865 1.071 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 3.252 3.686 4.015 17 0.689 0.863 1.069 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.222 3.646 3.965 18 0.688 0.862 1.067 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.197 3.610 3.922 19 0.688 0.861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.174 3.579 3.883 20 0.687 0.860 1.064 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.153 3.552 3.850 21 0.686 0.859 1.063 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.135 3.527 3.819 22 0.686 0.858 1.061 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.119 3.505 3.792 23 0.685 0.858 1.060 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.104 3.485 3.76724 0.685 0.857 1.059 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.091 3.467 3.74525 0.684 0.856 1.058 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.078 3.450 3.725 26 0.684 0.856 1.058 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.067 3.435 3.707 27 0.684 0.855 1.057 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.057 3.421 3.690 28 0.683 0.855 1.056 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.047 3.408 3.674 29 0.683 0.854 1.055 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.038 3.396 3.659 30 0.683 0.854 1.055 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.030 3.385 3.646 40 0.681 0.851 1.050 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 2.971 3.307 3.551 50 0.679 0.849 1.047 1.299 1.676 2.009 2.403 2.678 2.937 3.261 3.496 600.679 0.848 1.045 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 2.915 3.232 3.460 80 0.678 0.846 1.043 1.292 1.664 1.990 2.374 2.639 2.887 3.195 3.416 100 0.677 0.845 1.042 1.290 1.660 1.984 2.364 2.626 2.871 3.174 3.390 120 0.677 0.845 1.041 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617 2.860 3.160 3.373 infty 0.674 0.842 1.036 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 2.807 3.090 3.291专业好文档精心整理欢迎下载。
t分布
第三节 总体均数的估计
11
双侧概率或双尾概率：用 双侧概率或双尾概率：用 t / 2, 表示。 表示。 双侧概率或双尾概率：用 t / 2, 表示。
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-t
0
t
附表2
自由度
t 界值表
概 率，P 0.025 0.01 0.05 0.02 12.706 31.821 4.303 6.965 3.182 4.541 2.776 3.747 2.571 3.365 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228 2.080 2.074 2.069 2.064 2.060 3.143 2.998 2.896 2.821 2.764 2.518 2.508 2.500 2.492 2.485 0.005 0.01 63.657 9.925 5.841 4.604 4.032 3.707 3.499 3.355 3.250 3.169 2.831 2.819 2.807 2.797 2.787 0.0025 0.001 0.005 0.002 127.321 318.309 14.089 22.327 7.453 10.215 5.598 7.173 4.773 5.893 4.317 4.029 3.833 3.690 3.581 3.135 3.119 3.104 3.091 3.078 5.208 4.785 4.501 4.297 4.144 3.527 3.505 3.485 3.467 3.450 0.0005 0.001 636.619 31.599 12.924 8.610 6.869 5.959 5.408 5.041 4.781 4.587 3.819 3.792 3.768 3.745 3.725
即 u 分布；
2
正态分布和t分布转变的过程
正态分布和t分布转变的过程正态分布和t分布是统计学中常用的两种概率分布模型，它们在数据分析和假设检验中起着重要的作用。
本文将探讨正态分布和t分布的定义、性质以及它们之间的转变过程。
一、正态分布正态分布，又称高斯分布，是一种连续概率分布，它在统计学中具有广泛的应用。
正态分布的概率密度函数呈钟形曲线，左右对称，以均值μ为中心，标准差σ为宽度。
正态分布的转变过程可以从标准正态分布开始。
标准正态分布是均值为0，标准差为1的正态分布。
对于一个服从正态分布的随机变量X，可以通过标准化变量Z来描述其服从的标准正态分布，即Z=(X-μ)/σ。
二、t分布t分布是由英国统计学家William Sealy Gosset于1908年提出的，用于小样本情况下的统计推断。
与正态分布相比，t分布的曲线形状更扁平，尖峰更低。
t分布的定义与正态分布类似，但是它引入了自由度的概念。
自由度是样本容量与样本方差的关系，自由度越大，t分布趋近于正态分布。
三、正态分布和t分布的转变在实际应用中，我们常常需要对样本数据进行假设检验。
当样本容量较大时，可以使用正态分布进行推断；而当样本容量较小时，由于样本方差的不确定性，需要使用t分布。
正态分布和t分布之间的转变可以通过中心极限定理来解释。
中心极限定理指出，当样本容量足够大时，任何总体的样本均值的分布近似于正态分布。
因此，对于大样本量的情况，可以使用正态分布来进行推断。
而对于小样本量的情况，样本方差的估计存在较大的不确定性，因此需要使用t分布。
当样本容量较小时，t分布的尖峰较低，更加宽泛，以适应样本方差估计的不确定性。
四、应用举例假设我们想要研究一批产品的重量，并进行假设检验。
我们随机抽取了10个产品进行称重，得到的样本均值为μ=100g，样本标准差为σ=5g。
由于样本容量较小，我们使用t分布进行推断。
根据t分布的性质，我们可以计算出样本均值的置信区间。
假设我们希望以95%的置信水平估计总体均值的范围，自由度为9（样本容量减1），查表可得t值为2.262。
正态分布 t分布
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49
除以 sx 所得之商 t x/sx
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24
实际工作中 x 用 sx 估计，这时对
正态变量 x 采用的不是u变换，而是t 变换。如果从一个正态总体中，抽取样 本含量为n的许多样本，分别计算其样本 均数和标准误，然后再求出每一个t值， 这样可有许多t值，其频数分布是一种连 续型分布，这就是统计学上的t分布。
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5
正态分布的特征
正态分布曲线以均数为中心，左右对称。 正态分布曲线下的面积分布有一定的规
律 正态分布曲线在横轴上方均数处最高。 正态分布曲线有两个参数：均数µ 为位
置参数，标准差ơ 为形状参数。
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（二）正态分布曲线下的面积分布规律
数理统计证明：正态分布曲线下与横轴之间的整体 面积为1或100%。以µ 为总体均数，ơ为总体标准差，则 正态分布曲线下面积的分布规律经积分法计算有如下 规律（图2）
42
填空
4、对于任何一个均数为µ ，标准差为ơ的正态分
布要变换成为µ=0, ơ=1的标准正态分布可用
变换，公式为
。
5、对于任何一个横轴变量为 x 均数为µ ，标准
误为x 的正态分布要变换成为µ=0, x=1的标
准正态分布可用 变换。公式
。
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43
单项选择题
1、x s反映了个体变量间差异及
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（三）正态分布曲线的两个参数
均数µ决定曲线在横轴上 的位置是正态分布曲线 的位置参数（图3.1）。
标准差ơ决定曲线的形状 是正态分布曲线的形状 参数（变异度参数） （图3.2）。