复习题三角形的证明Word版
全等三角形证明题专项练习题Word版
证明三角形全等专项练习姓名 号数1.如图，已知△ABC 为等边三角形，点D 、E 分别在BC 、AC 边上，且AE=CD ，AD 与BE 相交于点F ． (1)求证：ABE ≌△CAD ； (2)求∠BFD 的度数．2.如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O. 求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE .3.如图，在△ABC 和△DCB 中，AB = DC ，AC = DB ，AC 与DB 交于点M ．（1）求证：△ABC≌△DCB ；（2）过点C 作CN ∥BD ，过点B 作BN ∥AC ，CN 与BN 交于点N ，试判断线段BN 与CN的数量关系，并证明你的结论．OCEBDAB CA DMN4.在⊿ABC 中，∠ACB 的平分线交AB 于E ，过E 点作BC 的平行线交AC 于F ，交外角∠ACD 的平分线于G 。
求证：F 为EG 的中点。
5.在⊿ABC 中，∠B ＝60。
，∠BAC 和∠BCA 的平分线AD 和CF 交于I 点。
试猜想：AF 、CD 、AC 三条线段之间有着怎样的数量关系，并加以证明。
6.在直角⊿ABC 中，CA ＝CB ，BD 为AC 上的中线，作∠ADF ＝∠CDB ，如图，连结CF 交BD于E ，求证：CF ⊥BD 。
（提示：作AC 的中线CO ）GOEFDBCA7、以⊿ABC 的边AB 、AC 为边向形外作等边⊿ABM 、⊿CAN ，BN 和CM 交于一点P 。
试判断：第5题 第6题∠APM 、∠APN 的大小关系，并加以证明。
8. 在∆ABC 中，AB=AC ，DE∥BC.（1）试问∆ADE 是否是等腰三角形，说明理由.（2）若M 为DE 上的点，且BM 平分ABC ∠，CM 平分ACB ∠，若ADE ∆的周长20，BC=8.求ABC ∆的周长.9. 如图, 已知: 等腰Rt △OAB 中,∠AOB=900, 等腰Rt △EOF 中,∠EOF=900, 连结AE 、BF. 求证:(1) AE=BF; (2) AE ⊥BF.10. 如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于点F ，交AC 的平行线BG于点G ，DE ⊥GF 交AB 于点E ，连接EG 。
北师大版八年级下册三角形证明复习含答案
北师大版八年级下册三角形证明复习含答案三角形证明专题复习一．选择题（共15小题）1．如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF ＝（）A．3B．4C．5D．62．如图，已知△ABC的面积为8，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线交AD于点P，连接PC，则△BPC的面积为（）A．2B．4C．5D．63．如图，已知△ABC，AB＝5，∠ABC＝60°，D为BC边上的点，AD＝AC，BD＝2，则DC＝（）A．0.5B．1C．1.5D．24．如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，点D在BC边上，且AD ＝AC．若BD＝，则CD的长为（）A．4B．C．5D．5．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，若△BCD的周长是14，BC＝6，则AC 的长是（）A．6B．8C．10D．146．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且，则线段BE的长为（）A．B．2C．3D．7．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC 的角平分线，则三角形ADC的面积为（）A．3B．10C．12D．158．如图，△ABC的一角被墨水污了，但小明很快就画出跟原来一样的图形，他所用定理是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．HL9．如图，上午8时，一艘船从A处出发以15海里/小时的速度向正北航行，10时到达B处，从A、B两点望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则B处到灯塔C的距离为（）A．15海里B．20海里C．30海里D．求不出来10．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE，分别交AB，AC于点D，E．若AD＝3，BC＝5，则△BEC的周长为（）A．8B．10C．11D．1311．如图，∠MON＝60°，OA平分∠MON，P是射线OA上的一点，且OP＝4，若点Q是射线OM上的一个动点，则PQ的最小值为（）A．1B．2C．3D．412．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E 满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数不可能为（）A．120°B．75°C．60°D．30°13．已知实数a，b满足|a﹣2|+（b﹣4）2＝0，则以a，b的值为两边的等腰三角形的周长是（）A．10B．8或10C．8D．以上都不对14．如图，△ABC中，BO 平分∠ABC，CO平分∠ACB，M，N经过点O，且MN∥BC，若AB＝5，△AMN的周长等于12，则AC的长为（）A．7B．6C．5D．415．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，则∠C的度数是（）A．36°B．38.5°C．64°D．77°二．填空题（共15小题）16．△ABC中，AD⊥BC于D，∠ACD＝60°，若AD＝2，AB＝2，则BC＝______．17．已知等腰三角形的周长是14，设其腰长是x，底边长是y，则y与x的函数关系式为y ＝______，自变量x的取值范围是______．18．如图，已知∠AOB＝30°，点P在边OA上，OP＝14，点E，F在边OB上，PE＝PF，EF＝6．若点D是边OB上一动点，则∠PDE ＝45°时，DF的长为______．19．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC 的中点，点E在AB上，∠AED＝70°，若点P是等腰三角形ABC的腰上的一点，则当△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形时，∠EDP的度数是______．20．如图，D为△ABC中BC边上一点，AB＝CB，AC＝AD，∠BAD＝24°，则∠C＝______°．21．已知等腰三角形的底角为15°，腰长为8cm，则这个三角形的面积为______cm2．22．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是______．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若∠EBC ＝30°，则∠A的度数为______．24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ADC＝60°，∠B＝30°，若CD＝3cm，则BD＝______cm．25．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°，BD⊥BC交AC 于点D，BD＝1，则AC 的长______．26．在△ABC中，AB＝AD＝CD，且∠C＝40°，则∠BAD的度数为______．27．如图，在△ABC中，AD＝BD＝BC，若∠A＝x°，则∠ABC＝______度（用含x的代数式表示）．28．如图，在△ABC中，AC＝AD＝BD，∠B＝28°，则∠CAD的度数为______°．29．如图，点O是边长为2的等边三角形ABC内任意一点，且OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，则OD+OE+OF＝______．30．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝3∠B，CE⊥AD，AC＝8，BC＝BD，则CE＝______．三．解答题（共20小题）31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE 交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）点F是AE延长线上一点，过点F作∠AFD＝27°，交AB的延长线于点D．求证：BE∥DF．32．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，分别交BC于点D、E，已知△ADE的周长5cm．（1）求BC的长；（2）分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为13cm，求OA 的长．33．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点P为AC的中点，点D为AB 边上一点，且AD＝PD，延长DP交BC的延长线于点E，若AB＝2，求PE的长．34．如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE＝BC．点D是边AC的中点，连接ED并延长ED交AB于F求证：（1）EF⊥AB；（2）DE＝2DF．35．如图，在△ABC中，∠ACB＝110°，∠B＞∠A，D，E为边AB 上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC．（1）若∠A＝30°，求∠DCE的度数；（2）∠DCE的度数会随着∠A度数的变化而变化吗？请说明理由．36．已知，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC 上一点，且∠DEF＝60°．（1）如图1，若∠1＝50°，求∠2；（2）如图2，连接DF，若∠1＝∠3，求证：DF∥BC．37．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是AD上任意一点．（1）如图1，连接BE、CE，则BE＝CE吗？说明理由；（2）若∠BAC＝45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F时，如图2，BD＝AE吗？说明理由．38．如图，三角形ABC中，AC＝BC，D是BC上的一点，连接AD，DF平分∠ADC交∠ACB的外角∠ACE的平分线于F．（1）求证：CF∥AB；（2）若∠DAC＝40°，求∠DFC的度数．39．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD＝3，求BD的长．40．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，CD∥AB 交BD于点D，已知∠1＝32°，求∠D的度数．41．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，且BD＝AB，连接AD、DC．（1）求证：∠CAD＝∠DBC；（2）求∠BDC的度数．42．如图，点O是△ABC边AC上的一个动点，过O点作直线MN∥BC．设MN交∠ACB 的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）若CE＝8，CF＝6，求OC的长．43．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连结CD，DE，已知∠EDB＝∠ACD．（1）求证：△DEC是等腰三角形．（2）当∠BDC＝5∠EDB，BD＝2时，求EB的长．44．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝40°，边AB的垂直平分线与边AB交于点E，与边BC交于点D．（1）求∠ADC的度数；（2）求证：△ACD为等腰三角形．45．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC 于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数．（2）求证：FB＝FE．46．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB 于E，交AC于F，若BE＝3，EF＝5，试求CF的值．47．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，AD＝BD，△ADC是等腰三角形，求△ABC三个内角的度数．48．如图，∠BAD＝90°，AB＝AC，AC的垂直平分线交BC于D．（1）求∠BAC的度数；（2）若AB＝10，BC＝10，求△ABD的周长．49．如图，已知∠1与∠2互为补角，且∠3＝∠B，（1）求证：EF∥BC；（2）若AC＝BC，CE平分∠ACB，求证：AF＝CF．50．如图，等边△ABC的边长为12，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E．过点E作EF⊥AC于点F．（1）若AD＝2，求AF的长；（2）当AD取何值时，DE＝EF？三角形证明专题复习参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∴∠AEF＝30°，∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴EG＝EF＝2，在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；方法二、∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，∴BE＝DE，∠BFD＝90°，∴BE＝2EF＝4＝DE，∴DF＝DE+EF＝6；故选：D．2．解：∵BD＝BA，BP是∠ABC的平分线，∴AP＝PD，∴S△BPD＝S△ABD，S△CPD＝S△ACD，∴S△BPC＝S△BPD+S△CPD＝S△ABD+S△ACD＝S△ABC，∵△ABC 的面积为8，∴S△BPC＝×8＝4．故选：B．3．解：过点A作AE⊥BC于点E，∵AD＝AC，∴E是CD的中点，在Rt△ABE中，AB＝5，∠ABC＝60°，∴BE＝，∵BD＝2，∴DE＝﹣2＝，∴CD＝1，故选：B．4．解：过点A作AE⊥BC，∵AD＝AC，∴E是CD的中点，∵∠B＝60°，AB＝8，在Rt△ABE中，BE＝4，∵BD＝，∴DE＝4﹣＝，∴CD＝5，故选：C．5．解：∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD．∵△BCD的周长是14，BC＝6，∴AB＝BD+CD＝14﹣6＝8，∵AB＝AC，∴AC＝8．故选：B．6．解：连接BD，如图，∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥BC，∴BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝×60°＝30°，在Rt△BDE中，BE＝DE＝×＝3．故选：C．7．解：作DH⊥AC于H，如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10，∵AD为∠BAC的角平分线，∴DB＝DH，∵×AB×CD＝DH×AC，∴6（8﹣DH）＝10DH，解得DH＝3，∴S△ADC＝×10×3＝15．故选：D．8．解：作△DEF，使DE＝AB，∠A＝∠D，∠E＝∠B，根据ASA定理可知，△DEF与原来的图形一样，他所用定理是ASA，故选：C．9．解：根据题意得：AB＝2×15＝30（海里），∵∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝42°，∴∠C＝∠NAC，∴BC＝AB＝30海里．即从海岛B到灯塔C的距离是30海里．故选：C．10．解：∵AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点D、E，∴AE ＝BE，∵AD＝3，∴AB＝6，∴AE+EC＝AC＝AB＝6，∵BC＝5，∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝6+5＝11；故选：C．11．解：作PQ′⊥OM于Q′，∵∠MON＝60°，OP平分∠MON，∴∠POQ′＝30°，∴PQ′＝OP＝2，由垂线段最短可知，PQ的最小值是2，故选：B．12．解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝30°，①当E在E1时，OE＝CE，∵∠AOC＝∠OCE＝30°，∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；②当E在E2点时，OC＝OE，则∠OCE＝∠OEC＝（180°﹣30°）＝75°；③当E在E3时，OC＝CE，则∠OEC＝∠AOC＝30°；综上，∠OEC的度数不可能为60°，故选：C．13．解：根据题意得a﹣2＝0，b﹣4＝0，解得a＝2，b＝4，①a＝2是底长时，三角形的三边分别为4、4、2，∵4、4、2能组成三角形，∴三角形的周长为10，②a＝2是腰边时，三角形的三边分别为4、2、2，2+2＝4，不能组成三角形．综上所述，三角形的周长是10．故选：A．14．解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，∴MO＝MB，NO＝NC，∵AB＝5，△AMN的周长等于12，∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AB+AC＝5+AC＝12，∴AC＝7，故选：A．15．解：在△ABC中，AB＝AD＝DC，∵在三角形ABD中，AB＝AD，∠BAD＝26°，∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣26°）×＝77°，又∵AD＝DC，在三角形ADC中，∴∠C＝∠ADB＝77°×＝38.5°．故选：B．二．填空题（共15小题）16．解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵∠ACD＝60°，∴∠CAD＝30°，∵AD＝2，∴CD＝AD＝2，∵AB＝2，∴BD＝＝＝4，如图1，BC＝BD+CD＝6，如图2，BC＝BD﹣CD＝2，综上所述，BC＝6或2，故答案为：6或2．17．解：∵2x+y＝14，∴y＝14﹣2x，即x＜7，∵两边之和大于第三边∴x＞，综上可得＜x＜7故答案为：y＝﹣2x+14，＜x＜7．18．解：如图，过点P作PH⊥OB于点H，∵PE＝PF，。
三角形的证明复习题-精品.pdf
一．选择题（共27小题）1．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S=15，则CD的长为（）△ABDA．3 B．4 C．5 D．62．到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（）的交点．A．三个内角平分线B．三边垂直平分线C．三条中线D．三条高3．下列说法错误的是（）A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等C．等腰三角形的两个底角相等D．等腰三角形顶角的外角是底角的二倍4．已知如图：△ABC中，AB=AC，BE=CD，BD=CF，则∠EDF=（）A．2∠A B．90°﹣2∠A C．90°﹣∠A D．5．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90°②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD，四个结论中成立的是（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①③6．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=10，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．9 B．8 C．7 D．67．如图，△ABC的两边AC和BC的垂直平分线分别交AB于D、E两点，若AB边的长为10cm，则△CDE的周长为（）A．10cm B．20cm C．5cm D．不能确定8．如图，BP为∠ABC的平分线，过点D作BC、BA的垂线，垂足分别为E、F，则下列结论中错误的是（）A．∠DBE=∠DBF B．DE=DF C．2DF=DB D．∠BDE=∠BDF9．如图，∠A=80°，点O是AB，AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．10°10．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5条B．6条C．7条D．8条11．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70°，则∠DAO+∠DCO的大小是（）A．70°B．110°C．140°D．150°12．如图，在射线OA，OB上分别截取OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B 上分别截取B1A2=B1B2，连接A2B2，…按此规律作下去，若∠A1B1O=α，则∠A10B10O=（）A．B．C．D．13．如图，O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积为2，周长为4，则点O到BC的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．无法确定14．若（a﹣2）2+|b﹣3|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（）A．6 B．7 C．8 D．7或815．在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），B（0，2），若点C在x轴上方，CO=CB，且△AOC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．616．如图，在底边BC为2，腰AB为2的等腰三角形ABC中，DE垂直平分AB于点D，交BC于点E，则△ACE的周长为（）A．2+B．2+2C．4 D．317．如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若∠A=30°，AB=AC，则∠BDE的度数为（）A．67.5°B．52.5°C．45°D．75°．18．在△ABC中，∠BAC=115°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．25°19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D在BC上，E是AB的中点，AD、CE 相交于F，且AD=DB．若∠B=20°，则∠DFE等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°20．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD ⊥BC于，且OD=4，△ABC的面积是（）A．25 B．84 C．42 D．2121．如果一等腰三角形的周长为27，且两边的差为12，则这个等腰三角形的腰长为（）A．13 B．5 C．5或13 D．122．若（a﹣4）2+|b﹣6|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（）A．14 B．16 C．13 D．14或1623．如图，△ABC的三边AB、BC、CA分别长为20、30、40，AO、BO、CO 分别是三个内角平分线，则S△AOB：S△BOC：S△AOC等于（）A．1：111 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：524．如图，∠ACB的外角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P．则下列结论正确的是（）A．PA平分∠CPB B．AP平分BC C．AP⊥BC D．AP平分∠CAB25．如图，在△ABC中，AB=10cm，AC=18cm，点M从点A出发以每秒2cm 的速度向点B运动，点N从点C出发以每秒3cm的速度向点A运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△AMN是以MN为底边的等腰三角形时，运动的时间是（）A．1.6秒B．2秒C．2.4秒D．3.6秒26．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0）点M的坐标为（0，4），过M点作直线MN⊥y轴，在直线MN上找一点B，使△OAB是等腰三角形，此时，点B的坐标不可能是（）A．（0，4）B．（2，4）C．（4，4）D．（4，2）27．等腰三角形的三边长分别为3x﹣2，4x﹣3，6﹣2x，则该三角形的周长为（）A．6 B．6或9或8.5C．9或8.5 D．与x的取值有关二．选择题（共7小题）28．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、M在BC上，则∠EAN=．29．如图，在△ABC中，∠BAC=50°，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF ⊥AC，则∠DEF=．30．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（填序号）31．如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于D，PC∥OB交OA于C，若PC=6，则PD=．32．如图，AD是△ABC的角平分线，AB：AC=3：2，△ABD的面积为15，则△ACD的面积为．33．在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，∠BAC的平分线交BC于D，且BD：DC=5：3，则D到AB的距离为cm．34．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC边上的高AD=6cm，腰AB上的高CE=8cm，则BC=cm三．选择题（共2小题）35．如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于．36．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=∠B，AB=2cm，点P从点B开始以1cm/s的速度向点C移动，当△ABP要以AB为腰的等腰三角形时，则运动的时间为．四．选择题（共3小题）37．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥于点D，AM是△ABC的外角∠CAE 的平分线．（1）求证：AM∥BC；（2）若DN平分∠ADC交AM于点N，判断△ADN的形状并说明理由．38．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．39．如图，△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC=10，则△ADE周长是多少？为什么？（2）若∠BAC=128°，则∠DAE的度数是多少？为什么？五．解答题（共1小题）40．（1）如图1，点P是等腰三角形ABC的底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交直线AB于点Q，交CA的延长线于点R，请观察AR与AQ，它们有何数量关系？并证明你的猜想．（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，（1）中所得的结论还成立吗？请你在图2中完成图形，并直接写出结论．2018年03月21日158****8301的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共27小题）1．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S=15，则CD的长为（）△ABDA．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD，∴S△ABD=AB?DE=×10?DE=15，解得DE=3．故选A．2．到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（）的交点．A．三个内角平分线B．三边垂直平分线C．三条中线D．三条高【解答】解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．故选B．3．下列说法错误的是（）A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等C．等腰三角形的两个底角相等D．等腰三角形顶角的外角是底角的二倍【解答】解：A、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，故A错误；B、三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故B正确；C、等腰三角形的两个底角相等，故C正确；D、等腰三角形顶角的外角是底角的二倍，故D正确，故选：A．4．已知如图：△ABC中，AB=AC，BE=CD，BD=CF，则∠EDF=（）A．2∠A B．90°﹣2∠A C．90°﹣∠A D．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵BD=CF，BE=CD∴△BDE≌△CFD，∴∠BDE=∠CFD，∠EDF=180°﹣（∠BDE+∠CDF）=180°﹣（∠CFD+∠CDF）=180°﹣（180°﹣∠C）=∠C，∵∠A+∠B+∠C=180°．∴∠A+2∠EDF=180°，∴∠EDF=．故选D．5．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90°②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD，四个结论中成立的是（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①③【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，∴Rt△AEF≌Rt△AEB∴BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；而点E是BC的中点，∴EC=EF=BE，所以③错误；∴Rt△EFD≌Rt△ECD，∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；∴∠AED=∠AEF+∠FED=∠BEC=90°，所以①正确．故选A．6．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=10，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．9 B．8 C．7 D．6【解答】解：过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF=2，∵S△ADB=AB×DE=×4×2=4，∵△ABC的面积为10，∴△ADC的面积为10﹣4=6，∴AC×DF=6，∴AC×2=6，∴AC=6故选D7．如图，△ABC的两边AC和BC的垂直平分线分别交AB于D、E两点，若AB边的长为10cm，则△CDE的周长为（）A．10cm B．20cm C．5cm D．不能确定【解答】解：∵△ABC的两边BC和AC的垂直平分线分别交AB于D、E，∵边AB长为10cm，∴△CDE的周长为：CD+DE+CE=AD+DE+BE=AB=10cm．故选A8．如图，BP为∠ABC的平分线，过点D作BC、BA的垂线，垂足分别为E、F，则下列结论中错误的是（）A．∠DBE=∠DBF B．DE=DF C．2DF=DB D．∠BDE=∠BDF【解答】解：∵BP为∠ABC的平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE=DF，B正确，不符合题意；在Rt△DBE和Rt△DBF中，，∴Rt△DBE≌Rt△DBF，∴∠DBE=∠DBF，∠BDE=∠BDF，A、D正确，不符合题意，2DF不一定等于DB，C错误，符合题意，故选：C．9．如图，∠A=80°，点O是AB，AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．10°【解答】解：连接OA、OB，∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=100°，∵O是AB，AC垂直平分线的交点，∴∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，OB=OC，∴∠OBA+∠OCA=80°，∴∠OBC+∠OCB=100°﹣80°=20°，∵OB=OC，∴∠BCO=∠CBO=10°，故选：D．10．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5条B．6条C．7条D．8条【解答】解：如图所示：当BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC时，都能得到符合题意的等腰三角形．故选C11．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70°，则∠DAO+∠DCO的大小是（）A．70°B．110°C．140°D．150°【解答】解：如图，∵OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70°∴∠ABO=∠BAO，∠OBC=∠OCB，∴∠AOB+∠BOC=360°﹣2（∠ABO+∠OBC）=220°∴∠AOC=360°﹣220°=140°，∵∠OAD+∠ADC+∠OCD+∠AOC=360°，∴∠DAO+∠DCO=150°．故选D．12．如图，在射线OA，OB上分别截取OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B 上分别截取B1A2=B1B2，连接A2B2，…按此规律作下去，若∠A1B1O=α，则∠A10B10O=（）A．B．C．D．【解答】解：∵B1A2=B1B2，∠A1B1O=α，∴∠A2B2O=α，同理∠A3B3O==α，∠A4B4O=α，∴∠A n B n O=α，∴∠A10B10O=，故选B．13．如图，O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积为2，周长为4，则点O到BC的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．无法确定【解答】解：设点O到BC的距离为x，∵O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积为2，周长为4，∴×4x=2，解得：x=1．∴点O到BC的距离为1．故选A．14．若（a﹣2）2+|b﹣3|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（）A．6 B．7 C．8 D．7或8【解答】解：∵（a﹣2）2+|b﹣3|=0，∴a﹣2=0，b﹣3=0，解得a=2，b=3，①当腰是2，底边是3时，三边长是2，2，3，此时符合三角形的三边关系定理，即等腰三角形的周长是2+2+3=7；②当腰是3，底边是2时，三边长是3，3，2，此时符合三角形的三边关系定理，即等腰三角形的周长是3+3+2=8．故选：D．15．在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），B（0，2），若点C在x轴上方，CO=CB，且△AOC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：如图所示，符合条件的点C的个数有6个．故选：D．16．如图，在底边BC为2，腰AB为2的等腰三角形ABC中，DE垂直平分AB于点D，交BC于点E，则△ACE的周长为（）A．2+B．2+2C．4 D．3【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴BE=AE，∴AE+CE=BC=2，∴△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2 ，故选B．17．如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若∠A=30°，AB=AC，则∠BDE的度数为（）A．67.5°B．52.5°C．45°D．75°．【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣30°）=75°，∵以B为圆心，BC长为半径画弧，∴BE=BD=BC，∴∠BDC=∠ACB=75°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣75°=30°，∴∠DBE=75°﹣30°=45°，∴∠BED=∠BDE=（180°﹣45°）=67.5°．故选：A．18．在△ABC中，∠BAC=115°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．25°【解答】解：∵∠BAC=115°，∴∠B+∠C=65°，∵DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，∴EA=EB，GA=GC，∴∠EAB=∠B，∠GAC=∠C，∴∠EAG=∠BAC﹣（∠EAB+∠GAC）=∠BAC﹣（∠B+∠C）=50°，故选：A．19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D在BC上，E是AB的中点，AD、CE 相交于F，且AD=DB．若∠B=20°，则∠DFE等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，E是AB的中点，∴BE=CE，∵∠B=20°∴∠ECB=∠B=20°，∵AD=BD，∠B=20°，∴∠DAB=∠B=20°，∴∠ADC=∠B+∠DAB=20°+20°=40°，∴∠DFE=∠ADC+∠ECB=40°+20°=60°，故选D．20．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD ⊥BC于，且OD=4，△ABC的面积是（）A．25 B．84 C．42 D．21【解答】解：连接OA，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，如图，∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OD=OE=4，OD=OF=4，∴△ABC的面积=S△AOB+S△BOC+S△AOC=?OE?AB+?OD?BC+?OF?AC=×4×（AB+BC+AC）=×4×21=42．故选C．21．如果一等腰三角形的周长为27，且两边的差为12，则这个等腰三角形的腰长为（）A．13 B．5 C．5或13 D．1【解答】解：设等腰三角形的腰长为x，则底边长为x﹣12或x+12，当底边长为x﹣12时，根据题意，2x+x﹣12=27，解得x=13，∴腰长为13；当底边长为x+12时，根据题意，2x+x+12=27，解得x=5，因为5+5＜17，所以构不成三角形，故这个等腰三角形的腰的长为13，故选A．22．若（a﹣4）2+|b﹣6|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（）A．14 B．16 C．13 D．14或16【解答】解：∵（a﹣4）2+|b﹣6|=0，∴a﹣4=0，b﹣6=0，∴a=4，b=6，①当腰是4，底边是3时，三边长是4，4，6，此时符合三角形的三边关系定理，即等腰三角形的周长是4+4+6=14；②当腰是6，底边是4时，三边长是6，6，4，此时符合三角形的三边关系定理，即等腰三角形的周长是6+6+4=16．故选D．23．如图，△ABC的三边AB、BC、CA分别长为20、30、40，AO、BO、CO 分别是三个内角平分线，则S△AOB：S△BOC：S△AOC等于（）A．1：111 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5【解答】解：作OD⊥AB于D，OE⊥CB于E，OF⊥AC于F，∵AO、BO、CO分别是三个内角平分线，OD⊥AB于D，OE⊥CB于E，OF⊥AC于F，∴OD=OE=OF，∴S△AOB：S△BOC：S△AOC=AB：BC：CA=2：3：4，故选：C．24．如图，∠ACB的外角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P．则下列结论正确的是（）A．PA平分∠CPB B．AP平分BC C．AP⊥BC D．AP平分∠CAB【解答】解：过P点分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、G、D，∵∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点P，∴EP=GP，GP=DP，∴EP=DP，∴AP平分∠BAC．故选：D．25．如图，在△ABC中，AB=10cm，AC=18cm，点M从点A出发以每秒2cm 的速度向点B运动，点N从点C出发以每秒3cm的速度向点A运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△AMN是以MN为底边的等腰三角形时，运动的时间是（）A．1.6秒B．2秒C．2.4秒D．3.6秒【解答】解：设运动的时间为x，在△ABC中，AB=10cm，AC=18cm，点M从点A出发以每秒2cm的速度向点B运动，点N从点C出发以每秒3cm 的速度向点A运动，当△AMN是等腰三角形时，AM=AN，AN=18﹣3x，AM=2x即18﹣3x=2x，解得x=3.6．故选D26．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0）点M的坐标为（0，4），过M点作直线MN⊥y轴，在直线MN上找一点B，使△OAB是等腰三角形，此时，点B的坐标不可能是（）A．（0，4）B．（2，4）C．（4，4）D．（4，2）【解答】解：A、如图1，若点B（0，4），则OB=OA=4，△OAB是等腰三角形，B、如图2，若点B（2，4），则OB=BA==2，△OAB是等腰三角形，C、如图3，若点B（4，4），则AB=OA=4，△OAB是等腰三角形，D、如图4，若点B（4，2），则OB≠OA≠AB，△OAB不是等腰三角形，故选D．27．等腰三角形的三边长分别为3x﹣2，4x﹣3，6﹣2x，则该三角形的周长为（）A．6 B．6或9或8.5C．9或8.5 D．与x的取值有关【解答】解：①当3x﹣2是底边时，则腰长为：4x﹣3，6﹣2x∵三角形为等腰三角形∴4x﹣3=6﹣2x，∴x=1.5，∴4x﹣3=3，6﹣2x=3，∴3x﹣2=2.5∴等腰三角形的周长=3+3+2.5=8.5②当4x﹣3是底边时，则腰长为：3x﹣2，6﹣2x∵三角形为等腰三角形∴3x﹣2=6﹣2x，∴x=1.6，∴3x﹣2=2.8，6﹣2x=2.8，∴4x﹣3=3.4∴等腰三角形的周长=2.8+2.8+3.4=9③当6﹣2x是底边时，则腰长为：3x﹣2，4x﹣3∵三角形为等腰三角形∴3x﹣2=4x﹣3，∴x=1，∴3x﹣2=1，4x﹣3=1，∵1=1∴6﹣2x=4∵1+1＜4∴不能构成三角形故答案为：8.5或9．二．选择题（共7小题）28．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、M在BC上，则∠EAN=32°．【解答】解：∵△ABC中，∠BAC=106°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣106°=74°，∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAN，即∠B+∠C=∠BAE+∠CAN=74°，∴∠EAN=∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）=106°﹣74°=32°．故答案为32°．29．如图，在△ABC中，∠BAC=50°，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF ⊥AC，则∠DEF=25°．【解答】解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠BAC=50°，∴∠EDF=360°﹣50°﹣90°×2=130°，∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴∠DEF=（180°﹣130°）=25°．故答案为：25°．30．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③（填序号）【解答】解：①∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C=180°，∠C=90°，则该三角形是直角三角形；②∠A：∠B：∠C=1：2：3，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=90°，则该三角形是直角三角形；③∠A=90°﹣∠B，则∠A+∠B=90°，∠C=90°．则该三角形是直角三角形；④∠A=∠B=∠C，则该三角形是等边三角形．故能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③．31．如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于D，PC∥OB交OA于C，若PC=6，则PD=3．【解答】解：如图，过点P作PE⊥OA于E，∵∠AOB=30°，OP平分∠AOB，∴∠AOP=∠BOP=15°．∵PC∥OB，∴∠BOP=∠OPC=15°，∴∠PCE=∠AOP+∠OPC=15°+15°=30°，又∵PC=6，∴PE=PC=3，∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OB于D，PE⊥OA于E，∴PD=PE=3，故答案为3．32．如图，AD是△ABC的角平分线，AB：AC=3：2，△ABD的面积为15，则△ACD的面积为10．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，∴DE=DF，又∵AB：AC=3：2，∴AB=AC，∵△ABD的面积为15∴S△ABD=AB×DE=×AC×DF=15，∴AC×DF=10∴S△ACD=AC×DF=10故答案为：10．33．在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，∠BAC的平分线交BC于D，且BD：DC=5：3，则D到AB的距离为6cm．【解答】解：∵∠C=90°，BC=16cm，∠BAC的平分线交BC于D，∴CD就是D到AB的距离，∵BD：DC=5：3，BC=16cm，∴CD=6，即D到AB的距离为6cm．故填6．34．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC边上的高AD=6cm，腰AB上的高CE=8cm，则BC=cm【解答】解：∵AD是BC边上的高，CE是AB边上的高，∴AB?CE=BC?AD，∵AD=6，CE=8，∴=，∴=，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC=BC，∵AB2﹣BD2=AD2，∴AB2=BC2+36，即BC2=BC2+36，解得：BC=．故答案为：．三．选择题（共2小题）35．如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于4．【解答】解：作DG⊥AC，垂足为G．∵DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE，∵∠DAE=∠ADE=15°，∴∠DAE=∠ADE=∠BAD=15°，∴∠DEG=15°×2=30°，∴ED=AE=8，∴在Rt△DEG中，DG=DE=4，∴DF=DG=4．故答案为：4．36．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=∠B，AB=2cm，点P从点B开始以1cm/s的速度向点C移动，当△ABP要以AB为腰的等腰三角形时，则运动的时间为2s或6s．【解答】解：当AB=AP时，点P与点C重合，如图1所示，过点A作AD⊥BC于点D，∵∠B=30°，AB=2cm，∴BD=AB?cos30°=2×=3cm，∴BC=6cm，即运动的时间6s；当AB=BP时，∵AB=2cm，∴BP=2cm，∴运动的时间2s．故答案为：2s或6s．四．选择题（共3小题）37．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥于点D，AM是△ABC的外角∠CAE 的平分线．（1）求证：AM∥BC；（2）若DN平分∠ADC交AM于点N，判断△ADN的形状并说明理由．【解答】证明：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD=．∵AM平分∠EAC，∴∠EAM=∠MAC=．∴∠MAD=∠MAC+∠DAC==．∵AD⊥BC∴∠ADC=90°∴∠MAD+∠ADC=180°∴AM∥BC．（2）△ADN是等腰直角三角形，理由是：∵AM∥AD，∴∠AND=∠NDC，∵DN平分∠ADC，∴∠ADN=∠NDC=∠AND．∴AD=AN，∴△ADN是等腰直角三角形．38．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．【解答】证明：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB，∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN．39．如图，△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC=10，则△ADE周长是多少？为什么？（2）若∠BAC=128°，则∠DAE的度数是多少？为什么？【解答】解：（1）∵DM、EN是AB、AC的垂直平分线，∴DA=DB，EA=EC，∴△ADE周长为：AD+AE+DE=DB+EC+DE=BC=10；（2）∵∠BAC=128°，∴∠B+∠C=52°，∵DA=DB，EA=EC，∴∠BAD=∠B，∠EAC=∠C，∴∠BAD+∠EAC=52°，∴∠DAE=128°﹣52°=76°．五．解答题（共1小题）40．（1）如图1，点P是等腰三角形ABC的底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交直线AB于点Q，交CA的延长线于点R，请观察AR与AQ，它们有何数量关系？并证明你的猜想．（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，（1）中所得的结论还成立吗？请你在图2中完成图形，并直接写出结论．【解答】（1）AR=AQ，证明如下：∵△ABC是等腰三角形∴AB=AC，∠B=∠C又∵PR⊥BC∴∠RPC=90°∴∠C+∠R=90°，∠B+∠BQP=90°∵∠BQP=∠AQR∴∠AQR=∠R∴AR=AQ（2）AR=AQ仍然成立：∵△ABC是等腰三角形∴AB=AC，∠ABC=∠C又∵PR⊥BC∴∠RPC=90°∴∠C+∠R=90°，∠PBQ+∠BQP=90°∵∠ABC=∠PBQ∴∠AQR=∠R∴AR=AQ．。
(完整word版)九年级数学相似三角形知识点及习题
相似三角形要点一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）： b a n d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质 涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
二、有关知识点：1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形 直角三角形 全等三角形的判定 SASSSS AAS （ASA ） HL 相似三角形的判定 两边对应成比例夹角相等 三边对应成比例 两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例 从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8.相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2三、注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ X ”型。
八年级三角形的证明题
八年级三角形的证明题一、等腰三角形性质相关证明题（8题）1. 已知：在△ABC中，AB = AC，AD是BC边上的中线。
求证：AD⊥BC。
- 证明：- 因为AB = AC，AD是BC边上的中线，所以BD = DC（中线的定义）。
- 在△ABD和△ACD中，AB = AC（已知），BD = CD（已证），AD = AD（公共边）。
- 所以△ABD≌△ACD（SSS）。
- 则∠ADB=∠ADC（全等三角形对应角相等）。
- 又因为∠ADB + ∠ADC = 180°（平角的定义），所以∠ADB = ∠ADC = 90°，即AD⊥BC。
2. 已知：在等腰△ABC中，AB = AC，∠A = 36°，求证：∠B = 72°。
- 证明：- 因为AB = AC，所以∠B = ∠C（等腰三角形两底角相等）。
- 又因为∠A+∠B + ∠C = 180°（三角形内角和定理），∠A = 36°。
- 设∠B = x，则∠C = x，可得方程36°+x + x = 180°。
- 2x=180° - 36°，2x = 144°，解得x = 72°，即∠B = 72°。
3. 已知：在△ABC中，AB = AC，D是AC上一点，且AD = BD = BC。
求∠A的度数。
- 证明：- 设∠A=x，因为AD = BD，所以∠ABD = ∠A=x（等边对等角）。
- 则∠BDC=∠A + ∠ABD = 2x（三角形外角性质）。
- 因为BD = BC，所以∠C = ∠BDC = 2x。
- 又因为AB = AC，所以∠ABC = ∠C = 2x。
- 根据三角形内角和定理，∠A+∠ABC+∠C = 180°，即x + 2x+2x = 180°。
- 5x = 180°，解得x = 36°，所以∠A = 36°。
第一章 三角形证明 复习题
姓名： 编号：第一章 复习题1.请将下面证明中每一步的理由填在括号内.已知：如图，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 上的点，DE ∥BA ，DF ∥CA .求证：∠FDE =∠A . 证明：∵DE ∥BA ( )，∴∠FDE =∠BFD ( )， ∵DF ∥CA ( )，∴∠BFD =∠A ( )， ∴∠FDE =∠A ( ).2. 已知：如图，AD ∥CB ，AD =CB . 求证：△ABC ≌△CDA .3.已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，且∠ABD =∠ACE ，BD 与CE 相交于点O . 求证：(1) OB =OC ；(2) BE =CD ；4. 已知：如图，BD ，CE 是△ABC 的高，且BD =CE .求证：△ABC 是等腰三角形.5. 在△ABC 中，已知∠A ，∠B ，∠C 的度数之比是1∶2∶3，AB = √3，求AC 的长.6. 已知：如图，AN ⊥OB ，BM ⊥OA ，垂足分别为N ，M ，OM=ON ，BM 与AN 相交于点P . 求证：PM=PN.7.已知：MN 是线段AB 的垂直平分线，C ，D 是MN 上的两点. 求证： (1) △ABC ，△ABD 是等腰三角形；(2) ∠CAD =∠CBD .8.如图，已知线段a ，利用尺规求作以a 为底边、以2a 为高的等腰三角形.DEFABCA B C D OE B C D A A B C D E P NBA OA (1)a9.如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =a ，AD 是△ABC 的高，求AD 的长.10. 如图，△ABC 的高BD 与CE 相交于点O ，OD =OE ，AO 的延长线交BC 于点M ，请你从图中找出一对全等的直角三角形，并给出证明.11. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点D ，E .求证：AE =2CE .12.如图，四边形BCDE 中，∠C =∠BED =90°，∠B =60°，延长CD ，BE ，两线相交于点A . 已知CD =2，DE =1，求Rt △ABC 的面积.13.如图，已知∠ACB =∠BDA =90°，要使△ACB ≌△BDA ，还需要添加什么条件？请你选择其中一个加以证明.14. 求证：等腰三角形的底角必为锐角.15. 如图，在△ABC 中，∠B =64°，∠BAC =72°，D 为BC 上一点，DE 交AC 于点F ，且AB =AD =DE ，连接AE ，∠E =55°.请判断△AFD 的形状，并说明理由.16.如图，在△ABC 中，AB =AC ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E . 已知△BCE 的周长为8，AC －BC =2，求AB 与BC 的长.ABDCAB CDEADB CEFABCDE ABCDE。
人教版2021年八年级上册第11章《三角形》单元复习试题 word版,含答案
人教版2021年八年级上册第11章《三角形》单元复习试题一．选择题1．下列图形中，具有稳定性的是（）A．B．C．D．2．三角形的角平分线、中线、高都是（）A．直线B．线段C．射线D．以上都不对3．在△ABC中，作出AC边上的高，正确的是（）A．①B．②C．③D．④4．四组木条（每组3根）的长度分别如图，其中能组成三角形的一组是（）A．B．C．D．5．如图，在Rt△AOB中，∠O＝90°，C为AO上一点，且不与A，O重合，则x可能是（）A．10°B．20°C．30°D．40°6．将一个四边形用刀截去一个角后，它不可能是（）A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形7．如图，图中直角三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的三个外角，若∠A+∠B＝230°，则∠1+∠2+∠3＝（）A．140°B．180°C．230°D．320°9．如图，已知△ABC中，AD，AE，AF分别是三角形的高线，角平分线及中线，那么下列结论错误的是（）A．AD⊥BC B．BF＝CF C．BE＝EC D．∠BAE＝∠CAE 10．如图，已知四边形ABCD中，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．90°B．135°C．270°D．315°11．如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高线，用等式表示∠DAE、∠B、∠C的关系正确的是（）A．2∠DAE＝∠B﹣∠C B．2∠DAE＝∠B+∠CC．∠DAE＝∠B﹣∠C D．3∠DAE＝∠B+∠C12．已知三角形的三边长分别为a、b、c，化简|a+b﹣c|﹣2|a﹣b﹣c|+|a+b+c|得（）A．4a﹣2c B．2a﹣2b﹣c C．4b+2c D．2a﹣2b+c二．填空题13．木工师傅做完房门后，为防止门变形，会沿着门的对角线方向钉上一根斜拉的木条，这做的根据是．14．在△ABC中，若∠A＝40°，∠B＝100°，则△ABC的形状是．15．如果一个正多边形的一个内角是162°，则这个正多边形是正边形．16．如图，∠ADB是△和△的外角；以AC为一边长的三角形有个．17．如图，线段AD和BC相交于点O，若∠A＝70°，∠C＝85°，则∠B﹣∠D＝．18．如图，计算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝度．19．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝15°，∠ACP＝50°，则∠P＝°．三．解答题20．如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝69°，求∠DAC的度数．21．如图，在△ABC中，CF、BE分别是AB、AC边上的中线，若AE＝2，AF＝3，且△ABC 的周长为15，求BC的长．22．如图，在△ABC中，点D在BC上，∠ADB＝∠BAC，BE平分∠ABC，过点E作EF ∥AD，交BC于点F．（1）求证：∠BAD＝∠C；（2）若∠C＝20°，∠BAC＝110°，求∠BEF的度数．23．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．24．阅读理解：请你参与下面探究过程，完成所提出的问题．（Ⅰ）问题引入：如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝70°，则∠BOC ＝度；若∠A＝α，则∠BOC＝（用含α的代数式表示）；（Ⅱ）类比探究：如图②，在△ABC中，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α．试探究：∠BOC与∠A的数量关系（用含α的代数式表示），并说明理由．（Ⅲ）知识拓展：如图③，BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，求∠BOC的度数（用含α、n的代数式表示）．参考答案一．选择题1．解：A、具有稳定性，故此选项符合题意；B、不具有稳定性，故此选项不符合题意；C、不具有稳定性，故此选项不符合题意；D、不具有稳定性，故此选项不符合题意；故选：A．2．解：三角形的角平分线、中线、高都是线段．故选：B．3．解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线垂足为D，纵观各图形，①、②、③都不符合高线的定义，④符合高线的定义．故选：D．4．解：A、2+2＜5，不能构成三角形；B、2+2＝4，不能构成三角形；C、2+3＝5，不能组成三角形；D、3+2＞4，能够组成三角形．故选：D．5．解：∵∠BCA＝∠O+∠OBC，∠O＝90°，∴90°＜6x＜180°，∴15°＜x＜30°，故选：B．6．解：一个四边形沿对角线截一刀后得到的多边形是三角形，一个四边形沿平行于边的直线截一刀后得到的多边形是四边形，一个四边形沿除上述两种情况的位置截一刀后得到的多边形是五边形，故选：A．7．解：如图，图中直角三角形有Rt△ABD、Rt△BDC、Rt△ABC，共有3个，故选：C．8．解：∵五边形ABCDE，∠A+∠B＝230°，∴∠AED+∠EDC+∠BCD＝540°﹣230°＝310°，又∵∠AED+∠EDC+∠BCD+∠1+∠2+∠3＝540°，∴∠1+∠2+∠3＝540°﹣310°＝230°．故选：C．9．解：∵AD，AE，AF分别是三角形的高线，角平分线及中线，∴AD⊥BC，∠BAE＝∠CAE，BF＝CF，而BE＝CE不一定成立，故选：C．10．解：∵三角形的内角和等于180°，∴可得∠1和∠2的邻补角等于90°，∴∠1+∠2＝2×180°﹣90°＝270°．故选：C．11．解：∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C），∵AE是高，∴∠CAE＝90°﹣∠C，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝（90°﹣∠C）﹣（180°﹣∠B﹣∠C）＝（∠B﹣∠C），故选：A．12．解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，∴必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，则a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，a+b+c ＞0∴|a+b﹣c|﹣2|a﹣b﹣c|+|a+b+c|＝a+b﹣c+2a﹣2b﹣2c+a+b+c＝4a﹣2c．故选：A．二．填空题13．解：木工师傅做完房门后，为防止门变形，会沿着门的对角线方向钉上一根斜拉的木条，这做的根据是三角形具有稳定性，故答案为：三角形具有稳定性．14．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝40°，∠B＝100°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣100°＝40°，∵∠A＝∠C，∴△ABC是等腰三角形；又∠B＝100°∴△ABC是钝角三角形．故△ABC的形状是等腰三角形或钝角三角形．15．解：∵正多边形的一个内角是162°，∴它的外角是：180°﹣162°＝18°，边数n＝360°÷18°＝20．故答案为：二十．16．解：根据图形可得：∠ADB是△ADC和△DFC的外角；以AC为一边长的三角形有：△ACF，△ADC，△ACB，△ACE，共4个；故答案为：ADC，DFC，4．17．解：∵∠C+∠D+∠COD＝180°，∠A+∠B+∠AOB＝180°，∴∠D＝180°﹣∠C﹣∠COD，∠B＝180°﹣∠A﹣∠AOB．∵∠AOB＝∠COD，∴∠B﹣∠D＝（180°﹣∠A﹣∠AOB）﹣（180°﹣∠C﹣∠COD）＝∠C﹣∠A＝85°﹣70°＝15°．故答案为：15°．18．解：∵∠1＝∠A+∠F，∠2＝∠D+∠E，∠3＝∠B+∠C，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠1+∠2+∠3，∠1、∠2、∠3是△MNP的三个不同外角，∵∠1+∠2+∠3＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．故答案为：360．19．解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，∠ABP＝15°，∴∠CBP＝∠ABP＝15°，∵CP是∠ACB的外角的平分线，∠ACP＝50°，∴∠PCM＝∠ACP＝50°，∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣15°＝35°，故答案为：35．三．解答题20．解：设∠1＝∠2＝x°，则∠3＝∠4＝2x°，∵∠2+∠4+∠BAC＝180°，∴x+2x+69＝180，解得x＝37，即∠1＝37°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠1＝69°﹣37°＝32°．21．解：∵CF、BE分别是AB、AC边上的中线，AE＝2，AF＝3，∴AB＝2AF＝2×3＝6，AC＝2AE＝2×2＝4，∵△ABC的周长为15，∴BC＝15﹣6﹣4＝5．22．（1）证明：∵∠ABC+∠BAC+∠C＝180°，∠ABC+∠BDA+∠BAD＝180°，∠BDA＝∠BAC，∴∠BAD＝∠C．（2）解：∵∠C＝20°，∠BAC＝110°，∴∠ABC＝180°﹣20°﹣110°＝50°，∵BE平分∠ABC，∴∠EBF＝∠ABC＝25°，∵∠BDA＝∠BAC＝110°，∴∠BHD＝180°﹣∠HBD﹣∠BDA＝180°﹣25°﹣110°＝45°，∵AD∥EF，∴∠BEF＝∠BHD＝45°．23．（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+∠MBC＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；③∠Q＝2∠E，则90°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝60°；④∠E＝2∠Q，则∠A＝2（90°﹣∠A），解得∠A＝120°．综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．24．解：（Ⅰ）∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，∵点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝55°，∴∠BOC＝125°；∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α，∵点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣α，∴∠BOC＝90°+α；（Ⅱ）∠BOC＝120°+α．理由如下：∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝120°+α．（3）∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝180°﹣（180°+∠A）＝•180°﹣．故答案为：125°；90°+α．。
(完整word)三角形内角和定理练习题
三角形内角和定理练习题1.在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是三角形。
2.如图,在△ABC中，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，它们相交于点I,已知∠A＝56°，则∠BIC ＝。
3。
如图，在△ABC中，∠B＝25°，延长BC至E，过点E作AC的垂线ED，垂足为O,且∠E＝40°，则∠A＝。
4.如图，若AB＝AC，BG＝BH，AK＝KG,则∠BAC的度数为.5.若等腰三角形一腰上的高和另一腰上的高的夹角为58°,则这个等腰三角形顶角的度数是。
6.如图，将三角形纸片ABC的一角折叠，折痕为EF，若∠A＝80°，∠B＝68°，∠CFB＝22°，则∠CEA ＝。
7.在一个三角形中，三个内角中至少有个锐角，最多有个直角或钝角.8.如图,AB∥CD，若∠ABE＝135°，∠CDE＝110°，则∠DEF＝。
9。
如图，在△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC,DE⊥AB,∠AFD＝158°，则∠EDF等于( )A.64°B.65°C.67°D。
68°10。
如图,已知AB∥CD，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC,则∠E是( )A.锐角B.直角C。
钝角 D.无法确定11。
如图,已知在△ABC中，AD平分外角∠EAC，AD∥BC,则△ABC的形状是（) A。
等边三角形 B.直角三角形C。
等腰三角形 D.任意三角形12.如图,在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D，设∠BAC＝∠α，则∠D等于（)A。
180°—2∠α B。
180°—∠αC。
90°—∠α D.90°-2∠α13.如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角，那么这个三角形的形状是( ）A.锐角三角形B。
直角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形14。
如图，∠1＝20°，∠2＝25°，∠A＝35°,则∠BDC的度数等于（）A。
三角形的有关证明复习(可编辑修改word版)
三角形的有关证明复习训练(2) 知识点 1 等腰三角形的判定和性质1、下列叙述正确的语句是( )A.等腰三角形两腰上的高相等B.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C.顶角相等的两个等腰三角形全等D.两腰相等的两个等腰三角形全等2、下列能判定△ABC为等腰三角形的是( )A.∠A=300，∠B=600B.∠A=500，∠B=800C.AB=AC=2，BC=4D.AB=3，BC=7，周长为103、已知等腰三角形的两边长分别是3 和5，则该三角形的周长是( )A.8B.9C.10 或12D.11 或13 11．如图，△ABC 中，AD⊥BC，垂足为 D，AD=BD=CD，则下列结论错误的是(C)A.AB=ACB.AD 平分∠BACC.AB=BCD.∠BAC=9001.如图，△ABC中，D 为AB 上一点，E 为 BC 上一点，且 AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为( D )A. 50°B. 51°C. 51.5°D. 52.5°2.如图，Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB于D，CE 平分∠ACD交AB 于E，则下列结论一定成立的是( C ) A.BC=EC B.EC=BE C.BC=BE D.AE=EC4、如图，△ABC 中，AB=AC，∠B=700，则∠A=( )A.70°B.55°C.50°D.40°5、如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=720，则∠ABD等于( )A.18°B.36°C.54°D.64°6、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=300，以 B 为圆心，BC 长为半径作圆弧，交 AC 于 D，连 BD，则∠ABD=() A.30° B.45° C.60° D.90°7、若等腰三角形的腰上的高与另一腰上的夹角为 560，则该等腰三角形的顶角的度数为( )A.56°B.34°C.34°或146°D.56°或34°8、如图，在△ABC中，AB=4，AC=6，∠ABC和∠ACB的平分线交于 O 点，过点 O 作 BC 的平行线交 AB 于 M 点，交AC 于N 点，则△AMN的周长为( )A.7B.8C.9D.109、如图，AD 是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为点E，BF ∥AC交 ED 的延长线于点 F，若 BC 恰好平分∠ABF，AE=2EC，下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AB=3BF，其中正确的结论有( )A.①②③B.①③④C.②③D.①②③④ 13．如图，△ABC中，AB=AC，且 D 为BC 上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为(B)A．30°B．36°C．40°D．45°10．在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则 BC 边上的高是 8cm.11、等腰三角形的一个底角为500，则它的顶角的度数为.12、等腰三角形的一个外角为1100，则底角的度数可能是.9．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.若AB=6，CD=4，则△ABC的周长是 20．10、如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K 分别是PA，PB，AB 上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=440，则∠P的度数为.5.如图，已知 D 为△ABC边 AB 的中点，E 在边 AC 上，将△ABC沿着 DE 折叠，使 A 点落在 BC 上的 F 处，若∠ B=65°，则∠BDF等于50° .13、如图，△ABC中，AB=AC，点D 是BC 的中点. DE⊥ AB 于点E，DF⊥AC于点F.(1)求证：∠DEF=∠DFE.(2)EF与BC 是否平行?说明理由.14、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=400，BD 是∠ABC的平分线，求∠BDC的度数.15、如图，在△ABC中，AB=AC，CD 是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC 于点E.(1)求证：DE=CE. (2)若∠CDE=350，求∠A的度数.17．(1)如图 1，在Rt△ABC中，∠ACB=900，点 D，E 在边AB 上，且 AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度数；(2)如图 2，在△ABC中，∠ACB=400，点 D，E 在直线 AB 上，且 AD=AC，BE=BC，则∠DCE＝110°；(3)在△ABC中，∠ACB=n0(0＜n＜180)，点D，E 在直线 AB 上，且 AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度数(直接写出答案，用含 n 的式子表示)．解：(1)∵AD=AC，BC=BE，∴∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC.∴∠ACD=(180°－∠A)÷2，∠BCE=(180°－∠B)÷2.∵∠A＋∠B＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝180°－(∠A＋∠B)÷2＝180°－45°＝135°.∴∠DCE＝∠ACD＋∠BCE－∠ACB＝135°－90°＝45°.A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.无法确定2．如图，在△ABC中，AB=BC=6，∠B=600，则AC 等于(B) A．4 B．6 C．8 D．10 3．如图，△ABC是等边三角形，则∠1＋∠2=(C) A．60°B．90°C．120° D．180°11．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，垂足为D，点E 是AC 上一点，且AD=AE，则∠CDE等于(C) A．30°B．20°C．15°D．10°4、如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=300，点D 在BC 上，AB⊥ AD，AD=2，则BC 等于( )A.4B.5C.6D.88.如图，AC=BC=10cm，∠B=150，AD⊥BC于点D，则 AD 的长为(C)A.3cm B．4cm C．5cm D．6cm6、如图，△ABC是等边三角形，点B，C，D，E 在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=()A.30°B.25°C.15°D.10°1 1 7、如图，△ABC是等边三角形，且 BD=CE，∠1=150，则∠2 (3)①如图 1，∠DCE=900－ n0；②如图2，∠DCE=90＋ n0；2 2 的度数为( )1 1③如图 3，∠DCE= n0；④如图 4，∠DCE= n0. A.15° B.30° C.45° D.60°2 28、如图，在等边三角形ABC 中，AD⊥BC，垂足为点D，点E 在线段AD 上，∠EBC=450，则∠ACE等于( )A.15°B.30°C.45°D.60°知识点 2 等边三角形的判定和性质10．下列说法：①等边三角形的每一个内角都等于 600；②等边三角形三条边上的高都相等；③等腰三角形两底角的平分线相等；④等边三角形任意一边上的高与这条边上的中线互相重合；⑤等腰三角形一腰上的高与这条腰上的中线互相重合．其中正确的有(D)A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个12．在下列三角形中：①三边都相等的三角形；②有一个角是600且是轴对称图形的三角形；③三个外角(每个顶点处各取1 个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形9、如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE，BD 分别与CD，CE 交于M，N，结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN；④∠DAE=∠DBC. 其中正确的有( )A.②④B.①②③C.①②④D.①②③④10、如图，四边形ABCD 中AC，BD 为对角线,AB=BC=AC=BD，则∠ADC的大小为( )A.120°B.135°C.145°D.150°11、如图，△ABC是边长为 20 的等边三角形，点 D 是BC 边上任意一点，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，则的有(D) BE+CF=( )A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④ A.5 B.10 C.15 D.20 1、若△ABC的内角满足2∠A-∠B=600，4∠A+∠C=3000，则△ABC是( )又∵∠ADB＝120°，∴∠ADE＝60°.∴△ADE 为等边三角形．4.如图，△ABC为等边三角形，AC∥BD，则∠CBD＝120°．5.如图，等边三角形 ABC 中，AD 为高，若 AB=6，则 CD的长度为 3．6.等边三角形 ABC 的边长如图所示，则 y=3．4．如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD 的形状是等边三角形．7．如图，在等边三角形 ABC 中，点D，E 分别是边 AB，AC的中点，CD，BE 交于点 O，则∠BOC的度数是120°． 13．如图，点 D 是等边三角形 ABC 的边AC 上一点，以BD 为边作等边三角形 BDE，若 BC=10，BD=8，则三角形 ADE 的周长为 18．16．如图，△ABC是等边三角形，D，E，F 分别是 AB，BC，CA边上一点，且 AD＝BE＝CF，则△DEF的形状是等边三角形．9.如图，这是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离 h＝6.5 米，自动扶梯的倾角为 300，若自动扶梯运行速度为 v＝0.5 米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为 26 秒．10.如图，铁路 AC 与铁路 AD 相交于车站 A，B区在∠CAD的平分线上，且距车站 A 为 20 千米，∠DAC＝600，则 B区距铁路 AC 的距离为 10 千米．6．如图，点 D，E 在线段 BC 上，BD=CE，∠B=∠C，∠ADB=1200，求证：△ADE为等边三角形．证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.又∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴AD＝AE.13、如图，△ACB和△ECD都是等边三角形，点 A，D，E在同一直线上.(1)求证：AD=BE；(2)求∠AEB 的度数.17.如图，在等边△ABC中，点D，E 分别在边 BC，AC 上，DE∥AB，过点 E 作EF⊥DE，交 BC 的延长线于点 F.(1)求∠F的度数；(2)若CD＝2，求DF 的长．解：(1)∵△ABC 是等边三角形，∴∠B＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.(2)∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，∴△EDC 是等边三角形．∴ED＝DC＝2.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4.18.在四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA，∠B=∠D=600，连接AC.(1)如图 1，点E，F 分别在边 BC，CD 上，且 BE＝CF.求证：①△ABE≌△ACF；②△AEF 是等边三角形；(2)若点 E 在 BC 的延长线上，则在直线 CD 上是否存在点 F，使△AEF是等边三角形？请证明你的结论(图 2 备用)．解：(1)证明：①∵AB＝BC，∠B＝60°，3 5 8 b 6 6 3 3 ∴△ABC 是等边三角形．∴AB＝AC. 同理，△ADC 也是等边三角形， ∴∠B＝∠ACF＝60°.又∵BE＝CF ，∴△ABE≌△ACF(SAS)． ②∵△ABE≌△ACF，9、腰长为 12，底角为 150的等腰三角形的面积为 .∴AE＝AF ，∠BAE＝∠CAF. ∵∠BAE＋∠CAE＝60°，10、三角形三边长分别为 ， ， 2 的最大边上的高等于 . 3 ，则此三角形 ∴∠CAF＋∠CAE＝60°，即∠EAF＝60°. ∴△AEF 是等边三角形． (2)存在．证明：在 CD 延长线上取点 F ，在 BC 延长线上取点 E ， 使 CF ＝BE ，连接 AE ，EF ，AF.与(1)①同理可证△ABE≌△ACF， ∴AE＝AF ，∠BAE＝∠CAF.∴∠CAF－∠CAE＝∠BAE－∠CAE. ∴∠EAF＝∠BAC＝60°. ∴△AEF 是等边三角形．(注：若在 CD 延长线上取点 F ，使 CE ＝DF 也可)知识点 3 勾股定理与逆定理1、下列定理中，有逆定理的个数是( )①有两边相等的三角形是等腰三角形；②若三角形的三边长 a ，b ，c 满足 a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形；③全等三角形的对应角相等；④若 a=b ，则 a 2=b 2. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个2、在直角三角形中，若勾为 3.股为 4，则弦为( ) A.5 B.6 C.7 D.83、以下列每组数据中的三个数值为三角形的三边长， 不能构成直角三角形的是( )A.3,4,5B.6,8,10C. ,2,D.5,12,134、已知 a ，b ，c 是三角形的三边长，如果满足(a-6)2++|c-10|=0，那么下列说法中不正确的是() A.这个三角形是直角三角形 B. 这个三角形的最长边长是 10 C. 这个三角形的面积是 4811、已知 CD 是△ABC 的边 AB 上的高，若 CD= ，AD=1， AB=2AC ，则 BC 的长为 . 12、如图，在△ABC 中，D 为 BC 上的一点，若 AC=17，AD=8， CD=15，AB=10，求 △ABC 的周长和面积.13、如图，四边形 ABCD 中，AB=BC=1，CD= ，DA=1，∠B=900. 求：(1)∠BAD 的度数.(2)四边形 ABCD 的面积(结果保留根号).14、如图，△ABC 中，AC=6，BC=8，DE 是△ABD 边 AB 上 D. 这个三角形的最长边上的高是 4.85、给出下列几组数：① 4，5，6；②8，15，16；③n 2-1，2n ，n 2+1；④m 2-n 2，2mn ，m 2+n 2(m ＞n ＞0). 其中—定能组成直角三角形三边长的是( ) A.①② B.③④ C.①③④ D.④6、如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=900，CD 为 AB 边上的高，CE 为 AB 边上的中线，AD=2，CE=5，则 CD=( ) A.2 B.3 C.4D. 2 7、如图，AC⊥BC 于点 C ，DE⊥BE 于点 E ，BC 平分∠ABE，∠BDE=580.则∠A= .8、如图，圆柱形玻璃杯高为 14cm ，底面周长为 32cm ， 在杯内壁离杯底 5cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂 高，DE=4，AD= 2 5 ，BD= 4 5 ，求△ABC 边 AB 上的高.蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3cm 与蜂蜜相对的点 A 处， 则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为 .15、如图，△ABC 和△ADE 分别是以 BC ，DE 为底边且顶3角相等的等腰三角形，点 D 在线段 BC 上，AF 平分 DE 交 BC 于点 F ，连接 BE ，EF. (1) CD 与 BE 相等?若相等，请证明；若不相等，请说明理由；(2)若∠BAC=900，求证：BF 2+CD 2=FD 2.知识点 4 直角三角形的判定定理“HL”1、下列命题中，假命题是( )A. 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等B. 斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等C.两条直角边对应相等的两个直角三角形全等D.一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等 2、△ABC 和△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′， 高 AD=A′D′，则∠C 和∠C′的关系是( )A.相等B.互补C.相等或互补D.以上都不对3、如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=BC ，若 CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别是 D ，E.则图中全等的三角形共有( ) A.2 对 B.3 对 C.4 对 D.5 对 4、如图，BE=CF ，AE⊥BC，DF⊥BC，根据“HL”证明 Rt△ABE ≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是( )A.AE=DFB.∠A=∠DC.∠B=∠CD.AB=DC 5、如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上，左边滑梯高度 AC 与右边滑梯水平方向长度 DF 相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC 与∠DFE 的度数和是( ) A.90° B.120° C.135° D.150°6、如图，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别为 B ，C ，AB=BC ，E 为 BC 的中点，且 AE⊥BD 于 F ，若 CD=4cm ，则 AB 的长度 为 ( )A.4cmB.8cmC.9cmD.10cm7、如图，点 D 在边 BC 上，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为 点 E ，D ，BD=CF ，BE=CD.∠AFD=1400， 则∠EDF= .8、如图，Rt△ABC 中， ∠C=900，AC=8，BC=3， AE⊥A CP ，Q 分别是 AC ，AE 上动点，PQ=AB ，当 AP= 时，才能使△ABC 和△PQA 全等.9、如图，△ABC 中，点 D 在边 BC 上，DE⊥AB 于 E ，DH⊥AC 于 H ，DE=DH ，点 F 为 AE 的中点，点 G 为直线 AC 上一动点，DG=DF ，若 AE=4cm ，则 AG= . 10、在如图所示的 4×4 正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠ 4+∠5+∠6+∠7= .11、如图，∠A=∠D=900，AC=DB ，AC ，DB 相交于点 O.求证：OB=OC.12、如图，△ABC 中，∠ABC=∠BAC=450，点 P 在 AB 上，AD⊥ CP ，BE⊥CP，垂足为 D ，E ，DC=2，求 BE 的长.13、课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图. (1)求证：△ADC≌△CEB.(2) 从三角板的刻度可知 AC=25cm ，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度 a 的大小(每块砖的厚度相等).14、如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BD=CD，BE=CF.(1)求证△BED≌△CFD. (2)已知 EC=6，AC=10，求BE.(3)当∠C=450时，判断△DFC的周长与线段 AC 长度的关系，并说明理由.。
苏科版数学七年级下期末复习提优专题三角形word版含解析
本文由一线教师精心整理/word可编辑初一期末复习专题-三角形模块一：三角形三边关系1．如果一个三角形的两边长分别是1cm，2cm，那么这个三角形第三边长可能是（）A．1cm B．2.5cm C．3cm D．4cm【解答】解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得2﹣1＜x＜2+1，即 1＜x＜3．故选：B．2．如果三角形的两边长分别为5 和 7，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长可以是A．10 B．11 C．16 D．26【解答】解：设第三边为acm，根据三角形的三边关系知，2＜a＜12．由于第三边的长为偶数，则 a 可以为 4cm 或 6cm 或 8cm 或 10cm．∴三角形的周长是5+7+4=16cm或5+7+6=18cm或5+7+8=20cm或5+7+10=22cm．故选：C．3．一个等腰三角形的边长分别是4cm 和 7cm，则它的周长是 15cm 或 18cm ．【解答】解：①当腰是4cm，底边是 7cm 时，能构成三角形，则其周长=4+4+7=15cm；②当底边是 4cm，腰长是 7cm 时，能构成三角形，则其周长=4+7+7=18cm．故答案为：15cm 或 18cm．4．一个三角形的三边长分别是 xcm、（x+1）cm、（x+2）cm，它的周长不超过10cm，则 x 的取值范围是（）A．x≤133B．1＜ x≤133C．D．1＜ x≤73【解答】解：∵三角形的三边长分别是xcm、（x+1）cm、（x+2）cm，它的周长不超过10cm，∴x+2＜x+x+1，x+x+1+x+2≤10，解得：x＞1，，所以 x 的取值范围是 1＜x≤73，故选：D．5．一个三角形的三边长分别为 xcm、（x+2）cm、（x+4）cm，它的周长不超过39cm，则 x 的取值范围是 2＜x≤11 ．【解答】解：∵一个三角形的3 边长分别是 xcm，（x+2）cm，（x+4）cm，它的周长不超过 39cm，解得 2＜x≤11．故答案为：2＜x≤11．6．已知一个三角形中两条边的长分别是a、b，且a＞b，那么这个三角形的周长L 的取值范围是（）A．3b＜L＜3a B．2a＜L＜2（a+b）C．a+2b＜L＜2a+b D．3a﹣b＜L＜3a+b 【解答】解：设第三边长x．根据三角形的三边关系，得a﹣b＜x＜a+b．∴这个三角形的周长m 的取值范围是a﹣b+a+b＜L＜a+b+a+b，即2a＜L＜2a+2b．故选：B．7．现有长为 57cm 的铁丝，要截成n（n＞2）小段，每小段的长度为不小于1cm 的整数，如果其中任意 3 小段都不能拼成三角形，则n 的最大值为 8 ．【解答】解：因为 n 段之和为定值 57cm，故欲 n 尽可能的大，必须每段的长度尽可能的小．又由于每段的长度不小于1cm，且任意 3 段都不能拼成三角形，因此这些小段的长度只可能分别是 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，但 1+1+2+3+5+8+13+21=54＜57，1+1+2+3+5+8+13+21+34=88＞57，所以 n 的最大值为 8．故答案为 8．模块二：三角形中求角度8．如图，△A BC 的角平分线AD 交 BD 于点D，∠1=∠B，∠C=66°，则∠BAC 的度数是 76° ．【解答】解：∵△ABC 的角平分线 AD 交 BD 于点 D，∴∠C AD=∠1=1∠BAC，2∵∠1=∠B，∴∠ADC=∠1+∠B=2∠1，在△ABC 中，∠B+2∠1+∠C=180°，∴3∠1=180°﹣∠C=114°，∴∠1=38°，∴∠BAC=2∠1=76°．故答案为76°9．将一副直角三角板如图放置，使含 30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为 75 度．【解答】解：如图．∵∠3=60°，∠4=45°，∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．故答案为：75．10．在锐角△ABC 中，三条高交于点H，若∠BHC=110°，则∠BAC= 70 °．【解答】解：如图所示，∵CF⊥AB，B E⊥AC，∴∠AFC=∠AEB=90°，∵∠E HF=∠BHC=110°，∴∠A=360°﹣∠AFC﹣∠AEB﹣∠EHF=360°﹣90°﹣90°﹣110°=70°．故答案为：70．11．一个正三角形和一副三角板（分别含30°和45°）摆放成如图所示的位置，且AB∥CD，则∠1+∠2= 75° ．【解答】解：连接 AC，∵A B∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°．∵∠BAG=30°，∠EC D=60°，∴∠E AC+∠ACE=180°﹣30°﹣60°=90°．∵∠CE D=60°，∴∠GEF=180°﹣90°﹣60°=30°．同理∠E GF=180°﹣∠1﹣90°=90°﹣∠1，∠GFE=180°﹣45°﹣∠2=135°﹣∠2，∵∠GEF+∠EGF+∠GFE=180°，即30°+90°﹣∠1+135°﹣∠2=180°，解得∠1+∠2=75°．故答案为：75°．12．如图，方格中的点A，B 称为格点（格线的交点），以AB 为一边画△A BC，其中是直角三角形的格点 C 的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：如图所示：以AB 为一边画△A BC，其中是直角三角形的格点C 共有 4 个，故选：B．13．我们都知道“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，据此，请你叙述四边形的一个外角与它不相邻的三个内角的数量关系与它不相邻的三个内角的和减去180° ．【解答】解：四边形的一个外角与相邻的内角互补，而四个内角的和是360 度，则四边形的一个外角等于：与它不相邻的三个内角的和减去180°．故答案是：与它不相邻的三个内角的和减去180°．模块三：三角形模型14．已知△A BC 中，∠A=α．在图（1）中∠B、∠C的角平分线交于点O1，则可计算得∠BO1C=90°+12α ；在图（2）中，设∠B 、∠C 的两条三等分角线分别对应交于 O 1、O 2，则∠BO 2C= 60°+23α ；请你猜想，当∠B 、∠C 同时 n 等分时，（n ﹣1）条等分角线分别对应交于 O 1、 O 2，…，O n ﹣1，如图（3），则∠BO n ﹣1C= （用含 n 和α的代数式表 示）．【解答】解：在△ABC 中，∵∠A=α，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣α，∵O 2B 和 O 2C 分别是∠B 、∠C 的三等分线，∴∠O 2BC+∠O 2CB=23（∠ABC+∠ACB ）=23（180°﹣α）=120°﹣23α； ∴∠BO 2C=180°﹣（∠O 2BC+∠O 2CB ）=180°﹣（120°﹣23α）=60°+23α；在△ABC 中，∵∠A=α，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣α，∵O n ﹣1B 和 O n ﹣1C 分别是∠B 、∠C 的 n 等分线，∴ ∠ O n ﹣ 1BC+ ∠ O n ﹣ 1CB= 1n n -（ ∠ ABC+ ∠ ACB ） = 1n n-（ 180 ° ﹣ α ） = 0180(1)n n -﹣(1)n nα-． ∴ ∠ BO n ﹣ 1C=180 ° ﹣ （ ∠ O n ﹣ 1BC+ ∠ O n ﹣ 1CB ） =180 ° ﹣ （0180(1)n n -﹣(1)n nα- ）故答案为：60°+23 α；(1)n nα-+0180n 15．如图，在△ABC 中，∠A =m°，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点 A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和 ∠A 1CD 的平分线交于点 A 2，得∠A 2；…∠A 2021BC 和∠A 2021CD 的平分线交于点 A 2021，则∠ A 2021= 20132m度．【解答】解：∵A 1B 平分∠ABC ，A 1C 平分∠ACD ，∴∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CA=12∠ACD ， ∵∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ， 即12∠ACD=∠A 1+12∠ABC ， ∴∠A 1=12（∠ACD ﹣∠ABC ）， ∵∠A+∠ABC=∠ACD ，∴∠A=∠ACD ﹣∠ABC ，∴∠A 1=12∠A ， ∴∠A 1=12m °， ∵∠A 1=12∠A ，∠A 2=12∠A 1=212∠A， 以此类推∠A 2021=201312∠A=20132m °． 故答案为：20132m．16．如图，在△ABC 中，∠A=40°，D 点是∠ABC 和∠ACB 角平分线的交点，则∠BDC= 110° ．【解答】解：∵D点是∠ABC 和∠ACB 角平分线的交点，∴∠C BD=∠ABD=12∠ABC，∠BCD=∠ACD=12∠ACB，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣40°=140°，∴∠DBC+∠DCB=70°，∴∠BDC=180°﹣70°=110°，故答案为：110°．模块四：多边形17．在一个 n（n＞3）边形的 n 个外角中，钝角最多有（）A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个【解答】解：∵一个多边形的外角和为360°，∴外角为钝角的个数最多为3个．故选：B．18．若 n 边形的内角和是它外角和的2 倍，则 n= 6 ．【解答】解：设所求多边形边数为n，则（n﹣2）•180°=360°×2，解得 n=6．19．如图是由射线 AB、BC、CD、DE、EA 组成的图形，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360° ．【解答】解：由多边形的外角和等于360°可知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，故答案为：360°．20．一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形是 8 边形．【解答】解：设所求正n 边形边数为 n，则1080°=（n﹣2）•180°，解得n=8．故答案为：8．模块五：面积问题21．如图，△A BC 三边的中线 AD、BE、CF 的公共点为 G，若 S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是 4 ．【解答】方法 1解：∵△ABC 的三条中线 AD、BE，CF 交于点 G，∴S△CGE=S△AGE=13S△A CF，S△BGF=S△BGD=13S△BCF，∵S△ACF=S△BCF=12S△ABC =12×12=6，∴S△CGE=13S△ACF=13×6=2，S△BGF=13S△BCF=13×6=2，∴S阴影=S△CGE+S△BGF=4．故答案为 4．方法 2设△AFG，△BFG，△BDG，△CDG，△CEG，△AEG 的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，S6，根据中线平分三角形面积可得： S1=S2 ， S3=S4 ， S5=S6 ， S1+S2+S3=S4+S5+S6 ①，S2+S3+S4=S1+S5+S6②由①﹣②可得 S1=S4，所以S1=S2=S3=S4=S5=S6=2，故阴影部分的面积为4．22．如图，A、B、C 分别是线段 A1B，B1C，C1A 的中点，若△A BC 的面积是 1，那么△A1B1C1的面积 7 ．【解答】解：如图，连接AB1，BC1，CA1，∵A、B 分别是线段 A1B，B1C 的中点，∴S△ABB1=S△ABC=1，S△A1AB1=S△ABB1=1，∴S△A1BB1=S△A1AB1+S△ABB1=1+1=2，同理：S△B1CC1=2，S△A1AC1=2，∴△A1B1C1 的面积=S△A1BB1+S△B1CC1+S△A1AC1+S△ABC=2+2+2+1=7．故答案为：7．23．如图，在△ABC 中，C1，C2 是 AB 边上的三等分点，A1，A2，A3 是 BC 边上的四等分点，AA1 与 CC1 交于点 B1，CC2 与 C1A2 交于点 B2，记△AC1B1，△C1C2B2，△C2BA3 的面积为 S1，S2，S3．若 S1+S3=9，S2= 4 ．【解答】解：根据图形和已知条件发现：S1=12S△ACC1，S2=13S△CC1C2，S3=14S△CC2B，S△ACC1=S△CC1C2=S△CC2B，∴S1=32S2，S3=34S2，若 S1+S3=9，S2=4．24．（1）如图①，AD 是△ABC 的中线，△A BD 与△A CD 的面积有怎样的数量关系？为什么？（2）若三角形的面积记为S，例如：△ABC 的面积记为 S△ABC，如图②，已知S△ABC=1，△ABC 的中线 AD 、CE 相交于点 O ，求四边形 BDOE 的面积． 小华利用（1）的结论，解决了上述问题，解法如下：连接 BO ，设 S △BEO =x ，S △BDO =y ， 由（1）结论可得：1122BCE ABD ABC S S S ∆∆∆===， S △BCO =2S △BDO =2y ，S △BAO =2S △BEO =2x ．则有BEO BCO BCE BAO BDO BADS S S S S S ∆∆∆∆∆∆+=⎧⎨+=⎩， 即122122x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩． 所以13x y +=． 即 四边形 BDOE 的面积为13请仿照上面的方法，解决下列问题：①如图③，已知 S △ABC =1，D 、E 是 BC 边上的三等分点，F 、G 是 AB 边上的三等分点，AD 、 CF 交于点 O ，求四边形 BDOF 的面积．②如图④，已知 S △ABC =1，D 、E 、F 是 BC 边上的四等分点，G 、H 、I 是 AB 边上的四等分 点，AD 、CG 交于点 O ，则四边形 BDOG 的面积为110． 【解答】解：（1）S △ABD =S △ACD ．∵AD 是△A BC 的中线∴BD=CD ，又∵△ABD 与△A CD 高相等，∴S △ABD =S △ACD ．（2）①如图 3，连接 BO ，设 S △BFO =x ，S △BDO =y ，S △BCF =S △ABD =13S △ABC =13S △BCO =3S △BDO =3y ，S △BAO =3S △BFO =3x ．则有BFO BCO BCF BDO BAO BAD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆+=⎧⎨+=⎩即133133x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩． ， 所以 x+y=16，即四边形 BDOF 的面积为16； ②如图，连接 BO ，设 S △BDO =x ，S △BGO =y ，，S △BCG =S △ABD =14S △ABC =14， S △BCO =4S △BDO =4x ，S △BAO =4S △BGO =4y ．则有BGO BCO BCG BDOBAO BAD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆+=⎧⎨+=⎩， 即144144x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 所以 x+y=110，即四边形 BDOG 的面积为110， 故答案为：110． 模块六：综合题25．证明：三角形三个内角的和等于180°． 已知： △A BC ．求证： ∠BAC+∠B+∠C =180° ．【解答】解：已知：△ABC ， 求证：∠BAC+∠B+∠C =180°， 证明：过点 A 作 EF ∥BC ，∵E F ∥B C ，∴∠1=∠B ，∠2=∠C ，∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°． 即知三角形内角和等于 180°． 故答案为：△ABC ；∠BAC+∠B+∠C =180°．26．如图①，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 是 AB 上一点，且∠ACD=∠B．（1）求证：CD⊥AB；（2）如图②，若∠BAC 的平分线分别交 BC，CD 于点 E，F，求证：∠AEC=∠C FE．【解答】（1）证明：∵∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，∠B=∠ACD，∴∠B+∠BCD=90°，又∵∠CDB+∠B+∠BCD=180°，∴∠C DB=90°，∴CD⊥AB；（2）在△A CE 中，∠AEC+∠C AE=90°，在△AFD 中，∠FAD+∠AFD=90°，∵AE 平分∠BAC，∴∠C AE=∠FAD，∴∠AEC=∠AFD，又∵∠CFE=∠AFD，∴∠AEC=∠C FE．27．在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AC、BC 上（不与点 A、B、C 重合），点 P 是直线 AB 上的任意一点（不与点A、B 重合）．设∠PDA=x，∠PEB=y，∠DPE=m，∠C=n．（1）如图，当点 P 在线段 AB 上运动，且 n=90°时①若PD∥BC，PE∥AC，则m= 90° ；②若 m=50°，求 x+y 的值．（2）当点 P 在直线 AB 上运动时，直接写出x、y、m、n 之间的数量关系．【解答】解：（1）①如图1，∵PD∥B C，PE∥AC，∴四边形 DPEC 为平行四边形，∴∠DPE=∠C，∵∠DPE=m，∠C=n=90°，∴m=90°；②∵∠ADP=x，∠PEB=y，∴∠C DP=180°﹣x，∠CEP=180°﹣y，∵∠C+∠C DP+∠DPE+∠CE P=360°，∠C=90°，∠DPE=50°，∴90°+180°﹣x+50°+180°﹣y=360°，∴x+y=140°；（2）分五种情况：①y﹣x=m+n，如图2，理由是：∵∠DFP=n+∠FEC，∠FEC=180°﹣y，∴∠DFP=n+180°﹣y，∵x+m+∠DFP=180°，∴x+m+n+180°﹣y=180°，∴y﹣x=m+n；②x﹣y=m﹣n，如图3，理由是：同理得：m+180°﹣x=n+180°﹣y，∴x﹣y=m﹣n；③x+y=m+n，如图4，理由是：由四边形内角和为 360°得：180°﹣x+m+180°﹣y+n=360°，∴x+y=m+n；④x﹣y=m+n，如图5，理由是：同理得：180°=m+n+y+180°﹣x，∴x﹣y=m+n；⑤y﹣x=m﹣n，如图6，理由是：同理得：n+180°﹣x=m+180°﹣y，∴y﹣x=m﹣n．。
(完整版)初中数学三角形证明题经典题型训练汇总
2015年 05月 03日初中数学三角形证明组卷．选择题（共 20 小题）1．（ 2015? 涉县模拟）如图，在△ ABC 中，∠ C=90°， AB 的垂直平分线交 AB 与 D ，交 BC 于 E ，连接 AE ，若 CE=5， AC=12，则 BE 的长是（ ）2 ．（ 2015? 淄博模拟）如图，在△ ABC 中，AB=AC ，∠A=36°， BD 、CE 分别是∠ ABC 、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）4．（ 2014?丹东）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=40°， AB 的垂直平分线交 AB 于点 D ，交AC 于点 E ，连接 BE ，则∠ CBE 的度数为（ ）C 12D53．（ 2014 秋? 西城区校级期中）如图，在△ ABC 中， AD 是它的角平分线， A B=8cm ，AC=6cm ，C 16 ： 9D 9： 163：4WORD格式可编辑A 70°B 80°C 40°D 30°度数为（ ）6．（2014? 山西模拟）如图，点 O 在直线 AB 上，射线 OC 平分∠ AOD ，若∠ AOC=3°5 ， 则∠BOD7 ．（2014? 雁塔区校级模拟）如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90°， BA 的垂直平分线交 BC 边于8．（2014 秋? 腾冲县校级期末） 如图，已知 BD 是△ABC 的中线， AB=5，BC=3，△ABD 和△BCD 的周长的差是（）5．（ 2014? 南充）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，且 D 为 BC 上一点，CD=AD ， AB=BD ，则∠ B 的C 40D 45A 145°B 110C 70°D 35°60°的角的个数是（C4D5等于（ ）D ，若 AB=10， AC=5，则图中等于9．（2014春? 栖霞市期末） 在 Rt △ABC 中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD 平分∠CAB ，点 D 到 AB 的距离 DE=3.8cm ，则 BC 等于（10 ．（ 2014秋? 博野县期末）△ ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离 相等；∠ A=40°，则∠ BOC （= ）A 110°B 120°C 130°D 140°B3 C6D 不能确定B 7.6cm 11.4cmD 11.2cm11 ．（2013秋? 潮阳区期末）如图，已知点 P 在∠ AOB 的平分线 OC 上，PF ⊥OA ，PE ⊥OB ，A 3.8cm若 PE=6，则 PF 的长为（12 ．（ 2013秋? 马尾区校级期末）如图，△ ABC 中， DE 是 AB 的垂直平分线，交 BC 于点 D ， 交 AB 于点 E ，已知 AE=1cm ，△ACD 的周长为 12cm ，则△ ABC 的周长是（ ）16．（2014 秋? 万州区校级期中）如图，已知在△ ABC 中， AB=AC ， D 为 BC 上一点， BF=CD ，C 15cmD 16cm13．（2013秋? 西城区期末） 如图，∠BAC=13°0 等于（ ）14．（2014 秋? 东莞市校级期中）如图，要用条件是（ ）， 若 MP 和 QN 分别垂直平分 AB 和 AC ，则∠ PAQ80°D 105°HL ”判定 Rt △ABC 和 Rt △A ′B ′C ′全等的B ．∠A=∠A ′， AB=A ′B ′ D ．∠B=∠B ′， BC=B ′C ′15．（2014 秋 ? 淄川区校级期中）如图， M N 是线段 AB 的垂直平分线， C 在 MN 外，且与 A 点在 MN 的同一侧， BC 交 MN 于 P 点，则（ ）A BC > PC+APB BC <PC+APC BC=PC+APD BC ≥ PC+APCE=BD，那么∠ EDF等于（）不一定成立的是（ ）B ． 90°﹣ ∠AC ． 180°﹣∠AD45°∠A17．（ 2014 秋 ? 泰山区校级期中）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，AD 平分∠BAC ，那么下列结论A ． △ABD ≌△ ACDC ． AD 是△ ABC 的角平分线B ． AD 是△ ABC 的高线D ．△ABC 是等边三角18．（2014 秋? 晋江市校级月考）如图，点 P 是△ ABC 内的一点，若 PB=PC ，则（A ．点 P 在∠ABC 的平分线上 C ．点 P 在边 AB 的垂直平分线上 B ． 点 P 在∠ ACB 的平分线上 D ．点 P 在边 BC 的垂直平分线上19．（ 2013? 河西区二模） 如图， 在∠ECF 的两边上有点 B ，A ，D ，BC=BD=D ，A 且∠ADF=75°， C 25° D 30°A 90°﹣∠A20 ．（2013 秋? 盱眙县校级期中）如图， P 为∠ AOB 的平分线 OC 上任意一点， PM ⊥OA 于 M ， PN ⊥OB 于 N ，连接 MN 交 OP 于点 D ．则① PM=P ，N ②MO=N ，O ③OP ⊥MN ，④MD=N ．D 其中正确 的有（ ）．解答题（共 10 小题）21 ．（2014 秋? 黄浦区期末）如图，已知 ON 是∠AOB 的平分线， OM 、OC 是∠ AOB 外的射线．1）如果∠ AOC α= ，∠ BOC β= ，请用含有 α， 的式子表示∠ NOC ． 那么∠ MON 的度数是多少？A 1 个2）如果∠ BOC=9°0 ， OM 平分∠ AOC ，22．（2014 秋? 阿坝州期末）如图，已知： E 是∠AOB 的平分线上一点， EC ⊥OB ，ED ⊥OA ， C 、 D 是垂足，连接 CD ，且交 OE 于点 F ．（1）求证： OE 是 CD 的垂直平分线．23．（2014 秋? 花垣县期末）如图，在△ ABC 中，∠ ABC=2∠C ， BD 平分∠ ABC ，DE ⊥AB（ E 在 AB 之间），DF ⊥BC ，已知 BD=5，DE=3，CF=4，试求△ DFC 的周长．24 ．（ 2014 秋? 大石桥市期末） 如图， 点 D 是△ ABC 中 BC 边上的一点， 且 AB=AC=C ，DAD=BD ， 求∠BAC 的度数．EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论．25．（2014 秋? 安溪县期末）如图，在△ ABC 中，AB=AC，∠A=α．（1）直接写出∠ ABC的大小（用含α 的式子表示）；分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若26．（2014 秋? 静宁县校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠ BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F．求证：（1）∠B=∠C．27．（2012 秋? 天津期末）如图，AB=AC，∠ C=67°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，求∠DBC的度数．28 ．（2013秋? 高坪区校级期中）如图，△ ABC 中，AB=AD=A，E DE=EC，∠DAB=30°，求∠C 的度数．29．（2012 春? 扶沟县校级期中）阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边”，如图，在△ ABC 中，已知∠ ABC 和∠ACB的平分线上交于点F，过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E，请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+C．E30．（2011? 龙岩质检）如图，AD是△ ABC的平分线，DE，DF分别垂直AB、AC于E、F，连接EF，求证：△ AEF 是等腰三角形．2015年 05 月 03 日初中数学三角形证明组卷参考答案与试题解析一．选择题（共 20 小题）1．（ 2015? 涉县模拟）如图，在△ ABC 中，∠ C=90°， AB 的垂直平分线交 AB 与 D ，交 BC 于 E ，连接 AE ，若 CE=5， AC=12，则 BE 的长是（ ）考 线段垂直平分线的性质． 点：分 先根据勾股定理求出 AE=13，再由 DE 是线段 AB 的垂直平分线，得出BE=AE=13． 析：解解：∵∠ C=90°，答：∴A E=，∵DE 是线段 AB 的垂直平分线， ∴BE=AE=1；3 故选： A ．点 本题考查了勾股定理和线段垂直平分线的性质；利用勾股定理求出 AE 是解题的关评： 键．2．（ 2015? 淄博模拟）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=36°， BD 、CE 分别是∠ ABC 、∠BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）考 等腰三角形的判定；三角形内角和定理．C 12D5点：专证明题．题：分根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，析：解解：共有 5 个．答：（1）∵ AB=AC ∴△ABC是等腰三角形；（2）∵BD、CE分别是∠ ABC、∠BCD 的角平分线∴∠ EBC= ∠ABC，∠ECB= ∠BCD，∵△ABC是等腰三角形，∴∠ EBC=∠ ECB，∴△BCE是等腰三角形；（3）∵∠ A=36°，AB=AC，∴∠ ABC=∠ACB= （180°﹣36°）=72°，又BD是∠ ABC的角平分线，∴∠ ABD= ∠ABC=36°=∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△ CDE 和△ BCD是等腰三角形．故选：A．点此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，评：题．3．（2014秋? 西城区校级期中）如图，在△ ABC 中，AD是它的角平分线，考角平分线的性质；三角形的面积．点：专计算题．题：C 16 ：9 D 9：16即可得出答案．属于中档AB=8cm，AC=6cm，则S △ABD：S△ACD=（）3：4分 首先过点 D 作 DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，由 AD 是它的角平分线，根据角平分线的性质， 析： 即可求得 DE=DF ，由△ ABD 的面积为 12，可求得 DE 与 DF 的长，又由 AC=6，则 可求得△ ACD 的面积．解 解：过点 D 作 DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为 E 、F ⋯（ 1 分） 答： ∵AD 是∠ BAC 的平分线， DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE=D ，F ⋯（ 3 分） ∴S △ABD= ? DE? AB=12， ∴DE=DF=⋯3 （ 5 分）∴S △ADC= ? DF? AC= ×3×6=9⋯（ 6 分）∴S △ABD ： S △ACD =12： 9=4： 3．点 此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是熟记角平分线的性 评： 质定理的应用，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．4．（ 2014? 丹东）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，∠A=40°， AB 的垂直平分线交 AB 于点 D ，交 AC 于点 E ，连接 BE ，则∠ CBE 的度数为（ ）考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质． 专题： 几何图形问题．分析： 由等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，即可求得∠ ABC 的度数，又由线段 AB 的垂直 平分线交 AB 于 D ，交 AC 于 E ，可得 AE=BE ，继而求得∠ ABE 的度数，则可求得答 案．解答： 解：∵等腰△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=40°，∴∠ ABC=∠C==70°，∵线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D ，交 AC 于 E ，A 70°B 80°C 40D 30°故选 A ．∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°．故选：D．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．5．（2014? 南充）如图，在△ ABC 中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A 30°B 36°C 40°D 45考等腰三角形的性质．点：分求出∠ BAD=2∠ CAD=∠2 B=2∠C 的关系，利用三角形的内角和是180°，求∠ B，析：解解：∵ AB=AC，答：∴∠ B=∠C，∵AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵CD=A，D∴∠C=∠CAD，∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36° 故选：B．点本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是运用等腰三角形的性质得出评：∠BAD=2∠CAD=∠2 B=2∠C 关系．6．（2014? 山西模拟）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠ AOD，若∠ AOC=3°5 ，则∠BOD 等于（）A 145°B 110C 70°D 35°考 角平分线的定义． 点：分 首先根据角平分线定义可得∠ AOD=∠2 AOC=7°0 ，再根据邻补角的性质可得∠ BOD 析： 的度数．解 解：∵射线 OC 平分∠ DOA ． 答： ∴∠ AOD=∠2 AOC ，∵∠ COA=3°5 ， ∴∠ DOA=7°0 ，∴∠ BOD=18°0 ﹣70°=110°， 故选： B ．点 此题主要考查了角平分线定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分． 评：7．（ 2014? 雁塔区校级模拟）如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90°， BA 的垂直平分线交 D ，若 AB=10， AC=5，则图中等于 60°的角的个数是（ ）考点： 线段垂直平分线的性质． 分析： 根据已知条件易得∠ B=30°， ∠ BAC=60°．根据线段垂直平分线的性质进一步求解．解答： 解：∵∠ ACB=90°， AB=10， AC=5，∴∠ B=30°．∴∠BAC=90°﹣30°=60° ∵DE 垂直平分 BC ，∴∠ BAC=∠ADE=∠BDE=∠CDA=9°0 ﹣30°=60°． ∴∠BDE 对顶角 =60°，∴图中等于 60°的角的个数是 4． 故选 C ．点评： 此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识． 线段的垂直平分线上的点到 线段的两个端点的距离相等．由易到难逐个寻找，做到不重不漏．8．（2014 秋? 腾冲县校级期末） 如图，已知 BD 是△ABC 的中线， AB=5，BC=3，△ABD 和△BCD 的周长的差是（ ）BC 边于C4 D5考点：三角形的角平分线、中线和高．专题：计算题．分析：根据三角形的中线得出AD=CD，根据三角形的周长求出即可．解答：解：∵BD 是△ABC的中线，∴AD=C，D∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+A）D ﹣（BC+BD+C）D=AB﹣BC=5﹣3=2．故选A．点评：本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行计算是解此题的关键．9．（2014春? 栖霞市期末）在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点 D 到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（考点：角平分线的性质．分析：由∠ C=90°，∠ CAB=60°，可得∠B 的度数，故BD=2DE=7.6，又AD平分∠ CAB，故DC=DE=3.8，由BC=BD+DC求解．解答：解：∵∠ C=90°，∠ CAB=60°，∴∠B=30°，在Rt△BDE中，BD=2DE=7.6，又∵AD平分∠ CAB，∴DC=DE=3.，8 ∴BC=BD+DC=7.6+3.8=11.．4 故选C．点评：本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到AB 的距离DE即为CD长，是解题的关键．B3 C6 D 不能确定B 7.6cm 11.4cm D 11.2cmA 3.8cm10．（2014 秋? 博野县期末）△ ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相 等；∠ A=40°，则∠ BOC （= ）A 110°B 120°C 130°D 140°角平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质． 计算题．由已知， O 到三角形三边距离相等，得 O 是内心，再利用三角形内角和定理即可求 出∠BOC 的度数．解 解：由已知， O 到三角形三边距离相等，所以 O 是内心， 答： 即三条角平分线交点，AO ， BO ，CO 都是角平分线，所以有∠ CBO ∠= ABO= ∠ABC ，∠ BCO ∠= ACO= ∠ACB ， ∠ABC+∠ACB=18﹣0 40=140 ∠OBC ∠+ OCB=70 ∠BOC=18﹣0 70=110° 故选 A ．点 此题主要考查学生对角平分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识 评： 点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．11．（2013 秋? 潮阳区期末）如图，已知点 P 在∠ AOB 的平分线 OC 上，PF ⊥OA ，PE ⊥OB ，若考点 ： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质． 专题 ： 计算题．分析： 利用角平分线性质得出∠ POF=∠POE ，然后利用 AAS 定理求证△ POE ≌△ POF ，即可 求出 PF 的长．考点专题分）4解答： 解：∵ OC 平分∠ AOB ，∴∠ POF=∠POE ， ∵PF ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PFO=∠PEO ， PO 为公共边，∴△ POE ≌△ POF ， ∴PF=PE=6． 故选 C ．点评： 此题考查学生对角平分线性质和全等三角形的判定与性质的理解和掌握，解答此 题的关键是求证△ POE ≌△ POF ．12．（2013 秋? 马尾区校级期末）如图，△ ABC 中， DE 是 AB 的垂直平分线，交 BC 于点 D ， 交 AB 于点 E ，已知 AE=1cm ，△ACD 的周长为 12cm ，则△ ABC 的周长是（ ）考 线段垂直平分线的性质． 点： 分 要求△ ABC 的周长，先有 AE 可求出 AB ，只要求出 AC+BC 即可，根据线段垂直平分线析： 的性质可知， AD=BD ，于是 AC+BC=AC+CD+A 等D 于△ ACD 的周长，答案可得． 解解：∵ DE 是 AB 的垂直平分线，答： ∴AD=BD ， AB=2AE=2又∵△ ACD 的周长 =AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=12 ∴△ ABC 的周长是 12+2=14cm ． 故选 B点 此题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端 评： 点的距离相等；进行线段的等效转移，把已知与未知联系起来是正确解答本题的关 键．13．（2013秋? 西城区期末）如图，∠BAC=13°0 ，若 MP 和 QN 分别垂直平分 AB 和 AC ，则∠PAQ 等于（ ）考点：线段垂直平分线的性质． 点：分析：根据线段垂直平分线性质得出 BP=AP ，CQ=AQ ，推出∠ B=∠BAP ，∠C=∠QAC ，求出 ∠B+∠C ，即可求出∠ BAP+∠QAC ，即可求出答案．C 15cmD 16cmC 80°D 105°A 13cmB 14cm A 50° B 75解 解：∵ MP 和 QN 分别垂直平分 AB 和 AC ， 答： ∴BP=AP ， CQ=AQ ，∴∠B=∠PAB ，∠C=∠QAC ，∵∠ BAC=13°0 ， ∴∠B+∠C=180°﹣∠ BAC=50°，∴∠ BAP+∠CAQ=5°0 ， ∴∠PAQ=∠BAC ﹣（∠ PAB+∠QAC ）=130°﹣50°=80°， 故选： C ．点 本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，注 评： 意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边对等角．14．（2014 秋? 东莞市校级期中）如图，要用“ HL ”判定AB=A ′B ′ ． BC=B ′C ′考 直角三角形全等的判定． 点：分 根据直角三角形全等的判定方法（ HL ）即可直接得出答案． 析： 解 解：∵在 Rt △ ABC 和 Rt △A ′B ′C ′中，答： 如果 AC=A ′C ′， AB=A ′B ′，那么 BC 一定等于 B ′C ′，Rt △ ABC 和 Rt △A ′B ′C ′一定全等， 故选 C ．点 此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，难度不大，是一道基 评： 础题．15．（2014 秋 ? 淄川区校级期中）如图， 在 MN 的同一侧， BC 交 MN 于 P 点，则（考点： 线段垂直平分线的性Rt △ABC 和 Rt △A ′B ′C ′全等的MN 是线段 AB 的垂直平分线，）C 在 MN 外，且与 A 点C BC=PC+APD BC ≥ PC+APC AC=A ′ C ′，D ∠ B=∠B ′，B BC < PC+AP分析： 从已知条件进行思考，根据垂直平分线的性质可得PA=PB ，结合图形知 BC=PB+P ，C通过等量代换得到答案．解答： 解：∵点 P 在线段 AB 的垂直平分线上， ∴PA=PB ．∵BC=PC+B ，P ∴BC=PC+A ．P 故选 C ．点评： 本题考查了垂直平分线的性质： 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离 相等；结合图形，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．16．（2014 秋? 万州区校级期中）如图，已知在△ ABC 中， AB=AC ， D 为 BC 上一点， BF=CD ， CE=BD ，那么∠ EDF 等于（ ）考点： 等腰三角形的性质．分析： 由 AB=AC ，利用等边对等角得到一对角相等，再由 BF=CD ， BD=CE ，利用 SAS 得到三角形 FBD 与三角形 DEC 全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，即可表示出解答： 解：∵ AB=AC ， ∴∠B=∠C °， 在△BDF 和△CED 中，，∴△ BDF ≌△CED （ SAS ）， ∴∠ BFD=∠CDE ，∴∠FDB+∠EDC=∠FDB+∠BFD=180°﹣∠ B=180°﹣ 则∠ EDF=180°﹣（∠ FDB+∠EDC ）=90°﹣ ∠A ． 故选 B ．点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的 关键．90° ﹣ ∠A∠A ，=90°BC 180°﹣∠A17．（2014 秋? 泰山区校级期中）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，AD 平分∠BAC ，那么下列结论B AD 是△ ABC 的 ． 高线D △ ABC 是等边 ． 三角形考点 ： 等腰三角形的性质．分析： 利用等腰三角形的性质逐项判断即可． 解答： 解：A 、在△ ABD 和△ ACD 中，，所以△ ABD ≌△ACD ，所以 A 正确；B 、因为 AB=AC ， AD 平分∠ BAC ，所以 AD 是 BC 边上的高，所以 B 正确； C 、由条件可知 AD 为△ ABC 的角平分线；D 、由条件无法得出 AB=AC=B ，C 所以△ ABC 不一定是等边三角形，所以 D 不正确；故选 D ．点评： 本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．18．（2014 秋? 晋江市校级月考）如图，点 P 是△ ABC 内的一点，若 PB=PC ，则（考点： 线段垂直平分线的性质．分析：根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上由 线段 BC 的垂直平分线上． PC=PB 即可得出 P 在解答：解：∵ PB=PC ，∴P 在线段 BC 的垂直平分线上，．DC AD 是△ ABC的 ． 角平分线A 点 P 在∠ ABC ． 的平分线上C 点 P 在边AB ． 的垂直平分 B 点 P 在∠ ACB ． 的平分线上D 点 P 在边BC ． 的垂直平不一定成立的是（故选 D ．点评： 本题考查了角平分线的性质和线段垂直平分线定理，注意：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，角平分线上的点到角的两边的距离相等．19．（ 2013? 河西区二模） 如图， 在∠ECF 的两边上有点考 等腰三角形的性质． 点：分 根据等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系，逐步推出∠ ECF 的度数． 析： 解解：∵ BC=BD=D ，A 答： ∴∠ C=∠BDC ，∠ ABD=∠BAD ， ∵∠ABD=∠C+∠BDC ，∠ADF=75°，∴3∠ECF=75°，∴∠ECF=25°． 故选： C ．点 考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形外角和内角的运 评： 用．20．（2013 秋? 盱眙县校级期中）如图， P 为∠ AOB 的平分线 OC 上任意一点， PM ⊥OA 于 M ，PN ⊥OB 于 N ，连接 MN 交 OP 于点 D ．则① PM=P ，N ②M O=NO ，③OP ⊥MN ，④MD=N ．D其中正确考 角平分线的性质． 点：B ，A ，D ，BC=BD=D ，A 且∠ADF=75°，C 25°D 30°的有（ ）A 1 个分由已知很易得到△ OPM≌△ OPN，从而得角相等，边相等，进而得△ OM≌P △ ONP，析：△PMD≌△PND，可得MD=N，D ∠ ODN∠= ODM=9°O，答案可得．解解：P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PM⊥OA 于M，PN⊥OB 于N答：连接MN交OP于点D，∴∠ MOP∠= NOP，∠OMP∠= ONP，OP=OP，∴△OPM≌△OPN，∴MP=N，POM=O，N 又OD=OD∴△OMD≌△OND，∴MD=N，D∠ ODN∠= ODM=9°O，∴OP⊥MN∴① PM=P，N ②MO=N，O③OP⊥MN，④MD=ND 都正确．故选D．点本题主要考查了角平分线的性质，即角平分线上的一点到两边的距离相等；发现并评：利用△ OM≌D △OND是解决本题的关键，证明两线垂直时常常通过证两角相等且互补来解决．二．解答题（共10 小题）21．（2014 秋? 黄浦区期末）如图，已知ON是∠AOB的平分线，OM、OC是∠AOB外的射线．（1）如果∠ AOCα= ，∠ BOCβ= ，请用含有α，β 的式子表示∠ NOC．（2）如果∠ BOC=9°0 ，OM平分∠ AOC，那么∠ MON的度数是多少？考点：角平分线的定义．分析：（1）先求出∠ AOB=α﹣β，再利用角平分线求出∠ AON，即可得出∠ NOC；（2）先利用角平分线求出∠ AOM= ∠AOC，∠ AON= ∠AOB，即可得出解答：解：（1）∵∠ AOCα= ，∠ BOCβ= ，∴∠AOB=α﹣β，∵ON是∠ AOB的平分线，∴∠AON= （α﹣β），∠NOCα= ﹣（α﹣β）= （α +β）；（2）∵OM平分∠ AOC，ON平分∠ AOB，∴∠AOM= ∠AOC ，∠AON= ∠AOB ， ∴∠MON ∠= AOM ﹣∠AON= (∠AOC ﹣∠AOB )点评： 本题考查了角平分线的定义和角的计算；弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．22．（2014 秋? 阿坝州期末）如图，已知： E 是∠AOB 的平分线上一点， EC ⊥OB ，ED ⊥OA ， C 、D 是垂足，连接 CD ，且交 OE 于点F ．考点 ： 线段垂直平分线的性质． 专题 ： 探究型．分析： （ 1）先根据 E 是∠ AOB 的平分线上一点， EC ⊥OB ，ED ⊥OA 得出△ODE ≌△OCE ， 可得出 OD=OC ， DE=CE ， OE=OE ，可得出△ DOC 是等腰三角形，由等腰三角形的性 质即可得出 OE 是 CD 的垂直平分线；（ 2）先根据 E 是∠ AOB 的平分线，∠ AOB=6°0 可得出∠ AOE=∠BOE=3°0 ，由直 角三角形的性质可得出 OE=2DE ，同理可得出 DE=2EF 即可得出结论．解答： 解：（ 1）∵E 是∠AOB 的平分线上一点， EC ⊥OB ，ED ⊥OA ， ∴DE=C ，EOE=O ，E∴Rt △ODE ≌Rt △OCE ， ∴OD=O ，C∴△DOC 是等腰三角形， ∵OE 是∠AOB 的平分线， ∴OE 是 CD 的垂直平分线； ( 2)∵ OE 是∠ AOB 的平分线，∠ AOB=6°0 ， ∴∠ AOE=∠BOE=3°0 ， ∵EC ⊥OB ，ED ⊥OA ，∴OE=2D ，E ∠ ODF=∠OED=6°0 ， ∴∠EDF=30°， ∴DE=2EF ， ∴OE=4E ．F= ∠BOC= × 90° =45°EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论．1）求证： OE 是 CD 的垂直平分线．点评：本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．23．（2014 秋? 花垣县期末）如图，在△ ABC 中，∠ ABC=2∠C，BD平分∠ ABC，DE⊥AB （ E 在AB之间），DF⊥BC，已知BD=5，DE=3，CF=4，试求△ DFC的周长．考点：角平分线的性质．分析：根据角平分线的性质可证∠ ABD=∠CBD，即可求得∠ CBD=∠C，即BD=CD，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求得DE=DF，即可解题．解答：解：∵∠ ABC=2∠C，BD平分∠ ABC，∴∠CBD=∠C，∴BD=C，D∵BD平分∠ ABC，∴DE=D，F∴△ DFC的周长=DF+CD+CF=DE+BD+CF=3+5+4=．12点评：本题考查了角平分线上点到角两边距离相等的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形周长的计算，本题中求证DE=DF是解题的关键．24．（2014秋? 大石桥市期末）如图，点D是△ABC中BC边上的一点，且AB=AC=C，DAD=BD，求∠BAC的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：由AD=BD得∠BAD=∠DBA，由AB=AC=CD得∠ CAD=∠CDA=∠2 DBA，∠DBA=∠C，从而可推出∠ BAC=3∠DBA，根据三角形的内角和定理即可求得∠DBA 的度数，从而不难求得∠BAC的度数．解答：解：∵ AD=BD∴设∠ BAD=∠DBA=x°，∵AB=AC=CD ∴∠CAD=∠CDA=∠BAD+∠DBA=2x°，∠ DBA=∠C=x°，∴∠BAC=3∠DBA=3x°，∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°∴5x=180°，∴∠ DBA=36°∴∠ BAC=3∠DBA=10°8 ．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用能力；求得角之间的关系利用内角和求解是正确解答本题的关键．25．（2014 秋? 安溪县期末）如图，在△ ABC 中，AB=AC，∠A=α．（1）直接写出∠ ABC 的大小（用含α 的式子表示）；（2）以点 B 为圆心、BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若=30°，求∠ BDE 的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：（1）根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可求得∠ABC 的大小；（2）根据等腰三角形两底角相等求出∠ BCD=∠BDC，再求出∠ CBD，然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD，求得∠ ABD，再根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质计算即可得解．解答：解：（1）∠ABC的大小为×（180°﹣α）=90°﹣α；（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=90°﹣α=90°﹣ ×30°=75°，由题意得：BC=BD=B，E由BC=BD得∠ BDC=∠C=75°，∴∠CBD=18°0 ﹣75°﹣75°=30°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=7°5 ﹣30°=45°，由BD=BE得故∠BDE的度数是67.5 °．点评：本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．26．（2014 秋? 静宁县校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠ BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F．求证：（1）∠B=∠C．考等腰三角形的判定．点：分由条件可得出DE=DF，可证明△ BDE≌△ CDF，可得出∠ B=∠C，再由等腰三角形的析：判定可得出结论．解证明：（1）∵AD平分∠ BAC，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F，答：∴DE=D，F在Rt △BDE和Rt △CDF中，，，∴Rt △BDE≌Rt △CDF（HF），∴∠ B=∠C；（2）由（1）可得∠ B=∠C，∴△ABC为等腰三角形．点本题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用角平分线的性质评：得出DE=DF是解题的关键．27．（2012 秋? 天津期末）如图，AB=AC，∠ C=67°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，求∠DBC的度数．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：求出∠ ABC，根据三角形内角和定理求出∠ A，根据线段垂直平分线得出AD=BD，求出∠ ABD，即可求出答案．解答：解：∵ AB=AC，∠C=67°，∴∠ABC=∠C=67°，∴∠A=180°﹣67°﹣67°=46°，∵EF 是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=46°，∴∠DBC=6°7 ﹣46°=21°．点评：本题考查了线段垂直平分线，三角形的能或定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，关键是求出∠ ABC 和∠ ABD的度数，题目比较好．28．（2013 秋? 高坪区校级期中）如图，△ ABC 中，AB=AD=A，E DE=EC，∠DAB=30°，求∠C 的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：首先根据AB=AD=A，E DE=EC，得到∠ B=∠ADB，∠ADE=∠AED，∠ C=∠EDC，从而得到∠ADE=∠AED=∠C+∠EDC=∠2 C，根据∠ DAB=30°，求得∠B=∠ADB=75°，利用∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠3 C=105°，求得∠C 即可．解答：解：∵ AB=AD=A，E DE=EC，∴∠B=∠ADB，∠ADE=∠AED，∠C=∠EDC，∴∠ ADE=∠AED=∠C+∠EDC=∠2 C，∵∠DAB=30°，∴∠B=∠ADB=75°，∴∠ ADC=∠ADE+∠EDC=∠3 C=105°，∴∠C=35°．点评：本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质求得有关角的度数．29．（2012 春? 扶沟县校级期中）阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边”，如图，在△ ABC 中，已知∠ ABC 和∠ACB的平分线上交于点F，过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E，请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+C．E考 等腰三角形的性质．点：专 证明题．题：分由 DE ∥BC ， BF 平分∠ ABC ， CF 平分∠ ACB 可知， DB=DF ， CE=EF ．便可得出结论．析：解 证明：∵ BF 平分∠ ABC （已知） ， CF 平分∠ ACB （已知） ，答： ∴∠ ABF=∠CBF ，∠ ACF=∠FCB ；又∵ DE 平行 BC （已知）∴∠ DFB=∠FBC （两直线平行，内错角相等） ，∠ EFC=∠FCB （两直线平行，内错角 相等），∴∠DBF=∠DFB ，∠EFC=∠E CF （等量代换）∴DF=DB ， EF=EC （等角对等边）∴DE=BD+C ．E点 此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线的性质的理解和掌握，主要利 评： 用等腰三角形两边相等．稍微有点难度是一道中档题．DE ， DF 分别垂直 AB 、 AC 于 E 、F ，连 考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质． 专题：证明题． 分析： 根据角平分线的性质知∠ BAD=∠CAD ；然后根据已知条件“ DE ， DF 分别垂直 AB 、 AC 于 E 、F ”得到∠ DEA=∠DFA=90°；再加上公共边 AD=AD ，从而证明，△ADE ≌△ ADF ；最后根据全等三角形的对应边相等证明△ AEF 的两边相等，所解答： 证明：∵ AD 是△ ABC 的平分线，∴∠ BAD=∠CAD ，（ 3 分） 又∵DE ， DF 分别垂直 AB 、AC 于 E ，F∴∠ DEA=∠ DFA=90°（ 6 分）又∵ AD=AD ，∴△ ADE ≌△ ADF ． （8分） ∴AE=AF ，即△ AEF 是等腰三角形（ 10分）30．（ 2011? 龙岩质检）如图， AD 是△ ABC 的平分线，点本题综合考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质．解答此题时，根评：据全等三角形的判定定理ASA判定△ ADE≌△ADF．。
《三角形的证明》全章复习与巩固--知识讲解(提高)(可编辑修改word版)
《三角形的证明》全章复习与巩固(提高)【学习目标】1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.【知识网络】【要点梳理】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有 3 条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形3的特殊数据要熟记于心，不如边长为a 的等边三角形他的高是 a ，面积是23a2；含有 30 4°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；正确的逆命题就是逆定理.3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有 SSS,SAS,ASA,AAS,一共有 5 种判定方法.要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线1分别以线段的两个端点 A、B 为圆心，以大于2作直线 MN，则直线 MN 就是线段 AB 的垂直平分线.要点诠释：AB 的长为半径作弧，两弧交于点 M、N；①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形.【典型例题】类型一、能证明它们么⎨ ⎩1. 如图，△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE 交 CD 于点 F ，BD 分别交 CE 、AE 于点 G 、H ．试猜测线段 AE 和 BD 的数量和位置关系，并说明理由．【思路点拨】由条件可知 CD=AC ，BC=CE ，且可求得∠ACE=∠DCB，所以△ACE≌△DCB，即 AE=BD ， ∠CAE=∠CDB；又因为对顶角∠AFC=∠DFH，所以∠DHF=∠ACD=90°，即 AE⊥BD． 【答案与解析】猜测 AE=BD ，AE⊥BD；理由如下： ∵∠ACD=∠BCE=90°，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE， 即∠ACE=∠DCB，又∵△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形， ∴AC=CD，CE=CB ，∵在△ACE 与△DCB 中，⎧ AC = DC ⎪∠ACE = ∠DCB , ⎪EC = BC ∴△ACE≌△DCB（SAS ）， ∴AE=BD，∠CAE=∠CDB；∵∠AFC=∠DFH，∠FAC+∠AFC=90°， ∴∠DHF=∠ACD=90°， ∴AE⊥BD．故线段 AE 和 BD 的数量相等，位置是垂直关系.【总结升华】主要考查全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形的性质及对顶角的性质等知识点． 举一反三：【变式】将两个全等的直角三角形 ABC 和 DBE 按图 1 方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A= ∠D=30°，点 E 落在 AB 上，DE 所在直线交 AC 所在直线于点 F ．（1） 求证：AF+EF=DE ；（2） 若将图 1 中的△DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 α，且 0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图 2 中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3） 若将图 1 中的△DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 β，且 60°＜β＜180°，其它条件不变，如图 3．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立， 请写出 AF 、EF 与 DE 之间的关系，并说明理由．【答案】（1）证明：连接 BF（如下图 1），∵△ABC≌△DBE（已知），∴BC=BE，AC=DE．∵∠ACB=∠DEB=90°，∴∠BCF=∠BEF=90°．∵BF=BF，∴Rt△BFC≌Rt△BFE．∴CF=EF．又∵AF+CF=AC，∴AF+EF=DE．（2）解：画出正确图形如图 2.（1）中的结论 AF+EF=DE 仍然成立；（3）证明：连接 BF，∵△ABC≌△DBE，∴BC=BE，∵∠ACB=∠DEB=90°，∴△BCF和△BEF是直角三角形，在Rt△BCF和Rt△BEF中，⎨BF = BF ⎧BC = BE ,⎩∴△BCF≌△BEF， ∴CF=EF； ∵△ABC≌△DBE， ∴AC=DE，∴AF=AC+FC=DE+EF．类型二、直角三角形2. 下列说法正确的说法个数是（ ） ①两个锐角对应相等的两个直角三角形全等， ②斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等， ③两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，④一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等． A.1 B.2 C.3 D.4【思路点拨】根据全等三角形的判定方法及“HL”定理，判断即可； 【答案】C.【解析】A 、三个角相等，只能判定相似；故本选项错误；B 、斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“AAS”；故本选项正确；C 、两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项正确；D 、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形，首先根据“HL” 定理，可判断两个小直角三角形全等，可得另条直角边相等，然后，根据“SAS”，可判断两个直角三角形全等；故本选项正确； 所以，正确的说法个数是 3 个． 故选 C ．【总结升华】直角三角形全等的判定，一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．3.（2016•南开区一模）问题背景： 在△ABC 中，AB 、BC 、AC 三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为 1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上；（2）若△ABC三边的长分别为、、2（m＞0，n＞0，且m≠n），运用构图法可求出这三角形的面积为．【思路点拨】（1）是直角边长为1，2 的直角三角形的斜边；是直角边长为1，3 的直角三角形的斜边；是直角边长为2，3 的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；（2）结合（1）易得此三角形的三边分别是直角边长为 m，4n 的直角三角形的斜边；直角边长为 3m，2n 的直角三角形的斜边；直角边长为 2m，2n 的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积可得．【答案与解析】解：（1）S△ABC=3×3﹣×1×2﹣×2×3﹣×1×3=；（2）构造△ABC 如图所示，S△ABC=3m×4n﹣×m×4n﹣×3m×2n﹣×2m×2n=5mn．故答案为：（1）3；（2）5mn．【总结升华】此题主要考查了勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答．类型三、线段垂直平分线4.如图，在锐角△ABC中，AD、CE 分别是 BC、AB 边上的高，AD、CE 相交于 F，BF 的中点为 P，AC 的中点为 Q，连接 PQ、DE．（1）求证：直线 PQ 是线段 DE 的垂直平分线；（2）如果△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明．【思路点拨】（1）只需证明点 P、Q 都在线段 DE 的垂直平分线上即可．即证 P、Q 分别到 D、E 的距离相等．故连接 PD、PE、QD、QE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证；（2）根据题意，画出图形；结合图形，改写原题．【答案与解析】（1）证明：连接 PD、PE、QD、QE．∵CE⊥AB，P 是 BF 的中点，∴△BEF 是直角三角形，且 PE 是Rt△BEF 斜边的中线，1∴PE=BF．2又∵AD⊥BC，∴△BDF 是直角三角形，且 PD 是Rt△BDF 斜边的中线，1∴PD=BF=PE，2∴点 P 在线段 DE 的垂直平分线上．同理可证，QD、QE 分别是Rt△ADC 和Rt△AEC 斜边上的中线，1∴QD=AC=QE，2∴点 Q 也在线段 DE 的垂直平分线上．∴直线 PQ 垂直平分线段 DE．（2）当△ABC为钝角三角形时，（1）中的结论仍成立．如图，△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°．原题改写为：如图，在钝角△ABC中，AD、CE 分别是 BC、AB 边上的高，DA 与CE 的延长线交于点 F，BF 的中点为 P，AC 的中点为 Q，连接 PQ、DE．求证：直线 PQ 垂直且平分线段 DE．证明：连接 PD，PE，QD，QE，则 PD、PE 分别是Rt△BDF 和Rt△BEF 的中线，1∴PD=21 BF，PE=2BF，∴PD=PE，点P 在线段 DE 的垂直平分线上．同理可证 QD=QE，∴点 Q 在线段 DE 的垂直平分线上．∴直线 PQ 垂直平分线段 DE．【总结升华】考查了线段垂直平分线的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，图形较复杂，有一定综合性，但难度不是很大．举一反三：【变式】在△ABC中，AB=AC，AB 的垂直平分线交 AB 于N，交 BC 的延长线于 M，∠A=40度．（1）求∠M的度数；（2）若将∠A的度数改为80°，其余条件不变，再求∠M的大小；（3）你发现了怎样的规律？试证明；（4）将（1）中的∠A改为钝角，（3）中的规律仍成立吗？若不成立，应怎样修改．【答案】1（1）∵∠B=2∴∠M=20°（180°-∠A）=70°（2）同理得∠M=40°（3）规律是：∠M的大小为∠A大小的一半，证明：设∠A=α，1则有∠B=2（180°-α）1 ∠M=90°-21 （180°-α）= α.2（4）不成立.此时上述规律为：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半．类型四、角平分线5.如图，△ABC中，∠A=60°，∠ACB的平分线 CD 和∠ABC 的平分线 BE 交于点 G．求证：GE=GD．【思路点拨】连接 AG，过点 G 作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．由角平分线的性质及逆定理可得 GN=GM=GF，AG 是∠CAB 的平分线；在四边形 AMGN 中，易得∠NGM=180°- 60°=120°；在△BCG中，根据三角形内角和定理，可得∠CGB=120°，即∠EGD=120°，∴∠ EGN=∠DGM，证明Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS）即可得证 GE=GM．【答案与解析】解：连接 AG，过点 G 作GM⊥AB 于 M，GN⊥AC 于 N，GF⊥BC 于 F．∵∠A=60°，∴∠ACB+∠ABC=120°，∵CD，BE 是角平分线，∴∠BCG+∠CBG=120°÷2=60°，∴∠CGB=∠EGD=120°，∵G 是∠ACB 平分线上一点，∴GN=GF，同理，GF=GM，∴GN=GM，∴AG 是∠CAB 的平分线，∴∠GAM=∠GAN=30°，∴∠NGM=∠NGA+∠AGM=60°+60°=120°，∴∠EGD=∠NGM=120°，∴∠EGN=∠DGM，又∵GN=GM，∴Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS），∴GE=GD．【总结升华】此题综合考查角平分线的定义、三角形的内角和及全等三角形的判定和性质等知识点，难度较大，作辅助线很关键．举一反三：【变式】（2015 春•澧县期末）如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB 于E，F 在AC 上，BD=DF；证明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．【答案】证明：（1）∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC，∵在Rt△DCF 和Rt△DEB 中，∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．∴CF=EB；（2）∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=DE．在△ADC 与△ADE 中，∵∴△ADC≌△ADE（HL），∴AC=AE，∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．。
(完整word版)七年级数学全等三角形证明精选题
先做几道基础题：1、如图（1） : AD 丄BC,垂足为 D, BD=CD 求证：△ ABD^A ACD2. 如图（8）: A 、B C 、D 四点在同一直线上， AC=DB BE// CF , AE// DF 。
求证：△ ABE^A DCF 。
3、如图（10）/ BAC=/ DAE / ABD 玄 ACE BD=CE 求证：AB=AC4.女口图：AB=DC BE=CF AF=DE 求证：△ ABE^A DCF 。
一.解答题（共16小题）1. 如图，已知 AB // DE , AB=DE , AF=DC .（1）求证： △ ABF ◎△ DEC ; 2）请你找出图中还有的其他几对全等三角形.（只要直接写出结果，不要证明）AAE2. 如图，在Rt△ ABC中，/ ACB=90 ° AC=BC , D是斜边AB上的一点，AE丄CD于E, BF丄CD交3.如图，点E在厶ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若/仁/ 2= / 3, AC=AE .试说明下列结论正确的理由：/ D= / C .求证：△ AED BFC .(1)/ C= / E;5. 如图，在△ ABC中，AB=AC , D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE , CE . △ ABE与厶ACE全等吗？为什么？6. (2010?顺义区)已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分/ DAE , AE丄BE，垂足为E.37. （2010?十堰）如图， △ ABC 中，AB=AC , BD 丄 AC , CE 丄AB .求证：BD=CE .8 （ 2008?南宁）如图，在 △ ABC 中，D 是BC 的中点，DE 丄AB , DF 丄AC ，垂足分别是 E 、F , （1）图中有几对全等的三角形请一一列出； 2）选择一对你认为全等的三角形进行证明.9. （2005?新疆）在△ ABC 中，/ ACB=90 ° AC=BC ，直线 MN 经过点 C ,且 AD 丄 MN 于 D , 于 E ，求证：DE=AD+BE .10 .如图，AD // BC , / A=90 ° E 是 AB 上的一点，且 AD=BE , / 1 = / 2. 求证：△ ADE △ BEC .BE=CF . BE 丄 MN 11.如图，在 △ ABC 中，AC=BC ，直线I 经过顶点 C , 过A , B 两点分别作I 的垂线AE , BF , E , F 为12. （2002?湛江）如图，有一池塘.要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连接AC并延长到D，使CD=CA •连接BC并延长到E,使CE=CB •连接DE，那么量出DE 的长，就是A、B的距离.请说明DE的长就是A、B的距离的理由.如图, / 仁/2, BD=BC .求证：/ 3= /4.13. （2010?广安）已知：如图，在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE .15 .如图，△ ABC和厶ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M , BD交AC于点N . 证明：（1）BD=CE ; （2）BD 丄CE .14. （2005?三明）已知:DCD=BE .答案与评分标准一.解答题（共16小题）1. 如图，已知AB // DE, AB=DE , AF=DC .（1）求证：△ ABF ◎△ DEC ;（2）请你找出图中还有的其他几对全等三角形. （只要直接写出结果，不要证明）考点：全等三角形的判定。
阜阳数学三角形解答题单元复习练习(Word版 含答案)
阜阳数学三角形解答题单元复习练习(Word 版 含答案)一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）1．已知：线段AB ，以AB 为公共边，在AB 两侧分别作ABC ∆和ABD ∆，并使C D ∠=∠．点E 在射线CA 上．（1）如图l ，若AC BD ，求证：AD BC ∥；（2）如图2，若BD BC ⊥，请探究DAE ∠与C ∠的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；（3）如图3，在（2）的条件下，若BAC BAD ∠=∠，过点D 作DF BC ∥交射线于点F ，当8DFE DAE ∠=∠时，求BAD ∠的度数．【答案】（1）见详解；（2）DAE ∠+2C ∠=90°，理由见详解；（3）99°． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质和判定定理，即可得到结论；（2）设CE 与BD 交点为G ，由三角形外角的性质得∠CGB=∠D+∠DAE ，由BD BC ⊥，得∠CGB+∠C=90°，结合C D ∠=∠，即可得到结论；（3）设∠DAE=x ，则∠DFE=8x ，由DF BC ∥，DAE ∠+2C ∠=90°，得关于x 的方程，求出x 的值，进而求出∠C ，∠ADB 的度数，结合∠BAD=∠BAC ，即可求解． 【详解】（1）∵ACBD ，∴∠C+∠CBD=180°， ∵C D ∠=∠， ∴∠D+∠CBD=180°， ∴AD BC ∥；（2）DAE ∠+2C ∠=90°，理由如下： 设CE 与BD 交点为G ， ∵∠CGB 是∆ADG 的外角， ∴∠CGB=∠D+∠DAE ， ∵BD BC ⊥， ∴∠CBD=90°，∴在∆BCG 中，∠CGB+∠C=90°， ∴∠D+∠DAE+∠C=90°， 又∵C D ∠=∠， ∴DAE ∠+2C ∠=90°；（3）设∠DAE=x ，则∠DFE=8x ， ∴∠AFD=180°-8x ， ∵DF BC ∥，∴∠C=∠AFD=180°-8x ， 又∵DAE ∠+2C ∠=90°，∴x+2(180°-8x)=90°，解得：x=18°， ∴∠C=180°-8x=36°=∠ADB ， 又∵∠BAD=∠BAC ，∴∠ABC=∠ABD=12∠CBD=45°， ∴∠BAD=180°-45°-36°=99°．【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定定理，三角形的内角和定理与外角的性质，掌握平行线的性质和三角形外角的性质，是解题的关键．2．探究：（1）如图1，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ．求证：∠P ＝90°+12∠A ． （2）如图2，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分外角∠ACE ．猜想∠P 和∠A 有何数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，BP 平分∠CBF ，CP 平分∠BCE ．猜想∠P 和∠A 有何数量关系，请直接写出结论．【答案】（1）见解析；（2）12∠A ＝∠P ，理由见解析；（3）∠P ＝90°﹣12∠A ，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的性质进行解答即可：（2）根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果，（3）根据三角形的外角性质、内角和定理、角平分线的定义探求并证明.【详解】证明：（1）∵△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC＝12∠ABC，∠PCB＝12∠ACB，∴∠PBC+∠PCB＝12（180°﹣∠A），根据三角形内角和定理可知∠BPC＝180°﹣12（180°﹣∠A）＝90°+12∠A；（2）12∠A＝∠P，理由如下：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∴∠PBC＝12∠ABC，∠PCE＝12∠ACE．∵∠ACE是△ABC的外角，∠PCE是△BPC的外角，∴∠ACE＝∠ABC+∠A，∠PCE＝∠PBC+∠P，∴12∠ACP＝12∠ABC+12∠A，∴12∠ABC+12∠A＝∠PBC+∠P，∴12∠A＝∠P．（3）∠P＝90°﹣12∠A，理由如下：∵P点是外角∠CBF和∠BCE的平分线的交点，∠P+∠PBC+∠PCB＝180°∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣12（∠FBC+∠ECB）＝180°﹣12（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）＝180°﹣12（∠A+180°）＝90°﹣12∠A．【点睛】本题考查了角平分线的定义，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为180°，此类题解题的关键是找出角平分线平分的两个角的和的度数，从而利用三角形内角和定理求解.3．如图，△ABC的三条角平分线相交于点I，过点I作DI⊥IC，交AC于点D．(1)如图①，求证：∠AIB＝∠ADI；(2)如图②，延长BI，交外角∠ACE的平分线于点F.①判断DI与CF的位置关系，并说明理由；②若∠BAC＝70°，求∠F的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)解：①结论：DI∥CF，②35°.【解析】分析：（1）只要证明∠AIB=90°+12∠ACB，∠ADI=90°+12∠ACB即可；（2）①只要证明∠IDC=∠DCF即可；②首先求出∠ACE-∠ABC=∠BAC=70°，再证明∠F=12∠ACE-12∠ABC=12（∠ACE-∠ABC）即可解决问题；详解：(1)证明：∵AI，BI分别平分∠BAC，∠ABC，∴∠BAI＝12∠BAC，∠ABI＝12∠ABC，∴∠BAI＋∠ABI＝12(∠BAC＋∠ABC)＝12(180°－∠ACB)＝90°－12∠ACB.在△ABI中，∠AIB＝180°－(∠BAI＋∠ABI)＝180°－(90°－12∠ACB)＝90°＋12∠ACB.∵CI平分∠ACB，∴∠DCI＝12∠ACB.∵DI⊥IC，∴∠DIC＝90°，∴∠ADI＝∠DIC＋∠DCI＝90°＋12∠ACB.∴∠AIB＝∠ADI. (2)解：①结论：DI∥CF.理由：∵∠IDC＝90°－∠DCI＝90°－12∠ACB，CF平分∠ACE，∴∠ACF=12∠ACE＝12(180°－∠ACB)＝90°－12∠ACB，∴∠IDC＝∠ACF，∴DI∥CF.②∵∠ACE＝∠ABC＋∠BAC，∴∠ACE－∠ABC＝∠BAC＝70°.∵∠FCE＝∠FBC＋∠F，∴∠F＝∠FCE－∠FBC.∵∠FCE＝12∠ACE，∠FBC＝12∠ABC，∴∠F＝12∠ACE－12∠ABC＝12(∠ACE－∠ABC)＝35°.点睛：本题考查了三角形的外角性质：三角形的一个外角等于另外两个内角之和，三角形内角和定理：三角形的内角和为180°，难度适中，此类题型的关键在于结合题目条件与三角形的外角性质，三角形内角和定理.4．已知：如图①，BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE，BQ、CQ分别平分∠PBC、∠PCB，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线．（1）当∠BAC=40°时，∠BPC=，∠BQC=；（2）当BM∥CN时，求∠BAC的度数；（3）如图②，当∠BAC=120°时，BM、CN所在直线交于点O，直接写出∠BOC的度数．【答案】(1) 70°，125°；(2)∠BAC=60° (3) 45°【解析】分析：（1）根据三角形的外角性质分别表示出∠DBC与∠BCE，再根据角平分线的性质可求得∠CBP+∠BCP，最后根据三角形内角和定理即可求解；根据角平分线的定义得出∠QBC=12∠PBC，∠QCB=12∠PCB，求出∠QBC+∠QCB的度数，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据平行线的性质得到∠MBC+∠NCB=180°，依此求解即可；（3）根据题意得到∠MBC+∠NCB，再根据三角形外角的性质和三角形内角和定理得到∠BOC 的度数.详解：（1）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠BCE=180°+∠A=220°，∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，∴∠CBP+∠BCP=12（∠DBC+∠BCE）=110°，∴∠BPC=180°﹣110°=70°，∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，∴∠QBC=12∠PBC，∠QCB=12∠PCB，∴∠QBC+∠QCB=55°，∴∠BQC=180°﹣55°=125°；（2）∵BM∥CN，∴∠MBC+∠NCB=180°，∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∴34（∠DBC+∠BCE）=180°，即34（180°+∠BAC）=180°，解得∠BAC=60°；（3）∵∠BAC=120°，∴∠MBC+∠NCB=34（∠DBC+∠BCE）=34（180°+α）=225°，∴∠BOC=225°﹣180°=45°．点睛：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．5．操作示例：如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，△ABD的面积记为S1，△ADC的面积记为S2．则S1=S2．解决问题：在图2中，点D、E分别是边AB、BC的中点，若△BDE的面积为2，则四边形ADEC的面积为 .拓展延伸：（1）如图3，在△ABC中，点D在边BC上，且BD=2CD，△ABD的面积记为S1，△ADC的面积记为S2．则S1与S2之间的数量关系为．（2）如图4，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接BE、CD交于点O，且BO=2EO，CO=DO，若△BOC的面积为3，则四边形ADOE的面积为 .【答案】解决问题：6；拓展延伸：（1）S1=2S2（2）10.5【解析】试题分析：解决问题：连接AE，根据操作示例得到S△ADE=S△BDE，S△ABE=S△AEC，从而得到结论；拓展延伸：（1）作△ABD的中线AE，则有BE=ED=DC，从而得到△ABE的面积=△AED的面积=△ADC的面积，由此即可得到结论；（2）连接AO．则可得到△BOD的面积=△BOC的面积，△AOC的面积=△AOD的面积，△EOC的面积=△BOC的面积的一半，△AOB的面积=2△AOE的面积．设△AOD的面积=a，△AOE的面积=b，则a+3=2b，a=b+1.5，求出a、b的值，即可得到结论．试题解析：解：解决问题连接AE．∵点D、E分别是边AB、BC的中点，∴S△ADE=S△BDE，S△ABE=S△AEC．∵S△BDE=2，∴S△ADE =2，∴S△ABE=S△AEC=4，∴四边形ADEC的面积=2+4=6．拓展延伸：解：（1）作△ABD的中线AE，则有BE=ED=DC，∴△ABE的面积=△AED的面积=△ADC的面积= S2，∴S1=2S2．（2）连接AO．∵CO=DO，∴△BOD的面积=△BOC的面积=3，△AOC的面积=△AOD的面积．∵BO=2EO，∴△EOC的面积=△BOC的面积的一半=1.5，△AOB的面积=2△AOE的面积．设△AOD的面积=a，△AOE的面积=b，则a+3=2b，a=b+1.5，解得：a=6，b=4.5，∴四边形ADOE的面积为=a+b=6+4.5=10.5．6．如图①，在平面直角坐标系中，A(0，1)，B(4，1)，C为x轴正半轴上一点，且AC平分∠OAB．(1)求证：∠OAC＝∠OCA；(2)如图②，若分别作∠AOC的三等分线及∠OCA的外角的三等分线交于点P，即满足∠POC＝13∠AOC，∠PCE＝13∠ACE，求∠P的大小；(3)如图③，在(2)中，若射线OP、CP满足∠POC＝1n∠AOC，∠PCE＝1n∠ACE，猜想∠OPC的大小，并证明你的结论(用含n的式子表示)．【答案】（1）证明见解析（2）15°（3）45 n【解析】试题分析：（1）根据AB坐标可以求得∠OAB大小，根据角平分线性质可求得∠OAC大小，即可解题；（2）根据题干中给出的∠POC=13∠AOC、∠PCE=13∠ACE可以求得∠PCE和∠POC的大小，再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题；（3）解法和（2）相同，根据题干中给出的∠POC=1n∠AOC、∠PCE=1n∠ACE可以求得∠PCE和∠POC的大小，再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题．试题解析：(1)证明：∵A(0，1)，B(4，1)，∴AB∥CO，∴∠OAB＝180°－∠AOC＝90°.∵AC平分∠OAB，∴∠OAC＝45°，∴∠OCA＝90°－45°＝45°，∴∠OAC＝∠OCA.(2)解：∵∠POC＝∠AOC，∴∠POC＝×90°＝30°.∵∠PCE＝∠ACE，∴∠PCE＝(180°－45°)＝45°.∵∠P＋∠POC＝∠PCE，∴∠P＝∠PCE－∠POC＝15°.(3)解：∠OPC＝.证明如下：∵∠POC＝∠AOC，∴∠POC＝×90°＝.∵∠PCE＝∠ACE，∴∠PCE＝(180°－45°)＝.∵∠OPC＋∠POC＝∠PCE，∴∠OPC＝∠PCE－∠POC＝.点睛：本题考查了三角形内角和为180°的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形外角等于不相邻两内角和的性质，本题中求∠PCE和∠POC的大小是解题的关键．7．已知，在ABC中，∠A=60°，（1）如图①，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC= ；（2）如图②，∠ABC和∠ACB的三等分线分别对应交于点O1，O2，则2_________BO C ∠=；（3）如图③，∠ABC 和∠ACB 的n 等分线分别对应交于点O 1，O 2，……，1n O -（内部有1n -个点），则1-∠=n BO C ；（4）如图③，∠ABC 和∠ACB 的n 等分线分别对应交于点O 1，O 2，……，1n O -，若190-∠=︒n BO C ，求n 的值．【答案】（1）120°；（2）100°；（3）60120+⎛⎫︒ ⎪⎝⎭n n ；（4）n=4 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC ＋∠ABC ，然后根据角平分线的定义即可求出∠OBC ＋∠OCB ，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；（2）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC ＋∠ABC ，然后根据三等分线的定义即可求出∠O 2BC ＋∠O 2CB ，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；（3）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC ＋∠ABC ，然后根据n 等分线的定义即可求出∠O n －1BC ＋∠O n －1CB ，再根据三角形的内角和定理即可求出结论； （4）根据（3）的结论列出方程即可求出结论． 【详解】解：（1）∵在ABC 中，∠A =60°， ∴∠ABC ＋∠ABC=180°－∠A=120° ∵∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ， ∴∠OBC=12∠ABC ，∠OCB=12∠ACB ∴∠OBC ＋∠OCB=12∠ABC ＋12∠ACB =12（∠ABC ＋∠ACB ） =60°∴∠BOC=180°－（∠OBC ＋∠OCB ）=120° 故答案为：120°．（2）∵在ABC 中，∠A =60°， ∴∠ABC ＋∠ABC=180°－∠A=120°∵∠ABC 和∠ACB 的三等分线分别对应交于点O 1，O 2，∴∠O 2BC=23∠ABC ，∠O 2CB=23∠ACB ∴∠O 2BC ＋∠O 2CB=23∠ABC ＋23∠ACB =23（∠ABC ＋∠ACB ） =80°∴2∠=BO C 180°－（∠O 2BC ＋∠O 2CB ）=100° 故答案为：100°．（3）∵在ABC 中，∠A =60°， ∴∠ABC ＋∠ABC=180°－∠A=120°∵∠ABC 和∠ACB 的n 等分线分别对应交于点O 1，O 2，……，1n O - ∴∠O n －1BC=1n n -∠ABC ，∠O n －1CB=1n n-∠ACB ∴∠O n －1BC ＋∠O n －1CB=1n n -∠ABC ＋1n n-∠ACB =1n n-（∠ABC ＋∠ACB ） =120120-⎛⎫⎪⎝⎭n n ° ∴1-∠=n BO C 180°－（∠O 2BC ＋∠O 2CB ）=60120+⎛⎫︒ ⎪⎝⎭n n 故答案为：60120+⎛⎫︒⎪⎝⎭n n （4）由（3）知：1-∠=n BO C 60120+⎛⎫︒⎪⎝⎭n n ∴6012090+=n n 解得：n=4经检验：n=4是原方程的解． 【点睛】本题考查了n 等分线的定义和三角形的内角和定理，掌握n 等分线的定义和三角形的内角和定理是解决此题的关键．8．已知:△ABC 中 ∠A=64°， 角平分线BP 、CP 相交于点P ．1若BP 、CP 是两内角的平分线，则∠BPC=_____(直接填数值)求证:01902BPC A ∠=+∠.2若BP 、CP 是两外角的平分线，则∠BPC=_____(直接填数值)3若BP 、CP 是一内角的平分线，一外角的平分线，则∠BPC=_______(直接填数值) 4 由①②③的数值计算可知：∠BPC 与∠A 有着密切的数量关系，请就第②③写出你的发现【答案】（1）122°；（2）58°；（3）32°．(4).若BP 、CP 是两外角的平分线，则∠BPC=90°-12∠A ； 若BP 、CP 是一内角的平分线，一外角的平分线，则∠BPC=12∠A ． 【解析】 【分析】①根据三角形角平分线的性质可得，∠BPC +∠PCB =90°-12∠A ，根据三角形内角和定理可得∠BPC =90°+12∠A ； ②根据三角形外角平分线的性质可得∠BCP =12（∠A +∠ABC ）、∠PBC =12（∠A +∠ACB ）；根据三角形内角和定理可得∠BPC =90°-12∠A ； ③根据BP 为∠ABC 的角平分线，CP 为△ABC 外角∠ACE 的平分线，可知，∠A =180°-∠1-∠3，∠P =180°-∠4=∠5=180°-∠3-12（∠A +2∠1），两式联立可得2∠P =∠A ． ④根据前面的情况直接写出∠BPC 与∠A 的数量关系， 【详解】解：（1）证明：∵在△ABC 中，PB 、PC 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，∠A 为x ° ∴∠PBC +∠PCB =12（180°-∠A ）=12×（180°-x °）=90°-12∠A故∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（90°-12∠A）=90°+12∠A；则∠BPC=122°；（2）理由如下：∵BP、CP为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x°∴∠BCP=12（∠A+∠ABC）、∠PBC=12（∠A+∠ACB），由三角形内角和定理得，∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC，=180°-12[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，=180°-12（∠A+180°），=90°-12∠A；则∠BPC=58°；（3）如图：∵BP为∠ABC的内角平分线，CP为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点P，∴∠1=∠2，∠5=12（∠A+2∠1），∠3=∠4，在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3∴∠1+∠3=180°-∠A----①在△CPE中，∠P=180°-∠4-∠5=180°-∠3-12（∠A+2∠1），即2∠P=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A----②，把①代入②得2∠P=∠A．则∠BPC=32°；（4）若BP、CP是两外角的平分线，则∠BPC=90°-12∠A；若BP 、CP 是一内角的平分线，一外角的平分线，则∠BPC =12∠A ． 故填为：（1）122°；（2）58°；（3）32°． 【点睛】此类题目考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学阶段的常规题．9．如图①．ABC 中，AB AC =，P 为底边BC 上一点，PE AB ⊥，PF AC ⊥，CH AB ⊥，垂足分别为E 、F 、H .易证PE PF CH +=.证明过程如下：如图①，连接AP .∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CH AB ⊥，∴12ABPSAB PE =⋅，12ACPSAC PF =⋅，12ABCS AB CH =⋅ 又∵ABPACPABCSSS+=，∴AB PE AC PF AB CH ⋅+⋅=⋅∵AB AC =，∴PE PF CH +=．如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．【答案】PE PF CH -= 【解析】 【分析】参考题设的证明过程，主要思路就是等面积法：ABPACPABCS SS+=，同样，P 为BC延长线上的点时，也可以用类似的等面积法：ABPACPABCS SS=-，即可得出结论．【详解】∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CH AB ⊥，∴12ABPSAB PE =⋅，12ACPS AC PF =⋅，12ABCSAB CH =⋅ 又∵ABPACPABCSSS=-，∴AB PE AC PF AB CH ⋅-⋅=⋅∵AB AC =，∴PE PF CH -=．故答案为：PE PF CH-=．【点睛】本题考查几何图形中等面积法的应用，读懂题目，灵活运用题设条件是解题的关键．10．（问题背景）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；（简单应用）（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数；（问题探究）（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．（拓展延伸）（4）在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为： ______ （用α、β表示∠P,不必证明）【答案】（1）证明见解析；（2）26°；（3）26°；（4）∠P=23α+13β.【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明．（2）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；（3）表示出∠PAD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解；（4）列出方程组即可解决问题．【详解】（1）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°，∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D；(2) 如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠2+∠B=∠3+∠P，∠1+∠P=∠4+∠D，∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=12（∠B+∠D）=12×（36°+16°）=26°；(3)如图3，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，∵∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=12（∠B+∠D）=12×（36°+16°）=26°；(4)∠P=23α+13β.。
(word完整版)相似三角形证明技巧(整理)
1相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1）三角形相似的条件：① ；② ；③ 。
二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形,从而使问题得以解决。
三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线),因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等,则只考虑三组对应边是否成比例; 找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理2a ）已知一对b)己知两边对应成c)己知一个2找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1找底和腰对应成比例 判定定理3e ）相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能,则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”;若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时,往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞,乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知：如图，ΔABC 中，CE ⊥AB ，BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？ ）例2、如图,CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的 平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF ·AB 吗？ 说明理由。
Word版第五章 三角形 单元复习题
第五章三角形单元复习题一、选择题1．一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这交点一定在 ( ) A．三角形内部B．三角形的一边上C．三角形外部D．三角形的某个顶点上2．下列长度的各组线段中，能组成三角形的是 ( )A．4、5、6 B．6、8、15 C．5、7、12 D．3、9、133．在锐角三角形中，最大角α的取值范围是 ( )A．0°＜α＜90°B．60°＜α＜90°C．60°＜α＜180°D．60°≤α＜90°4．下列判断正确的是 ( )A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B．有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等C．有一角和一条边对应相等的两个直角三角形全等D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等5．等腰三角形的周长为24cm，腰长为xcm，则x的取值范围是( )A．x＜6 B．6＜x＜12C．0＜x＜12 D．x＞126．已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B＋∠C＝3∠A．则此三角形( ) A．一定有一个内角为45°B．一定有一个内角为60°C．一定是直角三角形D．一定是钝角三角形7．三角形内有一点，它到三边的距离相等，则这点是该三角形的 ( )A．三条中线交点B．三条角平分线交点C．三条高线交点D．三条高线所在直线交点8．已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为 ( )A．30°B．75°C．105°D．30°或75°9．如图5—124，直线l、l'、l''表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 () A．一处B．二处C．三处D．四处10．三条线段长度分别为3、4、6，则以此三条线段为边所构成的三角形按角分类是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．根本无法确定二、填空题1．如果△ABC中，两边a＝7cm，b＝3cm，则c的取值范围是_________；第三边为奇数的所有可能值为_________；周长为偶数的所有可能值为_________．2．四条线段的长分别是5cm，6cm，8cm，13cm，以其中任意三条线段为边可以构成______个三角形．3．过△ABC的顶点C作边AB的垂线将∠ACB分为20°和40°的两个角，那么∠A，∠B 中较大的角的度数是____________．4．在Rt△ABC中，锐角∠A的平分线与锐角∠B的平分线相交于点D，则∠ADB＝______．5．如图5—125，∠A＝∠D，AC＝DF，那么需要补充一个直接条件________(写出一个即可)，才能使△ABC≌△DEF．6．三角形的一边上有一点，它到三个顶点的距离相等，则这个三角形是_______三角形．7．△ABC中，AB＝5，BC＝3，则中线BD的取值范围是_________．8．如图5—126，△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，CM平分AB，CE平分∠DCM，则∠ACE 的度数是______．9．已知：如图5—127，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过O点的直线分别交AB、AC于点D、E，且DE∥BC．若AB＝6cm，AC＝8cm，则△ADE的周长为______．10．每一个多边形都可以按图5—128的方法割成若干个三角形．而每一个三角形的三个内角的和是180°．按图5—127的方法，十二边形的内角和是__________度．三、解答题1，已知：如图5—129，△ABC的∠B、∠C的平分线相交于点D，过D作MN∥BC交AB、AC分别于点M、N，求证：BM＋CN＝MN2．已知：如图5—130，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为高，CE平分∠BCD，且∠ACD：∠BCD＝1：2，那么CE是AB边上的中线对吗?说明理由．3．已知：如图5—131，在△ABC中有D、E两点，求证：BD＋DE＋EC＜AB＋AC．4．已知一直角边和这条直角边的对角，求作直角三角形(用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)．5．已知：如图5—132，点C 在线段AB 上，以AC 和BC 为边在AB 的同侧作正三角形△ACM 和△BCN ，连结AN 、BM ，分别交CM 、CN 于点P 、Q ．求证：PQ ∥AB ．6．已知：如图5—133，AB ＝DE ，CD ＝FA ，∠A ＝∠D ，∠AFC ＝∠DCF ，则BC ＝EF ．你能说出它们相等的理由吗?【参考答案】一、1．A 2．A 3．D 4．D 5．B 6．A 7．B 8．D 9．A 10．D ． 二、1．cm c cm 104<<，5cm 、7cm 、9cm ，16cm 或18cm ； 2．2； 3．70° 4．︒135 5．AB ＝DE （或∠B ＝∠E 或∠C ＝∠F ）； 6．直角； 7．41<<BD ； 8．︒45； 9．14cm 10．1800．三、1．证明：∵ BD 、CF 平分∠ABC 、∠ACB ． ∴ ∠1＝∠2，∠3＝∠4．∵ MN ∥BC ，∴ ∠6＝∠2，∠3＝∠5． ∴ ∠1＝∠6，∠4＝∠5． ∴ BM ＝DM ，CN ＝DN ． ∴ BM ＋CN ＝DM ＋DN ． 即 BM ＋CN ＝MN ．2．解：CE 是AB 边上的中线．理由：∵ ∠ACB ＝90°，∠ACD:∠BCD ＝1:2， ∴ ∠ACD ＝30°，∠BCD ＝60°． ∵ CE 平分∠BCD ， ∴ ∠DCE ＝∠BCE ＝30°．∵ CD ⊥AB ，∠ACD ＝30°，∠BCD ＝60°， ∴ ∠A ＝60，∠B ＝30∴ ∠A ＝∠ACD ＋∠DCE ＝∠ACE ，∠B ＝∠BCE ． ∴ AE ＝EC ，BE ＝EC ． ∴ AE ＝BE ．所以CE 为AB 边上的中线． 3．证明：延长BD 交AC 于M 点，延长CE 交BD 的延长线于点N ． 在△ABM 中，BM AM AB >+， 在△CNM 中，NC MC NM >+，∴ NC BM MC NM AM AB +>+++． ∵ NM BN BM AC MC AM +==+,， ∴ NC NM BN NM AC AB ++>++．∴ NC BN AC AB +>+． ① 在△BNC 中，EC NE DN BD NC BN +++=+ ② 在△DNE 中，DE NE DN >+ ③ 由②、③得：EC DE BD NC BN ++>+ ④ 由①、④得：EC DE BD NC BN AC AB ++>+>+4．已知：线段a 和∠α如下图（1）．求作Rt △ABC 使α∠=∠︒=∠=A C a BC ,90,． 作法：（1）作∠α的余角∠β． （2）作∠MBN ＝∠β． （3）在射线BM 上截取BC ＝a ．（4）过点C 作CA ⊥BM ，交B N 于点A ，如图（2）． ∴ △ABC 就是所求的直角三角形．5．证明：∵ △ACM 和△BCN 都是正三角形， ∴ ∠ACM ＝∠BCN ＝60°，AC ＝CM ，BC ＝CN ． ∵ 点C 在线段AB 上，∴ ∠ACM ＝∠BCN ＝∠MCN ＝60°． ∴ ∠ACM ＋∠MCN ＝∠BCN ＋∠MCN ＝120°． 即 ∠NCA ＝∠BCM ＝120°． 在△ACN 和△MCB 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,CB CN BCM ACN CM AC ∴ △ACN ≌△MCB （SAS ）． ∴ ∠AN C ＝∠MBC ． 在△PCN 和△QCB 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠,,,CB CN BCN MCN MBC ANC ∴ △PCN ≌△QCB （AAS ）． ∴ PC ＝QC ． ∵ ∠PCQ ＝60°∴ △PCQ 是等边三角形． ∴ ∠PQC ＝60° ∴ ∠PQC ＝∠QCB ． ∴ PQ ∥AB ．6．解：连结CE 、BF ，如图．在△ABF 和△DEC 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,CD FA D A DE AB ∴ △ABF ≌△DEC （SAS ）． ∴ ∠3＝∠4，BF ＝EC ． ∵ ∠AFC ＝∠DCF ，∴ ∠AFC －∠3＝∠DCF －∠4． 即 ∠1＝∠2． 在△BCF 和△EFC 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,21,CF FC EC BF ∴ △BCF ≌△EFC （SAS ）．∴ BC ＝EF ．4.1 用表格表示的变量间的关系习题案1.小明的妈妈自小明出生时起每隔一段时间就给小明称一下体重,得到下面的数据: 年龄(岁) 0 1 2 345678910体重(kg)5152023.5 26.3 29 31 32.8 34.5 36 37从表中可以得到:小明体重的变化是随小明的________的变化而变化的,这两个变量中,________是自变量,_________是因变量,虽然随着年龄的增大,•小明的体重__________,但体重增加的速度越来越_________.2.据国家统计局统计,解放以来至2000年我国各项税收收入合计如下表: 年份 1950 1955 19601965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 税收收入(亿)48127203204281402571•20402821603812581从表中可以得出:•解放以来我国的税收收入总体趋势是__________,•其中,_______年与5年前相比,增长百分数最大,_________年与5•年前相比增长百分数最小,算一算,2000年与1950年相比,税收收入增长了________倍.(保留一位小数)3.小明和他爸爸做了一个实验:由小明从一幢245m高的楼顶随手扔下一只苹果,由他爸爸测量有关数据,得到苹果下落的路程和下落的时间有下面的关系:下落时间t(s) 1 2 3 4 5 6下落路程S(m) 5 20 45 80 125 180则下列说法错误的是( )A.苹果每秒下落的路程不变;B.苹果每秒下落的路程越来越长C.苹果下落的速度越来越快;D.可以推测,苹果下落7s后到达地面4.赵先生手中有一张记录他从出生到24岁期间的身高情况表:年龄x(岁) 0 3 6 9 12 15 18 21 24身高h(cm) 48 100 130 140 150 158 165 170 170.4下列说法错误的是( )A.赵先生的身高增长速度总体上先快后慢;B.赵先生的身高在21岁以后基本不长了;C.赵先生的身高从0岁到24岁平均每年增高7.1cm;D.赵先生的身高从0岁到24岁平均每年增高5.1cm.5.2012年1～12月某地大米的平均价格如下表表示?月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 平均价格2.3 2.4 2.4 2.5 2.4 2.2 2.0 1.9 1.8 1.8 1.9 2.0(元/kg)(1)表中列出的是哪两个变量之间的关系?哪个是自变量,哪个是因变量?(2)自变量是什么值时,因变量的值最小?自变量是什么值时,因变量的值最大?(3)该地哪一段时间大米平均价格在上涨?哪一段时间大米平均价格在下落?(4)从表中可以得到该地大米平均价格变化方面的哪些信息?平均比年初降低了,还是涨价了?6．研究表明，弹簧挂上物体后会伸长，知弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的关系如下表：P DCB A物体质量/kg 0 1 2 3 4 … 弹簧长度/cm 8 8.5 9 9.5 10 …（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪是自变量？因变量？ （2）当物体的质量为3kg 时，弹簧的长度是多少？（3）如果物质质量为x kg ，弹簧的长度为y cm ，根据上表写出y 与x 的关系式． （4）当物体质量为3.5kg ，你能说出弹簧的长度吗？（5）当弹簧长度为12.5cm 时，根据（3）求出所挂物体质量．4．2 用关系式表示的变量间的关系习题案1.我国政府为解决老百姓看病难的问题,•决定下调药品价格,•某种药品在1999年涨价30%后,2001•年降低70%•至a•元,•则这种药品在1999•年涨价前的价格为______元.2.如图,△ABC 的底边BC 的长是10cm,当顶点A 在BC 的垂线PD 上由点D 向上移动时,三角形的面积起了变化.(1)在这个变化的过程中,自变量是_________,因变量是_____. (2)如果AD 为x(cm),面积为y(cm 2),可表示为y=______. (3)当AD=BC 时,△ABC 的面积为_________.3.如图,圆柱的底面半径为2cm,当圆柱的高由小到大变化时,•圆柱的体积也发生了变化.(1)在这个变化过程中,自变量是_______,因变量是________. (2)如果圆柱的高为x(cm),圆柱的体积V(cm 3)与x 的关系式为_____.(3)当圆柱的高由2cm 变化到4cm 时,圆柱的体积由_______cm 3变化到 _______cm 3.(4)当圆柱的高每增加1cm 时,它的体积增加________cm 3.4.烧一壶水,假设冷水的水温为20℃,烧水时每分钟可使水温提高8℃,•烧了x 分钟后水壶的水温为y ℃,当水开时就不再烧了.(1)y 与x 的关系式为________,其中自变量是________,它应在________变化. (2)x=1时,y=________, x=5时,y=________. (3)x=________时,y=48, x=______时,y=80.5.如图,△ABC 的底边边长BC=a,当顶点A 沿BC 边上的高AD 向D 点移动到E 点,使DE=12AE 时,△ABC 的面积将变为原来的( ) AA.12 B.13 C.14D.196.如图,△ABC 的面积是2cm 2,直线l ∥BC,顶点A 在l 上,当顶点C 沿BC•所在直线向点B 运动(不超过点B)时,要保持△ABC 的面积不变,则顶点A 应( ) A.向直线l 的上方运动; B.向直线l 的下方运动; C.在直线l 上运动; D.以上三种情形都可能发生.7.当一个圆锥的底面半径为原来的2倍,高变为原来的13时,它的体积变为原来的( ) A.23 B.29 C.43 D.498.根据图所示的程序计算y 值,若输入的x 的值为32时,则输出的结果为( ) 输出y 值y=-x+2(1<x ≤2)y=x 2(-1≤x ≤1)y=x+2(-2≤x<-2)输入x 值DCBAA.72 B.94 C.12 D.929.如图,△ABC 中,过顶点A 的直线与边BC 相交于点D,当顶点A 沿直线AD•向点D 运动,且越过点D 后逐渐远离点D,在这一运动过程中,△ABC 的面积的变化情况是( •)A.由大变小B.由小变大C.先由大变小,后又由小变大D.先由小变大,后又由大变小 三、解答题:(每题8分,共24分)10.一个梯形,它的下底比上底长2cm,它的高为3cm,设它的上底长为xcm,•它的面积为ycm 2. (1)写出y 与x 之间的关系式,并指出哪个变量是自变量,哪个变量是因变量. (2)当x 由5变7时,y 如何变化?(3)用表格表示当x 从3变到10时(每次增加1),y 的相应值. (4)当x 每增加1时,y 如何变化?说明你的理由.(5)这个梯形的面积能等于9cm 2吗?能等于2cm 2吗?为什么?lCB A第四章变量之间的关系单元测试1、下面哪副图能表示切土豆的过程？切面的面积时间切面的面积时间A B切面的面积时间切面的面积时间C D2、小明每天从家走到车站后，乘车上学，下面哪副图能反映他先步行，再乘车的情况。
(完整word版)八年级全等三角形证明经典50题(含答案).doc
1.已知：AB=4 , AC=2 , D 是BC 中点，AD 是整数，求ADA 解：延长AD 至IJE,使AD=DE・・・D 是BC 中点BD=DC在厶ACD 和厶BDE 中AD=DEZBDE= ZADC BD=DCAA ACD A BDE•*. AC=BE=2・・•在△ ABE 中AB-BE < AE<AB+BE・・・AB=4即 4・2 <2AD < 4+21 < AD < 3・・・AD=2延长CD 与P,使D 为CP 中点。
连接VDP=DC,DA=DBA AC BP 为平行四边形又 Z ACB=90・・・平行四边形ACBP 为矩形AAB=CP=1/2AB 2.已知：D 是AB 中点，Z ACB=90 0,求证：CD [AB 2AAP,BP3.已知：BC=DE , Z B= ZE, Z C= ZD , F 是CD 中点，求证：Z 1= Z2证明：连接BF和EF・・・ BC=ED,CF=DF, Z BCF= Z EDF・・・三角形BCF全等于三角形EDF（边角边）・・・ BF=EF, ZCBF=Z DEF连接BE在三角形BEF中,BF=EF/. Z EBF=Z BEFo・・・ Z ABC= Z AED o・・・ Z ABE= Z AEBo/. AB=AE o在三角形ABF和三角形AEF屮AB=AE,BF=EF,ZABF= Z ABE+ Z EBF= ZAEB+ Z BEF= Z AEF・・・三角形ABF和三角形AEF全等。
・・・ Z BAF= Z EAF（Z 1= Z 2）o4. 己知：Z 1= Z 2 , CD=DE , EF//AB ,求证：EF=AC过C作CG〃EF交AD的延长线于点GCG// EF,可得，Z EFD= CGDDE= DCZFDE= Z GDC （对顶角）AA EFD^A CGDEF= CGZCGD = Z EFD又，EF// AB・・・，Z EFD= Z 1Z1= Z 2・・・Z CGD= Z 2・・・△ AGC为等腰三角形,AC= CG又EF=CG・・・EF= AC5.已知：AD 平分Z BAC, AC=AB+BD ,求证：Z B=2 Z C证明：延长AB取点E,使AE=AC,连接DEVAD 平分Z BACAZ EAD=Z CAD・・・AE=AC, AD = ADA A AED^A ACD ( SAS)AZ E=Z CVAC = AB+BD・・・AE= AB+BD・・・AE= AB+BEABD = BE・・・Z BDE=Z EVZ ABC=Z E+ Z BDEAZ ABC = 2 ZEAZ ABC = 2 ZC6.己知：AC 平分Z BAD , CE丄AB , Z B+ Z D=180 ° ,求证：AE=AD+BE・・・CE丄AB ・・・Z CEB=Z CEF= 90° ・・・EB=EF, CE = CE, AACEB^ACEF ・・・Z B=Z CFEVZ B+Z D= 180 ° , ZCFE+Z CFA= 180 0AZ D = Z CFAVAC 平分Z BAD・・・Z DAC = Z FACVAC = AC・・・△ ADC 竺△ AFC ( SAS)/.AD = AF ・・・AE= AF+ FE= AD + BE解：延长AD至IJE,使AD=DE・・・D是BC中点・・・BD=DC在厶ACD和厶BDE中AD=DEZBDE= Z ADCBD=DC7.已知：AB=4 , AC=2 , D是BC屮点, AD是整数，求ADA 证明:在AE上取F,使EF= EB,连接CFAAACD^ABDE•*. AC=BE=2・・•在△ ABE中AB-BE < AE<AB+BE・・・AB=4即4・2 < 2AD < 4+21 < AD < 3・・・AD=218.已知：D 是AB 中点，Z ACB=90 0,求证：CD -AB2解：延长AD到E,使AD=DE・・・D是BC屮点・・・BD=DC在厶ACD和厶BDE中AD=DEZBDE= Z ADCBD=DCAA ACD A BDE•*. AC=BE=2•・•在A ABE中9.已知：BC=DE , Z B= ZE, Z C= ZD , F 是CD 中点，求证：Z 1= Z2A证明：连接BF和EF。
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本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==20题等边三角形证明题篇一：全等三角形证明题(精选24题)三角形全等证明24题1、已知：如图，四边形ABCD中，AC平分角BAD，CE垂直AB 于E，且角B+角D=180度，求证：AE=AD+BEADE B2、已知，如图，AB=CD，DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，DF=BE。
求证：AF=CE。
3、已知，如图，AB⊥AC，AB＝AC，AD⊥AE，AD＝AE。
求证：BE＝CD。
A DCC EFBAC E4、如图，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题。
① AB=AC②BD=CD③ BE=CF5、如图，△ABC中，AB=AC，过A作GE∥BC，角平分线BD、CF交于点H，它们的延长线分别交GE于E、G，试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。
6、已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD，若E是AC上一点。
求证：EB=ED。
EDCGE7、已知：如图，AB、CD交于O点，CE//DF，CE=DF，AE=BF。
求证：∠ACE=∠BDF。
8、已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，E是AD上一点，BE的延长线交AC于F，若BD=AD，DE=DC。
求证：BF⊥AC。
9、如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥DC，连接AC、CF，求证：CA是∠DCF的平分线。
AEODFBAFB DCC10、已知：如图，△ABC和△A＇B＇C＇中，∠BAC=∠B＇A＇C＇，∠B=∠B＇，AD、A＇D＇分别是∠BAC、∠B＇A＇C＇的平分线，且AD=A＇D＇。
求证：△ABC≌△A’B’C’。
A 2A' 4BD C B'D' C'11、已知：如图，AB=CD，AD=BC，O是AC中点，OE⊥AB于E，OF⊥D于F。
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1．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN
＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角
形的形状为（）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定
2．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为
AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（）
A．1.5 B．3
C．4.5 D．9
3．如图，在等边△ABC中，AB＝6，∠AFB＝90°，则CF的最小值为（）
A．3 B．C．6﹣3 D．3﹣3
4．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，将含30°角的Rt△ABC放在第一象限，其中30°角的对边BC长为1，斜边AB的端点A，B分别在y轴的正半轴，x轴的正半轴上滑动，连接OC，则线段OC的长的最大值是（）
A．B．C．2 D．
5．如下图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，垂足为E，D在BC上，已知∠CAD ＝32°，则∠B＝度．
6．如图，∠AOB＝45°，点M，N在边OA上，OM＝x，ON＝x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有两个，则x的值是．
7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，在直线AC或BC上取点M，使得△MAB为等腰三角形，符合条件的
M点有个．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，DE是AC的垂直平分线．
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）△BCD的周长是a，BC＝b，求△ACD的周长（用含a，b的代数式表示）
9．已知：如图，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等．
10．将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DBE 的直角边BD长度相同，且斜边BC与BE在同一直线上，AC与BD交于点O，连接CD．求证：△CDO是等腰三角形．
11．如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF＝EF．
（1）求证：CD＝BE；
（2）若AB＝12，试求BF的长．
12．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：
（1）AM⊥DM；
（2）M为BC的中点．
13．如图所示，△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点E，EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G，则BF＝CG吗？说明理由．
14．如图，在△ABC中，点D在边AC上，DB＝BC，E是CD的中点，F是AB的中点，求证：
EF＝AB．
15．如图，在△ABC中，点D在边AC上，DB＝BC，E是CD的中点，F是AB的中点．（1）直接写出AB与EF的数量关系：；
（2）若AD＝3，BD＝2，∠C＝60°，求EF的长．
16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACB交AB于E，EF⊥AB交CB 于F．
（1）求证：CD∥EF；
（2）若∠A＝70°，求∠FEC的度数．
17．如图，已知△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则
（1）BP＝cm，BQ＝cm．（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
18．（1）操作实践：△ABC中，∠A＝90°，∠B＝22.5°，请画出一条直线把△ABC分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求用两种不同的分割方法）
（2）分类探究：△ABC中，最小内角∠B＝24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出△ABC最大内角的所有可能值；
（3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？（请你至少写出两个条件，无需证明）
19．如图1，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．（1）求证：△BCD为等腰三角形；
（2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如图2，求证：BD+AD＝AB+BE；
（3）若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？直接写出正确的结论．
20．已知：如图，在△ABC中，AD∥BC，AD平分外角∠EAC，求证：AB＝AC．
21．（1）数轴上有A、B两点，若A点对应的数是﹣2，且A、B两点的距离为3，则点B对应的数是；
（2）已知线段AB＝12cm，直线AB上有一点C，且BC＝4cm，M是AC的中点，AM的长为；
（3）已知∠AOB＝3∠BOC，∠BOC＝30°，则∠AOC＝．
（4）已知等腰三角形两边长为17、8，求三角形的周长．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，延长CB至点E，延长BC至点F，使BE＝CF，连接AE、AF．
求证：AD平分∠EAF．
23．在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，连接AC、BD，E、F分别是AC、BD的中点，连接EF，试证明EF⊥BD．
24．如图，∠DAE＝∠ADE＝15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE＝8，求线段DF的长度．
25．（1）如图1，OB是Rt△ABC斜边上的中线，延长BO到D，使OD＝OB，连结DA．利用图1证明：中线OB等于斜边AC的一半．
（2）上面（1）中的结论是一个很重要的定理，利用此定理证明下题：如图2，点E是
Rt△ABC的直角边AC上的点，ED⊥AB于D，F是线段BE的中点，连结FC、FD、CD，则有∠FCD＝∠FDC．
26．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：DE＝DF；
（2）如果S△ABC＝14，AC＝7，求DE的长．
27．如图，已知直线l1∥l2∥l3，Rt△ABC的直角顶点C在直线l1上，点B在直线l2上，点A在直线l3上，l2与AC交于点D，且∠BAC＝25°，∠BAE＝25°．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求∠BCF的度数．
28．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为17cm，求△ABC 的周长．
29．如图，在△ABC中，点O是∠ABC、∠ACB平分线的交点，AB+BC+AC＝20，过O作OD⊥BC于D点，且OD＝3，求△ABC的面积．
30．在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝40°，AD＝AE，求∠CDE的度数．
31．如图所示，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE垂直平分AC，垂足为点E，∠BAD＝29°，求∠B的度数．
32．如图1，已知∠ABC＝90°，△ABC是等腰三角形，点D为斜边AC的中点，连接DB，过点A作∠BAC的平分线，分别与DB，BC相交于点E，F．
（1）求证：BE＝BF；
（2）如图2，连接CE，在不添加任何辅助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．
33．如图所示，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的大小；
（2）若CD＝3，求DF的长．
34．已知：△ABC中，∠B、∠C的角平分线相交于点D，过D作EF∥BC交AB于点E，交AC 于点F，求证：BE+CF＝EF．
35．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是28cm2，AB＝16cm，AC＝12cm，求DE的长．
36．已知：E是∠AFB的平分线上一点，EC⊥FA，ED⊥FB，垂足分别为C、D．求证：FE是CD的垂直平分线．
37．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D．（1）若△BCD的周长为8，求BC的长；
（2）若∠A＝40°，求∠DBC的度数．
38．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，延长AC至E，使CE＝AC．（1）求证：DE＝DB；
（2）连接BE，试判断△ABE的形状，并说明理由．
39．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．
40．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，
（1）求∠F的度数；
（2）若CD＝3，求DF的长．
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。