最新沪科版数学八年级数学下：勾股定理

毕达哥拉斯定理：
毕达哥拉斯
在国外，尤其在西方这个重要定 理被称为“毕达哥拉斯定理”或“百 牛定理”．
相传这个定理是公元前500多年时 古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的 。他发现这个定理后异常高兴，命令 他的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟 大的发现，因此又叫做“百牛定理” ．
勾股定理的作用：
勾股定理的作用就是知道直角三角形中 任意两边就可以求出第三边。
3、一组勾股数中必有一个数是5的倍数
应用知y识=回0 归生活
例：如图，受台风影响，一棵树在离地面5米处断裂，树 的顶部落在离树的底部12米处，这棵树折断前有多高？
解：设这棵树折断前有x米，如图，根据勾股定理得：
52 122 (x 5)2
即： (x 5)2 169 .
(X－5)米
解这个方程，得：
臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为
“股”。我国古代学者把直角三角形较短
的直角边称为“勾”，较长的直角边称为
“股”，斜边称为“弦”.因此，我们称
上述结论为勾股定理。
勾股
早在三千多年前，周朝数学家商高 就提出 “勾三、股四、弦五”，它被 记载于我国古代著名的数学著作《周髀 算经》中，所以在我国人们就把这个定 理叫作 “商高定理”。
问题情境
对于上述结论，要使人信服，必 须加以证明。如何证明上述结论呢？
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°， AB=c,BC=a，AC=b.
求证： a2 b2 c2.
A
证明：取4个与Rt△ABC全等的
cb
直角三角形，把它们拼成
边长为（a+b）的正方形。 B a C
图1
证明a、b、c 之间的关系： a2 +b2 =c2
的周长为12厘米，一只蚂蚁从下底面
的A点出发，沿着圆柱的曲面爬到与
A相对的上底面C点处，问蚂蚁爬行
A
D 的最短路线是多长？
B
C
方法小结：数形结合，转化思
想，即化曲为平，应用线段公理是解题的
A
D 关键。
作业：
课堂作业：P56 习题18.1 第2、3、4三题。
课外作业: 1、收集勾股定理的证明方法, 2、写一篇关于勾股定理的小论文 （任选一题）
（1）当x为斜边时，有 x2 52 122，x13
（2）当x为直角边时，有 122 x2 52，x 119
方法小结:
当第三边不确定是什么边时，要
应用分类思想来解决。
课 堂 小 结：
1谈谈这节课的收获。 2 运用“勾股定理”应注意什么问题？
思考题
B
C 如图，一圆柱体高为8厘米，底面圆
例：求下列直角三角形中未知边的长。
比
5
一
比3
5
看
x=6 8
x=13 12
看 谁
x =4
10
算
得
快 方法小结: 运用勾股定理解题时，方程
！
思想是常用的思想方法之一.
勾股小知识
勾股数
1、 常见勾股数有：3、4、5; 5、12、 13; 7、24、25……
2、如果a,b,c是一组勾股数，则ka、kb、 kc（k为正整数）也是一组勾股数，如： 6、8、10；9、12、15……
沪科版 八年级数学（下册）
18.1 勾股定理
——数形结合之美
创设y问=题0 情境
如图，受台风影响，一棵树在离地面5米处断裂， 树的顶部落在离树的底部12米处，这棵树折断前 有多高？ （不解答）
5米
12米
观察与思考：
如图是一个行距、列距 都是1的方格网，观察图中 用彩色画出的三个正方形， 谁能告诉我这三个正方形的 面积S1、S2、S3之间有怎 样的关系？用它们的边长表 示，能得到怎样的式子？
5米
x1 18, x2 8.
结合题意， x2 8不符合实
际意义，应舍去， 故：x 18 。
答：这棵树折断前有18米。
12米
迎接挑战
1、已知直角三角形的两直角边边长分别 为5, 12，你能求第三边的长吗？
迎接挑战
2、已知直角三角形的两条边长分别 为5, 12，求第三边的长。
解：设第三边的长为x。
c b 形cA21+B21Ca1bD1是边长为c的正 ∴a +b =c 方形。 2 2 2
E b a B1 F
师生共识：
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边 为c，那么：
a2 b2 c2.
ac
b
即：直角三角形两直角边的平方 和等于斜边的平方。
勾股小知识
商高定理就
在中国古代，人们把弯曲成直角的手 是勾股定理哦！
9
16
25 S1+S2=S3
观察上表，你还能得 到刚才的结论吗？
S1+S2=S3，即：a2+b2=c2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
猜想规律：
关系： S1+S2=S3
其中，
A S2 b
C
S3
c a
B
S1=a2 S2=b2 S3=c2
故：a2+b2=c2
S1
文字表述：
直角三角形两条直角边的平
方和，等于斜边的平方。
再见
b
c
而∠B∠1AA11B4E1+E∠=D∠121DAa11AHb1=H9，0°c因,2此
aG∵S∠∠正DA方c11形AB2E+c11FBC2G211Ha===b∠9(2a0Ba+°1bbC.).同12D=理a1 2：+b2+2ab
C1 =∠∴C1aD21+Ab1=2+902°ab，＝所以四边
证明a、b、c 之间的关系： a2 +b2 =c2
ab
b
ca
a c cb ba
证明a、b、c 之间的关系： a2 +b2 =c2
a H
D1
b
aA1 c Eb
b c aG
C1
cb a B1 F
证明a、b、c 之间的关系： a2 +b2 =c2
用
面
积
法
证 明
H
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a D1
b
aA1 c
S正方形EF从A因G1H图为B=14中∠=SBB可直11角AC见三11E=，角C+形∠1a+DA2S11+=B正bA1方21E形D+=A129=10Bac1°b.C1,D1
S1+S2=S3
即：a2+b2=c2
A S2 b
S3
c
C
aB S1
（图中每个小方格代表一个单位面积）
观察左边图18-2、图18-3完 成下表：
A
S2 b
S3
c
Ca B
S1
图18-2
A
S3
S2 b c
a
C
B
图18-3 S1
图 S1 S2 S3 关系
形
图
18-2 9
9 18 S1+S2=S3
图 18-3