空间向量与立体几何知识点归纳总结材料

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空间向量与立体几何知识点归纳总结

空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r运算律：⑴加法交换律：a b b a ϖϖϖρ+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ϖϖϖϖρϖ++=++⑶数乘分配律：b a b a ϖϖϖϖλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a ρϖ//。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ存在实数λ，使a ρ＝λb ρ。

（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ=<=>)1(=++=y x y x 其中（4）与a共线的单位向量为±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r与向量,a b r r 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>y x AP +=<=>)1(=++++=z y x z y x OP其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r不共面，那么对空间任一向量p r ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r。

立体几何与空间向量知识点归纳总结

立体几何与空间向量知识点归纳总结一、立体几何知识点1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱的定义：有两个面是对应边平行的全等多边形，其余各面都是四边形，且相邻四边形的公共边都平行，由这些面围成的几何体叫棱柱。

棱柱的性质：侧面都是平行四边形；侧棱都平行，侧棱长都相等。

直棱柱：侧棱垂直底面的棱柱叫直棱柱。

正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。

（2）棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体叫棱锥。

棱柱的性质：平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面的距离与高的比。

（3）棱台的定义：用平行于底面的平面截棱锥，截面与底面的部分叫棱台。

棱台的性质：①上下底面平行且是相似的多边形；②侧面是梯形；③侧棱交于原棱锥的顶点。

（4）圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所围成的几何体叫圆柱。

圆柱的性质：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所围成的几何体叫圆锥。

圆锥的性质：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台的定义：以直角梯形的垂直于底边的腰为旋转轴,旋转一周所围成的几何体叫圆台。

圆台的性质：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇环形。

（7）球体的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形围成的几何体叫球。

球的性质：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积之和。

（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线）ch S =直棱柱侧面积rhS π2=圆柱侧'21ch S =正棱锥侧面积 rlS π=圆锥侧面积')(2121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 ()22R Rl rl r S +++=π圆台表（3）柱体、锥体、台体的体积公式V Sh =柱 2V Sh r h π==圆柱 13V Sh =锥 h r V 231π=圆锥'1()3V S S h =台 '2211()()33V S S h r rR R h π=++=++圆台（4）球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24Rπ3、平面及基本性质公理1 ααα⊂⇒∈∈∈∈l B A l B l A ,,, 公理2 若βα∈∈P P ,,则a =⋂βα且α∈P公理3 不共线三点确定一个平面（推论1直线和直线外一点,2两相交直线,3两平行直线）4、空间两直线的位置关系共面直线：相交、平行（公理4）异面直线 5、异面直线（1）对定义的理解：不存在平面α，使得α⊂a 且α⊂b （2）判定：反证法（否定相交和平行即共面）判定定理：15P★（3）求异面直线所成的角：①平移法即平移一条或两条直线作出夹角，再解三角形.②向量法 |||||,cos |cos b a b a =><=θ （注意异面直线所成角的范围]2,0(π（4）证明异面直线垂直，①通常采用三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明；②向量法 0=⋅⇔⊥b a b a（5）求异面直线间的距离：大纲仅要求掌握已给出公垂线或易找出公垂线的有关问题计算.6、直线与平面的位置关系1、直线与平面的位置关系A a a a =⋂⊂ααα,//,2、直线与平面平行的判定（1）判定定理: ααα////b a a b b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄ (线线平行，则线面平行17P )（2）面面平行的性质：βαβα////a a ⇒⎭⎬⎫⊂ (面面平行，则线面平行) 3、直线与平面平行的性质b a b a a //,//⇒⎭⎬⎫=⋂⊂βαβα (线面平行，则线线平行18P )★4、直线与平面垂直的判定（1）直线与平面垂直的定义的逆用a l a l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα, （2）判定定理：αα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂⊥⊥l A n m n m n l m l ,, （线线垂直，则线面垂直23P ）（3）αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a b b a // （25P 练习第6题）（4）面面垂直的性质定理：βαβαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊂=⋂⊥a l a a l , （面面垂直，则线面垂直51P ）（5）面面平行是性质：βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥l l // 5、射影长定理★6、三垂线定理及逆定理线垂影⇔线垂斜7、两个平面的位置关系：空间两个平面的位置关系相交和平行8、两个平面平行的判定（1）判定定理：βαβαα//,,//,//⇒⎭⎬⎫=⋂P b a b a b a （线线平行，则面面平行19P ）（2）βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥l l 垂直于同一平面的两个平面平行（3）βαγβγα////,//⇒ 平行于同一平面的两个平面平行（21P 练习第2题） 9、两个平面平行的性质（1）性质1：βαβα//,//a a ⇒⊂（2）面面平行的性质定理： b a b a //,//⇒⎭⎬⎫=⋂=⋂γβγαβα （面面平行，则线线平行20P ）（3）性质2：βαβα⊥⇒⊥l l ,// 10、两个平面垂直的判定与性质（1）判定定理：βααβ⊥⇒⊂⊥a a , （线面垂直，则面面垂直50P ）（2）性质定理：面面垂直的性质定理：βαβαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊂=⋂⊥a l a a l , （面面垂直，则线面垂直51P ）12、空间角：异面直线所成角（9.1）；斜线与平面所成的角 )2,0(π（1）求作法（即射影转化法）：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足. （2）向量法：设平面α的法向量为n ，则直线AB 与平面α所成的角为θ，则|||||,cos |sin n AB n AB =><=θ )2,0(πθ∈（3）两个重要结论最小角定理48P ：21cos cos cos θθθ= ，,26P 例4 28P 第6题 13、空间距离：求距离的一般方法和步骤（1）找出或作出有关的距离；（2）证明它符合定义；（3）在平面图形内计算（通常是解三角形）求点到面的距离常用的两种方法（1）等体积法——构造恰当的三棱锥；（2）向量法——求平面的斜线段，在平面的法向量上的射影的长度：||n d =直线到平面的距离，两个平行平面的距离通常都可以转化为点到面的距离求解异面直线的距离① 定义：和两异面直线都垂直相交且夹在异面直线间的部分（公垂线段） ② 求法：法1 找出两异面直线的公垂线段并计算，法2 转化为点面距离向量法 ||n n AB d =（A ，B 分别为两异面直线上任意一点，n 为垂直于两异面直线的向量）注意理解应用：θcos 22222mn d n m l ±++=二、空间向量知识点 1、空间向量的加法和减法：()1求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则a b BA =-．()2求两个向量和的运算称为向量的加法：在空间以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形C OA B ，则以O 起点的对角线C O 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则． 2、实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．3、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．4、向量共线充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．5、平行于同一个平面的向量称为共面向量．6、向量共面定理：空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使x y C AP =AB +A ；或对空间任一定点O ，有x y C OP =OA +AB +A ；或若四点P ，A ，B ，C 共面，则()1x y z C x y z OP =OA+OB+O ++=．7、已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则∠AOB 称为向量a ，b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈．8、对于两个非零向量a 和b ，若,2a b π〈〉=，则向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．9、已知两个非零向量a 和b ，则cos ,a b a b 〈〉称为a ，b 的数量积，记作a b ⋅．即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0． 10、a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos ,b a b 〈〉的乘积． 11、若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有()1cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉；()20a b a b ⊥⇔⋅=； ()3()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向，2a a a ⋅=，a a a =⋅； ()4cos ,ab a b a b⋅〈〉=；()5a b a b ⋅≤．12、空间向量基本定理: 若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++．13、空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 14、设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．存在有序实数组{},,x y z ，使得123p xe ye ze =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作(),,p x y z =．此时，向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z ．15、设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则()1()121212,,a b x x y y z z +=+++．()2()121212,,a b x x y y z z -=---． ()3()111,,a x y z λλλλ=．()4121212a b x x y y z z ⋅=++．()5若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=．()6若b ≠，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===．()721a a a x =⋅=+()821cos ,x a b a b a bx ⋅〈〉==+．()9()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则(d x AB =AB = 16、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a ，b ．P 为平面α上任意一点，存在有序实数对(),x y 使得xa yb OP =+，这样点O 与向量a ，b 就确定了平面α的位置．17、直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 称为平面α的法向量．18、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则////a b a b ⇔⇔()a b R λλ=∈，0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=．19．0a n a n ⇔⊥⇔⋅=，//a a a n a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔=．20、若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a ，b ，则////a b αβ⇔⇔a b λ=，0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=．21、设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅==．22、设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==．23、设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．24、在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为cos ,n d n nPA ⋅=PA 〈PA 〉=．25、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算．26、点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA ⋅=PA 〈PA 〉=。

选修2-1第三章空间向量与立体几何归纳整合

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高考真题
【例3】在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，点F是棱CD上的动点，试确定点F的位置，使得
D1E⊥平面AB1F.
解如图建立空间直角坐标系：则 A(1，0，0)， B1(1， 1， 1)， 1 D1(0， 0， 1)， E( ， 1， 0)． 2 设 F(0，y，0)，则AB1＝(0， 1， 1)， 1 AF＝ (－1，y，0)，D1E＝ ( ，1，－1)， 2
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高考真题
要使 D1E⊥平面 AB1F，
→ → 1－ 1＝ 0， D1E·AB1＝0， 1 只需即即 y＝ . 1 2 → → －＋y＝0， D1E·AF＝ 0， 2
∴当 F 为 CD 中点时，有 D1E⊥平面 AB1F.
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解
如图所示，用 a， b， c 分别代表棱OA、
→
OB、OC上的三个单位向量，则f1＝a，f2＝2b，f3＝3c，
→
→
则f＝f1＋f2＋f3＝a＋2b＋3c，
∴|f|2＝(a＋2b＋3c)(a＋2b＋3c)
＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2＋4a· b＋6a· c＋12b· c ＝14＋4cos 60°＋6cos 60°＋12cos 60° ＝14＋2＋3＋6＝25， ∴|f|＝5，即所求合力的大小为5.
算类似，是平面向量的拓展，主要考查空间向量的共线与
共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的基
础．
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【例1】沿着正四面体 O－ABC 的三条棱OA、OB、OC的方向有大

立体几何与空间向量知识点归纳总结材料

立体几何与空间向量知识点归纳总结材料一、立体几何知识点归纳总结：1.点、线、面的几何特性：-点：没有大小和形状，只有位置；两个不同的点确定一条直线，三个不共线的点确定一个平面。

-线：有长度但没有宽度和厚度；平行线、垂直线、相交线等性质。

-面：有长度和宽度但没有厚度；平面的平行关系、垂直关系、相交关系等。

2.空间几何形体的特性：-点：在空间中指定位置的几何实体。

-直线：长度无限延伸的几何实体。

-射线：以一个端点和无限延伸的直线为基础的几何实体。

-平面：无限延伸的、具有长度和宽度的几何实体。

-多面体：由平面构成的立体图形，如三角形、四面体、五棱柱等。

-圆锥、圆柱、圆球等。

3.空间几何的距离公式：-两点之间的距离公式：设点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)，则AB 的距离为√[(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²]。

-点到直线的距离公式：设直线L的方程为Ax+By+Cz+D=0，点P(x0,y0,z0)，则点P到直线L的距离为d=，Ax0+By0+Cz0+D，/√(A²+B²+C²)。

二、空间向量知识点归纳总结：1.空间向量的定义：空间中具有大小和方向的有向线段。

2.空间向量的表示方法：-定点表示法：以一个固定点为起点，用一条线段的另一端点表示向量。

-坐标表示法：向量的起点为原点O，终点坐标为(x,y,z)，则向量的坐标表示为(x,y,z)。

-分解表示法：将向量沿着坐标轴分解成若干个坐标分量的和。

3.空间向量的运算：-向量的加法：向量的加法满足三角形法则，即向量的和等于它们的起点相同的两个边相加的结果。

-向量的减法：向量的减法等于将减向量取反后与被减向量相加。

-向量的数乘：向量的数乘等于向量的每个分量与一个常数的乘积。

4.向量的数量积和向量积：-数量积（点积）：设向量A(x1,y1,z1)和向量B(x2,y2,z2)，则数量积AB=A·B=x1x2+y1y2+z1z2，具有交换律和分配律。

空间向量与立体几何知识点归纳总结

空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a ρϖ//。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ存在实数λ，使a ρ＝λb ρ。

（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中（4）与共线的单位向量为a±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r与向量,a b r r 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r不共面，那么对空间任一向量p r ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r。

空间向量与立体几何知识点归纳总结

空间向量与立体几何知识点归纳总结一.知识要点。

1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示*同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性2.空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）CZoB oA A B a b；B A O A O B a b；o aR)运算律：⑴加法交换律：⑵加法结合律：（a b）⑶数乘分配律：（a b）b a (b c) b运算法则：三角形法则、平行四边形法则、3.共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直平行六面体法则线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作a//b。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、I （3）三点共线：A、B、C三点共线v=>AB （b工0 ）, a//b存在实数入使a = 7b。

A C<=> oc xOA yOB(其中x y 1) （4）与a共线的单位向量为4.共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

\（2）共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的条件是存在实数X, y 使p x3 yb。

（3）四点共面：若A、B、C、P四点共面<=> 0P xOA yOB , zO 5.空间向量基本定理：如果三个向量J,bJ <=> AP xAB yACC（其中c不共面，那么对空间任一向量x y z 1),存在个唯一的有序实数组x,y, z，使P x3 yb zc。

叫做基向量,若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设勺四点，则对空间任一点 P ，都存在唯一的三个有序实数x, y,z ，使zoC 。

6.空间向量的直角坐标系：(1)空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系0 xyz 中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(x, y ,z)，使 OA xi yi zk ，有序实数组(x, y, z)叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz 中的坐标，记作A(x,y,z)， x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。

空间向量与立体几何知识点归纳总结

空间向量与立体几何知识点归纳总结在空间直角坐标系中，一个向量可以表示为三个坐标的有序三元组，分别表示在x轴、y轴、z轴上的投影长度。

2）坐标系的建立：选择三个不共面的向量作为基向量，建立起一个空间直角坐标系。

3）向量在坐标系中的表示：向量的坐标表示为它在基向量上的投影长度所组成的有序三元组。

7.向量的数量积与向量积。

1）数量积：定义为两个向量的模长相乘再乘以它们的夹角的余弦值，表示为___或ab。

2）性质：⑴交换律：a·b=b·a；⑵结合律：(ka)·b=k(a·b)；⑶分配律：(a+b)·c=a·c+b·c。

3）向量积：定义为两个向量所在平行四边形的面积乘以一个垂直于这个平行四边形的单位向量，表示为a×b。

4）性质：⑴反交换律：a×b=-(b×a)；⑵结合律：a×(b×c)=(a·c)b-(a·b)c；⑶分配律：a×(b+c)=a×b+a×c。

二．练题。

1.已知向量a(1,2,3)，b(4,5,6)，c(7,8,9)，求向量a-b+2c的坐标。

解：a-b+2c=(1-4+14,2-5+16,3-6+18)=（11,13,15）。

2.已知向量a(2,1,-3)，b(1,2,1)，c(3,-1,2)，判断向量a,b,c 是否共面，并说明理由。

解：由四点共面定理，a,b,c共面，当且仅当存在实数x,y,z，使得x·a+y·b+z·c=0.代入向量坐标，得到方程组2x+y+3z=0，x+2y-z=0，-3x+y+2z=0.解得x=-1，y=1，z=-1，满足方程组，因此a,b,c共面。

3.已知向量a(1,2,3)，b(2,-1,1)，求向量a与b的数量积和向量积。

解：a·b=1×2+2×(-1)+3×1=-1；a×b=(5,1,-5)。

空间向量与立体几何知识点归纳总结

空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b=-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r运算律：⑴加法交换律：a b b a ϖϖϖρ+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ϖϖϖϖρϖ++=++⑶数乘分配律：b a b a ϖϖϖϖλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a ρϖ//。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ存在实数λ，使a ρ＝λb ρ。

（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中（4）与a 共线的单位向量为a±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r与向量,a b r r 共面的条件是存在实数,x y使p xa yb =+r r r。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x z y x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r不共面，那么对空间任一向量p r ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r。

(完整版)空间向量知识点归纳总结(经典)

空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a ρϖ//。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ存在实数λ，使a ρ＝λb ρ。

（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中（4）与a 共线的单位向量为a ±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r与向量,a b r r 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r不共面，那么对空间任一向量p r ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r。

空间向量与立体几何知识点归纳总结

空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a ρϖ//。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ存在实数λ，使a ρ＝λb ρ。

（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x y x 其中（4）与a 共线的单位向量为a±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r与向量,a b r r 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>y x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r不共面，那么对空间任一向量p r ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r。

空间向量与立体几何的知识点总结

空间向量与立体几何空间向量及其线性运算知识点一空间向量的概念1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．2．长度或模：向量的大小．3．表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作AB，其模记为|a|或|AB|.4．几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 -a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量注意：空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．知识点二空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a＋b＝OA＋AB＝OB减法a－b＝OA－OC＝CA数乘当λ>0时，λa＝λOA＝PQ；当λ<0时，λa＝λOA＝MN；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.共线向量与共面向量知识点一共线向量1．空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 2．直线的方向向量在直线l 上取非零向量a ，我们把与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量．知识点二共面向量 1．共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线l 平行或重合，那么称向量a 平行于直线l .如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要条件如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .推论：1.已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，存在有序实数对(x ，y )，满足关系AC y AB x OA OP ++=，则点P 与点A ，B ，C 共面。

高中数学知识点总结大全空间向量与立体几何

高中数学知识点总结空间向量与立体几何一、考点概要：1、空间向量及其运算〔1〕空间向量的根本知识：①定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向线段表示空间向量，且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。

②空间向量根本定理：ⅰ定理：如果三个向量不共面，那么对于空间任一向量，存在唯一的有序实数组x、y、z，使。

且把叫做空间的一个基底，都叫基向量。

ⅱ正交基底：如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫正交基底。

ⅲ单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基底，通常用表示。

ⅳ空间四点共面：设O、A、B、C是不共面的四点，那么对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使。

③共线向量〔平行向量〕：ⅰ定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量，记作。

ⅱ规定：零向量与任意向量共线；ⅲ共线向量定理：对空间任意两个向量平行的充要条件是：存在实数λ，使。

④共面向量：ⅰ定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量；空间的任意两个向量都是共面向量。

ⅱ向量与平面平行：如果直线OA平行于平面或在α内，那么说向量平行于平面α，记作。

平行于同一平面的向量，也是共面向量。

ⅲ共面向量定理：如果两个向量、不共线，那么向量与向量、共面的充要条件是：存在实数对x、y，使。

ⅳ空间的三个向量共面的条件：当、、都是非零向量时，共面向量定理实际上也是、、所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内。

ⅴ共面向量定理的推论：空间一点P在平面MAB内的充要条件是：存在有序实数对x、y，使得，或对于空间任意一定点O，有。

⑤空间两向量的夹角：两个非零向量、，在空间任取一点O，作，〔两个向量的起点一定要相同〕，那么叫做向量与的夹角，记作，且。

⑥两个向量的数量积：ⅰ定义：空间两个非零向量、，那么叫做向量、的数量积，记作，即：。

空间向量与立体几何知识点

空间向量与立体几何知识点空间向量与立体几何是数学中的重要分支，它们在解决三维空间问题中发挥着关键作用。

以下是该领域的一些核心知识点：1. 空间向量的概念：空间向量是具有大小和方向的几何对象，可以表示为有序数对或有序数组。

2. 空间向量的表示：空间向量通常用箭头表示，箭头的起点和终点分别代表向量的起点和终点。

3. 空间向量的坐标：空间向量可以通过三个坐标值来表示，这些值分别对应于向量在三个正交坐标轴上的投影。

4. 向量的加法：两个空间向量可以通过平移和连接的方式相加，结果向量的方向和大小由这两个向量决定。

5. 向量的数乘：一个向量可以通过与一个标量相乘来缩放，结果向量的方向保持不变，但大小会按比例变化。

6. 向量的点积（内积）：两个向量的点积是一个标量，它反映了这两个向量的夹角和大小的关系。

7. 向量的叉积（外积）：两个向量的叉积是一个向量，它垂直于原来的两个向量，并且其大小等于原来两个向量构成的平行四边形的面积。

8. 向量的模：一个向量的模是其长度，可以通过勾股定理计算得到。

9. 向量的单位化：将一个向量除以其模，可以得到一个方向相同但长度为1的单位向量。

10. 空间中的点、线、面：在空间中，点由坐标确定，线由两个点确定，面由三个不共线的点确定。

11. 空间直线的参数方程：空间直线可以通过参数方程来表示，其中参数表示直线上点的位置。

12. 空间平面的方程：空间平面可以通过一个方程来表示，该方程描述了平面上所有点的坐标关系。

13. 点到直线的距离：可以通过向量的点积和叉积来计算点到直线的最短距离。

14. 直线与平面的关系：直线可以与平面相交、平行或在平面内。

15. 立体几何体：空间中的几何体如多面体、圆柱、圆锥等，可以通过空间向量来描述其顶点、边和面。

16. 体积和表面积：空间几何体的体积和表面积可以通过积分或向量方法来计算。

17. 空间几何的对称性：空间几何体的对称性可以通过向量和坐标变换来分析。

空间向量与立体几何知识点归纳总结

空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a ρϖ//。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρb ρa ρbρAC AB λ=)1(=++=y x y x 其中aa±共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r与向量,a b r r 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r。

空间向量与立体几何知识总结全国高考必备

空间向量与立体几何知识总结(全国高考必备!)空间向量知识总结：一、向量的基本概念1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。

2. 向量的表示：通常用字母加上一个箭头表示向量，如AB→表示从点A指向点B的向量。

3. 零向量：大小为0的向量，表示为0→。

4. 向量的相等：两个向量的大小和方向都相同，即为相等。

5. 单位向量：长度为1的向量，表示为→a。

二、向量的运算1. 向量的加法：两个向量相加，将它们的起点重合，终点连线即为结果向量。

2. 向量的减法：将被减向量取反，然后与减向量相加。

3. 数乘：将向量的大小乘以一个实数，得到新的向量。

4. 内积：两个向量的数量积，结果是一个实数。

5. 外积：两个向量的向量积，结果是一个向量，其大小等于两个向量构成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形的平面。

三、向量的性质1. 交换律：向量的加法满足交换律，即A+B=B+A。

2. 结合律：向量的加法满足结合律，即(A+B)+C=A+(B+C)。

3. 数乘结合律：数乘与向量的加法满足结合律，即k(A+B)=kA+kB。

4. 数乘分配律：数乘对向量的加法满足分配律，即(k+m)A=kA+mA。

5. 内积的性质：内积满足交换律、结合律和分配律。

四、立体几何知识总结：1. 空间几何基本概念：点、线、面。

2. 空间几何基本要素：直线的判定、平面的判定、相交关系的判定。

3. 立体图形的基本要素：点、线、面、体。

4. 空间几何基本定理：平行线与平面的关系、垂直关系、垂直平分线定理、角平分线定理、垂直平面定理、等腰三角形定理等。

5. 空间几何的投影：点到直线的投影、点到平面的投影、直线到直线的投影等。

6. 空间几何的立体图形：立体图形的表面积和体积计算公式，如球体、圆柱体、圆锥体、棱锥体、棱台等。

综上所述，空间向量与立体几何是高中数学中重要的内容，理解并掌握相关的概念、运算、性质以及定理和公式，对于解题和应用具有重要意义。