集合及其表示方法(原卷版)
新高一数学暑假提升讲义12 集合的概念、表示、常用数集、空集(原卷版)
新高一数学暑假提升讲义12 集合的概念、表示、常用数集、空集1.下列各组对象中能构成集合的是（）A ．充分接近3的实数的全体B ．数学成绩比较好的同学C ．小于20的所有自然数D ．未来世界的高科技产品2．设不等式2280x x --＜的解集为M ，下列正确的是（）A ．1,4M M -∉∉B ．1,4M M -∈∉C ．1,4M M -∉∈D ．1,4M M -∈∈3．直线2y x =与3y x 的交点组成的集合是（）A ．{}3,6B ．36,C ．3,6x y ==D ．{}(3,6) 4．已知集合{}2|ln 1A x N x =∈<，则A =（）A ．1|x x e e ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．{}1C ．{}2D ．{}1,2 5．已知集合M ＝{1，m ＋2，m 2＋4}，且5∈M ，则m 的值为A ．1或－1B ．1或3C ．－1或3D ．1，－1或36．方程的解集为{}2|2320x R x x ∈--=，用列举法表示为____________.7．已知集合{}2320A x ax x =-+=，若A 中至少有一个元素，则a 的取值范围是______； 8.已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A，求实数a 的值.9．设集合{|4},11M x x a =≥，则下列关系中正确的是（ ）A ．a M ∈B ．a M ∉C ．{}a M ∈D ．{}a M ∉10．已知集合{}1,0,1A =-，(),|,,x B x y x A y A y ⎧⎫=∈∈∈⎨⎬⎩⎭N ，则集合B 中所含元素的个数为（）A ．3B ．4C ．6D ．911．已知集合{}1,2,3A =，集合{},,B z z x y x A y A ==-∈∈，则集合B 中元素的个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．712．已知集合2{2,25,12}A a a a =-+，且3A -∈，则a 等于（ ）A ．-1B ．23-C ．32-D ．32-或-1 13．方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为_________. 14．甲､乙两人同时参加一次数学测试,共有20道选择题,每题均有4个选项,答对得3分,答错或不答得0分,甲和乙都解答了所有的试题,经比较,他们只有2道题的选项不同,如果甲最终的得分为54分,那么乙的所有可能的得分值组成的集合为________.15．含有三个实数的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭又可表示成{}2,,0a a b +，20142015a b +=______.16．已知集合(){}21,1A m m =+-，若1A ∈，则m =______.17．已知22{1,251,1}A a a a a =-+++, 2A -∈,求实数a 的值.18．若集合2{|320,}A x ax x a R =-+=∈有且仅有两个子集，求实数a 的取值范围.19．求下列方程或方程组的解集.（1）42617120x x -+= （2）221321x y x y ⎧+=⎨-=⎩20．用合适的方法表示下列集合，并说明是有限集还是无限集.（1）到A 、B 两点距离相等的点的集合（2）满足不等式21x >的x 的集合（3）全体偶数（4）被5除余1的数（5）20以内的质数（6）{(,)|6,,}x y x y x N y N **+=∈∈（7）方程()0,x x a a R -=∈的解集21．用列举法表示下列集合:(1){}2|9A x x ==;(2){|12}B x N x =∈≤≤;(3){}2|320C x x x =-+=.。
2021最新版新高一暑假预习讲义《专题01 集合的概念》(原卷版)
这些符号是我们学习高中数学的基础，它大大简化了数集的表示方法，应当熟练掌握．
2．判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．
重要考点三：用列举法表示集合
【典型例题】方程组
2
− +
==36的解构成的集合为（
）
A． = 3, = 0
B． 3,0
C． 3,0
D． 0,3
合 A 中所有元素之积为_______.
17．【广东省广州市真光中学 2019-2020 学年高一上学期第一次月考】已知 ∈ {1, }，则实数 的值为______. 18．【山东省新高考 2018-2019 学年高一上学期 10 月阶段性考试】设 , , 为非零实数,m=| |+ + + ，则 的所有值组成的集合为____ 19．【必修第一册 逆袭之路】用列举法表示下列集合： （1）小于 10 的所有自然数组成的集合； （2）方程 2 = 的所有实数根组成的集合.
组成的集合.
【名师点睛】
1．用描述法表示相应集合时，首先明确代表元素是点集还是数集，在此基础上，结合描述的定义给出集合 的表示．
2．用描述法表示集合时，其代表元素的范围务必明确，如果省略不写，则默认为 x∈R.
重要考点五：忽略集合中元素的互异性
【典型例题】若−1 ∈ 3, 2 − − 1, 2 − 1 ，则 a=（ ）
重要考点六：解决集合的新定义问题的基本方法
【典型例题】定义集合运算： ※ = ︳ = − , ∈ , ∈ ，设集合 = 1,2 ， = 2,3 ，则集
合 ※ 的所有元素个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【题型强化】1.已知：集合 = 0，2，3 ，定义集合运算 ※ = { | = + , ∈ , ∈ }，则
突破05 集合的概念及其表示(重难点突破)(原卷版)
突破05 集合的概念及其表示一、考情分析二、经验分享【知识点一、集合的概念】1．集合与元素一般地，我们把___________统称为元素，用小写拉丁字母a,b,c,⋅⋅⋅表示．把___________组成的总体叫做集合，用大写拉丁字母A,B,C,⋅⋅⋅表示．说明：组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等．2．元素与集合的关系如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作___________；如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作___________．注意：a A ∈与a A ∉取决于元素a 是否是集合A 中的元素．根据集合中元素的确定性可知，对任何元素a 与集合A ，a A ∈与a A ∉这两种情况中必有一种且只有一种成立．3．集合中元素的特征（1）___________：集合中的元素是否属于这个集合是确定的，即任何对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一．这是判断一组对象是否构成集合的标准．（2）___________：给定集合的元素是互不相同的．即对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．（3）___________：集合中各元素间无先后排列的要求，没有一定的顺序关系．4．集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．【知识点二、常用的数集及其记法】1．全体___________组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ；2．所有___________组成的集合称为正整数集，记作*N 或+N ；3．全体___________组成的集合称为整数集，记作Z ；4．全体___________组成的集合称为有理数集，记作Q ；5．全体___________组成的集合称为实数集，记作R ．易错点：N 为非负整数集（即自然数集），包括0，而*N 表示正整数集，不包括0，注意区分．【知识点三、集合的表示方法】1．列举法把集合的元素___________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．注意：（1）用列举法表示的集合，集合中的元素之间用“，”隔开，另外，集合中的元素必须满足确定性、互异性、无序性．（2）“{}”含有“所有”的含义，因此用{}R 表示所有实数是错误的，应是R ．2．描述法用集合所含元素的___________表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的___________．说明：用描述法表示集合应写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是数、有序实数对、集合，还是其他形式．【知识点四、Venn 图，子集】1．Venn 图的概念我们经常用平面上___________的内部代表集合，这种图称为Venn 图．说明：（1）表示集合的Venn 图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线．（2）Venn 图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显．2．子集（1）子集的概念一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中___________都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）． 用Venn 图表示A ⊆B 如图所示：（2）子集的性质①任何一个集合是它自身的子集，即A A ⊆．②传递性，对于集合A ，B ，C ，如果A B ⊆，且B C ⊆，那么A C ⊆．【知识点五、从子集的角度看集合的相等】如果集合A 是集合B 的___________（A B ⊆），且集合B 是集合A 的___________（B A ⊆），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A B =．用Venn 图表示A B =如图所示．【知识点六、真子集】1．真子集的概念如果集合A B ⊆，但存在元素___________，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B ⊂≠（或B A ⊃≠）． 如果集合A 是集合B 的真子集，在Venn 图中，就把表示A 的区域画在表示B 的区域的内部．如图所示：2．真子集的性质对于集合A ，B ，C ，如果A B ⊂≠，B C ⊂≠，那么A C ⊂≠．辨析：子集与真子集的区别：若A B ⊆，则A B ⊂≠或A B =；若A B ⊂≠，则A B ⊆．【知识点七、空集】1．空集的概念我们把___________任何元素的集合叫做空集，记作∅，并规定：空集是任何集合的子集．2．空集的性质（1）空集是任何集合的___________，即A ∅⊆；（2）空集是任何非空集合的___________，即A ⊂∅≠．注意：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解三、题型分析(一) 集合的概念判断指定的对象的全体能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是否是给定集合中的元素．注意：构成集合的元素除常见的数、式、点等数学对象外，还可以是其他任意确定的对象．【例1】下列各组对象中不能构成集合的是（ ）A ．正三角形的全体B ．所有的无理数C ．高一数学第一章的所有难题D ．不等式2x ＋3>1的解 【变式训练1】考察下列每组对象，能组成一个集合的是( )①油高高一年级聪明的学生 ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点③不小于3的正整数A ．①②B ．③④C ．②③D ．①③【变式训练2】现有以下说法，其中正确的是( )①接近于0的数的全体构成一个集合；②正方体的全体构成一个集合；③未来世界的高科技产品构成一个集合；④不大于3的所有自然数构成一个集合．A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④(二) 元素与集合之间的关系元素与集合之间有且仅有“属于（∈）”和“不属于（∉）”两种关系，且两者必居其一．判断一个对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征．若集合是用描述法表示的，则集合中的元素一定满足集合中元素的共同特征，可据此列方程（组）或不等式（组）求解参数；若a A ∈，且集合A 是用列举法表示的，则a 一定等于集合A 的其中一个元素，由此可列方程（组）求解．【例2】已知{21}M x|x a ,a ==+∈Z ，则有( )A ．1M ∉B ．0M ∈C ．2M ∈D ．1M -∈【变式训练1】集合{2x -，24x -，0}中的x 不能取的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5【变式训练2】已知{32≤=x x A ，}x R ∈，a =b =( )A ．a A ∈，且b A ∉B ．a A ∉，且b A ∈C ．a A ∈，且b A ∈D ．a A ∉，且b A ∉【变式训练3】集合12{|3A x Z y x =∈=+，}y Z ∈的元素个数为( ) A ．4 B ．5 C ．10 D ．12【变式训练4】对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ※n m n =+；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n mn =．则在此定义下，集合{(,)|M a b a =※16}b =中的元素个数是( )A ．18B ．17C ．16D ．15(三)、集合的表示方法 对于元素较少的集合宜采用列举法表示，用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏、不计次序；对于元素较多的集合宜采用描述法表示．但是对于有些元素较多的集合，如果其中的元素具有规律性，那么也可以用列举法表示，常用省略号表示多个元素．但要注意不要忽略集合中元素的代表形式．【例3】选择适当的方法表示下列集合：（1）1和70组成的集合；（2）大于1且小于70的自然数组成的集合．（3）大于1且小于70的实数组成的集合．（4）平面直角坐标系中函数2y x =-+图象上的所有点组成的集合．【变式训练1】用列举法表示下列集合：（1）2{|(4)0A x x x =-=，}x R ∈； （2）5{(,)|}21x y B x y x y +=⎧=⎨-=⎩；【变式训练2】已知集合2{|8160}A x R ax x =∈-+=．（1）若A 中只有1个元素，试求实数a 的值，并用列举法表示集合A ；（2）若集合A 中有2个元素，求实数a 的取值范围．（三）、集合相等从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的代数式有意义．【例4】已知集合M 中含有三个元素2，a ，b ，集合N 中含有三个元素2a ，2，2b ，且两集合相等，求a ，b 的值．【变式训练1】已知集合111|,|,(,)|A x y B y y C x y y x x x ⎧⎫⎧⎫⎧⎫======⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，下列结论正确的是( )A ．AB = B ．AC = C ．B C =D ．A B C ==【变式训练2】已知集合{1A =，2}，2{|(1)0B x x a x a =-++=，}a R ∈，若A B =，则(a = )A ．1B ．2C ．1-D ．2-【变式训练3】已知a R ∈，b R ∈，若集合{a ，ba ，21}{a =，ab -，0}，则20182019b a +的值为() A ．2- B ．1- C ．1 D ．2（五）、判断两个集合之间的关系（1）从集合关系的定义入手，对两个集合进行分析，首先，判断一个集合A 中的任意元素是否属于另一集合B ，若是，则A ⊆B ，否则A 不是B 的子集；其次，判断另一个集合B 中的任意元素是否属于第一个集合A ，若是，则B ⊆A ，否则B 不是A 的子集；若既有A ⊆B ，又有B ⊆A ，则A ＝B ．（2）确定集合是用列举法还是描述法表示的，对于用列举法表示的集合，可以直接比较它们的元素； 对于用描述法表示的集合，可以对元素性质的表达式进行比较，若表达式不统一，要先将表达式统一，然后再进行判断．也可以利用数轴或Venn 图进行快速判断．【例5】指出下列各组中两个集合的包含关系：（1）{1,2,4}A =，{|8}B x x =是的约数；（2）{|3,}A x x k k ==∈N ，{|6,}B x x z z ==∈N ；（3）{|}A x x =是平行四边形，{|}B x x =是菱形，{|}C x x =是四边形，{|}D x x =是正方形．【变式训练1】已知集合1{|42k M x x ==+，}k Z ∈，1{|24k N x x ==+，}k Z ∈，则( ) A ．M N = B ．M ⊊N C ．N ⊊M D ．M∩N=∅【变式训练2】设集合2{|1)P y y x ==+，2{|1}M x y x ==+，则集合M 与集合P 的关系是( )A ．M P =B ．P M ∈C ．M ⊊PD ．P ⊊M【变式训练3】若集合M ＝{x ||x |≤1}，N ＝{y |y ＝x 2，|x |≤1}，则（ ）A ．M ∩N ＝（0，1]B ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ＝N（六）、确定集合的子集的个数有限集子集的确定问题，求解关键有三点：（1）确定所求集合；（2）注意两个特殊的子集：∅和自身；（3）依次按含有一个元素的子集，含有两个元素的子集，含有三个元素的子集……写出子集．就可避免重复和遗漏现象的发生．【例6】集合{14}A=x x ∈-<<N 的真子集个数为( )A ．7B ．8C ．15D ．16【变式训练1】已知集合{|2M x x =<且}x N ∈，{|22N x x =-<<且}x Z ∈．（1）写出集合M 的子集；（2）写出集合N 的真子集．【变式训练2】已知集合2{|(2)10}{}A x x b x b a =++++==，求集合2{|0}B x x ax b =++=的真子集．【变式训练3】定义{|x A B z z xy y ==+⊗，x A ∈，}y B ∈．设集合{0A =，2}，{1B =，2}．（1）求集合A B ⊗的所有元素之和．（2）写出集合A B ⊗的所有真子集．四、迁移应用1．（2019秋•桂林期末）集合A ＝{x |x 2＝x }中所含元素为（ ）A ．0，1B ．﹣1，1C ．﹣1，0D ．12．（2018秋•东阳市校级月考）设集合A ＝{x |x ＞2}，则（ ）A ．∅∈AB ．0∈AC ．2∈AD ．3.（2018新疆乌鲁木齐二模）若集合{|(1)0}A x x x =-<，2{|}B y y x ==，则（ ）A ．AB = B ．A B ⊆C .A B =RD ．B A ⊆4．（2019秋•钦南区校级月考）对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”，法则如下：当m ，n 都是正奇数时，m ※n ＝m +n ；当m ，n 不全为正奇数时，m ※n ＝mn ，则在此定义下，集合M ＝{（a ，b ）|a ※b ＝16，a ∈N *，b ∈N *}的真子集的个数是（ ）A ．27﹣1B ．211﹣1C ．213﹣1D ．214﹣15.（2018江苏苏州调研）已知集合{1,2}a A =，{1,1,4}B =-，且A B ⊆，则正整数a = ．6．（2019春•莲湖区校级期末）若a ，b ∈R ，集合，求b ﹣a 的值。
2023年新高考数学大一轮复习专题01 集合(原卷版)
专题01 集合【考点预测】 1、元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：∈和∉. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（venn 图）. （4）常见数集和数学符号①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合{1,2,3,4,5}A =，可知1A ∈,在该集合中，6A ∉,不在该集合中； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 集合{,,}A a b c =应满足a b c ≠≠.③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。
集合{1,2,3,4,5}A =和{1,3,5,2,4}B =是同一个集合. ④列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 2、集合间的基本关系（1）子集（subset ）：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集 ，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.（2）真子集（proper subset ）：如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作AB （或B A ⊃≠）.读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.（3）相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆，且集合B 是集合A 的子集（B A ⊆），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A B =.（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3、集合的基本运算（1）交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B ，即{|,}AB x x A x B =∈∈且．（2）并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A B ，即{|,}AB x x A x B =∈∈或．（3）补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U C A ，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且． 4、集合的运算性质 （1）A A A =，A ∅=∅，A B B A =． （2）A A A =，A A ∅=，A B BA =．（3）()U AC A =∅，()U A C A U =，()U U C C A A =．【方法技巧与总结】（1）若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个．（2）空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集． （3）U U A B A B A A B B C B C A ⊆⇔=⇔=⇔⊆．（4）()()()U U U C A B C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =．【题型归纳目录】题型一：集合的表示：列举法、描述法 题型二：集合元素的三大特征 题型三：集合与集合之间的关系 题型四：集合的交、并、补运算 题型五：集合与排列组合的密切结合 题型六：集合的创新定义【题型一】集合的表示：列举法、描述法 【典例例题】例1．（2022·安徽·芜湖一中三模（理））已知集合{}24A x x =≤，集合{}*1B x x N x A =∈-∈且，则B =（ ）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}1,2,3,4【方法技巧与总结】1.列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然.2.描述法，注意代表元素.例2．（2022·山东聊城·二模）已知集合{}0,1,2A =，{},B ab a A b A =∈∈，则集合B 中元素个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5例3．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））设集合{}2|60A x x x x =--<∈Z ，，(){}2|ln 1B y y x x A ==+∈，，则集合B 中元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．无数个例4．（2022·湖南·岳阳一中一模）定义集合,A B 的一种运算：2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==-∈∈，若{}1,0A =-，{}1,2B =，则A B ⊗中的元素个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例5．（2022·山东济南·二模）已知集合{}1,2A =，{}2,4B =，{},,y C z z x x A y B ==∈∈ ，则C 中元素的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例6．（2022·全国·高三专题练习）用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧*=⎨-<⎩，已知集合{}2|0A x x x =+=，()(){}22|10B x x ax x ax =+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【题型二】 集合元素的三大特征 【典例例题】例7．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知集合{}1,0,1A =-，{},B a b a A b A =+∈∈，则集合B =（ ） A ．{}1,1- B ．{}1,0,1-C ．{}2,1,1,2--D ．{}2,1,0,1,2--【方法技巧与总结】1.研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。
高考数学讲义：集合的表示(原卷版)
第2讲：集合的表示【学习目标】1．初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用;2．会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．【基础知识】一、集合的表示（1）列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号{}括起来表示集合的方法叫做列举法．（2）描述法一般地，设A 是一个集合，把集合A 中所有具有共同特征()p x 的元素x 所组成的集合表示为{|()}x p x R ，这种表示集合的方法称为描述法．（3）Venn 图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图．【考点剖析】考点一：用列举法表示集合例1．用列举法表示下列给定的集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合A ；(2)小于8的质数组成的集合B ；(3)方程2230x x 的实数根组成的集合C ；(4)方程组42x y x y的解集D .变式训练1：用列举法表示下列集合：(1)方程22x x 的所有实数解组成的集合；(2)直线21y x 与y 轴的交点所组成的集合；(3)由所有正整数构成的集合．考点二：用描述法表示集合文字描述；式子描述例2．用描述法表示下列集合：(1)不等式231x 的解组成的集合A ；(2)被3除余2的正整数的集合B ；(3){2,4,6,8,10}C ；(4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D .变式训练1：用描述法表示下列集合：(1)比1大又比10小的实数组成的集合；(2)不等式342x x 的所有解；(3)到两坐标轴距离相等的点的集合．考点三：集合的表示综合例3．下列命题中正确的（）①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程2(1)(2)0x x 的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{|45}x x 可以用列举法表示．A．只有①和④B．只有②和③C．只有②D．以上语句都不对变式训练1：方程组149x y x y的解集是（）A．2,1 B．1,2 C．1,2 D．2,1 变式训练2：下列集合恰有2个元素的集合是（）A．2{0}x x B．2{|}x y x x C．2{|0}y y y D．2{|}y y x x 变式训练3：已知集合21,1,3A a a a ，若1A ，则实数a 的值为__________.考点四：元素个数相同元素根据互异性，只能计算一次（主要考查互异性）例4．设集合{123}{45}}A C x B y x A y B ，，，，，，，则C 中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6变式训练1：已知集合 1,2A ， 2,4B ，则集合,,M z z x y x A y B 中元素的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个变式训练2：设集合 ,1,,A x y x y x Z y Z，则A 中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6变式训练3：集合2*70,A xx x x N ∣，则*8{,}B yy A yN ∣中元素的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点五：元素个数（求参）相同元素根据互异性，只能计算一个（主要考查互异性）例5．已知集合2|210,A x ax x a R 只有一个元素，则a 的取值集合为（）A．{1}B．{0}C．{0,1,1}D．{0,1}变式训练1：已知集合2310A x ax x 中有且只有一个元素，则实数a 的取值集合是（）A．9{0,}4B．1{0,}3C．{0}D．9{}4变式训练2：式子22a b a a b a变式训练3：已知集合2320,,A x ax x x R a R .（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并求集合A ；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围考点六：集合新定义例6．给定集合A ，若对于任意a 、b A ，有a b A ，且a b A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合 4,2,0,2,4A 为闭集合；②集合3,A n n k k Z 为闭集合；③若集合1A 、2A 为闭集合，则12A A 为闭集合．其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3变式训练1：已知集合A 中的元素均为整数，对于k A ，如果1k A 且1k A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定集合{1,2,3,4,5,6,7,8}S ，由S 中的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．变式训练2：已知集合{|31,},{|32,},{|63,}A x x n n B x x n n M x x n n Z Z Z ．(1)若m M ，则是否存在,a A b B ，使m a b 成立？(2)对于任意,a A b B ，是否一定存在m M ，使a b m ？证明你的结论．【过关检测】1、若用列举法表示集合27{(,)|}2y x A x y x y，则下列表示正确的是（）A．{1,3}x y B．{(-1,3)}C．{3,-1}D．{-1,3}2、已知集合 1,2,3,4,5A ， ,|,,B x y x A y A x y A，则集合B 中所含元素的个数为（）A．4B．6C．8D．103、已知集合 2,2A ， |,,B m m x y x A y A ，则集合B 等于（）A．4,4 B．4,0,4 C．4,0 D．04、已知232,2a a ，则实数a 的值为（）A．1或1B．1C．1D．1 或05、下列四个命题：①{0}是空集；②若a N ，则a N ；③集合2{|210}x x x R 含有两个元素；④集合6{|}x Q N x是有限集．其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．06、若集合210x ax x 中只有一个元素，则实数a 的值为（）A．14B．0C．4D．0或147、设P 是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的,a b P ，都有,,,aa b a b ab P b(除数0b )，则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是一个数域，有下列说法正确的是（）A．数域必含有0,1两个数；B．整数集是数域；C．若有理数集Q M ，则数集M 必为数域；D．数域必为无限集．8、设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a b P 、，都有 a b 、 a b 、ab 、aP b（除数0b ≠）则称数集P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域；数集{,}F a a b Q 也是数域．下列命题是真命题的是（）A．整数集是数域B．若有理数集Q M ，则数集M 必为数域C．数域必为无限集D．存在无穷多个数域9、用适当的方法表示下列集合：（1）大于2且小于5的有理数组成的集合．（2）24的正因数组成的集合．（3）自然数的平方组成的集合．（4）由0,1,2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．10、已知集合2210,A x ax x a R ．（1）若A 中只有一个元素，求a 的值；（2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围.11、已知集合2|210A x R ax x ，其中a R .（1）1是A 中的一个元素，用列举法表示A；（2）若A 中至多有一个元素，试求a 的取值范围.。
(完整版)集合的概念与表示方法习题
集合的概念与表示方法测试卷一、选择题（共15题，每题2分，共30分） 1.给出下列表述：①联合国常任理事国；②充分接近2的实数的全体；③方程 错误!未找到引用源。
的实数根；④全国著名的高等院校. 以上能构成集合的是（ ） A.①③ B.①② C.①③④ D.①②③④2. 由 a ²，2-a ，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（） A 、1 B 、-2 C 、6 D 、23.下列各组对象中不能组成集合的是（）A. 直角三角形的全体B. 所有的无理数C. 方程2x-1=0的整数解D. 我班个子较高的同学 4.下列叙述正确的是（ ） A. 集合},3|{N x x x ∈<中只有两个元素 B. }1{}012|{2==+-x x xC. 整数集可表示为}{ZD. 有理数集表示为{x x |为有理数集}5.方程组⎩⎨⎧-=-=+11y x y x 的解集是（ ） A. {0,1} B. (0,1)C. {(x,y)|x=0,或y=1}D. {(0,1)}6.下列集合表示法正确的是（ ）A.{1,2,2}B.{全体实数}C.{有理数}D.不等式 x ²-5>0的解集为{x ²-5>0} 7. 设A={a},则下列各式正确的是（ ） A 、0∈A B 、a ∉AC 、a ∈AD 、a=A8. 由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是（ ） A 、{x|-3<x<11,x ∈Q} B 、{x|-3<x<11}C 、{x|-3<x<11,x=2k,k ∈N}D 、{x|-3<x<11,x=2k,k ∈Z} 9. 设集合M ＝{(1,2)}，则下列关系成立是（ ）。
A 、1∈MB 、2∈MC 、（1，2）∈MD 、（2，1）∈M 10. 集合｛x-1，x ²-1,2｝中的x 不能取得值是（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、511. 直角坐标平面内，集合M=｛（x ，y ）丨xy ≥0，x ∈R ，y ∈R ｝的元素所对应的点是 A 、第一象限内的点 B.第三象限内的点C.第一或第三象限内的点D.非第二、第四象限内的点 12. 下列结论不正确的是( )A 、0∈NB 、错误!未找到引用源。
期中真题必刷常考60题(22个考点专练)(原卷版)—高一数学上学期期中
期中真题必刷常考60题（23个考点专练）一、集合的表示方法1．（23-24高一上·四川乐山·期中）集合{}*N 1217x x x Î-<+<用列举法表示为（ ）A ．{}1,0,1,2-B ．{}0,1,2C ．{}1,2D ．{}12．（23-24高一上·青海西宁·期中）集合2Z ,Z A x x a a a ìü=Î=+Îíýîþ用列举法表示为 .3．（23-24高一上·河北石家庄·期中）{}0|0224x x <£用区间表示为 ；{}0|223x x <用区间表示为．二、元素和集合的关系4．（23-24高一上·福建三明·期中）下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）A ．1R2ÏB ．πQ ÎC ．*0N ÏD ．1N-Î三、根据元素与集合的关系求参数5．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知集合{}24,2,21A a a a =++，且3A Î，则a =（ ）A ．1B ．3-或1C ．3D ．3-四、集合与集合的关系6．（23-24高一上·四川成都·期中）集合{}321|3x x Î-<-£=N （ ）A ．(]1,2-B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2-7．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知集合{}{}03,|23|A x x B x x =<<=£<，则（ ）A ．B AÎB ．B AÍC ．A B=D ．A BÍ8．（24-25高三上·辽宁丹东·开学考试）已知集合{}13,A x x x =-<<ÎN ，则集合A 的真子集的个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．8五、根据两个集合相等求参数9．（23-24高一上·贵州铜仁·期中）已知集合{}2,2A m =，{}2,B m m =，若A B =，则集合B = .六、集合的运算关系10．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）已知全集{}|124A x x =<£，集合{}|15B x x =<<，则A B =ð（ ）A ．{}|5x x £B ．{}|524x x <£C ．{|1x x £或}5x ³D ．{}|524x x ££11．（23-24高一上·北京·期中）设集合{1,2,6}A =，{}R 15B x x =Î-££，则A B =I （ ）A ．{}2B ．{1,2}C ．{1,2,6}D ．{}R 15x x Î-££12．（23-24高一上·福建三明·期中）已知集合{|1A x x =<-或3}x ³，B =N ，则集合()R A B Çð中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．513．（23-24高一上·广东江门·期中）已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}{}1,0,1,0,2A B =-=.(1)求A B U ；(2)求()U A B Çð.七、根据两个集合包含关系求参数14．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知集合{0,1},{0,1,1}A B a =-=-且A B Í，则a 等于（ ）A ．1B ．1-C ．2-D ．2八、根据集合的运算求集合或参数15．（23-24高一上·山西大同·）已知全集U =R ，集合{}240A x x x =-£，{}2B x m x m =££+，若A B ¹ÆI ，则实数m 的取值范围为 .16．（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知集合{}220A x x x m =++=，{}4,2B =-，若A B B =U ，求m 取值范围.九、全称量词命题与存在量词命题的否定17．（23-24高一上·四川内江·期中）已知命题p ：0x $>，221x x x ++=的否定（ ）A ．0x ">，221x x x ++¹B ．0x "£，221x x x ++¹C ．0x ">，221x x x++=D ．0x $>，221x x x++¹18．（23-24高一上·四川达州·期中）命题“x "ÎR ，2210x x ++>”的否定是（ ）A ．x "ÎR ，2210x x ++£B ．x "ÎR ，2210x x ++<C ．x $ÎR ，使得2210x x ++<D ．x $ÎR ，使得2210x x ++£十、充分条件、必要条件、充要条件的判断与探求19．（23-24高一上·江西新余·期中）若:1p x <-，则p 的一个必要不充分条件为（ ）A ．1x <-B ．2x <C ．82x -<<D ．103x -<<-20．（23-24高一上·北京·期中）设R x Î，则“1122x -<”是“1x <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件21．（23-24高一上·江苏徐州·期中）“0x y >>”是“22x y >”的 .（选“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”之一填空）22．（23-24高一上·安徽安庆·期中）已知条件2:,10p x x mx "Î-+>R ，写出 p 的一个必要不充分条件为 （填一个即可）十一、根据条件与结论关系求参数23．（23-24高一上·江西南昌·期中）设集合{}{}22,122 A x x B x m x m =-££=-££-|| . (1)若32m =，试求R A B I ð；(2)若x A Î是x B Î的充分条件，求实数m 的取值范围.十二、等式24．（23-24高一上·北京房山·期中）若12,x x 是一元二次方程210x x --=的两个根，则12x x +的值为 ，12x x -的值为 ．十三、不等式的性质25．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知a ，b 为非零实数，且a b >，则下列结论正确的是（ ）A ．22ac bc>B ．22a b>C ．2211ab a b >D ．22b a a b<26．（多选）（23-24高一上·福建福州·期中）下列说法中，正确的是（ ）A ．若22a b >，0ab >，则11a b <B ．若22a b c c >，则a b >C ．若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+D ．若a b >，c d <，则a c b d->-十四、一元二次不等式27．（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知函数2()(,,)f x ax bx c a b c =++ÎR ，若()0f x >的解集为{35}xx -<<∣，则（ ）A ．0,2150a c b <-=B ．0,2150a c b >-=C ．0,2150a cb <+=D ．0,2150a cb >+=28.（23-24高一上·北京·期中）若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为（ ）A ．()3,0-B ．[)3,0-C ．(]3,0-D ．[]3,0-29．（多选）（23-24高一上·云南昆明·期中）命题p ：x $ÎR ，210x bx ++£是假命题，则实数b 的值可能是 （ ）A ．94-B ．2-C ．1-D ．12-30．（多选）（23-24高一上·江苏常州·期中）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),23,-¥-È+¥，则（ ）A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集是{6}xx <-∣C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为11,32æö-ç÷èø十五、“三个二次”综合问题31．（23-24高一上·山东济宁·期中）设()23f x x bx =+-，且()()20f f -=，则()0f x £的解集为（ ）A ．()3,1-B ．[]3,1-C ．[]3,1--D ．(]3,1--32．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知函数22()(2)2f x ax a x a =-++，若不等式()60f x x +£的解集是(,2][1,)-¥--+¥U ，则实数a 的值为 ．33．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知二次函数()()()()20,12f x ax bx c a f x f x x =++¹+-=，且()01f =.(1)求函数()f x 的解析式；(2)解关于x 的不等式()()()312f x t x t £-++-.十六、基本不等式及其应用34．（23-24高一上·北京·期中）如果0m >，那么4m m+的最小值为（ ）A ．2B ．C ．4D ．835．（23-24高一上·浙江杭州·期中）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G 技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a ，第三周的增长率为b ，这两周的平均增长率为x （a ，b ，x 均大于零），则（ ）A ．2a bx +=B ．2a b x +≤C ．2a b x +>D ．2a b x +≥36．（多选）（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）下面命题是真命题的是（ ）A ．若0a b >>，则11a b <B ．若12,35<<<<a b ，则1235a b <<C ．若0a b >>，则2aba b+D ．若1b a <<-，则11b b a a +<+37．（多选）（19-20高一上·山东济南·阶段练习）（多选）设正实数a b ，满足1a b ＋＝，则下列说法中正确的有（ ）A有最大值12B ．11a b+有最大值4CD ．22a b +有最小值1238．（23-24高一上·山东济宁·期中）若a 与b 均为正数，且4ab =，求19a b+的最小值．39．（23-24高一上·北京·期中）用20cm 长度的铁丝围成一个矩形，当矩形的边长为多少cm 时面积最大？最大为多少？十七、相等函数的判断40．（23-24高一上·天津·期中）下列函数中与函数y x =相等的函数是（ ）A．2y =B．y =C．y =D ．2x y x=41．（23-24高一上·安徽淮北·期中）下列各组函数是同一组函数的是（ ）A ．11y x =-与211x y x +=-B ．|1|||y x x =++与21,01,1021,1x x y x x x +>ìï=-£<íï--<-îC ．y x =与y =D ．y x =与2y =十八、函数的定义域、值域42．（23-24高一上·北京·期中）函数()13f x x =-的定义域是（ ）A ．()(),33,-¥+¥U B ．()3,3,2æù-¥+¥çúèûU C ．()3,33,2æö+¥ç÷èøU D ．()3,33,2éö+¥÷êëøU 43．（多选）（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若函数()f x =[0,)+¥，则a 的可能取值为（ ）A ．12B ．14C ．18D ．044.（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）已知()2121f x x +=+，则函数()f x 的值域为.45．（23-24高一上·北京·期中）函数()212f x x x =--的定义域是．十九、函数及其表示方法46．（23-24高一上·北京·期中）设2,0()1,0x x f x x +³ì=í<î，则()1f f -éùëû=（ ）A ．3B ．5C ．-1D ．147.（23-24高一上·天津北辰·期中）已知函数2()1f x x x =+-，若()1f a =则a 的值为 ．48．（22-23高一下·浙江杭州·期中）设函数()1,00x f x x £=>，则()4f =；若()01f x >，则0x 的取值范围是二十、函数的单调性及其应用49．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在(,0]-¥上单调递增的是（ ）A ．22y x =-B ．3y x=-C ．2y x =D ．y x =50．（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数()f x 是定义在[)0,+¥上的增函数，则满足()1213f x f æö-<ç÷èø的x 的取值范围是（ ）A ．12,33æöç÷èøB ．12,33éö÷êëøC ．12,23æöç÷èøD ．12,23éö÷êëø51．（23-24高一上·天津·期中）已知函数()(3)5,12,1a x x f x a x x -+£ìï=í>ïî是R 上是减函数，则a 的取值范围二十一、函数的奇偶性及其应用52．（多选）（23-24高一上·四川内江·期中）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+¥上单调递增的函数是（ ）A ．y x =B ．||1y x =+C ．2y x =D ．21y x =-53．（多选）（23-24高一上·四川乐山·期中）定义域为R 的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，()21f =，且0x <时，()0f x <，则（ ）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 在(),-¥+¥单调递增C ．()114f -=-D ．不等式()22f x -£的解集为{}6x x £54．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数2()22f x x bx =++，若(2)f x +是偶函数，则b = 二十二、函数性质的综合应用55．（23-24高一上·福建莆田·期末）已知偶函数()f x 在区间[)0,+¥上是增函数，则满足()1213f x f æö-<ç÷èø的x 取值范围是 .56．（23-24高一上·北京·期中）已知函数1()f x x x=+．(1)判断并证明()f x 的奇偶性；(2)证明()f x 在[1,)+¥上是增函数；(3)求()f x 在[1,4]上的最大值及最小值．57．（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知二次函数2()3f x ax bx =--.(1)若(1)0,(1)2=-=-f f ，求()f x 在[0,2]上的值域；(2)当1a =时，()0f x <在[1,2]-上恒成立，求b 的取值范围.58．（23-24高一上·北京·期中）已知()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()22f x x x =-．(1)求()1f -的值；(2)求()f x 的解析式．(3)写出解不等式()0xf x ³的解集．二十三、函数的实际应用59．（23-24高一上·湖南邵阳·期中）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点，研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当420x ££时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/v 的值为0千克/年．(1)当020x ££时，求v 关于x 的函数解析式；(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值．60．（23-24高一上·广西崇左·期中）双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向．根据工信部最新数据显示，截至2022年一季度，我国新能源汽车已累计推广突破1000万辆大关．某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产x （千辆）获利()W x （万元），()230350,02240340,26x x W x x x x +<£ì=í-++<£î；该公司预计2022年全年其他成本总投入为()2010x +万元．由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求．记2022年的全年利润为()f x （单位：万元）．(1)求函数()f x 的解析式；(2)当2022年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由．。
集合的表示（附答案）
集合的表⽰（附答案）~集合的表⽰[学习⽬标] 1.掌握集合的两种表⽰⽅法(列举法、描述法).2.能够运⽤集合的两种表⽰⽅法表⽰⼀些简单集合.知识点集合的表⽰⽅法1.列举法：把集合的元素⼀⼀列举出来，并⽤花括号“{}”括起来表⽰集合的⽅法叫做列举法.2.描述法：(1)定义：⽤集合所含元素的共同特征表⽰集合的⽅法称为描述法.(2)写法：在花括号内先写上表⽰这个集合元素的⼀般符号及取值(或变化)范围，再画⼀条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.思考(1)由⽅程(x－1)(x＋2)＝0的实数根组成的集合，怎样表⽰较好~(2)集合{x|4(3)列举法可以表⽰⽆限集吗答(1)列举法表⽰为{－2,1}，描述法表⽰为{x|(x－1)(x＋2)＝0}，列举法较好.(2)不能，因为这个集合中的元素不能够⼀⼀列举出来.(3)列举法可以表⽰有限集，也可以表⽰⽆限集.若集合中元素个数较多或⽆限多，但呈现出⼀定的规律性，在不致发⽣误解的情况下，也可列出⼏个元素作为代表，其他的元素⽤省略号表⽰.例如正偶数集合可以表⽰为{2,4,6,8，…}.题型⼀⽤列举法表⽰集合'例1 ⽤列举法表⽰下列集合：(1)⼩于10的所有⾃然数组成的集合； (2)⽅程x 2＝x 的所有实数根组成的集合； (3)由1～20以内的所有质数组成的集合.解 (1)设⼩于10的所有⾃然数组成的集合为A ，那么A ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. (2)设⽅程x 2＝x 的所有实数根组成的集合为B ，那么B ＝{0,1}.(3)设由1～20以内的所有质数组成的集合为C ，那么C ＝{2,3,5,7,11,13,17,19}.：跟踪训练1 ⽤列举法表⽰下列集合： (1)绝对值⼩于5的偶数； (2)24与36的公约数；(3)⽅程组x ＋y ＝2，2x －y ＝1的解集.解 (1)绝对值⼩于5的偶数集为{－2，－4,0,2,4}，是有限集. (2){1,2,3,4,6,12}，是有限集.(3)由?x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得?x ＝1，y ＝1.—∴⽅程组?x ＋y ＝2，2x －y ＝1的解集为{(x ，y )|?x ＋y ＝2，2x －y ＝1}＝{(x ，y )|?x ＝1，y ＝1}＝{(1,1)}，是有限集.题型⼆⽤描述法表⽰集合例2 ⽤描述法表⽰下列集合：(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数的集合；(3)平⾯直⾓坐标系中坐标轴上的点组成的集合.解 (1)偶数可⽤式⼦x ＝2n ，n ∈Z 表⽰，但此题要求为正偶数，故限定n ∈N *，所以正偶数集可表⽰为{x |x ＝2n ，n ∈N *}.(2)设被3除余2的数为x ，则x ＝3n ＋2，n ∈Z ，但元素为正整数，故x ＝3n ＋2，n ∈N ，所以被3除余2的正整数集合可表⽰为{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }.—(3)坐标轴上的点(x ，y )的特点是横、纵坐标中⾄少有⼀个为0，即xy ＝0，故坐标轴上的点的集合可表⽰为{(x ，y )|xy ＝0}.跟踪训练2 ⽤描述法表⽰如图所⽰阴影部分(含边界)点的坐标的集合.解本题是⽤图形语⾔给出的问题，要求把图形语⾔转换为符号语⾔.⽤描述法表⽰(即⽤符号语⾔表⽰)为{(x ，y )|－1≤x ≤32，－12≤y ≤1，且xy ≥0}.题型三列举法与描述法的综合运⽤例3 集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 只有⼀个元素，试求实数k 的值，并⽤列举法表⽰集合A .解 (1)当k ＝0时，原⽅程为16－8x ＝0.…∴x ＝2，此时A ＝{2}.(2)当k ≠0时，由集合A 中只有⼀个元素，∴⽅程kx 2－8x ＋16＝0有两个相等实根.则Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1. 从⽽x 1＝x 2＝4，∴集合A ＝{4}.综上所述，实数k 的值为0或1.当k ＝0时，A ＝{2}；当k ＝1时，A ＝{4}.、跟踪训练3 把例3中条件“有⼀个元素”改为“有两个元素”，求实数k 取值范围的集合. 解由题意可知⽅程kx 2－8x ＋16＝0有两个不等实根.∴k ≠0，Δ＝64－64k ＞0，解得k ＜1，且k ≠0.∴k 取值范围的集合为{k |k ＜1，且k ≠0}.弄错数集与点集致误。
集合及其表示方法
集合及其表示方法知识精要1.集合：我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集。
集合中的各个对象叫做集合的元素。
集合、元素以及关系的表示符号：集合常用大写英文字母A 、B 、C ……来表示，集合中的元素常用小写英文字母a 、b 、c ……来表示。
如果a 是集合A 的元素，记作A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，记作A a ∉，读作“a 不属于A ”。
2.集合元素的特性（1）确定性：元素与集合的从属关系是明确的（即A a ∈与A a ∉ ，二者必居其一）。
元素的属性是明确的（模棱两可是不可以的）。
（2）互异性：集合中的元素是互不相同的（即一个给定的集合中的任何两个元素都是不同的对象）。
（3）无序性：不考虑集合中元素之间的顺序。
3.集合的分类（1）有限集：含有有限个元素的集合；（2）无限集：含有无限个元素的集合；另外，根据集合元素的类型可以把集合分成数集、点集等。
4.空集：空集不含元素。
记作∅5.集合的表示方法（1）列举法：将集合中的元素一一列出（不考虑元素的顺序），注意元素之间用逗号隔开，并且写在大括号内。
例如：不等式0112<-x 的正整数解的集合，可以表示成{1，2，3，4，5}。
又如：方程组⎩⎨⎧-=-=+15y x y x 的解组成的集合可表示为)}3,2{(。
① a 与{a }不同：a 表示一个元素，{a }表示一个集合，该集合只有一个元素② 元素与元素之间用逗号隔开，单元素集合不用逗号。
（2）描述法：在大括号内先写出这个集合的元素一般形式，再画出一条竖线，在竖线后面写出集合中元素所共同具有的特性。
其形式是{x|x 满足性质p}。
例如：方程062=--x x 的解的集合，可表示为}06|{2=--x x x ； 又如：直线x +y =1上的点组成的集合，可以表示为：{1),(=+y x y x }注：同一个集合，有时既可以用列举法又可以用描述法，那么何时用列举法？何时用描述法？（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不适合用描述法表示，只能用列举法。
高考数学专项： 集合的概念(讲义)-原卷版
1.1集合的概念1.定义一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的整体叫做集合（简称集）2.集合与元素的表示集合通常用大写字母A，B，C， 表示，元素用小写字母a，b，c， 表示3.元素与集合的关系元素与集合的关系记法读法a是集合A的元素Aa a属于集合Aa不是集合A的元素Aa a不属于集合A4.常用数集及其记法数集记法非负整数集（自然数集）NN或*N正整数集整数集Z有理数集Q实数集R例1．下列各组对象不能构成集合的是（）y x=上的所有点A．所有直角三角形B．抛物线2C．某中学高一年级开设的所有课程D变式1-1．下列元素的全体不能组成集合的是（）A．中国古代四大发明B．地球上的小河流C．方程210x-=的实数解D．周长为10的三角形变式1-2．下列叙述能够组成集合的是（）A．我校所有体质好的同学B．我校所有800米达标的女生C．全国所有优秀的运动员D．全国所有环境优美的城市变式1-3．下列各组对象不能构成集合的是（）A．上课迟到的学生B．2022年高考数学难题C．所有有理数D．小于x的正整数例2．下列元素与集合的关系中，正确的是（）A．1 N B．*0NC Q D．2R 5变式2-1．（多选）下列关系中，正确的是（）．A．14R B Q C．3 N D Z变式2-2．用符号“ ”或“ ”填空：0______Z，π______Q．变式2-3．用符号“ ”或“ ”N N．5.集合中元素的性质（1）确定性给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何元素在不在这个集合中就确定了。
（2）互异性一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不能重复出现的。
（3）无序性组成集合的元素没有顺序之分，只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。
例3．已知3A ,A 中含有的元素有23,21,1a a a ，求a 的值.变式3-1．若集合A 中含有三个元素3a ，21a ，24a ，且3A ，求实数a 的值.变式3-2．设x R ，集合A 中含有三个元素3，x ，22x x ．(1)求实数x 应满足的条件；(2)若2A ，求实数x 的值．变式3-3．已知集合A 有三个元素：3a ，21a ，21a ，集合B 也有三个元素：0，1，x .（1）若3A ，求a 的值；（2）若2x B ，求实数x 的值；变式3-4．已知集合A 中的元素全为实数，且满足：若a A ，则11a A a．(1)若3a ，求出A 中其他所有元素．(2)0是不是集合A 中的元素？请你取一个实数 3a A a ，再求出A 中的元素．(3)根据（1）（2），你能得出什么结论？6.集合的表示方法（1）列举法我们可以把“地球上的四大洋"组成的集合表示为 洋，北冰洋太平洋，大西洋，印度把“方程 021 x x 的所有实数根”组成的集合表示为 2,1 .像这样把集合的元素一一列举出来.并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫做列举法.（2）描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法具体方法是在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写上这个元素所具有的共同特征。
集合及其表示方法练习题（含解析）
集合及其表⽰⽅法练习题（含解析）集合及其表⽰⽅法练习题（含解析）基础题⼀、选择题1．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC⼀定不是()A．锐⾓三⾓形B．直⾓三⾓形C．钝⾓三⾓形D．等腰三⾓形解析因为集合S＝{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，由集合元素的互异性可知a，b，c互不相等，所以△ABC⼀定不是等腰三⾓形．故选D.2．下列集合的表⽰⽅法正确的是()A．第⼆、四象限内的点集可表⽰为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}B．不等式x－1＜4的解集为{x＜5}C．{全体整数}D．实数集可表⽰为R解析A中应是xy<0；B中的本意是想⽤描述法表⽰，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前⾯的代表元素x，应为{x|x<5}；C中的“{}”与“全体”意思重复．故选D.3．下列集合恰有两个元素的是()A．{x2－x＝0} B．{x|y＝x2－x}C．{y|y2－y＝0} D．{y|y＝x2－x}解析A为⼀个⽅程集，只有⼀个元素；B为⽅程y＝x2－x的定义域，有⽆数个元素；C为⽅程y2－y＝0的解，有0,1两个元素；D为函数y＝x2－x的值域，有⽆数个元素．故选C.4．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1 B．3C．5 D．9解析根据已知条件，列表如下：根据集合中元素的互异性，由上表可知B＝{0，－1，－2，1,2}，因此集合B中共含有5个元素．故选C.5．若2?{x|x－a＞0}，则实数a的取值范围是()A．a≠2 B．a＞2 C．a≥2 D．a＝2解析因为2?{x|x－a>0}，所以2不满⾜不等式x－a>0，即满⾜不等式x－a≤0，所以2－a≤0，即a≥2，故选C.⼆、填空题6．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，则⽤列举法表⽰B＝________.解析由题意，A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，依次计算出B中元素，⽤列举法表⽰可得B ＝{4,9,16}，故答案为{4,9,16}．7．已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}，若A中⾄多有⼀个元素，则实数a的取值范围是________．解析当a＝0时，A＝{x|x＝－43}；当a≠0时，关于x的⽅程ax2－3x－4＝0应有两个相等的实数根或⽆实数根，所以Δ＝9＋16a≤0，即a≤－916.故所求的a的取值范围是a＝0或a≤－916.8．已知集合A中的元素均为整数，对于k∈A，如果k－1?A且k＋1?A，那么称k是A的⼀个“孤⽴元”．给定集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤⽴元”的集合共有________个．解析根据“孤⽴元”的定义，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤⽴元”的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共有6个．故答案为6.三、解答题9．⽤适当的⽅法表⽰下列集合：(1)绝对值不⼤于3的偶数的集合；(2)被3除余1的正整数的集合；(3)⼀次函数y＝2x－3图像上所有点的集合；(4)⽅程组x＋y＝1，x－y＝－1的解集．解(1){－2,0,2}．(2){m|m＝3n＋1，n∈N}．(3){(x，y)|y＝2x－3}．(4){(0,1)}．10．已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若1∈A，求实数a的值．解①若a＋3＝1，则a＝－2，此时A＝{1,1,2}，不符合集合中元素的互异性，舍去．②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2.当a＝0时，A＝{3,1,2}，满⾜题意；当a＝－2时，由①知不符合条件，故舍去．③若a2＋2a＋2＝1，则a＝－1，此时A＝{2,0,1}，满⾜题意．综上所述，实数a的值为－1或0.提⾼题1．已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成⽴？(2)对于任意a∈A，b∈B，是否⼀定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论．解(1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，令a＝3k＋1，b＝3k＋2，则m＝a＋b.故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成⽴．(2)不⼀定．证明如下：设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，则a＋b＝3(k＋l)＋3.当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时存在m∈M，使a＋b＝m成⽴；当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6?M，此时不存在m∈M，使a＋b＝m成⽴．故对于任意a∈A，b∈B，不⼀定存在m∈M，使a＋b＝m.2．设实数集S是满⾜下⾯两个条件的集合：①1?S；②若a∈S，则11－a∈S.(1)求证：若a∈S，则1－1a∈S；(2)若2∈S，则S中必含有其他的两个数，试求出这两个数；(3)求证：集合S中⾄少有三个不同的元素．解(1)证明：∵1?S，∴0?S，即a≠0.由a∈S，则11－a∈S可得11－11－a∈S，即11－11－a＝1－a1－a－1＝1－1a∈S.故若a∈S，则1－1a∈S.(2)由2∈S，知11－2＝－1∈S；由－1∈S，知11－(－1)＝12∈S，当12∈S时，11－12＝2∈S，因此当2∈S时，S中必含有－1和1 2.(3)证明：由(1)，知a∈S，11－a∈S,1－1a∈S.下证：a，11－a，1－1a三者两两互不相等．①若a＝11－a，则a2－a＋1＝0，⽆实数解，∴a≠11－a；②若a ＝1－1a ，则a 2－a ＋1＝0，⽆实数解，∴a ≠1－1a；③若11－a ＝1－1a ，则a 2－a ＋1＝0，⽆实数解，∴11－a≠1－1a .综上所述，集合S 中⾄少有三个不同的元素．。
集合题型归纳讲义高三数学一轮复习(原卷版)
专题二《集合》讲义知识梳理.集合1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(4)五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集.(3)集合相等：如果A⊆B，并且B⊆A，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作∅.3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．1．设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（）A．﹣3或﹣1或2B．﹣3或﹣1C．﹣3或2D．﹣1或22．设a，b∈R，集合{1，a+b，a}＝{0，ba，b}，则b﹣a＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣23．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．44．设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．65．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{1，m}，若3﹣m∈A，则非零实数m的数值是．6．若集合A＝{x∈R|ax2+ax+1＝0}其中只有一个元素，则a＝（）A．4B．2C．0D．0或4题型二.集合的基本关系——子集个数1．已知集合A＝{0，1，a2}，B＝{1，0，3a﹣2}，若A＝B，则a等于（）A．1或2B．﹣1或﹣2C．2D．12．设集合A＝{x|1＜x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则a的取值范围是（）A．{a|a≥1}B．{a|a≤1}C．{a|a≥2}D．{a|a＞2}3．已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax＝1}，若N⊆M，则实数a的取值集合为（）A．{1}B．{﹣1，1}C．{1，0}D．{1，﹣1，0} 4．已知集合A＝{x|x2﹣3ax﹣4a2＞0，（a＞0）}，B＝{x|x＞2}，若B⊆A，则实数a的取值范围是．5．已知集合A＝{x∈Z|x2+3x＜0}，则满足条件B⊆A的集合B的个数为（）A．2B．3C．4D．86．设集合A＝{1，0}，集合B＝{2，3}，集合M＝{x|x＝b（a+b），a∈A，b∈B}，则集合M 的真子集的个数为（）A．7个B．12个C．16个D．151．设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m﹣1＝0}，若A∩B＝{1}，则B＝（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}2．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|y＝﹣x}，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．2C．1D．03．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]4．满足M⊆{a1，a2，a3}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a3}的集合M的子集个数是（）A．1B．2C．3D．45．设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B={x|32x≤1}，则A∩B＝（）A．{1，2} B．{﹣1，﹣2} C．{﹣2，﹣1，2} D．{﹣2，﹣1，0，2}6．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣3x+a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为（）A．1B．2C．3D．1或27．设集合A＝{x|x2﹣2x≤0，x∈R}，B＝{y|y＝﹣x2，﹣1≤x≤2}，则∁R（A∩B）等于（）A．R B．{x|x∈R，x≠0}C．{0}D．φ8．设集合A＝{x|x（4﹣x）＞3}，B＝{x|x|≥a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是（）A．a≤1B．a＜1C．a≤3D．a＜3题型四.用韦恩图解决集合问题——新定义问题1．已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|y＝lg（x﹣3）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{1，2，3，4，5}B．{1，2，3}C．{1，2}D．{3，4，5} 2．设全集U＝{x|0＜x＜10，x∈N*}，若A∩B＝{3}，A∩∁U B＝{1，5，7}，∁U A∩∁U B＝{9}，则A＝，B＝．3．（2021•全国模拟）已知M，N均为R的子集，且∁R M⊆N，则M∪（∁R N）＝（）A．∅B．M C．N D．R4．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%5．已知集合M＝{1，2，3，4}，集合A、B为集合M的非空子集，若∀x∈A、y∈B，x＜y恒成立，则称（A，B）为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有个．6．任意两个正整数x、y，定义某种运算⊗：x⊗y={x+y(x与y奇偶相同)x×y(x与y奇偶不同)，则集合M＝{（x，y）|x⊗y＝6，x，y∈N*}中元素的个数是．。
集合及其表示方法练习题(含解析)
集合及其表示方法练习题（含解析）基础题一、选择题1．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析因为集合S＝{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，由集合元素的互异性可知a，b，c互不相等，所以△ABC一定不是等腰三角形．故选D.2．下列集合的表示方法正确的是()A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}B．不等式x－1＜4的解集为{x＜5}C．{全体整数}D．实数集可表示为R解析A中应是xy<0；B中的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x，应为{x|x<5}；C中的“{}”与“全体”意思重复．故选D.3．下列集合恰有两个元素的是()A．{x2－x＝0} B．{x|y＝x2－x}C．{y|y2－y＝0} D．{y|y＝x2－x}解析A为一个方程集，只有一个元素；B为方程y＝x2－x的定义域，有无数个元素；C为方程y2－y＝0的解，有0,1两个元素；D为函数y＝x2－x的值域，有无数个元素．故选C.4．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1 B．3C．5 D．9解析根据已知条件，列表如下：根据集合中元素的互异性，由上表可知B＝{0，－1，－2，1,2}，因此集合B中共含有5个元素．故选C.5．若2∉{x|x－a＞0}，则实数a的取值范围是()A．a≠2 B．a＞2 C．a≥2 D．a＝2解析因为2∉{x|x－a>0}，所以2不满足不等式x－a>0，即满足不等式x－a≤0，所以2－a≤0，即a≥2，故选C.二、填空题6．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，则用列举法表示B＝________.解析由题意，A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，依次计算出B中元素，用列举法表示可得B ＝{4,9,16}，故答案为{4,9,16}．7．已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}，若A中至多有一个元素，则实数a的取值范围是________．解析当a＝0时，A＝{x|x＝－43}；当a≠0时，关于x的方程ax2－3x－4＝0应有两个相等的实数根或无实数根，所以Δ＝9＋16a≤0，即a≤－916.故所求的a的取值范围是a＝0或a≤－916.8．已知集合A中的元素均为整数，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析根据“孤立元”的定义，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共有6个．故答案为6.三、解答题9．用适当的方法表示下列集合：(1)绝对值不大于3的偶数的集合；(2)被3除余1的正整数的集合；(3)一次函数y＝2x－3图像上所有点的集合；(4)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝1，x－y＝－1的解集．解(1){－2,0,2}．(2){m|m＝3n＋1，n∈N}．(3){(x，y)|y＝2x－3}．(4){(0,1)}．10．已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若1∈A，求实数a的值．解①若a＋3＝1，则a＝－2，此时A＝{1,1,2}，不符合集合中元素的互异性，舍去．②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2.当a＝0时，A＝{3,1,2}，满足题意；当a＝－2时，由①知不符合条件，故舍去．③若a2＋2a＋2＝1，则a＝－1，此时A＝{2,0,1}，满足题意．综上所述，实数a的值为－1或0.提高题1．已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论．解(1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，令a＝3k＋1，b＝3k＋2，则m＝a＋b.故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．(2)不一定．证明如下：设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，则a＋b＝3(k＋l)＋3.当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时存在m∈M，使a＋b＝m成立；当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6∉M，此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立．故对于任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m.2．设实数集S是满足下面两个条件的集合：①1∉S；②若a∈S，则11－a∈S.(1)求证：若a∈S，则1－1a∈S；(2)若2∈S，则S中必含有其他的两个数，试求出这两个数；(3)求证：集合S中至少有三个不同的元素．解(1)证明：∵1∉S，∴0∉S，即a≠0.由a∈S，则11－a∈S可得11－11－a∈S，即11－11－a＝1－a1－a－1＝1－1a∈S.故若a∈S，则1－1a∈S.(2)由2∈S，知11－2＝－1∈S；由－1∈S，知11－(－1)＝12∈S，当12∈S时，11－12＝2∈S，因此当2∈S时，S中必含有－1和12.(3)证明：由(1)，知a∈S，11－a∈S,1－1a∈S.下证：a，11－a，1－1a三者两两互不相等．①若a＝11－a，则a2－a＋1＝0，无实数解，∴a≠11－a；②若a ＝1－1a ，则a 2－a ＋1＝0，无实数解，∴a ≠1－1a；③若11－a ＝1－1a ，则a 2－a ＋1＝0，无实数解，∴11－a≠1－1a .综上所述，集合S 中至少有三个不同的元素．。
专题01集合(原卷版)
2023高考一轮复习讲与练01 集合练高考 明方向1、【2022年新高考I 卷】若集合{4}M x x =<，{31}N x x =≥，则MN =A. {|02}x x ≤<B. 1{|2}3x x ≤<C. {|316}x x ≤<D. 1{|16}3x x ≤<2、【2022年新高考II 卷】3、【2022年全国甲卷理科】4、【2022年全国甲卷文科】设集合5{2,1,0,1,2},02A B xx ⎧⎫=--=≤<⎨⎬⎩⎭∣，则A B =（ ）A. {}0,1,2B. {2,1,0}--C. {0,1}D. {1,2}5、【2022年全国乙卷文科】6. 集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则MN =（ ）A. {2,4}B. {2,4,6}C. {2,4,6,8}D. {2,4,6,8,10}7．(2021年高考全国乙卷理科)已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则ST( )A ．∅B ．SC ．TD ．Z8．(2021年高考全国甲卷理科)设集合{}104,53M x x N xx ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N = ( )A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．143xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤< D ．{}05x x <≤9．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a( )A ．–4B ．–2C ．2D ．410．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ⋃=( )A ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3}11．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则AB中元素的个数为 ( )A ．2B ．3C ．4D ．6讲典例 备高考类型一、集合的含义(1)元素的特性: 确定性、互异性、无序性(2)注意集合元素的互异性，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．(3)解决集合含义问题的关键点：确定构成集合的元素；确定元素的限制条件． 1．现有以下说法，其中正确的是（ ）①接近于0的数的全体构成一个集合； ②正方体的全体构成一个集合； ③未来世界的高科技产品构成一个集合； ④不大于3的所有自然数构成一个集合． A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④2．以方程x 2﹣5x +6＝0和方程x 2﹣x ﹣2＝0的解为元素的集合为（ ） A ．{2，3，1}B ．{2，3，﹣1}C ．{2，3，﹣2，1}D ．{﹣2，﹣3，1}3．（多选题）已知集合{}22133A a aa =+++,,，且1A ∈，则实数a 的可能值为（ ）集合集合含义集合之间的关系集合的运算集合的新定义问题由集合关系求参数范围件集合中的分类讨论集合中的数形结合集合与充要条件交汇集合的表示A ．0B ．1-C ．1D ．2-4．已知a ，b ，c 均为非零实数，集合a b ab A x x a b ab ⎧⎫⎪⎪==++⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则集合A 的元素的个数有_______个.类型二、集合的表示(1)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(2)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．(3)五个特定的集合：1①{}3,1M =-，(){}3,1P =-； ②(){}3,1M =，(){}1,3P =；③{}21M y y x ==-，{}21P t t x ==-；④{}21M y y x ==-，(){}2,1P x y y x ==-.A ．①B ．②C ．③D ．④2．用列举法可以将集合{A a a =使方程221=0ax x ++有唯一实数解}表示为（ ）A ．{}1A =B ．{}0A =C ．{}0,1A =D ．{}0A =或{}13．由大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是（ ）A ．{x|﹣3＜x ＜11，x ∈Q}B ．{x|﹣3＜x ＜11}C ．{x|﹣3＜x ＜11，x=2k ，k ∈N}D ．{x|﹣3＜x ＜11，x=2k ，k ∈Z} 4．（多选题）下列说法中不正确的是（ ）A ．0与{}0表示同一个集合B ．集合M ＝{}3,4与N ＝(){}3,4表示同一个集合C ．方程()2(1)2x x --＝0的所有解的集合可表示为{}1,1,2 D ．集合{|45}x x <<不能用列举法表示5．集合6{|3P x x =∈-Z 且}x ∈Z ，用列举法表示集合P =________ 类型三、集合之间的关系 (1)集合之间的基本关系A B 或B A穷举法：将集合的子集一一列举出来，从而得到子集的个数，适用于集合中元素个数较少的情况． 公式法：含有n 个元素的集合的子集个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.(3)判断集合间关系的常用方法1．已知集合{M m m x y z xyz==+++∣，x 、y 、z 为非零实数}，则M 的子集个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．82．（多选题）下面给出的几个关系中正确的是（ ）A ．{}{},a b ∅⊆B ．(){}{},,a b a b ⊆C ．{}{},,b a a b ⊆D ．{}0∅⊆3．（多选题）已知集合{}23180A x x x =∈--<R ，{}22270B x x ax a =∈++-<R ，则下列命题中正确的是（ ）A ．若AB =，则3a =- B ．若A B ⊆，则3a =-C ．若B =∅，则6a ≤-或6a ≥D ．若BA 时，则63a -<≤-或6a ≥4．满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ≠⊂⊆的集合M 有______个. 5．含有三个实数的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成{}2,,0a a b +，则20212020a b +=_______．类型四、集合的运算 (1)集合的运算(2)集合的基本运算问题的解题策略①看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决运算问题的前提． ②对集合化简．有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决．③数形结合思想的应用．集合运算常用的数形结合形式有：数轴、坐标系和Venn 图．1．已知集合(){}2log 21A x x =-<，{}223B x x x =-<，则A B =（ ）A ．{}14x x -<<B ．{}13x x -<<C ．{}24x x <<D ．{}23x x <<2．若集合{(,)30}M x y x y =-=∣，()22,}0{|N x y x y =+=，则（ ） A ．M N M ⋂= B ．M N M ⋃=C ．M N N ⋃=D ．M N ⋂=∅3．（多选题）已知集合2{|log 0}A x x =≤，集合1{|0}1y B y y +=≥-，集合1{|3}9z D z =≥，则（ ） A ．A D R ⋃= B ．A B =∅ C ．()R A B ⋃ DD ．R D B4．（多选题）已知U =R ，集合2{|20},{|10},A x x x B x mx =--==+=B ∩(∁U A)=∅，则m 的值可以是（ ）A ．12B ．12-C ．0D ．15．（多选题）已知全集U 的两个非空真子集A ，B 满足(∁U A )∪B =B ，则下列关系一定正确的是（ ）A ．AB =∅ B ．A B B =C ．A B U ⋃=D ．(∁U B )∪A =A6．已知全集U =Z ，集合{}210,A x x x =+≥∈Z ，{}1,0,1,2B =-，则下列说法正确的是____．（填序号）①{}0,1,2AB =②{}0A B x x ⋃=≥ ④(∁U A )∩B ={−1} ④AB 的真子集个数是7类型五、集合的新定义问题1．已知全集U =R ，集合{}0,1,2,3A =，{B x y ==，则如图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}0,1B ．{}1,2C ．{}0D ．{}0,1,22．（多选题）若集合A 具有以下性质：（1）0A ∈，1A ∈；（2）若x 、y ∈A ，则x y A -∈，且0x ≠时，1A x∈.则称集合A 是“完美集”.下列说法正确的是（ ） A ．集合{}1,0,1B =-是“完美集” B ．有理数集Q 是“完美集”C ．设集合A 是“完美集”，x 、y ∈A ，则x y A +∈D ．设集合A 是“完美集”，若x 、y ∈A 且0x ≠，则yA x∈ 3．（多选题）给定数集M ，若对于任意a ，b M ∈，有a bM ，且a b M -∈，则称集合M 为闭集合，则下列说法中不正确的是（ ）A ．集合{}4,2,0,2,4M =--为闭集合B ．正整数集是闭集合C ．集合{|3,}M n n k k Z ==∈为闭集合D ．若集合12,A A 为闭集合，则12A A ⋃为闭集合4．规定⊕与⊗是两个运算符号，其运算法则如下，对任意实数a b 、有: a b ab ⊗=,22()1a b b a b ⊕=++.若22a b -<<<且,,a b Z ∈)22|(A x x a b b a b ⊕⎧⎫+=⊗⎨⎩=⎬⎭,则用列举法表示集合A =__________． 类型六、由集合关系求参数范围根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的的四个注意点： (1)注意两个转化：A∩B＝A ⇔A ⊆B ；A ∪B ＝A ⇔B ⊆A. (2)注意空集的特殊性①若B ⊆A ，则分B ＝∅和B≠∅两类进行讨论． ②若A∩B＝∅，则集合A ，B 可能的情况有：A ，B 均为空集；A 与B 中只有一个空集；A ，B 虽然均为非空集合但无公共元素．(3)注意结合数轴分析端点值的大小．(4)注意对结果进行检验，以避免集合中元素重复．1．（多选题）已知集合{}23180A x R x x =∈--<，{}22270B x R x ax a =∈++-<，则下列命题中正确的是（ ）A ．若AB =，则3a =- B ．若A B ⊆，则3a =-C ．若B =∅，则6a ≤-或6a ≥D ．若3a =，则{}36A B x x ⋂=-<<2．已知集合{}2{123},280A x a x a B x x x =-<<+=--≤，若()R A B A ⋂=，求实数a 的取值范围是_______.3．已知全集U =R ，集合{}2|450A x x x =--≤，{}|24B x x =≤≤.（1）求()U A C B ⋂；（2）若集合{}|4,0C x a x a a =≤≤>，满足CA A =，CB B =，求实数a 的取值范围.4．已知全集U R =，集合{}01A x x =<<，{}3927xB x =≤≤，{}224C x a x a =-<<-. （1）求(∁U A )∩B ；（2）若A C C =，求a 的取值范围.类型七、集合的中的分类讨论在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的可能性，如若A ⊆B ，则要考虑A ＝∅和A ≠∅两种可能．1．已知集合{A =，集合{}1,B a =，若{}AB a =，则a =（ ）A ．0B ．0或3C ．1D ．1或32．（多选题）设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =+=，若AB B =，则实数a 的值可以为（ ）A ．15-B ．0C ．3D ．13-3．已知全集U =R ，集合{}2|11180A x x x =-+->，B ={x |−5≤−x ≤2}， （1）求AB ，B ∪(∁U A )；（2）已知集合{|2}M x a x a =≤≤-，若B ∪(∁U M )=R ，求实数a 的取值范围． 4．已知集合{}2430A x x x =-+=，{}230B x x ax =-+=． （1）若A B B ⋃=，求实数a 的值； （2）若AB B =，求实数a 的取值范围．5．设集合A ={x ∣2x −3x +2=0}，B ={x ∣2x +2(a +1)x +2a −5=0} （1）若A ∩B ={2}，求实数a 的值；（2）若U =R ，A ∩(∁U B )=A .求实数a 的取值范围. 类型八、集合的中的数形结合1．下图中矩形表示集合U ，A ，B 是U 的两个子集，则不能表示阴影部分的是（ ）A ．(∁U A )∩B B ．∁B (A ∩B )C ．()()UUA B ⋂D ．A BA ⋃2．已知集合{}2{47},60M xx N x x x =-≤≤=-->∣∣，则M N =（ ）A ．{|42x x -≤<-或37}x <≤B ．{|42x x -<≤-或37}x ≤<C ．{|2x x ≤-或3}x >，D ．{|2x x <-或3}x >，3．（多选题）已知集合A ，B ，全集为U ，下列结论正确的有（ ）A ．若AB ⊆，则A B A =，且A B B ⋃=； B ．若A B A B ⋃=⋂，则A B =；C ．()()AB A B ⊆ D ．集合{},,A a b c =的真子集有6个.4．集合U =R ，{}2|20A x x x =--<，B x y ⎧⎫==⎨⎩，则图中阴影部分所表示的集合是_________．5．已知集合{2A xx =<-∣或}6x >，{}12B x m x m =+≤≤∣ （1）若3m =，求A B ，(∁R A )∩(∁R B )；（2）若AB B =，求m 值范围.类型九、集合与充要条件交汇1．（多选题）已知集合{|13}A x x =-<<，集合{|1}B x x m =<+，则A B =∅的一个充分不必要条件是（ ）A ．2m ≤-B ．2m <-C ．2m <D ．43m -<<-2．（多选题）已知P ={x |−2≤x ≤10}，集合{}11S x m x m =-≤≤+．若x P ∈是x S ∈的必要条件，则实数m 的取值可以是（ ）A ．1-B ．1C ．3D ．53．已知集合4{|0}3x A x x -=>+，集合{|221}B x a x a =-≤≤+． （1）当3a =时，求A 和()R A B ；（2）若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．4．已知命题“关于x 的方程2250x mx m +++=有两个不相等的实数根”是假命题. （1）求实数m 的取值集合A ；（2）设集合{|121}B x a x a =-≤≤-，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.新预测 破高考1．（多选题）已知全集U =R ，集合1|02x A x x -⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则关于UA 的表达方式正确的有（ ）A ．][(),12,-∞⋃+∞B ．()(){}210xx x --≥∣ C ．102x xx -⎧⎫≥⎨⎬-⎩⎭∣ D ．()(),12,-∞+∞2．设集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,3M =，{}3,4,5N =，则()()UU M N ⋂=（ ）A ．{}2,3,4,5B ．{}1,2,4,5,6C ．{}1,2,6D ．{}63．集合{|3}U x Z x =∈≤ {}1,0,1,2A =-，{}3,0,2,3B =-，则()UAB =（ ）A ．{}3,3-B ．{}0,2C ．{}1,1-D ．{}3,2,1,1,3---4．下列说法正确的是（ ）A 20y +=的解集为{}2,2-B ．集合(){},1x y y x =-与{}1|x y x =-是相等的C ．若{}11A x Z x =∈-≤≤，则 1.1A -∈ D ．在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为(){},0x y xy >5．已知集合A ＝{a ，|a |，a －2}，若2∈A ，则实数a 的值为（ ）A ．－2B ．2C ．4D ．2或46．已知P ={x |a -4<x <a +4}，Q ={x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．-1≤a ≤5B ．-1<a ≤5C ．-2≤a ≤3D ．-2≤a <37．已知集合1122A x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭，{}0B x x a =<<，若A B ⊆，则实数a 的范围是（ ）A．0,1B ．(]0,1C ．1,D ．[)1,+∞8．（设集合{{},1,2,4a b =，则a b +=（ ）A ．2B ．3C ．5D ．69．若集合3|01x A x x -=≥+⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{|10}B x ax =+≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．1,13⎛-⎤ ⎥⎝⎦C ．(,1)[0,)-∞-+∞D ．1[,0)(0,1)3-⋃10．集合{}2*70,A x x x x N =-<∈，则集合*6,B y N y A y ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭的子集个数为（ ）A ．4个B ．8个C ．15个D ．16个11．已知全集U R =,集合{|08,}A x x x R =<<∈和{|35,}B x x x Z =-<<∈关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有A ．3个B ．4个C ．5个D ．无数个12．设集合2,1,0,1,2U，若{}1A B ⋂=-，{}()1U B A ⋂=，(∁U A )∩(∁U B )={−2,2}，则下列结论正确（ ）A ．1A -∉且2B ∈ B ．0A ∉且0B ∈C ．0A ∈且0B ∉D ．2A ∉且1B ∉13．集合2{|40}A x x x =+=，22{|2(1)10}B x x a x a =+++-=，{|4,}M x x k k N ==-∈.如果A B A ⋃=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1≤aB ．11或<-=a aC ．1≤-aD ．11或≤-=a a14．已知集合1{|,Z}24k M x x k ==+∈,*1{|,N }42k N x x k ==+∈,若0x M ∈,则0x 与N 的关系是（ ） A ．0x N ∈或0x N ∉ B ．0x N ∈C ．0x N ∉D ．不能确定15．如图所示，A ，B 是非空集合，定义集合A #B 为阴影部分表示的集合.若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ，B ＝{y |y ＝3x ,x >0}，则A #B 为（ ）A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2}D ．{x |x =0或x >2}16. 已知集合S ＝{0,1,2,3,4,5}，A 是S 的一个子集，当x ∈A 时，若有x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个。
专题3 集合的基本运算(原卷版)
专题3 集合的基本运算题组1 Venn图表达的集合关系及应用1.集合A＝，B＝，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为()A.7B.8C.15D.162.定义差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－(A－B)可表示下列图中阴影部分的为()A.答案AB.答案BC.答案CD.答案D3.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，求该网店(1)第一天售出但第二天未售出的商品有多少种？(2)这三天售出的商品最少有多少种？题组2 并集的概念及运算4.设集合I ＝，A ⊆I ，若把满足M ∪A ＝I 的集合M 叫做集合A 的配集，则A ＝的配集有( )A.1个B.2个C.3个D.4个 5.设全集为R ，集合{}A |10x x =->，{}B |||2x x =>，则集合()R A B (⋃= ) A ．{|1}x x ≤B ．{|2x x <-或1}x >C ．{|12}x x ≤<D ．{|1x x ≤或2}x >6.点集A ＝{(x ，y )|x <0}，B ＝{(x ，y )|y <0}，则A ∪B 中的元素不可能在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.设集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0)}，集合B ＝{x |1<x <3}，则A ∪B 等于( )A.{x |－1<x <3}B.{x |－1<x <1}C.{x |1<x <2}D.{x |2<x <3}8.设集合S ＝{x ||x －2|＞3}，T ＝{x |a ＜x ＜a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是( )A.－3＜a ＜－1B.－3≤a ≤－1C.a ≤－3或a ≥－1D.a ＜－3或a ＞－19.已知A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x 2－6x ＋5>0}，是否存在实数a ，使得A ∪B ＝R ，若存在，求出a 的取值集合，若不存在，说明理由.题组3 交集的概念及运算10.已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＝0，x ∈Z }，则A ∩B 等于( )A.{1}B.{2}C.{－1,2}D.{1,2,3}11.已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N等于()A.{0,1,2}B.{－1,0,1,2}C.{－1,0,2,3}D.{0,1,2,3}12.已知集合A＝{x∈R|≤0}，B＝{x∈R|(x－2a)(x－a2－1)<0}.若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是()A.(2，＋∞)B.[2，＋∞)C.{1}∪[2，＋∞)D.(1，＋∞)13.已知方程x2＋mx－6＝0与x2＋nx＋2＝0的解集分别为A和B，且A∩B＝{2}，则m＋n＝________.14.已知集合A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，B＝{x|x≤1或x≥4}.(1)当a＝3时，求A∩B；(2)若A∩B＝∅，求实数a的取值范围.题组4 并集、交集的综合运算15.已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列结论成立的是()A.N⊆MB.M∪N＝MC.M∩N＝ND.M∩N＝{2}16.对于集合M、N，定义M－N＝{x|x∈M且x∉N}，M⊕N＝(M－N)∪(N－M)，设A＝{y|y＝3x，x∈R}，B ＝{y|y＝－(x－1)2＋2，x∈R}，则A⊕B等于()A.[0,2)B.(0,2]C.(－∞，0]∪(2，＋∞)D.(－∞，0)∪[2，＋∞)17.已知集合A＝{x|}，集合B＝{m|3>2m－1}，求A∩B，A∪B.18.已知集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|x2－ax－b＝0}.(1)若A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，求a，b的值；(2)若∅B A，求实数a，b的值.19.已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}，(1)当m＝2时，求M∩N，M∪N；(2)当M∩N＝M时，求实数m的值.20.设集合P＝{x|x2－x－6＜0}，Q＝{x|2a≤x≤a＋3}.(1)若P∪Q＝P，求实数a的取值范围；(2)若P∩Q＝∅，求实数a的取值范围；(3)若P∩Q＝{x|0≤x<3}，求实数a的值.题组5 集合的交集、并集性质及应用21.已知集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{x|x＝2a，a∈A}，则()A.A∩B＝AB.A∩B⊇AC.A∪B＝BD.A∩B⊆A22.已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于()A.0或B.0或3C.1或D.1或323.已知集合A＝{x|0<x<2}，集合B＝{x|－1<x<1}，集合C＝{x|mx＋1>0}，若(A∪B)⊆C，则实数m的取值范围为()A.{m|－2≤m≤1}B.C.D.24.已知集合A＝{a，b}，集合B满足A∪B＝{a，b}，则满足条件的集合B的个数有()A.4B.3C.2D.125.已知A＝{2,5}，B＝{x|x2＋px＋q＝0}，A∪B＝A，A∩B＝{5}，求p、q的值.题组6 补集的概念及运算26.已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则∁U A等于()A.{1,3,5,6}B.{2,3,7}C.{2,4,7}D.{2,5,7}27.若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则∁U A等于()A.{x|0<x<2}B.{x|0≤x<2}C.{x|0<x≤2}D.{x|0≤x≤2}28.设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁U A＝{x|x<3或x>4}，则a＋b＝________.29.已知全集U＝{|a－1|，(a－2)(a－1)，4,6}；(1)若∁U(∁U B)＝{0,1}，求实数a的值；(2)若∁U A＝{3,4}，求实数a的值.题组7 交并补集的综合问题30.已知全集U＝R，集合M＝{x|－1<x<1}，N＝{x|x>1}，则下列说法正确的是()A.M∩N＝NB.M∩(∁U N)＝∅C.M∪N＝UD.M⊆(∁U N)31.若集合M＝{y|y＝x2，x∈Z}，N＝{x|x2－6x－27≥0，x∈R}，全集U＝R，则M∩(∁U N)的真子集的个数是()A.15B.7C.16D.832.关于x的方程：x2＋ax＋1＝0，①x2＋2x－a＝0，②x2＋2ax＋2＝0，③若三个方程至少有一个有解，求实数a的取值范围.33.已知集合A＝{y|y2－(a2＋a＋1)y＋a(a2＋1)＞0}，B＝{y|y＝x2－x＋，0≤x≤3}.(1)若A∩B＝∅，求a的取值范围；(2)当取使不等式x2＋1≥ax恒成立的a的最小值时，求(∁R A)∩B.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
提升训练1.1 集合及其表示方法
一、选择题
1．下列给出的对象中，能表示集合的是（ ）．
A ．一切很大的数
B ．无限接近零的数
C ．聪明的人
D ．方程的实数根
2．已知集合A={x ∈N|-1＜x ＜4}，则集合A 中的元素个数是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
3．用列举法表示集合{}2|40A x x =-=正确的是（ ）
A. −2,2
B. {−2}
C. {2}
D. {−2,2}
4．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是( ) A ．9 B ．5 C ．3 D ．1 5．下列说法正确的是（ ）
A ．我校爱好足球的同学组成一个集合
B ．
是不大于3的自然数组成的集合 C ．集合和表示同一集合
D ．数1，0，5，，，，
组成的集合有7个元素
6．集合{x |x ≥2}表示成区间是 A ．（2，+∞） B ．[2，+∞） C ．（–∞，2） D ．（–∞，2]
7．集合A ＝{x ∈Z|y ＝，y ∈Z}的元素个数为( )
A ．4
B ．5
C ．10
D ．12
8．不等式的解集用区间可表示为
A ．（–∞，）
B ．（–∞，]
C ．（，+∞）
D ．[，+∞）
9．下列说法正确的是（ ）
A ．0与{}0的意义相同
B ．高一（1）班个子比较高的同学可以形成一个集合
C ．集合(){},|32,A x y x y x N =
+=∈是有限集 D ．方程2210x x ++=的解集只有一个元素
10．方程组
的解集不可以表示为( )
A ．{(x ，y)|
}
B ．{(x ，y)|
} C ．{1,2}
D ．{(1,2)} 11．下列选项中，表示同一集合的是
A ．A={0，1}，B={（0，1）}
B ．A={2，3}，B={3，2}
C ．A={x|–1<x≤1，x ∈N}，B={1}
D ．A=∅，
12．若集合A 具有以下性质：
(Ⅰ)0∈A,1∈A ；
(Ⅱ)若x ∈A ，y ∈A ，则x －y ∈A ，且x≠0时，∈A. 则称集合A 是“好集”．下列命题正确的个数是( )
(1)集合B ＝{－1,0,1}是“好集”；
(2)有理数集Q 是“好集”；
(3)设集合A 是“好集”，若x ∈A ，y ∈A ，则x ＋y ∈A. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
二、填空题
13．用区间表示数集{x |2<x ≤4}=____________．
14．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________． 15．下列所给关系正确的个数是________．
①π∈R ；② Q ；③0∈N ＋；④|－4|N ＋. 16．在数集{}0,1,2x -中，实数x 不能取的值是______.
三、解答题
17．在数轴上表示集合{x |x <－2或x ≥1}，并用区间表示该集合． 18．用适当的方法表示下列集合．
（1）小于5的自然数构成的集合；
（2）直角坐标系内第三象限的点集；
（3）偶数集．
19．已知，用列举法表示集合．
20．已知, ,求实数的值.
21．用区间表示下列数集：
（1）；（2）；
（3）；（4）R；
（5）；（6）.
22．设数集由实数构成，且满足：若（且），则.
（1）若，试证明中还有另外两个元素；
（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；
（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.。