瞬时变化率——导数

1.1.2瞬时变化率——导数

1．结合实际背景理解函数的瞬时变化率——导数的概念及其几何意义．(重点、难点)

2．会求简单函数在某点处的导数及切线方程．(重点)

3．理解导数与平均变化率的区别与联系．(易错点)

[基础·初探]

教材整理1曲线上一点处的切线

阅读教材P8～P9“例1”以上部分，完成下列问题．

设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线，随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．

判断正误：

(1)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．()

(2)过曲线外一点作已知曲线的切线有且只有一条．()

【答案】(1)×(2)×

教材整理2瞬时速度与瞬时加速度

阅读教材P11～P12，完成下列问题．

(1)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率S(t0＋Δt)－S(t0)

Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．

(2)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率

v (t 0＋Δt )－v (t 0)

Δt 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加

速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．

1．判断正误：

(1)自变量的改变量Δx 是一个较小的量，Δx 可正可负但不能为零．( ) (2)瞬时速度是刻画某物体在某一时间段内速度变化的快慢．( ) 【答案】 (1)√ (2)×

2．如果质点A 按规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为________．

【解析】 Δs Δt ＝3(3＋Δt )2－3×3

2

Δt

＝18＋3Δt ，

当Δt →0时，Δs

Δt ＝18＋3×0＝18. ∴质点A 在t ＝3时的瞬时速度为18. 【答案】 18 教材整理3 导数

阅读教材P 13～P 14，完成下列问题． 1．函数在一点处的导数及其几何意义 (1)导数

设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称

该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．

(2)导数的几何意义

导数f ′(x 0)的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率． 2．导函数

若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )．f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．

1．判断正误：

(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 值的正、负无关．( )

(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点x ＝x 0处切线的斜率．( )

(3)若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在．( ) (4)若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在．( ) 【解析】 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x 0，y 0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立．

【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√

2．已知f (x )＝2x ＋5，则f (x )在x ＝2处的导数为________． 【解析】 Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2(2＋Δx )＋5－(2×2＋5)＝2Δx ， ∴Δy

Δx ＝2，∴f ′(2)＝2. 【答案】 2

3．函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－2x ＋9，若P 点的横坐标为4，则f (4)＋f ′(4)＝________.

【解析】 由导数的几何意义，f ′(4)＝－2. 又f (4)＝－2×4＋9＝1. 故f (4)＋f ′(4)＝1－2＝－1. 【答案】 －1

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________ 疑问2：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________ 疑问3：_______________________________________________

解惑：_______________________________________________

[小组合作型]

(1)以初速度v 0(v 0>0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －1

2

gt 2，则物体在t 0时刻的瞬时速度为__________．

(2)某物体的运动方程为s ＝2t 3，则物体在第t ＝1时的瞬时速度是__________．

【精彩点拨】 先求出Δs

Δt ，再求瞬时速度．

【自主解答】 (1)∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2

－⎝ ⎛⎭⎪⎫v 0t 0－12gt 20＝v 0Δt －gt 0Δt －1

2g (Δt )2，

∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－1

2g Δt ，

∴当Δt →0时，Δs

Δt →v 0－gt 0，即t 0时刻的瞬时速度为v 0－gt 0. (2)∵当t ＝1时，Δs ＝2(1＋Δt )3－2×13 ＝2[1＋(Δt )3＋3Δt ＋3(Δt )2]－2 ＝2＋2(Δt )3＋6Δt ＋6(Δt )2－2 ＝2(Δt )3＋6(Δt )2＋6Δt ，

∴Δs Δt ＝2(Δt )3＋6(Δt )2

＋6Δt Δt

＝2(Δt )2＋6Δt ＋6，

∴当Δt →0时，Δs

Δt →6，则物体在第t ＝1时的瞬时速度是6. 【答案】 (1)v 0－gt 0 (2)6