6-原子结构和玻尔的量子论

波函数的标准条件
波函数必须是时间、坐标的单值、有限、 连续函数，这称为波函数的标准条件。
量子力学中波函数的意义——统计解释
波函数的归一化条件
2
(r , t ) (r )
2

波函数的平方表示粒子在空间某个微小 领域存在的概率。

a
0
n ( x ) dx 1
2
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令
2mE 2
得
( x) k 2 ( x) 0
必有
sin ka 0, ka n , (k 0)
k n , n 1,2,3, a
这里
x 0
k2 2mE 2
a
阱外：
d 2 2m 2 ( E ) 0 dx 2
( x) 0
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(3)概率密度
(4) 势阱中粒子的动量
2 n n ( x) n ( x) sin2( x) a a
2
当n时，量子→经典
k2
2mE n 2 ( ) a 2
pn 2mEn k
粒子德布罗意波长也是量子化的：
nh 2a
从能级上看：
E
当a为宏观距离时，En0,这也相当于过渡到 经典物理学中连续能量的情况
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近代物理基础讲义
内容提要
一、氢原子光谱 二、原子结构模型及问题 三、玻尔的原子论 四、玻尔理论在氢原子光谱中的应用
6.原子结构和玻尔原子论
一、氢原子的光谱
二、原子的结构模型及其问题
原子的基本性质： 机械结构上是稳定的 电学性质上是中性的 含有电子（1898年，J. J. Thomson） 含有正电荷 问题： 原子质量如何分布？ 正电荷是如何分布的？ 电子和正电荷之间的机械结构如何？
电子波的波长
电子波的波长：
电子波在晶体光栅上的衍射
可能也满足： 2d sin k
h 2me eU
X射线的波长
h 2emeU

h h P me v

1.225 nm U
大致相当
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戴维逊----革末电子衍射实验1927年
I 电子束
其它验证德布罗意波的实验

晶体
G
U
电子单缝、双缝、三缝和 四缝衍射（约翰逊1961年）
4.粒子波动性和薛定谔方程
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一、物质波假说
m0=0 v=c
德布罗意的物质波假说
光波
，
电子、质子等所有的粒子，都具有波动性。 一个能量E 和动量P 的粒子，其频率和波长由 下式决定：
光子
E,P
粒子 波动
电子
E,P
m0 0 v < c
？
电子波 ? ,
粒子所具有的波动，称为物质波
B 2 a
2
能量的本征函数
n( x)
n
2 n sin x a a
( n 1,2,3, )
i Ent
时，量子化能量转为连续能量
最低能量(零点能或基态)
E1
2 2
2ma 2
含时的能量本征函数
0
n ( x , t ) n ( x ) e
由每个本征函数所描述的粒子的状态 称为粒子的能量本征态
自由粒子（非相对论），有
提示： 自由粒子的薛定谔方程
，那么可以得到：
三维的情形
Ei t
p2
2
一维束缚粒子的情形
如：电场中
2 2 2 2 2 2 2 2 y z x
对t 求一阶导数：
三维自由粒子的薛定谔方程：
i
式中：
2 2 t 2m
2
对x 求二阶导数：
2 2 2 2 2 2 x y z
称为拉普拉斯算符Biblioteka 非相对论粒子，那么可以得到：
束缚粒子的薛定谔方程
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三维束缚粒子的情形
当粒子处在势场中时，粒子的能量
2
定态的薛定谔方程
当势场仅仅是 空间坐标的函数
非自由粒子的 薛定谔方程
E
与上同样推导：
p U (t , x, y, z ) 2m
a
0
•
阱外：
( x) 0
( x 0, x a)
2
2m ( E U ) 0 2
4、由波函数自然条件和边界条件定特解
阱内：
d2 2mE ( x) 2 0 dx 2
k
2
(0) 0 A 0

U(x)=0

(a) 0 B sin ka 0 （B 0）
一维无限深势阱中的自由粒子
1、势函数

U
3、分区求通解

•
x
阱内：
( x) k 2 ( x) 0
U ( x ) 0 (0 x a) U ( x ) ( x 0, x a)
2、定态薛定谔方程
U(x)=0
( x) A coskx B sin kx (0 x a) (A和B系数待定)
推动核辐射探测器的革命（GM管 1911年）
导致了玻尔量子论的产生（诺贝尔物理学奖）
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三、玻尔的原子论
有核模型的问题 不稳定 非量子 定态假设：原子处于一系列不同能量的 稳定状态（定态）当中。只要原子处于定 态当中，其电子不释放电磁波。 量子化条件：定态原子中的电子绕原子 核做圆周运动，角动量只能取 的整数 倍：
2
U U ( x, y, z )
i
2 U t 2m
2 ˆ 2 U H 2m
引入哈密顿算符
2
2m ( E U ) 0 2
薛定谔一般方程：
i
ˆ H t
波函数的物理意义
经典物理中 机械波波函数表示位移 电磁波波函数表示电场强度、磁场强度
卢瑟福的原子有核模型
（1911年）
原子的所有正电荷以及绝大部分质量都封闭在 原子内部一个极其微小的空间内，这个微小的物体， 称为原子核。电子就像行星绕太阳一样，在原子核 周围运动。
行星模型： 正电荷可能集中在 原子的中心，电子就像 行星绕着太阳运动一样， 围绕中心正电荷在各自 的轨道上运动。
J. J. Thomson
(1)能量本征值
(2)本征函数
k
n , n 1,2,3, a
k2
2mE 2
( x) B sin kx
由归一化波函数求系数B：
k
n , n 1,2,3, a
d2 2mE ( x) 2 0 dx 2
归一化条件：
得
En
E
2 2
2ma
其他还有： 质子，中子 电子的金多晶薄膜衍射 （G.P.汤姆逊1927）
测 量
角 处的反射电子束流强 I 改变加速电压U测量相应的 I （改变入射电子波的波长）
结 果
只在特定的电压（波长）出 现极大值。出现极大值的电压 与布拉格公式预期的一致。
衍射实验
三、物质波的数学描述—波函数
经典的平面波的波函数——可以描述物质波吗？
19世纪末，测量氢原子光谱，发现氢原子光谱 是一系列的不连续的线光谱。这个结果暗示：原子 的状态可能是不连续的，用现在的语言说，可能是 量子化的。由此提出了两个重要的基本问题：
原子的内部结构是什么样的？ 为什么原子状态会量子化？
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两种有趣的提议
葡萄面包模型： 原子的质量以及正电 荷均匀地分布在整个原子 当中，电子携带负电荷散 布在原子当中。
注意区别： 长岗模型
长岗半太郎
卢瑟福射线散射实验 ——有核模型的依据
卢瑟福射线散射实验的科学价值
原子有核模型（诺贝尔化学奖） 研究原子、原子核结构的实验思想 产生核反应的实验思想（一百年没变） 产生了粒子加速器思想（多个诺贝尔物理奖）
实验的定性结果： 大部分入射粒子穿过金属薄膜后几乎不 改变原来飞行方向 （原子是空旷的） 极少数的入射粒子改变飞行方向，有的 甚至反向。（原子中存在有硬又重的小东西）
四、氢原子问题—玻尔理论的应用
电子轨道半径和定态能量 由量子化条件： 圆周运动向心力 原子核的库仑力 定态能量：
频率条件：当原子从高能态E i 跃迁到低 能态E f 时发射电磁波，其频率满足：
-13.58 eV
原子能级
氢原子的能量是不连续的：
能级的跃迁
由玻尔的频率条件：
由低到高的不连续的能量序列称为能级 基态：原子最低能量状态 激发态：能量高于基态的状态 氢原子光谱的 里德伯公式：
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玻尔原子理论的贡献
nf=1 拉曼系列 nf=2巴尔末系列 nf=3帕邢系列 原子的稳定性 原子能量的量子化
玻尔理论不是系统的量子理论，它是在经典 物理的基础上，加入了一些量子化条件限制。 不能处理更多的问题： 谱线强度、宽度、寿命 多电子原子的结构
玻尔原子理论的不足
内容提要
一、物质波假说 二、电子衍射实验 三、物质波的波函数 四、不确定性原理 五、薛定谔方程
2
n2
n 1,2,3,
主量子数
n ( x) B sin
B 2 sin2
0 a
能量本征值
•
• •
能量取分立值,每一个值对应一个能级 能量或能级是量子化的 当
n xdx 1 a
n x a
( n 1,2,3, )