数学模型-第03章(第五版)ppt课件
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数学模型(第五版)
数学模型（第五版）
2018年高等教育出版社出版的图书
01 成书过程
03 教材特色 05 作者简介
目录
02 内容简介 04 教学资源
《数学模型（第五版）》是由姜启源、谢金星、叶俊编写，高等教育出版社出版的 “十二五”普通高等教育 本科国家级规划教材，适合作为高等学校各专业学生学习数学建模课程的教材和参加数学建模竞赛的辅导材第五版）习题参考解答》是为配合《数学模型（第五版）》而编写的学习指导书，书号为9787-04--4，2018年5月23日由高等教育出版社出版，170千字、128页。
《数学模型（第五版）》开通有数字课程、MOOC课程的资源。
作者简介
《数学模型（第五版）》是由姜启源、谢金星、叶俊编写。 姜启源：同济大学应用数学系教授。 谢金星：清华大学数学科学系教授。 叶俊：清华大学数学科学系教授。
内容简介
《数学模型（第五版）》共11章，包括建立数学模型、初等模型、简单的优化模型、微分方程模型、微分方 程模型、差分方程与代数方程模型、离散模型、概率模型、统计模型、博弈模型。
教材特色
教材参考中国国内外数学建模教材和教学单元，第五版在保持前四版基本结构和风格的基础上，进行补充与 修订：增加了一些实用性较强、生活气息浓烈、数学推导简化的案例，改写、合并、调整了若干案例和章节，删 除了个别案例，并对习题作了相应的修订。
全书共11章，包括建立数学模型、初等模型、简单的优化模型、微分方程模型、微分方程模型、差分方程与 代数方程模型、离散模型、概率模型、统计模型、博弈模型。
成书过程
第五版在保持前四版基本结构和风格的基础上，进行增删与修订，新增和改编的案例接近案例总数的一半， 新版本于2018年5月由高等教育出版社出版（《即数学模型（第五版）》）。
感谢观看
2018年高等教育出版社出版的图书
01 成书过程
03 教材特色 05 作者简介
目录
02 内容简介 04 教学资源
《数学模型（第五版）》是由姜启源、谢金星、叶俊编写，高等教育出版社出版的 “十二五”普通高等教育 本科国家级规划教材，适合作为高等学校各专业学生学习数学建模课程的教材和参加数学建模竞赛的辅导材第五版）习题参考解答》是为配合《数学模型（第五版）》而编写的学习指导书，书号为9787-04--4，2018年5月23日由高等教育出版社出版，170千字、128页。
《数学模型（第五版）》开通有数字课程、MOOC课程的资源。
作者简介
《数学模型（第五版）》是由姜启源、谢金星、叶俊编写。 姜启源：同济大学应用数学系教授。 谢金星：清华大学数学科学系教授。 叶俊：清华大学数学科学系教授。
内容简介
《数学模型（第五版）》共11章，包括建立数学模型、初等模型、简单的优化模型、微分方程模型、微分方 程模型、差分方程与代数方程模型、离散模型、概率模型、统计模型、博弈模型。
教材特色
教材参考中国国内外数学建模教材和教学单元，第五版在保持前四版基本结构和风格的基础上，进行补充与 修订：增加了一些实用性较强、生活气息浓烈、数学推导简化的案例，改写、合并、调整了若干案例和章节，删 除了个别案例，并对习题作了相应的修订。
全书共11章，包括建立数学模型、初等模型、简单的优化模型、微分方程模型、微分方程模型、差分方程与 代数方程模型、离散模型、概率模型、统计模型、博弈模型。
成书过程
第五版在保持前四版基本结构和风格的基础上，进行增删与修订，新增和改编的案例接近案例总数的一半， 新版本于2018年5月由高等教育出版社出版（《即数学模型（第五版）》）。
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通信原理ppt课件——第三章
输出信号
两条路径信道模型
34
频域表示 信道传输函数为
35
信道幅频特性为
若两条路径的相对时 延差 固定，则信 道的幅频特性为：
36
若两条路径的相对时延差相对时延
差
是随机参量 ，则信道的幅
频特性为：
多径传播信道的相关带宽 ——信道传输特性相邻两个零点之间的频率间隔
信道最大多径时延差
37
• 如果信号的频谱比相关带宽宽，则会产生严重的频率 选择性衰落，为了减少频率选择性衰落，就应使信号 的频谱小于相关带宽（通常选择信号带宽为相关带宽 的1/3~1/5）
（噪声）。
根据以上几条性质，调制 信道可以用一个二端口线 性时变网络来表示，该网 络称为调制信道模型：
调制信道模型
4
二端口的调制信道模型，其输出与输入的关系有
一般情况下，
可以表示为信道单位冲激响应c(t)与输入
பைடு நூலகம்
信号的卷积， c(t)的傅里叶变换C(w)是信道传输函数：
或
可看成是乘性干扰
根据信道传输函数 的时变特性的不同，将物理信道分为
21
➢自由空间传播 ——当移动台和基站天线在视距范围之内，这时
电波传播的主要方式是直射波，其传播可以按自由 空间传播来分析。
设发射机输入给天线功率为 (W)，则接收天线 上获得的功率为
22
自由空间传播损耗定义为 当发射天线增益和接收天线增益都等于1时
用 dB可表示为
自由空间传播损耗与距离d的平 方成正比，距离越远损耗越大
发送信号
单一频率正弦波
陆地移动多径传播
多径信道一共有n条路径，各条 路径具有时变衰耗和时变传输 时延且各条路径到达接收端的 信号相互独立，则接收端接收 到的合成波为
第3章 多元线性回归模型 《计量经济学》PPT课件
于是：
βˆ
ˆ1 ˆ 2
0.7226 0.0003
0.0003 1.35E 07
15674 39648400
01.0737.71072
⃟ 正规方程组 的另一种写法
对于正规方程组 XY XXβˆ
XXβˆ Xe XXβˆ
于是 Xe 0 (*)
或
ei 0
(**)
X jiei 0
i
(*) 或（ ** ）是多元线性回归模型正规方程 组的另一种写法。
第三章 经典单方程计量经济学模型： 多元线性回归模型
• 多元线性回归模型 • 多元线性回归模型的参数估计 • 多元线性回归模型的统计检验 • 多元线性回归模型的预测 • 回归模型的其他形式
§ 3. 1 多元线性回归模型
一、多元线性回归模型 二、多元线性回归模型的基本假定
一、多元线性回归模型
多元线性回归模型 : 表现在线性回归模型 中的解释变量有多个。
的秩 =k+1 ，即 X 满秩。
假设 2. 随机误差项零均值，同方差。
0
0
0
E
(μ
μ
)
E
1
n
1
n
E
12
n 1
1 n
2 n
var(1 ) cov(1, n ) 2 0
2I
cov(
n
,
1
)
var(n )
0
2
i E(i )
βˆ (xx)1 xY
ˆ0 Y ˆ1 X 1 ˆk X k
⃟ 随机误差项的方差的无偏估计
可以证明，随机误差项的方差的无偏 估计量为：
ˆ 2
ei2 n k 1
ee n k 1
数学模型姜启源 ppt课件
6
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
9 五 5－6 6.4种群的相互依存
2
7.1市场经济中的蛛网模型
10 五 5－6 7.2减肥计划-节食与运动
2
8.3层次分析模型
12 五 5－6 8.4效益的合理分配
2
9.2报童的诀窍(讨论课)
13 五 5－6 9.5随机人口模型
2
9.6航空公司的预定票策略
14 五 5－6 10.1牙膏的销售量
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学
建立数学模型的全过程
建模 （包括表述、求解、解释、检验等）
2020/11/13
12
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.2 数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
1.3 数学建模示例
1.4 数学建模的方法和步骤
1.5 数学模型的特点和分类
1.6 怎样学习数学建模
2020/11/13
8
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
数学模型
2020/11/13
1
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
课程简介
课程名称 数学模型与数学建模 Mathematical Modeling
先修课程 微积分、线性代数、概率论与数理统计 课程简介
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
9 五 5－6 6.4种群的相互依存
2
7.1市场经济中的蛛网模型
10 五 5－6 7.2减肥计划-节食与运动
2
8.3层次分析模型
12 五 5－6 8.4效益的合理分配
2
9.2报童的诀窍(讨论课)
13 五 5－6 9.5随机人口模型
2
9.6航空公司的预定票策略
14 五 5－6 10.1牙膏的销售量
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学
建立数学模型的全过程
建模 （包括表述、求解、解释、检验等）
2020/11/13
12
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.2 数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
1.3 数学建模示例
1.4 数学建模的方法和步骤
1.5 数学模型的特点和分类
1.6 怎样学习数学建模
2020/11/13
8
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
数学模型
2020/11/13
1
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
课程简介
课程名称 数学模型与数学建模 Mathematical Modeling
先修课程 微积分、线性代数、概率论与数理统计 课程简介
《数学模型》PPT课件
对于给定的动态系统，数学模型表达不 唯一。工程上常用的数学模型包括：微分方 程，传递函数和状态方程。对于线性系统， 它们之间是等价的。
建立数学模型的方法 ➢ 解析法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化 学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。
➢ 实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出 响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方 法也称为系统辨识。
控制工程基础
(第二章）
2010年
第二章 控制系统的动态数学模型
一、系统数学模型的基本概念 二、控制系统的运动微分方程 三、非线性系统数学模型的线性化 四、拉氏变换和拉氏反变换 五、传递函数以及典型环节的传递函数
六、系统函数方框图和信号流图 七、控制系统传递函数推导举例 八、系统数学模型的MATLAB实现 九、小结
进给传动装置示意图及等效力学模型
组合机床动力滑台及其力学模型
控制系统微分方程的列写
➢ 机械系统
机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可 简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：
✓ 质量
fm(t)
x (t) v (t)
m 参考点
fm (t)
m
d dt
v(t)
m
d2 dt 2
x(t)
✓ 弹簧
fk(t)
弹簧－阻尼系统
fi(t)
0
xo(t)
fi (t) fD (t) fk (t)
k
D
D
d dt
xo (t) kxo (t)
fi (t)
弹簧-阻尼系统
系统运动方程为一阶常系数 微分方程。
机械旋转系统
i(t)0
o(t) 0
k Tk(t)
J TD(t)
建立数学模型的方法 ➢ 解析法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化 学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。
➢ 实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出 响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方 法也称为系统辨识。
控制工程基础
(第二章）
2010年
第二章 控制系统的动态数学模型
一、系统数学模型的基本概念 二、控制系统的运动微分方程 三、非线性系统数学模型的线性化 四、拉氏变换和拉氏反变换 五、传递函数以及典型环节的传递函数
六、系统函数方框图和信号流图 七、控制系统传递函数推导举例 八、系统数学模型的MATLAB实现 九、小结
进给传动装置示意图及等效力学模型
组合机床动力滑台及其力学模型
控制系统微分方程的列写
➢ 机械系统
机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可 简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：
✓ 质量
fm(t)
x (t) v (t)
m 参考点
fm (t)
m
d dt
v(t)
m
d2 dt 2
x(t)
✓ 弹簧
fk(t)
弹簧－阻尼系统
fi(t)
0
xo(t)
fi (t) fD (t) fk (t)
k
D
D
d dt
xo (t) kxo (t)
fi (t)
弹簧-阻尼系统
系统运动方程为一阶常系数 微分方程。
机械旋转系统
i(t)0
o(t) 0
k Tk(t)
J TD(t)
自动控制原理第三章二阶系统的数学模型及单位阶跃响应.ppt
二、二阶系统的数学模型及单位阶跃响应
定义： 由二阶微分方程描述的系统称为二阶 系统。
➢二阶系统数学模型
二阶系统的微分方程一般式为：
dd 2c t(2t)2 ndc d (tt)n 2c(t)n 2r(t)
(n 0)
阻尼比 n 无阻尼振荡频率
二阶系统的反馈结构图
R(s)
22 nn
ss((ss 22nn))
形式，而闭环零点的微分作用，将在保证响应特性 平稳的情况下，显著地提高系统的快速性。
2.输出量的速度反馈控制
将输出量的速度信号c(t)采用负反馈形式，反馈到输 入端并与误差信号e(t)比较，构成一个内回路，称为 速度反馈控制。如下图示。
闭环传函为：
(s)C R ( (s s) )s2(2 n n K 2tn 2)s n 2
等效阻尼比：
t
1 2
Ktn
等效阻尼比增大了，振荡倾向和超调量减小，改 善了系统的平稳性。
3.比例－微分控制和速度反馈控制比较
➢从实现角度看，比例－微分控制的线路结构比较简 单，成本低；而速度反馈控制部件则较昂贵。
➢从抗干扰来看，前者抗干扰能力较后者差。
➢从控制性能看，两者均能改善系统的平稳性，在相 同的阻尼比和自然频率下，采用速度反馈不足之处是 其会使系统的开环增益下降，但又能使内回路中被包 围部件的非线性特性、参数漂移等不利影响大大削弱。
3．发展 (1)原因： ①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 修。筑权 ②修路成为中国人 救的亡强图烈存愿望。 (2)成果：1909年 京建张成铁通路车；民国以后，各条商路修筑 权收归国有。 4．制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入 正轨。
由此知道：
c(t)c1(t)c2(t)
定义： 由二阶微分方程描述的系统称为二阶 系统。
➢二阶系统数学模型
二阶系统的微分方程一般式为：
dd 2c t(2t)2 ndc d (tt)n 2c(t)n 2r(t)
(n 0)
阻尼比 n 无阻尼振荡频率
二阶系统的反馈结构图
R(s)
22 nn
ss((ss 22nn))
形式，而闭环零点的微分作用，将在保证响应特性 平稳的情况下，显著地提高系统的快速性。
2.输出量的速度反馈控制
将输出量的速度信号c(t)采用负反馈形式，反馈到输 入端并与误差信号e(t)比较，构成一个内回路，称为 速度反馈控制。如下图示。
闭环传函为：
(s)C R ( (s s) )s2(2 n n K 2tn 2)s n 2
等效阻尼比：
t
1 2
Ktn
等效阻尼比增大了，振荡倾向和超调量减小，改 善了系统的平稳性。
3.比例－微分控制和速度反馈控制比较
➢从实现角度看，比例－微分控制的线路结构比较简 单，成本低；而速度反馈控制部件则较昂贵。
➢从抗干扰来看，前者抗干扰能力较后者差。
➢从控制性能看，两者均能改善系统的平稳性，在相 同的阻尼比和自然频率下，采用速度反馈不足之处是 其会使系统的开环增益下降，但又能使内回路中被包 围部件的非线性特性、参数漂移等不利影响大大削弱。
3．发展 (1)原因： ①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 修。筑权 ②修路成为中国人 救的亡强图烈存愿望。 (2)成果：1909年 京建张成铁通路车；民国以后，各条商路修筑 权收归国有。 4．制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入 正轨。
由此知道：
c(t)c1(t)c2(t)
第三章化工过程系统动态模拟与分析ppt课件
N j
Rj (H j ),
j 1,2,...,N。
(3- 21)
其中，T、Tf分别代表反应区内和加料混合物的温度； U表示反应液体与冷却剂之间热交换的总传热系数；
A表示反应液体与冷却剂之间的总传热面；
Tc表示冷却剂平均温度； 、Cp分别代表反应混合物的平均密度与比热容； （－Hj）表示第j个反应的热效应； Rj表示第j个反应的速率； Ri表示因化学反应引起的第i个组分浓度的变化速率
排液量与时间的变化关系为：
kt
Fo ((kH 0 - Fi )e A Fi )
-0.7
H
-0.5
0 1
0
5
10
15
20
25
Time
图3-2. 搅拌罐中液位高度随时间的变化关系图
例3－2：搅拌槽内含盐量的动态模型
初始情况是槽内盛有V0的水，把浓度为Ci的盐水以恒 定流量Fi加入槽内，与此同时完全混合后的盐水以恒定 流量Fo排放，试求槽内盐水浓度C的变化规律。
其中u、u0 分别代表任一时刻和起始时刻的状态向量， μ代表未知而且待估计的参数向量。
• 模型参数估计就是为了确定参数向量µ的最优值，使限制 下的解最大限度地逼近已采集到的状态变量在不同时刻的
离散数据。
NM
Min F
i
(uid, j uic, j )2 f ( )
j
其中 F称为最优化的目标函数，或评价函数。 udi,j代表第i个状态变量在j时刻的采集数据。 uci,j代表第i个状态变量在j时刻的模型计算值，即在j
• i组分质量守恒
V
dci dt
F (ci, f
ci ) VRi ,
i 1,2,...,M。(3- 20)
(完整版)数学模型姜启源-第三章(第五版)
每天费用5000元 • 10天生产一次, 每次1000件，贮存费900+800+…+100 =4500元，准备费5000元，总计9500元.
平均每天费用950元 • 50天生产一次,每次5000件, 贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费5000元，总计127500元.
平均每天费用2550元
c2 t1x x
c3 x
其中 c1,c2,c3, t1, ,为已知参数
模型求解 求 x使 C(x)最小
dC 0 dx
x
c t 2 2c t
11
21
2c 2
3
结果解释 x c1t12 2c2t1
2c32
dB
dt
/ 是火势不继续蔓延的最少队员数
x
x 0.45
0.4 0.35
0.3 0.25
0.2 0.15
0.1 0.05
0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 a
a
1
空杯质量w2取决于材料 (纸杯、塑料杯、玻璃杯).
设w2=150g 半升啤酒杯w1=500g a=0.3 x=0.3245
一杯啤酒约剩1/3时重心最低，最不容易倾倒！
问题分析与模型假设 x
w1 ~ 啤酒 (满杯) 质量
1
w2 ~空杯侧壁质量, w3 ~空杯底面质量
啤酒杯重心s(x)由啤酒重心和空杯 重心合成.
• s2=1/2 •xs(x) 液面 • s1=x/2 0
液面高度x时啤酒质量w1x, 啤酒重心位置 s1=x/2
忽略空杯底面质量w3 空杯重心位置 s2=1/2
平均每天费用950元 • 50天生产一次,每次5000件, 贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费5000元，总计127500元.
平均每天费用2550元
c2 t1x x
c3 x
其中 c1,c2,c3, t1, ,为已知参数
模型求解 求 x使 C(x)最小
dC 0 dx
x
c t 2 2c t
11
21
2c 2
3
结果解释 x c1t12 2c2t1
2c32
dB
dt
/ 是火势不继续蔓延的最少队员数
x
x 0.45
0.4 0.35
0.3 0.25
0.2 0.15
0.1 0.05
0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 a
a
1
空杯质量w2取决于材料 (纸杯、塑料杯、玻璃杯).
设w2=150g 半升啤酒杯w1=500g a=0.3 x=0.3245
一杯啤酒约剩1/3时重心最低，最不容易倾倒！
问题分析与模型假设 x
w1 ~ 啤酒 (满杯) 质量
1
w2 ~空杯侧壁质量, w3 ~空杯底面质量
啤酒杯重心s(x)由啤酒重心和空杯 重心合成.
• s2=1/2 •xs(x) 液面 • s1=x/2 0
液面高度x时啤酒质量w1x, 啤酒重心位置 s1=x/2
忽略空杯底面质量w3 空杯重心位置 s2=1/2
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10天生产一次,平均每天费用最小吗?
问题分析与思考
• 周期短，产量小 • 周期长，产量大
贮存费少，准备费多 准备费少，贮存费多
存在最佳的周期和产量，使总费用 (二者之和) 最小.
• 是一个优化问题，关键在建立目标函数.
显然不能用一个周期的总费用作为目标函数.
目标函数——每天总费用的平均值.
模型假设
c3B
一周期总费用
Cc1c2Q 21T c3r(T 2T1)2
允许缺货的存贮模型
一周期总费用 Cc1cQ T 1cr(TT)2
2 2 1
21
3
1
每天总费用 平均值
C(T,Q) C c1c2Q2c3(rTQ)2 T T 2rT 2rT
（目标函数）
求 T ,Q C(T,Q)min
C 0, C 0 为与不允许缺货的存贮模型
已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费 每日每件1元. 试安排该产品的生产计划，即多少天生产 一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小.
要 不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与 求 需求量、准备费、贮存费之间的关系.
问题分析与思考
日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元. • 每天生产一次, 每次100件,无贮存费,准备费5000元.
1. 产品每天的需求量为常数 r； 2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2； 3. T天(一周期)生产一次, 每次生产Q件，当贮存量降
为零时，Q件产品立即生产出来 (生产时间不计)； 4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理.
建模目的
r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小.
出现缺货，造成损失. 原模型假设：贮存量降到零时
r A
Q rT 1
Q件立即生产出来(或立即到货). O T1B T
t
现假设：允许缺货, 每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足.
周期T, t=T1贮存量降到零
一周期
贮存费
c2
T1 q (t )dt
0
c2 A
一周期
缺货费
c3
T T1
q (t ) dt
分析 记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1,
每天费用5000元 • 10天生产一次, 每次1000件，贮存费900+800+…+100 =4500元，准备费5000元，总计9500元.
平均每天费用950元 • 50天生产一次,每次5000件, 贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费5000元，总计127500元.
平均每天费用2550元
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d T c1 d c1 T
1 2
c1增加1%, T增加0.5%
S(T,c2)=–1/2, S(T,r)=–1/2 c2或r增加1%, T减少0.5%
模型应用
• 回答原问题
T 2 c1 rc 2
Q rT 2c1r c2
c1=5000, c2=1，r=100
T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元)
不 允
1 TT, Q Q c3
许 缺
c3 1 T T,Q Q
货
允许 缺货
T 2c1 c2 c3 rc2 c3
q Q
模型
Q 2c1r
c 3
c2 c2 c3
r R
注意：缺货需补足
O
T1 T
t
Q~每周期初的存贮量
每周期的生产量 RrT 2c1rc2 c3
R （或订货量）
c2 c3
RQQ Q~不允许缺货时的产量(或订货量)
模 型 建 立 离散问题连续化 q
贮存量表示为时间的函数 q(t)
t=0生产Q件，q(0)=Q, q(t)以
Q r
需求速率r递减，q(T)=0.
A
=QT/2
Q rT
0
T
t
一周期贮存费为
c2
T 0
q(t)dt
c2
QT 2
一周期 总费用
C~
c1
c2
QT 2
c1
c2
rT 2 2
每天总费用平均 值（目标函数）
存贮模型
• 存贮模型(EOQ公式)是研究批量生产计划的 重要理论基础, 也有实际应用.
• 建模中未考虑生产费用, 为什么?在什么条件下 可以不考虑?
• 建模中假设生产能力为无限大(生产时间不计), 如果生产能力有限(是大于需求量的常数), 应作怎 样的改动?
问题
3.2 森林救火
森林失火后，要确定派出消防队员的数量. 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小. 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量.
思考: 为什么与前面计算的C=950元有差别?
• 用于订货供应情况: 每天需求量 r，每次订货费 c1, 每天每件贮存费 c2 , T天(周期) 订货一次,每次订货Q 件，当贮存量降到零时，Q件立即到货.
经济批量订货公式(EOQ公式)
不允许缺货的存贮模型
允许缺货的存贮模型
q
当贮存量降到零时仍有需求r, Q
T Q
相比，T记作T´, Q记作Q´.
T 2c1 c2 c3 rc2 c3
Q 2c1r c3 c2 c2 c3
允许 缺货 模型
T'
Q'
2c1
c 2
c 3
rc2 c3
2c1r
c 3
c2 c2 c3
不允许 缺货 模型
T 2c1 rc 2
Q rT 2c1r c2
记 c2 c3
c3
T T, Q Q
简 3.4 铅球掷远 单 3.5 不买贵的只买对的 优 3.6 血管分支 化 3.7 冰山运输 模 3.8 影院里的视角和仰角 型 3.9 易拉罐形状和尺寸的最优设计
问题
3.1 存贮模型
配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费. 该厂 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出.
第三章 简单优化模型
优化——工程技术、经济管理、科学研究中的常见问题. 材料强度最大 运输费用最低 利润最高 风险最小
用数学建模方法解决优化问题的过程 优化目标与决策 模型假设与建立 数学求解与分析 简单优化模型归结为函数极值问题，用微分法求解.
属于数学规划的优化模型在第四章讨论.
第 3.1 存贮 模型 三 3.2 森林救火 章 3.3 倾倒的啤酒杯
C(T)C ~c1c2rT TT 2
模型求解 求 T 使C(T)c1c2rTmin
T2
dC 0 dT
模型解释
T 2 c1 rc 2
Q rT 2c1r c2
定性分析 c1T,Q c2T,Q rT,Q
敏感性分析 参数c1,c2, r的微小变化对T,Q的影响
T对c1的(相 对)敏感度
ΔT/T S(T,c1) Δc1 /c1
问题分析与思考
• 周期短，产量小 • 周期长，产量大
贮存费少，准备费多 准备费少，贮存费多
存在最佳的周期和产量，使总费用 (二者之和) 最小.
• 是一个优化问题，关键在建立目标函数.
显然不能用一个周期的总费用作为目标函数.
目标函数——每天总费用的平均值.
模型假设
c3B
一周期总费用
Cc1c2Q 21T c3r(T 2T1)2
允许缺货的存贮模型
一周期总费用 Cc1cQ T 1cr(TT)2
2 2 1
21
3
1
每天总费用 平均值
C(T,Q) C c1c2Q2c3(rTQ)2 T T 2rT 2rT
（目标函数）
求 T ,Q C(T,Q)min
C 0, C 0 为与不允许缺货的存贮模型
已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费 每日每件1元. 试安排该产品的生产计划，即多少天生产 一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小.
要 不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与 求 需求量、准备费、贮存费之间的关系.
问题分析与思考
日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元. • 每天生产一次, 每次100件,无贮存费,准备费5000元.
1. 产品每天的需求量为常数 r； 2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2； 3. T天(一周期)生产一次, 每次生产Q件，当贮存量降
为零时，Q件产品立即生产出来 (生产时间不计)； 4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理.
建模目的
r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小.
出现缺货，造成损失. 原模型假设：贮存量降到零时
r A
Q rT 1
Q件立即生产出来(或立即到货). O T1B T
t
现假设：允许缺货, 每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足.
周期T, t=T1贮存量降到零
一周期
贮存费
c2
T1 q (t )dt
0
c2 A
一周期
缺货费
c3
T T1
q (t ) dt
分析 记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1,
每天费用5000元 • 10天生产一次, 每次1000件，贮存费900+800+…+100 =4500元，准备费5000元，总计9500元.
平均每天费用950元 • 50天生产一次,每次5000件, 贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费5000元，总计127500元.
平均每天费用2550元
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d T c1 d c1 T
1 2
c1增加1%, T增加0.5%
S(T,c2)=–1/2, S(T,r)=–1/2 c2或r增加1%, T减少0.5%
模型应用
• 回答原问题
T 2 c1 rc 2
Q rT 2c1r c2
c1=5000, c2=1，r=100
T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元)
不 允
1 TT, Q Q c3
许 缺
c3 1 T T,Q Q
货
允许 缺货
T 2c1 c2 c3 rc2 c3
q Q
模型
Q 2c1r
c 3
c2 c2 c3
r R
注意：缺货需补足
O
T1 T
t
Q~每周期初的存贮量
每周期的生产量 RrT 2c1rc2 c3
R （或订货量）
c2 c3
RQQ Q~不允许缺货时的产量(或订货量)
模 型 建 立 离散问题连续化 q
贮存量表示为时间的函数 q(t)
t=0生产Q件，q(0)=Q, q(t)以
Q r
需求速率r递减，q(T)=0.
A
=QT/2
Q rT
0
T
t
一周期贮存费为
c2
T 0
q(t)dt
c2
QT 2
一周期 总费用
C~
c1
c2
QT 2
c1
c2
rT 2 2
每天总费用平均 值（目标函数）
存贮模型
• 存贮模型(EOQ公式)是研究批量生产计划的 重要理论基础, 也有实际应用.
• 建模中未考虑生产费用, 为什么?在什么条件下 可以不考虑?
• 建模中假设生产能力为无限大(生产时间不计), 如果生产能力有限(是大于需求量的常数), 应作怎 样的改动?
问题
3.2 森林救火
森林失火后，要确定派出消防队员的数量. 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小. 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量.
思考: 为什么与前面计算的C=950元有差别?
• 用于订货供应情况: 每天需求量 r，每次订货费 c1, 每天每件贮存费 c2 , T天(周期) 订货一次,每次订货Q 件，当贮存量降到零时，Q件立即到货.
经济批量订货公式(EOQ公式)
不允许缺货的存贮模型
允许缺货的存贮模型
q
当贮存量降到零时仍有需求r, Q
T Q
相比，T记作T´, Q记作Q´.
T 2c1 c2 c3 rc2 c3
Q 2c1r c3 c2 c2 c3
允许 缺货 模型
T'
Q'
2c1
c 2
c 3
rc2 c3
2c1r
c 3
c2 c2 c3
不允许 缺货 模型
T 2c1 rc 2
Q rT 2c1r c2
记 c2 c3
c3
T T, Q Q
简 3.4 铅球掷远 单 3.5 不买贵的只买对的 优 3.6 血管分支 化 3.7 冰山运输 模 3.8 影院里的视角和仰角 型 3.9 易拉罐形状和尺寸的最优设计
问题
3.1 存贮模型
配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费. 该厂 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出.
第三章 简单优化模型
优化——工程技术、经济管理、科学研究中的常见问题. 材料强度最大 运输费用最低 利润最高 风险最小
用数学建模方法解决优化问题的过程 优化目标与决策 模型假设与建立 数学求解与分析 简单优化模型归结为函数极值问题，用微分法求解.
属于数学规划的优化模型在第四章讨论.
第 3.1 存贮 模型 三 3.2 森林救火 章 3.3 倾倒的啤酒杯
C(T)C ~c1c2rT TT 2
模型求解 求 T 使C(T)c1c2rTmin
T2
dC 0 dT
模型解释
T 2 c1 rc 2
Q rT 2c1r c2
定性分析 c1T,Q c2T,Q rT,Q
敏感性分析 参数c1,c2, r的微小变化对T,Q的影响
T对c1的(相 对)敏感度
ΔT/T S(T,c1) Δc1 /c1