运筹学基础对偶线性规划(2)
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运筹学基础-对偶线性规划(2)
用单纯形法同时求解原问题和对偶问题
原问题是：
maxZ=2x1 +x2 5x2 ≤15 6x1 + 2x2 ≤ 24 x1 + x2 ≤ 5 x1 , x2 ≥0
5x2 +x3 =15 6x1 + 2x2 +x4 = 24 x1 + x2 +x5 = 5 xi ≥0
原问题的标准型是：maxZ=2x1 +x2+0x3+0x4 +0x5
b
15 24 5 0
x1 0 6 1 2
比 值
-
24/6=4
5/1=5
检验数j
对偶问题剩余变量 y4、y5
对偶问题变量 y1、y2 、y3
检验数行的－ (cj-zj)值是其对偶问题的一个基本解yi ；
原问题变量
0 2
原问题松驰变量
1 0 0 0 0 1/6 -1/6 -1/3 0 0 1 0
3
x3 x1
x2 1 检验数j= cj-zj
-1/4 -1/2
对偶问题剩余变量 y4、y5
对偶问题变量 y1、y2 、y3
此时得原问题最优解:X*=(7/2,3/2,15/2,0,0)T，Z*=17/2 则对偶问题最优解:Y*=(0,1/4,1/2,0,0)T，S*=17/2
又例：用单纯形法同时求解原问题和对偶问题
定理6（互补松弛定理）
在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束条件的 对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式；反之如果约 束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定为零。
注：证明过程参见教材59页性质5证明
讨论:
互补松弛定理也称松紧定理，它描述了线性规划达到最
运筹学课件 第2章：线性规划的对偶理论
min w 16y1 36y2 65y3
90 y1 3 y 2 y1 2 y 2 5 y 3 70 y , y , y 0 1 2 3
原问题 A b C 约束系数矩阵
对偶问题 约束系数矩阵的转臵
约束条件的右端项向量 目标函数中的价格系数向量 目标函数中的价格系数向量 约束条件的右端项向量 Max z=CX Min w=Y’b 目标函数 AX≤b A’Y≥C’ 约束条件 X≥0 Y≥0 决策变量
若原问题为求极小形式的对称形式线性规划问题， 对偶问题应该具有什么形式？
Min w Y 'b A'Y C Y 0
max w Y 'b A'Y C Y 0
min z CX
Max z CX
AX b X 0
AX b X 0
min w 5 y1 4 y2 6 y3 4 y1 3 y2 2 y3 2 y1 2 y2 3 y3 3 3 y1 4 y3 5 2 y 7 y y 1 2 3 1 y1 0, y2 0, y3无约束
对偶问题 约束系数矩阵的转臵
目标函数中的价格系数向量
目标函数 约束条件
变量
Max z=CX m个 ≤ ≥ = n个 ≥0 ≤0 无约束
约束条件的右端项向量 目标函数 Min w=Y’b m个 ≥0 变量 ≤0 无约束 n个 ≥ 约束条件 ≤ =
【例2-3】写出下列线性规划问题的对偶问题
min 2x1 3x2 5x3 x4
1.初始表中单位阵在迭代后单纯形表中对应的位臵就是B-1 2.对于原问题的最优解，各松弛变量检验数的相反数恰好 是其对偶问题的一个可行解，且两者具有相同的目标函数 值。根据下面介绍的对偶问题的基本性质还将看到，若原 问题取得最优解，则对偶问题的解也为最优解。
运筹学课件第二章对偶问题
第二章线性规划的对偶理论与灵敏度分析一、学习目的与要求 1、掌握对偶理论及其性质 2、掌握对偶单纯形法3、熟悉灵敏度分析的概念和内容4、掌握限制常数与价值系数、约束条件系数的变化对原最优解的影响5、掌握增加新变量和增加新的约束条件对原最优解的影响，并求出相应因素的灵敏度范围6、了解参数线性规划的解法 二、课时 6学时第一节 线性规划的对偶问题一、对偶问题的提出定义：一个线性规划问题常伴随着与之配对的、两者有密切联系的另一个线性规划问题，我们将其中一个称为原问题，另一个就称为对偶问题，在求出一个问题的解时，也同时给出了另一问题的解。
应用：在某些情况下，解对偶问题比解原问题更加容易；对偶变量有重要的经济解释(影子价格)；作为灵敏度分析的工具；对偶单纯形法(从一个非可行基出发，得到线性规划问题的最优解)；避免使用人工变量(人工变量带来很多麻烦，两阶段法则增加一倍的计算量)。
例：某家具厂木器车间生产木门与木窗；两种产品。
加工木门收入为56元/扇，加工木窗收入为30元/扇。
生产一扇木门需要木工4小时，油漆工2小时；生产一扇木窗需要木工3小时，油漆工1小时；该车间每日可用木工总共时为120小时，油漆工总工时为50小时。
问：(1)该车间应如何安排生产才能使每日收入最大？(2)假若有一个个体经营者，手中有一批木器家具生产订单。
他想利用该木器车间的木工与油漆工来加工完成他的订单。
他就要考虑付给该车间每个工时的价格。
他可以构造一个数学模型来研究如何定价才能既使木器车间觉得有利可图而愿意为他加工这批订单、又使自己所付的工时费用最少。
解(1)：设该车间每日安排生产木门x1扇，木窗x2扇，则数学模型为⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=-0502120343056max 21212121x x x x x x x zX*=(15,20)’ Z*=1440元解(2)：设y 1为付给木工每个工时的价格，y 2为付给油工每个工时的价格⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=-0303562450120min 21212121y y y y y y y wY*=(2,24)’ W*=1440元将上述问题1与问题2称为一对对偶问题，两者之间存在着紧密的联系与区别：它们都使用了木器生产车间相同的数据，只是数据在模型中所处的位置不同，反映所要表达的含义也不同。
运筹学--第二章 线性规划的对偶问题
习题二2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题(1) max z ＝10x1＋x2＋2x3(2) max z ＝2x1＋x2＋3x3＋x4st. x1＋x2＋2 x3≤10 st. x1＋x2＋x3 ＋x4≤54x1＋x2＋x3≤20 2x1－x2＋3x3＝－4x j≥0 （j＝1,2,3）x1－x3＋x4≥1x1，x3≥0，x2，x4无约束(3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4(4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3≥15x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3≤202x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝x1－x2－x3＝－5 x1≥0，x4≤0，x2，，x3无约束x1≤0，x2≥0，x3无约束2.2 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b，X≥0。
分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化：（1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）；（2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上；（3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）；'x代换。
（4）模型中全部x1用312.3 已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4st. x1＋2x2＋x4≥33x1＋x2＋x3＋x4≥6x3 ＋x4＝2x1 ＋x3 ≥2x j≥0（j＝1,2,3,4）(1) 写出其对偶问题；(2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
2.4 已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4 对偶变量st. 2x1 ＋x3＋x4≤8 y12x1＋2x2＋x3＋2x4≤12 y2x j≥0（j＝1,2,3,4）对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试对偶问题的性质，求出原问题的最优解。
2.5 考虑线性规划问题max z＝2x1＋4x2＋3x3st. 3x1＋4 x2＋2x3≤602x1＋x2＋2x3≤40x1＋3x2＋2x3≤80x j≥0 （j＝1,2,3）４７４８（1）写出其对偶问题（2）用单纯形法求解原问题，列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解；（3）用对偶单纯形法求解其对偶问题，并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶问题的解；（4）比较（2）和（3）计算结果。
运筹学02对偶理论1线性规划的对偶模型,对偶性质
min Z 4 y1 y2 4 y1 y2 5 y 7 y 2 1 2 y1 5 y2 3 y1 0, y2 0
3.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
【例3.3】 写出下列线性规划的对偶问题
3.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
价格不可能小于零，即有yi≥0(i=1, …,4), 从而企业的资源价格 模型为
min w 36 y1 40 y2 76 y3 3 y1 5 y2 9 y3 32 4 y1 4 y2 8 y3 30 y 0, i 1, ,3 i
(2)原问题的目标函数系数对应于对偶问题的右端项
(3)原问题的右端项对应于对偶问题的目标函数系数 (4)原问题的约束矩阵转置就是对偶问题系数矩阵
(5)原问题求最大，对偶问题是求最小
(6)原问题不等式约束符号为“≤”,对偶问题不等式约束符号为“≥”
3.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
y1 y 2 1 1 y1 y 2 2 2 y , y 0 1 2
有可行解，由结论(3)知必有无界解。
3.2 对偶性质 Dual property
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
【性质3】最优准则定理: 设X*与Y*分别是(LP)与(DP) 的可行解，则X*、Y*是(LP)与(DP)的最优解当且仅当 C X*= Y*b . 【性质4】对偶性：若互为对偶的两个问题其中一个有 最优解，则另一个也有最优解，且最优值相同。 另一结论：若 (LP) 与 (DP) 都有可行解，则两者都有最优 解，若一个问题无最优解，则另一问题也无最优解。 【性质5】互补松弛定理: 设X*、Y*分别为 (LP) 与 (DP) 的可行解，XS和YS分别是它们的松弛变量的可行解，则 X*和Y*是最优解当且仅当
运筹学2对偶问题
§2.1线性规划的对偶模型 Dual model of LP
Ch2 Dual Problem
2019/9/19
Page 11 of 19
在例2.1中，原问题的最优解X＝（24.24，0，46.96） 对偶问题的最优解Y＝（10.6，0.91，0，0） 最优值z=w=5712.12
分析：
1. y1=10.6说明在现有的资源限量的条件下，增加 一个单位第一种资源可以给企业带来10.6元的利润； 如果要出售该资源，其价格至少在成本价上加10.6元。
1
1
3
5 x
x
2
2
8 10
x 1 0 , x 2 0
【解】这是一个对称形式的线性规划，它的对偶问题求最
小值，有三个变量且非负，有两个“ ≥”约束，即
min w 6 y1 8 y2 10 y3
5 y1 7 y2 y3 4 y1 2 y2 3y3 3 yi 0, i 1,2,3
§2.1线性规划的对偶模型 Dual model of LP
Ch2 Dual Problem
2019/9/19
Page 16 of 19
若给出的线性规划不是对称形式，可以先化成对称形式再 写对偶问题。也可直接按表2－1中的对应关系写出非对称 形式的对偶问题。
例如，原问题是求最小值，按表2-1有下列关系：
及食物价格如下表，试建立此人在满足健康需要的基础上
花费最少的数学模型。
含量 食物
营养成分
一
二
三 四 五 六 需要量
A
13 25 14 40 8 11 ≥80
B
24
9
30 25 12 15 ≥150
运筹学课件第二章线性规划的对偶理论及其应用
对偶问题同时解
– 原问题为基础可行解，对偶问题为非可行解，但满足
互补松弛条件；则当对偶问题为可行解时，取得最优 解
13
2.2.5 原问题检验数与对偶问题的解
• 在主对偶定理的证明中我们有：对偶(min型)变量的最 优解等于原问题松弛变量的机会成本，或者说原问题松 弛变量检验数的绝对值
• 容易证明，对偶问题最优解的剩余变量解值等于原问题 对应变量的检验数的绝对值
1
1/2 5/2
1
1
0
1/2 3/2
0
0
0
1/2 3/2
OBJ=
39
9/2
3
6
6
0
3/2
3/2
cj - zj
1/2
0
0
0
0
3/2 -M-3/2
0
x4
4
0
0
1
1
1
1
3
5
x1
6
1
0
2
2
0
1
1
3
x2
4
0
1
1
(1)
0
1
2
OBJ=
42
5
3
7
7
0
2
1
cj - zj
0
0
1
1
0
2 -M+1
0
x4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8
0
1
0
0
1
0
1
5
x1
数值，
g(Y0)=Y0b= CBB1 b
而原问题最优解的目标函数值为
f(X0)=CX0= CBB1 b 故由最优解判别定理可知Y0 为对偶问题的最优解。证毕。
– 原问题为基础可行解，对偶问题为非可行解，但满足
互补松弛条件；则当对偶问题为可行解时，取得最优 解
13
2.2.5 原问题检验数与对偶问题的解
• 在主对偶定理的证明中我们有：对偶(min型)变量的最 优解等于原问题松弛变量的机会成本，或者说原问题松 弛变量检验数的绝对值
• 容易证明，对偶问题最优解的剩余变量解值等于原问题 对应变量的检验数的绝对值
1
1/2 5/2
1
1
0
1/2 3/2
0
0
0
1/2 3/2
OBJ=
39
9/2
3
6
6
0
3/2
3/2
cj - zj
1/2
0
0
0
0
3/2 -M-3/2
0
x4
4
0
0
1
1
1
1
3
5
x1
6
1
0
2
2
0
1
1
3
x2
4
0
1
1
(1)
0
1
2
OBJ=
42
5
3
7
7
0
2
1
cj - zj
0
0
1
1
0
2 -M+1
0
x4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8
0
1
0
0
1
0
1
5
x1
数值，
g(Y0)=Y0b= CBB1 b
而原问题最优解的目标函数值为
f(X0)=CX0= CBB1 b 故由最优解判别定理可知Y0 为对偶问题的最优解。证毕。
运筹学线性规划的对偶问题
例5 已知线性规划问题 minω = 2x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 x1 + x2 + 2x3 + x4 + 3x5 ≥ 4 2x1 - x2 + 3x3 + x4 + x5 ≥ 3 xj ≥ 0,j = 1,2,3,4,5
已知其对偶问题的最优解为y1* = 4/5, y2* = 3/5；z = 5。试用对偶理论找 出原问题的最优解.
试用对偶理论证明上述线性规划问题无最优解。
证: 首先看到该问题存在可行解，例如X = (0,0,0) 而上述问题的对偶问题为
minω = 2y1 + y2 -y1 - 2y2 ≥ 1 y1 + y2 ≥ 1 y1 - y2 ≥ 0 y1 ,y2 ≥ 0
由第一约束条件可知对偶问题无可行解，因而无最优解。由此 原问题也无最优解。
0 0
无约束
m个
约束条件
=
约束条件右端项 目标函数变量的系数
对偶问题（或原问题） 目标函数 min
n个
约束条件
=
m个
0 0
变量
无约束
目标函数变量的系数
约束条件右端项
原问题中的价值向量与对偶问题中的资源向量对换（上下对换） 原问题: X在C和A的右边;
xj yi
y1 y2 ┇ ym
对偶关系 maxZ
x1 x2 ┅ xn
a11 a12 ┅ a1n a21 a22 ┅ a2n ┇┇ ┇ am1 am2 ┅ amn ≥≥┅≥ c1 c2 ┅ cm
原关 minω 系
≤
运筹学第二章线性规划的对偶理论
(5.5) (5.6)
4.3 对偶问题的基本性质
证： 设B是一可行基，于是A=(B,N)
max z=CBXB+ CNXN BXB+BXN +Xξ=b X,XB,Xξ ≥0
其中Yξ=(Yξ1, Yξ2)
min ω =Yb YB－Yξ1=CB YN－Yξ2=CN Y, Yξ1 Yξ2 ≥0
(5.5) (5.6)
x1﹐x2 ≥0
关系？
对原模型设： 1 2
A= 4 0 b=(8,16,12)T C=(2，3) 04
X=（x1，x2）T Y=（y1，y2 ，y3 ） 则可得:
4.1 对偶问题的提出
min ω=8 y1+16y2 +12y3
y1+4y2
≥2
2 y1 +4y3≥3
与
y1 ， y2 ，y3≥0 12
max z＝2x1+3x2 x1＋ 2x2 ≤8
4x1
≤16
4x2 ≤12
x1﹐x2 ≥0
有何关 系？
对愿模型设： A= 4 0 04
b=(8,16,12)T C=(2，3)
X=（x1，x2）T
Y=（y1，y2 ，y3 ） 则可得:
max z=CX AX≤b （5.1） 和
min ω =Yb YA ≥ C （5.2）
120
A=
1 -3
0 2
1 1
1 -1 1
b=(2,3,-5,1)T C=(5,4, 6)
确定约束条件
YA
C
x1 ≥0 ﹐x2≤0, x3 无约束
解：因原问题有3个变 于是 量，4个约束条件， 所以对偶问题4个 变量，3个约束条
运筹学第2章-线性规划的对偶理论
❖ 影子价格不是市场价格，而是在现有技术和管理条件下， 新增单位资源所能够创造的价值，是特定企业的一种边 际价格；不同企业或同一企业不同时期，同种资源的影 子价格可能不同；当市场价格高于影子价格，可以卖出； 相反，则应买进，以获取更大收益
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0
运筹学基础及应用第2章-线性规划的对偶问题(胡运权版)教程文件
2 x 1 2 x 2 12
s
.t
x 4
1
x
1
2
x2 16
8
4
x2
12
x 1 , x 2 0
反过来问：若厂长决定不生 产甲和乙型产品，决定出租 机器用于接受外加工，只收 加工费，那么４种机器的机 时如何定价才是最佳决策？
1.对偶问题的提出
在市场竞争的时代，厂长的最佳决策显然应符合两条：
对偶问题的基本性质minmax的某个约束条件的右端项常数bi第i种资源的拥有量增加一个单位时所引起目标函数最优值z的改变量称为第i种资源的影子价格其值等于d问题中对偶变量y影子价格的经济意义1影子价格是一种边际价格在其它条件不变的情况下单位资源数量的变化所引起的目标函数最优值的变化
运筹学基础及应用
Operations Research
1 . min Z 2 x 1 2 x 2 4 x 3
2x1 3x 2 5x 3 2
3
x
1
x 2 7x 3 3
x1 4x 2 6x 3 5
x 1 , x 2 , x 3 0
2 . min Z 3 x 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4
x1 2x 2 3x 3 4x 4 3
4
0
0
4
16
12
2
3
minω
max z
对偶性是线性规划问题的最重要的内容之一。每一个线性规划（ LP ） 必然有与之相伴而生的另一个线性规划问题，即任何一个求 maxZ 的LP都 有一个求 minZ 的LP。其中的一个问题叫“原问题”，记为“P”，另一个 称为“对偶问题”，记为“D”。
2.原问题与对偶问题
2. 原问题与对偶问题的对应关系
运筹学：第2章 线性规划的对偶理论
y1 y2
ym
2021/4/18
12
类似于前面的资源定价问题，每一个约束条件对 应一个“ 对偶变量”，它就相当于给各资源的单 位定价。于是我们有如下的对偶规划：
min W b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1 a12y1 a22y2 am2ymc2 a1n y1 a2n y2 amn ym cn y1, y2 ,, ym 0
1/5
0
-4/5
1
1/5 -1/5
j
0
4
0
3
3
x3
x4
x5
x1
x2
2021/4/18
31
§4 影子价格
假设有原问题和对偶问题如下：
max Z CX
minW bTY
AX b
ATY CT
X 0
Y 0
1、 对偶变量 yi 可理解为对一个单位第 i 种资源
的估价，称为影子价格，但并非市场价格。
2、 对偶变量 yi 的值（即影子价格）表示第 i 种资
若
n
yˆi 0, 则 aij x j bi ;
j 1
n
若
aij x j bi , 则yˆi 0.
j 1
2021/4/18
25
证明 由弱对偶性知：
n
mn
m
c j xˆ j
aij xˆ j yˆi bi yˆi
j 1
i1 j1
i 1
又因在最优解中 应为等式，即有
n
m
c j xˆ j bi yˆi
可以先将原问题化成规范的原问题，再写出对偶 问题。
2021/4/18
《运筹学》第二章 对偶问题
3 x1 2 x2
7x4 4
2 x1 3 x2 4 x3 x4 6
x1 0, x2 , x3 0, x4无 约 束
解：原问题的对偶问题为
mi nW 5 y1 4 y2 6 y3
4 y1 3 y2 2 y3 2
20
一组互为对偶的线性规划问题的解之间只有 下列三种情况:
(1)两个规划问题都有可行解(此时,两个规划问题都有最优 解,且最优值相等);
(2)两个规划问题都不可行; (3) 一个规划问题不可行,另一个规划问题有可行解,且具有
无界解。
21
（4）互补松弛性： 在线性规划问题的最优解中，
则 aij xj * = bi ；
bi , 则 y i* = 0 (4)’ 互补松弛性：
在线性规划问题的最优解中， 则 aij yi * = cj ；
>cj , 则 xj* = 0
n
若 y i * >0,
j=1 n
若 a ij xj * <
j=1
m
若 x j * >0,
i=1 m
若 a ij yi*
i=1 22
m
= 证b：i y∵i*
y1 3 y1
2 y2
3 y3 4 y3
3 5
2 y1 7 y2 y3 1
y1
0,
y2
0,
y
无
3
约
束
对偶问题的对 偶还是原问题
14
• 练习 写出下列线性规划问题的对偶问题.
max Z 4x1 3x2 2x3
4x1
运筹学-第二章 线性规划的对偶理论
解：用（-1）乘以第二个约束方程 两边 min S=x1+2x2 +3x3 2x1+3x2 + 5x3 ≥ 2 y1 -3x1- x2 - 7x3 ≥ -3 y2 x1 ，x2 ， x3 ≥ 0
s.t.
该问题的对偶问题： 该问题的对偶问题：
max z = 2 y1 - 3y2 s.t. 2y1- 3y2 ≤ 1 3y1- y2 ≤ 2 5y1- 7y2 ≤ 3 y 1， y 2 ≥ 0
例2-6：写出下列线性规划问题的 对偶问题 s.t. min S = 2x1 + 3x2 - 5x3 x1 + x2 - x3 ≥ 5 2x1 + x3 = 4 x1 ，x2 ， x3 ≥ 0
解：将原问题的约束方程写成不等式 约束形式： 约束形式： min S = 2x1 + 3x2 - 5x3 x1 + x2 - x3 ≥ 5 y1 2x1 + x3 ≥ 4 y 2’ -2x1 - x 3 ≥ -4 y 2” x1 ，x2 ， x3 ≥ 0
例：max Z=2x1+3x2 max s.t. 2x1+2x2 +x3≤ 12 4x1 +x4≤ 16 5x2+x5 ≤15 x1,x2 ≥ 0
原问题变量 原问题松弛变量
CB 基 2 x1 0 x4 3 x2 Cj-zj
b 3 4 3
x1 1 0 0 0
x2 0 0 1 0
x3 -2 0 -1
如果模型(2.1)称为原问题， 如果模型(2.1)称为原问题， (2.1)称为原问题 则模型(2.2)称为对偶问题。 则模型(2.2)称为对偶问题。 (2.2)称为对偶问题 任何线性规划问题都有对偶问题， 任何线性规划问题都有对偶问题， 而且都有相应的意义。 而且都有相应的意义。
运筹学第2章线性规划的对偶问题
第2章 线性规划的对偶理论 与灵敏度分析
§2.1 线性规划的对偶问题
随着线性规划应用的逐步加深，人们发现每一个线性规 划问题都存在一个与之对应的、具有密切关联的线性规 划问题，其中一个称为原问题，另一个称为对偶问题 （Dual linear programming，DLP）。对偶问题不仅具有 优良的数理性质，而且还有着重要的实际意义，尤其在 生产运营管理中有明显的经济含义。对偶理论充分显示 出线性规划理论逻辑上的严谨性和结构上的对称性，使 线性规划理论更加丰富，应用领域更为广泛。
yi 0 (i 1,2,3)
则得如下的线性规划模型：
min w 48 y1 20 y2 8 y3 8 y1 4 y2 2 y3 600 6 y 2 y2 1.5 y3 300 s.t. 1 y1 1.5 y2 0.5 y3 200 y , y , y 0 1 2 3
max z 2 y1 5 y2 9 y3 y1 3 y2 2 y3 3 2 y y 2 y 1 1 2 3 5 y1 y2 3 y3 1 y1无约束,y2 0, y3 0,
max z 600 x1 300 x2 200 x3 8 x1 6 x2 x3 48 4 x1 2 x2 1.5 x3 20 s.t 2 x1 1.5 x2 0.5 x3 8 x , x , x 0 1 2 3
x1 2, x2 0, x3 8
（2.1.6）
设 yi (i 1,2,, m) 表示第i种资源的定价，则其对偶问 题的形式为：
min w b1 y1 b2 y2 ... bm ym a11 y1 a21 y2 ... am1 ym c1 a y a y ... a y c 12 1 22 2 m2 m 2 s.t. a y a y ... a y c mn m n 1n 1 2 n 2 y1 , y2 , , ym 0
§2.1 线性规划的对偶问题
随着线性规划应用的逐步加深，人们发现每一个线性规 划问题都存在一个与之对应的、具有密切关联的线性规 划问题，其中一个称为原问题，另一个称为对偶问题 （Dual linear programming，DLP）。对偶问题不仅具有 优良的数理性质，而且还有着重要的实际意义，尤其在 生产运营管理中有明显的经济含义。对偶理论充分显示 出线性规划理论逻辑上的严谨性和结构上的对称性，使 线性规划理论更加丰富，应用领域更为广泛。
yi 0 (i 1,2,3)
则得如下的线性规划模型：
min w 48 y1 20 y2 8 y3 8 y1 4 y2 2 y3 600 6 y 2 y2 1.5 y3 300 s.t. 1 y1 1.5 y2 0.5 y3 200 y , y , y 0 1 2 3
max z 2 y1 5 y2 9 y3 y1 3 y2 2 y3 3 2 y y 2 y 1 1 2 3 5 y1 y2 3 y3 1 y1无约束,y2 0, y3 0,
max z 600 x1 300 x2 200 x3 8 x1 6 x2 x3 48 4 x1 2 x2 1.5 x3 20 s.t 2 x1 1.5 x2 0.5 x3 8 x , x , x 0 1 2 3
x1 2, x2 0, x3 8
（2.1.6）
设 yi (i 1,2,, m) 表示第i种资源的定价，则其对偶问 题的形式为：
min w b1 y1 b2 y2 ... bm ym a11 y1 a21 y2 ... am1 ym c1 a y a y ... a y c 12 1 22 2 m2 m 2 s.t. a y a y ... a y c mn m n 1n 1 2 n 2 y1 , y2 , , ym 0
运筹学基础对偶线性规划2
y1 , y2 , y3 , y4 , y5 ≥ 0
y1 , y2 , y3 , y4 , y5 ≥ 0
maxw’= -15y1-24y2-5y3 +0y4 +0y5
-6y2 - y3 + y4 = - 2 最优解:Y*=(0,1/4,1/2,0,0)T，maxw*=-17/2
-5y1 -2y2 -y3 + y5 = - 1 y1 , y2 , y3 , y4 , y5 ≥ 0
一、 用对偶单纯形方法解线性规划
对偶单纯形方法是使用对偶原理求解原问题解的一种方法， 而不是求解对偶问题解的单纯形方法。与对偶单纯形方法相对 应，原已有的单纯形方法称原始单纯形方法。
用对偶单纯形方法解下述线性规划问题
原问题是： minZ=15y1+24y2+5y3 6y2+y3 ≥ 2
5y1 +2y2 +y3 ≥1 y1 , y2 , y3 ≥ 0
§2.4 影子价格
从对偶问题的基本性质可以看出，在单纯形法的每步迭 代中有目标函数
n
m
z cjxj biyi
j1
i1
其中不是市场价格，而是根据资源在生产中
的贡献而作的估价。此时的定价区别于市场价格称为影子价
格。
说明
1
0
-3
0
-2
1 -3
0
1
-4
-W’ -2 -3 -4
0
0
0
0
0 -5/2 1/2 1 -1/2 -1
～
0
1 -1/2 3/2 0 -1/2 2
-W’ 0
-4 -1
0
-1
4
0
0
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y1 +2y2 +y3 ≤ 3
-3y1 +y3 ≤ -5
y1 -y2 +y3＝1
y1 ≥ 0, y2 , y3 ≤ 0
对偶问题（或原问题） 目标函数最大化（ maxZ）
n 个约束 m 个变量 目标函数价值向量（系数） 约束条件限定向量
≤ 约束 ≥
＝
≥0 变量 ≤ 0
无限制
§2.2 线性规划的对偶理论
n 个变量 m 个约束 约束条件限定向量（右边项） 目标函数价值向量
≥0 变量 ≤ 0
无限制
对偶问题（或原问题） 目标函数最大化（ maxZ）
n 个约束 m 个变量 目标函数价值向量（系数） 约束条件限定向量
≤ 约束 ≥
＝
-2 x1
x3 3
≥ 约束 ≤
≥0 变量 ≤ 0
x1,x2,x3
＝
无限制
原问题线性规划模型 对偶线性规划模型
max f 2x1 3x2 min g 8y1 16 y2 12 y3
x1 2 x2 8 s.t.44x1xx,12x2 11620
s.t.
y1 4y2 2 2y1 4y3 3
yi 0,i 1,2,3
下列的表给出了原问题模型和模型的对应关系，这些也可以
≥ 约束 ≤
＝
≥ 约束 ≤
＝
反号
Hale Waihona Puke ≤0 变量 ≥ 0无限制
原问题(maxZ)与对偶之关系：
原问题 目标函数max
对偶问题 目标函数min
n个
变 量
无 00约束
n个 约
束
条
件
原问题(maxZ)口诀: 变量决定约束是同号
约 m个
束 条 件
m个
0
变
0
量
无约束
原问题(maxZ)口诀: 约束决定变量是反号
原问题(minS)口诀: 变量决定约束是反号
约 m个
束 条 件
m个
无 00约束
变 量
原问题(minS)口诀: 约束决定变量是同号
例2 写出下列问题的对偶问题：
Min S x1 - 3x2 4x3
s.t.
2x 1-4 x2 x3 1
- x1 3x2 2x3 -4
原问题（或对偶问题） 目标函数最小化 (minS)
工厂把所有设备台时和资源都出租和出让，其收入为：
min g 8y1 16 y2 12 y3
工厂改变策略以后的数学模型为：
min g 8y1 16y2 12y3
用户所付租金最少
s.t.
y1 4y2 2 2y1 4y3 3
yi 0, i 1,2,3
工厂获得相应利润
原模型和对偶模型既有联系又有区别
原（对偶）问题一定无界； 注:此定理可以判定解的情况
一般是：
cx≤yb
定理4 （可行解是最优解的性质） 设X*是原问题的可行解，Y*是对偶问题的可行解，当
(P) max Z= cx s.t. Ax ≤b x ≥0
(D) min S= yb s.t. yA ≥ c y ≥0
其中 y ( y1, y2 ,.., ym )
上述的对偶模型都称作为对称型对偶模型。
而在当原问题转化为标准型以后所建立的对偶模型则是非
对称型的，如：
(P) maxZ= cx
s.t. Ax =b x≥0
原问题的一般模型可定义为： 相应的对偶问题的一般模型可定义为：
maxZ c1x1 c2 x2 ... cn xn
minS b1y1b2 y2 ...bmym
s.t. a11x1 a12x2 ... a1n xn b1 s.t. a11y1 a21y2 ... am1ym c1
a21x1 a22x2 ... a2n xn b2
n 个约束 m 个变量 目标函数价值向量（系数） 约束条件限定向量
≤ 约束 ≥
＝
≥0 变量 ≤ 0
无限制
练习：试求下列线性规划问题的对偶问题
max Z 2x1 4x2 - 3x3
s.t.
x1 - x2 x3 10
- x1 4x2 - 3x3 -5
3x1 2x2 - 5x3 8
x1 0 ， x2 0
(D) minS= yb s.t. yA≥c y为自由变量
问题：如何由原模型写出对偶模型？其规律是什么?
三、原问题与对偶问题的对应关系
当我们讨论对偶问题时必定是指一对问题，因为没有原问 题也就不可能有对偶问题。原问题和对偶问题总是相依存在的。 同时，原问题和对偶问题之间也并没有严格的界线，它们互为 对偶，谁都可以是原问题，谁也都可以是对偶问题。
线性规划的对偶理论包括以下几个基本定理。 定理1 （对称性定理）
即对偶问题的对偶是原问题。
定理2 （弱对偶定理） 设x和y分别是原问题和对偶问题的可行解，则必有cx≤yb，
即原问题的目标值小于对偶问题的目标值
定理3 （无界性） 若原问题(对偶问题)为无界解，则其对偶问题(原问题)无
可行解。 若原（对偶）问题有可行解,对偶（原）问题无可行解，则
看作是一个线性规划原问题转化为对偶问题的一般规律。
原问题为maxZ的线性规划问题对偶关系表
原问题（或对偶问题）
目标函数最大化 (maxZ) n 个变量 m 个约束
约束条件限定向量（右边项） 目标函数价值向量（系数）
≥0 变量 ≤ 0
无限制
同号
对偶问题（或原问题） 目标函数最小化（ minS）
n 个约束 m 个变量 目标函数价值向量（系数） 约束条件限定向量（右边项）
变量决定约束是反号,约束决定变量是同号
解： 由原模型三个约束条件确定对偶模型有三个变量y1,y2,y3
maxZ y1 - 4y2 3y3
s.t.
2y1- y2 - 2y3 1
- 4y13 y2
-3
y1 2y2 y3 4
y1 0 ， y2 0，y3 0
（还可依对偶问题写出原问题）
练习：试求下列线性规划问题的对偶问题
反号
对偶问题（或原问题） 目标函数最大化（ maxZ）
n 个约束 m 个变量 目标函数价值向量（系数） 约束条件限定向量
≤ 约束 ≥
＝
≥ 约束 ≤
＝
同号
≥0 变量 ≤ 0
无限制
原问题(minS) 与对偶之关系：
原问题
目标函数min
n个
变 量
无 00约束
对偶问题
目标函数max
n个约
束 条 件
第二章 线性规划的对偶理 论
§2.1 对偶线性规划问题的提出
任一线性规划问题都存在另一与之伴随的线性规划问题， 他们从不同角度对一个实际问题提出并描述，组成一对互为 对偶的线性规划问题。
一、对偶线性规划问题
【例1】 某工厂计划安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知每种单位产品的
利润、生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、 现有原材料和设备台时的定额如下表所示：
1
2
4
0
原材料B
0
4
每单位产品利润（万元）
2
3
8台时 16Kg 12Kg
▪ 改变策略后，需要考虑如何给资源定价的问题！
设y1、y2 、y3分别表示出租单位设备台时的租金和出售单位 原材料A、B的利润.
工厂出租设备、原材料的租金要大于生产的利润才合算。
则： y1+4y2≥2，
2y1+4y3≥3
要寻找使租用者支付的租金最少的策略。
max f 2x1 3x2
min g 8y1 16 y2 12 y3
x1 2x2 8
s.t.4 x1
16 4x2 12
x1, x2 0
s.t.2yy114y2
2 4y3 3
yi 0,i 1,2,3
联系在于，它们都是关于工厂生产经营的模型,并且使用相同 的数据；
区别在于,它们所反映的实质内容是完全不同的：前者是站在 工厂经营者的立场上追求工厂的销售收入最大，而后者则是站在 谈判对手的立场上寻求应付工厂租金最少的策略。
… … ….
a12y1 a22y2 ... am2 ym c2
………
am1x1 am2 x2 ... amnxn bm x1, x2 ,...,xn 0
a1n y1 a2n y2 ...amnym cn y1, y2,...,ym 0
原问题与对偶问题的矩阵形式
上述的原问题P和对偶问题 D还可以用矩阵形式写为：
5x2 ≤ 15 6x1 +2x2 ≤ 24
≥0 变量 ≤ 0
无限制
≥ 约束 ≤
＝
x1+x2 ≤ 5 x1 , x2 ≥ 0
≥ 约束 ≤
＝
≤0 变量 ≥ 0
无限制
变量决定约束是同号,约束决定变量是反号
解： 由原模型三个约束条件确定对偶模型有三个变量y1,y2,y3
min w=15y1+24y2+5y3
n 个变量 m 个约束
x1 x 2 - 3x 3 x 4 5
2x1 2x 2
-x4 4
x2 x3 x4 6
约束条件限定向量（右边项） 目标函数价值向量
≥0 变量 ≤ 0
无限制
x1 0, x 2 , x 3 0, x 4无约束
≥
约束 ≤
答案： maxZ=5y1+4y2+6y3
＝
y1+2y2≥ 2
s.t.
6y2+y3 ≥ 2
5y1 +2y2 +y3 ≥1
y1 , y2 , y3 ≥ 0
（还可依对偶问题写出原问题）
原问题为minS的线性规划问题对偶关系表