(整理)微积分2复习提纲1

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12-13-02《微积分二》复习要点整理(基本层次要求)

2012-2013-2《微积分二》（基本层次要求）复习纲要建议：1、以同步练习册、期中试卷为重要参考，依据以下“微积分（II）复习要点”所述重点及列出的教材练习，集中力量掌握重点、典型问题的求解思路和基本技巧。

在此基础上，第六章至第七章的较完整考点可参考本学期《期中试卷》。

此外，第九章仅限于第二节“可分离变量微分方程、齐次方程、一阶线性方程”三类方程的通解/特解的求解，建议以课堂例子及课后布置的有限数量的作业的难度为准。

2、在难度与期中考试水平相当的情况下，务必熟练掌握以下“三大计算”：积分（定积分、反常积分、二重积分）偏导（一阶偏导、二阶偏导、显函数/隐函数偏导）与全微分级数判敛（限于典型方法的典型应用，不追求过多技巧）微积分（II ）复习要点（共12页）（此提纲主要针对基础较薄弱的同学使用，建议按照提纲罗列顺序进行复习）Ch6+Ch7两章第一部分计算偏导与全微分（以二元函数为主）()()().yz,x z yz ,xz,y ,x f z .10000y ,x y ,x ∂∂∂∂∂∂∂∂=或偏导函数求解偏导数具体形式已知初等函数问题()()().xz,x x 3,dxdz 2,y ,x f ,y y 1xz0000y ,x 000y ,x ∂∂==∂∂即得所求最后代入）一元函数的导数利用上学期方法求上述）函数则原二元函数变为一元代入）步骤如下：求具体点偏导解法：*().yz,00y ,x ∂∂可求出类似()().yzy ,x y ,x f ,*.x z ,x z 2,y y ,x f 1xz∂∂∂∂∂∂求导即得对视为常数中的将类似所得结果即为的导数对利用上学期方法求）视为常数中的将）步骤如下：求偏导函数配套练习）强烈建议遵循以下顺序操练！前提——熟记第三章P66导数公式、P64“四则运算”求导法则、P68复合函数求导之链式法则！同步练习册P13 Ex1 (1), Ex2 (1).().dz ,y ,x f z .2求全微分已知问题=.dy yzdx x z dz ,yz,x z 为所求则的具体结果—先分别求出—系利用全微分与偏导的关解法：∂∂+∂∂=∂∂∂∂配套练习）强烈建议遵循以下顺序操练！同步练习册P14 Ex4, Ex5.().yz,x y z ,y x z,x z ,y ,x f z .3222222∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=求解二阶偏导数具体形式已知初等函数问题().y x z ,x z y ,x f z :y x z .P233,*2的偏导再求此新函数关于）（即然后针对求出的结果求出首先针对比如求偏导—按照符号的定义逐阶—求法相关定义和记号参见二阶偏导的含义务必准确识别以上四个∂∂∂∂=∂∂∂ 配套练习）强烈建议遵循以下顺序操练！同步练习册P17 Ex2, Ex1.,)717(P227,..4分结果再进一步具体算出各部）公式（如写出链式法则根据题目实际情况熟练“路线图”借助要点：（偏导）复合函数求导问题- 配套练习）强烈建议遵循以下顺序操练！同步练习册P15 Ex1 1), 2).两例的法一即可！学会套用即可公式二元隐函数偏导一元隐函数导数公式熟记要点：（偏导或全微分）隐函数求导问题P231~P230.),237(P231),227(P230..5-- 配套练习）强烈建议遵循以下顺序操练！同步练习册P16 Ex4, Ex5 2).第二部分求二元函数的极值和条件最值()()()./8.7P238,3z ,z ,z ,z 2y ,x ,,y ,x ,,0z 0z ,z ,z 1y ,x f z .1yy yx xy xx k k 11y x y x 极小极大结论判定极值与否、定理逐个利用针对以上各驻点）求出）如解此方程组得所有驻点并令求出）解法步骤：的极值求二元初等函数问题''''''''⎩⎨⎧='='''= .32P238*解答过程、例例学会配套练习）强烈建议遵循以下顺序操练！同步练习册P19 Ex1.()()()()()()()().y ,x ,,y ,x 30y ,x F 0f F 0f F ,F 2y ,x y ,x f ,y ,x F 1.0y ,x y ,x f z .200000y y yx x x 为所求条件最值点则唯一若以上驻点）即解下列方程组：的驻点求）令）解法步骤：下的条件最值在条件二元初等函数（尤其经济背景）求具有实际背景问题令令令λ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=ϕ='=ϕ'λ+'='=ϕ'λ+'='λϕ+=λ=ϕ=λ该部分课本相应例题解答均有问题，建议参考相关课堂笔记或同步练习册参考解答文档！并依照以上步骤做以下练习：同步练习册P20 Ex5.第三部分定积分相关要点基本前提：熟记P122~P123及P143不定积分公式！掌握不定积分的典型求法“拆加减、化乘积后凑微分或分部积分、（第二）换元积分——限于根式代换、三角代换、倒代换”。

大学微积分总复习提纲

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微积分（一） calculus
第二章极限与连续
极限的描述性定义与左右极限
极限四则运算
未定式求极限(因式分解/有理化/同除最高次项)
求极限
夹逼定理两个重要极限
无穷小量X有界函数(注意无穷小量性质)
等价代换(加减不能代换，乘除可以代换)
洛必达法则(注意运用条件，与上述方法结合)
必考：先分清极限类型，选择相应方法
微积分（一） calculus
第一章函数
初等函数分段函数
定义域、值域奇偶性周期性有界性反函数
选择题或填空题：与换元法结合考察上述知识点
1
微积分（一） calculus
第一章函数
经济学函数
需求与供给函数成本函数收益函数利润函数库存函数
边际与弹性最优化问题
应用题必考：与求导、求极值、最值知识点结合
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微积分（一） calculus
第三章导数与微分
导数的定义与左右导数 (求分段点导数，判断可导性与连续性，求极限)
必考：判断分段函数分段点可导性，与连续性、可微结合考察；与求极限及无穷小量基本性质结合考察。
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微积分（一） calculus
第三章导数与微分
基本公式
求导数
四则运算链式法则反函数求导
9
微积分（一） calculus
第五章多元函数微分学
ห้องสมุดไป่ตู้
求极限
极限定义与不同方向的极限极限四则运算未定式求极限(因式分解/有理化) 夹逼定理无穷小量X有界函数(注意无穷小量性质) 等价代换(加减不能代换，乘除可以代换) 换元法后，使用洛必达法则
必考：先分清极限类型，选择相应方法

微积分二1

第四章矢量代数与空间解析几何微积分二大纲要求了解两个向量垂直、平行的条件，曲面方程和空间曲线方程的概念，常用二次曲面的方程及其图形，空间曲线的参数方程和一般方程.空间曲线在坐标平面上的投影.会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，利用平面、直线的相互絭（平行、垂直、相交等）解决有关问题，点到直线以及点到平面的距离，求简单的柱面和旋转曲面的方程，求空间曲线在坐标平面上的投影方程.理解空间直角坐标系，向量的概念及其表示，单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），用坐标表达式进行向量运算的方法，平面方程和直线方程及其求法.第一节矢量代数一、内容精要（一）基本概念 1.矢量的概念定义4.1 一个既有大小又有方向的量称为矢量，长度为0的矢量称为零矢量，用0表示，方向可任意确定。

长度为1的矢量称为单位矢量。

定义4.2两个矢量a 与b，若它们的方向一致，大小相等，则称这两个矢量相等，记作b a =.换句话说一个矢量可按照我们的意愿把它平移到任何一个地方（因为既没有改变大小，也没改变方向），这种矢称为自由矢量，这样在解问题时将更加灵活与方便。

k a j a i a a3211(++=称为按照k j i ,,的坐标分解式，},,{321a a a a = 称为坐标式。

.||232221a a a a ++= 若,0≠a 记||0a a a=。

知0a 是单位矢量且与a 的方向一致，且0||a a a =。

因此，告诉我们求矢量a 的一种方法，即只要求出a 的大小||a 和与a方向一致的单位矢量0a ，则.||0a a a=若},{321a a a a = ，知},cos ,cos ,{cos },,{2322213232221223222110γβα=++++++=a a a a a a a a a a a a a其中γβα..是a分别与Ox 轴，Oy 轴，Oz 轴正向的夹角，而,cos ,cos ,cos 232221323222123322211a a a a a a a a a a a a ++=++=++=γβα且.1cos cos cos 222=++γβα2.矢量间的运算设}.,,{},,,{},,,{321321321c c c c b b b b a a a a ===).0||,0|(|||||cos ),0(cos ||||≠≠⋅=≤≤=⋅b a b a ba b a b a θπθθ.cos ,232221232221332211332211b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a ++++++=++=⋅θa a a a a a a a ⋅===⋅知,0cos 2b a ⨯的确定（1）,sin ||||||θb a b a =⨯（2）b a ⨯与b a,所确定的平面0,0||,||,(=⨯=⨯≠b a b a b a b a 即知若，方向可任意确定）垂直，且b a b a⨯,,构成右手系若c b a ,, 用坐标式给出，则k a b b a j b a b a i b a ba b b b a a a k j i b a)()()(212113312332321321-+---==⨯由行列式的性质可知.a b b a⨯-=⨯b a ⨯的几何意义：b a⨯表示以b a ,为邻边的平行四边形的面积，即.||sin ||||||s h a b a b a ===⨯θ容易知道以b a,为邻边的三角形面积为||21b a s ⨯=.容易验证 ().||||||2222b a ba b a=⋅+⨯321321321)(c c c b b b a a a c b a =⋅⨯c b a⋅⨯)(的性质可用行列式的性质来记，其余没有提到的性质与以前代数运算性质完全相同。

微积分2总复习

作降变阶换
全微分方程
积分因子
可分离
常数变易法方程法数数法
高阶方程
法
区域（1）邻域）
设 P0 ( x0 , y0 ) 是 xoy 平面上的一个点，δ 是某一平面上的一个点，正数，与点 P0 ( x0 , y0 ) 距离小于δ 的点 P ( x , y ) 的全正数，邻域，体，称为点 P0 的δ 邻域，记为U ( P0 , δ ) ，
极限的运算
f 设 P → P0 时， ( P ) → A, f ( P ) → B, 则 (1). f ( P ) ± g( P ) → A ± B; ( 2). f ( P ) ⋅ g( P ) → A ⋅ B; ( 3). f ( P ) g( P ) → A B ( B ≠ 0).
多元函数的连续性
元函数统称为多元函数. 当 n ≥ 2 时， n 元函数统称为多元函数
多元函数的极限
定义设函数 z = f ( x , y ) 的定义域为 D, P0 ( x0 , y0 ) 是其聚点，其聚点，如果对于任意给定的正数ε ，总存在正数 δ ，使得对于适合不等式 0 <| PP0 |= ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ 的一切点，都有 | f ( x , y ) − A |< ε 成立，则称 A 为函数 z = f ( x , y ) 当 x → x0 ， y → y0 时的极限，时的极限，记为 lim f ( x, y ) = A
全微分形式不变性
无论 z是自变量 u、v 的函数或中间变量 u、v 、的函数，它的全微分形式是一样的. 的函数，它的全微分形式是一样的

微积分下册复习要点（共5篇）

微积分下册复习要点（共5篇）第一篇：微积分下册复习要点微积分下册复习要点第七章多元函数微分学1．了解分段函数在分界点连续的判别；2．掌握偏导数的计算（特别是抽象函数的二阶偏导数）必考3．掌握隐函数求导（曲面的切平面和法线），及方程组求导（曲线的切线和法平面方程）必考。

4．方向导数的计算，特别是梯度，散度，旋度的计算公式；必考。

5．可微的定义，分段函数的连续性及可微性，偏导数及偏导数的连续性。

6．多元函数的极值和最值：无条件极值和条件极值（拉格朗日乘数法），实际问题的最值。

必考。

第八章重积分1．二重积分交换积分次序；必考。

2．利用合适的坐标系计算（特别是极坐标）3．三重积分中三种坐标系的合理使用（直角坐标系，柱坐标系，球坐标系）在使用时特别注意“先二后一法”的运用。

必考。

4．重积分的应用中曲面面积、重心、转动惯量、引力的公式，曲面面积为重点。

第九章曲线曲面积分1．第一、二类曲线积分的计算公式（特别是参数方程）；2．第一、二类曲面积分的计算公式（常考第一类曲面积分，第二类曲面积分一般用高斯公式）3．三个公式的正确使用（格林公式、高斯公式、斯托克斯公式）必考。

可以参考期中考试卷中最后三个题。

4．格林公式中有“奇点”的使用条件及积分与路径无关的条件（可能和全微分方程结合）必考。

第10章级数1．数项级数的敛散性的判别：定义，收敛的必要条件，比较判别法及极限形式，比值判别法，根值判别法，莱布尼兹判别法，条件收敛和绝对收敛的概念。

2．幂级数的收敛域及和函数的计算。

（利用逐项求导和逐项积分）必考。

3．将函数展成幂级数。

（一般利用间接法）必考。

4．将函数展成傅里叶级数，系数的计算公式；狄利克雷收敛定理；几个词的理解（周期延拓、奇延拓、偶延拓、变量替换）第11章常微分方程1．各种一阶微分方程的计算：可分离变量、齐次方程、可化为齐次方程的方程、一阶线性微分方程、伯努利方程、全微分方程。

2．可降阶的微分方程三种形式，特别注意不显含x 这种情形。

微积分II全书整理

第一部分多变量微分学一、多元函数极限论多元函数极限的定义：（）邻域型定义：设函数)(P f 的定义域为D ，0P 是D 的聚点，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点)(0P U D P δ⋂∈时，都有ε<-A P f )(，那么就称常数A 为函数)(P f 当0P P →时的极限，记作.)(lim 0A P f PP =→ （）距离型定义：设函数)(P f 的定义域为D ，0P 是D 的聚点，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点P D ∈，且δρ<<),(00P P 时，都有ε<-A P f )(，那么就称常数A 为函数)(P f 当0P P →时的极限，记作.)(lim 0A P f P P =→注：这里给出的是数学分析中国际通用的定义，已自然排除了0P 邻域内的无定义点；极限存在的充要条件：点P 在定义域内以任何方式或途径趋近于0P 时，)(P f 都有极限；除洛必达法则、单调有界原理、穷举法之外，可照搬一元函数求极限的性质和方法，常用的有：等价无穷小替换、无穷小×有界量无穷小、夹挤准则等；若已知)(lim 0P f PP→存在，则可以取一条特殊路径确定出极限值；相反，如果发现点P 以不同的方式或途径于0P 时，)(P f 区域不同的值，则可断定)(lim 0P f PP →不存在 ⑤二元函数的极限记为A y x f y x y x =→),(lim ),(),0（或A y x f y y x x =→→),(lim 00 多元函数的连续性：设函数)(P f 的定义域为D ，0P 是D 的聚点，如果0P D ∈，且有)()(lim 00P f P f P P =→，则称)(P f 在0P 处连续；如果)(P f 在区域E 的每一点处都连续，则称)(P f 在区域E 上连续注：如果)()(lim 00P f P f P P ≠→，只称“不连续”，而不讨论间断点类型；②在有界闭区域上的连续函数拥有和一元函数类似的性质，如有界性定理、一致连续性定理、最大值最小值定理、介值定理等二重极限与累次极限累次极限与二重极限的存在性之间没有任何必然的联系，但若某个累次极限和二重极限都存在，则它们一定相等；反之，若两个累次极限存在而不相等，则二重极限一定不存在，又若两个累次极限存在且相等，称累次极限可以交换求极限的顺序二、偏导数、全微分偏导数、全微分的相关理论问题（以二元函数为例讨论）（）偏导数的存在性：讨论对某个变量的偏导数，则将其他变量当作常数),('),(),(lim 0000000y x f x x y x f y x f x x x ∆→=--；),('),(),(lim 0000000y x f y y y x f y x f y y y ∆→=-- （）可微性：记),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆，则仅当0)()()(lim22=∆+∆∆+∆-∆→→y x y B x A z y x 时，),(y x f 在),(00y x 处可微，否则不可微其中),('00y x f A x =，),('00y x f B y = 注：等价于()22)()(y x o y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆即()220000)()()(),(),(y x o y B x A y x f y y x x f ∆+∆=∆+∆--∆+∆+又即()()202000000000)()())(,('))(,('),(),(y y x x o y y y x f x x y x f y x f y x f y x -+-=-+---记dy yzdx x z y B x A dz ∂∂+∂∂=∆+∆=为全微分),(y x f 在),(y x 处的全微分中值定理推广为：.1,0,),('),('2121<<∆∆++∆∆+∆+=∆θθθθy y y x f x y y x x f z y x（）偏导数的连续性：讨论偏导连续性，先用定义求),('00y x f x 和),('00y x f y ，用公式求),('y x f x 和),('y x f y ，判断),('),('lim 000y x f y x f x x y y x x =→→和),('),('lim 0000y x f y x f y y y y x x =→→是否都成立，如果都成立则偏导数连续 ④逻辑关系：极限存在偏导存在可微连续偏导连续⇒⇓⇑⇒多元函数微分法：（）链式求导法则：①从题目中的复合关系画出从起始变量经过中间变量到终变量的复合结构图； ②求偏导就是“走路”的过程，有几条路，等号后就有几项；每条路上有几段，每项中就会有几部分相乘（注意：偏导写偏微分符号“∂ ，不偏则写微分符号“ ）； ③严格遵守用位置表示偏导数的规则，注意避免符号混乱和歧义；④对于求高阶偏导数的问题，不论对谁求导，也不论求了几阶导，求导后的新函数仍具有与原来函数相同的复合结构（注意若偏导连续则相等，要合并同类项）（）全微分形式不变性：仅一阶全微分可以使用，高阶全微分不再成立（）隐函数存在性及求导法则：①一个方程的情形（以三个变量为例）：设),,(z y x F 在点),,(000z y x 某邻域内偏导连续，且0),,(000=z y x F ，0),,('000≠z y x F z ，则方程0),,(=z y x F 在点),,(000z y x 内某邻域内可唯一确定单值函数),(y x z z =，这个函数在),(00y x 的某邻域内具有连续的偏导数，且''z x F F x z-=∂∂，''z y F F y z-=∂∂ 结论不难推广到一般情形 ②方程组的情形：一般地，设方程组),2,1(0),,,;,,,(2121m i u u u x x x F m n i ==可确定m 个n 元函数),,,(21n i i x x x u u = 当雅可比行列式0),,,(),,,(11112212121112121≠∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=m m m m m m m u F u F u F u F u F u F u F u F u F u u u F F F J时，可以确定JJ x u j i *-=∂∂，其中*J 由将),,,(),,,(2121m m u u u F F F J ∂∂=分母中的第i 个元素替换成j x 得到（雅可比行列式在横向上改变各自变量，纵向上改变各函数名称）注：①求导前应事先判断，a 个变元，b 个方程可确定b 个)(a b -元函数； ②有些比较简单的问题不必使用此通法，可以考虑利用全微分形式不变性③经验结论：由0),(),,,(),,,(===v u F z y x v z y x u ψϕ确定的隐函数),(y x z z =，求22x z∂∂时，有0'')'(222221222=∂∂+∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂x v F x u F x u F A ；求y x z ∂∂∂2时，有0'')'(222122=∂∂∂+∂∂∂+∂∂∂∂y x vF y x u F yu x u F A ；求22yz∂∂时，有0'')'(222221222=∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y vF y u F y u F A ，其中=A 222112211122")'("''2")'(F F F F F F F +- （0),(=y x F 的曲率：()232221)'()'(F F A+）三、多元微分学的几何学应用（以下的讨论主要为了计算，条件未必严格）曲线的切线和法平面：设曲线()()()⎪⎩⎪⎨⎧===t z z t y y t x x l : 在0P 处()()()000'''t z t y t x ，，都存在且不为，则曲线l 在0P 处的：（）切线方程为()()()000000'''t z z z t y y y t x x x -=-=-：（）法平面方程为()()()0)(')(')('000000=-+-+-z z t z y y t y x x t x注：若曲线以⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 形式给出，切向量为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧，，，''''''''''''y x y x x z x z z y z y G G F F G G F F G G F F曲面的切平面与法线：设曲面∑由方程0),,(=z y x F 确定，),,(z y x F 在点0P ),,(000z y x 处可微，且'''z y x F F F ，，不为，则曲面∑在0P 处的：（）切平面方程为0)(')(')('000=-+-+-z z F y y F x x F z y x （导数已经代入0P 坐标）；（）法线方程为'''000z y x F z z F y y F x x -=-=- 注：二元函数在某点处的全微分等于其在这点处切平面竖坐标的增量方向导数：（）定义式：0)()(limPP P f P f lu P P P -=∂∂→→（）若函数),,(z y x f 在点0P 处可微，那么),,(z y x f 在点0P 处沿所有方向的方向导数存在，且γβαcos cos cos 0zfy f x f lf P ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂→，其中γβαcos ,cos ,cos 为→l 的方向余弦注：沿所有方向的方向导数存在不能推出可微，偏导数存在不能推出各方向导数存在梯度：（）计算：xu∂∂yu ∂∂ xu ∂∂ ；（）是)(P u 在点P 的变化量最大的方向，其模等于这个最大变化率；（）梯度的运算法则和一元函数的求导法则相似；（）方向导数等于梯度在该方向上的投影四、极值与最值问题二元函数的非条件极值问题（）极值的必要条件：对偏导数存在的函数),(y x f ，在),(00y x M 处有极值的必要条件是0),(),(0000=∂∂=∂∂yy x f x y x f （可推广到三元及以上）（）极值的充分条件：设),(00y x M 为函数),(y x f 的驻点，且),(y x f 在),(00y x 处连续，记AC B y x f A C y x f B y x f A yy xy xx -=∆====2000000),,("),,("),,("，则：①0<∆时，),(00y x 是极值点，当0>A 时，),(00y x f 为极小值；当0<A 时，),(00y x f 为极大值；②0>∆时，),(00y x 不是极值点； ③0=∆时，此法失效，另谋它法注：本方法不可推广到三元及以上，三元及以上的充分条件中，要求黑塞矩阵正定或负定（本知识不做要求，在出题人手下不会出现三元以上的极值判断问题）条件极值与拉格朗日乘数法（）一般情况下的拉格朗日乘数法：求函数),,,(21n x x x f u =在条件),,,(21n i x x x ϕ下的条件极值),,2,1(n m m i <= ，可以从函数),,,(),,,(),,,,,(2112111n i mi i n n n x x x x x x f x x F ϕλλλ∑=+=的驻点中得到可能的条件极值的极值点步骤：①构造辅助函数；（注意：变量均为独立变量） ②求各变量的一阶导并令其为零，联立得到方程组；③解方程组得到所有驻点（解无定法，尽量利用观察法）（）对“条件极值”的解读：事实上，只利用拉格朗日乘数法求条件极值无异于掩耳盗铃由于对于多元函数，构造拉格朗日函数后会出现至少三个变量，在数学上欲判断求得的驻点是否是极值点需要利用三阶以上的黑塞矩阵而出题人为了回避这一知识点，通常以实际问题的形式来考察拉格朗日乘数法由于在实际问题的背景下必存在最值，可以认为“所得即所求”，但是实际上求出的并不是真正的条件极值，而是在条件下的最值所以，出题人通常在题目中会以“最值”来代替极值进行考察五、习题已知方程02222=∂∂+∂∂y u x u 有⎪⎭⎫⎝⎛=x y u ϕ形式的解，求出此解已知二元函数),(y x f z =可微，两个偏增量：,3)32(322222x y x xy x y x z x ∆+∆+∆+=∆.2233y x y y x z y ∆+∆=∆且,1)0,0(=f 求).,(y x f设0),(222=++++z y x z y x F 确定),(y x z z =，其中F 有二阶连续偏导数，求.2yx z∂∂∂ 已知函数),(y x f z =可微，且有，0≠∂∂xz满足方程.0)(=∂∂+∂∂-y z y x z z x 现在将x 作为z y ,的函数，求.yx ∂∂ 设),,(t x f y =t 是由方程0),,(=t y x F 确定的x y 的函数，其中F 和f 均有一阶连续的偏导数，求.dxdy 设),,(),,(),,(v u f z v u y v u x ===ψϕz 是x y 的二元函数，求xz∂∂及.y z ∂∂求函数)ln(22z x e w y +=-在点),1,(2e e 处沿曲面uv v u v u e z e y e x ===-+,,的法线向量的方向导数求 21其中为常向量，为向径，且设二元函数f 在),(000y x P 点某邻域内偏导数'x f 和'y f 都有界，证明 f 在此邻域内连续设),(00'y x f x 存在，),('y x f y 在),(00y x 处连续，证明：),(y x f 在),(00y x 处可微证明：函数⎪⎩⎪⎨⎧≠≠+-=)0,0(),(0)0,0(),(),(2233y x y x y x y x y x f ，，在原点处偏导数存在但不可微设),(y x z z =是由方程⎪⎭⎫⎝⎛=z y zx ϕ确定的二元函数，其中ϕ有连续的二阶导函数，证明：.222222⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂=∂∂⋅∂∂y x z y z x z 证明：曲面)2(2z y f e z x -=-π是柱面，其中f 可微第二部分多变量积分学一、各类积分的计算公式及意义（一）二重积分计算公式直角坐标系下的二重积分：()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰==)()()()(2121,,,y x y x dc ba x y x y Ddx y x f dy dy y x f dx dxdy y x f极坐标系下的二重积分：()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰==)()()()(2121.sin ,cos sin ,cos ,r r bar r Dd r r f rdr rdr r r f d dxdy y x f ϕϕβαθθθθθθθθ二重积分的变量替换：()[]dudv v u y x v u y v u x f dxdy y x f uvxy),(),(),(),,(,∂∂=⎰⎰⎰⎰σσ几何意义：()0,≥y x f 时，表示以0=z 为底，以()y x f z ,=为顶的曲顶柱体的体积物理意义：各点处面密度为()y x f ,的平面片的质量（二）三重积分计算公式直角坐标系下的三重积分：（）柱型域：投影穿线法（先一后二法）：()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=y x z y x z Vdz z y x f dxdy dV z y x f xy,,21,,,,σ（）片型域：定限截面法（先二后一法）：()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=zD z z Vdxdy z y x f dz dV z y x f ,,,,21柱面坐标系下的三重积分：()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==βαθθθθθθθθ2121,,,sin ,cos ,sin ,cos ,,r r r z r z VVdz z r r f rdr d dz rdrd z r r f dV z y x f 球面坐标系下的三重积分：()()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==ϕθϕθθϕθϕβαϕθϕθϕϕϕθϕθϕϕθϕθϕ,,222121cos ,sin sin ,cos sin sin sin cos ,sin sin ,cos sin ,,r r VVdrr r r r f d d drd d rr r r f dV z y x f三重积分的变量替换：()[]dudvdw w v u z y x w v u z w v u y w v u x f dV z y x f uvwxyzV V ),,(),,(),,(),,,(),,,(,,∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰⎰物理意义：各点处体密度为()z y x f ,,的几何形体Ω的质量（三）第一型曲线积分：计算公式平面曲线的情形：（）()()b t a t y y t x x C ≤≤⎩⎨⎧==,,:则()()()()()().,,22⎰⎰'+'=b aC dt t y t x t y t x f ds y x f（）()b x a x g y C ≤≤=,:则()()()()⎰⎰+=ba C dx x g x g x f ds y x f .'1,,2（）()βθαθ≤≤=,:r r C 则()()()()()()⎰⎰'+=βαθθθθθθθ.sin ,cos ,22d r r r r f ds y x f C 空间曲线的情形：()()()b t a t z z t y y t x x C ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===,,,: ()()()()()()()().',,,,222⎰⎰+'+'=βαdt t z t y t x t z t y t x f ds z y x f C几何意义：以C 为准线，母线平行于z 轴的柱面介于0=z 与()y x f z ,=间的面积物理意义：各点处线密度为()y x f ,（或()z y x f ,,）的曲线C 的质量（四）第一型曲面积分：计算公式：()()().1,,,,,22⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=xydxdy y z x z y x z y x f dS z y x f Sσ 物理意义：各点处面密度为()z y x f ,,的曲面S 的质量（五）第二型曲线积分：计算公式：平面曲线的情形：()()b t a t y y t x x C ≤≤⎩⎨⎧==,,:⎰⎰+=+baCt dy t y t x Q t dx t y t x P dy y x Q dx y x P )())(),(()())(),((),(),(空间曲线的情形：()()()b t a t z z t y y t x x C ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===,,,:)())(),(),(()())(),(),(()())(),(),((),,(),,(),,(t dz t z t y t x z t dy t z t y t x Q t dx t z t y t x P dz z y x R dy z y x Q dx z y x P baC ⎰⎰++=++物理意义：力场沿有向曲线所做的功（六）第二型曲面积分：计算公式：.)),(,,()),(,,()),(,,(),,(),,(),,(⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-±=++xy dxdy y x z y x R y x z y x Q y z y x z y x P x z dxdyz y x R dzdx z y x Q dydz z y x P Sσ 物理意义：流速场单位时间通过有向曲面流向指定一侧的净通量二、各种积分间的联系第一型曲线积分与第二型曲线积分：[]⎰⎰++=++CCds R Q P Rdz Qdy Pdx .cos cos cos γβα第一型曲面积分与第二型曲面积分：[].cos cos cos ⎰⎰⎰⎰++=++SSdS R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz γβα第二型曲线积分与二重积分（公式）：.dxdy y P x Q Qdy Pdx D C ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=+第二型曲面积分与三重积分（公式）：.dV z R y Q x P Rdxdy Qdzdx Pdydz S V ⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=++第二型曲线积分与第二型曲面积分（公式）：.dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R Rdz Qdy Pdx S C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=++⎰⎰⎰三、各种积分的通用性质黎曼积分的性质()()[]()().⎰⎰⎰ΩΩΩΩ±Ω=Ω±d P g d P f d P g P f βαβα()()()⎰⎰⎰ΩΩΩΩ+Ω=Ω21d P f d P f d P f ，其中Ω=Ω⋃Ω21，且1Ω与2Ω无公共内点若()()P g P f ≤，Ω∈P ，则()().⎰⎰ΩΩΩ≤Ωd P g d P f若()()()()P g P f P g P f ≠≤,，且()()P g P f ,连续，Ω∈P ，则()().⎰⎰ΩΩΩ<Ωd P g d P f()().⎰⎰ΩΩΩ≤Ωd P f d P f若()P f 在积分区域Ω上的最大值为，最小值为，则().Ω≤Ω≤Ω⎰ΩM d P f m若()P f 在有界闭区域Ω上连续，则至少有一点Ω∈*P ，使()().Ω=Ω*Ω⎰P f d P f若2R ⊂Ω关于坐标轴对称，当()P f 关于垂直该轴的坐标是奇函数则为；若3R ⊂Ω关于坐标平面对称，当()P f 关于垂直该平面坐标轴的坐标是奇函数时为将坐标轴重新命名，如果积分区域不变，则被积函数中的也同样作变化后，积分值保持不变第二型积分的性质设-Ω是与Ω方向相反的几何体，则.)()(→Ω→→Ω→Ω-=Ω⎰⎰-d P A d P A()()()().⎰⎰⎰Ω→→Ω→→Ω→→Ω±Ω=Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡±d P B d P A d P B P A βαβα°若21Ω+Ω=Ω，则.)()()(21→Ω→→Ω→→Ω→Ω+Ω=Ω⎰⎰⎰d P A d P A d P A°若 ()P A →⊥ ,Ω∈P 则.0)(=Ω→Ω→⎰d P A°设,Ω∈P {}P P P γβαcos cos cos ，，，()P A →{})(),(),(P R P Q P P ，则[]⎰⎰Ω→Ω→Ω++=Ωd P R P Q P P d P A P P Pγβαcos )(cos )(cos )()(将坐标轴重新命名，如果曲线或曲面的方程不变，则被积函数中的也同样作变化后，积分值保持不变四、各种积分的应用形心坐标公式：(),ΩΩ=⎰Ωxd M x μ()().,ΩΩ=ΩΩ=⎰⎰ΩΩzd M z yd M y μμ质心坐标公式：()(),⎰⎰ΩΩΩΩ=d M xd M x μμ()()()().,⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩΩΩ=ΩΩ=d M zd M z d M yd M y μμμμ转动惯量：()().2⎰ΩΩ=d M r M I μ旋度： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂z Q y R ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂x R z P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂y P x Q 散度： .Mz R y Q x P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂五、习题计算,2dxdy y D⎰⎰其中由横轴和摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x 的一拱)0,20(>≤≤a t π围成计算,)(sin 12dxdy y x D⎰⎰+-其中 .0,0ππ≤≤≤≤y x计算,222dxdy y x a D⎰⎰--其中 .0,,22>≥≤+a x y ay y x计算,22dxdy y x D⎰⎰+ 其中 .0,0a y a x ≤≤≤≤计算[],)(1⎰⎰⎰+VdV z xf y 其中是由不等式组2230,1,11y x z y x x +≤≤≤≤≤≤-所限定的区域，)(z f 为任一连续函数计算,222⎰⎰⎰+VdV z y x 其中是由不等式组1)1(,1222222≤-++≥++z y x z y x 所确定的空间区域计算,1222⎰⎰⎰-++VdV z y x 其中是由锥面22y x z +=和平面1=z 围成的立体计算,)32(⎰⎰⎰++VdV z y x 其中是顶点在)000(，，处，底为平面3=++z y x 上以)111(，，为圆心，为半径的圆的圆锥体计算,⎰l xds 其中为双曲线1=xy 上点)2,21(到)1,1(的弧段计算⎰++L ds xy zx yz ,)222(其中是空间圆周.232222⎪⎩⎪⎨⎧=++=++az y x a z y x计算，ds z y x z D⎰⎰),,(ρ其中是椭球面122222=++z y x 的上半部分，点π,),,(S z y x P ∈为在点处的切平面，),,(z y x ρ为原点)000(，，到平面π的距离计算,cos )sin 1(2⎰--+l y y xdx e dy x e x 其中是由由原点沿2x y =到点)1,1(的曲线计算⎰Γ+++++,)()()(222222dz y x dy x z dx z y 其中(),024:22222>⎪⎩⎪⎨⎧=+=++Γz xy x x z y x从轴正向看Γ取逆时针方向计算,)()(22⎰+++-l y x dy y x dx y x 其中为摆线⎩⎨⎧-=--=t y t t x cos 1sin π从0=t 到π2=t 的弧段计算,)6()22(22223ydxdy z dzdx x z y x zy dydz e x x S-+++--⎰⎰-π其中是由抛物面224y x z --=，坐标面及平面1,1,21===y x y z 所围成的立体表面的外侧计算,)()()(232323dxdy x z dzdx z y dydz y x S-+-+-⎰⎰其中是由锥面22z x y +=与半球面)0(222>--+=R z x R R y 构成的闭曲面的外侧计算,dxdy y x f y z z dzdx y x f dydz y x f y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰∑其中∑是由122++=z x y 和229z x y --=所围立体表面的外侧， )(u f 是有连续导数的函数计算,4)1(2)18(2dxdy yz dzdx y xdydz y S ⎰⎰--++其中是由()3101≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=-=y x y z 绕轴旋转一周所得到的曲面，它的法向量与轴正向夹角恒大于.2π计算,222dzdx z x Sy ⎰⎰+其中是曲面22z x y +=及1=y ，2=y 所围立体表面外侧求闭曲面z a z y x 32222)=++（所围成的立体体积求锥面222x z y =+含在圆柱面222a y x =+内部分的面积求由曲线：)21(ln 2142≤≤-=x x x y 绕直线8943-=x y 旋转形成的旋转曲面的面积求平面曲线段：)10(233≤≤+=x x x y 绕直线：x y 34=旋转形成的旋转曲面的面积设函数)(x f 在区间]1,0[上连续，并设,)(10⎰=A dx x f 求⎰⎰11.)()(xdy y f x f dx求线密度为x 的物质曲线()0222222≥⎪⎩⎪⎨⎧=+=++z Rxy x Rz y x 对三个坐标轴转动惯量之和设（）求)(r f ，使 )(r f ；（）求)(r f ，使 )(r f 设函数)(x f 在区间]1,0[上连续、正值且单调下降，证明：.)()()()(11021102⎰⎰⎰⎰≤dx x f dxx f dxx xf dx x xf设函数)(t f 连续，证明：⎰⎰⎰--=-DAA dt t A t f dxdy y x f .|)|)(()(证明：()),0()323(31085335>+≤+++≤⎰⎰∑a a a dS a z y x a ππ其中∑是球面：.022222222=+---++a az ay ax z y x设Γ是弧长为的光滑曲线段，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在Γ上连续，且.max 222R Q P M ++=Γ证明：.Ms Rdz Qdy Pdx ≤++⎰Γ设在上半平面{}0|),(>=y y x D 内函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意的0>t ，都有).,(),(2y x f t ty tx f -=证明：0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L，其中L 是D 内任意分段光滑的有向简单闭曲线第三部分无穷级数一、数项级数（一）数项级数的基本性质收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数和，总有ε<-n m S S （即部分和数列收敛）收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性（二）数项级数的性质及敛散性判断正项级数的敛散性判断方法（）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛（）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 之间自某项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1( =≤n cv u n n ，那么（）当级数∑∞=1n n v 收敛时，级数∑∞=1n n u 亦收敛；（）当级数∑∞=1n n u 发散时，级数∑∞=1n n v 亦发散推论：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，且自某项以后有nn n n v v u u 11++≤，那么（）当级数∑∞=1n n v 收敛时，级数∑∞=1n n u 亦收敛；（）当级数∑∞=1n n u 发散时，级数∑∞=1n n v 亦发散（）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，若0lim>=∞→l v u nnn ，那么这两个级数敛散性相同（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容）另外，若0=l ，则当级数∑∞=1n n v 收敛时，级数∑∞=1n n u 亦收敛；若∞=l ，则当级数∑∞=1n n u 发散时，级数∑∞=1n n v 亦发散常用度量：①等比级数：∑∞=0n n q ，当1<q 时收敛，当1≥q 时发散；② 级数：∑∞=11n p n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散 1=p 时称调和级数； ③广义级数：()∑∞=2ln 1n pn n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散④交错级数：∑∞=--111)1(n pn n ，当1>p 时绝对收敛，当10≤<p 时条件收敛（）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ，当1lim1<=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 收敛；当1lim1>=+∞→r u u n n n 时级数∑∞=1n n u 发散；当1=r 或1=r 时需进一步判断（）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ，设n nn u r ∞→=lim ，那么1<r 时此级数必为收敛，1>r 时发散，而当1=r 时需进一步判断（）柯西积分判别法：设∑∞=1n n u 为正项级数，非负的连续函数)(x f 在区间),[+∞a 上单调下降，且自某项以后成立着关系：n n u u f =)(，则级数∑∞=1n n u 与积分⎰+∞0)(dx x f 同敛散任意项级数的理论与性质（）绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然；②对于级数∑∞=1n n u ，将它的所有正项保留而将负项换为，组成一个正项级数∑∞=1n n v ，其中2nn n u u v +=；将它的所有负项变号而将正项换为，也组成一个正项级数∑∞=1n n w ，其中2nn n u u w -=，那么若级数∑∞=1n n u 绝对收敛，则级数∑∞=1n n v 和∑∞=1n n w 都收敛；若级数∑∞=1n n u 条件收敛，则级数∑∞=1n n v 和∑∞=1n n w 都发散③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同④若级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都绝对收敛，它们的和分别为U 和V ，则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV 特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11n n n n v u 也绝对收敛，且和也为UV 注：⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n v u c ，这里121121v u v u v u v u c n n n n n ++++=--（）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足0lim =∞→n n u ，且{}n u 单调减少（即1+≥n n u u ），则∑∞=--11)1(n n n u 收敛，其和不超过第一项，且余和的符号与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值二、函数项级数（一）幂级数幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域（）柯西阿达马定理：幂级数∑∞=-00)(n n n x x a 在R x x <-0内绝对收敛，在R x x >-0内发散，其中R 为幂级数的收敛半径（）阿贝尔第一定理：若幂级数∑∞=-00)(n n n x x a 在ξ=x 处收敛，则它必在00x x x -<-ξ内绝对收敛；又若∑∞=-00)(n n n x x a 在ξ=x 处发散，则它必在00x x x ->-ξ也发散推论：若幂级数∑∞=0n n n x a 在)0(≠=ξξx 处收敛，则它必在ξ<x 内绝对收敛；又若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处发散，则它必在ξ>x 时发散推论：若幂级数∑∞=-00)(n n n x x a 在ξ=x 处条件收敛，则其收敛半径0x R -=ξ，若又有0>n a ，则可以确定此幂级数的收敛域（）收敛域的求法：令1)()(lim 1<+∞→x a x a nn n 解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集幂级数的运算性质（）幂级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有：∑∑∑∑∞==-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0000n n n i i n i n n n n n n x b a x b x a ，收敛域仍取交集（）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内处处连续，且若幂级数∑∞=-00)(n n n x x a 在R x x -=0处收敛，则)(x S 在[)R x R x +-00,内连续；又若幂级数∑∞=-00)(n n n x x a 在R x x +=0处收敛，则)(x S 在(]R x R x +-00,内连续（）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变函数的幂级数展开以及幂级数的求和（）常用的幂级数展开：① +++++=nxx n x x e !1!2112∑∞==0!n n n x ，②=11x - ∑∞=0n n x ，从而，∑∞=-=+0)(11n nx x ，∑∞=-=+022)1(11n n n x x③∑∞=+++-=++-+-+-=0121253)!12()1()!12()1(!51!31sin n n nn n n x n x x x x x ，④∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1()!2()1(!41!211cos n n n n n n x n x x x x ， ⑤∑∞=-+-=++-+-+-=+11132)1(11)1(3121)1ln(n n n n n n x x n x x x x ， ⑥ ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα，⑦1202123)12()!(4)!2(12!)!2(!)!12(321arcsin +∞=+∑+=++-+++=n n n n x n n n n x n n x x x ， ⑧120123121)1(121)1(31arctan +∞=++-=++-++-=∑n n n n n x n x n x x x ，（）常用的求和经验规律：①级数符号里的部分x 可以提到级数外；②系数中常数的幂中若含有n ，可以与x 的幂合并，如将n c 和n x 合并为n cx )(；③对∑∞=0n nn x a 求导可消去n a 分母因式里的n 对∑∞=0n n n x a 积分可消去n a 分子因式里的1+n ；④系数分母含!n 可考虑x e 的展开，含)!2(n 或)!12(+n 等可考虑正余弦函数的展开； ⑤有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解（二）傅里叶级数狄利克雷收敛定理（本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立）若)(x f 以l 2为周期，且在上满足： ①连续或只有有限个第一类间断点； ②只有有限个极值点；则)(x f 诱导出的傅里叶级数在上处处收敛傅里叶级数)(x S 与)(x f 的关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++--++=.2)0()0(2)0()0()()(为边界点，为间断点；，为连续点；，x l f l f x x f x f x x f x S以l 2为周期的函数的傅里叶展开展开：∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(~)(n n n l x n b l x n a a x S x f ππ （）在上展开：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰---l ln l l n l l dx l x n x f l b dx l xn x f l a dx x f l a ππsin )(1cos )(1)(10；（）正弦级数与余弦级数：①奇函数（或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰l n n dxl x n x f l b a a 00sin )(200π；②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰0cos )(2)(2000n l n l b dx l xn x f l a dx x f l a π；一些在展开时常用的积分：（）;0cos ;1)1(sin 010=+-=⎰⎰+ππnxdx nnxdx n（）2sin 1cos ;1sin 2020πππn n nxdx n nxdx ==⎰⎰；（）2022010)1(2cos 1)1(cos ;)1(sin nnxdx x n nxdx x n nxdx x nn n -=--=-=⎰⎰⎰+πππππ；；（）C nx n nx a e na nxdx e ax ax +-+=⎰)cos sin (1sin 22； C nx a nx n e na nxdx e axax +++=⎰)cos sin (1cos 22；（）C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin ；C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos注：①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为；②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和间断点的特殊性； ③对于π≠l 的情形，事先令x lt π=对求积分通常是有帮助的五、习题判断下列数项级数的敛散性，若收敛，不是正项级数的指出是绝对收敛还是条件收敛（）∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1212n nn n ；（）n n n βα∑∞=1，其中β非负；（）∑⎰∞=14tan n n n xdx λπ，其中0>λ；（）np n n n1111)1(+∞=-∑-；（）n n nnn !)(1∑∞=-α，其中0>α；（）!)!12(!)!32()1(2---∑∞=n n n n求幂级数nn n n x n ∑∞=+132的收敛域求幂级数nn n n x n b n a ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的收敛域，其中b a ,为正数将下列函数展开成x 的幂级数（）xx 21-；（）x arcsin ；（）x x x x -+-+arctan 2111ln41 求下列幂级数的收敛域及和函数（）n n n x n ∑∞=+-121)1(；（）)12()1(211--∑∞=-n n x nn n ；（）()∑∞=03!3n nn x ；求数项级数∑∞=-⋅-1212)!2(2)1(n nn n n 的和设(),arctan )(2x x f =分别求出)0()12(-n f 和)0()2(n f 求极限∑⎰∞=+→+112sin 0202)sin(lim n nn x x n x dtt求极限.)!14(!11!7!31)!34(!9!51lim44844484-++++-++++--→n n n n x ππππππ将函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤=l x l x l l x x x f 2,20,)(展开成正弦级数将函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤=l x l l x l x x f 2,020,cos )(π展开成余弦级数将函数)arcsin(sin )(x x f =展开成傅里叶级数证明：幂级数n n nk x n k ∑∑∞==112)!2()!(在)3,3(-内绝对收敛求函数⎰-+=πππdt t x f t f x F )()(1)(的傅里叶系数nnBA ,，其中)(x f 是以π2为周期的连续函数，n n b a ,是其傅里叶系数并证明：).(2)(1212202n n n b a a dt t f ++=∑⎰∞=-πππ。

微积分Ⅱ复习提纲汇总

微积分Ⅱ复习提纲
1．理解多元函数的概念，掌握二元函数定义域的求法，会用阴影表示；掌握二元函数值及表达式的求解方法。

例（1
）求ln(2)y y x =-+ （2）已知2(,)2y x f x y x y +=+，求(,)f x y
2．理解二元函数连续、偏导数、全微分的概念、表示符号，掌握各种函数偏导数、全微分的求解方法。

例连续的三个条件
000000(,)0(,)(,)lim x y x f x x y f x y z
x x
∆→+∆-∂=∂∆ 3．理解二元函数极值的概念，掌握二元函数极值的求解方法。

4．了解二重积分的概念，理解二重积分的几何意义，掌握两种区域下二重积分的计算方法。

例特别是被积函数为1时，二重积分表示平面区域的面积；
5．理解级数的概念，掌握级数收敛的必要条件；牢记两类级数：等比级数、P －级数（广义调和级数）的收敛情况；掌握判定级数敛散性的各种方法（用收敛定义、性质、比值、比较、莱布尼兹）；掌握特殊级数求和的方法；掌握级数的绝对收敛与条件收敛。

例 1n n u ∞=∑收敛，则lim _____n n u
→∞=
6．理解幂级数的概念，掌握求幂级数的收敛区间与和函数的方法。

7．理解微分方程及微分方程的阶的概念，掌握几种微分方程的解法。

微积分II全书整理

第一部分多变量微分学一、多元函数极限论 1. 多元函数极限的定义：（1)邻域型定义:设函数)(P f 的定义域为D ，0P 是D 的聚点,如果存在常数A ,对于任意给定的正数ε，总存在正数δ,使得当点)(0P U D P δ⋂∈时，都有ε<-A P f )(，那么就称常数A 为函数)(P f 当0P P →时的极限,记作.)(lim 0A P f P P =→(２）距离型定义:设函数)(P f 的定义域为D ,0P 是D 的聚点,如果存在常数A ,对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点P D ∈，且δρ<<),(00P P 时,都有ε<-A P f )(，那么就称常数A 为函数)(P f 当0P P →时的极限,记作.)(lim 0A P f P P =→注：①这里给出的是数学分析中国际通用的定义,已自然排除了0P 邻域内的无定义点; ②极限存在的充要条件：点P 在定义域内以任何方式或途径趋近于0P 时,)(P f 都有极限; ③除洛必达法则、单调有界原理、穷举法之外，可照搬一元函数求极限的性质和方法,常用的有：等价无穷小替换、无穷小×有界量=无穷小、夹挤准则等；④若已知)(lim 0P f P P →存在，则可以取一条特殊路径确定出极限值;相反，如果发现点P 以不同的方式或途径于0P 时，)(P f 区域不同的值,则可断定)(lim 0P f P P →不存在.⑤二元函数的极限记为A y x f y x y x =→),(lim ),(),00（或A y x f y y x x =→→),(lim 0.2. 多元函数的连续性：设函数)(P f 的定义域为D ,0P 是D 的聚点,如果0P D ∈,且有)()(lim 00P f P f P P =→,则称)(P f 在0P 处连续;如果)(P f 在区域E 的每一点处都连续,则称)(P f 在区域E 上连续．注:①如果)()(lim 00P f P f P P ≠→,只称“不连续”,而不讨论间断点类型；②在有界闭区域上的连续函数拥有和一元函数类似的性质，如有界性定理、一致连续性定理、最大值最小值定理、介值定理等． 3.二重极限与累次极限累次极限与二重极限的存在性之间没有任何必然的联系，但若某个累次极限和二重极限都存在,则它们一定相等;反之，若两个累次极限存在而不相等，则二重极限一定不存在,又若两个累次极限存在且相等,称累次极限可以交换求极限的顺序.二、偏导数、全微分１.偏导数、全微分的相关理论问题（以二元函数为例讨论)（1）偏导数的存在性：讨论对某个变量的偏导数，则将其他变量当作常数.),('),(),(lim 0000000y x f x x y x f y x f x x x ∆→=--;),('),(),(lim 0000000y x f y y y x f y x f y y y ∆→=--. （2）可微性：记),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆,则仅当0)()()(lim22=∆+∆∆+∆-∆→→y x y B x A z y x 时，),(y x f 在),(00y x 处可微，否则不可微.其中),('00y x f A x =,),('00y x f B y =．注：等价于()22)()(y x o y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆ 即()220000)()()(),(),(y x o y B x A y x f y y x x f ∆+∆=∆+∆--∆+∆+又即()()2020********)()())(,('))(,('),(),(y y x x o y y y x f x x y x f y x f y x f y x -+-=-+---记dy yzdx x z y B x A dz ∂∂+∂∂=∆+∆=为全微分),(y x f 在),(y x 处的全微分. 中值定理推广为:.1,0,),('),('2121<<∆∆++∆∆+∆+=∆θθθθy y y x f x y y x x f z y x （3）偏导数的连续性：讨论偏导连续性,先用定义求),('00y x f x 和),('00y x f y ，用公式求),('y x f x 和),('y x f y ，判断),('),('lim 000y x f y x f x x y y x x =→→和),('),('lim 0000y x f y x f y y y y x x =→→是否都成立,如果都成立则偏导数连续. ④逻辑关系:极限存在偏导存在可微连续偏导连续⇒⇓⇑⇒2.多元函数微分法： (1)链式求导法则:①从题目中的复合关系画出从起始变量经过中间变量到终变量的复合结构图；②求偏导就是“走路”的过程,有几条路,等号后就有几项；每条路上有几段,每项中就会有几部分相乘(注意：偏导写偏微分符号“∂”，不偏则写微分符号“d ”); ③严格遵守用位置表示偏导数的规则，注意避免符号混乱和歧义；④对于求高阶偏导数的问题，不论对谁求导，也不论求了几阶导，求导后的新函数仍具有与原来函数相同的复合结构（注意若偏导连续则相等,要合并同类项）.（2)全微分形式不变性:仅一阶全微分可以使用，高阶全微分不再成立．（3）隐函数存在性及求导法则:①一个方程的情形(以三个变量为例）:设),,(z y x F 在点),,(000z y x 某邻域内偏导连续，且0),,(000=z y x F ，0),,('000≠z y x F z ，则方程0),,(=z y x F 在点),,(000z y x 内某邻域内可唯一确定单值函数),(y x z z =,这个函数在),(00y x 的某邻域内具有连续的偏导数,且''z x F F x z-=∂∂，''z y F F y z -=∂∂．结论不难推广到一般情形. ②方程组的情形:一般地,设方程组),2,1(0),,,;,,,(2121m i u u u x x x F m n i ==可确定m 个n 元函数),,,(21n i i x x x u u =．当雅可比行列式0),,,(),,,(11112212121112121≠∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=m m m m m m m u F u F u F u F u F u F u F u F u F u u u F F F J时,可以确定JJ x u j i *-=∂∂,其中*J 由将),,,(),,,(2121m m u u u F F F J ∂∂=分母中的第i 个元素替换成j x 得到.（雅可比行列式在横向上改变各自变量,纵向上改变各函数名称) 注:①求导前应事先判断，a 个变元,b 个方程可确定b 个)(a b -元函数； ②有些比较简单的问题不必使用此通法，可以考虑利用全微分形式不变性. ③经验结论:由0),(),,,(),,,(===v u F z y x v z y x u ψϕ确定的隐函数),(y x z z =,求22x z∂∂时,有0'')'(222221222=∂∂+∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂x v F x u F x u F A ；求y x z ∂∂∂2时，有0'')'(222122=∂∂∂+∂∂∂+∂∂∂∂y x vF y x u F yu x u F A ; 求22yz∂∂时,有0'')'(222221222=∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y vF y u F y u F A ，其中=A 222112211122")'("''2")'(F F F F F F F +-．(0),(=y x F 的曲率:()232221)'()'(F F A+)三、多元微分学的几何学应用(以下的讨论主要为了计算,条件未必严格）1.曲线的切线和法平面:设曲线()()()⎪⎩⎪⎨⎧===t z z t y y t x x l : 在0P 处()()()000'''t z t y t x ，，都存在且不为0,则曲线l 在0P 处的: (1)切线方程为()()()000000'''t z z z t y y y t x x x -=-=-: (2）法平面方程为()()()0)(')(')('000000=-+-+-z z t z y y t y x x t x . 注:若曲线以⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 形式给出,切向量为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧，，，''''''''''''y x y x x z x z z y z y G G F F G G F F G G F F ．2.曲面的切平面与法线：设曲面∑由方程0),,(=z y x F 确定,),,(z y x F 在点0P ),,(000z y x 处可微，且'''z y x F F F ，，不为0,则曲面∑在0P 处的：（1）切平面方程为0)(')(')('000=-+-+-z z F y y F x x F z y x (导数已经代入0P 坐标）； (２)法线方程为'''000z y x F z z F y y F x x -=-=-. 注:二元函数在某点处的全微分等于其在这点处切平面竖坐标的增量. 3．方向导数: (1）定义式：0)()(limPP P f P f lu P P P -=∂∂→→（２）若函数),,(z y x f 在点0P 处可微,那么),,(z y x f 在点0P 处沿所有方向的方向导数存在，且γβαcos cos cos 0zfy f x f lf P ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂→，其中γβαcos ,cos ,cos 为→l 的方向余弦．注：沿所有方向的方向导数存在不能推出可微，偏导数存在不能推出各方向导数存在． 4.梯度：(1）计算:gra ｄ u =x u ∂∂i +y u ∂∂j +xu∂∂k ；（２）ｇｒad ｕ是)(P u 在点P 的变化量最大的方向,其模等于这个最大变化率; （3）梯度的运算法则和一元函数的求导法则相似； (4）方向导数等于梯度在该方向上的投影.四、极值与最值问题1.二元函数的非条件极值问题(1）极值的必要条件:对偏导数存在的函数),(y x f ，在),(00y x M 处有极值的必要条件是0),(),(0000=∂∂=∂∂yy x f x y x f .(可推广到三元及以上）（2）极值的充分条件:设),(00y x M 为函数),(y x f 的驻点，且),(y x f 在),(00y x 处连续，记AC B y x f A C y x f B y x f A yy xy xx -=∆====2000000),,("),,("),,("，则: ①0<∆时,),(00y x 是极值点，当0>A 时，),(00y x f 为极小值;当0<A 时,),(00y x f 为极大值；②0>∆时,),(00y x 不是极值点; ③0=∆时,此法失效，另谋它法.注：本方法不可推广到三元及以上,三元及以上的充分条件中,要求黑塞矩阵正定或负定.(本知识不做要求，在出题人手下不会出现三元以上的极值判断问题) ２．条件极值与拉格朗日乘数法(1）一般情况下的拉格朗日乘数法:求函数),,,(21n x x x f u =在条件),,,(21n i x x x ϕ下的条件极值),,2,1(n m m i <= ,可以从函数),,,(),,,(),,,,,(2112111n i mi i n n n x x x x x x f x x F ϕλλλ∑=+=的驻点中得到可能的条件极值的极值点．步骤:①构造辅助函数；(注意：变量均为独立变量） ②求各变量的一阶导并令其为零，联立得到方程组; ③解方程组得到所有驻点.(解无定法,尽量利用观察法） (2）对“条件极值”的解读：事实上,只利用拉格朗日乘数法求条件极值无异于掩耳盗铃.由于对于多元函数，构造拉格朗日函数后会出现至少三个变量，在数学上欲判断求得的驻点是否是极值点需要利用三阶以上的黑塞矩阵.而出题人为了回避这一知识点,通常以实际问题的形式来考察拉格朗日乘数法.由于在实际问题的背景下必存在最值，可以认为“所得即所求”，但是实际上求出的并不是真正的条件极值，而是在条件下的最值.所以,出题人通常在题目中会以“最值”来代替极值进行考察.五、习题１．已知方程02222=∂∂+∂∂y u x u 有⎪⎭⎫⎝⎛=x y u ϕ形式的解,求出此解.2.已知二元函数),(y x f z =可微,两个偏增量:,3)32(322222x y x xy x y x z x ∆+∆+∆+=∆.2233y x y y x z y ∆+∆=∆且,1)0,0(=f 求).,(y x f3.设0),(222=++++z y x z y x F 确定),(y x z z =,其中F 有二阶连续偏导数,求.2yx z∂∂∂ 4.已知函数),(y x f z =可微，且有，0≠∂∂xz满足方程.0)(=∂∂+∂∂-y z y x z z x 现在将x 作为z y ,的函数,求.yx∂∂ 5.设),,(t x f y =t 是由方程0),,(=t y x F 确定的x ,y 的函数，其中F 和f 均有一阶连续的偏导数，求.dxdy 6．设),,(),,(),,(v u f z v u y v u x ===ψϕz 是x ，y 的二元函数,求x z ∂∂及.yz∂∂ ７．求函数)ln(22z x e w y+=-在点),1,(2e e 处沿曲面uv v u v u e z e y e x ===-+,,的法线向量的方向导数.８.求g ｒa ｄ[c ·r +21ｌn(c ·r )],其中c 为常向量，r 为向径，且c ·r >０. 9.设二元函数f 在),(000y x P 点某邻域内偏导数'x f 和'y f 都有界,证明：f 在此邻域内连续. 10.设),(00'y x f x 存在,),('y x f y 在),(00y x 处连续,证明：),(y x f 在),(00y x 处可微.１１.证明:函数⎪⎩⎪⎨⎧≠≠+-=)0,0(),(0)0,0(),(),(2233y x y x y x y x y x f ，，在原点处偏导数存在但不可微.12．设),(y x z z =是由方程⎪⎭⎫⎝⎛=z y z x ϕ确定的二元函数,其中ϕ有连续的二阶导函数，证明：.222222⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂=∂∂⋅∂∂y x z y z x z 13.证明:曲面)2(2z y f ezx -=-π是柱面,其中f 可微．第二部分多变量积分学一、各类积分的计算公式及意义(一）二重积分 1.计算公式①直角坐标系下的二重积分：()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰==)()()()(2121,,,y x y x dcbax y x y Ddx y x f dy dy y x f dx dxdy y x f②极坐标系下的二重积分：()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰==)()()()(2121.sin ,cos sin ,cos ,r r bar r Dd r r f rdr rdr r r f d dxdy y x f ϕϕβαθθθθθθθθ③二重积分的变量替换:()[]dudv v u y x v u y v u x f dxdy y x f uvxy),(),(),(),,(,∂∂=⎰⎰⎰⎰σσ2．几何意义：()0,≥y x f 时，表示以0=z 为底,以()y x f z ,=为顶的曲顶柱体的体积. 3.物理意义:各点处面密度为()y x f ,的平面片Ｄ的质量． (二)三重积分 1.计算公式①直角坐标系下的三重积分: (1）柱型域:投影穿线法（先一后二法）:()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=y x z y x z Vdz z y x f dxdy dV z y x f xy,,21,,,,σ（２)片型域：定限截面法(先二后一法)：()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=zD z z Vdxdy z y x f dz dV z y x f ,,,,21②柱面坐标系下的三重积分：()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==βαθθθθθθθθ2121,,,sin ,cos ,sin ,cos ,,r r r z r z VVdzz r r f rdr d dz rdrd z r r f dV z y x f ③球面坐标系下的三重积分：()()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==ϕθϕθθϕθϕβαϕθϕθϕϕϕθϕθϕϕθϕθϕ,,222121cos ,sin sin ,cos sin sin sin cos ,sin sin ,cos sin ,,r r VVdrr r r r f d d drd d r r r r f dV z y x f④三重积分的变量替换:()[]dudvdw w v u z y x w v u z w v u y w v u x f dV z y x f uvwxyzV V ),,(),,(),,(),,,(),,,(,,∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰⎰2．物理意义：各点处体密度为()z y x f ,,的几何形体Ω的质量.（三)第一型曲线积分: 1．计算公式①平面曲线的情形：(1)()()b t a t y y t x x C ≤≤⎩⎨⎧==,,:则()()()()()().,,22⎰⎰'+'=b aC dt t y t x t y t x f ds y x f(2)()b x a x g y C ≤≤=,:则()()()()⎰⎰+=baCdx x g x g x f ds y x f .'1,,2(3）()βθαθ≤≤=,:r r C 则()()()()()()⎰⎰'+=βαθθθθθθθ.sin ,cos ,22d r r r r f ds y x f C②空间曲线的情形：()()()b t a t z z t y y t x x C ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===,,,:：()()()()()()()().',,,,222⎰⎰+'+'=βαdt t z t y t x t z t y t x f ds z y x f C2．几何意义:以C 为准线,母线平行于z 轴的柱面介于0=z 与()y x f z ,=间的面积. 3.物理意义：各点处线密度为()y x f ,(或()z y x f ,,）的曲线C 的质量. (四）第一型曲面积分: 1.计算公式:()()().1,,,,,22⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=xydxdy y z x z y x z y x f dS z y x f Sσ ２.物理意义：各点处面密度为()z y x f ,,的曲面S 的质量. （五）第二型曲线积分：1.计算公式：①平面曲线的情形：()()b t a t y y t x x C ≤≤⎩⎨⎧==,,:⎰⎰+=+baCt dy t y t x Q t dx t y t x P dy y x Q dx y x P )())(),(()())(),((),(),(②空间曲线的情形:()()()b t a t z z t y y t x x C ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===,,,:)())(),(),(()())(),(),(()())(),(),((),,(),,(),,(t dz t z t y t x z t dy t z t y t x Q t dx t z t y t x P dz z y x R dy z y x Q dx z y x P baC ⎰⎰++=++２.物理意义:力场F ＝Ｐ（ｘ，y ，z )i + Q （ｘ，y ,z )j +R （x ,ｙ,z )k 沿有向曲线C 所做的功.（六）第二型曲面积分: 1.计算公式:.)),(,,()),(,,()),(,,(),,(),,(),,(⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-±=++xy dxdy y x z y x R y x z y x Q y z y x z y x P x z dxdyz y x R dzdx z y x Q dydz z y x P Sσ 2. 物理意义:流速场v=P （x ,ｙ,z ）i + Q （ｘ,y ,z )ｊ+R (x ，ｙ，ｚ)k 单位时间通过有向曲面Ｓ流向指定一侧的净通量.二、各种积分间的联系1. 第一型曲线积分与第二型曲线积分：[]⎰⎰++=++CCds R Q P Rdz Qdy Pdx .cos cos cos γβα2. 第一型曲面积分与第二型曲面积分：[].cos cos cos ⎰⎰⎰⎰++=++SSdS R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz γβα3. 第二型曲线积分与二重积分（Gr ｅen 公式):.dxdy y P x Q Qdy Pdx D C ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+4. 第二型曲面积分与三重积分(Gaus ｓ公式):.dV z R y Q x P Rdxdy Qdzdx Pdydz S V ⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=++5．第二型曲线积分与第二型曲面积分（Ｓtokes 公式）：.dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R Rdz Qdy Pdx S C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=++⎰⎰⎰ 三、各种积分的通用性质1.黎曼积分的性质1°()()[]()().⎰⎰⎰ΩΩΩΩ±Ω=Ω±d P g d P f d P g P f βαβα2°()()()⎰⎰⎰ΩΩΩΩ+Ω=Ω21d P f d P f d P f ，其中Ω=Ω⋃Ω21，且1Ω与2Ω无公共内点.3°若()()P g P f ≤，Ω∈P ,则()().⎰⎰ΩΩΩ≤Ωd P g d P f若()()()()P g P f P g P f ≠≤,，且()()P g P f ,连续，Ω∈P ，则()().⎰⎰ΩΩΩ<Ωd P g d P f４°()().⎰⎰ΩΩΩ≤Ωd P f d P f5° 若()P f 在积分区域Ω上的最大值为M ,最小值为m ，则().Ω≤Ω≤Ω⎰ΩM d P f m6° 若()P f 在有界闭区域Ω上连续，则至少有一点Ω∈*P ，使()().Ω=Ω*Ω⎰P f d P f7° 若2R ⊂Ω关于坐标轴对称，当()P f 关于垂直该轴的坐标是奇函数则为0;若3R ⊂Ω关于坐标平面对称,当()P f 关于垂直该平面坐标轴的坐标是奇函数时为0．8° 将坐标轴重新命名,如果积分区域不变,则被积函数中的x ,y ，z 也同样作变化后,积分值保持不变.２.第二型积分的性质1° 设-Ω是与Ω方向相反的几何体,则.)()(→Ω→→Ω→Ω-=Ω⎰⎰-d P A d P A2° ()()()().⎰⎰⎰Ω→→Ω→→Ω→→Ω±Ω=Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡±d P B d P A d P B P A βαβα3°若21Ω+Ω=Ω,则.)()()(21→Ω→→Ω→→Ω→Ω+Ω=Ω⎰⎰⎰d P A d P A d P A4°若e p ()P A →⊥，,Ω∈P 则.0)(=Ω→Ω→⎰d P A5°设,Ω∈P e p ={}P P P γβαcos cos cos ，，，()P A →＝{})(),(),(P R P Q P P ,则[]⎰⎰Ω→Ω→Ω++=Ωd P R P Q P P d P A P P Pγβαcos )(cos )(cos )()(６° 将坐标轴重新命名，如果曲线或曲面的方程不变,则被积函数中的ｘ,y ，z 也同样作变化后，积分值保持不变．四、各种积分的应用１.形心坐标公式：(),ΩΩ=⎰Ωxd M x μ()().,ΩΩ=ΩΩ=⎰⎰ΩΩzd M z yd M y μμ质心坐标公式：()(),⎰⎰ΩΩΩΩ=d M xd M x μμ()()()().,⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩΩΩ=ΩΩ=d M zd M z d M yd M y μμμμ2.转动惯量:()().2⎰ΩΩ=d M r M I μ 3.旋度：r ｏｔF (Ｍ）＝ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂z Q y R i +⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x R z P j +⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂y P x Q ｋ.4.散度：div F (Ｍ)= .Mz R y Q x P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂ 五、习题1.计算,2dxdy y D⎰⎰其中Ｄ由横轴和摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x 的一拱)0,20(>≤≤a t π围成. 2.计算,)(sin 12dxdy y x D⎰⎰+-其中Ｄ: .0,0ππ≤≤≤≤y x 3.计算,222dxdy y x a D⎰⎰--其中D : .0,,22>≥≤+a x y ay y x 4．计算,22dxdy y x D⎰⎰+ 其中D ： .0,0a y a x ≤≤≤≤5．计算[],)(1⎰⎰⎰+VdV z xf y 其中V 是由不等式组2230,1,11y x z y x x +≤≤≤≤≤≤-所限定的区域，)(z f 为任一连续函数.6．计算,222⎰⎰⎰+VdV z y x 其中V 是由不等式组1)1(,1222222≤-++≥++z y x z y x 所确定的空间区域. 7.计算,1222⎰⎰⎰-++VdV z y x 其中V 是由锥面22y x z +=和平面1=z 围成的立体．8.计算,)32(⎰⎰⎰++VdV z y x 其中V是顶点在)000(，，处,底为平面3=++z y x 上以)111(，，为圆心，１为半径的圆的圆锥体.8.计算,⎰lxds 其中l 为双曲线1=xy 上点)2,21(到)1,1(的弧段.9.计算⎰++Lds xy zx yz ,)222(其中L 是空间圆周.232222⎪⎩⎪⎨⎧=++=++az y x a z y x10.计算，ds z y x z D⎰⎰),,(ρ其中S 是椭球面122222=++z y x 的上半部分,点π,),,(S z y x P ∈为S 在点Ｐ处的切平面,),,(z y x ρ为原点)000(，，到平面π的距离.1１.计算,cos )sin 1(2⎰--+ly y xdx e dy x e x 其中l 是由由原点沿2x y =到点)1,1(的曲线.12.计算⎰Γ+++++,)()()(222222dz y x dy x z dx z y 其中(),024:22222>⎪⎩⎪⎨⎧=+=++Γz xy x xz y x从z 轴正向看Γ取逆时针方向.1３．计算,)()(22⎰+++-ly x dy y x dx y x 其中l 为摆线⎩⎨⎧-=--=ty t t x cos 1sin π从0=t 到π2=t 的弧段. 1４.计算,)6()22(22223ydxdy z dzdx x z y x zy dydz e xx S-+++--⎰⎰-π其中S 是由抛物面224y x z --=,坐标面xo ｚ,yo ｚ及平面1,1,21===y x y z 所围成的立体表面的外侧. １5.计算,)()()(232323dxdy x z dzdx z y dydz y x S-+-+-⎰⎰其中S 是由锥面22z x y +=与半球面)0(222>--+=R z x R R y 构成的闭曲面的外侧.16.计算,dxdy y x f y z z dzdx y x f dydz y x f y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰∑其中∑是由122++=z x y 和229z x y --=所围立体表面的外侧， )(u f 是有连续导数的函数．17.计算,4)1(2)18(2dxdy yz dzdx y xdydz y S ⎰⎰--++其中S 是由()3101≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=-=y x y z 绕y 轴旋转一周所得到的曲面，它的法向量与y 轴正向夹角恒大于.2π1８．计算,222dzdx z x Sy ⎰⎰+其中Ｓ是曲面22z x y +=及1=y ,2=y 所围立体表面外侧．１9.求闭曲面z a z y x 32222)=++（所围成的立体体积. 20.求锥面222x z y =+含在圆柱面222a y x =+内部分的面积．21.求由曲线L ：)21(ln 2142≤≤-=x x x y 绕直线8943-=x y 旋转形成的旋转曲面的面积． 22.求平面曲线段l :)10(233≤≤+=x x x y 绕直线Ｌ：x y 34=旋转形成的旋转曲面的面积. 23.设函数)(x f 在区间]1,0[上连续，并设,)(1⎰=A dx x f 求⎰⎰110.)()(xdy y f x f dx24.求线密度为x 的物质曲线()0222222≥⎪⎩⎪⎨⎧=+=++z Rxy x Rz y x 对三个坐标轴转动惯量之和. ２5.设r =x i +ｙj ＋z k , r=|r ｜．（１)求)(r f ,使div[)(r f r ］=0;（２）求)(r f ,使ｄi ｖ[grad )(r f ]=0.26.设函数)(x f 在区间]1,0[上连续、正值且单调下降,证明：.)()()()(110210102⎰⎰⎰⎰≤dx x f dxx f dxx xf dxx xf2７.设函数)(t f 连续，证明:⎰⎰⎰--=-DAAdt t A t f dxdy y x f .|)|)(()(２8.证明:()),0()323(31085335>+≤+++≤⎰⎰∑a a a dS a z y x a ππ其中∑是球面:.022222222=+---++a az ay ax z y x29．设Γ是弧长为s 的光滑曲线段，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在Γ上连续,且.max 222R Q P M ++=Γ证明:.Ms Rdz Qdy Pdx ≤++⎰Γ30．设在上半平面{}0|),(>=y y x D 内函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意的0>t ,都有).,(),(2y x f tty tx f -=证明:0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L,其中L 是D 内任意分段光滑的有向简单闭曲线.第三部分无穷级数一、数项级数（一）数项级数的基本性质１．收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0. ２.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .(即部分和数列收敛)3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛),而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4．对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变. 5．在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断１.正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2)比较判别法(放缩法):若两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv之间自某项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1( =≤n cv u n n ,那么（i)当级数∑∞=1n nv收敛时,级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii)当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.推论：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，且自某项以后有nn n n v v u u 11++≤,那么（i)当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；(ii)当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.(3)比较判别法的极限形式（比阶法)：给定两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ,若0lim>=∞→l v u nnn ，那么这两个级数敛散性相同.(注:可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容)另外，若0=l ,则当级数∑∞=1n nv收敛时,级数∑∞=1n nu亦收敛;若∞=l ,则当级数∑∞=1n nu发散时,级数∑∞=1n nv亦发散．常用度量： ①等比级数:∑∞=0n nq，当1<q 时收敛,当1≥q 时发散；②ｐ-级数:∑∞=11n p n ,当1>p 时收敛，当1≤p 时发散(1=p 时称调和级数)； ③广义p -级数:()∑∞=2ln 1n pn n ,当1>p 时收敛，当1≤p 时发散.④交错p -级数:∑∞=--111)1(n pn n ,当1>p 时绝对收敛,当10≤<p 时条件收敛. (4)达朗贝尔判别法的极限形式(商值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ,当1lim1<=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 收敛;当1lim 1>=+∞→r u u n n n 时级数∑∞=1n n u 发散；当1=r 或1=r 时需进一步判断. （５)柯西判别法的极限形式(根值法）:对于正项级数∑∞=1n nu,设n n n u r ∞→=lim ，那么1<r 时此级数必为收敛,1>r 时发散,而当1=r 时需进一步判断． (６）柯西积分判别法：设∑∞=1n nu为正项级数,非负的连续函数)(x f 在区间),[+∞a 上单调下降,且自某项以后成立着关系:n n u u f =)(,则级数∑∞=1n nu与积分⎰+∞)(dx x f 同敛散.2.任意项级数的理论与性质（1)绝对收敛与条件收敛:①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然； ②对于级数∑∞=1n nu,将它的所有正项保留而将负项换为0,组成一个正项级数∑∞=1n nv，其中2nn n u u v +=;将它的所有负项变号而将正项换为0,也组成一个正项级数∑∞=1n nw，其中2nn n u u w -=,那么若级数∑∞=1n nu绝对收敛,则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都收敛；若级数∑∞=1n nu条件收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都发散.③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同. ④若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都绝对收敛,它们的和分别为U 和V ,则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝对收敛,且和为UV .特别地，在上述条件下,它们的柯西乘积⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11n n n n v u 也绝对收敛，且和也为UV . 注:⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n v u c ,这里121121v u v u v u v u c n n n n n ++++=-- .(2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）:若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足0lim =∞→n n u ，且{}n u 单调减少(即1+≥n n u u ),则∑∞=--11)1(n n n u 收敛，其和不超过第一项,且余和的符号与第一项符号相同,余和的值不超过余和第一项的绝对值．二、函数项级数(一)幂级数1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 (1)柯西－阿达马定理：幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x <-0内绝对收敛,在R x x >-0内发散,其中R 为幂级数的收敛半径. （２)阿贝尔第一定理：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处收敛,则它必在00x x x -<-ξ内绝对收敛；又若∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处发散,则它必在00x x x ->-ξ也发散.推论1:若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处收敛,则它必在ξ<x 内绝对收敛；又若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处发散，则它必在ξ>x 时发散．推论2：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处条件收敛，则其收敛半径0x R -=ξ,若又有0>n a ,则可以确定此幂级数的收敛域.（3）收敛域的求法：令1)()(lim 1<+∞→x a x a nn n 解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性,取并集.２.幂级数的运算性质(1)幂级数进行加减运算时，收敛域取交集,满足各项相加；进行乘法运算时,有：∑∑∑∑∞==-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0000n n n i i n i n n n n n n x b a x b x a ，收敛域仍取交集. （2)幂级数的和函数)(x S 在收敛域内处处连续，且若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在Rx x -=0处收敛，则)(x S 在[)R x R x +-00,内连续；又若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x +=0处收敛，则)(x S 在(]R x R x +-00,内连续.(3）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变. 3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和 (1）常用的幂级数展开：① +++++=nxx n x x e !1!2112∑∞==0!n n n x ,x ∈（-∞， +∞).②=11x -1+x +x 2+···+x n +··· =∑∞=0n n x ，x ∈(-１, １）．从而，∑∞=-=+0)(11n n x x ，∑∞=-=+022)1(11n nn x x . ③∑∞=+++-=++-+-+-=0121253)!12()1()!12()1(!51!31sin n n nn n n x n x x x x x ,x ∈(－∞, +∞).④∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1()!2()1(!41!211cos n n n n n n x n x x x x ,x ∈(-∞， +∞). ⑤∑∞=-+-=++-+-+-=+11132)1(11)1(3121)1ln(n n n n n n x x n x x x x ，x ∈(-1, 1].⑥ ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα,x ∈(-1，１).⑦1202123)12()!(4)!2(12!)!2(!)!12(321arcsin +∞=+∑+=++-+++=n n n n x n n n n x n n x x x ,x ∈［-1， 1］.⑧120123121)1(121)1(31arctan +∞=++-=++-++-=∑n n n n n x n x n x x x ，x ∈[-1, １]. （2）常用的求和经验规律:①级数符号里的部分x 可以提到级数外；②系数中常数的幂中若含有n ,可以与x 的幂合并,如将n c 和n x 合并为ncx )(； ③对∑∞=0n nnx a求导可消去n a 分母因式里的n ，对∑∞=0n n n x a 积分可消去n a 分子因式里的1+n ；④系数分母含!n 可考虑x e 的展开，含)!2(n 或)!12(+n 等可考虑正余弦函数的展开; ⑤有些和函数满足特定的微分方程,可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解. (二）傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理(本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立）若)(x f 以l 2为周期，且在[-l , l ］上满足: ①连续或只有有限个第一类间断点； ②只有有限个极值点;则)(x f 诱导出的傅里叶级数在[-l , l ]上处处收敛． 2. 傅里叶级数)(x S 与)(x f 的关系:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++--++=.2)0()0(2)0()0()()(为边界点，为间断点；，为连续点；，x l f l f x x f x f x x f x S3．以l 2为周期的函数的傅里叶展开展开：∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(~)(n n n l x n b l x n a a x S x f ππ（１)在[－l , ｌ]上展开：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰---l ln l l n l l dx l x n x f l b dx l x n x f l a dx x f l a ππsin )(1cos )(1)(10;(2）正弦级数与余弦级数:①奇函数(或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰l n n dxl x n x f l b a a 00sin )(200π；②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰0cos )(2)(2000n l n l b dx l x n x f l a dx x f l a π;４.一些在展开时常用的积分: (1);0cos ;1)1(sin 010=+-=⎰⎰+ππnxdx n nxdx n(2)2sin 1cos ;1sin 2020πππn n nxdx n nxdx ==⎰⎰；(3)2022010)1(2cos 1)1(cos ;)1(sin nnxdx x n nxdx x n nxdx x nn n -=--=-=⎰⎰⎰+πππππ；; （4）C nx n nx a e n a nxdx e axax +-+=⎰)cos sin (1sin 22; C nx a nx n e na nxdx e axax +++=⎰)cos sin (1cos 22; (５）C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin ;C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos .注:①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为0； ②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和间断点的特殊性; ③对于π≠l 的情形,事先令x lt π=对求积分通常是有帮助的.五、习题１.判断下列数项级数的敛散性,若收敛，不是正项级数的指出是绝对收敛还是条件收敛. （1）∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1212n nn n ；(2）nn n βα∑∞=1，其中β非负;（3）∑⎰∞=140tan n n n xdx λπ,其中0>λ；（4)np n n n1111)1(+∞=-∑-;(5）n n nnn !)(1∑∞=-α，其中0>α； (6)!)!12(!)!32()1(2---∑∞=n n n n．2．求幂级数nn n n x n ∑∞=+132的收敛域. 3.求幂级数nn n n x n b n a ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的收敛域，其中b a ,为正数．4.将下列函数展开成x 的幂级数. (１)xx 21-;（2）x arcsin ；（3）x x x x -+-+arctan 2111ln 41. ５.求下列幂级数的收敛域及和函数．（1）n n n x n ∑∞=+-121)1(;(２))12()1(211--∑∞=-n n x n n n ; (３)()∑∞=03!3n nn x ; 6.求数项级数∑∞=-⋅-1212)!2(2)1(n nn n n 的和. 7.设(),arctan )(2x x f =分别求出)0()12(-n f 和)0()2(n f .8.求极限∑⎰∞=+→+112sin 0202)sin(lim n n n xx n x dt t . 9.求极限.)!14(!11!7!31)!34(!9!51lim 448444840-++++-++++--→n n n n x ππππππ10．将函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤=l x l x l l x x x f 2,20,)(展开成正弦级数.1１.将函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤=l x l l x l x x f 2,020,cos )(π展开成余弦级数. 12．将函数)arcsin(sin )(x x f =展开成傅里叶级数．１3.证明：幂级数n n n k x n k ∑∑∞==112)!2()!(在)3,3(-内绝对收敛. 14.求函数⎰-+=πππdt t x f t f x F )()(1)(的傅里叶系数nn B A ,,其中)(x f 是以π2为周期的连续函数,n n b a ,是其傅里叶系数．并证明：).(2)(1212202n n n b a a dt t f ++=∑⎰∞=-πππ。

《微积分二》复习要点整理(基本层次要求)

实用标准文档微积分（II ）复习要点（共11页）（此提纲主要针对基础较薄弱的同学使用建议按照提纲罗列顺序进行复习）Ch6+Ch7两章第一部分计算偏导与全微分（以二元函数为主）或偏导函数解法：求具体点偏导 —x 0y 0步骤如下：X1代入y y °,则原二元函数变为一元函数f x,y ° , 2利用上学期方法求上述一元函数的导数 dz,dx求偏导函数—步骤如下：x 1）将f x,y 中的y 视为常数，2利用上学期方法求z 对x 的导数,所得结果即为—x *类似，将f x,y 中的x 视为常数，对y 求导即得二.y配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！前提一一熟记第三章P63导数公式、P60“四则运算”求导法则、P64 复合函数求导之链式法则！P251 Ex8 2） 1） 4）, Ex9 3） 2）问题2.已知z f x,y ,求全微分dz.问题1.已知初等函数z f x,y 具体形式，求解偏导数zx o ,y oXx o ,y oy3最后代入x x o ,即得所求x o ，y° -*类似，可求出-yx o ,y o -解法：利用全微分与偏导的关系一一先分别求出二，二的具体结果x y则dz — dx — dy为所求.x y配套练习) 强烈建议严格遵循以下顺序操练！P253 Ex13 2) 7) 3)问题3•已知初等函数z f x,y具体形式，求解二阶偏导数2 2z z， 2 .y x y*务必准确识别以上四个二阶偏导的含义，参见P225相关定义和记号求法按照符号的定义逐阶求偏导2比如——:首先针对z f x,y求出-^,然后针对求出的结果(即—x y x x再求此新函数关于y的偏导.配套练习) 强烈建议严格遵循以下顺序操练!P253 Ex12 1) 2)问题4.复合函数求导(偏导).要点：借助“路线图”，根据题目实际情况熟练写出链式法则(如P219 公式(7 10),再进一步具体算出各部分结果.配套练习) 强烈建议严格遵循以下顺序操练!P254 Ex16 1) 4)问题5.隐函数求导(偏导或全微分).要点：熟记P223一元隐函数导数公式 (7 15), P224二元隐函数偏导公式(7 16),套用即可.学会P223〜P224两例的法一即可！配套练习) 强烈建议严格遵循以下顺序操练！P254 Ex18 1) 3), Ex19 2) 1)第二部分求二元函数的极值和条件最值问题1.求二元初等函数z f x,y的极值解法步骤：Z x 01）求出Z x,Z y,并令，解此方程组得所有驻点，如x i ,y i , , X k ,y kzy2 求出 Z xx , Z xy , Z yx , Z yy3）针对以上各驻点，逐个利用P229定理7.8结论判定极值与否、极大/极小.*学会P230例2、例3解答过程.配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P254 Ex20 1） 4）问题2.求具有实际背景（尤其经济背景）二元初等函数Z f x,y 在条件 x,y 0下的条件最值.解法步骤：1）令F x,y, f x,y x,y2）求F的驻点，即解下列方程组：令F x f x x 0令F y f y y 0令F x,y 03）若以上驻点x°,y°, 0唯一，则x°,y°为所求条件最值点.该部分课本相应例题解答均有问题，建议参考相关课堂笔记！并依照以上步骤做以下练习：例）某公司通过电台、报纸两种方式做销售某商品的广告.据统计资料，销售收入R 万元与电台广告费用x万元及报纸广告费用y万元之间的关系如下经验公式：2 2R 15 14x 32y 8xy 2x 10y若提供的广告费用为1.5万元且用尽，求相应的最优广告策略.Key : x 0, y 1.5第三部分定积分相关要点基本前提：熟记P119~P120及P131~P132不定积分公式！b问题1.已知f x 具体形式，求解定积分 f x dx.a主要方法)牛顿一莱布尼兹公式：1)利用求不定积分的方法，求出f x 的一个原函数F x , bb2 从而 fxdx F x b F b Fa.a*重点：若f X 是a,b 上的分段函数，比如以C 为分段点，则需利用—I-定积分的“拆区间”性质f f f,使得右端每个被积函数 a a c 1均取明确形式，再进行计算.配套练习)强烈建议严格遵循以下顺序操练！P187 Ex11 1) 2) 3) 4) 8) 10)a特殊方法)当积分区间关于原点对称时,定积分f 有公式如下: -a0, f 为奇函数a20f, f 为偶函数1 ; -------------------------------例.求解 x 2sinx x£1 x 2x dx.1解：（务必注意积分区间的特点！） x 2sinx, x . 1 X 2均有奇函数，x 2sin xdxxl1 x 2dx 0. 1 111 1x 为偶函数，xdx 2 xdx 2 xdx1.'10 I从而原式 0 0 11.问题2.变限积分的求导及应用要点)x1)熟记函数 x f t dt 的求导公式：x f x .au xf t dt f u x u x进一步有公式：au xa -af t dt f u x u x f v x v xv x2利用以上求导公式，结合L' Hospital法则,可求解某些极限配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练!P186 Ex5 1）, Ex4 1） 2）问题3.定积分的几何应用与经济应用要点）1）几何应用一 --- 求平面图形面积）典型例P162例1 P163例4:注意针对不同的区域形状选择适当的积分变量.配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P189 Ex22 1） 3） 4）2）几何应用二-- 求旋转体体积）熟记P166公式（6 22及其适用的图6 19,熟记公式（6 24及其适用的图6 21.运用以上两公式求解旋转体体积.*注意：以上两公式只能直接用于求解具有“实心”特征的旋转体体积若考察空心旋转体体积，则只能间接利用公式将所求体积转化为若干实心体积.例如P166式（6 23即运用了此原理.配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P189 Ex29 3） 5）3）经济应用 -- 已知边际求总量）原理：若已知F x ,则由牛顿一莱布尼兹公式可得xF x F a F t dt,其中a为选定的常数.熟记 P168 〜169公式（6 26）~（6 28 .典型例：P169例8, P170例9.配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P190 Ex33, Ex34第四部分二重积分相关要点问题1.已知区域D具体形式，将二重积分 f x,y dxdy表达为两种D累次积分次序.解法步骤）1）在平面直角坐标系中画出D的草图2判断D的形状：若D为P239图7 27（a）之“x型”区域，则运用公式（7 21）写出“外x内y”形式的累次积分；若D为P239图7 27（b）之“y 型”区域，则运用公式（7 22写出“外y内x”形式的累次积分3）若D并非标准的“x型”或“y 型”,则需利用分块积分法则（P238性质7.7）,将D划分为若干标准的“x型”或“y型”区域，再分别写出累次积分结果.典型例：P241例2配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P255 Ex30 3） 1）问题2.将给定的累次积分交换积分次序.要点）1）根据题目形式写出积分区域D的形状，2）对于f x,y dxdy ,按要求写出另一种累次积分,方法同“问题1D典型例：P241例3配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P255 Ex31 1） 3） 4） 2）问题3.已知f x,y和积分区域D的具体形式，计算f x,y dxdy.D要点)1)画出积分区域D的草图，2根据D的形状及f x,y的形式选择适当的累次积分次序表达，3)由内层至外层逐层计算上述累次积分，最终求出原二重积分.*若区域形状为圆、环、扇形等,且f x,y为关于x2y2或y的形式，x则上述过程宜采用极坐标系计算,即令x rcos ,y rsin ,将原积分化为frcos ,rsin rdrd ,再将此新二重积分化为外层关于、内层关于r的累次积分，具体结果见P244 ~ P245公式(7 24) ~ (7 26),重点熟记(7 25)即可.典型例(建议按以下顺序复习)：P242例4,例6,例5,P246例8配套练习) 强烈建议严格遵循以下顺序操练！P255 Ex32 3) 4), Ex33 2) 1)问题4.求以非负曲面z f x,y为顶，xy平面上某区域D为底的曲顶柱体体积.要点：由题意准确识别出作为“顶”的函数z f x,y及作为“底”的平面区域D.则V f x,y dxdy .再利用问题3中方法求此二重积分.D配套练习) 强烈建议严格遵循以下顺序操练！P256 Ex35 1) 2)第五部分其它要点摘录1. 理清z f x,y 偏导函数连续、可微、偏导存在、连续的关系，理清 f x,y 的极值点、驻点的关系.2. 熟用 P147性质 6.3并练习 P186Ex21）2）4）.3. 熟记概率积分 e"dx 「. 02+a4.按定义判定无穷限积分 f x dx, f x dx, f x dx 的敛散性；a-能识别瑕积分，并按定义判定瑕积分bf x dx （三类：分别a 、b c a,b 为瑕点）的敛散性。

微积分复习提纲

高等数学复习提纲基本内容：1、函数基本概念及性质。

基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

初等函数：由基本初等函数和常数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。

注：分段函数一般不是初等函数。

特例：,0,0x x y x x ≥⎧==⎨-<⎩为初等函数。

2、极限定义：nlim n a a →∞=⇔对任给0ε>，存在当n N >时，有||n a a ε-<.（等价定义）3、无穷小的定义与性质。

1）若函数f(x)当x x 0→(或∞→x )时的极限为零,则称f(x)当x x 0→(或∞→x )时为无穷小量。

注：（1）无穷小量是个变量而不是个很小的数.（2）零是常数中唯一的无穷小量。

2）无穷小的性质：有限个无穷小的代数和是无穷小、有界函数与无穷小的乘积是无穷小、常数与无穷小的乘积是无穷小、有限个无穷小的乘积也是无穷小。

3）函数极限与无穷小的关系：()()A x f x x x =∞→→lim 0的充要条件是()α+=A x f ，其中A 为常数，是当x x 0→(或∞→x )时的无穷小。

4、无穷大的定义。

若当x x 0→(或∞→x )时,f(x)的绝对值无限增大,则称函数f(x)当x x 0→(或∞→x )时为无穷大量。

注：无穷大是变量,不是一个绝对值很大的数。

5、无穷大与无穷小互为倒数。

6、极限的运算法则。

0型：1）用0sin lim1x xx →=。

2）因式分解法2339lim x x x →--。

3）分子分母有理化法1131lim --→x x x 。

∞∞型：分子分母同除以一个非零因式, 如：2232123lim x x x x x →∞+--+。

7、两个重要极限。

1）0sin lim1x xx→= 2）e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim 以及()e x xx =+→1lim10。

会用重要极限求函数极限。

《微积分》复习大纲1

《微积分》复习大纲第二章、极限与连续第一节、数列的极限教学目的和要求：1、通过割圆术和截杖问题的计算实例引入数列极限的概念，从中领会极限的基本思想。

2、使学生了解的极限定义和性质，并通过例题学会如何处理和解决相应的数学问题。

重点：数列极限的概念教学过程：一、问题的提出1、刘徽的割圆术2、截杖问题二、数列极限的定义注：1、数列是否有极限，与其前面的有限项无关•而与从某项以后的变化情况有关，因此改变一个数列的有限项的值或去掉或添加有限项，均不改变{ X n} 的收敛与发散性；2、在证明数列有极限时，不一定要找到最小的正整数N,只要证明其存在即可.显然，如果证明了存在符合要求的正整数N,那么这种就有无穷多个.3、数列极限的定义未给出求极限的方法.第二节、函数的极限教学目的和要求：1、理解函数极限的概念，了解；-X ,；定义。

2、使学生了解的函数极限性质重点：函数极限的概念教学过程：一、函数极限的定义1、自变量趋于无穷大时函数的极限注：讨论当自变量X的绝对值|X无限增大（X r ,X r 一，X））时，函数f （X）无限趋近于一个常数A的情形.2、自变量趋于有限值时函数的极限注：研究自变量x无限趋近于一个常数x o,(x— x0,x_. x0,x_. \7),函数f (x) 无限趋近于一个常数A的情形.三、例题分析例1证明lim叱=0.x注：1本题考察用定义验证函数极限的一般过程2、若|im f x =c，则直线y = c是函数y= f x的图形的水平渐近线。

例2:证明lim c =c ( c为常数).X—注：常数在任一点的极限是常数。

例3:证明lim x = x0.X—sxo例4:证明lim匸1 =2.一x—1注：函数在某一点是否有极限，与该点是否有定义无关。

\+1, x c0例5:设f (x)=彳0, x =0证验当X T0时，f (x )的极限不存在.x2 -1, x 0注：函数f X当x > X。

(整理)微积分2复习提纲1

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