人教版数学高一-新人教A版必修四测试题 第三章 三角恒等变换测试题2

《三角恒等变换》单元测试一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1、已知3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12sin 13β=-，β是第三象限角，则()cos βα-的值是 （ ） A 、3365-B 、6365C 、5665D 、1665- 2、已知α和β都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，则sin β的值是（ ） A 、3365 B 、1665 C 、5665 D 、63653、已知32,244x k k ππππ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭()k Z ∈，且3cos 45x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则cos2x 的值是 （ ） A 、725-B 、2425-C 、2425D 、7254、设()()12cos sin sin cos 13x y x x y x +-+=，且y 是第四象限角，则2ytan 的值是（ ） A 、23±B 、32±C 、32-D 、23- 5、函数()sincos22f x x x ππ=+的最小正周期是 （ ）A 、πB 、2πC 、1D 、25'、若函数()()()sin g x f x x π=为以2为最小正周期的奇函数，则函数()f x 可以是（ ）A 、()sin x πB 、cos 2x π⎛⎫⎪⎝⎭ C 、sin 2x π⎛⎫⎪⎝⎭D 、sin 2x π⎛⎫⎪⎝⎭6、某物体受到恒力是(1,3F =，产生的位移为()sin ,cos s t t =-，则恒力物体所做的功是 （ ）A 1B 、2C 、6'、已知向量()2cos ,2sin a ϕϕ=，()90,180ϕ∈，()1,1b =，则向量a 与b 的夹角为（ ）A 、ϕB 、45ϕ-C 、135ϕ-D 、45ϕ+ 7、要得到函数2sin 2y x =的图像，只需要将函数2cos 2y x x =-的图像（ ） A 、向右平移6π个单位 B 、向右平移12π个单位C 、向左平移6π个单位 D 、向左平移12π个单位8、已知12sin 41342x x πππ⎛⎫⎛⎫+=<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则式子cos 2cos 4x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A 、1013-B 、2413C 、513D 、1213- 9、函数sin 22x xy =的图像的一条对称轴方程是 （ ）A 、x =113πB 、x =53π C 、53x π=- D 、3x π=- 10、已知1cos sin 21cos sin x xx x-+=-++，则sin x 的值为 （ ）A 、45 B 、45- C 、35- D、5-11、已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,βπ∈，且()1tan 2αβ-=，1tan 7β=-，则2αβ-的值是 （ ） A 、56π-B 、23π-C 、 712π-D 、34π- 12、已知不等式()2cos 04442x x x f x m =+--≤对于任意的566x ππ-≤≤恒成立，则实数m 的取值范围是 （ ） A、m ≥ B、m ≤ C、m ≤、m ≤≤二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在题中的横线上）13、已知1sin 3x =，()sin 1x y +=，则()sin 2y x += 14、函数sin 234y x x π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭的最小值是 15、函数1sin cosxy x-=图像的对称中心是（写出通式）16、关于函数()cos2cos f x x x x =-，下列命题： ①、若存在1x ，2x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立； ②、()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增； ③、函数()f x 的图像关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图像； ④、将函数()f x 的图像向左平移512π个单位后将与2sin 2y x =的图像重合．其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上）三、解答题（本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17、（本小题满分12分） 已知02πα<<，15tan22tan2αα+=，试求sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．18、（本小题满分12分）已知()3sin ,cos a x x ωω=-，()cos ,cos b x x ωω=()0ω>，令函数()f x a b =，且()f x 的最小正周期为π．（1） 求ω的值；（2） 求()f x 的单调区间．（选做）18'、设()1cos ,sin a αα=+，()1cos ,sin b ββ=-，()1,0c =，()0,απ∈，(),2βππ∈，设a 与c 的夹角为1θ，b 与c 夹角为2θ，且126πθθ-=．求sin8αβ-的值．19、（本小题满分12分）已知1tan 42πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，试求式子2sin 22cos 1tan ααα--的值．20、（本小题满分12分）已知x R ∈，()211sin tan 222tan 2x f x x x x ⎛⎫⎪=-⎪ ⎪⎝⎭． （1） 若02x π<<，求()f x 的单调的递减区间；（2） 若()2f x =，求x 的值．21、（本小题满分12分） 已知函数()f x 满足下列关系式： （i ）对于任意的,x y R ∈，恒有 ()()222f x f y f x y f x y ππ⎛⎫⎛⎫=-+---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （ii ）12f π⎛⎫=⎪⎝⎭． 求证：（1）()00f =； （2）()f x 为奇函数；（3）()f x 是以2π为周期的周期函数．《三角恒等变换》单元测试题1、∵3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴4sin 5α=，又12sin 13β=-，β是第三象限角，∴5cos 13β=-，∴()cos βα-531243313513565⎛⎫⎛⎫=-⨯-+-⨯=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2、依题意，∵5sin 13α=，∴12cos 13α=，又()4cos 5αβ+=-，∴2παβπ<+<，∴()3sin 5αβ+=，∵()sin sin[]βαβα=+-，因此有，3124556sin 51351365β⎛⎫=⨯--⨯=⎪⎝⎭ 3、∵32,244x k k ππππ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭，∴cos sin 0x x ->，即)sin cos sin 042x x x π⎛⎫--> ⎪⎝⎭，∴4sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又∵cos 2sin 22sin cos 244x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴4324cos 225525x ⎛⎫=⨯⨯-=-⎪⎝⎭4、由()()12cos sin sin cos 13x y x x y x +-+=得()12sin sin 13x x y y -+=-=⎡⎤⎣⎦，又∵y 是第四象限角，∴5cos 13y =，∵22sin 1cos 2tan2sin 2sin cos 22y y y y y y-==5121312313-==-- 5因为()()()1sin1cos 122f x x x ππ+=+++sin cos 2222x x ππππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()cossin22x x f x ππ=+-=，∴最小正周期是1T = 5'、∵()()g x g x -=-，∴()()()()sin sin f x x f x x ππ--=-，即得：()()f x f x -=成立，∴()f x 为偶函数，又∵()()2g x g x +=，∴()()2f x f x +=，即()f x 的周期为2，选C6、∵功sin 2sin 3w F s t t t π⎛⎫===- ⎪⎝⎭，∴2w ≤ 6'、∵()2cos 2sin 45a b ϕϕϕ=+=+，2a =，2b =，因此，()()()cos ,sin 45cos 9045cos 45a b a b a bϕϕϕ⎡⎤==+=-+=-⎣⎦，6' ∴,45a b ϕ=-7、∵12cos 222cos 22y x x x x ⎫=-=-⎪⎪⎝⎭2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin 212x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∵12122sin 22sin 212y x y x πππ⎛⎫−−−−−→==-←−−−−− ⎪⎝⎭向右平移得向左平移得选D8、∵42x ππ<<，∴5244x πππ<+<，则5cos 413x π⎛⎫+=-⎪⎝⎭，则式为sin 22sin cos 2442sin 4cos cos 44x x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭===- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 4x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9、∵sin 22x x y =2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令22323x k x k πππππ+=+⇒=+()k Z ∈，当1k =-时，53x π=-10、∵()()222sin 2sin cos1cos sin 222tan1cos sin 22cos 2sin cos 222x x x x x x x x xx x ⎛⎫+ ⎪-+⎝⎭==+++2=-，∴22tan42sin 51tan 2xx x ==-+11、∵()11127tan tan 113127ααββ-=-+==⎡⎤⎣⎦⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭，∴()()tan 2tan αβαβα-=-+⎡⎤⎣⎦1132111132+==-⨯，又∵()0,βπ∈，1tan 7β=-，0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴20παβ-<-<，∴2αβ-34π=-12、∵()26x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0m -≤对于566x ππ-≤≤恒成立，即()max m f x ≥=13、∵()sin 1x y +=，∴22x y k ππ+=+，∴22y k xππ=+-，∴()sin 2sin (2)2y x k y ππ⎡⎤+=++⎢⎥⎣⎦sin cos 2y yπ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭cos 22k x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1cos sin 23x x π⎛⎫=-==⎪⎝⎭14、令cos 4t x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴cos 2324y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2225215222t ⎛⎛=--+≥---+=- ⎝⎭⎝⎭15、∵1cos tan sin 2x xy x -==∴对称中心为()(),0k k Z π∈16、∵()552sin 22sin 22sin 26612f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴周期T π=，①正确；∵递减区间是532262x πππ≤+≤，解之为,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，②错误；∵对称中心的横坐标5526212k x k x ππππ+=⇒=-，当1k =时，得③正确；应该是向右平移，④不正确．17、解：由15tan22tan2αα+=，得1cos 1cos 54sin sin sin 25ααααα-++=⇒=，又02πα<<，∴3cos 5α=，所以4134sin 3525210πα-⎛⎫-=⨯-⨯=⎪⎝⎭ 18、（1）∵()f x a b=，∴()2cos cos f x x x xωωω=+()11cos 2222x x ωω=+1sin 262x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即()5sin 26f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12+，∴2221T ππωωπ==⇒=；（2）令5222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解之()f x 在2,36k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上递增；同理可求递减区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈． 18'依题意：1cos cos22a b a bαθ====+，又()0,απ∈，则0,22απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴12αθ=，同理2cos sin 2βθ=cos 22βπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因(),2βππ∈，所以0,222βππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴222βπθ=-，将1θ、2θ代入126πθθ-=有23αβπ-=-，从而有sinsin sin 81264αβπππ-⎛⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．19、2sin 22cos 1tan ααα--()222cos tan 12cos tan 1tan 4ααπααα-⎛⎫==- ⎪+⎝⎭cos 241cos 222sin 24ππααππα⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦=-⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()11cos222cos2tan 4ααπα=-+=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭24tan 422sin 2221tan 4παπαπα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭=++=+ ⎪⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭2142225112⎛⎫- ⎪⎝⎭=+=⎛⎫+- ⎪⎝⎭20、()211cos 1cos sin 22sin sin x x f x xx x x +-⎛⎫=- ⎪⎝⎭212cos 1sin cos 2sin 2cos 22sin 222x x x x x x =+=+sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （1）∵02x π<<，∴42233x πππ≤+<，即122x ππ≤<时，()f x 为减函数，故()f x 的递减区间为,122ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（2）∵sin 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴()x k k Z π=∈，或()6x k k Z ππ=+∈．21、（1）令0x y ==，()()22000022f f f f ππ⎛⎫⎛⎫=-=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）令2x π=，y R ∈，()()()22f f y f y f y π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∵12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()()f y f y =--，故()f x 为奇函数；（3）令2y π=，x R ∈，有()()()21f x f x f x π=---，即()()f x f x π-=……①，再令2x π=-，y x =有()()()()21f x f x f x ππ-=+--()()f x f x π+-，即()()()f x f x f x ππ+=-=-，令x t π-=，则2x t ππ+=+，所以()()2f t f t π=+，即()f x 是以2π为周期的周期函数．。