高阶导数与高阶微分

2
y sin x cos(x ) sin(x 2 ),
2
2
y(n) (sin x)(n) sin(x n ).
2
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§8. 高阶导数与高阶微分
② y (cosx) sin x cos(x ),
2
y cos x sin(x ) cos(x 2 ),
§8. 高阶导数与高阶微分 高阶导数的运算法则
1. (u(x) v(x))(n) u(n) (x) v(n) (x).
2. Leibniz 公式：
(u(x) v(x))(n) u(0)v(n) Cn1uv(n1) Cnku(k )v(nk )
n
Cnn1u (n1)v u (n)v(0) Cnku (nk )v(k ) , k 0
dt
(t)(t) (t)(t)
( (t )) 3
.
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§8. 高阶导数与高阶微分
例7.
x
Leabharlann Baidu
a
cos
t，y
b
sin
t，求
d2y dx2
.
解： dy b ctgt， dx a
d2y dx2
d ( dy) dt dx
dx
( b ctgt) a
(a cost)
b ( csc2 t) a a sin t
2
2
y(n) (cosx)(n) cos(x n ). ——逐阶整理法
2
例4. f (x) (1 x) , ( R)
f (x) (1 x) 1，f (x) ( 1)(1 x) 2，
f (n) (x) ( 1)( 2)( (n 1))(1 x)n.
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P(x) na0 xn1 (n 1)a1xn2 an1, P(x) n(n 1)a0 xn2 (n 1)(n 2)a1xn3 an3. P(n) (x) n(n 1)(n 2)3 2 1a0 n!a0. P(n1) (x) P(n2) (x) 0.
n次多项式P(x)的n阶导数是常数n!a0 , 其高于n阶的导数皆为零.
§8. 高阶导数与高阶微分
(1) 复合函数y f (u)，u g(x)的二阶导数 :
dy dy du , dx du dx
d2y dx2
d dx
( dy ) dx
d dx
( dy du
du ) dx
d ( dy ) du dy d ( du ) dx du dx du dx dx
d2y du 2
( du )2 dx
dy du
d 2u dx2
.
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§8. 高阶导数与高阶微分
(2) 参数方程x (t)，y (t)的二阶导数:
y dy (t) . dx (t)
y
d2y d2x
dy dx
d ( (t)) dt (t) d ((t))
(t)(t) (t)(t) ( (t ) )2 (t)
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§8. 高阶导数与高阶微分
例2. y eax ,（a const).
(e x )(n) e x
y aeax , y a2eax , , y(n) aneax.
例3. y sin x, y cos x.
① y (sin x) cosx sin(x ),
其中
u(0)
u，v(0)
v，Cnk
n(n 1)(n k k!
1)
n! . k!(n k)!
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§8. 高阶导数与高阶微分 注1. 比较二项式展开公式
(u v)n u 0vn Cn1u1vn1 u nv0 ,
(u0 v0 1)，k次幂
记忆： (u v)n
x0
x
1
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§8. 高阶导数与高阶微分
二 阶 与 二 阶 以 上 的 导 数统 称 为 高 阶 导 数. 根 据 定 义 ， 求n阶 导 数 就 是 反 复 运 用 求一 阶 导 数 的 方 法 ， 逐 阶 进 行n次.
例1. n次多项式P(x) a0 xn a1xn1 an.
§8. 高阶导数与高阶微分
Def : y f (x)的导数y f (x（) 一阶导数）在x的导数，称为
f (x)在x的二阶导数，记为y，或 f (x)，或 d 2 y，即 dx2
y f (x) lim f (x x) f (x) ( f (x)).
x0
x
y f (x)的二阶导数f (x)在x的导数称为f (x)在x的三阶
b a2
csc3 t.
dt
k阶导数
(u v)(n)
注2. 法则1，2成立的条件是 u(x) 与v(x) 均存在 n 阶导数.
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§8. 高阶导数与高阶微分
例5. y x2 cos x，求y(50).
解： u cosx，u(n) cos(x n ).
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v x2，v 2x，v 2，v 0.
导 数， 记 为y， 或f (x)， 或 d 3 y . dx3
一般地，y f (x)的n 1阶导数f (n1) (x)在x的导数称为f (x)在
x的n阶 导 数 ， 记 为y ( n)， 或
f (n) (x)， 或
d nx，即 dxn
y(n) f (n) (x) lim f (n1) (x x) f (n1) (x) ( f (n1) (x)).
(ln
x)(n)
(1) n 1 (n xn
1)! ,
n
y (n) Cnk (a x )(nk ) (ln x)(k ) k 0
n k 0
Cnk a x (ln
a)nk
(1) k 1 (k xk
1)! .
注3. 求复合函数、参数方程及隐函数等的高阶导数，仍是
重复应用一阶导数的法则. 如：
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y (50)
x2
cos(x
50
2
)
C510
2x cos(x
49
2
)
C520
2 cos(x
48
2
)
x2 cosx 100x sin x 2450cosx.
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§8. 高阶导数与高阶微分
例6. y ax ln x，求 y(n). (a 0，a 1).
解： (a x )(n) a x (ln a)n ,