高阶导数

例7
1 求 y 的高阶导数. x
解
1 y (ln x) x y ( n ) ((ln x)) ( n ) (ln x) ( n 1)
(1)
(n)
( n 1) 1
[(n 1) 1] ! x
( n 1)
(1) n ! x
n
( n 1)
( 1)100100 !( x 2) 101 ( 1)100100 !( x 3) 101
即
1 x
(1) n ! x
n
( n 1)
(x Z )

1 x
(n)
(1) n n ! x ( n1)
(x Z )
类似地, 有
1 ( 1) n n !a n ( ax b ) ( n 1) ax b
n
例3
多项式 Pn ( x) a 0 x a1 x
n
n 1
a n 1 x a n
的高阶导数. 解
y ' a 0 nx
n 1
a1 (n 1) x
n2
a n 1
y' ' a0 n(n 1) x n2 a1 (n 1)(n 2) x n3 2an2
………………
y ( n ) a 0 n!
y
( n 1)
y
( n 2)
0.
对多项式而言, 每求一次导数 , 多项式的次数降低一次 ; n 次多项式的 n 阶导数为一常数 ; 大于多项式次数的任何阶数的导数均为 0 .
例4
求 y = ex 的各阶导数.
x y e
x x y ( y ) (e ) e

(n Z )

例9
解
d y y ln sin x , 求 . 2 dx dy d (ln sin x) dx dx
cos x cot x sin x
2
d2 y d 2 csc x (cot x ) dx 2 dx
例10
y esin x , 求 y.
sin x y e cos x
推而广之:
设 f ( x) 的 n 1 阶导数存在, 它仍是 x 的函数,
若它可导, 则称它的导数为原来函数的 n 阶导数.
n 阶导数的记号为 :
f ( n ) ( x),
n n d f ( x ) d y (n) . y , , n n dx dx
f
n
(n)
( x) ( f
( n 1)
综上所述：
(x )
n (k )
n(n 1) (n k 1) x
nk
(1 k n )
( x n )(k ) 0
( k n 1)
例2
( x n ) ( k ) n(n 1) (n k 1) x n k
求 y (ax b) n 的高阶导数 .
运用数学归纳法可得
(a )
x ( n)
a (ln a)
x
n
(n Z )

例6
解
求 y = lnx 的各阶导数. 1 11 1 1 y x ( 1) (1 1) ! x x 2 2 1 2 ( 1) 2 1 ( 2 1) ! x 2 y (1) x (1) x 3 ( 1) 31 (3 1) ! x 3 y (1)(2) x
解 当 1 k n 时, n k k (k ) n (k ) y ((ax b) ) n(n 1)(n k 1)(ax b) a
当 k n 1 时,
y
(k )
0
d f ( x) 注：一般地，设 g ( x), n dx d n f (ax b) n 则 a g (ax b). n dx
1 1 1 1 , 2 x 5x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
解 由于 故
100 100 d100 1 d 1 d 1 100 100 100 2 d x x 5x 6 d x x 2 d x x 3
y
(k )
设 则
(1) (k 1) ! x
( k 1) k 1
k 1
k
(1) (k 1)!(k ) x ( k 1) 1 ( k 1) (1) [(k 1) 1]! x 故由数学归纳法得 y
y
( n）
k 1
(ln x)
(n)
(1)
k (nk ) ( f ( x) g ( x)) ( n ) Cn f ( x) g ( k ) ( x) k 0 n
n! . 其中 , C k !( n k ) !
k n
例13
d100 1 求 . 100 2 d x x 5 x 6 ( x 1 )( n ) (1)n n ! x ( n1)
(arcsin x)
1 1 x2
(arccos x)
1
1 (arctan x) 2 1 x
1 x2 1 (arccot x) 1 x2
(1 x 1)
二、求下列函数的导数：
1 1、y arccos x x
x2 x2 1
；
sin 2 x 2、 y x 2 x cos 2 x sin 2 x x2 x 2 y (arcsin ) ；4、 2 2 arcsin x 2 4 x2
n 1
(n 1)! x
n
(n N )
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y ( n） (ln x) ( n ) (1) n 1 (n 1)! x n
类似地, 有
(n N )
(ln( ax b)) ( n ) ( 1) n 1 ( n 1)! a n ( ax b) n (n N )
解

y
(n)
e
x

y = ex 的任何阶导数仍为 ex
(n N )
(e x ) ( n ) e x
例5
求 y = ax 的各阶导数.
解
y ' a ln a
x
x x 2 y ' ' ( y ) (a ln a ) a (ln a)

y ( k ) a x (ln a ) k

( 4 k 2) ( 4 k 1)


y
(4k )
y
( 4)
sin x sin( x 4 ) 2

运用数学归纳法可以证得
(sin x )
(n)
sin( x n ) 2

(n Z )

类似地 , 可求得
( cos x )
(n)
cos( x n ) 2
( x)),
y ( n ) ( y ( n1) ), d n y d d n1 y , n n 1 dx dxdx
d f ( x) d d f ( x) , n n 1 dx dx dx
n 1
一个函数的导函数不一定再可导, 也不一定连 续. 如果函数 f ( x) 在区间 I 上有直到 n 阶的导数 f (n)(x) , 且 f (n)( x) 仍是连续的 (此时低于 n 阶的导 数均连续 ), 则称 f (x) 在区间 I 上 n 阶连续可导, 记为 f ( x) C n (I) 或 f ( x) C n . 如果 f (x) 在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存 在且连续, 则称函数 f (x) 是无穷次连续可导的, 记为
例
是 sin x 连续求两次导数的结果. 称为函数 sin x 的二阶导数, 记为 (sin x) ((sin x)) (cos x) sin x
一般说来, 如果函数 f ( x) 的导函数 f ( x) 仍然 可导, 则称 f ( x) 的导数为原来函数 f ( x) 的二 阶导数, 记为 f ( x) ( f ( x)).
f ( x ) C ( I) 或 f ( x ) C .
例1
求幂函数 y x n , n Z 的高阶导数.
n n 1 y (x ) nx
解
n 1 n2 y ( y ) (n x ) n(n 1) x
y ( y) n(n 1)(n 2) x n 3
(sin x) cos x
2 (tanx) sec x
1 (ln | x |) x
x (a ) a ln a x
(cos x) sin x
2 (cotx) csc x (sec x ) sec x tanx (csc x) csc x cotx
…………………………
y ( k ) ( y ( k 1) ) n(n 1)(n 2) (n k 1) x n k (1 k n )
注意, 当 k = n 时
( x n ) ( n ) n(n 1)(n 2) 3 2 1 n !
从而, 当 k n 1 时, ( x n ) ( k ) 0 .
(n)
例8
求 y sin x , y cos x 的各阶导数.
y sin x
( 4 k 1)
解
y y y

y cos x sin( x 1 ) 2
y sin x sin( x 2 ) 2 y cos x sin( x 3 ) 2
3
y ln( x a x )
2 2
1 a2 x2
5、
ye
arctan
x
；
1 x 6、 y arcsin 1 x
e arctan x 2 x (1 x )
1 (1 x ) 2 x (1 x )
2 2 f ( x ) g ( x ) 0 ,求函数 f ( x ) g ( x ) 三、设 ， 可导，且
（函数 u(x) , v(x) 均可导 ）
反函数的导数
f ( x )
1 ( y )
复合函数的导数 ( f ( ( x )) ) f ( ( x )) ( x )
基本导数公
C 0
x ( x ) ax (a R） (e ) e
a a 1
x
1 (log a x) x ln a
(2) (u ( x)v( x)) u ( x)v( x) u ( x)v( x) (C v( x)) C (v( x)) u ( x) u ( x)v( x) u ( x)v( x) (3) ( v( x) 0 ) 2 v( x) v ( x)
主讲教师： 李晓沛 Tel: 13878971026
复习
求导方法小结
按定义求导 基本初等函数的导数 导数的四则运算法则 反函数的导数 复合函数求导法 隐函数求导法 对数求导法 参数方程确定的函数的的导数
四则运算法则
(1) ( u( x ) v ( x )) u( x ) v ( x ),
y
f 2 ( x ) g 2 ( x ) 的导数 .
f ( x ) f ( x ) g ( x ) g ( x ) f 2 ( x) g 2 ( x)
第二章 一元函数的导数与微分
第三节 高阶导数 高阶导数的概念 高阶导数的运算
一. 高阶导数的概念
(sin x) cos x, (cos x) sin x,
解
sin x 2 sin x y e cos x e ( sin x)
e
sin x
(cos x sin x)
2
二阶导数经常遇到, 一定要掌握.
二.高阶导数的运算法则 两个基本公式
设 f (x), g(x) 有直到 n 阶的导数, 则 (1) ( f ( x) g ( x)) ( n ) f ( n ) ( x) g ( n ) ( x) (2) 莱布尼兹公式