高阶导数的运算法则
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ax
(a x)n1
(4) 利用莱布尼兹公式
5
代入莱布尼兹公式, 得
y(20) 220 e2 x x2 20 219 e2 x 2x 20 19 218 e2 x 2
2!
3
例8. 设
求
解:
y 1 1 x2
,即
(1 x2 ) y 1
用莱布尼兹公式求 n 阶导数
(1 x2)
2x
2
令
得
由
得
y(2 m) (0) 0
由
得 y(2m1) (0) (1)m (2m)! y(0)
即
y
(n)
(y0()2m1)((010)) m,((2m1)m! ,(2mnn )!
2m
2ym(0) 1
(m 0,1, 2,)
4
内容小结
高阶导数的求法
(1)逐阶求导法
(2)利用归纳法
(3)间接法 —— 利用已知的高阶导数
公式 如,
1
a x
(n)
(1)n n ! (a x)n1
1 (n) n !
二、高阶导数的运算法则
设函数
及
都有 n 阶导数, 则
(C为常数)
n(n 1)
2! n(n 1)(n k 1)
k!
莱布尼兹(Leibniz) 公式
1
例7.
求
解: 设 u e2 x , v x 2 , 则 u(k ) 2k e2 x ( k 1 , 2 ,, 20 )
v 2x , v 2 , v(k ) 0 (k 3 ,, 20)
ax
(a x)n1
(4) 利用莱布尼兹公式
5
代入莱布尼兹公式, 得
y(20) 220 e2 x x2 20 219 e2 x 2x 20 19 218 e2 x 2
2!
3
例8. 设
求
解:
y 1 1 x2
,即
(1 x2 ) y 1
用莱布尼兹公式求 n 阶导数
(1 x2)
2x
2
令
得
由
得
y(2 m) (0) 0
由
得 y(2m1) (0) (1)m (2m)! y(0)
即
y
(n)
(y0()2m1)((010)) m,((2m1)m! ,(2mnn )!
2m
2ym(0) 1
(m 0,1, 2,)
4
内容小结
高阶导数的求法
(1)逐阶求导法
(2)利用归纳法
(3)间接法 —— 利用已知的高阶导数
公式 如,
1
a x
(n)
(1)n n ! (a x)n1
1 (n) n !
二、高阶导数的运算法则
设函数
及
都有 n 阶导数, 则
(C为常数)
n(n 1)
2! n(n 1)(n k 1)
k!
莱布尼兹(Leibniz) 公式
1
例7.
求
解: 设 u e2 x , v x 2 , 则 u(k ) 2k e2 x ( k 1 , 2 ,, 20 )
v 2x , v 2 , v(k ) 0 (k 3 ,, 20)