高阶微分与泰勒公式
泰勒公式的简单推论
泰勒公式的简单推论泰勒公式是微积分中的一个重要定理，它描述了一个函数在某一点附近的邻域内的近似表达式。
具体地说，给定一个光滑函数$f(x)$ 以及一个实数 $a$，泰勒公式可以将 $f(x)$ 在点 $a$ 处展开为幂级数的形式。
泰勒公式的一般形式如下：$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + cdots +frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + cdots$$其中，$f'(x)$ 表示 $f(x)$ 的一阶导数，$f''(x)$ 表示二阶导数，以此类推。
而 $f^{(n)}(x)$ 则表示 $f(x)$ 的第 $n$ 阶导数。
根据泰勒公式，我们可以推导出一些简单而有用的推论。
下面我们来看几个常用的推论：1. 近似计算：泰勒公式允许我们用一个多项式来近似表示一个函数。
当我们需要在某一点附近计算函数值时，可以使用泰勒公式展开为有限项的幂级数，并截断到合适的项数。
这样可以大大简化复杂函数的计算过程。
2. 导数的计算：泰勒公式中的每一项都是函数在某一点处的导数与 $(x-a)^n$ 的乘积。
因此，通过对泰勒公式进行求导，我们可以得到函数的各阶导数的计算公式。
这对于研究函数的性质和变化趋势非常有帮助。
3. 极值点和拐点：通过对泰勒公式进行分析，我们可以得到函数的极值点和拐点的一些性质。
例如，对于一个函数 $f(x)$，如果它在某一点 $a$ 处的一阶导数为零，并且二阶导数大于零，则该点为函数的极小值点。
如果二阶导数小于零，则该点为函数的极大值点。
而如果二阶导数为零，则需要进一步分析更高阶导数的符号来判断拐点的性质。
总之，泰勒公式是微积分中一个非常重要的工具，它在近似计算、导数计算以及研究函数性质等方面发挥着重要作用。
高数 泰勒公式
2 m 1 x3 x5 x sin x x (1) m1 R2m ( x) 3! 5! (2m 1) !
其中 R2 m ( x)
1 ) sin( x 2m 2 x 2 m1 (0 1) (2m 1) ! (1) m cos( x) 2 m 1
x
1 2 P2 ( x) 1 x x 为抛物线与 2
x
y e 更为接近
问
类似方法可得
x
1 2 e 1 x x A3 x 3 o( x 3 ) 2 1
A3 3!
1 2 1 3 3 3 e 1 x x x o( x ) p3 ( x) o( x ) 2 3! 1 2 1 n x n n e 1 x x x o( x ) pn ( x) o( x ) 2 n! x 右边的多项式在0的附近可以无限的接近于 f ( x) e
即为一次多项式＋
2
x
的高阶无穷小
2
试问 e 1 x A2 x o( x ) 是否成立？即是否求出 A2
e x 1 x o( x 2 ) ex 1 1 A2 lim ( 2 ) lim 2 x 0 x 0 2 x x x 2
4
1 2 即 e 1 x x o( x 2 ) P2 ( x) o( x 2 ) 2 x
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
* 可以证明:
④ 式成立
10
( x0 ) f 2 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2! ( n 1) f ( n ) ( x0 ) f ( ) n n 1 ( x x0 ) ( x x0 ) n! (n 1) ! ( 在 x0 与 x 之间) 特例: 给出拉格朗日中值定理 (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) ( 在 x0 与 x 之间)
泰勒公式推导过程
泰勒公式推导过程泰勒公式，也叫泰勒展开式，是18世纪英国数学家泰勒发现的，是用来求函数的特定点的某个值的一种多项式展开式。
它的出现改变了众多数学问题的解题方式，同时也为微分和积分的理论研究奠定了基础。
泰勒公式的推导过程表明，求函数f（x）在特定点x=x0附近的值时，可以考虑函数f（x）的i阶导数在点x=x0的值。
先从一阶导数f（x）的展开式推导：函数f（x）可以表示为f（x+h）和f（x）之间的差分：f（x+h）-f（x）＝hf（x）＋1/2h2f（x）＋…＋1/i！hif^(i)（x）＋…令h＝0，将上式的每一项化简，可以得到：f（x）＝f（x）＋1/2f（x）h2＋…＋1/i！f^(i)（x）h^i＋…将上面的公式看作一个函数：f（x）＝f（x）＋1/2f（x）h2＋…＋1/i！f^(i)（x）h^i＋…因此，泰勒公式可以由以上公式推导：f（x）＝f（x0）＋1/2f（x0）（x-x0）2＋…＋1/i！f^(i)（x0）（x-x0）i＋…＋R其中，R表示残差，即：R＝f（x）-f（x0）－1/2f（x0）（x-x0）2－…－1/i！f^(i)（x0）（x-x0）i由此可见，泰勒公式表示的是函数f（x）在x0点处，利用高阶导数f（x）的展开式求得函数f（x）在x点处的值。
此外，由于每一项的系数均为函数f（x）在x0点处的某(i-1)阶导数，因此也称求函数f（x）在x点处的值为泰勒级数展开。
由于泰勒公式是利用i阶导数，因此可以认为泰勒公式是一个近似公式，而残差R是对近似值的补偿。
泰勒公式的应用也非常广泛，比如说，可以利用它来求函数的一阶导数、二阶导数等等，从而用来解决数值分析问题，求函数的极值，以及微分和积分的计算等。
由于泰勒公式的广泛应用，因此，它也是大学数学和数值分析课程中重要的内容之一。
通俗来讲，泰勒公式就是利用一个函数在特定点处的i阶导数展开式来求函数在其他点的值，而且随着阶数的增加，求得的函数值也会逐渐接近它的实际值。
泰勒公式
第三节 Taylor 公式一、一元函数的Taylor 公式先考虑一元函数的Taylor 公式。
前面我们给出了df x A f =∆≈∆．用微分df 在相差x ∆的高阶无穷小的情况下来近似地代替函数增量f ∆，这一种近似方法有时不一定很理想，下面我们将讨论一种新的近似方法，也就是Taylor 公式．由微分的知识可知，()x o x A f ∆+∆=∆，其中的)(x o ∆是否可以写为()()()33221x o x A x A ∆+∆+∆呢？如果可以的话，可以用()()()33221x o x A x A ∆+∆+∆代替()x o x A f ∆+∆=∆式中的()x o ∆，假设21,A A 已知，则可以用()()3221x A x A x A ∆+∆+∆近似f ∆，这一种近似的效果显然要精确的多．看下面的定理：定理 6.14 如果函数()x f y =在含有0x 的开区间()b a ,内有直至1+n 阶导数，则当()b a x ,∈时，()x f 可以表示为0x x x -=∆的一个n 次多项式和一个含有余项()x R n 之和．即()()()()()()x R x x n x f x x x f x f x f x x f n n n +-++-'+==∆+000000!...)()()(． 其中()()()ξξ,1)(10)1(++-+=n n n x x n f x R ！介于x 与0x 之间．证 若令()()()nn n x n f x x f x f x P ∆++∆'+=!...)(00，则只需要证明 =-=)()()(x P x f x R n n ()()10)1(1)(++-+n n x x n f ！ξ， 其中ξ介于x 与0x 之间．下面利用Cauchy 中值定理来证明．事实上有()()00x f x P n =，()()00x f x P n '='，．．．，()()()()00x f x P n n n=，所以()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()．!1!1!1.....)1(111)(10000011022200010011011110010001010+=-+--+---==-+⎪⎭⎫ ⎝⎛"-''=-+--+⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'-⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'=------=--=-+++++n f x x n x n x P x f P f x n n P f x x n x n x P x f P f x n P f x x x x x P x f x P x f x x x P x f x x x R n n n n n n n n nn nn n n n n n n n n n n n n ξξξξξξξξξξξξξ所以()()ξξ,1)(1)1(++∆+=n n n x n f x R ！介于x 与0x 之间．定理中的关系称为Taylor 公式．()x R n 称为Taylor 公式的Lagrange 余项． 特别地，在00=x 时，有()()()()()()11!1!0...0)0()(++++++'+=n n n n x n f x n f x f f x f ξ，（ξ介于0与x 之间） 称为Maclaulin 公式．上面我们给出的Taylor 公式是带Lagrange 余项的，下面我们给出带Peano 余项的Taylor 公式定理6.15如果函数()x f y =在0x 处有n 阶导数，则存在0x 的一个邻域，对于该邻域中任意x 有()()()()()()x R x x n x f x x x f x f x f n n n +-++-'+=00000!...)()(． 其中()())(0nn x x o x R -=．证 （略）定理中的公式称为带Peano 余项的Taylor 公式．()())(00nn x x x R -=称为Taylor 公式Peano 余项.例6.15 求函数x sin ，x cos ，xe ，x-11，()x -1ln 在0=x 处的Taylor 公式． 解 由于对任意的N n ∈，有()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin sin πn x x n ；()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2cos cos πn x x n ；()()xnxee =；()()11!11+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n x n x ．()()()nn x n x ---=-1)!1()1ln( 所以()()(),...2,1,034,114,1200sin =⎪⎩⎪⎨⎧+=-+===k k n k n k n n ，，； ()()(),...2,1,024,14,11400cos =⎪⎩⎪⎨⎧+=-=±==k k n k n k n n ，，； ()()(),......2,1,0,10===n e x nx； ()(),...2,1,0,!110==⎪⎭⎫⎝⎛-=n n x x n ；所以x sin 在0=x 的Taylor 公式为()())(!121...!5!3221253x R n x x x x n n n++++-+++-；())1,0(),232sin(!323222∈+++=++θπθn x n x R n n x cos 在0=x 的Taylor 公式为()())(!21...!4!2112242x R n x x x n n n ++-+++-；())1,0(),222cos(!222212∈+++=++θπθn x n x R n n x e 在0=x 的Taylor 公式为())(!...!3!21132x R n x x x x n n ++++++；())1,0(,!11∈+=+θθn xn x n e Rx-11在0=x 的Taylor 公式为 )(......132x R x x x x n n ++++++；())1,0(,1)!1(12∈-+=++θθn n n x x n R()x -1ln 在0=x 的Taylor 公式为)(1......312132x R x nx x x n n +-----； ())1,0(,1)!1(12∈-+-=++θθn n n x x n R例6.16 求()x +αsin 在0=x 处的Taylor 公式．解()()()()()．)(0...!3cos !2sin cos sin )(0!21sin !121cos sin cos cos sin sin 123212201201++=+=-++--⋅+=+-++-=+=+∑∑n n n n n n n n n n x x x x x x n x n xx x ααααααααα例6.17 求12+x e 在在0=x 处的Taylor 公式．解()()∑∑==++=+=⋅=nn n nn nn nnxx x n x e x n x e ee e212)(0!2)(0!2．例6.18 求211x +在0=x 处的Taylor 公式． 解()()())(01)(011111202012222+==++-=+-=--=+∑∑n nn n nnn n nx x xx x x ．例6.19 求α)1()(x x f +=（α为任意实数）在0=x 处的Taylor 公式．)(0!)1()1(!2)1(1)1(2n n x x n n x x x ++--++-++=+ααααααα二、多元函数的Taylor 公式与一元函数类似，多元函数也有中值定理与Taylor 公式。
高数微积分泰勒公式
当对余项要求不高时, 可用Peano型余项
f(x ) k n 0f(k k )( !x 0 )(x x 0 )k o [x ( x 0 )n ]
称 为 f(x)按(xx0)的 幂 展带开 有P的 eano型余项 的n阶泰勒公式. 书上P209定理3.8
f(x ) f(x 00 ) f(x 00 )x ( x 00 ) f2 ( ! x 00 )(x x 00 ) 2
当xx0时,其误差(x是 x0比 )高阶的无 . 穷
以直代曲 如 当| x| 很小时, ex 1x, ln1(x)x（. 如下图）
y y ex
y
yx
y1x O
xO
yln 1 (x)
x
一次多项式
f(x 0)f(x 0)x (x 0) f (x)
不足 1. 精确度不高；2. 误差不能定量的估计.
希需望要解在 Pn决x(0x附 的) 问近a用题0 适 a当如如1 (的何何x 高提估x次高计0 )多精误 a项度差2 (式x?? x0 )2
同理 2!a2f(x0)L L ,n!anf(n)(x0)
得 akk1!f(k)(x0)(k 0 ,1 ,2 ,L ,n )代入 Pn(x)中得
Pn(x)f (x0) f(x0)(xx 0)f 2(!x0 ) (xx0)2
L f (n ) ( x
n!
0
)
(x x 0 )n
Pn(x)f(x0)f(x0)(xx0)f2 (!x0)(xx0)2 Lf(nn )(!x0)(xx0)n
设xx0, Rn(x),(x)在 [x0,x]上 连 , 续
在 (x 0,x )内,可 且 (x )导 0 .用1次 柯西定理
Rn(x) (x)
Rn(x) Rn(x0)
微分知识点总结
微分知识点总结一、微分的基本概念1. 导数的定义在微分的讨论中，导数是一个非常核心的概念。
在数学中，导数表示了函数在某一点的变化率，也可以理解成函数曲线在该点的切线斜率。
设函数y=f(x)，在点x0处的导数定义为：\[ f'(x_0)=lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \]2. 微分的概念微分是导数的一个相关概念，它主要研究了函数在某一点的局部线性变化。
设函数y=f(x)，在点x0处的微分dy定义为：\[ dy=f'(x_0)dx \]3. 微分形式微分dy=f'(x)dx这个等式称为微分形式，它表示了函数在某一点的微分。
在微分形式中，导数f'(x)表示了函数在该点的变化率，dx表示自变量x的变化量，dy表示因变量y的对应变化量。
4. 微分的几何意义从几何学的角度来看，微分表示了函数曲线在某一点处的切线斜率。
也就是说，微分可以帮助我们理解函数在某一点的局部变化规律，对于研究函数的极值、凹凸性、临界点等性质非常重要。
二、微分的性质1. 微分的线性性质设函数y=f(x)，g(x)分别在点x0处可导，常数a、b，则：\[ d(af(x)+bg(x))=af'(x)dx+bf'(x)dx \]这个性质表示了微分在加法、乘法和数乘方面的线性性质，这对于微分的运算和计算是非常重要的。
2. 链式法则如果函数y=f(u)，u=g(x)都分别在对应的点可导，那么复合函数y=f(g(x))在x0的微分为：\[ dy=f'(u)g'(x)dx \]链式法则是微分中的一个重要性质，它描述了复合函数的微分计算规则。
对于求解复合函数的微分非常有用。
3. 高阶微分高阶微分指的是对微分的多次计算，设函数y=f(x)，它的一阶微分为dy=f'(x)dx，二阶微分为d2y=f''(x)dx2，以此类推。
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4、设
，且
证明 由已知极限式得
利用泰勒公式有
，证明
从而
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6. 设函数
在
上三阶可导, 且
设
试证存在
使
证: 因 F(0) F(0) F(0) 0,
利用二阶泰勒公式 , 得
F(1) F (0) F(0) 1 F(0) 1 F( )
1 F( )
2!
3!
3!
因
(n.精品1课)件!.
(x x0 )n1
( 在 x0 与
x
之间12 )
二、几个初等函数的麦克劳林公式
f (k) (x) ex , f (k) (0) 1 (k 1, 2,)
ex
1
x
x2 2!
x3 3!
xn n!
Rn (x)
其中
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13
f (k) (x) sin(x k )
p1(x)
特点:
x 的一次多项式 o x0 x
x
f (x0 )
f (x0 )
以直代曲
如何提高精度 ? 需要解决的问题
如何估计误差 ?
若 f (x)是非多项式函数，问是否可用一个n次多项式
Pn (x)
来近似表示
f
(x) ? .精品课件.
3
特例： f (x) ex x 0
由 f (x) f (0) f (0)x
(n 1) !
(
x
x0
)n1
( 在 x0 与x 之间) ②
公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n 阶泰勒公.精品式课件的. 拉格朗日余项 .
泰勒公式高阶导数
泰勒公式高阶导数导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在每一个点处的斜率。
一阶导数是函数在一点的局部斜率，而高阶导数则是推广到二阶、三阶、四阶等。
泰勒公式是一个常用的数学工具，可以用于近似函数的值，可以用于推导高阶导数的公式。
一、一阶导数与泰勒公式设函数f(x)在x=a处可导，它的导数为f'(a)，则函数f(x)在x=a 处的一阶泰勒多项式为：T1(x) = f(a) + f'(a)(x-a)它是在点(x=a)处的函数f(x)的线性近似，随着x越接近a，这个近似就越准确。
当x这个数点越远离a，在计算函数值的时候，这个线性近似的误差就越大。
这里的f'(a)就是一阶导数，它表示函数曲线在x=a这个点处的斜率。
二、二阶导数与泰勒公式二阶导数表示的是函数曲线的曲率，也就是一阶导数的导数，可用下面的公式表示：f''(x) = lim(h→0) [(f(x+h)-2f(x) + f(x-h))/h^2]在x=a处的二阶泰勒多项式为：T2(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (f''(a)/2)(x-a)^2这个多项式在x=a处的函数值、一阶导数、二阶导数都与函数f(x)在x=a处的值、一阶导数、二阶导数相同。
三、三阶导数与泰勒公式三阶导数表示的是函数曲线的弯曲程度，也就是二阶导数的导数，可用下面的公式表示：f'''(x) = lim(h→0) [(f(x+2h)-3f(x+h)+3f(x)-f(x-h))/h^3]在x=a处的三阶泰勒多项式为：T3(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (f''(a)/2)(x-a)^2 + (f'''(a)/6)(x-a)^3这个多项式在x=a处的函数值、一阶导数、二阶导数、三阶导数都与函数f(x)在x=a处的值、一阶导数、二阶导数、三阶导数相同。
数学分析6.3泰勒公式(讲义)
第六章微分中值定理及其应用2 泰勒公式(讲义)一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式若f在x0可导，则有f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+o(x-x0).即在点x0附近，用f(x0)+f’(x0)(x-x0)逼近函数f(x)时，其误差为(x-x0)的高阶无穷小量.若要求误差为o((x-x0)n)，可参考n次多项式：P n(x)=a0+a1 (x-x0)+a2(x-x0)2+…+a n(x-x0)n. 则P n(x0)=a0；P n’(x0)=a1；P n”(x0)=2!a2；…；P n(n)(x0)=n!a n. 即a0=P n(x0)；a1=P n ′(x0)1!；a2=P n′′(x0)2!；…；a n=P n(n)(x0)n!.若f在点x0存在直到n阶的导数，则由这些导数构造的n次多项式：T n(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x-x0)+f′′(x0)2!(x-x0)2+…+f(n)(x0)n!(x-x0)n，称为函数f在点x0处的泰勒多项式，T n(x)的各项系数f(k)(x0)k!(k=1,2,…,n)称为泰勒系数。
f(x)与其泰勒多项式T n(x)在点x0有相同的函数值和直至n阶导数值，即f(k)(x0)=T n(k)(x0), k=0,1,2,…,n.定理6.8：若f在x0存在直到n阶的导数，则有f(x)=T n(x)+o((x-x0)n)，即f(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x-x0)+f′′(x0)2!(x-x0)2+…+f(n)(x0)n!(x-x0)n+o((x-x0)n).证：记R n(x)=f(x)-T n(x)，Q n(x)=(x-x0)n，则R n (x 0)=R n ’(x 0)=…R n (n)(x 0)=0；Q n (x 0)=Q n ’(x 0) =…=Q n n-1(x 0)=0，Q n (n)(x 0)=n!. ∵f (n)(x 0)存在，∴在x 0的某邻域U(x 0)内f 存在(n-1)阶导函数f (n-1)(x). 根据洛必达法则：limx→x 0R n (x)Q n (x)=limx→x 0R n ′(x)Q n ′(x)=…=limx→x 0R n (n−1)(x)Q n(n−1)(x)=limx→x 0f (n−1)(x )−f (n−1)(x 0)−f (n )(x 0)(x−x 0)n!(x−x 0)=1n!lim x→x 0[f (n−1)(x )−f (n−1)(x 0)x−x 0−f (n )(x 0)]=0.∴R n (x)=f(x)-T n (x)=o (Q n (x))=o ((x-x 0)n )，即f(x)=T n (x)+o ((x-x 0)n ) f(x)=f(x 0)+ f ′(x 0)1!(x-x 0)+f ′′(x 0)2!(x-x 0)2+…+f (n)(x 0)n!(x-x 0)n +o ((x-x 0)n ). (泰勒公式)注：1、R n (x)=f(x)-T n (x)称为泰勒公式的余项，形如o ((x-x 0)n )的余项称为佩亚诺型余项。
知识点总结高数一
知识点总结高数一一、极限与连续1. 极限的概念及性质极限是数列或函数在趋于某个值时的性质，其定义包括数列极限和函数极限两种情况。
数列极限定义为：对于任意的ε>0，存在N∈N，使得当n>N时，|an-a|<ε成立。
函数极限定义为：对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε成立。
极限的性质包括唯一性、有界性、局部性、夹逼性等。
2. 极限运算法则极限运算法则包括四则运算法则、复合函数极限法则、比较大小法则、夹逼定理等，通过这些法则可以简化极限运算的复杂性。
3. 无穷小与无穷大无穷小是指当自变量趋于某个值时，函数值无穷小于此值的函数。
无穷大则是指当自变量趋于某个值时，函数值无穷大于此值的函数。
在极限运算中，无穷小和无穷大的性质十分重要。
4. 连续的概念及性质连续函数的定义为：对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-f(a)|<ε成立。
连续函数的性质包括局部性、初等函数的连续性、复合函数的连续性等。
二、导数与微分1. 导数的概念与求导法则导数是函数在某一点处的变化率，导数的定义为：f'(x)=lim(h→0) (f(x+h)-f(x))/h。
求导法则包括基本导数公式、和差积商的求导法则、复合函数求导法则等。
2. 高阶导数与隐函数求导高阶导数为求导多次的结果，隐函数求导是指对于包含多个变量的函数，通过对某个变量求导来求得函数在该点的导数。
3. 微分的概念与微分公式微分是函数在某一点处的局部线性近似，微分的定义为：df(x)=f'(x)dx。
微分公式包括基本微分公式、换元法、分部积分法等。
4. 隐函数与参数方程的导数隐函数与参数方程的导数是指对于包含多个变量的方程，通过对某个变量求导来求得函数在该点的导数。
三、微分中值定理与泰勒公式1. 微分中值定理微分中值定理包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理等，它们描述了函数在某些条件下的性质，对于函数的研究有重要意义。
泰勒公式及其在在计算方法中的应用
泰勒公式及其在在计算方法中的应用泰勒公式是数学中的一个重要工具，通过使用多项式函数逼近给定函数，从而在计算方法中得到广泛应用。
泰勒公式由苏格兰数学家詹姆斯·泰勒提出，用于将一个函数在其中一点的局部信息表示为一个多项式级数。
泰勒公式的一般形式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn在这个公式中，f(x)是要逼近的函数，x是近似计算的点，a是计算的基准点，n表示多项式的阶数。
f'(a)表示函数在点a处的一阶导数，f''(a)表示二阶导数，f^n(a)表示n阶导数。
Rn是一个余项，表示多项式逼近的误差。
当n趋向于无穷大时，余项应趋近于零，此时泰勒公式收敛于原函数。
泰勒公式在计算方法中的应用非常广泛。
下面介绍几个常见的应用：1.函数逼近：泰勒公式可以将一个复杂的函数逼近为一个多项式函数，使得计算变得更加简单。
逼近后的多项式函数在计算机程序和数值计算中更容易处理。
例如，当我们需要计算一个数的正弦值时，可以使用泰勒公式将正弦函数逼近为一个多项式级数，从而可以通过计算一系列多项式项的和来得到较为精确的近似值。
2.数值积分：泰勒公式在数值积分中有重要的应用。
通过将被积函数在其中一点进行泰勒展开，并将展开式中的高阶导数消去，可以得到一些简化的数值积分公式。
这些公式允许我们通过计算少数几个函数值来近似计算复杂函数的积分值。
数值积分在物理学、工程学和统计学等领域中都有广泛应用。
3.常微分方程的数值解：泰勒公式可以用于数值解常微分方程。
通过将微分方程在一些点进行泰勒展开，并忽略高阶导数项，可以得到一阶或二阶的数值微分方程。
从而我们可以通过迭代的方式递进计算微分方程的解。
这种数值解法在科学计算和工程模拟中非常重要。
4.误差分析：泰勒公式的余项Rn可以用来分析逼近的误差。
通过估计余项的大小，可以知道逼近多项式与原函数之间的误差有多大。
泰勒公式简介
泰勒公式简介泰勒公式是一元函数微分学的重要内容。
在数一数二中对它的要求是理解，属于重点考查的内容，数三中的要求是了解。
但从近几年的试题来看，对泰勒公式的要求数三与数一数二的在逐渐模糊。
这就对数三的考生也提出了更高的要求，要以更高的标准来要求自己。
在考研数学中，泰勒公式主要在计算极限、高阶导数及一些证明题中有重要应用，在下册中无穷级数里也会用到泰勒公式的一些内容。
本文先介绍泰勒公式的主要内容及对考生的基本要求，最后再通过一些简单的例题来演示泰勒公式在具体的解题过程中的应用。
一．定理内容泰勒中值定理：设函数()f x 在含0x 的区间(,)a b 具有1n +阶导数，在[],a b 内有n 阶连续导数，则[],x a b ∀∈有()()()''()2'0000000()()()()()...()2!!n nn f x fx f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+其中()()(1)10()()1!n n n f R x x x n ξ++=-+，ξ为x 与0x 间的某一实数，称为拉格朗日余项，式中的ξ也可以写作()00,01x x x ξθθ=+-<<。
把条件减弱为()f x 在0x 处有直到n 阶导数，余项()n R x 也可以写作(){}0()n n R x o x x =-，称之为皮亚诺余项。
麦克劳林公式：00x =的泰勒公式又称为麦克劳林公式。
也即''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f ff x f f x x x R x n =+++++()(1)1()()1!n n n f x R x xn θ++=+或()()n n R x o x =。
点评：高数研究的一大课题就是如何用简单的函数来代替复杂的函数。
能够被我们的思维所掌握的最简单的函数就是多项式，泰勒公式实际上就是利用多项式来近似代替复杂函数的理论结果。
GS6.7 多元函数的微分中值定理与泰勒公式
再将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.证毕
定理2在多元函数的计算上有重要价值.其中拉格朗日余项
1 Rn = d n +1 f ( x 0 + θ ∆ x , y 0 + θ ∆ y ) ( n + 1)!
1 ∂ ∂ = ∆x + ∆y ( n + 1)! ∂x ∂y
n +1
∂f ∂f + ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y )∆x + ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y )∆y. ∂x ∂y
或写成
f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) = f ( x0 , y0 ) + df ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y ).
记
f ( Pt ) = f ( x0 + t ∆x, y0 + t ∆y ), 则上式又可写成为
f ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y ),
可用偏导数来估计. 假定其 n + 1 阶偏导数有界,即有常数 M , 使
∂ n +1 f ≤ M, l n +1−l ∂x ∂y
则
l = 0,1,⋯ , n + 1;
M Rn ≤ ( ∆x + ∆y ( n + 1) !
)
n +1
,
令 ρ = ∆x 2 + ∆y 2 ,
1 ∂ ∂ = ∆x + ∆y ( n + 1)! ∂x ∂y
n +1
f ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y ), (0 < θ < 1)
泰勒公式微分
泰勒公式微分泰勒公式是微积分中常用的一个公式，它可以将函数在某一点附近进行泰勒展开，从而得到相应的近似值。
在微积分中，对于函数f(x)在点a处的导数f'(a)，利用泰勒公式可以得到f(x)在点a 附近的函数近似值。
本文将结合实例详细说明泰勒公式的应用方法。
一、泰勒公式的定义泰勒公式是揭示函数在某一点附近的函数值与导数值之间关系的一种数学形式。
对于函数f(x)在点a处的某些条件下，泰勒公式可以表示为如下形式：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + … + fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n! + Rⁿ其中，f(a)表示函数f(x)在x=a处的函数值，f'(a)表示函数的导数，f''(a)表示二阶导数，fⁿ(a)表示n阶导数，Rⁿ表示余项。
二、泰勒公式的应用对于泰勒公式的应用，我们可以借助下面的例子来进一步理解。
假设我们需要求函数f(x) = eˣ在点x=0处的函数近似值，我们可以通过泰勒公式来得到相应的近似值。
根据公式：eˣ = 1 + x/1! + x²/2! + x³/3! + … + xⁿ/n! + Rⁿ当n=3时，即只取前三项，可以得到：eˣ ≈ 1+ x + x²/2当x=0.1时，可以得到：e⁰˙¹ ≈ 1+ 0.1 + 0.01/2 = 1.105而实际上的值为：e⁰˙¹ = 1.1051可以看出，用泰勒公式求得的近似值与实际值非常接近。
由此可见，利用泰勒公式进行函数近似计算是一种非常有效的方法。
三、泰勒公式的误差估计在泰勒公式中，余项Rⁿ是泰勒展开式与原函数的误差项，它可以用来估计计算结果的误差大小。
根据余项的定义，可以得到如下表达式：Rⁿ = (x-a)ⁿ⁺¹/n! * fⁿ⁺¹(ξ)其中ξ为a到x之间的某一点。
高数微积分泰勒公式
x
y x
y ln(1 x )
y 1 x
O
x
O
x
一次多项式
f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( x )
不足 1. 精确度不高；2. 误差不能定量的估计.
如何提高精度 ? 希望 在x0附近 用适当的高次多项式 需要解决的问题 2 如何估计误差 ? Pn ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )
y
y f ( x)
o
x0
x
LL LL
假设
Pn( k ) ( x0 ) f ( k ) ( x0 )
k 0,1,2,L, n
2 Pn ( x 0) a0 a1 ( x 0 x0 ) a2 ( x 0 x0 ) n a ( x x ) L n 0 0 Pn ( x0 ) a0 , 又Pn ( x0 ) f ( x0 ), a0 f ( x0 ), Pn( x0 ) a1 , 又Pn( x0 ) f ( x0 ), 1 a1 f ( x0 ),
f ( x 0 2 0) f ( x) f ( x ) f ( x )( x x ) ( x x ) 00 00 00 00 2! ( n 1) 00 ) f ( n) ( x f ( ) n n1 L (x x ) ( x x ) 00 00 n! ( n 1)! (在x0与x之间). n阶泰勒公式
( n 1) ( n) ( n) ( n) ( ) ( n ) Rn ( n ) Rn ( x0 ) Rn Rn ( x ) Rn ( n) ( n 1) ( n) 得 ( n) ( ) ( x ) ( n ) ( n ) ( x0 )
7.5高阶偏导数与高阶全微分
′′ ′′ ′′ ′′ = ( f xx dx + f yx dy )dx + ( f xy dx + f yy dy )dy
2 2
′′ ′′ ′′ = f xx (dx) + 2 f xy dxdy + f yy (dy )
习惯上记(dx) = dx , (dy ) = dy
2 2 2 2
′′ ′′ ′′ ∴ d 2 z = f xx dx 2 + 2 f xy dxdy + f yy dy 2
∂z ∂f ∂u ∂f ∂v ∂u ∂v = • + • = f1′ + f 2′ = yf1′+ 2 xf 2′ ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂x ∂x
其中f1′, f 2′是关于u , v的函数
∂f1′ ∂u ∂f1′ ∂v Q ( yf1′)′x = y ( f1′)′x = y • + • ∂u ∂x ∂v ∂x
dx + 2dy + dz = e
x− y − z
(dx − dy − dz )
= ( x + 2 y + z )(dx − dy − dz )
x + 2 y + z −1 x + 2y + z + 2 ∴ dz = dx − dy 1+ x + 2 y + z 1+ x + 2 y + z
∂z x + 2 y + z − 1 2 ∴ = = 1− ∂x 1 + x + 2 y + z 1+ x + 2 y + z
′′ ′′ ′′ ′′ = f1′+ xyf11 − y f12 + 2 x f 21 − 4 xyf 22
泰勒公式及其推演
泰勒公式及其推演泰勒公式是微积分中非常重要的一种数学工具，它可以将一个可微函数表示成无数个多项式的和，进而用多项式来近似表示原函数。
泰勒公式的推导过程并不难，我们可以通过几个简单的步骤来理解其数学原理和应用方法。
一、泰勒公式的定义泰勒公式是指，若函数$f(x)$在点$x=a$处有$n$阶连续导数，则在$x=a$的某邻域内，有以下公式成立：$$f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+R_n(x)$$其中，$f^{(k)}(a)$表示$f(x)$在$x=a$处的$k$阶导数，$R_n(x)$为剩余项，即$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$其中，$c$是介于$x$和$a$之间的某个数。
泰勒公式的本质是将一个函数用多项式逼近。
这种逼近方式十分简便，不仅可以用于函数求导的计算中，还可以用于数值计算、微积分定理证明等方面。
二、泰勒公式的推导过程泰勒公式的推导过程可以分为以下几个步骤：1、设函数$f(x)$在$x=a$处可微，$x$在$a$的某邻域内。
则$f(x)$在$a$处的一阶导数为：$$f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$可进一步展开为$$\begin{aligned}f(a+h)&=f(a)+f'(a)h+\frac{f''(a)}{2}h^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{ n!}h^n+o(h^n) \\&= \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k+o(h^n)\end{aligned}$$其中，$o(h^n)$表示当$h\rightarrow 0$时，$o(h^n)$与$h^n$同阶或低阶。
2、将上式两边同时除以$h^n$，得到$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h^n}= \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^{k-n}+o(1)$$3、对上式两边进行积分，得到$$f(a+h)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^{k}+\int_a^{a+h}\fra c{f^{(n+1)}(t)}{n!}(h-t)^n\,\mathrm{d}t$$其中，用到了牛顿-莱布尼茨定理。
泰勒公式解微分方程
泰勒公式解微分方程
泰勒公式微分方程：f(x)=f(x0)+f′(x0)(x0)。
泰勒公式应用于数学、物理领域，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。
如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。
微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。
微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。
微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。
物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。
此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。