高阶微分与泰勒公式

定义为三阶微分 ,以此类推 ,于是有 dn f ( x) = f ( n) ( x) dxn. 而这种定义既没有揭示其本质 , 也没有显示其
内涵 ,有不尽意之处 ,为此引入如下定义 。
1 一元函数的高阶微分与泰勒公式
1. 1 二阶微分的定义 定义 1 设函数 y = f ( x ) 在点 x0 的某邻域 U ( x0 ) 内有定义 , 给变量 x 在 x0 处一个增量 △x, 且
1 2!
[ fxx
( x0 ,
y0 ) ( △x) 2
+ 2fxy ( x0 ,
y0 ) △x△y + fyy ( x0 ,
y0 ) ( △y) 2 ] 1
例 2 求 1. 083. 96的近似值 。
解 设 f ( x, y) = xy ,取 x0 = 1, y0 = 4, △x = 0. 08, △y = - 0. 04,
+ … + dn z
+ dn +1 z
,
M0 1! M0
2! M0
n! M 0 ( n + 1) ! M ′0
其中 M ′0 在 M 与 M 0 之间 。
当 z = f ( x) ,即 X = x, M 0 = x0 时
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第 4期 曹吉利 ,刘延军 高阶微分与泰勒公式
1 + 1)
!
dn + 1
f ( x,
y)
1
( x0 +θ( x - x0) , y0 +θ( y - y0) )
从一元函数到二元函数甚至到多元函数 , n阶泰勒公式的形式是统一的 , 但具体内容有所差异 , 如
设 z = f ( X ) ,当满足泰勒中值定理条件时 ,有
z = d0 z + dz
+ d2 z
在一元函数中微分的概念为 [1 ] :设函数 y = f ( x)在点 x0 的某邻域 U ( x0 )内有定义 ,当给变量 x在 x0 处一增量 △x,且当 x0 + △x∈U ( x0 )时 ,相应地函数有增量 △y = f ( x0 + △x) - f ( x0 ) , 如果其增量可表示 为
△y = A △x + o ( △x) ,
f ( x, y) = d0 f ( x, y) + 1 df ( x, y) + 1 d2 f ( x, y) + … +
M0 1!
M0 2!
M0
1 dn f ( x, y) n!
M0
+
(n
1 + 1)
!
dn
+1
f
(
x,
y)
,
( x0 +θ( x - x0) , y0 +θ( y - y0) )
(x -
M0
x0 ) n - k ( y -
y0 ) k 1
类似于一元函数的二阶微分 ,在定义二元函数的二阶微分后 ,同理可推出二元函数的近似计算公式
f ( x0 + △x, y0 + △y) ≈ f ( x0 , y0 ) + fx ( x0 , y0 ) △x + fy ( x0 , y0 ) △y +
由于
fx ( 1, 4) = 4, fy ( 1, 4) = 0, fxx ( 1, 4) = 12, fxy ( 1, 4) = 1, fyy ( 1, 4) = 0,
则 1. 083. 96≈ 1 + 4 ×0. 08 + 0 ×( - 0. 04) +
1 [ 12 ×( 0. 08) 2 + 2 ×0. 08 ×( - 0. 04) + 0 ×( - 0. 04) 2 ] = 1. 355 2, 2! 采用一阶微分计算的结果是 1. 32,显然比用一阶微分计算的结果精确 。 2. 2 二元函数的 n阶泰勒公式 定理 2 设函数 z = f ( x, y)在点 M 0 ( x0 , y0 )的某邻域 U (M 0 )内有直到 n + 1阶微分 , 则在该邻域内 任意一点 M ( x, y)处有如下公式
+… +
2 二元函数的高阶微分与 n阶泰勒公式
2. 1 二元函数的 n阶微分 类似于一元函数的二阶微分 ,可定义二元函数的二阶微分及高阶微分 。为了行文方便 ,这里引入二
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陕西理工学院学报 (自然科学版 ) 第 24卷
元函数的 n阶微分 。
解 :考虑函数
y = f ( x)
3
=
x, 取
x0
= 1, △x = 0.
02. 由于
f ′( x0 )
1 = 3 3 x2
x = x0 =1
=
1 3
, f ″( x0 )
=-
2 9
1 3 x5
x = x0 =1
=-
2, 9
则
3 1. 02≈ 1 + 1 ×0. 02 - 1 2 ×( 0. 02) 2 = 1 + 1 - 4 = 90 596 ,
dy x = x0 = A △x, d2 y x = x0 = B ( △x) 2 ,
收稿日期 : 2008 - 06 - 24 作者简介 :曹吉利 (1956—) ,男 ,陕西省礼泉县人 ,陕西理工学院教授 ,主要研究方向为基础数学 。
第 4期 曹吉利 ,刘延军 高阶微分与泰勒公式
f ( x) = d0 f ( x) 这里 , 0 <θ< 11
+ df ( x)
x = x0
1!
+ d2 f ( x)
x = x0
2!
+ … + dn f ( x)
高阶微分与泰勒公式
曹吉利 , 刘延军
(陕西理工学院 数学系 , 陕西 汉中 723001)
Dec. 2008 Vol. 24 No. 4
[摘 要 ] 泰勒公式在数学分析中具有很重要的地位 。由一元函数的微分出发 ,引出一元函 数及二元函数的高阶微分 ,以微分形式给出一元函数及二元函数的泰勒公式 ,其优点是从微分 到泰勒公式 ,形式统一 。举例说明了其应用 。 [关 键 词 ] 二阶微分 ; 高阶微分 ; 泰勒公式 ; 近似计算 [中图分类号 ] O175 [文献标识码 ] A
定义 2 设函数 z = f ( x, y)在点 M 0 ( x0 , y0 )的某邻域 U (M 0 )内有 n 阶连续偏导数 , 则函数 z = f ( x,
y)在点 M 0 ( x0 , y0 )处 n阶微分存在 [9 ] ,且有
6 dn z = M0
n
Ckn
k =0
5n z 5xn - k 5yk
又 < ( 1) = f ( x, y) ,
故 f ( x, y) = d0 f ( x, y) + 1 df ( x, y) + 1 d2 f ( x, y) + … +
M0 1!
M0 2!
M0
2. 3 注 记
1 dn f ( x, y) n!
M0
+
(n
即
f ( x0 + △x) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 ) △x 1
若记 x = x0 + △x,那么 △x = x - x0 ,于是 f ( x)≈ f ( x0 ) + f ′( x0 ) ( x - x0 ) ,其几何直观为“以直代曲 ”。
在现行的教材 [2 ]中对于高阶微分的定义均采用一阶微分的微分定义为二阶微分 , 二阶微分的微分
这里 , d0 f ( x, y) M 0 = f ( x0 , y0 ) ,其中 0 <θ< 11
证明 :令 < ( t) = f ( x0 + t ( x - x0 ) , y0 + t ( y - y0 ) ) ,则由定理 1知 ,一元函数 < ( t)在 [ 0, 1 ]上有
< ( 1) = d0 < ( t)
t=0
+
1 1!
d<
(
t)
+ 1 d2 < ( t) t=0 2!
+…+
t=0
应用复合函数微分法 [2 ]可知 :
1 dn < ( t)
n!
t=0
+
(
n
1 + 1)
!
dn
+1
<
(
t)
, 0 <θ< 1,
t =θ
dm < ( t) t =0 = dm f ( x, y) M 0 , m = 0, 1, 2, …, n, < d d n +1 ( t) t =θ = n +1 f ( x, y) , ( x0 +θ( x - x0) , y0 +θ( y - y0) )
2008年 12月 陕西理工学院学报 (自然科学版 )
第 24卷第 4期 Journal of Shaanxi University of Technology (Natural Science Edition)
[文章编号 ]1673 - 2944 (2008) 04 - 0076 - 04
△y = f ( x)
- f ( x0 )
= f ′( x0 ) ( x - x0 )
+ f ″( x0 ) 2!
(x
-
x0 ) 2
+ o( (x
-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x0 ) 2 ) ,
即
f ( x)
= f ( x0 )
+ f ′( x0 ) ( x - x0 )
+ f ″( x0 ) 2!
(x
-
x0 ) 2
+ o( (x
+ f ″( x0 ) 2!
(x
-
x0 ) 2
+… +
f ( n) ( x0 ) n!
(x
-
x0 ) n
f ( n +1) +
( x0 +θ( x ( n + 1) !
x0 ) )
(x
-
x0 ) n +1 ,
这里 , 0 <θ< 1.
此公式称为函数 f ( x)在点 x0 的 n阶泰勒公式 。利用微分记号 , n阶泰勒公式可写成
其中 A 不依赖于 △x,则称函数 y = f ( x)在点 x0 处可微 ,并称 A △x为 f ( x)在点 x0 处的微分 ,记作
dy x = x0 = A △x 1
在上述定义下 ,从理论上可以证明 [1 ]恰有 A = f ′( x0 ) ,即 dy x = x0 = f ′( x0 ) △x 1 引入微分的好处之一在于近似计算 ,即若 △y用 dy x = x0作近似 ,则有 △y = f ( x0 + △x) - f ( x0 ) ≈ f ′( x0 ) △x,
1. 3 一元函数的 n阶泰勒公式
下面给出基于高阶微分形式的 n阶泰勒公式 。
定理 1[ 1] 若函数 f ( x)在点 x0 处的某邻域 U ( x0 )内有直到 n + 1 阶的微分 , 则在该邻域内任意一 点 x处有公式
f ( x)
= f ( x0 )
+ f ′( x0 ) 1!
(x
-
x0 )
3
2! 9
150 90 000 90 000
而用一阶微分的近似值为 151,采用二阶微分显然比用一阶微分作为近似要精确得多 。 150
另外
f ( x)≈ f ( x0 )
+f
′( x0 )
(x -
x0 )
f +
″( x0 ) 2!
(x -
x0 ) 2 , 其几何直观为用二次曲线代替复杂曲线之
功效 。
这里 , d0 f ( x)
f ( x) = d0 f ( x)
+ df ( x)
+ d2 f ( x)
x = x0
1! x =x0
2!
x = x0
dn f ( x)
+ dn +1 f ( x)
,
n!
x = x0
( n + 1 ) ! x = x0 +θ( x - x0)
x = x0 = f ( x0 ) ,其中 0 <θ< 1.
-
x0 ) 2 ) ,
这就是泰勒公式的雏形 ,将其推广到 n阶泰勒公式有水到渠成之作用 。
若用 A △x + B ( △x) 2 作 △y的近似 ,即 2!
△y
= f ( x0
+ △x)
-
f ( x0 ) ≈
f
′( x0 )
△x
+
f
″( x0 ) 2!
( △x) 2 ,
其精度大为提高 。
例 1 求 3 1. 02的近似值 。
x0 + △x∈U ( x0 )时 ,相应地函数有增量 △y = f ( x0 + △x) - f ( x0 ) ,
如果其增量可表示为
△y = A △x + B ( △x) 2 - o ( ( △x) 2 ) , 2!
其中 A, B 不依赖于 △x,则称函数 y = f ( x)在点 x0 处二阶可微 ,并称 A △x, B ( △x) 2 为函数 y = f ( x)在点 x0 处的一阶微分 、二阶微分 ,依次分别记作 dy, d2 y,即
可以证明 : A = f ′( x0 ) , B = f ″( x0 ) 1 从而记号
d y 2 x = x0
= f ″( x0 ) ( dx) 2
= f ″( x0 ) dx2 ,
与导数是微商的记号一致 ,并可推广到高阶微分 。
1. 2 注 记
若记 x = x0 + △x,即 △x = x - x0 ,于是