高阶微分与泰勒公式
泰勒展开的微分形式
泰勒展开的微分形式
泰勒展开是一种将一个函数表示为无穷级数形式的方法，在数学和物理学中具有广泛的应用。它由若干项多项式组成，用于近似表示一个函数在某一点附近的行为。泰勒展开的微分形式包括泰勒公式和泰勒级数。
泰勒公式是泰勒展开的基础，它可以表示一个函数在某一点附近的值。泰勒公式的一般形式如下：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + f'''(a)(x-a)³/3! + ...
在这个公式中，f(x)表示函数在点x处的值，f(a)表示函数在点
a处的值，f'(a)表示函数在点a处的一阶导数的值，f''(a)表示函数在点a处的二阶导数的值，以此类推。每一个导数的项都有一个(x-a)的幂次指数和一个阶乘的分母。
根据泰勒公式，我们可以根据需要选择不同阶数的项来进行函数的近似。如果我们只取前n项，我们得到的是一个n次多项式的近似。当n趋向于无穷大时，我们得到的是一个泰勒级数，可以用来精确表示函数在该点附近的所有性质。
泰勒级数是泰勒展开的一个无穷级数形式，它包含了函数在给定点的所有导数信息。泰勒级数的一般形式如下：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + f'''(a)(x-a)³/3! + ...
在泰勒级数中，每一个导数的项都有一个(x-a)的幂次指数和一
个阶乘的分母，表达了函数在该点处的所有导数的信息。这个级数可以收敛到函数的实际值，因此可以用来精确表示函数的值。
泰勒展开在数学和物理学中具有广泛的应用。它可以用来近似计算函数的值，尤其是在数值计算中。它还可以用来推导数学公式和物理方程，并从中得到有关函数行为的信息。它还可以用来分析函数的性质，例如函数的极值、拐点和渐近线。在实际应用中，泰勒展开可以用来解决微分方程、数值优化、信号处理等问题。
大一高数知识点手写笔记
大一高数知识点手写笔记
高等数学是一门关于连续变化与积分计算的数学学科。对于大一的学生来说，高等数学是一个重要的学科，它为我们建立起了数学分析的基础。为了帮助大家更好地掌握高等数学的知识，我将为大家整理并手写笔记。下面是大一高数的几个重要知识点：
一、极限与连续
1. 极限的定义与性质
- 函数的极限定义
- 极限的唯一性、有界性和保号性
- 四则运算与复合函数的极限性质
2. 连续函数及其性质
- 连续函数的定义与常用函数的连续性
- 连续函数的四则运算与复合函数的连续性
- 闭区间上连续函数的性质与介值定理
二、导数与微分
1. 导数的定义与性质
- 导数的定义和几何意义
- 导数的四则运算与复合函数的导数
- 高阶导数与隐函数求导
2. 微分的概念与应用
- 微分的定义与微分近似计算
- 高阶微分与泰勒公式
- 函数的单调性与极值点判定
三、积分与定积分
1. 不定积分与定积分的概念
- 原函数与不定积分的定义
- 定积分的定义与性质
2. 定积分的计算与应用
- 牛顿-莱布尼茨公式与积分的基本性质
- 定积分的上下限与换元积分法
- 定积分在几何中的应用
四、常微分方程
1. 常微分方程的基本概念
- 常微分方程的定义与初值问题
- 一阶线性微分方程与可分离变量微分方程
2. 高阶线性微分方程的解法
- 齐次线性微分方程与非齐次线性微分方程
- 常系数齐次线性微分方程与非齐次线性微分方程
以上是大一高数的一些重要知识点的手写笔记。希望这些笔记能够帮助大家更好地理解和掌握高等数学中的基础知识。当然，学习数学最重要的还是多做题，通过实践来巩固所学的知识。希望大家都能在高等数学中取得优异的成绩！
高数 泰勒公式(教学内容)
定理 , 可知
f
(x)
0
在
(优a学课, 堂 ) 内有且仅有一根
. 53
若在f (公x) 式 成f (立x0的) 区f间(x上0 )(
x f
(nx1f0) ()2x(!0) )fx22M(x!0,则) (x有误fx(0nn差))!(2估0) 计xn式
f
(
n) (x0 ) (x n ! Rn (x)
x0
)n Mf((nn1x)1()n!)1
(n优学1课)堂!
(x x0 )n1
,
k 2m (m 1, 2,) k 2m 1
sin x
x
x3 3!
x5 5!
(1)m1 x2m1 (2m 1)
!
R2m
(
x)
其中
R2m (x)
sin( x 2m21 )
(2m 1) !
(1)m cos( x)
(2m优学课1堂) !
x2m1 (0 1)
x 2 m 1
14
类似可得
cos x
公式 ② 称为n 阶泰勒公优学式课堂的拉格朗日余项 .
9
注意到 Rn (x) o[(x x0 )n ]
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
f
(x0 )
f (x0 )(x
x0 )
f (x0 ) (x 2!
泰勒公式与三阶
泰勒公式与三阶
泰勒公式是微积分中使用最多的公式之一，它是一种把无限多项式表示为有限项式的方法。它的英文全称为Taylor Series，又名泰勒级数。泰勒公式广泛用于计算牛顿-拉夫逊方法，它可以将复杂函数分解为一系列关于某个点的近似函数值，而这些近似值可通过求解有限多项式来计算。
泰勒公式指定了无限级数的和，可以用来估计函数值在某个点周围的值，并且可以用来计算积分。泰勒公式的最常见的形式是三阶级数，它可以表示任何函数的在某处的近似值。在三阶级数中，f（x）可以用比f（a）更少的函数来表示，它可以被表示为
f（x）=f（a）+ f（a）（x-a）+ f（a）/2*（x-a）+f（a）/6*（x-a）
三阶级数有一个明显的优势就是它可以更容易地计算和表示比f （a）更接近的函数值，它可以用来估计更高阶的导数值，也可以用来估计更精确的定积分的函数值。所以三阶级数可以估计函数的值，并且可以更加准确。
三阶级数的应用非常广泛，它可以用来求解各种函数的有理近似值，包括实数函数、复数函数等，并且可以用来求解积分。此外，三阶级数还可以用来求解微分方程，可以用三阶级数来估计微分方程的近似解，以及求解泰勒公式。
总之，泰勒公式和三阶级数非常重要，它是微积分中最重要的工具之一。由于它可以用来估计函数的值，可以更加准确地求解微分方
程和求积分，从而极大地提高计算效率。在学习和使用泰勒公式和三阶级数时，应加强对其背后的概念的理解，以此来提高自身的学习能力。
微分方程怎么用泰勒展开
微分方程怎么用泰勒展开
摘要：
1.微分方程与泰勒公式的背景知识
2.泰勒公式在微分方程中的应用
3.泰勒公式的应用实例
4.总结与展望
正文：
一、微分方程与泰勒公式的背景知识
微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的，它的奠基人牛顿和莱布尼茨的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。
泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它应用于数学、物理领域，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
二、泰勒公式在微分方程中的应用
泰勒公式可以用来解决微分方程，可以将微分方程转化为一个关于导数的方程，然后用泰勒公式来近似函数。例如，如果需要求解以下微分方程：
f"(x) = f(x)^2
我们可以先猜测一个解，然后使用泰勒公式来验证这个猜测是否正确。我们可以将猜测的解表示为：
f(x) = ax + b
然后对其求导，得到：
f"(x) = a
将这个结果代入原始的微分方程中，可以得到：
a = (ax + b)^2
解这个方程，可以得到：
a = 2bx + b^2
将这个结果代入猜测的解中，可以得到：
f(x) = 2bx + b^2
泰勒公式及其应用
泰勒公式及其应⽤
泰勒公式的应⽤
内容摘要：泰勒公式是数学分析中⼀个⾮常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位，在近似计算、极限计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及⾏列式的计算等⽅⾯有重要的应⽤。本⽂着重对极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明这四个⽅⾯进⾏论述。
关键词：泰勒公式⽪亚诺余项级数拉格朗⽇余项未定式
⽬录
内容摘要 0
关键词 0
1.引⾔ (2)
2.泰勒公式 (2)
2.1具有拉格朗⽇余项的泰勒公式 (2)
2.2带有⽪亚诺型余项的泰勒公式 (2)
2.3带有积分型余项的泰勒公式 (2)
2.4带有柯西型余项的泰勒公式 (3)
3.泰勒公式的应⽤ (3)
3.1利⽤泰勒公式求未定式的极限 (3)
3.2利⽤泰勒公式判断敛散性 (6)
3.3 利⽤泰勒公式证明中值问题 (11)
3.4 利⽤泰勒公式证明不等式和等式 (13)
4. 结束语 (19)
参考⽂献 (20)
1.引⾔
泰勒公式是数学分析中⼀个⾮常重要的内容，微分学理论中最⼀般的情形是泰勒公式, 它建⽴了函数的增量,⾃变量增量与⼀阶及⾼阶导数的关系，将⼀些复杂的函数近似地表⽰为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有⼒杠杆。我们可以使⽤泰勒公式, 来很好的解决某些问题, 如求某些极限, 确定⽆穷⼩的阶, 证明等式和不等式，判断收敛性，判断函数的凹凸性以及解决中值问题等。本⽂着重论述泰勒公式在极限，敛散性判断，中值问题以及等式与不等式的证明这四个⽅⾯的具体应⽤⽅法。
2.泰勒公式
泰勒公式 证明
泰勒公式证明
全文共四篇示例，供读者参考
第一篇示例：
泰勒公式是微积分中非常重要的公式之一，它被广泛应用于求解
函数在某一点处的近似值。泰勒公式的证明涉及到数学分析的基本原
理和技巧，在这篇文章中，我们将为大家详细介绍泰勒公式的证明过程。
我们来回顾一下泰勒公式的表达式。对于一个连续可导的函数f(x)，在某点a处的泰勒展开式可以表示为：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ... + f^(n)(a)(x-a)^n/n! + R_n(x)
其中f(a)表示函数在点a处的函数值，f'(a)表示函数在点a处的导数，f''(a)表示函数在点a处的二阶导数，以此类推。R_n(x)为余项，表示当n趋向于无穷大时的极限值。
现在，我们来证明泰勒公式。我们假设函数f(x)在区间[a,b]上具有n+1阶连续导数。根据拉格朗日中值定理，存在点ξ∈(a,b)，使得f(b)可以表示为：
其中R_n(b)为余项，表示f(b)和泰勒展开式之间的误差。我们可
以将R_n(b)表示为：
R_n(b) = f^(n+1)(ξ)(b-a)^(n+1)/(n+1)!
接下来，我们定义一个新的函数g(x) = f(x) - T_n(x)，其中T_n(x)表示的是f(x)的n阶泰勒展开式，即：
我们可以计算g(x)在点b处的导数g^(n+1)(b)：
由于f(x)具有(n+1)阶连续导数，可以得到g^(n+1)(b) = 0，即g(x)在点b处的(n+1)阶导数为零。根据罗尔定理，存在点ξ'∈(a,b)，使得g'(ξ') = 0。
微分方程怎么用泰勒展开
微分方程怎么用泰勒展开
【原创实用版】
目录
1.微分方程与泰勒公式的概述
2.泰勒公式在微分方程中的应用
3.二阶泰勒展开法求解微分方程的例子
4.微分方程在各领域的应用
5.总结
正文
一、微分方程与泰勒公式的概述
微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的，它的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它应用于数学、物理领域，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
二、泰勒公式在微分方程中的应用
泰勒公式可以用来求解微分方程，可以将微分方程中的函数用泰勒公式展开，从而将微分方程转化为一个关于导数的方程，进而求解。例如，二阶泰勒展开法可以用来求解如下微分方程：
f""(x) + 2f"(x) + f(x) = 0
我们可以将 f(x) 用二阶泰勒公式展开，得到：
f(x) = f(0) + f"(0)x + f""(0)x^2/2! + f"""(0)x^3/3! +...
将这个展开式代入微分方程中，可以得到一个关于 f"(0)、f""(0)、f"""(0) 等导数值的方程，从而求解出 f(x)。
三、二阶泰勒展开法求解微分方程的例子
例如，考虑如下微分方程：
y"" + 2y" + y = 0
我们可以将 y(x) 用二阶泰勒公式展开：
y(x) = y(0) + y"(0)x + y""(0)x^2/2! + y"""(0)x^3/3! +...
高数上3.3 泰勒公式
能否用其它较简单的曲线函数来近似替代 复杂的连续函数f(x)呢？
事实上多项式函数
Pn (x) a0 a1x a2 x2 an xn
是一种处处连续可导分析性质很好的函数， 在n>1时，它是一条连续的曲线函数。 因此在讨论较复杂的连续函数f(x)在某一个 邻域内的分析性质时，经常用多项式函数来 近似代替较复杂的连续函数。
Rn ( x)
f (
(n1) ( )
n 1)!
(
x
x0 )n1
( 在 x0与 x之间).
证明 由题设,Rn( x)在(a,b)内具有直到 (n 1)
阶导数, 且 Rn ( x0 ) Rn'( x0 ) Rn( x0 )
R(n) n
(
x0
)
0,
两函数 Rn ( x)及 ( x x0 )n1 在以 x0 及 x为端点
Rn ( x) ( x x0 )n1
R ( n1) n
(
)
(n 1)!
( 在 x0 与n 之间, 也在
x0
与
x
之间), 因为
P (n1) n
(
x)
0,
所以
R ( n1) n
(
x)
f ( (n1) x),
泰勒公式
第三节 Taylor 公式
一、一元函数的Taylor 公式
先考虑一元函数的Taylor 公式。前面我们给出了
df x A f =∆≈∆．
用微分df 在相差x ∆的高阶无穷小的情况下来近似地代替函数增量f ∆，这一种近似方法有时不一定很理想，下面我们将讨论一种新的近似方法，也就是Taylor 公式．
由微分的知识可知，()x o x A f ∆+∆=∆，其中的)(x o ∆是否可以写为
()()()33221x o x A x A ∆+∆+∆呢？如果可以的话，可以用()()()
33
221x o x A x A ∆+∆+∆代替
()x o x A f ∆+∆=∆式中的()x o ∆，假设21,A A 已知，则可以用()()3
22
1x A x A x A ∆+∆+∆近
似f ∆，这一种近似的效果显然要精确的多．看下面的定理：
定理 6.14 如果函数()x f y =在含有0x 的开区间()b a ,内有直至1+n 阶导数，则当
()b a x ,∈时，()x f 可以表示为0x x x -=∆的一个n 次多项式和一个含有余项()x R n 之
和．即
()()()()()()x R x x n x f x x x f x f x f x x f n n n +-+
+-'+==∆+000000!
...)()()(． 其中()()()ξξ,1)
(10)1(++-+=n n n x x n f x R ！
介于x 与0x 之间．
证 若令()()()n
n n x n f x x f x f x P ∆++∆'+=!
综述微分和泰勒展开公式的关系
微分和泰勒展开公式是数学分析中两个重要的概念和工具，它们在数学推导和物理问题求解中起着至关重要的作用。本文将综述微分和泰勒展开公式的关系，旨在深入探讨它们之间的内在通联和应用。
一、微分的基本概念
1.微分的定义和性质
2.微分在函数求导和近似计算中的应用
3.微分的几何意义和物理意义
二、泰勒展开公式的基本原理
1.泰勒展开公式的定义和表达形式
2.泰勒展开公式在函数逼近和级数求和中的应用
3.泰勒展开公式的推导和证明方法
三、微分和泰勒展开公式的关系
1.微分与泰勒展开公式的通联和区别
2.微分在泰勒展开公式中的角色和作用
3.泰勒展开公式的导出过程中涉及微分的应用
四、微分和泰勒展开公式在数学分析中的应用
1.微分和泰勒展开公式在函数极值和凹凸性判定中的应用
2.微分和泰勒展开公式在函数逼近和近似计算中的应用
3.微分和泰勒展开公式在泛函分析和微分方程求解中的应用
五、微分和泰勒展开公式在物理问题中的应用
1.微分和泰勒展开公式在力学和动力学中的应用
2.微分和泰勒展开公式在电磁学和热力学中的应用
3.微分和泰勒展开公式在量子力学和相对论中的应用
六、结论
微分和泰勒展开公式作为数学分析中的重要概念和工具，不仅在理
论研究中发挥着重要作用，也在物理问题求解中具有广泛的应用前景。深入理解微分和泰勒展开公式的关系，对于加深对数学分析和物理学
知识的理解和应用具有重要意义。
通过以上关于微分和泰勒展开公式的综述，我们可以更全面深入地了
解它们的内在通联和应用，希望本文能对相关领域的研究者和学习者
有所启发和帮助。七、微分的基本概念
微分是微积分学中的一个基本概念，它源自导数的概念。在数学上，
高级数学中的微分学与泰勒公式
导数大于零表示函数图像在 该点上方单调递增
导数表示函数图像上某点的 切线斜率
导数小于零表示函数图像在 该点下方单调递减
导数等于零表示函数图像在 该点处取得极值
微分的定义：微分是函 数在某一点的变化率的 近似值，表示函数在该 点附近的小变化。
微分的应用：微分学 在数学、物理、工程 等领域有广泛应用， 如求切线、求极值、 求曲线的长度等。
应用：多元函数的泰勒公式在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用，是研究多元函数的重要工具之一
PART SIX
计算速度和加速度 求解微分方程 计算万有引力定律中的引力 研究振动和波动现象
金融衍生品定价：利用微分学和泰勒公式对金融衍生品进行定价，如期权、期货等。
投资组合优化：通过微分学和泰勒公式对投资组合进行优化，以实现最大收益或最小 风险。
泰勒公式的基本形式 泰勒公式的应用领域
幂级数的概念 泰勒公式的收敛性
定义：泰勒公式在数学分析中，将一个函数在某点的值用无穷级数表示，这个级数只会在该 点收敛
收敛条件：泰勒公式的收敛性取决于函数的可导性和导数的性质，需满足一定的收敛半径和 收敛区间条件
应用场景：泰勒公式在解决一些复杂数学问题时非常有用，例如近似计算、级数求和、求解 微分方程等
信号处理：在信号处理领域，泰勒公式可以用于设计滤波器、信号变换等操作。
PART FOUR
GS6.7 多元函数的微分中值定理与泰勒公式
1 ∂ ∂ + +y x ( n + 1)! ∂x ∂y
n+ n+1
f (θ x , θ y ),
(0 < θ < 1)
π 2 例1 求函数 f ( x, y ) = sin x y 在点(1,1) 的二阶泰勒多项式 2 及带匹亚诺余项的泰勒公式.
解 先求各阶导数 ∂f π 2 = π xy cos x y , ∂x 2
其中 ρ = ∆x 2 + ∆y 2 → 0.
由高阶微分的定义,不难看出 1 1 2 1 n f ( x0 , y0 ) + df ( x0 , y0 ) + d f ( x0 , y0 ) + ⋯ + d f ( x0 , y0 ) 1! 2! n!
是∆x及∆y的n次多项式, 其系数为 f 在点(x0, y0)的偏导数.
n+1
∆x ∆y M M 2n+1 n+1 所以 Rn ≤ + ρ n+1 ρ , ≤ ( n +1)! ρ ρ ( n +1)! 当固定 ∆ x , ∆ y时, ρ 为常量, 于是 Rn → 0 ,
( n → ∞).
当固定项数 n 而令 ρ = ∆x 2 + ∆y 2 → 0 时, 有
∂ +∆y ∂ f (x , y ) k ⇒ϕ (0) = ∆x 0 0 = d f ( x0 , y0 ), ∂x ∂y
高数微积分泰勒公式
n!
f (n1) (x) xn1 (0 < < 1)
(n 1)! 带有Lagrange型余项
近似公式
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 L f (n)(0) xn
2!
n!
误差估计式为
|
Rn
|
M (n 1)!
|
x
|n1
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 L f (n)(0) xn
多项式 与一个余项 Rn ( x) 之和 :
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
L
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
Rn
(
x)
其中 Rn( x)
f (n1) ( )
(x (n 1)!
x0 )n1
( x0 )
Rn (1 ) (1 )
(1在x0与x之间)
Rn ( x)及 ( x)在[ x0 ,1]上连续,在( x0 ,1 )内
可导,且( x) 0.
用2次 柯西定理
LL Rn (1 )
(1 )
微分方程怎么用泰勒展开
微分方程怎么用泰勒展开
【实用版】
目录
1.微分方程与泰勒公式的概述
2.泰勒公式在微分方程中的应用
3.泰勒级数展开的方法和步骤
4.泰勒展开在微分方程求解中的实例
5.泰勒展开在实际问题中的应用及意义
正文
一、微分方程与泰勒公式的概述
微分方程是数学领域中一种描述函数变化率的方程，它可以用来解决许多与导数有关的问题。泰勒公式，应用于数学、物理领域，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。当函数足够平滑时，泰勒公式可以用导数值做系数构建一个多项式来近似函数在特定点的邻域中的值。
二、泰勒公式在微分方程中的应用
泰勒公式在微分方程中的应用十分广泛，尤其是在求解微分方程的初值问题时。通过将函数展开成泰勒级数，可以有效地简化问题，并得到一个可以用常规方法求解的方程。
三、泰勒级数展开的方法和步骤
1.选择一个展开点，通常为函数的极值点或拐点；
2.对函数进行求导，并计算出该点处的各阶导数值；
3.根据泰勒公式，用这些导数值做系数构建一个多项式；
4.将多项式代入原函数，得到一个新的函数；
5.通过比较新函数与原函数的误差，可以确定展开的项数。
四、泰勒展开在微分方程求解中的实例
例如，求解如下微分方程：
y" + 3y^2 = 0
可以将其转化为二阶泰勒展开的形式：
y(x) = y0 + y1*x + y2*x^2/2! + y3*x^3/3! +...
对上式求导，得到：
y"(x) = y1 + 2*y2*x + 3*y3*x^2/2! +...
将 y"(x) 与 y(x) 代入原微分方程，得到：
y1 + 3*(y2*x + y3*x^2/2! +...) = 0
高阶偏导数与高阶全微分
有二阶连续偏导数.
解 在 z f ( xy, x2 y2 )中,
令 u xy, v x2 y2 , 则
z x
f1
u x
f
2
v x
yf1 2xf2,
2z x 2
y
f11
u x
f12
v x
2
f
2
2
x
f
21
u x
f
22
v x
y[ yf11 2xf12 ] 2 f2 2x[ yf12 2xf22 ]
y
z y
2z y2
.
或 fxx( x, y), fxy( x, y), f yx ( x, y), f yy ( x, y).
当混合偏导数 fxy( x, y), f yx ( x, y) 连续时, 则它们相等.
例1 求 z x3 y2 2xy3 xy 3 的二阶偏导数.
解 先求一阶偏导数
f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) df ( x0 , y0 )
1 d2 f 2!
( x0 , y0 ) o(x 2
y2 )
(7 19)
其中 df ( x0 , y0 ) f x( x0 , y0 )x f y( x0 , y0 )y
d2 f ( x0 , y0 ) f xx ( x0 , y0 )x2 2 f xy ( x0 , y0 )xy f yy ( x0 , y0 )y2 .
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定义为三阶微分 ,以此类推 ,于是有 dn f ( x) = f ( n) ( x) dxn. 而这种定义既没有揭示其本质 , 也没有显示其
内涵 ,有不尽意之处 ,为此引入如下定义 。
1 一元函数的高阶微分与泰勒公式
1. 1 二阶微分的定义 定义 1 设函数 y = f ( x ) 在点 x0 的某邻域 U ( x0 ) 内有定义 , 给变量 x 在 x0 处一个增量 △x, 且
1 2!
[ fxx
( x0 ,
y0 ) ( △x) 2
+ 2fxy ( x0 ,
y0 ) △x△y + fyy ( x0 ,
y0 ) ( △y) 2 ] 1
例 2 求 1. 083. 96的近似值 。
解 设 f ( x, y) = xy ,取 x0 = 1, y0 = 4, △x = 0. 08, △y = - 0. 04,
+ … + dn z
+ dn +1 z
,
M0 1! M0
2! M0
n! M 0 ( n + 1) ! M ′0
其中 M ′0 在 M 与 M 0 之间 。
当 z = f ( x) ,即 X = x, M 0 = x0 时
·78·
第 4期 曹吉利 ,刘延军 高阶微分与泰勒公式
1 + 1)
!
dn + 1
f ( x,
y)
1
( x0 +θ( x - x0) , y0 +θ( y - y0) )
从一元函数到二元函数甚至到多元函数 , n阶泰勒公式的形式是统一的 , 但具体内容有所差异 , 如
设 z = f ( X ) ,当满足泰勒中值定理条件时 ,有
z = d0 z + dz
+ d2 z
在一元函数中微分的概念为 [1 ] :设函数 y = f ( x)在点 x0 的某邻域 U ( x0 )内有定义 ,当给变量 x在 x0 处一增量 △x,且当 x0 + △x∈U ( x0 )时 ,相应地函数有增量 △y = f ( x0 + △x) - f ( x0 ) , 如果其增量可表示 为
△y = A △x + o ( △x) ,
f ( x, y) = d0 f ( x, y) + 1 df ( x, y) + 1 d2 f ( x, y) + … +
M0 1!
M0 2!
M0
1 dn f ( x, y) n!
M0
+
(n
1 + 1)
!
dn
+1
f
(
x,
y)
,
( x0 +θ( x - x0) , y0 +θ( y - y0) )
(x -
M0
x0 ) n - k ( y -
y0 ) k 1
类似于一元函数的二阶微分 ,在定义二元函数的二阶微分后 ,同理可推出二元函数的近似计算公式
f ( x0 + △x, y0 + △y) ≈ f ( x0 , y0 ) + fx ( x0 , y0 ) △x + fy ( x0 , y0 ) △y +
由于
fx ( 1, 4) = 4, fy ( 1, 4) = 0, fxx ( 1, 4) = 12, fxy ( 1, 4) = 1, fyy ( 1, 4) = 0,
则 1. 083. 96≈ 1 + 4 ×0. 08 + 0 ×( - 0. 04) +
1 [ 12 ×( 0. 08) 2 + 2 ×0. 08 ×( - 0. 04) + 0 ×( - 0. 04) 2 ] = 1. 355 2, 2! 采用一阶微分计算的结果是 1. 32,显然比用一阶微分计算的结果精确 。 2. 2 二元函数的 n阶泰勒公式 定理 2 设函数 z = f ( x, y)在点 M 0 ( x0 , y0 )的某邻域 U (M 0 )内有直到 n + 1阶微分 , 则在该邻域内 任意一点 M ( x, y)处有如下公式
+… +
2 二元函数的高阶微分与 n阶泰勒公式
2. 1 二元函数的 n阶微分 类似于一元函数的二阶微分 ,可定义二元函数的二阶微分及高阶微分 。为了行文方便 ,这里引入二
·77·
陕西理工学院学报 (自然科学版 ) 第 24卷
元函数的 n阶微分 。
解 :考虑函数
y = f ( x)
3
=
x, 取
x0
= 1, △x = 0.
02. 由于
f ′( x0 )
1 = 3 3 x2
x = x0 =1
=
1 3
, f ″( x0 )
=-
2 9
1 3 x5
x = x0 =1
=-
2, 9
则
3 1. 02≈ 1 + 1 ×0. 02 - 1 2 ×( 0. 02) 2 = 1 + 1 - 4 = 90 596 ,
dy x = x0 = A △x, d2 y x = x0 = B ( △x) 2 ,
收稿日期 : 2008 - 06 - 24 作者简介 :曹吉利 (1956—) ,男 ,陕西省礼泉县人 ,陕西理工学院教授 ,主要研究方向为基础数学 。
第 4期 曹吉利 ,刘延军 高阶微分与泰勒公式
f ( x) = d0 f ( x) 这里 , 0 <θ< 11
+ df ( x)
x = x0
1!
+ d2 f ( x)
x = x0
2!
+ … + dn f ( x)
高阶微分与泰勒公式
曹吉利 , 刘延军
(陕西理工学院 数学系 , 陕西 汉中 723001)
Dec. 2008 Vol. 24 No. 4
[摘 要 ] 泰勒公式在数学分析中具有很重要的地位 。由一元函数的微分出发 ,引出一元函 数及二元函数的高阶微分 ,以微分形式给出一元函数及二元函数的泰勒公式 ,其优点是从微分 到泰勒公式 ,形式统一 。举例说明了其应用 。 [关 键 词 ] 二阶微分 ; 高阶微分 ; 泰勒公式 ; 近似计算 [中图分类号 ] O175 [文献标识码 ] A
定义 2 设函数 z = f ( x, y)在点 M 0 ( x0 , y0 )的某邻域 U (M 0 )内有 n 阶连续偏导数 , 则函数 z = f ( x,
y)在点 M 0 ( x0 , y0 )处 n阶微分存在 [9 ] ,且有
6 dn z = M0
n
Ckn
k =0
5n z 5xn - k 5yk
又 < ( 1) = f ( x, y) ,
故 f ( x, y) = d0 f ( x, y) + 1 df ( x, y) + 1 d2 f ( x, y) + … +
M0 1!
M0 2!
M0
2. 3 注 记
1 dn f ( x, y) n!
M0
+
(n
即
f ( x0 + △x) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 ) △x 1
若记 x = x0 + △x,那么 △x = x - x0 ,于是 f ( x)≈ f ( x0 ) + f ′( x0 ) ( x - x0 ) ,其几何直观为“以直代曲 ”。
在现行的教材 [2 ]中对于高阶微分的定义均采用一阶微分的微分定义为二阶微分 , 二阶微分的微分
这里 , d0 f ( x, y) M 0 = f ( x0 , y0 ) ,其中 0 <θ< 11
证明 :令 < ( t) = f ( x0 + t ( x - x0 ) , y0 + t ( y - y0 ) ) ,则由定理 1知 ,一元函数 < ( t)在 [ 0, 1 ]上有
< ( 1) = d0 < ( t)
t=0
+
1 1!
d<
(
t)
+ 1 d2 < ( t) t=0 2!
+…+
t=0
应用复合函数微分法 [2 ]可知 :
1 dn < ( t)
n!
t=0
+
(
n
1 + 1)
!
dn
+1
<
(
t)
, 0 <θ< 1,
t =θ
dm < ( t) t =0 = dm f ( x, y) M 0 , m = 0, 1, 2, …, n, < d d n +1 ( t) t =θ = n +1 f ( x, y) , ( x0 +θ( x - x0) , y0 +θ( y - y0) )
2008年 12月 陕西理工学院学报 (自然科学版 )
第 24卷第 4期 Journal of Shaanxi University of Technology (Natural Science Edition)
[文章编号 ]1673 - 2944 (2008) 04 - 0076 - 04
△y = f ( x)
- f ( x0 )
= f ′( x0 ) ( x - x0 )
+ f ″( x0 ) 2!
(x
-
x0 ) 2
+ o( (x
-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x0 ) 2 ) ,
即
f ( x)
= f ( x0 )
+ f ′( x0 ) ( x - x0 )
+ f ″( x0 ) 2!
(x
-
x0 ) 2
+ o( (x
+ f ″( x0 ) 2!
(x
-
x0 ) 2
+… +
f ( n) ( x0 ) n!
(x
-
x0 ) n
f ( n +1) +
( x0 +θ( x ( n + 1) !
x0 ) )
(x
-
x0 ) n +1 ,
这里 , 0 <θ< 1.
此公式称为函数 f ( x)在点 x0 的 n阶泰勒公式 。利用微分记号 , n阶泰勒公式可写成
其中 A 不依赖于 △x,则称函数 y = f ( x)在点 x0 处可微 ,并称 A △x为 f ( x)在点 x0 处的微分 ,记作
dy x = x0 = A △x 1
在上述定义下 ,从理论上可以证明 [1 ]恰有 A = f ′( x0 ) ,即 dy x = x0 = f ′( x0 ) △x 1 引入微分的好处之一在于近似计算 ,即若 △y用 dy x = x0作近似 ,则有 △y = f ( x0 + △x) - f ( x0 ) ≈ f ′( x0 ) △x,
1. 3 一元函数的 n阶泰勒公式
下面给出基于高阶微分形式的 n阶泰勒公式 。
定理 1[ 1] 若函数 f ( x)在点 x0 处的某邻域 U ( x0 )内有直到 n + 1 阶的微分 , 则在该邻域内任意一 点 x处有公式
f ( x)
= f ( x0 )
+ f ′( x0 ) 1!
(x
-
x0 )
3
2! 9
150 90 000 90 000
而用一阶微分的近似值为 151,采用二阶微分显然比用一阶微分作为近似要精确得多 。 150
另外
f ( x)≈ f ( x0 )
+f
′( x0 )
(x -
x0 )
f +
″( x0 ) 2!
(x -
x0 ) 2 , 其几何直观为用二次曲线代替复杂曲线之
功效 。
这里 , d0 f ( x)
f ( x) = d0 f ( x)
+ df ( x)
+ d2 f ( x)
x = x0
1! x =x0
2!
x = x0
dn f ( x)
+ dn +1 f ( x)
,
n!
x = x0
( n + 1 ) ! x = x0 +θ( x - x0)
x = x0 = f ( x0 ) ,其中 0 <θ< 1.
-
x0 ) 2 ) ,
这就是泰勒公式的雏形 ,将其推广到 n阶泰勒公式有水到渠成之作用 。
若用 A △x + B ( △x) 2 作 △y的近似 ,即 2!
△y
= f ( x0
+ △x)
-
f ( x0 ) ≈
f
′( x0 )
△x
+
f
″( x0 ) 2!
( △x) 2 ,
其精度大为提高 。
例 1 求 3 1. 02的近似值 。
x0 + △x∈U ( x0 )时 ,相应地函数有增量 △y = f ( x0 + △x) - f ( x0 ) ,
如果其增量可表示为
△y = A △x + B ( △x) 2 - o ( ( △x) 2 ) , 2!
其中 A, B 不依赖于 △x,则称函数 y = f ( x)在点 x0 处二阶可微 ,并称 A △x, B ( △x) 2 为函数 y = f ( x)在点 x0 处的一阶微分 、二阶微分 ,依次分别记作 dy, d2 y,即
可以证明 : A = f ′( x0 ) , B = f ″( x0 ) 1 从而记号
d y 2 x = x0
= f ″( x0 ) ( dx) 2
= f ″( x0 ) dx2 ,
与导数是微商的记号一致 ,并可推广到高阶微分 。
1. 2 注 记
若记 x = x0 + △x,即 △x = x - x0 ,于是