@FB816B型非线性电路混沌(分体)实验讲义(2)
非线性电路混沌实验
C2
L
R C1
～
R 有源非线性负阻元件, G 电导(diàn dǎo)，C1和C2 电容。
各区域的作用(zuòyòng)：黄色区： 产生振荡，蓝色区： 移相， 粉色 区：有源非线性元件。
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有源非线性元件的电压(diànyā)、电流特性： I
0
V
上图是一个(yī ɡè)非线性负阻的电压电流特性曲线， 实现方法有许多种，本实验使用的是Kennedy于1993年提 出的方法。它采用了两个运算放大器和六个配置电阻来 实现的。由于我们主要研究的是元件的外部效应，即电 路两端的电压和流过其电流的关系，因此我们可以把上 述元件看成是一个(yī ɡè)黑匣子即—有源非线性负阻。
值得注意的是，周期倍增过程没有限制，可以一直这样分下去，但 对应的 值却有一个极限 ,，到达 ,时，迭代的稳定(wěndìng)解 是2 周期解---周期无穷大，也就是没有周期。所以这时得到的是非周 期解，迭代的数据到处乱跑，无法把握，系统进入混沌状态。
倍周期分岔产生的混沌，在心脏生理学方面有潜在的应用价值。心 律不齐，心肌梗塞这些医学难题，有可能找到正确的答案。
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实验(shíyàn)现象的观察二
阵发(zhèn fā)混沌 第36页，共36页。
实验(shíyàn)现象的观察三
三倍周期 (zhōuqī)
奇异(qíyì)吸引子
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实验(shíyàn)现象的观察四
双吸引(xīyǐn) 子
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混沌(hùndùn)和现代科学
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身边的混沌(hù ndù n)现象
1. 当您的妈妈对这您大叫：“你的房间简直一片混沌（混 乱）！”她的话可能正确，但是她一定不会知道：混沌里蕴 含着秩序。那些乱七八糟的书籍、五颜六色的果皮糖纸、 臭气熏天的袜子里都隐藏着一种秩序，只是等待您的发现。
非线性电路中的混沌现象实验报告doc
非线性电路中的混沌现象实验报告篇一：非线性电路混沌实验报告近代物理实验报告指导教师：得分：实验时间： XX 年 11 月 8 日，第十一周，周一，第 5-8 节实验者：班级材料0705学号 XX67025 姓名童凌炜同组者：班级材料0705学号 XX67007 姓名车宏龙实验地点：综合楼 404实验条件：室内温度℃，相对湿度 %，室内气压实验题目：非线性电路混沌实验仪器：（注明规格和型号） 1. 约结电子模拟器约结电子模拟器的主要电路包括:1.1, 一个压控震荡电路, 根据约瑟夫方程, 用以模拟理想的约结1.2, 一个加法电路器, 更具电路方程9-1-10, 用以模拟结电阻、结电容和理想的约结三者相并联的关系1.3， 100kHz正弦波振荡波作为参考信号2. 低频信号发生器用以输出正弦波信号，提供给约结作为交流信号 3. 数字示波器用以测量结电压、超流、混沌特性和参考信号等各个物理量的波形实验目的：1. 了解混沌的产生和特点2. 掌握吸引子。
倍周期和分岔等概念3. 观察非线性电路的混沌现象实验原理简述：混沌不是具有周期性和对称性的有序，也不是绝对的无序，而是可以用奇怪吸引子等来描述的复杂有序——混沌而呈现非周期性的有序。
混沌的最本质特征是对初始条件极为敏感。
1. 非线性线性和非线性，首先区别于对于函数y=f(x)与其自变量x的依赖关系。
除此之外，非线性关系还具有某些不同于线性关系的共性：1.1 线性关系是简单的比例关系，而非线性是对这种关系的偏移1.3 线性关系保持信号的频率成分不变，而非线性使得频率结构发生变化 1.4 非线性是引起行为突变的原因2. 倍周期，分岔，吸引子，混沌借用T.R.Malthas的人口和虫口理论，以说明非线性关系中的最基本概念。
虫口方程如下：xn?1???xn(1?xn)μ是与虫口增长率有关的控制参数，当1 1?，这个值就叫做周期或者不动点。
在通过迭代法解方程的过程中，最终会得到一个不随时间变化的固定值。
非线性混沌电路实验报告
非线性电路混沌及其同步控制【摘要】本实验通过测量非线性电阻的I-U特性曲线，了解非线性电阻特性，，从而搭建出典型的非线性电路——蔡氏振荡电路，通过改变其状态参数，观察到混沌的产生，周期运动，倍周期与分岔，点吸引子，双吸引子，环吸引子，周期窗口的物理图像，并研究其费根鲍姆常数。
最后，实验将两个蔡氏电路通过一个单相耦合系统连接并最终研究其混沌同步现象。
【关键词】混沌现象有源非线性负阻蔡氏电路混沌同步费根鲍姆常数一．【引言】1963年，美国气象学家洛伦茨在《确定论非周期流》一文中，给出了描述大气湍流的洛伦茨方程，并提出了著名的“蝴蝶效应”，从而揭开了对非线性科学深入研究的序幕。
非线性科学被誉为继相对论和量子力学之后，20世界物理学的“第三次重大革命”。
由非线性科学所引起的对确定论和随机论、有序和无序、偶然性与必然性等范畴和概念的重新认识，形成了一种新的自然观，将深刻的影响人类的思维方法，并涉及现代科学的逻辑体系的根本性问题。
迄今为止，最丰富的混沌现象是非线性震荡电路中观察到的，这是因为电路可以精密元件控制，因此可以通过精确地改变实验条件得到丰富的实验结果，蔡氏电路是华裔科学家蔡少棠设计的能产生混沌的最简单的电路，它是熟悉和理解非线性现象的经典电路。
本实验的目的是学习有源非线性负阻元件的工作原理，借助蔡氏电路掌握非线性动力学系统运动的一般规律性，了解混沌同步和控制的基本概念。
通过本实验的学习扩展视野、活跃思维，以一种崭新的科学世界观来认识事物发展的一般规律。
二．【实验原理】1.有源非线性负阻一般的电阻器件是有线的正阻，即当电阻两端的电压升高时，电阻内的电流也会随之增加，并且i-v 呈线性变化，所谓正阻，即I-U 是正相关，i-v 曲线的斜率u i∆∆为正。
相对的有非线性的器件和负阻，有源非线性负阻表现在当电阻两端的电压增大时，电流减小，并且不是线性变化。
负阻只有在电路中有电流是才会产生，而正阻则不论有没有电流流过总是存在的，从功率意义上说，正阻在电路中消耗功率，是耗能元件；而负阻不但不消耗功率，反而向外界输出功率，是产能元件。
非线性电路振荡周期的分岔与混沌实验讲解
3.把实验仪右上角内的电源九芯插头插入实验仪面板上对应的九芯插座上,注意插头
插座的方向应一致。然后插上电源,按实验仪面板右边的钮子开关,对应的±15V
16mH L
指示灯点亮。
4.调节W1粗调电位器和W2细调电位器,改变(RV1+RV2 C移向器中电阻的阻值,观测相图周期的变化,观测倍周期分岔,阵发混沌,三倍周期,吸引子(混沌和双吸引子(混沌现象,及相应的扫描波形。
图2逻辑斯蒂映射的分岔图:k从2.8增大到4。
从图中可看出周期倍增导致混沌。混沌区突然又出现周期3, 5, 7„奇数及其倍周期6, 10, 14„的循环,混沌产生有序,或秩序从混沌中来。
其实以上的这些特性适用于任何一个只有单峰的单位区间上的迭代,不是个别例子特有的,具有一定的普适性。从而揭示了混沌现象涉及的领域比较广泛。混沌是非线性系统中存在的一种普遍现象它也是非线性系统中所特有的一种复杂状态。混沌是指确定论系统(给系统建立确定论的动力学方程组中的内在不确定行为。混沌现象对初值极为敏感使非线性系统的长期行为具有不可预测性。
混沌控制的目标有两种:一种是对混沌吸引子内存在的不稳定的周期轨道进行有效的稳定控制,根据人们的意愿逐一控制所需的周期轨道。这一类控制的特点是并不改变系统中原有的周期轨道。另一种控制目标则不要求必须稳定控制原系统中的周期轨道,而只要通过可能的策略,方法及途径,达到有效控制,得到我们所需的周期轨道即可,或抑制掉混沌行为,即通过对系统的控制获得人们所需的新的动力学行为,包括各种周期态及其它图样等。混沌的应用主要有以下两种:①研究确定论的非线性系统中的混沌现象,并应用混沌控制法消除或抑制这种混沌不稳定现象。②混沌现象的直接应用。
非线性电路中混沌现象的研究实验
非线性电路中混沌现象的研究实验长期以来人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学描述方法，即确定的运动必然有一个确定的解析解。
但是在自然界中相当多的情况下，非线性现象却有着非常大的作用。
1963年美国气象学家Lorenz 在分析天气预报模型时，首先发现空气动力学中的混沌现象，这一现象只能用非线性动力学来解释。
于是，1975年混沌作为一个新的科学名词首先出现在科学文献中。
从此,非线性动力学得到迅速发展,并成为有丰富内容的研究领域。
该学科涉及到非常广泛的科学范围，从电子学到物理学，从气象学到生态学,从数学到经济学等。
混沌通常相应于不规则或非周期性,这是非由非线性系统产生的本实验将引导学生自已建立一个非线性电路。
【实验目的】1.测量非线性单元电路的电流--电压特性,从而对非线性电路及混沌现象有一深刻了解。
2.学会测量非线性器件伏安特性的方法。
【实验仪器】非线性电路混沌实验仪【实验原理】图1 非线性电路 图2 三段伏安特性曲线1.非线性电路与非线性动力学：实验电路如图1所示,图1中只有一个非线性元件R ，它是一个有源非线性负阻器件。
电感器L 和电容器2C 组成一个损耗可以忽略的振荡回路:可变电阻21W W +和电容器1C 串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。
较理想的非线性元件R 是一个三段分段线性元件。
图2所示的是该电阻的伏安特性曲线,从特性曲线显示加在此非线性元件上电压与通过它的电流极性是相反的。
由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。
图1 电路的非线性动力学方程为：11211Vc g )Vc Vc (G dtdVc C ∙--∙=L 2122i )Vc Vc (G dtdVc C +-∙=式中,导纳21W W 1G +=,1C V 和2C V 分别表示加在1C 和2C 上的电压,L i 表示流过电感器L 的电流,g 表示非线性电阻R 的导纳。
2. 有源非线性负阻元件的实现：有源非线性负阻元件实现的方法有多种，这里使用的是一种较简单的电路：采用两个运算放大器(一个双运放 353LF ) 和六个配置电阻来实现,其电路如图3所示,它的伏安 特性曲线如图4所示。
非线性电路理论与混沌现象
确定的系统与不确定的未来 ——非线性系统初始值的细微变化造成结果的巨大差差异
混沌现象的出
三体问题：一颗质量很小的 卫星 （灰尘）在两颗大质量的行星作用下运 动。假定行星（灰尘）在它们之间的万 有引力作用下绕其联线中心作圆周运动， 而卫星（灰尘）质量很小，对行星运动 的影响可以忽略。同时假定三个天体在 同一平面内运动。现在要问：卫星在两 颗行星作用下的运动情况如何呢？
使用了几个世纪的牛顿引力定律是广义相对论的弱场 近似。 只有当GmM/R << mc^2时牛顿引力定律才是正确的。
拉普拉斯曾写道：“我们应当把宇宙目前的状态视为其过去状态的结果和 未来状态的原因。” ——拉普拉斯的世界不但是确定的，而且是可预测的。这就是牛顿 世界中的决定论。
20世纪初，庞加莱首先意识到在确定论系统中有混沌现象的存在，对牛顿 严格的决定论提出置疑，拉开了非线性研究的序幕。 20世纪50年代，由杨振宁和米尔斯建立的杨—米尔斯规范场论是非线性 的，并且随后建立起来的弱电统一理论、量子色动力学也都是非线性的。而 这些理论与实验符合得很好。物理学家断言：最后的大统一场论肯定也是非 线性的。 ——整个世界，从宇观、宏观到微观本质上都是非线性的。
2. Intermittency Route to Chaos（或称为准周期道路）
使用和上面的实验相同的参数，当R进一步减小到系统产生3个极限环时，系统会形成另 一种混沌现象：系统产生的信号几乎是周期性的，只是信号中存在一些没有规则的现象。也 就是说信号中同时存在周期性的行为与没有规则的行为。 产生这种混沌现象的方式为：在前一个实验中当系统产生三个稳定的极限环时，适当增 加R的大小。
混沌基本特征
1、敏感性。表现在对系统结构参数敏感性和对初始条件敏感性。前者是 指系统运动状态 依赖于结构参数的变化，后者指初始条件的微小变化将 导致系统运动行为的巨大差 异。该特点违背了微分方程解对初始条件 的连续依赖性，该特点形象的称为“蝴蝶效 应” 。
非线性电路混沌实验
经计算可以
得出，三段线性回归相关系数均非常接近 1（r 分别 0.99732,0.99979,0.99992），
2.非线性电路---蔡氏电路与非线性动力学 实验电路如图 1 所示,图 1 是非线性电路系统的一种简单而又经典的电路---
蔡氏电路，它只有一个非线性电阻 R，电感器 L 和电容器 C2 组成一个损耗可以 忽略的谐振回路，可调电阻 RV 以及电容器和 C1 串联将振荡器产生的正弦信号移 相输出。其中非线性电阻 R 是一个三段分线性元件，它的伏安特性曲线如图二， 它的电流随电压增高而减小，称之为非线性负阻元件，它是核心元件，是系统产 生混沌的必要条件。
一、引言 混沌实验研究起源于 1963 年美国气象学家洛伦茨（E.lorenz）研究天气预
报时用到的三个动力学方程，后来他在《确定论非周期流》一文中，给出了描述 大气湍流的洛伦茨方程，并提出了著名的“蝴蝶效应”，从而揭开了对非线性科 学深入研究的序幕。混沌来自非线性，是非线性系统中存在的一种普遍现象。无 论是复杂系统，如气象系统、太阳系、还是简单系统，如钟摆、滴水龙头等，皆 因存在着内在随机性而出现类似无轨、但实际是非周期有序运动，即混沌现象。 迄今为止，最丰富的混沌现象是非线性震荡电路中观察到的，这是因为电路可以 精密元件控制，因此可以通过精确地改变实验条件得到丰富的实验结果，蔡氏电 路是华裔科学家蔡少棠设计的能产生混沌的最简单的电路，它是熟悉和理解非线 性现象的经典电路。 本实验的目的是学习有源非线性负阻元件的工作原理，借 助蔡氏电路掌握非线性动力学系统运动的一般规律性，了解混沌同步和控制的基 本概念。 二、实验原理 1.名词解释
非线性混沌现象实验报告
V0sinωtE研究性实验：包含非线性电感互感的混沌电路实验非线性电路中的混沌现象十分丰富，而且易于观察和测量。
因此，用非线性电路研究混沌现象受到广泛的重视。
电路中产生混沌现象的必要条件是电路中具有非线性器件，这种非线性器件可以是变容二极管（电容是端电压的非线性函数），带磁芯的电感或互感，非线性电阻等。
一．实验仪器和电路电感线圈一个，L0用于直流激磁，L1、L2为互感线圈，互感量为M。
电容箱二个，电阻箱二个信号发生器CA1640直流电源一台，电流表一块双踪示波器SS7802工作参数C1≈C2 ~ 0.5-0.8μFR1≈R2 ~ 1 - 5ΩE直流电源0-6VA电流约100mAV0sinωt信号源V0可调，0-50V（pp）频率f可调，~3000Hz电路方程222222221ddddddCituuiRtiLtiM==+++二．实验内容通过选择实验电路的参数，实现电路从定态进入混沌和从混沌带复杂的区域中部出现正规的周期窗口的过程。
从定态进入混沌有多种途径，实验主要研究从倍周期分岔，即在基频（1P），二分频（2P），四分频（4P），八分频（8P）……进入混沌状态的过程。
1．研究L0中电流对互感输出的影响。
2．研究改变信号源V0sinω幅值V0实现混沌的过程。
3．研究改变信号源角频率ω实现混沌的过程。
*4．周期和混沌信号的频谱观察与测量。
课前先准备教材p362上的思考题。
参考文献见教材P363。
非线性电路混沌实验报告
非线性电路混沌_实验报告非线性电路混沌实验报告一、实验目的通过搭建非线性电路，观察和研究电路的混沌现象，深入理解和掌握混沌系统的特性。
二、实验原理混沌系统是一类非线性动力系统，其特点是对初始条件极其敏感，微小的初始条件变化会导致系统演化出完全不同的结果。
混沌系统的行为复杂、难以预测，具有高度的随机性。
在电路中，非线性元件的引入可以引起电路的混沌现象。
三、实验器材和仪器1. 函数生成器2. 示波器3. 混沌电路实验板4. 电源5. 电压表和电流表四、实验步骤1. 搭建混沌电路按照实验指导书上的电路图，搭建混沌电路。
其中，电路中需要包含非线性元件，如二极管、晶体管等。
2. 调节函数生成器将函数生成器连接到电路中，调节函数生成器的频率和幅度，使其能够提供合适的输入信号。
同时，设置函数生成器的触发方式和触发电平。
3. 连接示波器将示波器的输入端连接到电路输出端，调节示波器的触发方式和触发电平，使其能够正常显示电路的输出波形。
4. 开始实验打开电源，调节函数生成器和示波器，观察电路的输出波形。
记录不同参数下的波形变化，并观察混沌现象的特点。
五、实验结果与分析在实验中，我们观察到了电路的混沌现象。
随着参数的变化，电路输出的波形呈现出复杂的、不规则的变化。
即使是微小的参数调节，也会导致电路输出的波形发生明显的变化，呈现出不同的分形结构。
这表明混沌系统对初始条件的敏感性。
通过实验结果的观察和分析，我们深入理解了混沌系统的特性。
混沌系统的不可预测性和随机性使其在信息加密、随机数生成等领域具有广泛的应用价值。
六、实验总结通过本次实验，我们成功搭建了混沌电路，并观察到了电路的混沌现象。
通过实验的操作，我们对混沌系统的特性有了更深入的理解，并掌握了观察和研究混沌现象的方法。
混沌系统具有很高的随机性和不可预测性，这为信息加密、随机数生成等领域提供了新的思路和方法。
在今后的学习和研究中，我们将进一步探索混沌系统的特性，并应用于实际问题中。
非线性元件混沌实验
实验报告课程名称：电路与电子技术实验指导老师：成绩：实验名称：非线性元件混沌实验实验类型：电子电路实验同组学生姓名：一、实验目的二、实验内容三、主要仪器设备四、实验数据记录、处理与分析五、实验总结一、实验目的随着表面安装技术的飞速发展，片式电子元件微型化，复合化和集成化的出现，片式电容器，片式滤波器，片式三极管，片式集成电路等表面安装原件的品种不断增加。
电感元件是人们熟悉的电子元件，在电子电路中应用极广。
常规的电感元件一般需要线圈和磁性材料制作而成，占体积较大。
为了使电感元件想微型化，复合化和集成化发展，研究采用回转器实现容性负载和感性负载的逆变，用集成的电容来实现难于集成的电感，特别是在模拟大电感量和低功耗的电感器方面，具有很大的实用价值。
负阻器在LC震荡电路，放大器，蔡式混沌等等电路中也得到广泛的应用。
为了负阻变换器和回转器这样的有源元件的实现方法和工作条件，以增幅震荡器，混沌发生器，有源理想变压器等应用系统为目标设计有源器件。
二、实验内容与原理（第一小组，负阻内容）实验内容：1.设计一个有源元件实现的负阻器，频率范围200Hz～1kHz，阻值为-1k，工作电压和电流分别小于3V和3mA；2.在直流和交流的工作状态下测试负阻特性；3.探究负阻的RLC串并联特性；4.制作负阻震荡器，研究自激震荡现象；5. 观察二阶电路动态响应；6.设计一个基于回转器的有源电感，频率范围200Hz～1kHz，电感量为220mH，工作电压和电流分别小于3V和3mA；7.测量有源电感的有关特性；8.用有源电感和负阻研究混沌现象；实验原理：负阻抗变换器(NIC)的二端VI网络如图2所示，对于有载二端VI网络的人端阻抗zi^，是指该二端VI网络的输出端VI接有阻抗z2，从输入端看进去的输入阻抗。
因此一个二端VI网络具有变换阻抗的功能，它可以将阻抗z2变换为阻抗，对于一个二端口网络，其输入阻抗是：装订线回转器是一种线性非互易的多端元件，理想回转器既不消耗功率又不发出功率，它是一个无源线性元件，互易定理不适用于回转器。
非线性电路中的混沌现象
非线性电路中的混沌现象39032510赵正 4/25/11 实验时间：第8周周一晚上五：数据处理实验（一）：电感L 的计算：法1：根据RLC 谐振规律，当输入激励的频率LCf π21=时，RLC 串联电路将达到谐振，U(R)波形振幅最大，实验中测量得：通过对U(R)波形的观测得31.0kHz f =, 实验仪器标示：C=1.112F μ 由此可得：2229321123.7275344 3.14 1.11210(31.010)L mH f C π-===⨯⨯⨯⨯⨯ 估算不确定度： 估计Fμ， 则：3() 4.510u L L -==⨯ 即 ()0.1077u L mH =最终结果：()(23.70.1)L u L mH +=±法2：调节在示波器，使李萨如图为一条过二四象限的45度斜线。
这时电路处于谐振状态 观测得30.9kHz f = 按同样的计算方法得2229321123.8813544 3.14 1.11210(30.910)L mH f C π-===⨯⨯⨯⨯⨯ ()0.108426u L mH =最终结果：()(23.90.1)L u L mH +=±两种方法计算结果基本相符合.实验（二）：倍周期分岔和混沌现象的观察。
按实验的要求，记下了如下几个波形1倍周期 2倍周期阵发混沌3倍周期单吸引子双吸引子实验（三）：非线性电阻的伏安特性曲线测量2092.8（2）数据处理：根据RU I RR =可以得出流过电阻箱的电流，由回路KCL 方程和KVL 方程可知：RR R R U U I I =-=11由此可得对应的1R I 值。
图中可以发现，（0.004641，-9.8）和（0.001383，-1.8）两个实验点是折线的拐点。
故我们在V U8.912≤≤-、8V .1U 9.8-≤<-、0V U 1.8≤<-这三个区间分别使用线性回归的方法来求相应的I-U 曲线。
使用Excel 的Linest,和Correl 函数可以求出这三段的线性回归方程(a\b\r)： b1= 0.002061782 a1=0.025015262 r1=0.999103776 b2=-0.000407691 a2=0.00064397 r2=-0.999995364 b3=-0.000761685 a3=0.0000208214 r3=-0.9999194150.002061782 U-0.025015262 -12U 9.78 I -0.000407691U 0.000651953 -9.78U -1.72 -0.000761685U+0.0000208214 -1.72U 0 ≤≤-⎧⎪=+≤≤⎨⎪≤≤⎩经计算可得，三段线性回归的相关系数均非常接近1,证明在区间内I-V 线性符合得较好。
非线性电路中的混沌现象11011079
非线性电路中的混沌现象实验指导及操作说明书北航实验物理中心2013-03-09教师提示：混沌实验简单，模块化操作，但内容较多，需要课前认真预习。
5.2 非线性电路中的混沌现象二十多年来混沌一直是举世瞩目的前沿课题和研究热点，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性，有序与无序的统一，确定性与随机性的统一，大大拓宽了人们的视野，加深了对客观世界的认识。
许多人认为混沌的发现是继上世纪相对论与量子力学以来的第三次物理学革命。
目前混沌控制与同步的研究成果已被用来解决秘密通讯、改善和提高激光器性能以及控制人类心律不齐等问题。
混沌（chaos）作为一个科学概念，是指一个确定性系统中出现的类似随机的过程。
理论和实验都证实，即使是最简单的非线性系统也能产生十分复杂的行为特性，可以概括一大类非线性系统的演化特性。
混沌现象出现在非线性电路中是极为普遍的现象，本实验设计一种简单的非线性电路，通过改变电路中的参数可以观察到倍周期分岔、阵发混沌和奇导吸引子等现象。
实验要求对非线性电路的电阻进行伏安特性的测量，以此研究混沌现象产生的原因，并通过对出现倍周期分岔时实验电路中参数的测定，实现对费根鲍姆常数的测量，认识倍周期分岔及该现象的普适常数 费根鲍姆（Feigenbaum）常数、奇异吸引子、阵发混沌等非线性系统的共同形态和特征。
此外，通过电感的测量和混沌现象的观察，还可以巩固对串联谐振电路的认识和示波器的使用。
5.2.1 实验要求1．实验重点①了解和认识混沌现象及其产生的机理；初步了解倍周期分岔、阵发混沌和奇异吸引子等现象。
②掌握用串联谐振电路测量电感的方法。
③了解非线性电阻的特性，并掌握一种测量非线性电阻伏安特性的方法。
熟悉基本热学仪器的使用，认识热波、加强对波动理论的理解。
④通过粗测费根鲍姆常数，加深对非线性系统步入混沌的通有特性的认识。
了解用计算机实现实验系统控制和数据记录处理的特点。
2．预习要点（1）用振幅法和相位法测电感①按已知的数据信息（L～20mh，r～10Ω，C0见现场测试盒提供的数据）估算电路的共振频率f。
非线性电路混沌现象研究
混沌的产生
混沌的产生
奇异吸引子
英国的海岸线地图
自然界中的分形
山
星 云
星
云
天空中的云朵 植物的叶子
毛细血管分布
视乳头旁毛细血管瘤 视网膜中央动脉颞上支阻塞
河流分布图
自然界中的分形
• 股票价格曲线 • 岩石裂缝 • 金属损伤裂缝 • 道路分布 • 神经末梢的分布 …………
3、当代科学对混沌的研究（主要研究通向 混沌的途径）。
后来洛伦兹发现两次计算的差别只是第二次 输入中间数据时将原来的0.506127省略为 0.506。洛伦兹意识到，因为他的方程是 非线性的，非线性方程不同于线性方程， 线性方程对初值的依赖不敏感，而非线性 方程对初值的依赖极其敏感。正是初始条 件的微小误差导致了计算结果的巨大偏离。 由此洛伦兹断言：准确地作出长期天气预 报是不可能的。对此，洛伦兹作了个形象 的比喻：一只蝴蝶在巴西扇动一下翅膀会 在美国的得克萨斯州引起一场龙卷风，这 就是蝴蝶效应。
• 逻辑斯蒂映射的形式为
xn1 axn (1 xn )
• 以参数a为横坐标、以x的稳定定态 (stable steady states)为纵坐标作图， 得到1、图2等。从图中可以看出开始是 周期加倍分岔(也称周期倍化分岔或周期 倍分岔)，然后是混沌，混沌区中又有周 期窗口。窗口放大后又可见到同样结构 的一套东西。此 所谓无穷自相似结构。
⑴倍周期分岔进入混沌 一个系统，在一定条件下，经过周期加倍，会逐步 丧失周期行为而进入混沌。例如，一个非线性电子电路 （混沌仪），当我们观察它的输出交变电压随输入电压 大小的改变而变化的规律时，可以发现：开始输入电压 较低时，输出电压的频率与输入电压的频率一样，而随 着输入电压的增加，输出电压的频率经过二分频（具有 输入频率及其1/2频率，共两个频率）、四分频、八分 频……，最后进入混沌（具有各种各样频率的输出电 压）。这就是倍周期分岔进入的混沌，是一种典型的非 平衡过程产生的混沌。
非线性电路混沌实验
非线性电路混动实验研究王艺涵西南大学物理科学与技术学院,重庆 400715摘要：混沌来自非线性。
非线性电路中有十分丰富的分岔和混沌现象。
本实验建立由有源非线性负阻、LC振荡器和RC移相器组成的非线性电路，通过调整电路的参数，用示波器观察一倍周期、两倍周期、三倍周期、四倍周期、阵法混沌、奇异吸引子和双吸引子及有源非线性负阻原件的伏安特性。
通过观察，加深对混沌现象的认识。
关键字：非线性混沌现象伏安特性电路1.引言混沌理论和量子力学，相对论一起被称之为20世纪物理学的三大科学改革沌研究最先起源于1963年洛伦兹(E．Lorenz)研究天气预报时用到的三个动力学方程，后来又从数学和实验上得到证实。
混沌来自非线性，是非线性系统中存在的一种普遍现象。
无论是复杂系统，如气象系统、太阳系，还是简单系统，如钟摆、滴水龙头等，皆因存在着内在随机性而出现类似无轨、但实际是非周期有序运动，即混沌现象。
其中产生混沌现象最经典的非线性电路是美国加州大学伯克利分校的蔡少棠教授1985年提出的著名的蔡氏电路，蔡氏电路是能产生混沌行为的最简单的自治电路，是至今所知唯一的混沌实际物理系混沌现象。
2.混沌现象及蔡氏电路的介绍2.1.混沌现象混沌现象是指发生在确定性系统中中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。
混沌现象对初始条件具有极端敏感性，只要初始条件稍有偏差或微小的扰动，则会使得系统的最终状态出现巨大的差异。
这可以生动的用“蝴蝶效应”来比喻：在做气象预报时，只要一只蝴蝶扇一下翅膀，这一扰动，就会在很远的另一个地方造成非常大的差异。
因此混沌系统的长期演化行为是不可预测的。
虽然，混沌现象的出现使我们无法对系统的长期行为进行预测，但是我们完全可以利用混沌的规律对系统进行短期的行为预测，这样比传统的统计学方法更加有效。
2.2.非线性电路—蔡氏电路蔡氏电路（英语：Chua's circuit），一种简单的非线性电子电路设计，它可以表现出标准的混沌理论行为。
非线性电路混沌现象研究-讲义2010-09
非线性电路混沌现象研究【实验目的】1.了解有源非线性负阻元件的伏安特性；2.通过研究一个简单的非线性电路，了解混沌现象和产生混沌的原因。
【实验设备】双踪示波器COS5020，NCE-2型非线性混沌实验仪，万用表，电阻箱。
【实验原理】1、非线性电路与非线性动力学实验电路如图3所示，图3中电感器L1电容器C1构成一个损耗可以忽略的谐振回路；可变电阻R1和电容器C2串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。
R2是一个有源非线性负阻器件，该电阻的伏安特性曲线如图4所示。
可以看出加在此非线性元件上的电压与通过它的电流极性是相反的。
由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。
2、有源非线性负阻元件的实现有源非线性负阻元件实现的方法有多种，这里使用的是一种较简单的电路，采用两个运算放大器和六个电阻来实现，其电路如图5所示，实验所要研究的是该非线性元件对整个电路的影响，而非线性负阻元件的作用是使振动周期产生分岔和混沌等一系列非线性现象。
实际非线性混沌实验电路如图5所示：J 1(CH 1)J 2(CH 2) 图3 图4图1双踪示波器 图2非线性混沌实验仪【实验内容一】1、用双踪示波器观测 LC 振荡器产生的波形Y 及经 RC 移相后的波形X 。
2、用双踪示波器观测上述两个波形组成的相图(李萨如图), 记录波形图。
3、改变RC 移相器中W1、W2的阻值，观测相图周期的变化，观测倍周期分岔，阵发混沌，吸引子和双吸引子现象，分析混沌产生的原因。
【实验步骤】1. 按图5所示电路接线，将电容C 1，C 2上的电压输入到示波器的X ，Y 轴，以观测二个正弦波构成的李萨如图。
2. 调节Ｗ１和W2的大小，观察并描绘相图周期的分岔混沌现象。
【注意事项】1. 双运算放大器的正负极不能接反，地线与电源接地点必须接触良好；2. 关掉电源以后，才能拆实验板上的接线；3. 预热１０分钟以后再开始测数据。
【实验内容二】用计算机迭代求解方程211n n x kx +=-，k 的取值范围为（0－2），迭代求解的方法是，对一个k 值，任意设定x 0 ，由上述方程可得到x 1 ，由x 1可得到x 2，如此求解下去．你会发现对某些k 值，可得到一个稳定的解，即一倍周期，某些k 值，解在两个数值间跳跃，即二倍周期，还会有四倍周期、八倍周期……直至无穷周期到混沌．尝试画出k —x 图，并分析．(x 可取迭代500次以后的值)。
非线性电路振荡周期的分岔与混沌实验讲解
图3非线性电路原理图图4非线性负阻器件R的伏安曲线图3电路的非线性动力学方程为:
11211( dVc C G Vc Vc gVc dt
=--
2212( L dVc C G Vc Vc i dt
=-+ 2Vc dt
di L L -=式中,导纳12V V G R R =+, 1C V和2C V分别表示加在1C和2C上的电压, L i表示流过电感器L的电流, g表示非线性电阻R的导纳。
1(x kx x -→
其中k是0和4之间的常数。迭代这映射,我们得离散动力学系统
1(1n n n x kx x -=+ , 0=n , 1, 2„
我们发现:①当k小于3时,无论初值是多少经过多次迭代,总能趋于一个稳定的不动点; ②当k大于3时,随着k的增大出现分岔,迭代结果在两个不同数值之间交替出现,称之为周期2循环; k继续增大会出现4, 8, 16, 32„周期倍化级联; ③很快k在58. 3左右就结束了周期倍增,迭代结果出现混沌,从而无周期可言。④在混沌状态下迭代结果对初值高度敏感,细微的初值差异会导致结果巨大区别,常把这种现象称之为“蝴蝶效应”。⑤迭代结果不会超出0~1的范围称为奇怪吸引子。
图5图6
图7实际非线性混沌电路图
非线性电路中的混沌现象
非线性电路中的混沌现象实验指导及操作说明书北航实验物理中心2013-03-09教师提示：混沌实验简单，模块化操作，但内容较多，需要课前认真预习。
5.2 非线性电路中的混沌现象二十多年来混沌一直是举世瞩目的前沿课题和研究热点，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性，有序与无序的统一，确定性与随机性的统一，大大拓宽了人们的视野，加深了对客观世界的认识。
许多人认为混沌的发现是继上世纪相对论与量子力学以来的第三次物理学革命。
目前混沌控制与同步的研究成果已被用来解决秘密通讯、改善和提高激光器性能以及控制人类心律不齐等问题。
混沌（chaos）作为一个科学概念，是指一个确定性系统中出现的类似随机的过程。
理论和实验都证实，即使是最简单的非线性系统也能产生十分复杂的行为特性，可以概括一大类非线性系统的演化特性。
混沌现象出现在非线性电路中是极为普遍的现象，本实验设计一种简单的非线性电路，通过改变电路中的参数可以观察到倍周期分岔、阵发混沌和奇导吸引子等现象。
实验要求对非线性电路的电阻进行伏安特性的测量，以此研究混沌现象产生的原因，并通过对出现倍周期分岔时实验电路中参数的测定，实现对费根鲍姆常数的测量，认识倍周期分岔及该现象的普适常数费根鲍姆（Feigenbaum）常数、奇异吸引子、阵发混沌等非线性系统的共同形态和特征。
此外，通过电感的测量和混沌现象的观察，还可以巩固对串联谐振电路的认识和示波器的使用。
5.2.1 实验要求1．实验重点①了解和认识混沌现象及其产生的机理；初步了解倍周期分岔、阵发混沌和奇异吸引子等现象。
②掌握用串联谐振电路测量电感的方法。
③了解非线性电阻的特性，并掌握一种测量非线性电阻伏安特性的方法。
熟悉基本热学仪器的使用，认识热波、加强对波动理论的理解。
④通过粗测费根鲍姆常数，加深对非线性系统步入混沌的通有特性的认识。
了解用计算机实现实验系统控制和数据记录处理的特点。
2．预习要点（1）用振幅法和相位法测电感①按已知的数据信息（L～20mh，r～10Ω，C0见现场测试盒提供的数据）估算电路的共振频率f。
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非线性电路中混沌现象的研究实验（FB816B型非线性电路混沌实验仪）实验讲义1杭州精科仪器有限公司非线性电路中混沌现象的研究非线性是自然世界中普遍存在的现象。
正是非线性才构成了变化莫测的世界。
我们在研究中大多只是注重使用那些线性描述的方法，以此来得到完美的解析解。
但是在有些情况下，非线性就会起很大的作用，使得线性方程的解无法解释，因而我们就不得不着手去研究非线性的现象，以期得到其中的一些规律，并已经获得了一定的成果。
一个显著的例子就是气象学。
在各种非线性的现象中，最具有代表性的就是混沌现象。
以下，我们用级联倍周期分岔的方式接近混沌，从一个非常简单的实验中去观察非线性的现象，并尝试着得出一些重要结论。
一.实验电路：该实验的电路如图1所示。
其中R 是有源非线性负电阻,它等效于图2电路。
它的V ~I 曲线如图3所示21C ,C 是电容,L 是电感 ,G 是可变电导。
实验中通过改变电导值实现改变参数的目的。
1.非线性元件：2非线性元件的实现方法有许多种。
这里使用的是Kennedy 在1993年提出的方法：他的线路很简单，是用两个运算放大器和六个电阻来实现的。
其电路图如图2 所示。
它的特性曲线示意如图3 所示。
由于我们研究的只是元件的外部效应,即其两端电压及流过其电流的关系。
因此,在允许的范围内，我们完全可以把它看成一个黑匣子。
我们也可以利用电流或电压反位相等技术来实现负阻特性,这里就不多讨论了。
负阻的实现是为了产生振荡。
非线性的目的是为了产生混沌等一系列非线性的现象。
其实,我们很难说哪一个元件是绝对线性的, 这里特意去做一个非线性的元件只是为了使非线性的现象更加明显。
2.其它元件：因为这里只是作定性的讨论，所以实验对元件要求并不高。
一般来说，电容与电感的误差允许%10 ,由于实验是靠调节电导G 来观测的。
而实验中的非线性现象对电导的变化很敏感,因些,建议在保证调节范围的前提下提高可调的精度,以便观测到最佳的曲线,可使用配对的，无电感性的电阻器,在适当的条件下也可以将电阻器并联来提高调节的精度，达到缓慢调节的目的 。
3.示波器：示波器用来观测非线性现象的波形。
还可以通过示波器进行2 1CH ，CH 处波形的合成,可以更加明显地观察到非线性的各种现象,并对此有一个更感性的认识。
下图是示波器屏幕显示的1P 、2P 和4P 的图形，其它曲线请同学自己观察。
二.实验现象的观察：将示波器调至2 1CH ，CH 波形合成档，调节可变电阻器的阻值，我们可以从示波器上观察到一系列现象。
最初仪器刚打开时，电路中有一个短暂的稳态响应现象。
这个稳态响应被称作系统的吸引子(attractor )。
这意味着系统的响应部分虽然初始条件各异，但仍会变化到一个稳态。
在本实验中对于初3始电路中的微小正负扰动，各对应于一个正负的稳态。
当电导继续平滑增大时,到达某一值时，我们发现响应部分的电压和电流开始周期性地回到同一个值，产生了振荡。
这时，我们就说，我们观察到了一个单周期吸引子(attractor one penod )。
它的频率决定于电感与非线性电阻组成的回路的特性。
再增加电导时，我们就观察到了一系列非线性的现象，先是电路中产生了一个不连续的变化：电流与电压的振荡周期变成了原来的二倍，也称分岔(n bifurcatio )。
继续增加电导，我们还会发现二周期倍增到四周期。
四周期倍增到八周期。
如果精度足够,当我们连续地,越来越小地调节时就会发现一系列永无止境的周期倍增，最终在有限的范围内会成为无穷周期的循环，从而显示出混沌吸引(attractor chaotic )的性质。
需要注意的是， 对应于前面所述的不同的初始稳态，调节电导会导致两个不同的但却是确定的混沌吸引子,这两个混沌吸引子是关于零电位对称的。
实验中，我们很容易地观察到倍周期和四周期现象。
再有一点变化，就会导致一个单漩涡状的混沌吸引子)，较明显的是三周期窗口。
观察到这些窗口表明了我们得到的是混沌的解，而不是噪声。
在调节的最后，我们看到吸引子突然充满了原本两个混沌吸引子所占据的空间，形成了双漩涡混沌吸引子(attractor llchaotic doublescro )。
由于示波器上的每一点对应着电路中的每一个状态，出现双混沌吸引子就意味着电路在这个状态时，相当于电路处于在最初的那个响应状态,最终能否到达哪一个状态完全取决于初始条件。
在实验中，尤其需要注意的是，由于示波器的扫描频率不符合的原因，当分别观察每个示波器输入端的波形时，可能无法观察到正确的现象。
这样,就需要仔细分析。
可以通过使用示波器的不同的扫描频率档来观察现象，以期得到最佳的图像。
三.实验元件的特性：1.非线性电阻特性曲线的测量：对于实验中的非线性电阻，我们对它的非线性特性进行测量。
测量的线路如图5所示。
图中，伏特表用来测量非线性元件两端的电压，安培计用来测量流过非线性元件的电流。
由于非线性电阻是有源的，因此回路中始终有电流。
R 使用电阻箱，其作用只是改变非线性元件的对外输出。
使用电阻箱可以得到得很精确的电阻，尤其可以对电阻值作微小的调4正,进而微小地改变输出。
缺点是电阻值变化不连续。
但不影响测量。
实验数据记录于表1：实际的曲线三段分段线性度很高，因而对非线性元件的电压-电流特性曲线在一定范围内可作分段线性近似，也便于以下的理论讨论。
对于正向电压部分的曲线，由理论计算是与反向电压部分曲线关于原点︒180对称的。
由于实验中非线性元件在零点附近是负阻特性，因而很难在零点稳定。
对应于I ±各有一个最终的稳态，但无法测量到正向电压部分曲线。
2.电感的影响：实验中,电感的选择对结果的影响也很大。
不适当的电感对波形，甚至对结果都会产生极大影响。
电感过大，使振荡周期过长，电流过小，则电流响应过快，无法形成振荡。
实验发现，在一定范围内，电感与振荡频率f 成正比，与振荡的振幅成正比。
由于在本实验中，线圈的电感对电流的变化非常明显。
下表的测量数据可以很清楚地说明这一点。
但由于本实验只用于定性观察,因此这影响并不大。
波形没有出现失真等现象，各种图像也较完好。
表 25非线性电路振荡周期的分岔与混沌实验长期以来人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学描述方法，即确定的运动必然有一个确定的解析解。
但是在自然界中相当多的情况下，非线性现象却有着非常大的作用。
1963年美国气象学家Lorenz 在分析天气预报模型时，首先发现空气动力学中的混沌现象，这一现象只能用非线性动力学来解释。
于是，1975年混沌作为一个新的科学名词首先出现在科学文献中。
从此,非线性动力学得到迅速发展,并成为有丰富内容的研究领域。
该学科涉及到非常广泛的科学范围，从电子学到物理学，从气象学到生态学,从数学到经济学等。
混沌通常相应于不规则或非周期性,这是非由非线性系统产生的本实验将引导学生自已建立一个非线性电路。
该电路包括有源非线性负阻, LC 振荡器和移相器三部分。
采用物理实验方法研究LC 振荡器产生的正弦波与经过RC 移相器移相的正弦波合成的相图(李萨如图)，观测振动周期发生的分岔及混沌现象，测量非线性单元电路的电流--电压特性,从而对非线性电路及混沌现象有一深刻了解，学会测量非线性器件伏安特性的方法。
【实验原理】1.非线性电路与非线性动力学：实验电路如图1所示,图1中只有一个非线性元件R ，它是一个有源非线性负阻器件。
电感器L 和电容器2C 组成一个损耗可以忽略的振荡回路:可变电阻21W W 和电容器1C 串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。
较理想的非线性元件R 是一个三段分段线性元件。
图2所示的是该电阻的伏安特性曲线,从特性曲线显示加在此非线性元件上电压与通过它的电流极性是相反的。
由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。
图1 电路的非线性动力学方程为：6式中,导纳21W W 1G +=,1C V 和2C V 分别表示加在1C 和2C 上的电压,L i 表示流过电感器L 的电流,g 表示非线性电阻R 的导纳。
2. 有源非线性负阻元件的实现：有源非线性负阻元件实现的方法有多种，这里使用的是一种较简单的电路：采用两个运算放大器(一个双运放 353LF ) 和六个配置电阻来实现,其电路如图3所示,它的伏安 特性曲线如图4所示。
由于本实验研究的是该非线性元件对整个电路的影响,只要知道它主要是一个负阻电路 (元件),能输出电流维持2LC 振荡器不断振荡,而非线性负阻元件的作用是使振动周期产生分岔和混沌等一系列现象。
图5所示即为实际非线性混沌实验电路。
11211Vc g )Vc Vc (G dtdVc C •--•=L2122i )Vc Vc (G dt dVc C +-•=2LVc dtdi L-=71、按图5电路接线.2、 串联谐振法测电感器的电感量。
把电容器元件盒,电阻箱R (取Ω10)串联插入相应的插孔中,并与低频信号发生器相联接。
用示波器测量电阻两端的电压,调节低频信号发生器正弦波频率,使电阻两端电压达到最大值。
同时,计算通过电阻的电流值I 。
要求达到mA 5I =时,电感器电感mH L 20=左右。
3、取下长虚线(0～13V 不连接)，调节21W W +的阻值。
在示波器上观测图5所示的-1CH 地和-2CH 地所构成的相图 (李萨如图),调节电阻21W W +值由大至小时,描绘相图周期的分岔及混沌现象。
将一个环形相图的周期定为P 1,那么要求观测并记录P 8 ,P 4 ,P 2，阵发混沌 ,P 3，单吸引子(混沌)，双吸引子(混沌)共六个相图和相应的1CH 和2CH 两个输出波形。
4、把有源非线性电阻元件与RC 移相器连接断开(短虚线取下)，长虚线(0～13V 连接入)；测量非线性单元电路在电压0V <时的伏安特性,作V ~I 关系图。
【思考题】1.实验中电感器的电感量与哪些因素有关?此电感量可用哪些方法测量?2.非线性负阻电路(元件),在本实验中的作用是什么?3.为什么要采用RC 移相器,并且用相图来观测倍周期分岔等现象?如果不用移相器,可用哪些仪器或方法?4.通过本实验请阐述：倍周期分岔,混沌,奇怪吸引子等概念的物理含义。
参考文献：１. E.N.洛伦兹.混沌的本质.气象出版社，1997２. P.R.Hobson and nsbury,Physics Education.1997３. 郝柏林.“分岔,混沌,奇怪吸引子,湍流及其它”,物理学进展.Voi.3,No.3,1983·【附录1】FB816型非线性电路混沌实验仪说明书8一.概述：非线性动力学及分岔与混沌现象的研究是近二十多年来科学界研究的热门课题 ,已有大量论文对此学科进行了深入的研究。