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中职数学基础知识汇总

预备知识：

1.完全平方和（差）公式： (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2

2.平方差公式： a 2-b 2=(a+b)(a-b)

3.立方和（差）公式： a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2) a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)

第一章 集合

1. 构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。

2. 集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。

3. 常用数集：N （自然数集）、Z （整数集）、Q （有理数集）、R （实数集）、N +（正整数集）

4. 元素与集合、集合与集合之间的关系：

（1） 元素与集合是“∈”与“∉”的关系。 （2） 集合与集合是“” “”“”“”的关系。

注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。（做题时多考虑Ф是否满足题意） （2）一个集合含有n 个元素，则它的子集有2n 个，真子集有2n -1个，非空真子集有2n -2个。 5. 集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法） （1）{|}A B x x A x B 且：A 与B 的公共元素组成的集合

（2）{|}A

B

x x

A x

B 或：A 与B 的所有元素组成的集合（相同元素只写一次）。

（3）A C U ：U 中元素去掉A 中元素剩下的元素组成的集合。 注：=()U U U C A

B C A C B ()U U U C A B C A C B

6. 会用文氏图表示相应的集合，会将相应的集合画在文氏图上。

7. 充分必要条件:p 是q 的……条件 p 是条件，q 是结论

如果p ⇒q ，那么p 是q 的充分条件;q 是p 的必要条件. 如果p ⇔q ，那么p 是q 的充要条件

第二章 不等式

1. 不等式的基本性质：（略）

注：（1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法。 （2）不等式两边同时乘以负数要变号！！

（3）同向的不等式可以相加（不能相减），同正的同向不等式可以相乘。 2. 重要的不等式： （1）ab b a

222

≥+，当且仅当b a =时，等号成立。

（2）),(2+

∈≥+R b a ab b a ，当且仅当b a =时，等号成立。

（3） 注：

2

b

a +（算术平均数）≥a

b （几何平均数） 3. 一元一次不等式的解法（略） 4. 一元二次不等式的解法 （1） 保证二次项系数为正

（2） 分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法），目的是求根：

（3） 定解：（口诀）大于取两边，小于取中间。 5. 绝对值不等式的解法 若0>a

，则⎩⎨

⎧-<>⇔><<-⇔

x a x a x a

x a a x 或|||| 分式不等式的解法：与二次不等式的解法相同。注：分母不能为0. 第三章 函数

1. 函数

（1）定义：设A 、B 是两个非空数集,如果按照某种对应法则f ,对A 内任一个元素x,在B 中总有一个且只

有一个值y 与它对应,则称f 是集合A 到B 的函数,可记为:f :A →B,或f :x →y.其中A 叫做函数f 的定义域.函数f 在a x =的函数值,记作)(a f ,函数值的全体构成的集合C(C ⊆B),叫做函数的值域.

（2）函数的表示方法：列表法、图像法、解析法。

注：在解函数题时可以画出图像，运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。 2. 函数的三要素：定义域、值域、对应法则

（1） 定义域的求法：使函数（的解析式）有意义的x 的取值范围

主要依据：①分母不能为0，②偶次根式的被开方式≥0，

③特殊函数定义域：0,0

≠=x x y R x a a a y x

∈≠>=),10(,且 0),10(,log >≠>=x a a x y a 且 （2） 值域的求法：

y 的取值范围

① 正比例函数：kx y = 和 一次函数：b kx y

+=的值域为R

② 二次函数：c bx ax y ++=2

的值域求法：配方法。如果x 的取值范围不是R 则还需画图像 ③ 反比例函数：x

y 1

=

的值域为}0|{≠y y ④ 另求值域的方法：换元法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。 （3） 解析式求法：在求函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等。 3. 函数图像的变换 （1） 平移

)()

(a x f y a x f y +=→=个单位

向左平移

)()

(a x f y a x f y -=→=个单位向右平移 a x f y a x f y +=→=)()

(个单位向上平移 a x f y a x f y -=→=)()(个单位

向下平移

（2） 翻折

)()

(x f y x x f y -=→=上、下对折轴沿 |)(|)(x f y x x f y =→=下方翻折到上方

轴上方图像

保留

4. 函数的奇偶性

（1） 定义域关于原点对称 （2） 若

)()(x f x f -=-→奇 若)()(x f x f =-→偶

注：①若奇函数在0=x 处有意义，则0)0(=f

②常值函数a x f =)(（0≠a ）为偶函数

③

0)(=x f 既是奇函数又是偶函数

5. 函数的单调性

对于],[21b a x x ∈∀、且21x x <，若⎩

⎨⎧><上为减函数在称上为增函数

在称],[)(),()(],[)(),()(2121b a x f x f x f b a x f x f x f

增函数：x 值越大，函数值越大；x 值越小，函数值越小。

减函数：x 值越大，函数值反而越小；x 值越小，函数值反而越大。 6. 二次函数

（1）二次函数的三种解析式

①一般式：c bx ax x f ++=2

)(（0≠a

）

②顶点式：h k x a x f +-=2

)()( （0≠a

）

，其中),(h k 为顶点 ③两根式：))(()(21x x x x a x f --= （0≠a ）

，其中21x x 、是0)(=x f 的两根 （2）图像与性质

二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质： ① 开口

→>0a 开口向上 →<0a 开口向下

② 对称轴：a

b

x 2-= 顶点坐标：)44,2(2a b ac a b -- ③ ∆与x 轴的交点：⎪⎩⎪⎨⎧→<∆→=∆→>∆无交点交点有有两交点0100 ④ 根与系数的关系：（韦达定理）⎪⎩

⎪⎨

⎧=⋅-=+a c

x x a b x x 2121 ⑤c bx ax x f ++=2

)(为偶函数的充要条件为0=b ⑥二次函数（二次函数恒大（小）于0）

⇔>0)(x f ⎩⎨⎧⇔<∆>轴上方图像位于x a 00 轴下方图像位于x a x f ⇔⎩

⎨⎧<∆<⇔<00

0)(

⑦若二次函数对任意x 都有)()(x t f x t f +=-，则其对称轴是t x =。

第四章 指数函数与对数函数

1. 指数幂的性质与运算