天津科技大学线性代数试题库3

合集下载

天津科技大学线性代数检测题答案最新

1. 3 -， 2 ；2. (1)2(1)n n --， 120 .二．选择题1. (A).三．计算题1. 解：原式232(1)(5)4(5)(5)(6)(5)1130x x x x x x x x x x =------=--=-+.天津科技大学线性代数检测题§~参考答案一．填空题1. D -；2. 2或3 ；3. 20 -；4. 0 a b ==；5. 11112222()()a d b c a d b c --.二．选择题1. (D).三．计算题(1) 解：原式3132414212021202 4011701171801240033102022200006r r r r r r r r -+=----+----； (2) 解：111111111111111112340123012301231136100259001300131410200391903100001====. (3) 解：24243223212321232102000122(1)(1)4301301330133101011011r r ++-=-=-=； (4) 解：将第二、三、四列加到第一列上，得原式10234102341131131034101131022210044104120222111004101230111---===⨯--=⨯----------10(4)(4)160=⨯-⨯-=； (5) 解：1212323242352108216382161602021105110541241213130412617205224130617r rr r r rr rr r --------=----+--+---------1620(8040)4025-=-=--+=-.(6) 解：1111111111112314013222225=0320132013201212121212121---+性质.1. 0 ， 0 .二．选择题1. (C).三．计算题1. 解：齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零，即有1111110(1)(1)111101211211210a ab a a b b a b b b a b -===-=------故1a =或0b =.2. 解：1230121001D ==，10230121101D ==，21030022011D ==-，31200101001D ==故1x =，2y =-，1z =.天津科技大学线性代数第一章自测题参考答案一．填空题1. 02x x ≠≠且；2. 0；3. 10-；4. 5-；5. 0；6. 3；7. 4abcdef .二．计算题1.222213213513306(2)(6)(1)(2)(6)13200x x x x x x x x x x x x -=-=+--=-+-++-. 2. (1)111111111111022281111002211110002-==-----. (2)12341234123413410113011312142102130033112301110004--===-------. (3) 原式31128461642804616221101020112051627202516027---------==--=-=-----40=.(4)31010100100110(1)1011010010a aa a a a a a a a a a a a=+=+或221223310010010110101(1)(1)10101011010010a a a a a a a a a a a a a a+++--=-=+拉普拉斯定理.天津科技大学线性代数检测题§~参考答案一．填空题1. 1 1⎛⎫ ⎪⎝⎭；2. 0000⎛⎫ ⎪⎝⎭或 O ，1052010⎛⎫ ⎪--⎝⎭，0000⎛⎫ ⎪⎝⎭或 O ；3. 200 010003nn ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；4. 1269 846201015--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭； 5.=AB BA .二．选择题1. (C)；2. (D)；3. (D)；4. (B).三．计算题1. 解：100223032101414541010⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭. 2. 解：2111130212103⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，2()37f =--A E A A 1011307737012103147--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 四．证明题证：由2=A A ，2=B B ，知222()+=+++=+++A B A B AB BA A B AB BA . 故2()+=+A B A B 的充要条件是+=AB BA O ，即=-AB BA .天津科技大学线性代数检测题§参考答案一．填空题1. 111432-⎛⎫⎪⎝⎭； 2. 8 -.二．选择题1. (B)；2. (D).三．计算题1. 解：(1) 101110212214235121133253028920T -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭AB ； (2) 3101(3)27214270.3325-=-=-=--A A天津科技大学线性代数检测题§~参考答案一．填空题1. 1 2； 2. 2 ； 3. ()* TA .二．选择题1. (A)；2. (C)三．计算题1. 解：(1)cos sin 1sin cos αααα=--，*cos sin cos sin sin cos sin cos αααααααα--⎛⎫⎛⎫=⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，故 1cos sin cos sin sin cos sin cos αααααααα-⎛⎫⎛⎫=⎪⎪--⎝⎭⎝⎭. (2) 0016423110=-，*001312423314110600--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故 111100131226314233141126263110600100-⎛⎫-- ⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭. (3) 1212342541-=--，*121420342136154132142--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，故 1210121420113134213613222541321421671--⎛⎫--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝⎭.2. 解：2=A ，1111112-⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ，3=B ，1300120131230-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭B ，因此1157153113316---⎛⎫== ⎪-⎝⎭X A CB . （注：应先判断矩阵,A B 的可逆性，再得出11--=X A CB ）四．证明题证：由 223(4)(2)5=+-=+-+O A A E A E A E E ，知 1(4)(2)5⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭A E E A E ，故4+A E 可逆，且 11(4)(2)5-+=--A E A E .天津科技大学线性代数检测题§参考答案一．填空题1. 0 ；2. D -.二．选择题1. (D).三．计算题1. 解：(1)()121100121100100210342 010021310021310|54100101465010011671---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E100210100210131020136101032200116710011671-⎛⎫-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪→→---- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭--⎝⎭，故A 可逆，且1210131.3221671--⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A(2)()2311000721102151100113 5 010026011026011|151100115110010721102---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭B E151100102601173000122⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭，故B 不可逆. (3)()10210102100102100101000020 010020010|211103001005101001055⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭C E 321000551010*********55⎛⎫- ⎪⎪⎪→ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭，故C 可逆，且1604105010202C --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 2. 解：()121011************ 120211102111|5412301462200155--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A B100101001002044010220015500155⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，故A 可逆，且1102255-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭X A B .天津科技大学线性代数检测题§参考答案一．填空题1. n E ；2. 3 .二．选择题1. (D)；2. (A)；3. (B)；4. (B).三．计算题1. 解：对A 进行初等行变换化为行阶梯形，得121121363000242000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A ，故()1r =A .2. 解：对A 进行初等行变换化为行阶梯形，得21314112321123214436320565622101405656550327010121212r r r r r r ----⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪---⎪ ⎪=- ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A 324234123210565620002000000r r r r r r --⎛⎫- ⎪-- ⎪=- ⎪ ⎪↔ ⎪⎝⎭B 故()3r =A .3. 解：241121121212150122101212110610105101510c c λλλλλλλλλλ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫↔ ⎪ ⎪ ⎪=→---++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭A1210121200393λλλλλ-⎛⎫ ⎪→+-- ⎪ ⎪--⎝⎭，从而当3λ≠时，()3r =A ；当3λ=时，()2r =A .天津科技大学线性代数第二章自测题参考答案一．填空题1. 359411⎛⎫ ⎪---⎝⎭； 2. E ； 3. 0或1 .二．选择题1. (B)；2. (D)；3. (A)；4. (C).三．计算题1. 解：由 135100112010222( )02 1 100111010222001011001011⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎪ ⎪→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭行A E ，故A 可逆，且 1135222111222011-⎛⎫--- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A .2. 由2=+AX A X ，得(2)-=A E X A . 再由() 101100301522110 010 110 4322 012001014223⎛⎫⎛--⎫⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭初等行变换A E A知2-A E 可逆，且1522(2)432223---⎛⎫⎪=-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭X A E A . 四．证明题1.证：由1*-=A A A ，故(1) 1111n n n ---*-====A A A A A A A A ； (2) ()()()()111211111n n -*-----***--==⋅=⋅=A A A A A A A A A A A A A(2n ≥).2. 证：“⇒”若()0r =A ，则=A O ，记100m ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，()100n ⨯=C ，则显然=A BC ；若()1r =A ，则存在可逆矩阵P 、Q 使得()100100001000000m n ⨯⎛⎫⎛⎫⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭PAQ ，或()11101000--⎛⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A P Q ，记112100m b b b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B P ，()()112100n c c c -==C Q ，则=A BC .“⇐”由()1r ≤B ，知()()()1r r r =≤≤A BC B .天津科技大学线性代数检测题§参考答案一．填空题1. ()(|) r r <A A b ；2. ()(|) r r n =<A A b ；3. () r n =A ；4. 1-.二．选择题1. (C)；2. (C).三．计算题1. 解：对增广矩阵施行初等行变换：3314243411113111311131113 3 3 0110011001100110(|)1120003300330011422112031400440000r r r r r r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪÷++----⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+-⎪ ⎪ ⎪⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A b 2313121001 010*******00r r r r r r ⎛⎫+⎪ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭()(|)3r r ==A A b ，故方程组有唯一解：111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x .2. 解：233132104081040810408 (|)0251100251100100011112015110005110r r r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭A b31341000155010004100125r r r ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭由()(|)34r r ==<A A b ，故方程组有无穷多解. 由 142344050125x x x x x ⎧+=⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎩ 得142344445 0125x x xx x xx ⎧=-⎪⎪=⎪⎨⎪=+⎪⎪=⎩，其中4x 为自由未知量，所以方程组的通解为40001250k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ，k ∈R .3. 解：对方程组的系数矩阵施行初等行变换，得121121120247009001--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=→→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A由()2r =A ，故方程组有非零解，由123200x x x +=⎧⎨=⎩知该方程组的通解为：210k -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x ，k ∈R .4. 解：对方程组的系数矩阵施行初等行变换，得11111111111111101001011111011001λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A由方程组只有零解，故()3r =A ，从而1λ≠，即仅当1λ≠时方程组只有零解.天津科技大学线性代数检测题§参考答案一．填空题1. 1122 n n a a a +++εεε.二．选择题1. (A)；2. (D).三．计算题1. 解：()1231116111611161037014130141311250231100515---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααβ1116110310020141301010101001300130013--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→→---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故β能由向量组123,,ααα线性表示，且表示法唯一，其表示式为12323=-+βααα.2. 解：()1231230100123140101312200111225000TT T T⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αααβ行故β能由向量组123,,ααα线性表示，且表示法唯一，其表示式为123=+-βααα.天津科技大学线性代数检测题§参考答案一．填空题1. 有非零解；2. 0；3. 无关；4. 4 -；5. 120k k ==.二．选择题1. (B)；2. (C).三．计算题解：由12412431901312800045700⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ，知()23r =<A ，故向量组123,,ααα线性相关. 四．证明题1. 证：设11232123323()(2)()k k k +++++++=αααααααα0，则12112321233()(2)()k k k k k k k k +++++++=ααα0由向量组123, , ααα线性无关，知12123123 0200k k k k k k k k +=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解方程组得1230k k k ===，故向量组123++ααα，1232++ααα，23+αα线性无关.2. 证：设1122s s k k k +++=A αAαAα0，则1122()s s k k k +++=A ααα0. 由A 为可逆矩阵，知11122s s k k k -+++==αααA 00. 再由12,,,s ααα线性无关，知120s k k k ====，即向量组12,,,s A αAαAα线性无关.天津科技大学线性代数检测题§~参考答案一．填空题1. 2或3 ；2. 1m -；3. 1n -；4. 1 .二．选择题1. (B).三．计算题1. 解：对()12345TT T T T =A ααααα进行初等行变换，得1031210312103011301103303011012172501101000114214060224200000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A于是向量组的秩为3，它的一个极大无关组为124, , ααα，且有 3123=+ααα，5124=++αααα.2. 对()12345=A ααααα进行初等行变换，得31002112451124524255406311161010122412400051000012⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→----- ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭A于是向量组的秩为3，它的一个极大无关组为124, , ααα，且有 3123122=+ααα，512422=--+αααα.3. 解：对()1234=A αααα进行初等行变换，得11241124112413610243024315106061220028311004620007a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-----⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-+-+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A由于向量组线性相关，即()4r <A ，必有2a =.或由112411241124136102430243014(2)15106061220028311004620007a a a a a a a --------====-=------+-+--A 得2a =.4. 解：()1234125312531010311301240120531100010001147100000000TTT T --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα， 34r =<，故向量组线性相关，124, , ααα为一个极大无关组，并且3122=+ααα。

天津科技大学线性代数试题库

1.设200010003⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭A ，n 为正整数，那么2=A 22200 010003⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (难度系数0~2. 设三阶行列式123450D λλ=-，那么元素2的代数余子式12A 的值为 20 -. (难度系数0~3. 设矩阵231101A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，101111B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，那么TA B -=320112⎛⎫ ⎪--⎝⎭. (难度系数0~4. 设方阵100210021⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，那么行列式2=-A 8-. (难度系数0~5. n 元齐次线性方程组=Ax 0仅有零解的充分必要条件是 () r n =A . (难度系数0~ 二、选择题（共15分，每题3分）1. 设210032008A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，那么矩阵A 的秩()r A =（ C ）.(A)1； (B)2； (C)3； (D)4.(难度系数0~2. 设行列式1112132122233132331a a a a a a a a a =，1112132122233132332a a a b b b a a a =，则111213212122222323313233a a a ab a b a b a a a ---=（ C ） (A) 0； (B) 1； (C) 1-； (D) 不能确信. (难度系数0~ 3. 设非零向量12,,,s ααα两两正交，1122s s x x x +++=ααα0，那么向量12s x xx ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭x （ A ）(A) 00 0⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (B) 10 0⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (C) 01 0⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (D) 10 0-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(难度系数0~ 4. 向量组1123,1105αβ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,那么α与β的内积是（ D ）(A) 0； (B) 14-； (C) 56； (D) 4. (难度系数0~5. 设Ax b =是一非齐次线性方程组，12,ηη是其任意2（ A ）(难度系数0~（A ）122ηη+是0Ax =的一个解；（B ） 121122ηη+是Ax b =的一个解；（C ）12ηη-是0Ax =的一个解；（D ） 122ηη-是Ax b =的一个解. 三、（10分）求解矩阵方程AXB C =，其中1231321221,,205334331A B C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(难度系数0~解10A =-≠，10B =≠A B ∴、均可逆11X A CB --=,而1113231353,5222111A B ---⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥=--=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦从而1121104104X A CB ---⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦四、（10分）求非齐次线性方程组1234123412343133445980x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩的通 (难度系数~解 335102441131137131344012441598000000⎛⎫- ⎪⎛--⎫⎪ ⎪--→--- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭因此同解方程组为1342343344533424137424x x x x x x x x x x ⎧=+-⎪⎪⎪=-++⎨⎪=⎪⎪=⎩ ，（6分）从而对应齐次线性方程组的一个基础解系为12332437,241001ξξ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（8分）令340x x ==，得特解*51(,,0,0)44η=- 因此通解为*112212,(,)x k k k k R ηξξ=++∈ （10分）五、（10分）设有向量组123452*********,,,,4622436979ααααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭求该向量组的秩及一个极大无关组，并把不属于极大无关组的向量用极大无关组线性表出. (难度系数~解对1234521112112141121401110()46224000133697900000A ααααα---⎛⎫⎡⎤⎪⎢-- ⎪⎢==→ ⎪⎢---⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦()rA =124,,ααα为它的一个极大无关组3125124,433ααααααα=--=+-六、（10分）用施密特正交化方式把线性无关向量组12112,311αα-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，3410α⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦正交化. (难度系数~ 解：取1=βα21221111(,)5=1(,)31αββαβββ-⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3132331211221(,)(,)=20(,)(,)1αβαββαββββββ⎡⎤⎢--=⎢⎢⎥⎣⎦七、（共15分）设矩阵220212020A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，(1)求矩阵A 的特点值与特点向量(7分)；(2)求正交矩阵P ，使得1P AP -为对角矩阵(8分).(难度系数~解 (1) 矩阵220212020A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的特点方程为(1)(2)(4)0E A λλλλ-=--++= （4分）特点值为 1232,1,4λλλ=-==(4分),因特点值不等，因此对应的特点向量正交关于特点值12λ=-的特点向量为1(1,2,2)Tξ=，矩阵A 的属于特点值2-的全数特点向量为 111,(0)k k ξ≠ （5分）关于特点值21λ=的特点向量为2(2,1,2)Tξ=-，矩阵A 的属于特点值1的全数特点向量为 222,(0)k k ξ≠ （6分）关于特点值34λ=的特点向量为3(2,2,1)Tξ=-，矩阵A 的属于特点值1的全数特点向量为 333,(0)k k ξ≠ （7分）(2) 将向量123,,ξξξ单位化，得()111,2,23T p =()212,1,23T p =-，()312,2,13Tp =-令[]12312212123221P p p p ⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦那么P 为正交矩阵，且1214P AP --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦八、（8分）设向量组123,,a a a 线性无关，试证明：向量组112223331,,a a a a a a βββ=+=+=+线性无关．(难度系数~证明设112233k k k βββ++=即112223331()()()0k k k a ααααα+++++=131212233()()()0k k k k k k ααα=+++++= (6分)因123,,a a a 线性无关，因此1312230;0;0k k k k k k +=+=+=，即1230k k k ===因此向量组123,,βββ线性无关九、（7分）若是A 是(2)n n ≥阶矩阵，且()1r A n =-，试证*()1r A =.(难度系数~证明：由于()1r A n =-，那么0A =，**,AA A E O A ==的每一列向量均为方程AX O =的解（4分），因此*()()1r A n r A ≤-=；另一方面，()1r A n =-，那么A 中至少有一个1n -阶的子式不等于0，即A 中至少有一个元素的代数余子式不等于0，故矩阵*A O ≠，因此有*()1r A ≥，由此可得*()1r A =.（7分）。

003003[线性代数(专)] 天津大学考试题库及答案

线性代数（专）复习题（特别提示：该课程有答疑视频，请参照视频与复习资料进行复习）一、单项选择题1、设111111111aA aa+⎛⎫⎪=+⎪⎪+⎝⎭的秩为3，则下列答案正确的是（ A ）。

A.3a≠-且0a≠ B.3a=-或0a= C.3a≠- D.0a≠2、设1200470000410072A⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪⎝⎭，则1A-=（ B ）。

A.7200410000210074-⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭B.7200410000210074-⎛⎫⎪-⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭C.7200410000210074-⎛⎫⎪-⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭D.7200410000410072-⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭3、设3阶方阵A的3个特征值为23 4-，，，则A*的3个特征值为（ C ）。

A.111234-，， B.23 4-，， C.12 86--，， D.128 6-，，4、设1200470000250013A⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪⎝⎭，则1A-=（ C ）。

A. 7200410000350012-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭B. 7200410000350012-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭C. 7200410000350012-⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ D.7200410000350012-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭5、设111111111a A a a +⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭的秩为3，则下列答案正确的是（ A ）。

A. 3a ≠-且0a ≠B. 3a =-或0a =C. 3a ≠-D. 0a ≠ 6、设3阶方阵2A =则13A -=（ C ）。

A. 32B. 6C. 272D. 547、设5元齐次线性方程组0AX =，如果()1r A =则基础解系含有（ B ）个向量。

A. 5B. 4C. 3D. 18、行列式123024147D ==（ D ）。

A. 2-B. 14C. 2D. 09、设3阶111111x A x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的秩为1，则x =（ B ）。

线性代数题库(含答案)

第一章随堂检测1.已知行列式333231232221131211a a a a a a a a a D = 展开式的六项中含有,则i+j=( )A.1B.2C.4D.6我的答案：D2.某二阶行列式的所有元素都是整数,则该行列式的结果( ) A.一定是整数 B.一定不是零 C.一定是正数 D.一定是负数我的答案：A3.[单选题] 行列式=bb a a ( )A.0B.b a 22- C.b a 22+ D.2ab我的答案：A4.[单选题] 方程组⎩⎨⎧=-=+2121212x x x x 的解是( )A.⎩⎨⎧==0121x x B.⎩⎨⎧==1121x xC.⎩⎨⎧==1021x xD.⎩⎨⎧==0021x x 我的答案：A 5.[单选题] 行列式34-43的结果是( )A.0B.7C.10D.25我的答案：D6.[单选题] 某三阶行列式的所有元素都是4,则该行列式的值是( ) A.3 B.4 C.7 D.0我的答案：D7.[单选题] 关于三阶行列式说法正确的是( )A.若行列式的所有元素都等于零,则行列式的结果一定等于零B.若行列式的所有元素都等于零,则行列式的结果一定不等于零C.若行列式的所有元素都不等于零,则行列式的结果一定等于零D.若行列式的所有元素都不等于零,则行列式的结果一定不等于零我的答案：A8.[单选题]行列式101010102( )A.0B.1C.2D.4我的答案：B9.[单选题] 一元一次方程1211x =的解是( )A.x=1B.x=2C.x=3D.x=4我的答案：A10.[单选题] 已知行列式,3333333331=D ,5555555552=D 则( )A.4B.2C.8D.0我的答案：D11.[单选题] 若a 、b 、c 、d 的绝对值都是1,则行列式dc ba 的最大值是( )A.1B.2C.3D.4我的答案：B12.[单选题] 若某二阶行列式的结果为零,则关于该行列式的以下说法正确的是( )A.至少有一行元素为零B.至少有一列元素为零C.至少有一个元素为零D.以上答案都不对我的答案：D1.[单选题] 三级排列321的逆序数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0我的答案：A2.[单选题] 以下四个4级排列中,逆序数为零的是( ) A.1234 B.4231 C.1324 D.1423我的答案：A3.[单选题] 一个偶排列的逆序数可能是( )A.1B.3C.4D.5我的答案：C4.[单选题] 已知由1、2、3、4、5组成的某个5级排列中,数字5排在最前面,则该排列的逆序数至少是( )A.1B.3C.4D.5我的答案：C5.[单选题] 关于逆序数说法正确的是( )A.相同的排列一定有相同的逆序数B.相同的排列一定有不同的逆序数C.不同的排列一定有相同的逆序数D.不同的排列一定有不同的逆序数我的答案：A6.[单选题] D是四阶上三角行列式,主对角线元素分别是1、2、3、4,则该行列式的值是( )A.2B.6C.10D.24我的答案：D7.[单选题] 某对角行列式结果等于1,说明该行列式( )A.主对角线上所有元素都等于1B.主对角线上所有元素都大于1C.主对角线上所有元素都小于1D.主对角线上所有元素乘积为1我的答案：D8.[单选题] D是四阶行列式,且结果不等于零,则该行列式的非零元素个数可能是( )A.1B.2C.3D.4我的答案：D9.[单选题] 若某四阶行列式所有元素都是奇数,则该行列式的结果( ) A.一定是奇数 B.可能是奇数 C.一定是正数 D.一定是偶数我的答案：D10.[单选题] D 是五阶行列式,且位于前三数行和前三列交叉点处的9个元素都是0,而位于其它位置的16个元素都是1,该行列式的值是( ) A.4 B.16 C.25 D.0我的答案：D1.[单选题] 某三阶该行列式共有三个元素为零,则以下说法正确的是( ) A.该行列式的结果一定为零B.若三个零元素在同一行,则该行列式的结果为零C.若三个零元素都在主对角线上,则该行列式的结果为零D.若三个零元素都在副对角线上,则该行列式的结果为零我的答案：B2.[单选题] 已知行列式13332312322211312111==a a a a a a a a a D 则==3332312322211312112a a a a a a a a a D ( )A.1B.2C.4D.6我的答案：A3.[单选题] 已知222112111a a a a D =,，121122212a a a a D =，且a D D ==21，则a=( )A.0B.1C.2D.4我的答案：A4.[单选题] 行列式ab bb a b a ab a b a ------+( ) A.0 B.b a 22- C.b a 22+ D.2ab我的答案：A5.[单选题] 已知行列式13332312322211312111==a a a a a a a a a D ,==333231223222121341241182a a a a a a a a a D ( ) A.1B.2C.4D.8我的答案：D6.[单选题] 行列式=11-1-111-111( )A.0B.2C.8D.4我的答案：D7.[单选题] 关于行列式说法正确的是( ) A.交换行列式的两行,行列式的结果不变 B.交换行列式的两列,行列式的结果不变C.交换行列式的两行,然后交换行列式的两列,行列式的结果不变D.交换行列式的两行,然后交换行列式的两列,行列式变号我的答案：C8.[单选题] 行列式987654321=( )A.2B.0C.8D.4我的答案：B9.[单选题] 行列式30219910132121-1=( ) A.2 B.0 C.8 D.4我的答案：B10.[单选题] 若dc bD a =,则=D T( )A. B. C. D.我的答案：B1.[单选题] 在下列四个二阶行列式中,不满足a A ijij =（i,j=1,2,）的是( )A.1111B.111-1C.1001D.2002我的答案：A2.[单选题] 已知行列式,1333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则=++231322122111a a a A A A （）A.1B.2C.3D.0我的答案：D3.[单选题] 对于二阶行列式D,中若a 2a 2112=,则有( )A.A 1212a =B.A 2121a =C.A 2A 2112=D.A 2A 1221=我的答案：D4.[单选题] 已知行列式1333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则下列式子结果为1的是( )A.M a M a M a 232322222121++B.M a M a M a 333332323131++C.A a A a A a 131312121111++D.A a A a A a 131312121111+-我的答案：C5.[单选题] 对于二阶行列式D,中若a a 21211=,则有( )A.A 2A 1112=B.A 2A 1211=C.A1211A =D.以上都不对我的答案：D6.[单选题] 行列式300220111=D ,则A A A 131211++( )A.0B.2C.4D.6我的答案：D7.[单选题] 满足122211211====AAAA 的二阶行列式是( )A.1111B.1111----C.1111--D.1111--我的答案：D8.[单选题] 行列式694432111=( )A.2B.0C.8D.4我的答案：A9.[单选题] 行列式c b a D c ba 2221111=,）（）（）（1112222111111++++++=c b a D c b a ,则( )A.由D D 21=可得a+c=bB.由D D 21=可得a-c=bC.由D D 21=可得a ·c=bD.以上答案都不对我的答案：D10.[单选题] 若D 是二阶对角行列式,且202211=AA,则D=( )A.2B.1C.8D.4我的答案：A1.[单选题] 若b >a ,则线性方程组⎩⎨⎧=+=+c cax bx bx ax 2121解的情况与c 的关系是( )A.当等于零时,方程组无解B.当不等于零时,方程组无解C.当时,方程组无解D.在任何情况下,方程组都有解我的答案：D2.[单选题] 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 333323213123232221211313212111无解,则行列式==333231232221131211a a a a a a a a a D( ) A.1 B.2 C.3 D.0我的答案：D3.[单选题] 对于⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=++000-42-622-53121321x x x x x x x ）（）（）（λλλ有非零解,则不可能取的值是( ) A.5B.8C.2D.6我的答案：D4.[单选题] 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333232131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a 解的情况是( )A.一定有解B.一定无解C.可能无解D.当系数行列式为零时无解我的答案：A5.[单选题] 若齐次线性方程组有一个非零解,则该方程组一定( ) A.有无穷多解 B.恰有两个非零解 C.没有零解 D.恰有三个解我的答案：A6.[单选题] 在平面直角坐标系中,直线CB A Y X 1111:l =+与直线C B A Y X 2222:l =+相交,则线性方程组⎩⎨⎧=+=+C B A C B A Y X Y X 222111解的情况是( ) A.有无穷多解B.恰有一个解C.恰有两个解D.恰有三个解我的答案：B7.[单选题] 关于X 、Y 、Z 的齐次线性方程组⎩⎨⎧=++=++0ey 0fz dx cz by ax 解的情况是( )A.无解B.有非零解C.没有零解D.只有零解我的答案：B8. [单选题] 已知方程组⎩⎨⎧=+=+24622y x y ax 无解,则a=( )A.1B.2C.3D.0我的答案：C9.[单选题] 已知方程组⎩⎨⎧=++=+p y x p y 3225x 3的解满足x+y=2,则p=( )A.1B.2C.3D.4我的答案：D10.[单选题] 若cx a x 2bx )(f ++=,f(d)=f(e)=f(g)=0,且d 、e 、g 两两不等,则关于a 、b 、c 的取值情况是( ) A.a=0,b ≠0,c=0 B.a=0,b=0,c=0 C.a ≠0,b=0,c=0 D.a=0,b ≠0,c ≠0 我的答案：B作业1计算行列式 ____正确答案：132计算行列式 ____正确答案：13计算行列式 ____正确答案： 04计算行列式____正确答案：-275计算行列式____正确答案：06解方程,结果是____正确答案：47解方程,结果是或____正确答案：38解方程,结果是或____正确答案：-21在六阶行列式中,元素乘积应取什么符号____（本节课习题凡是涉及符号问题的，正号请在横线上填“+；正；正号；➕”，负号请在横线上填“-；负；负号；➖”）正确答案：+；正；正号；➕2在六阶行列式中,元素乘积应取什么符号____正确答案：-；负；负号；➖3在六阶行列式中,元素乘积应取什么符号____正确答案：+；正；正号；➕4在六阶行列式中,元素乘积应取什么符号____正确答案：-；负；负号；➖5项是不是五阶行列式中的一项____（是/不是）,若是,它的符号是____.(若不是,第二个空不用填)正确答案：第一空：是第二空：+；正；正号；➕6项是不是五阶行列式中的一项____（是/不是）,若是,它的符号是____.(若不是,第二个空不用填)正确答案：不是7项是不是五阶行列式中的一项____,若是,它的符号是____.(若不是,第二个空不用填)正确答案：第一空：是第二空：-；负；负号；➖8四阶行列式中乘积前应冠以什么符号? ____ 正确答案：-；负；负号；➖9计算行列式____正确答案：2410计算行列式____正确答案：1某三阶该行列式共有三个元素为零,则以下说法正确的是( )A、该行列式的结果一定为零B、若三个零元素在同一行,则该行列式的结果为零C、若三个零元素都在主对角线上,则该行列式的结果为零D、若三个零元素都在副对角线上,则该行列式的结果为零正确答案： B2已知行列式,则( )A、1B、2C、4D、6正确答案： A3已知,,且,则( )A、0B、1C、2D、4正确答案： A4行列式( )A、0B、C、D、正确答案： A5已知行列式,则( )A、1B、2C、4D、8正确答案： D6行列式( )A、0B、2C、8D、4正确答案： D7关于行列式说法正确的是( )A、交换行列式的两行,行列式的结果不变B、交换行列式的两列,行列式的结果不变C、交换行列式的两行,然后交换行列式的两列,行列式的结果不变D、交换行列式的两行,然后交换行列式的两列,行列式变号正确答案： C8行列式( )A、2B、0C、8D、4正确答案： B9行列式( )A、2B、0C、8D、4正确答案： B10若,则( )A、B、C、D、正确答案： B1用行列式的性质计算行列式的值____正确答案：40131002用行列式的性质计算行列式的值____正确答案：53用行列式的性质计算行列式的值____正确答案：84已知,求行列式的值____ 正确答案：125已知,求行列式的值____ 正确答案：-486计算行列式的值____正确答案：607计算行列式的值____正确答案：-218计算行列式的值____正确答案：09计算行列式的值____正确答案：n!10计算行列式的值____正确答案：-2(n-2)!1求行列式中元素-4的代数余子式(计算出结果).____正确答案：102若某四阶行列式第三行元素依次为,,,,对应的余子式依次为,,,,求此行列式的值.____正确答案：-113计算行列式的值____正确答案：44计算行列式的值____正确答案：435计算行列式的值____正确答案：-246计算行列式的值____正确答案：-277计算行列式的值____正确答案：278计算行列式的值____正确答案：481已知4阶行列式,则中的系数是____正确答案：-4；➖42设4阶行列式,则=____,其中为元素的代数余子式.正确答案：0；零3设4阶行列式,则第一列各元素的代数余子式之和____正确答案：0；零4设5阶行列式,则____ 和____,其中为的第四行第列元素的代数余子式.正确答案：第一空：-9；➖9第二空：185用克莱姆法则求解线性方程组的解为____ ,____,____ .正确答案：第一空： 1第二空： 2第三空： 36用克莱姆法则求解线性方程组的解为____ ,____,____ ,____ .正确答案：第一空：-8；➖8第二空： 3第三空： 6第四空：07用克莱姆法则求解线性方程组的解为____ ,____,____ ,____ .正确答案：第一空：0第二空： 2第三空：0第四空：08用克莱姆法则求解线性方程组的解为____ ,____,____ ,____ ,____ .正确答案：第一空： 1第二空：-1；➖1第三空： 1第四空：-1；➖1第五空： 19当____ 或____时,齐次线性方程组有非零解.(小数在前,大数在后)正确答案：第一空：-2；➖2第二空： 1二.判断题（共1题,10.0分）1判断:齐次线性方程组仅有零解( ) .正确答案：√1已知行列式展开式的六项中含有,则( )A、1B、2D、6我的答案：D2某二阶行列式的所有元素都是整数,则该行列式的结果( )A、一定是整数B、一定不是零C、一定是正数D、一定是负数我的答案：A3行列式( )A、0B、C、D、我的答案：A4方程组的解是( )A、B、C、D、我的答案：A5行列式的结果是( )A、0C、10D、25我的答案：D6某三阶行列式的所有元素都是4,则该行列式的值是( )A、3B、4C、7D、0我的答案：D7关于三阶行列式说法正确的是( )A、若行列式的所有元素都等于零,则行列式的结果一定等于零B、若行列式的所有元素都等于零,则行列式的结果一定不等于零C、若行列式的所有元素都不等于零,则行列式的结果一定等于零D、若行列式的所有元素都不等于零,则行列式的结果一定不等于零我的答案：A8行列式( )A、B、1C、2D、4我的答案：B9一元一次方程的解是( )A、B、C、D、我的答案：A10已知行列式,,则( )A、4B、2C、8D、0我的答案：D11若、、、的绝对值都是1,则行列式的最大值是( )A、1B、2C、3D、4我的答案：B12若某二阶行列式的结果为零,则关于该行列式的以下说法正确的是( )A、至少有一行元素为零B、至少有一列元素为零C、至少有一个元素为零D、以上答案都不对我的答案：D第二章随堂检测1【单选题】已知矩阵是二阶单位矩阵,则( )A、1B、2C、3D、0我的答案：A2【单选题】已知矩阵的四个元素中任意两个都互为相反数,则该矩阵是( )A、单位矩阵B、四阶矩阵C、负矩阵D、零矩阵我的答案：D3【单选题】下列四个矩阵中是单位矩阵的是( )A、B、C、D、我的答案：B4【单选题】关于矩阵说法正确的是( )A、该矩阵是3阶单位矩阵B、该矩阵是9阶单位矩阵C、该矩阵是27阶单位矩阵D、该矩阵不是单位矩阵我的答案：D5【单选题】关于矩阵的行数与列数说法正确的是( )A、四行八列B、八行四列D、两行三列我的答案：D6【单选题】下列关于单位矩阵、对角矩阵以及数量矩阵说法正确的是( )A、对角矩阵是单位矩阵B、单位矩阵是数量矩阵C、对角矩阵是数量矩阵D、以上说法都不对我的答案：B7【单选题】四阶单位矩阵所有元素的和等于( )A、1B、2C、4D、16我的答案：C8【单选题】下列关于零矩阵说法正确的是( )A、所有元素都是零B、未必所有元素都是零,但第一行的元素一定都是零C、未必所有元素都是零,但所有元素的和一定等于零D、未必所有元素都是零,但所有元素的乘积一定等于零我的答案：A9【单选题】一个3×4矩阵和一个4×3矩阵的共同点是( )A、行数相同B、列数相同C、行数及列数都相同D、所含元素的个数相同我的答案：D10【单选题】某方阵共有16个元素,则它的行数是( )A、2B、4C、8D、16我的答案：B1【单选题】在矩阵等式中,已知和都是二行三列,则是( )A、二行三列B、三行二列D、六行六列我的答案：A2【单选题】已知是非零常数,是非零矩阵,则是否是零矩阵( )A、一定是B、一定不是C、可能是D、不确定我的答案：B3【单选题】已知,,则( )A、B、C、D、我的答案：D4【单选题】矩阵不可能是( )A、两个单位矩阵的和B、两个上三角矩阵的和C、两个下三角矩阵的和D、两个对角矩阵的和我的答案：A5【单选题】已知是负数,是上三角矩阵,则是( )A、下三角矩阵B、上三角矩阵C、数量矩阵D、对角矩阵我的答案：B6【单选题】已知矩阵是六行九列,则矩阵是( )A、十八行二十七列B、两行三列C、六行九列D、九行六列我的答案：C7【单选题】当取何值时,矩阵等式成立( )A、1B、2C、3D、不论取何值,等式都不成立我的答案：D8【单选题】是二阶单位矩阵,则( )A、B、C、D、以上答案都不对我的答案：D1【单选题】,,则( )A、B、C、D、我的答案：D2【单选题】在矩阵等式中,若是上三角矩阵,是下三角矩阵,,则关于的说法正确的是( )A、一定是上三角矩阵B、一定是下三角矩阵C、一定是对角矩阵D、以上答案都不对我的答案：D3【单选题】二阶方阵乘以二阶方阵等于( )A、四阶方阵B、四行四列矩阵C、行数和列数相等且含有十六个元素的方阵D、二阶方阵我的答案：D4【单选题】在矩阵等式中,和的元素都是负数,则的元素符号( )A、都是正数B、都是负数C、正负交替出现D、不确定,与矩阵的行数与列数有关我的答案：A5【单选题】关于矩阵和,以下说法不正确的是( )A、若有意义,则必有的行数等于的行数B、若有意义,则必有的行数等于的列数C、若有意义,则必有的列数等于的行数D、若有意义,则必有的行数等于的列数我的答案：B6【单选题】某矩阵既是对称矩阵又是反对称矩阵,则关于该矩阵说法正确的是( )A、是上三角矩阵,但未必是对角矩阵B、是下三角矩阵,但未必是对角矩阵C、是对角矩阵,但未必是零矩阵D、是零矩阵我的答案：D7【单选题】已知矩阵等式成立,则有( )A、,B、,C、,D、,我的答案：A8【单选题】,,,,则在,,,四个矩阵中,对称矩阵的个数是( )A、1B、2C、3D、4我的答案：D9【单选题】是阶方阵,,则( )A、B、C、D、4我的答案：C10【单选题】如果,则( )A、B、C、D、我的答案：A11【单选题】如果是同阶方阵,则以下说法正确的是( )A、若,则B、若,则C、若,则D、若,则我的答案：D12【单选题】,,且第列的元素和是(,,),则( )A、B、C、D、我的答案：A13【单选题】矩阵的结果是零矩阵,说明( )A、的行数等于的列数B、的列数等于的行数C、和至少有一个是零矩阵D、我的答案：D1【单选题】和是同阶可逆矩阵,则( )A、若,则B、若,则C、若,则D、若,则我的答案：A2【单选题】若,则( )A、可逆,且B、可逆,且C、可逆,且逆矩阵不唯一D、未必可逆我的答案：A3【单选题】逆矩阵不唯一的三阶可逆矩阵有( )个A、0B、1C、2D、3我的答案：A4【单选题】若,且,则( )A、B、C、D、我的答案：A5【单选题】是可逆矩阵,且,若,则( ) A、B、C、D、我的答案：A6【单选题】、、是同阶可逆矩阵,且,则( )A、B、C、D、我的答案：A7【单选题】是阶矩阵,是的伴随矩阵,以下说法正确的是( )A、可逆时,也可逆B、可逆时,不可逆C、不可逆时,可逆D、可逆时,不可逆我的答案：A8【单选题】,则的伴随矩阵( )A、B、C、D、我的答案：B9【单选题】是阶方阵,以下说法正确的是( )A、当可逆时,有B、当是数量矩阵时,有C、当是对角矩阵时,有D、当不可逆时,有我的答案：B10【单选题】、是同阶可逆矩阵,则下列矩阵未必可逆的是( ) A、B、C、D、我的答案：B1【单选题】是3阶初等矩阵,则的值不可能是( )A、3B、2C、1D、0我的答案：D2【单选题】下列关于初等矩阵的说法正确的是( )A、初等矩阵一定是可逆矩阵B、可逆矩阵一定是初等矩阵C、初等矩阵的行列式可能为零D、初等矩阵可能是退化矩阵我的答案：A3【单选题】已知矩阵是一行三列,矩阵是三行四列,则的结果是( )A、矩阵的第一列B、矩阵的第一行C、矩阵的第一列D、矩阵的第一行我的答案：B4【单选题】方阵经过一次初等变换后得到方阵,且,则( )A、0B、1C、2D、不确定我的答案：D5【单选题】交换方阵的第一、二行得到矩阵,交换方阵的第一、二列得到矩阵,则下列说法正确的是( )A、与不等价,且B、与不等价,且C、与等价,且D、与等价,且我的答案：C6【单选题】,则( )A、B、C、D、我的答案：A7【单选题】,则的标准形是( )A、B、C、D、我的答案：D8【单选题】,且已知矩阵可以经过行初等变换得到矩阵,其中,,则( )A、B、C、D、我的答案：A9【单选题】某初等矩阵一共有三行,则该矩阵一共有( )列A、27B、9C、3D、1我的答案：C10【单选题】四阶方阵的标准形中含元素1的个数最多是( )个A、2B、4C、1D、3我的答案：B1【单选题】,,则矩阵方程的解是( ) A、B、C、D、我的答案：B2【单选题】,,则矩阵方程的解是( ) A、B、C、D、我的答案：A3【单选题】可逆,且,则( )A、B、C、D、我的答案：C4【单选题】是阶方阵,且,则有( )A、不可逆B、可逆且C、可逆且D、可逆且我的答案：B5【单选题】是三阶可逆方阵,且,,则矩阵方程的解( )A、B、C、D、我的答案：D1【单选题】A是n阶矩阵,是非零常数,则一定有( )A、B、C、D、我的答案：B2【单选题】A=,则有( )A、B、C、D、我的答案：C3【单选题】A是n阶可逆矩阵,则下列结论正确的是( )A、B、C、D、我的答案：D4【单选题】一个六行八列矩阵的秩可能是( )A、6B、8C、66D、88我的答案：A5【单选题】矩阵A是m行n列且,若,则( )A、1B、2C、3D、4我的答案：D6【单选题】A是一个矩阵,则“是零矩阵”是“”的( )条件A、充分不必要B、必要不充分C、充分必要D、不充分不必要我的答案：C7【单选题】A是n阶矩阵,,,则有( )A、B、C、D、以上答案都错我的答案：A8【单选题】k是常数,,则不可能是( )A、1B、2C、3D、4我的答案：B9【单选题】,则有( )A、B、C、D、我的答案：A10【单选题】矩阵经过3次初等变换得到矩阵,,则( )A、8B、2C、5D、15我的答案：C作业1已知矩阵,、是常数且,则____正确答案：第一空： 12已知,满足,则常数____正确答案：第一空： 43矩阵,(),且,则____正确答案：第一空：504矩阵,及常数,满足,则____正确答案：05,是常数,,是未知数,且矩阵方程组有无穷多组解,则常数____正确答案：101某数量矩阵第四行的非零元素是2,则该矩阵第二行的非零元素是4( ) 正确答案：×2对角矩阵主对角线上的元素都不等于零( )正确答案：×3既是上三角矩阵又是下三角矩阵的矩阵是零矩阵( )正确答案：×4非负矩阵的行数不超过列数( )正确答案：×5五阶方阵的每个元素不小于5( )正确答案：×6数量矩阵不可能是单位矩阵( )正确答案：×7上三角矩阵第一行的元素都不等于零( )正确答案：×8某矩阵共四行,且所有元素都是4,则该矩阵是四阶方阵( )正确答案：×9下三角矩阵的行数不等于列数( )正确答案：×10数量矩阵的所有元素都相等( )正确答案：×1已知矩阵,且,则____正确答案：32已知且,是方阵,则是____阶方阵正确答案：4；四3矩阵,,且,又,则主对角线上所有元素的和等于____正确答案：34矩阵是行3列矩阵,是3行列矩阵,且,则____正确答案：35、、、、、是六个矩阵,且,,, 则矩阵所有元素的和等于____正确答案：06,,其中是单位矩阵,,则____正确答案： 27是反对称矩阵,则____正确答案：08二阶方阵、满足,且,, 则____正确答案：109,,则____正确答案：010是矩阵,是矩阵,的行数与列数相等,则____正确答案：81已知矩阵,且是的逆矩阵,则____正确答案：12是反对称矩阵且可逆,则主对角线上元素的和等于____正确答案：03矩阵可逆且,,则____正确答案：24矩阵是8阶方阵,则是 ____阶方阵正确答案：8；八5,是退化矩阵,则常数____正确答案：26方阵不可逆,则____正确答案：07方阵,且可逆,则____正确答案：18方阵,则____正确答案：29可逆矩阵的逆矩阵,若,则____ 正确答案：410矩阵,且,则____正确答案：01方阵经过初等变换后得到方阵,且,则的值不可能是____正确答案：02是四阶方阵且,是的标准形,则____正确答案：13矩阵,若,则____正确答案：24矩阵与等价,且是3行5列,是行列,则____正确答案：85矩阵,,,,,则____正确答案：36矩阵,,,则____正确答案：7矩阵,,,则____正确答案：18、是同阶方阵且,,则将矩阵的第二行乘以____就能得到矩阵正确答案：29在、、,三个矩阵中,逆矩阵等于自身的有____个正确答案：310矩阵,且矩阵序列,实数序列。

线性代数期末试卷及解析(4套全)2013科大

线性代数期末试卷一一、填空题（每小题3分）（4）设A 为n 阶矩阵，*||0,≠A A 为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若A 有特征值λ，则*2()+A E 必有特征值__________.解：2||1⎛⎫+ ⎪⎝⎭A λ.设0x ≠，使x x λ=A . 由*||⋅=A A A E 知，***||()x x x x ===A A A A A λλ. 由||0≠A 知≠λ0.**2**2||||,()()()x x x x x ===A A A A A A λλ，*22||[()][()1]x x ==+A A E λ，*2()+A E 有一特征值 2||1+A λ.二、选择题（每小题3分）（4）设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭是满秩的，则直线333121212x a y b z c a a b b c c ---==---与直线111232323x a y b z c a a b b c c ---==---.（A ）相交于一点；（B ）重合；（C ）平行但不重合；（D ）异面。

解：（A ）正确记 1111{,,}a b c =α 1111(,,)a b c =A 2222{,,}a b c =α 2222(,,)a b c =A 3333{,,}a b c =α 3333(,,)a b c =A因为矩阵111222333a b c a b c a b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭是满秩的，故123,,ααα线性无关，所以112223,s s =-=-r r αααα线性无关，12//s s r r且23,,A A A 三点不共线，确定一平面π，记 1l 为直线333121212,x a y b z c a a b b c c ---==--- 2l 为直线111232323x a y b z c a a b b c c ---==---，则 1l 为过3A ，且平行12A A 的直线，所以1l π∈， 2l 为过1A ，且平行23A A 的直线，所以2l π∈，因为12//s s r r，12//l l ∴，且同在π上，故相交，所以（A ）正确，当然（B ）、（C ）、（D ）不正确.三、（本题满分5分）求直线11:111x y z l --==-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线0l 的方程，并求0l 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程.解：将l 的标准方程改为一般方程为 1010x y y z --=⎧⎨+-=⎩过l 的平面束方程为：1(1)0x y y z --++-=λ 由投影关系1(1)20--+=λλ，解之2=-λ 所以过l 且垂直平面π的方程为 3210x y z --==故0l 的方程为2103210x y z x y z -+-=⎧⎨--+=⎩设点(,,)M x y z 为直线上的点111(,,)M x y z 所旋转而成的曲面上的点，则1y y =且= 即 222211x z x z +=+ （1）由1M 在0l 上，故111210x y z -+-= （2） 1113210x y z --+= （3）（2）、（3）联立，将11,x z 由1y 表出有11112211(1)(1)22x y yz y y ==⎧⎪⎨=-=-⎪⎩ 代入（1）得： 222214(1)4y y x z +-=+ 所求曲面为2224174210x y z y -++-= 为单叶双曲面. 十、（本题满分6分）已知二次曲面方程2222224x ay z bxy xz yz +++++= 可以经过正交变换x y P z ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξηζ化为椭圆柱面方程2244+=ηζ，求,a b 的值和正交矩阵P .解：由111111b b a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 与014⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似得11111114b b a------=-----λλλλλλ，解之得到3, 1.a b ==对应于特征值10=λ的单位特征向量为T1x =；对应于特征值11=λ的单位特征向量为T2x =；对应于特征值34=λ的单位特征向量为T3x =；因此P ⎛=⎝.十一、（本题满分4分）设A 是n 阶矩阵，若存在正整数k ，使线性方程组0k x =A 有解向量α，且10k -≠A α. 证明：向量组1,,,k -A A L ααα是线性无关的. 解：设有常数12,,,k L λλλ，使得112,k k -+++=A A L λαλαλα0则有1112(),k k k --+++=A A A L λαλαλα0从而有11.k -=A λα0由于10k -≠A α，所以1.=λ0类似可证得 230,k ====L λλλ因此向量组1,,,k -A A L ααα线性无关.十二、（本题满分5分）已知线性方程组（I ）1111221,222112222,221122,220,0,0.n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L的一个基础解系为T T T 11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,)n n n n n n b b b b b b b b b L L L L . 试写出线性方程组（II ）1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n n b y b y b y b y b y b y b y b y b y +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L的通解，并说明理由.解：（II ）的通解为T T111121,2221222,2(,,,)(,,,)n n y c a a a c a a a =++L L L T 12,2(,,,)n n n n n c a a a +L ，其中12,,,n c c c L 为任意常数.理由：方程组（I ）、（II ）的系数矩阵分别记为,A B ，则由（I ）的已知基础解系可知T=AB 0，于是T T ()==BA AB 0，因此可知A 的n 向个向量的转置向量为（II ）的n 个解向量.由于B 的秩为n ，故（II ）的解空间维数为2n n n -=，又A 的秩为2n 与（I ）的解空间维数之差，即为n ，故A 的n 个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成（II ）的一个基础解系，于是得到（II ）的上述通解。

线性代数期末试卷及解析(4套全)2018科大

线性代数期末试卷一一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）（5）设矩阵210120001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，矩阵B 满足*2=+ABA BA E ，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则||=B __________.解：||=B 19.显然||3=A ，在等式*2=+ABA BA E 两端右乘A 得36=+AB B A (36)-=A E B A 上式取行列式03030||3003=-B故 1||9=B . 方法二：因||3=A ，则*31||||9-==A A将**2=+ABA BA E 移项得 *(2)-=A E BA E 两端取行列式得1||91⋅⋅=B ，故1||9=B .二、选择题（本题8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（11）设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B ，再把B 的第2列加到第3列得C ，则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为（A ）010100.101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.解：（D ）正确. 由题意12=AE B ，其中12010100001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E 为第一种类型初等矩阵，23(1)=BE C ，其中23100(1)011001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E 为第三种类型初等矩阵.于是有 1223(1)==AE E C AQ则 1223010100011(1)100011100001001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q E E与所给答案比较，选（D ）.（12）设,A B 为满足=AB 0的任意两个非零矩阵，则必有（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. （D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. 解：（A ）正确.设A 为m n ⨯矩阵，B 为n p ⨯矩阵，因为 =AB 0故 ()()r r n +≤A B ，其中(),()r r A B 分别表示矩阵,A B 的秩.又因为,A B 皆是非零矩阵，故()0,()0r r >>A B ，所以()r n <A ，()r n <B .因此A 的列秩数，B 的行秩数小于n ，这说明A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，故选（A ）.取101000⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，100110⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭B ，则0000⎛⎫= ⎪⎝⎭AB ，由B 的列向量组线性无关知（B ）、（D ）错误.取101010-⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，100110⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B ，则0000⎛⎫= ⎪⎝⎭AB ，由A 的行向量组线性无关知（C ）错误.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（20）（本题满分9分）设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2)()0,n nn a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩L L L L L试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.解法1 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有11111111222220000aa a a a n n n n a na a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A B L L L L L L L L L L. 当0a =时，()1r n =<A ，故方程组有非零解，其同解方程组为120n x x x +++=L ，由此得基础解系为T T T121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1)n -=-=-=-ηηηL L L L ，于是方程组的通解为1111n n x k k --=++ηηL ，其中11,,n k k -L 为任意常数. 当0a ≠时，对矩阵B 作初等行变换，有(1)1111000221002100.001001n n a a n n +⎛⎫++⎛⎫ ⎪⎪⎪-⎪-→→⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎝⎭-⎝⎭B L L L L L L L L LL可知(1)2n n a +=-时，()1r n n =-<A ，故方程组也有非零解，其同解方程组为 1213120,30,0,n x x x x nx x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩M由此得基础解系为T(1,2,,)n =ηL ，于是方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. 解法2 方程组的系数行列式为111112222(1)||.2n aa n n a a nnn n a-+++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭+A L L L LL当||0=A ，即0a =或(1)2n n a +=-时，方程组有非零解.当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有1111111122220000,0000n n n n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A L L L L L L L L L L 故方程组的同解方程组为120,n x x x +++=L 由此得基础解系为T T T121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1)n -=-=-=-ηηηL L L L ，于是方程组的通解为1111n n x k k --=++ηηL ，其中11,,n k k -L 为任意常数.当(1)2n n a +=-时，对系数矩阵A 作初等行变换，有 11111111222220000aa a a an n n n a na a ++⎛⎫⎛⎫⎪⎪+-⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A L L LLL L L L L L . 1111000021002100.00101a n n +⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭L L LL L L L L L L 故方程组的同解方程组为1213120,30,0,n x x x x nx x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩M由此得基础解系为T(1,2,,)n =ηL ，于是方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. （21）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化.解：A 的特征多项式为1232201431431515a aλλλλλλλ-----=-------11010(2)143(2)13315115aa λλλλλλ-=--=---------2(2)(8183)a λλλ=--++.若2λ=是特征方程的二重根，则有22161830a -++=，解得2a =-.当2a =-时，A 的特征值为2,2,6，矩阵1232123123-⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪--⎝⎭E A 的秩为1，故2λ=对应的线性无关的特征向量有两个，从而A 可相似对角化.若2λ=不是特征方程的二重根，则28183a λλ-++为完全平方，从而18316a +=，解得23 a=-.当23a=-时，A的特征值为2,4,4，矩阵32341032113⎛⎫⎪-⎪-= ⎪⎪--⎪⎝⎭E A的秩为2，故4λ=对应的线性我关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化.线性代数期末试卷二一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中的横线上.）（6）同数学（一）一、（5）.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项目前的字母填在题后的括号内.）（13）同数学（一）二、（11）. （14）同数学（一）二、（12）.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（22）（本题满分9分）设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.解法1 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有111111112222200.33333004444400aa a a a a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A B 当0a =时，()14r =<A ，故方程组有非零解，其同解方程组为 12340x x x x +++=.由此得基础解系为T T T123(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)=-=-=-ηηη，于是所求方程组的通解为112233k k k =++x ηηη，其中123,,k k k 为任意常数. 当0a ≠时，11111000021002100,3010301040014001a a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭B 可知10a =-时，()34r =<A ，故方程组也有非零解，其同解方程组为12131420,30,40,x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩由此得基础解系为 T(1,2,3,4)=η，于是所求方程组的通解为 k =x η，其中k 为任意常数. 解法2 方程组的系数行列式311112222||(10)33334444aa a a a a++==+++A .当||0=A ，即0a =或10a =-时，方程组有零解. 当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有11111111222200003333000044450000⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ，故方程组的同解方程组为12340.x x x x +++= 其基础解系为T T T123(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)=-=-=-ηηη，于是所求方程组的通解为112233k k k =++x ηηη，其中123,,k k k 为任意常数. 当10a =-时，对A 作初等行变换，有911191112822201000337330010*******0010--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪=→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A91110000210021003010301040014001-⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，故方程组的同解方程组为2131412,3,4,x x x x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩其基础解系为T(1,2,3,4)=η，于是所求方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. （23）（本题满分9分）同数学（一）三、（21）.线性代数期末试卷三一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（4）二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++的秩为_________.解：秩为 2 .222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++ 222123121323222222x x x x x x x x x =++++-于是二次型f 的表示矩阵为211121112⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A易求得()2r =A ，故二次型f 的秩为2.二、选择题（本题8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（12）设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有（A ）当||(0)a a =≠A 时，||a =B . （B ）当||(0)a a =≠A 时，||a =-B . （C ）当||0≠A 时，||0=B . （D ）当||0=A 时，||0=B . 解：（D ）正确.因为n 阶矩阵A 与B 等价，故存在n 阶可逆矩阵,P Q 使 =PAP B故 ||||||||=B P A Q当||0=A 时，自然有||0=B ，故（D ）正确.当||0≠A 时，由||,||P Q 皆不为零，故||0≠B ，所以（C ）错误.当||0a =≠A 时，||||||a =B P Q ，仅由A 与B 等价，无法推出||||1=±P Q ，故（A ）、（B ）不正确.当,A B 相似时，（A ）才正确.（13）设n 阶矩阵A 的伴随矩阵*≠A 0，若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组=Ax b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组=Ax 0的基础解系.（A ）不存在. （B ）仅含一个非零解向量. （C ）含有两个线性无关的解向量. （D ）含有三个线性无关的解向量. 解：（B ）正确.因*=A 0，故*A 中至少有一个非零元素. 由于*A 中元素恰为A 的1n -阶代数余子式所组成，故A 至少有一个1n -阶子式非零，这表明()1r n ≥-A .现断言()r n ≠A ，否则A 可逆，则线性方程组=Ax b 有惟一解，这与12,ξξ是非齐次线性方程组=Ax b 不同的解矛盾.由此必有()1r n =-A ，所以齐次线性方程组=Ax 0的解空间维数为(1)1n n --=，即=Ax 0的基础解仅含一个非零解向量. 可见（B ）正确，（A ）错误.尽管从1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组=Ax b 的互不相等的解，可以得出=Ax 0有三个不同的非零解，如121314,,,---ξξξξξξ但是它们是成比例的线性相关解，也就是说=Ax 0不会有两个，更不会有三个线性无关的解向量，即（C ）、（D ）不正确.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（20）（本题分13分）设T T T 123(1,2,0),(1,2,3),(1,2,2)a a b a b ==+-=---+ααα，T(1,3,3)=-β. 试讨论当,a b为何值时，（I ）β不能由123,,ααα线性表示；（II ）β可由123,,ααα惟一地线性表示，并求出表示式；（III ）β可由123,,ααα线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式. 解：设有数123,,k k k ，使得112233k k k ++=αααβ. （*）记123(,,)=A ααα. 对矩阵()Aβ施以初等行变换，有1111()22230323a b a a b -⎛⎫ ⎪=+-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭A β111101000a b a b -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭.（I ）当0,a b =为任意常数时，有1111()0010001b -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A β.可知()()r r ≠A A β. 故方程组（*）无解，β不能由123,,ααα线性表示.（II ）当0a ≠，且a b ≠时()()3r r ==A A β，故方程组（*）有惟一解 123111,,0,k k k a a=-== 则β可由123,,ααα惟一地线性表示，其表示式为1211(1)a a=-+βαα.（III ）当0a b =≠时，对()A β施以初等行变换，有110011()011.0000a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A β. 可知()()2r r ==A A β，故方程组（*）有无穷多解，其全部解为123111,(),k k c k c a a=-=+=，其中c 为任意常数.β可由123,,ααα线性表示，但表示式不惟一，其表示式为12311(1)()c c a a=-+++βααα. （21）（本题满分13分）111b b bb b b ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A L L M M M L. （I ）求A 的特征值和特征向量；（II ）求可逆矩阵P ，使得1-P AP 为对角矩阵. 解：（I ）1º当0b ≠时，11||1b b b b bbλλλλ-------=---E A L LM M ML1[1(1)][(1)]n n b b λλ-=-----.故A 的特征值为121(1),1n n b b λλλ=+-===-L .对于11(1)/n b λ=+-，设A 的属于特征值1λ的一个特征向量为1ξ，则1111[1(1)]1b b b b n b b b ⎛⎫⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξξL L M M M L ，解得T1(1,1,,1)=ξL ，所以全部特征向量为T1(1,1,,1)k k =ξL （k 为任意非零常数）.对于21n b λλ===-L ，解齐次线性方程组[(1)]0b --=E A x ，由111000(1)000b b b b b b b b b b ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪--=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭E A L L LL M M M M M M L L，解得基础解系T2(1,1,0,,0)=-ξL ，T3(1,0,1,,0)=-ξL ，… …T(1,0,0,,1)n =-ξL .故全部特征向量为2233n n k k k +++ξξξL （2,,n k k L 是不全为零的常数）. 2º当0b =时，特征值11n λλ===L ，任意非零列向量均为特征向量. （II ）1º当0b ≠时，A 有n 个线性无关的特征向量，令12(,,,)n =P ξξξL ，则 1diag{1(1),1,,1}.n b b b -=+---P AP L 2º当0b =时，=A E ，对任意可逆矩阵P ，均有 1-=P AP E .注：T1(1,1,,1)=ξL 也可由求解齐次线性方程组1()λ-=E A x 0得出.线性代数期末试卷四一、填空题（本题共6小题，每小4分，满分24分. 把答案填在题中横线上.）（4）设1010100,001--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭A B P AP ，其中P 为三阶可逆矩阵，则200422-=B A _________. 解：300030001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. 由010100001-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 得2100010001-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，故4=A E ，其中E 是3阶单位阵，所以2004=A E .由1-=B P AP 得200412004-==B P A P E于是 20042210020030022010020030001002001-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭BA E A . （5）设33()ij a ⨯=A 是实正交矩阵，且T 111,(1,0,0)a b ==，则线性方程组=Ax b 的解是__________.解：T (1,0,0).在方程=Ax b 两端左乘TAT T =A Ax A b 则 2131T 122232121323331311100a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x A b将 12131a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x 代回=Ax b 有2131122232121323331311100a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由此得22121311a a ++=因A 为实矩阵，故12130a a ==，因此=Ax b 的解为100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（12）同数学（三）二、（12）.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（20）（本题满分13分）设线性方程组1234123412340,220,3(2)(4)41,x x x x x x x x x x x x λμλμ+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++++=⎩已知T(1,1,1,1)--是该方程组的一个解. 试求（I ）方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；（II ）该方程组满足23x x =的全部解.解：将T (1,11,1)--代入方程组，得λμ=. 对方程组的增广矩阵施以初等变换，得 1102112032441λλλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪++⎝⎭A 102101311.002(21)2121λλλλλλ---⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪---⎝⎭（I ）当12λ≠时，有 1001011010.221100122⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 因()()34r r ==<A A ，故方程组有无穷多解，全部解为T T 11(0,,,0)(2,1,1,2)22k =-+--ξ，其中k 为任意常数.当12λ=时，有 11101220131100000⎛⎫-- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A .因()()24r r ==<A A ，故方程组有无穷多解，全部解为T T T 121(,1,0,0)(1,3,1,0)(1,2,0,2)2k k =-+-+--ξ，其中12,k k 为任意常数.（II ）当12λ≠时，由于23x x =，即 1122k k -+=-. 解得12k =，方程组的解为T T T 111(0,,,0)(2,1,1,2)(1,0,0,1)222=-+--=-ξ. 当12λ=时，由于23x x =，即 121132k k k --=. 解得121142k k =-，故全部解为 T T 2111311(,,,0)(,,,2)444222k =-+---ξ，其中2k 为任意常数.[注]：在题（II ）中，12λ=时，解得21122k k =-时，全部解也可以表示为 T T 1(1,0,0,1)(3,1,1,4)k =-+-ξ，其中1k 为任意常数.（21）（本题满分13分）设三阶实对称矩阵A 的秩为122,6λλ==是A 的二重特征值. 若T T T 123(1,1,0),(2,1,1),(1,2,3)===--ααα都是A 的属于特征值6的特征向量. （I ）求A 的另一特征值和对应的特征向量；（II ）求矩阵A .解：（I ）因为126λλ==是A 的二重特征值，故A 的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个. 由题设可得123,,ααα的一个极大无关组为12,αα，故12,αα为A 的属于特征值6的线性无关的特征向量.由()2r =A 可知，||0=A ，所以A 的另一特征值30λ=. 设30λ=所对应的特征向量为T 123(,,)x x x =α，则有T T120,0==αααα，即 121230,20.x x x x x +=⎧⎨++=⎩ 解得此方程组的基础解系为T (1,1,1)=-α，即A 的属于特征值30λ=的特征向量为T (1,1,1)c c =-α，（c 为不为零的任意常数）.（II ）令矩阵123(,,)=P ααα，则1600060000-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ，所以 1600060000-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A P P .又1011112333111333-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭P ，故422242.224⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A。

2010-2011天津科技大学线性代数答案pdf版解读

2 1. 2 x12 − 6 x3 + 2 x1 x2 − 6 x1 x3 + 8 x2 x3 ；2. 2 2 − x12 + 3x2 + 2 x3 + 2 5 x1 x2 −4 x2 x3 . 二．计算题⎛⎜0 ⎜ 3 解：(1 二次型 f 的矩阵为 A = ⎜⎜2 ⎜⎜ −3 ⎜⎝⎛3 ⎜2 0 ⎜ 3 A→⎜0 ⎜ 2 ⎜⎜0 −1 ⎜ 2 ⎝⎛ −5 ⎜⎜0 ⎜ (2 二次型 f 的矩阵为 A = ⎜⎜0 ⎜⎜⎜0 ⎝⎛ −5 0 ⎜⎜0 1 ⎜ 2 A→⎜⎜0 0 ⎜⎜0 0 ⎝ 0 ⎞ −3 ⎟⎟ 1 0 − ⎟，对其施行初等行变换，得 2⎟⎟ 1 − −3 ⎟⎟ 2 ⎠ 1⎞ − ⎟ 1⎞⎛3 2 0 − ⎟⎟⎜ 2 2 ⎟， r ( A = 3 ，故 f 的秩为3. −3 ⎟ → ⎜⎟⎜ 0 1 −2 ⎟⎟⎜⎟⎝ 0 0 −5 ⎠ −4 ⎟⎟⎠ 3 2 0 1 2 0 ⎞⎟ 5 − ⎟ 0 2⎟⎟，对其施行初等行变换，得1 2 −5 ⎟ 2 ⎟⎟ 5 − −5 0 ⎟⎠ 2 0 0 ⎞⎛ −5 0 0 0 ⎞⎟⎜⎟ 1 2 −5 ⎟⎜ 0 2 −5 ⎟⎟⎜⎟ 2 ， r ( A = 3 ，故 f 的秩为 3. → 1 5⎟⎜ 1 5⎟ − ⎟⎜0 0 − ⎟ 2 2⎟⎜ 2 2⎟⎜0 0 0 0 ⎟ 5 −25 ⎟⎠⎠⎝天津科技大学线性代数检测题 5-2 参考答案一．填空题 1. n ；2 2. y12 − y2 ；2 2 3. λ1 y12 + λ2 y2 + λ3 y3 . 二．选择题 1. (A； 2. (C ； 3. (A. 三．计算题⎛2 1⎞ λ − 2 −1 1. 解：二次型 f 的矩阵为 A = ⎜⎟，由λ E − A = −1 λ − 2 = (λ − 1(λ − 3 ，知特征值为λ1 =1 ，⎝1 2⎠2 λ2 =3 ，故二次型 f 的标准形为 f = y12 + 3 y2 . ⎛ −1 −1⎞⎛ x1 ⎞⎛ 0 ⎞⎛ −1⎞对于λ = λ1 = 1 ，解方程组( E − A X = 0 ，即⎜⎟⎜⎟ = ⎜⎟，得到特征向量 p2 = ⎜⎟；⎝ −1 −1⎠⎝ x2 ⎠⎝ 0 ⎠⎝1⎠⎛ 1 −1⎞⎛ x1 ⎞⎛ 0 ⎞⎛ 1⎞对于λ = λ2 = 3 ，解方程组(3 E − A X = 0 ，即⎜⎟⎜⎟ = ⎜⎟，得到特征向量 p2 = ⎜⎟ . ⎝ −1 1 ⎠⎝ x2 ⎠⎝ 0 ⎠⎝ 1⎠单位化，得 e1 = 1 ⎛ −1⎞ 1 ⎛ 1⎞⎜⎟， e2 = ⎜⎟. 1 2⎝⎠ 2 ⎝ 1⎠ 16⎛ 1 ⎜− 2 令P =⎜⎜ 1 ⎜⎝ 2 1 ⎞⎛ 1 − ⎟⎛ x1 ⎞⎜ 2⎟ 2 ⎜，则所求正交变换为 X = PY 即⎜⎟ = 1 ⎟⎝ x2 ⎠⎜ 1 ⎟⎜ 2⎠⎝ 2 1 ⎞⎟ 2 ⎟⎛ y1 ⎞⎜⎟ . 1 ⎟⎝ y2 ⎠⎟ 2⎠⎛ 2 0 0⎞ λ −2 0 0 ⎟，由 = 2. 解：二次型 f 的矩阵为 A = ⎜ λ 0 − 1 − 1 = (λ − 2 2 λ ，知特征值为λE − A ⎜0 1 1⎟⎜0 1 1⎟ 0 −1 λ − 1 ⎝⎠ 2 λ1 = λ2 =2 ，λ3 = 0 ，故二次型 f 的标准形为 f = 2 y12 + 2 y2 . ⎛1⎞⎛ 0⎞⎛ 0 0 0 ⎞⎛ x1 ⎞⎛ 0 ⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟对于λ = 2 ，解方程组(2 E − A X = 0 ，即⎜ 0 1 −1⎟⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟，得到特征向量 p1 = ⎜ 0 ⎟， p2 = ⎜ 1 ⎟；⎜ 0 −1 1 ⎟⎜ x ⎟⎜ 0 ⎟⎜ 0⎟⎜1⎟⎝⎠⎝ 3 ⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎛0⎞⎛ −2 0 0 ⎞⎛ x1 ⎞⎛ 0 ⎞⎟⎜ x ⎟ = ⎜⎟，得到特征向量 p = ⎜ −1⎟ . 对于λ = 0 ，解方程组− AX = 0 ，即⎜ 3 ⎜⎟⎜ 0 −1 −1⎟⎜ 2 ⎟⎜ 0 ⎟⎜ 0 −1 −1⎟⎜ x ⎟⎜ 0 ⎟⎜1⎟⎝⎠⎝ 3 ⎠⎝⎠⎝⎠⎛0⎞⎛0⎞ 1⎜⎟ 1 ⎜⎟标准正交化，得 e1 = p1 ，e2 = −1⎟ . 1 ⎟， e3 = 2⎜ 2⎜⎜1⎟⎜1⎟⎝⎠⎝⎠⎛1 ⎜⎜0 令P =⎜⎜⎜0 ⎜⎝ 0 ⎞⎛1 ⎜⎟ x ⎛⎞ 1 ⎟ 1 ⎜ − ⎜⎟ 0 2 2 ⎟，则所求正交变换为 X = PY 即⎜ x2 ⎟ = ⎜⎟⎜x ⎟⎜ 1 1 ⎟⎝ 3 ⎠⎜0 ⎜⎟ 2 2 ⎠⎝ 0 1 0 1 2 1 2 0 ⎞⎟ 1 ⎟⎛ y1 ⎞ − ⎜⎟ 2 ⎟⎜ y2 ⎟ . ⎟⎟ 1 ⎟⎜⎝ y3 ⎠⎟ 2 ⎠⎛3 0 0⎞ λ −3 0 0 ⎜⎟ 3. 解：二次型 f 的矩阵为 A = ⎜ 0 2 1 ⎟，由λ E − A = 0 λ − 2 −1 = (λ − 3 2 (λ − 1 ，知特征值为⎜ 0 1 2⎟ −1 λ − 2 0 ⎝⎠ 2 2 λ1 = λ2 = 3 ，λ3 = 1 ，故二次型 f 的标准形为 f = 3 y12 + 3 y2 . + y3 ⎛1⎞⎛ 0⎞⎛ 0 0 0 ⎞⎛ x1 ⎞⎛ 0 ⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟对于λ = 3 ，解方程组(3 E − A X = 0 ，即⎜ 0 1 −1⎟⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟，得到特征向量 p1 = ⎜ 0 ⎟， p2 = ⎜ 1 ⎟；⎜ 0 −1 1 ⎟⎜ x ⎟⎜ 0 ⎟⎜ 0⎟⎜1⎟⎝⎠⎝ 3 ⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎛0⎞⎛ −2 0 0 ⎞⎛ x1 ⎞⎛ 0 ⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟对于λ = 1 ，解方程组( E − A X = 0 ，即⎜ 0 −1 −1⎟⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟，得到特征向量 p3 = ⎜ −1⎟ . ⎜ 0 −1 −1⎟⎜ x ⎟⎜ 0 ⎟⎜1⎟⎝⎠⎝ 3 ⎠⎝⎠⎝⎠⎛0⎞⎛0⎞ 1 ⎜⎟ 1 ⎜⎟标准正交化，得 e1 = p1 ， e2 = 1 ⎟，e3 = −1⎟ . 2⎜ 2⎜⎜1⎟⎜1⎟⎝⎠⎝⎠⎛1 ⎜⎜0 令P =⎜⎜⎜0 ⎜⎝ 0 ⎞⎛1 ⎟ x ⎛ 1⎞⎜ 1 ⎟ − ⎜⎟⎜0 2 2 ⎟，则所求正交变换为 X = PY 即⎜ x2 ⎟ = ⎜⎟⎜x ⎟⎜ 1 1 ⎟⎝ 3 ⎠⎜0 ⎜⎟ 2 2 ⎠⎝ 0 1 0 1 2 1 2 0 ⎞⎟ 1 ⎟⎛ y1 ⎞ − ⎜⎟ 2 ⎟⎜ y2 ⎟ . ⎟⎟ 1 ⎟⎜⎝ y3 ⎠⎟ 2 ⎠天津科技大学线性代数自测题 5 参考答案 17一．填空题 1. 0 ； 2. 2 . 二．选择题 1. (C. 三．计算题⎛ 6 12 ⎞ λ − 6 −12 = (λ + 10(λ − 15 ， 1. 解：二次型 f 的矩阵为 A = ⎜由λE − A = 知特征值为λ1 = −10 ，⎟，−12 λ + 1 − 12 1 ⎝⎠ 2 λ2 = 15 ，故二次型 f 的标准形为f = −10 y12 + 15 y2 . ⎛3⎞⎛ −16 −12 ⎞⎛ x1 ⎞⎛ 0 ⎞⎜− 4⎟； p = = 对于λ = −10 ，解方程组(−10 E − A X = 0 ，即⎜，得到特征向量⎟⎜⎟⎜⎟ 1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟⎝ −12 −9 ⎠⎝ x2 ⎠⎝ 0 ⎠⎝⎠⎛4⎞⎛ 9 −12 ⎞⎛ x1 ⎞⎛ 0 ⎞⎜ 3⎟. = p = 对于λ = 15 ，解方程组(15 E − A X = 0 ，即⎜，得到特征向量⎟⎜⎟⎜⎟ 2 ⎜ x − 12 16 0 ⎜1⎟⎟⎝⎠⎝ 2 ⎠⎝⎠⎝⎠⎛3 ⎜− 5 − 3 4 1⎛⎞ 1⎛⎞单位化，得 e1 = ⎜⎟， e2 = ⎜⎟ . 令 P = ⎜ 5⎝ 4 ⎠ 5 ⎝3⎠⎜ 4 ⎜⎝ 5 ⎛ 3 − ⎛ x1 ⎞⎜ 5 ⎜⎟=⎜⎝ x2 ⎠⎜ 4 ⎜⎝ 5 4⎞ 5⎟⎟，则所求正交变换为 X = PY 即 3⎟⎟ 5⎠ 4⎞⎛ −10 0 ⎞ 5 ⎟⎛ y1 ⎞ T ⎟⎜⎟，且P T AP = Λ = ⎜⎟，于是A = P Λ P ， 3 ⎟⎝ y2 ⎠⎝ 0 15 ⎠⎟ 5⎠ T 10 A10 = ( P Λ P ⎛ 3 ⎜−5 =P Λ10 P T = ⎜⎜ 4 ⎜⎝ 5 4⎞⎛ 3 − 10 ⎟⎛⎞ 0 ⎜ 5 5 ( −10 ⎟⎜⎜⎟ 3 ⎟⎜ 4 0 1510 ⎟⎠⎜⎟⎝⎜ 5⎠⎝ 5 4⎞ 10 10 12(1510 − 1010 ⎞ 5 ⎟ 1 ⎛ 9 × 10 + 16 × 15 ⎟= ⎜⎟. 3 ⎟25 ⎝ 12(1510 − 1010 16 × 1010 + 9 × 1510 ⎠⎟ 5⎠ 2. * (此题型不要求学生掌握5 −1 3 ⎛ 5 −1 3 ⎞⎜⎟解：(1二次型 f 的矩阵为 A = ⎜ −1 5 −3 ⎟，由 r ( A = 2 ，知 A = −1 5 −3 = 24(a − 3 = 0 ，故 a = 3 . ⎜ 3 −3 a ⎟ 3 −3 a ⎝⎠ λ −5 1 −3 (2 λ E − A = 1 λ −5 3 = λ (λ − 4(λ − 9 ，知特征值为λ1 = 0 ，λ2 = 4 ，λ3 = 9 ，−3 2 1 2 2 3 2 3 λ −3 2 2 故二次型f = 5 x + 5 x + 3x − 2 x1 x2 + 6 x1 x3 − 6 x2 x3 可经正交变换 X = PY 化为标准形为 f = 4 y2 + 9 y3 ，于是 2 2 曲面方程变为 4 y2 + 9 y3 = 1 .由于正交变换相当于坐标旋转，因此并不改变曲面的形状，从而所求曲面为椭圆柱面. 18。

线性代数(专) 天津大学网考复习题库及答案

解：
有无穷多解
同其中
3、求非齐次线性方程组的全部解（用其特解与导出组的基础解系表示）。
解：
有无穷多解
同解方程组为
特解为导出组的基础解系为，
全部解为其中
4、求非齐次线性方程组的全部解（用基础解系表示）。
解：
有无穷多解
同解方程组为
特解为导出组的基础解系为，
全部解为其中
（2）写出对应的二次型，并判定的正定性。
解：
（1）
对于解得，
已正交单位化
对于解得
单位化令则
（2）
正定从而正定
4、设求正交矩阵，使为对角形。
解：
对于解得，
已正交单位化
对于解得
单位化令则
七、1、设为阶方阵且满足，证明可逆。（证明略）
2、设阶方阵若，证明不可逆。（证明略）
极大无关组为
5、求向量组，，，的秩，并求出它的一个极大无关组。
解：
令
极大无关组为
6、求向量组，，，的秩，并求出它的一个极大无关组。
解：令
极大无关组为
五、解线性方程组
1、求齐次线性方程组的基础解系及通解。
解：
有无穷多解
同解方程组基础解系为
通解为其中
2、求齐次线性方程组的基础解系及通解。
A、 B、 C、或 D、
三、解矩阵方程
1、设，求矩阵，使得。
解：由，可逆
2、设，求矩阵，使得。
解：由，
可逆
3、设，求矩阵，使得
解：由，
可逆
4、设，求矩阵，使得。

2016-2017(2)线性代数检测题

天津科技大学线性代数检测题§1.1专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 行列式1221=______________，111123149=______________. 2. 行列式111n D ==_____________，2100032100430005=______________. 二．选择题1. 线性方程组238521x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为( ).(A) 1, 2x y ==； (B) 1, 2x y =-=； (C) 1, 2x y ==-； (D) 1, 2x y =-=-.三．计算题1. 利用对角线法则计算行列式112150205x x x ---.天津科技大学线性代数检测题§1.2~1.3专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设三阶行列式111213212223313233a a a a a a D a a a =，则行列式111213313233212223a a a a a a a a a =___________. 2. 已知11123033x x=，则实数x =____________________.3. 设三阶行列式1230450D λλ=-，则元素2的代数余子式12A 的值为________.4. 设,a b 均为实数，则当_________________时，行列式000101a b b a -=--.5. 4阶行列式的221111220000000a b a b c d c d 值为_________________________. 二．选择题1. 下列关于行列式的计算过程，正确的是（）.(A) 利用对角线法则，有15261234567873840000000a a a a a a a a a a a a a a a a =-； (B) 2112 2 123021032r r r r ----； (C) 12 2 11012121r r -；(D)34342323001001100 000100100000000000100000000aa a r r c c a a a a a a r r c c a a a↔↔↔↔.三．计算题计算下列行列式的值：(1)120201174724101820-；(2)1111123413610141020.(3)2321010230130101；(4)1234234134124123；(5)3521110513132413------；(6)11111111231401323201320121212121---+.专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 线性方程组0()0ax y a x ay +=⎧∈⎨-+=⎩R 的解为x =___________，y =___________. 二．选择题1. 设齐次线性方程组10 (1,2,,)nij j j a x i n ===∑的系数行列式为D ，则0D ≠是该方程组仅有零解的（）.(A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充分必要条件； (D) 既非充分也非必要条件.三．计算题1. 问a 、b 满足何条件时，齐次线性方程组1231231230020ax x x x bx x x bx x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解？2. 利用克莱姆法则求解线性方程组230201x y z y z z ++=⎧⎪+=⎨⎪=⎩.专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 当x 满足条件__________________时，行列式3140010xx x≠.2. 行列式的123423413412123234341412++++++++值为__________________.3. 设行列式102141022101521xD -=--，则元素x 的代数余子式的值是____________. 4. 已知三阶行列式D 的第2行元素依次为1, 1, 1-，它们的余子式依次是2, 8, 5-，则D =_________.5. 设行列式1112131421222324313233344244a a a a a a a a D a a a a a a =，ij A 为元素ij a 的代数余子式，则42224424a A a A += __________.6. 4阶行列式5200210000120011=-____________. 7. 行列式=ab acaebd cdde bf cf ef---______________________.二．计算题1.计算三阶行列式：2213 51313xx x -+；2.计算四阶行列式：(1) 1111111111111111------；(2)1234134114211123；(3) 3112513420111533------；(4)10010101010a aaaa.天津科技大学线性代数检测题§2.1~2.2专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设112110x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则矩阵x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭________. 2. 设2142⎛⎫= ⎪--⎝⎭A ，3162-⎛⎫= ⎪-⎝⎭B ，则=AB _______，=BA ________，2=A ________. 3. 设200010003⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A ，n 为正整数，则n =A _____________. 4. 设()324235A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，则5A =.5. 设A 、B 为n 阶方阵，则22()()-=+-A B A B A B 的充分必要条件是____________.二．选择题1. 设矩阵012121⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，则 ( ).(A) 0242121⎛⎫= ⎪⎝⎭A ； (B)012111⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ； (C) 0242(2)242--⎛⎫-= ⎪---⎝⎭A A ； (D) 1110210021-⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A .2. 设A 、B 为两个矩阵，则下列说法正确的是（）.(A) 若=AB O ，则=A O 或=B O ； (B) 若A 、B 为同型矩阵，则=AB BA ； (C) 若=AB O ，=BA O ，则=AB BA ； (D) 若k =A O ，则0k =或=A O . 3. 设A 、B 、C 均为n 阶方阵，下列说法不正确的是( ). (A) ()()++=++A B C A B C ； (B) ()()=AB C A BC ； (C) ()+=+A B C AC BC ；(D) =AB AC ，≠A O ，则=B C .4. 设1243⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，12x y ⎛⎫=⎪⎝⎭B ，则A 、B 相乘可交换的充要条件是( ).(A) 1x y =+； (B) 1x y =-； (C) x y =； (D) 2x y =.三．计算题1. 计算矩阵的乘积：100223101414010⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭.2. 设2()37f x x x =--，1121⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ，求()f A .四．证明题若2=A A ，则称A 为幂等矩阵.证明：若A 、B 为幂等矩阵，则+A B 为幂等矩阵的充要条件是=-AB BA .天津科技大学线性代数检测题§2.3专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设矩阵101210-⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，101112-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，则2T+=A B ______________.2. 设方阵100210021⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则行列式2=-A ________.二．选择题1. 设A 、B 为两个n 阶方阵，则（）.(A) =AB BA ；(B) T T T T +=+A B B A ； (C) T T T T =A B B A ； (D) ()T T T =A B AB . 2. 设A 、B 为两个n 阶反对称矩阵，则下列说法错误的是（）. (A) +A B 是反对称矩阵； (B) k A 是反对称矩阵；(C) T A 是反对称矩阵； (D) AB 是反对称矩阵的充分必要条件是=AB BA .三．计算题已知101214325-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，123130052-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭B ，求：(1) T AB ；(2) 3-A .天津科技大学线性代数检测题§2.4~2.5一．填空题1. 设三阶方阵≠A O ，13024351t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B 且=AB O ，则常数t =______________. 2. 设*A 是三阶矩阵A 的伴随矩阵，已知4=A ，则12*=A ____________. 3. 设1=A ，A 的伴随矩阵为*A ，则()1T -=A _____________.二．选择题1. 设A 为二阶方阵，且2=A ，则1(3)-=A （）. (A)118； (B) 92； (C) 32； (D) 16. 2. 设A 、B 为两个n 阶方阵，其中A 为可逆矩阵，则=B O 是=AB O 的（）. (A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件； (D) 既非充分也非必要条件.三．计算题1. 求下列方阵的逆矩阵：(1) cos sin sin cos αααα⎛⎫⎪-⎝⎭；(2) 001423110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭；(3) 121342541-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭.2. 求解矩阵方程=AXB C ，其中1111-⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，100401230⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭B ，012123⎛⎫= ⎪⎝⎭C .四．证明题设方阵A 满足223+-=A A E O ，证明4+A E 可逆，并求其逆矩阵.天津科技大学线性代数检测题§2.6专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设A 为n 阶奇异矩阵，→A B ，则行列式=B _____________.2. 设A 为n 阶方阵，det()D =A ，(,)i j E 为n 阶交换矩阵，则det((,))i j =AE _________.二．选择题1. 矩阵150102520062⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭的标准形为（）. (A) 100002000060⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (B)100002000002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (C) 100001000001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (D) 100001000010⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 三．计算题1. 用初等变换方法求下列矩阵的逆矩阵(先判断是否可逆，若可逆，求出其逆矩阵)：(1) 121342541-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ； (2) 2311351511⎛⎫⎪=--- ⎪ ⎪⎝⎭B ；(3) 102020103⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭C .2. 用初等变换方法求解矩阵方程=AX B ，其中121342541-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，012123T⎛⎫= ⎪⎝⎭B .天津科技大学线性代数检测题§2.7专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设A 为n 阶满秩矩阵，则A 的标准形矩阵为____________.2. 设矩阵131********t --⎛⎫⎪=⎪ ⎪--⎝⎭A 的秩为2，则t =____________. 二．选择题1. 设A 为m s ⨯阶矩阵，α为s 维非零列向量，0为s 维零列向量，()=B α0，则()r AB ( ).(A) 0=； (B) 1=； (C) 2=； (D) 2<. 2. 设4阶矩阵A 的秩为2，则*()r =A （）. (A) 0； (B) 1； (C) 2； (D) 3. 3. 设A 是任意矩阵，则（）.(A) 若A 的所有1r +阶子式全为零，则()r r =A ； (B) 若()m n r n ⨯=A ，则m n ≥；(C) 若A 是n 阶满秩方阵，则22()(())r r =A A ； (D) 若()r r =A ，则没有等于0的1r -阶子式.4. 设A 、B 均为n 阶非零方阵，且=AB O ，则A 、B 的秩( ). (A) 必有一个等于零；(B) 都小于n ；(C) 有一个小于n ；(D) 都等于n .三．计算题1. 用初等变换方法求矩阵121363242-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A 的秩.2.求矩阵12321436322101450327--⎛⎫⎪-⎪=⎪-⎪⎝⎭A的秩.3.讨论λ的取值范围，确定矩阵11221511061λλ-⎛⎫⎪=-⎪⎪-⎝⎭A的秩.天津科技大学线性代数第二章自测题专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设矩阵151011-⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ，120150-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B ，则2T-=A B ______________.2. 设A 、B 、C 均为n 阶方阵，且=ABC E ，则2()T T -=E BC A ________.3. 设α、β为n 维列向量，则n 阶矩阵T =A αβ的秩为()r =A ____________.二．选择题1. 关于方阵A 、B ，下列说法错误的是( ).(A) 方程组=Ax 0有非零解的充分必要条件是0=A ； (B) 若=A B ，则=A B ； (C) 若=AB E ，则A 可逆； (D) 若2-=A A E ，则-A E 可逆. 2. 设A 为n 阶方阵，2=A A ，则下列结论正确的是( ).(A) =A O ； (B) =A E ； (C) 若A 不可逆，则=A O ； (D) 若A 可逆，则=A E .3. 设矩阵111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，010100001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，100010101⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Q ，则=PAQ ( ).(A) 212322231113121331333233a a a a a a a a a a a a +⎛⎫⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭； (B) 121113222123321231113313a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪+++⎝⎭； (C) 212223111213312132223323a a a a a a a aa a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪+++⎝⎭； (D) 212221231112111331323133a a a a a a a a a a a a +⎛⎫⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭. 4. 设A 是43⨯矩阵，且()2r =A 而102020103⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B ，则AB 的秩为( ). (A) 0； (B) 1； (C) 2； (D) 3.三．计算题1. 求矩阵021112111-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪---⎝⎭A 的逆矩阵.2. 设矩阵301110014⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，矩阵X 满足2=+AX A X ，求X .四．证明题1. 设A 为n 阶非奇异矩阵，证明：(1) 1n -*=A A ；(2) ()2 (2)n n *-*=≥A A A .2. 证明m n ⨯矩阵A 的秩()1r ≤A 的充分必要条件是存在矩阵()12,,,Tm b b b =B 和()12,,,n c c c =C ，使得=A BC .天津科技大学线性代数检测题§3.1专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. n 元线性方程组=Ax b 无解的充分必要条件是______________________.2. n 元线性方程组=Ax b 有无穷多组解的充分必要条件是______________________.3. n 元齐次线性方程组=Ax 0仅有零解的充分必要条件是______________________.4. 若方程组12312112323120x x a x a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭无解，则a =_________.二．选择题1. 线性方程组 0420 0ax y z w x ay z w ax y z w +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩( ).(A) 无解； (B) 仅有零解； (C) 有无穷多组解； (D) 解的情况依a 的值而定. 2. 设线性方程组=Ax b 的增广矩阵为()=A A b ，若A 在初等行变换的过程中有一行变为()001，则该方程组（）.(A) 可能有唯一解； (B) 可能有无穷多组解； (C) 无解； (D) 解的情况不能确定.三．计算题1. 求解非齐次线性方程组1232312312330 202 2x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪-=⎪⎨--+=⎪⎪-+=⎩；2. 求解非齐次线性方程组132341234 4 82510 2x x x x x x x x x +=⎧⎪-+=-⎨⎪+-+=-⎩.3. 求解齐次线性方程组123123202470x x x x x x +-=⎧⎨++=⎩.4. 讨论λ满足什么条件时，方程组12312312300x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩只有零解.天津科技大学线性代数检测题§3.2专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设n 维列向量()1100T=ε，()2010T=ε，…，()001Tn =ε，则向量()12Tn a a a =α可由向量组12,,,n εεε线性表示为=α________________.二．选择题1. 向量b 可由矩阵A 的列向量组线性表示的充要条件是线性方程组=Ax b ( ). (A) 有解； (B) 有唯一解； (C) 有无穷多解； (D) 无解.2. 设α、β为n 维列向量，k 是常数，则下列说法不正确的是( ).(A) +=+ααββ； (B)()k k k +=+αβαβ； (C)T T =αββα； (D) T T =αββα.三．计算题下列各题中，向量β能否由向量组123,,ααα线性表示？若能表示，则写出其线性表示式. 1. ()675T=-β，()1111T=-α，()2101T=-α，()3132T=-α.2. ()0,4,2,5=β，()11,2,3,1=α，()22,3,1,2=α，()33,1,2,2=-α.天津科技大学线性代数检测题§3.3专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 若矩阵A 的列向量组线性相关，则齐次线性方程组=Ax 0解的情况是___________.2. 设12,,,m ααα线性无关，则齐次线性方程组1122m m x x x +++=ααα0的通解为=x______________. 3. 设3阶矩阵()123=A ααα，且0≠A ，则向量组123, , 110101⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα线性______.4. 若向量组(1, 1, 2), (3, 2, 0), (1, 4, )λ-线性相关，则λ=________________.5. 设向量组12,αα线性无关，11=βα，212=+βαα，且1122k k +=0ββ，则12, k k 应满足____________________.二．选择题1. 关于向量组的线性相关性，下列说法正确的是（）. (A) 如果12,,,m ααα线性相关，则向量组中每一个向量都可以用其余1m -个向量线性表示；(B) 如果n 个n 维向量线性相关，那么它们所构成的方阵行列式等于零； (C) 如果12,,,m ααα线性相关，则存在一组全不为零的数12,,,m k k k ，使得1122m m k k k +++=ααα0；(D) 如果n 维向量12,,,m ααα线性无关，则必存在n 维向量β，使得12,,,,m αααβ线性无关.2. 下列向量组中，线性无关的是（）.(A) 104203, , 302401⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (B) 121, , 135-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (C)111011, , 00111a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (D) ()()(), , 1,0,1,22,0,2,41,1,1,1.三．计算题判断向量组()11,3,1,4=-α，()22,1,2,5=-α，()34,9,8,7=-α的线性相关性.四．证明题1. 设向量组123, , ααα线性无关，证明向量组123++ααα，1232++ααα，23+αα也线性无关.2. 设n 维列向量组12,,,s ααα线性无关，A 为n 阶可逆矩阵，证明向量组12,,,s A αA αA α也线性无关.天津科技大学线性代数检测题§3.4~3.5专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设列向量组12,,,m ααα的秩为3，矩阵()121m -=A ααα，则矩阵A 的秩()r A 为 ______________. 2. 设向量m α能由121,,,m -ααα线性表示，且表示法唯一，则向量组12,,,m ααα的秩为___________.3. 向量空间2323{(0,,,,)|,,,}n n x x x x x x ==∈V R x ，则dim()=V ___________.4. 设非零向量,αβ线性相关，向量空间{},λμλμ==+∈V R x αβ，则dim()=V ___________.二．选择题1. 设V 是向量空间，,∈V x y ，则（）. (A) {|}k k =+∈W R x y 必构成V 的一个子空间； (B) {()|}k k =+∈W R x y 必构成V 的一个子空间； (C) 2{|}k k =+∈W R x y 必构成V 的一个子空间； (D) 2{|}k k =∈W R x 必构成V 的一个子空间.三．计算题1. 求向量组1(1,1,2,4)=-α，2(0,3,1,2)=α，3(3,0,7,14)=α， 4(1,1,2,0)=-α，5(2,1,5,6)=α的秩和一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示.2. 求向量组1142⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭α，2124⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α，3251⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭α，4452⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭α，5544⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭α的秩和一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示.3. 已知向量组1(1,1,1,3)T =α，2(1,3,5,1)T =--α，3(2,6,10,)T a =--α，4(4,1,6,10)T a =+α线性相关，求常数a .4. 判断向量组()11,3,5,1=-α，()22,1,3,4=--α，()35,1,1,7=-α，()43,3,1,1=--α的线性相关性，求它的秩和一个极大无关组，并把其余向量表示为该极大无关组的线性组合.天津科技大学线性代数检测题§3.6专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设n 元齐次线性方程组=Ax 0的解空间的维数是d ，则()r =A ___________.2. 设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零，且()1r n =-A ，则齐次线性方程组=Ax 0的通解为___________________________________.3. 若三阶方阵A 的秩为2，, ξη是非齐次线性方程组=Ax b 的两个不同的解，则该方程组的通解为_________________________________.二．选择题1. 齐次线性方程组1323545 2 0 2 0 0x x x x x x x +=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩的基础解系是( ).(A) ()(), 2,2,1,0,00,1,0,1,1TT---； (B) ()()122,2,1,0,00,1,0,1,1TTk k +---； (C) ()(), 2,2,1,0,00,1,0,1,1TT-； (D) ()(), 2,2,0,0,00,1,0,1,0TT---.2. 设齐次线性方程组=Ax 0的解空间是零空间，则对应的非齐次线性方程组（）. (A) 无解或有唯一解； (B) 必有解； (C) 无解或有无穷多解； (D) 必有唯一解.三．计算题1. 求齐次线性方程组12341234123432 5 403 4 503514130x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+-+=⎩的一个基础解系及通解.2. 应用线性方程组解的结构理论，求线性方程组12341234 24522454x x x x x x x x -++=⎧⎨-+--=-⎩的通解.3. 求非齐次线性方程组132******** 43 133x x x x x x x x x x x +=⎧⎪-+=-⎪⎨++=⎪⎪-++=-⎩的通解.四．证明题设12, αα是某个齐次线性方程组的基础解系，证明12+αα，122-αα也是该齐次线性方程组的基础解系.天津科技大学线性代数检测题§3.7专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设非零向量12,,,s ααα两两正交，则齐次线性方程组1122s s x x x +++=ααα0的解为=x __________.2. 设,αβ为两个n 维单位向量，则它们的夹角余弦cos θ=______________.3. n 维向量组12,,,n ααα为n R 的标准正交基的充分必要条件是对于,1,2,,i j n ∀=，有(),i j =αα_____________________.4. 设向量空间{(,0,)},a b a b ==∈V R x ，写出V 的一个标准正交基：____________________________.5. 设向量(2,5,4)-与向量(1,1,)t t -正交，则t =___________.二．选择题1. 设()12n =A ααα为n 阶正交矩阵，则 ( ).(A) 0 (,1,2,,)T i j i j s ==αα；(B) (,1,2,,)T j i i j s ==ααO ；(C) det()1=A ；(D) 1T -=A A .2. 设x 为n 维单位列向量，矩阵2T =-H E xx ，则下列说法错误的是（）. (A) 1-=H H ； (B) T =H H ； (C) 2=H H ； (D) 1T -=H H .3. 下列所给矩阵中为正交矩阵的是（）.(A) 111231112211132⎛⎫-⎪ ⎪⎪-⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭；(B) 100010001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；(C) 0211⎫-⎪⎪⎪⎪-⎭；(D)111011001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.三．计算题1. 用Schmidt 正交化方法将向量组()10,1,1=α，()21,0,1=α，()31,1,0=α规范正交化.2. 设1210-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭p ，2201⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭p ，用Schmidt 正交化方法求一个与12, p p 等价的标准正交向量组.3. 已知1T⎫=⎪⎭α，2T⎫=⎪⎭α，3T⎛= ⎝α，4T⎛= ⎝α是4R 的一组标准正交基，试将向量()1,2,3,4T =β表示为这组基的线性组合.天津科技大学线性代数第三章自测题专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设向量1(1,2,1)=-α，2(2,5,3)=α，3(1,3,4)=α，312(32)=+-βααα，则=β ____________.2. 设方程组=Ax β有解，12,,,n ααα为A 的列向量组，则向量组12,,,,n αααβ线性________.(填“相关”或“无关”，3、4题同)3. 设方程组=Ax β有唯一解，则A 的列向量组线性________.4. 设由m 个方程组成的方程组=Ax 0有非零解，12,,,n ααα为A 的列向量组，β为任意m 维向量，则向量组12,,,,n αααβ线性___________.5. 已知向量组(1,2,)c =α，(2,,1)c =β，(7,4,1)=-γ线性无关，则数c 的取值范围是_______________.二．选择题1. n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤ααα线性无关的充要条件是 ( ).(A) 12,,,s ααα中任何两个向量都线性无关；(B) 存在不全为零的s 个数12,,,s k k k ，使得1122s s k k k +++≠ααα0；(C) 12,,,s ααα中任何一个向量都不能用其余向量线性表示； (D) 12,,,s ααα中存在一个向量不能用其余向量线性表示.2. 向量组12,,,s ααα线性相关的充要条件是 ( ).(A) 12,,,s ααα中有一个零向量；(B) 12,,,s ααα中任意两个向量的分量对应成比例； (C) 12,,,s ααα中至少有一个向量是其余向量的线性组合； (D) 12,,,s ααα中任意一个向量都是其余向量的线性组合.3. 若向量组,,αβγ线性无关，向量组,,αβδ线性相关，则( ).(A) α必可由向量组,,βγδ线性表示； (B) β必不可由向量组,,αγδ线性表示； (C) δ必可由向量组,,αβγ线性表示； (D) δ必不可由向量组,,αβγ线性表示.三．计算题1. 求线性方程组12341234220220x x x x x x x x +++=⎧⎨++-=⎩的基础解系，并将该基础解系标准正交化.2. 设()11,2,1T=-α，()22,2,1T=α，()31,1,3T=-α，验证123,,ααα是3R 的一个基，并求向量(1,0,1)T =β关于这个基的表达式.四．证明题设η是非齐次线性方程组=Ax b 的一个解，12,,,n r -ξξξ是对应的齐次线性方程组的一个基础解系. 证明：12,,,,n r -ηξξξ线性无关.天津科技大学线性代数检测题§4.1专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 矩阵135022003-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征值为_____________. 2. 设n 阶方阵A 满足2=A E ，则A 的所有可能的特征值是______________.3. 设3阶矩阵A 的特征值为0、1、2，则矩阵2(2)-A E 的特征值为_______________.二．选择题1. 设A 为n 阶方阵，则 ( ).(A) A 的全部特征向量构成向量空间； (B) A 有n 个线性无关的特征向量；(C) A 的全部特征值的和为tr()A ； (D) A 的全部特征值的积为tr()A .2. 矩阵11113111b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征值可能是（）. (A) 1，4，0； (B) 1，3，0； (C) 2，4，0； (D) 2，4，1-.三．计算题1. 求矩阵001010100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征值与特征向量.2.求矩阵211020413-⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭A的特征值和特征向量.3.设A是n阶方阵，111,,,242nλ=是A的n个特征值，求行列式13--A E的值.天津科技大学线性代数检测题§4.2专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设n 阶方阵A 有个特征值0，1，2，…，1n -，且方阵B 相似于A ，则=+E B _______. 2. 设方阵A 相似于数量矩阵k E ，则=A _______________.3. 对于n 阶矩阵A ，具有n 个不同的特征值是A 可以对角化的___________条件，具有n 个线性无关的特征向量是A 可以对角化的___________条件.4. 设矩阵11124233a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A 与20002000b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B 相似，则a =_______，b =_______.二．选择题1. 与矩阵1203⎛⎫= ⎪⎝⎭A 不相似的矩阵是（）. (A) 1023⎛⎫ ⎪⎝⎭； (B) 3501⎛⎫ ⎪⎝⎭； (C) 1133⎛⎫ ⎪⎝⎭； (D) 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭. 2. 设A 、B 、C 为n 阶方阵，~A B ，~B C ，则A 、C 的关系不正确的是( ).(A) ~A C ； (B) →A C ； (C) =C A ； (D) =A C .三．证明题1. 设A 为3阶方阵，如果矩阵-E A 、3-E A 、+E A 均不可逆，证明A 可以对角化.2. 设A 、B 为方阵，A 可逆，证明~AB BA .四．计算题1.设121000000-⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A，求可逆矩阵P，使得1-P AP成为对角矩阵.2.设3113-⎛⎫= ⎪-⎝⎭A，求可逆矩阵P，使得1-P AP成为对角矩阵.天津科技大学线性代数检测题§4.3专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设λ为n 阶实对称矩阵A 的k 重特征值，则()r λ-=E A __________.2. n 阶实对称矩阵的线性无关的特征向量的个数为_______________.3. 设A 为n 阶实对称矩阵，12, p p 分别是矩阵A 属于不同特征值12, λλ的特征向量，则内积12(, )=p p __________.二．选择题1. 设A 为n 阶实对称正交矩阵，且1为A 的2重特征值，则与A 相似的一个对角矩阵为（）.(A) 1111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭； (B) 1100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (C) 1111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭； (D) 条件不足，不能确定上述矩阵是否与A 相似.三．计算题1. 设矩阵1331⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，求正交矩阵P ，使得1-P AP 为对角矩阵.2.设1111-⎛⎫= ⎪-⎝⎭A，求矩阵2012()ϕ=A A.天津科技大学线性代数第四章自测题专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 若方阵A 有一个特征值是1，则=-E A ___________.2. 已知4阶矩阵~A B ，A 的特征值为2、3、4、5，E 为4阶单位矩阵，则=-B E ________.二．选择题1. 设2λ=是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵1213-⎛⎫ ⎪⎝⎭A 有一个特征值等于 ( ). (A) 43； (B) 34； (C) 12； (D) 14. 2. 设001010100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，~A B ，则()r -=A E ( ).(A) 3； (B) 2； (C) 1； (D) 0.三．证明题1. 设x 、y 是矩阵A 属于不同特征值1λ、2λ的特征向量，证明a b +x y (a 、b 为常数，且0ab ≠)必不是A 的特征向量.2. 设A 是n 阶方阵，证明：(1) 若k =A O (k 是正整数)，则A 的特征值全为0；(2) 若k =A O (k 是正整数)，但≠A O ，则A 不能相似于对角矩阵.四．计算题1. 设矩阵2125312a b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭A 有一个特征向量111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭η，求a 、b 和η对应的特征值λ.2. 设204060402⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求正交矩阵P ，使得1-P AP 成为对角矩阵.。

天津科技大学线性代数检测题答案（最新）

1. 3 -， 2 ；2. (1)2(1)n n --， 120 .二．选择题1. (A).三．计算题1. 解：原式232(1)(5)4(5)(5)(6)(5)1130x x x x x x x x x x =------=--=-+.天津科技大学线性代数检测题§1.2~1.3参考答案一．填空题1. D -；2. 2或3 ；3. 20 -；4. 0 a b ==；5. 11112222()()a d b c a d b c --.二．选择题1. (D).三．计算题(1) 解：原式3132414212021202 4011701171801240033102022200006r r r r r r r r -+=----+----； (2) 解：111111111111111112340123012301231136100259001300131410200391903100001====. (3) 解：24243223212321232102000122(1)(1)430130133013310101010101r r ++-=-=-=； (4) 解：将第二、三、四列加到第一列上，得原式10234102341131131034101131022210044104120222111004101230111---===⨯--=⨯----------10(4)(4)160=⨯-⨯-=； (5) 解：1212323242352108216382161602021105110541241213130412617205224130617r rr r r rr r r r --------=----+--+---------1620(8040)4025-=-=--+=-.(6) 解：1111111111112314013222225=0320132013201212121212121---+性质.1. 0 ， 0 .二．选择题1. (C).三．计算题1. 解：齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零，即有1111110(1)(1)111101211211210a ab a a b b a b b b a b -===-=------故1a =或0b =.2. 解：1230121001D ==，10230121101D ==，21030022011D ==-，31200101001D ==故1x =，2y =-，1z =.天津科技大学线性代数第一章自测题参考答案一．填空题1. 02x x ≠≠且；2. 0；3. 10-；4. 5-；5. 0；6. 3；7. 4abcdef .二．计算题1.222213213513306(2)(6)(1)(2)(6)13200x x x x x x x x x x x x -=-=+--=-+-++-. 2. (1)11111111111102228111100221111002-==-----. (2)12341234123413410113011312142102130033112301110004--===-------. (3) 原式31128461642804616221101020112051627202516027---------==--=-=-----40=.(4)31010100100110(1)1011010010a aa a a a a a a a a a a a=+=+或221223310010010110101(1)(1)10101011010010a a a a a a a a a a a a a a+++--=-=+拉普拉斯定理.天津科技大学线性代数检测题§2.1~2.2参考答案一．填空题1. 1 1⎛⎫ ⎪⎝⎭；2. 0000⎛⎫ ⎪⎝⎭或 O ，1052010⎛⎫ ⎪--⎝⎭，0000⎛⎫ ⎪⎝⎭或 O ；3. 200 010003nn ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；4. 1269 846201015--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭； 5.=AB BA .二．选择题1. (C)；2. (D)；3. (D)；4. (B).三．计算题1. 解：100223032101414541010⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭. 2. 解：2111130212103⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，2()37f =--A E A A 1011307737012103147--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.四．证明题证：由2=A A ，2=B B ，知222()+=+++=+++A B A B AB BA A B AB BA . 故2()+=+A B A B 的充要条件是+=AB BA O ，即=-AB BA .天津科技大学线性代数检测题§2.3参考答案一．填空题1. 111432-⎛⎫⎪⎝⎭； 2. 8 -.二．选择题1. (B)；2. (D).三．计算题1. 解：(1) 101110212214235121133253028920T -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭AB ； (2) 3101(3)27214270.3325-=-=-=--A A天津科技大学线性代数检测题§2.4~2.5参考答案一．填空题1. 1 2； 2. 2 ； 3. ()* TA .二．选择题1. (A)；2. (C)三．计算题1. 解：(1)cos sin 1sin cos αααα=--，*cos sin cos sin sin cos sin cos αααααααα--⎛⎫⎛⎫=⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，故 1cos sin cos sin sin cos sin cos αααααααα-⎛⎫⎛⎫=⎪⎪--⎝⎭⎝⎭. (2) 0016423110=-，*001312423314110600--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故 111100131226314233141126263110600100-⎛⎫-- ⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭. (3) 1212342541-=--，*121420342136154132142--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，故 1210121420113134213613222541321421671--⎛⎫--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝⎭.2. 解：2=A ，1111112-⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ，3=B ，1300120131230-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭B ，因此1157153113316---⎛⎫== ⎪-⎝⎭X A CB . （注：应先判断矩阵,A B 的可逆性，再得出11--=X A CB ）四．证明题证：由 223(4)(2)5=+-=+-+O A A E A E A E E ，知 1(4)(2)5⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭A E E A E ，故4+A E 可逆，且 11(4)(2)5-+=--A E A E .天津科技大学线性代数检测题§2.6参考答案一．填空题1. 0 ；2. D -.二．选择题1. (D).三．计算题1. 解：(1)()121100121100100210342 010021310021310|54100101465010011671---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E100210100210131020136101032200116710011671-⎛⎫-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪→→---- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭--⎝⎭，故A 可逆，且1210131.3221671--⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A(2)()2311000721102151100113 5 010026011026011|151100115110010721102---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→--- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭B E 151100102601173000122⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭，故B 不可逆. (3)()10210102100102100101000020 010020010|211103001005101001055⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭C E 321000551010*********55⎛⎫- ⎪⎪⎪→ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭，故C 可逆，且1604105010202C --⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭. 2. 解：()121011************ 120211102111|5412301462200155--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A B100101001002044010220015500155⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，故A 可逆，且1102255-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭X A B .天津科技大学线性代数检测题§2.7参考答案一．填空题1. n E ；2. 3 .二．选择题1. (D)；2. (A)；3. (B)；4. (B).三．计算题1. 解：对A 进行初等行变换化为行阶梯形，得121121363000242000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A ，故()1r =A .2. 解：对A 进行初等行变换化为行阶梯形，得 21314112321123214436320565622101405656550327010121212r r r r r r ----⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪---⎪ ⎪=- ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A 324234123210565620002000000r r r r r r --⎛⎫- ⎪-- ⎪=- ⎪⎪↔ ⎪⎝⎭ B 故()3r =A .3. 解：241121121212150122101212110610105101510c c λλλλλλλλλλ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫↔ ⎪ ⎪ ⎪=→---++-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭ A 1210121200393λλλλλ-⎛⎫ ⎪→+-- ⎪ ⎪--⎝⎭，从而当3λ≠时，()3r =A ；当3λ=时，()2r =A .天津科技大学线性代数第二章自测题参考答案一．填空题1. 359411⎛⎫ ⎪---⎝⎭； 2. E ； 3. 0或1 .二．选择题1. (B)；2. (D)；3. (A)；4. (C).三．计算题1. 解：由 135100112010222( )02 1 100111010222001011001011⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎪ ⎪→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭行A E ，故A 可逆，且 1135222111222011-⎛⎫--- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A .2. 由2=+AX A X ，得(2)-=A E X A . 再由() 101100301522110 010 110 4322 012001014223⎛⎫⎛--⎫⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭初等行变换A E A知2-A E 可逆，且1522(2)432223---⎛⎫⎪=-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭X A E A . 四．证明题1.证：由1*-=A A A ，故(1) 1111n n n ---*-====A A A A A A A A ；(2) ()()()()111211111nn -*-----***--==⋅=⋅=A A A A A A A A A A A A A(2n ≥).2. 证：“⇒”若()0r =A ，则=A O ，记100m ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ B ，()100n ⨯= C ，则显然=A BC ；若()1r =A ，则存在可逆矩阵P 、Q 使得()100100001000000m n ⨯⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ PAQ ，或()11101000--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A P Q ，记112100m b b b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B P ，()()112100n c c c -== C Q ，则=A BC . “⇐”由()1r ≤B ，知()()()1r r r =≤≤A BC B .天津科技大学线性代数检测题§3.1参考答案一．填空题1. ()(|) r r <A A b ；2. ()(|) r r n =<A A b ；3. () r n =A ；4. 1-.二．选择题1. (C)；2. (C).三．计算题1. 解：对增广矩阵施行初等行变换：3314243411113111311131113 3 3 0110011001100110(|)1120003300330011422112031400440000r r r r r r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪÷++----⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪--+-⎪ ⎪ ⎪⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A b 2313121001 010*********r r r r r r ⎛⎫+ ⎪⎪- ⎪⎪-⎝⎭()(|)3r r ==A A b ，故方程组有唯一解：111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x .2. 解：233132104081040810408 (|)0251100251100100011112015110005110r r r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭A b31341000155010004100125r r r ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭由()(|)34r r ==<A A b ，故方程组有无穷多解. 由 142344050125x x x x x ⎧+=⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎩ 得142344445 0125x x x x x xx ⎧=-⎪⎪=⎪⎨⎪=+⎪⎪=⎩，其中4x 为自由未知量，所以方程组的通解为40001250k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ，k ∈R .3. 解：对方程组的系数矩阵施行初等行变换，得121121120247009001--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=→→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A由()2r =A ，故方程组有非零解，由123200x x x +=⎧⎨=⎩知该方程组的通解为：210k -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x ，k ∈R .4. 解：对方程组的系数矩阵施行初等行变换，得11111111111111101001011111011001λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A 由方程组只有零解，故()3r =A ，从而1λ≠，即仅当1λ≠时方程组只有零解.天津科技大学线性代数检测题§3.2参考答案一．填空题1. 1122 n n a a a +++ εεε.二．选择题1. (A)；2. (D).三．计算题1. 解：()1231116111611161037014130141311250231100515---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααβ1116110310020141301010101001300130013--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→→---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故β能由向量组123,,ααα线性表示，且表示法唯一，其表示式为12323=-+βααα.2. 解：()1231230100123140101312200111225000TT T T⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αααβ行故β能由向量组123,,ααα线性表示，且表示法唯一，其表示式为123=+-βααα.天津科技大学线性代数检测题§3.3参考答案一．填空题1. 有非零解；2. 0；3. 无关；4. 4 -；5. 120k k ==.二．选择题1. (B)；2. (C).三．计算题解：由12412431901312800045700⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ，知()23r =<A ，故向量组123,,ααα线性相关. 四．证明题1. 证：设11232123323()(2)()k k k +++++++=αααααααα0，则12112321233()(2)()k k k k k k k k +++++++=ααα0由向量组123, , ααα线性无关，知12123123 0200k k k k k k k k +=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解方程组得1230k k k ===，故向量组123++ααα，1232++ααα，23+αα线性无关.2. 证：设1122s s k k k +++= A αAαAα0，则1122()s s k k k +++= A ααα0. 由A 为可逆矩阵，知11122s s k k k -+++== αααA 00. 再由12,,,s ααα线性无关，知120s k k k ==== ，即向量组12,,,s A αAαAα线性无关.天津科技大学线性代数检测题§3.4~3.5参考答案一．填空题1. 2或3 ；2. 1m -；3. 1n -；4. 1 .二．选择题1. (B).三．计算题1. 解：对()12345TT T T T =A ααααα进行初等行变换，得1031210312103011301103303011012172501101000114214060224200000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A 于是向量组的秩为3，它的一个极大无关组为124, , ααα，且有 3123=+ααα，5124=++αααα.2. 对()12345=A ααααα进行初等行变换，得31002112451124524255406311161010122412400051000012⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→----- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭A 于是向量组的秩为3，它的一个极大无关组为124, , ααα，且有 3123122=+ααα，512422=--+αααα.3. 解：对()1234=A αααα进行初等行变换，得11241124112413610243024315106061220028311004620007a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-----⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-+-+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A由于向量组线性相关，即()4r <A ，必有2a =.或由112411241124136102430243014(2)15106061220028311004620007a a a a a a a --------====-=------+-+--A 得2a =.4. 解：()1234125312531010311301240120531100010001147100000000TTT T --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪----⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα， 34r =<，故向量组线性相关，124, , ααα为一个极大无关组，并且3122=+ααα。

天津科技大学考试样题

数据结构考试样题一、填空题（每小题2分，共２０分）1.数据的逻辑结构包括集合结构、线性结构、。

2.对算法从时间和空间两方面进行度量，分别称为分析。

3.不带有头结点的单链表head为空的条件是。

4.对于栈只能在插入和删除元素。

5.深度为k的二叉树最多有个结点。

6.空格串是。

7.Hash技术关键是两个方面。

8.快速排序的平均时间复杂度为。

9.HEAD (TAIL (((a, (b, c))))= 。

10.已知一个图的邻接矩阵表示，计算第i个结点的入度的方法是。

二、单项选择题（每小题2分，共２０分）１．以下哪一个不是队列的基本运算（）？（A）从队尾插入一个新元素（B）从队列中删除第i个元素（C）判断一个队列是否为空（D）读取队头元素的值2．若进栈序列为１,２,３,４,假定进栈和出栈可以穿插进行，则可能的出栈序列是（）。

（A）２，４，１，３（B）３，１，４，２（C）３，４，１，２（D）１，２，３，４3．有64个结点的完全二叉树的深度为（）（根的层次为1）。

（A）8 （B）7 （C）6 （D）54．串是一种特殊的线性表，其特殊性体现在（）。

（A）可以顺序存储（B）数据元素是一个字符（C）可以链接存储（D）数据元素可以是多个字符5．链表不具有的优点是（）。

（A）可随机访问任一元素（B）插入删除不需要移动元素（C）不必事先估计存储空间（D）所需空间与线性表长度成正比6．对有18个元素的有序表作二分查找，则查找A[3]的比较序列的下标依次为( )。

(A) 1，2，3 (B) 9，5，2，3 (C) 9，5，3 (D) 9，4，2，37．对矩阵压缩存储是为了( )。

(A) 方便运算 (B) 节省存储空间 (C) 方便存储 (D) 提高运算速度8．快速排序属于（）。

(A) 插入排序 (B)交换排序 (C)归并排序 (D)选择排序9．设矩阵A{1..n,1..n]是一个对称矩阵，为了节省存储，只将其下三角部分(i>=j),按行序存放在一维数组B[1..n(n-1)/2]中，对下三角部分中任一元素aij在一维数组B的下标位置k的值( )。

线性代数期末试卷及解析(4套全)2019科大

线性代数期末试卷（一）一、填空题（每小题3分）（4）设12243311t -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，B 为3阶非零矩阵，=AB 0，则t =_________.解：3-.若||0≠A ，则A 可逆，由=AB 0知，=B 0，与B 为非零矩阵矛盾，故有||0=A . 122||0811(8)77117(3)077t t t -==-=-⋅+⋅=+-A 行，所以 3t =-.二、选择题（每小题3分）（4）设111122232333,,a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα，则三条直线1110a x b y c ++=2220a x b y c ++= （其中220,1,2,3i i a b i +≠=）3330a x b y c ++=交于一点的充要条件是（A ）123,,ααα线性相关；（B ）123,,ααα线性无关；（C ）秩123(,,)r =ααα秩12(,)r αα；（D ）123,,ααα线性相关，12,αα线性无关. 解：（D ）正确.11221233(,)a b a b a b ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭A αα，111222123333(,,)a b c a b c a b c -⎛⎫ ⎪=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ααα 三条直线交于一点的充要条件是方程组3x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭A α有唯一解，当且仅当()()r r =A A ，且r n =时成立，即()()2r r ==A A ，这说明12,αα线性无关，123,,-ααα线性相关，也就是123,,ααα线性相关，12,αα线性无关，故选（D ）.仅123,,ααα线性相关，不足以保证()()r r =A A ，可能无解，故（A ）不对. 123,,ααα线性无关，()2()3r r =<=A A ，无解，（B ）不对.当12312(,,)(,)r r =ααααα，说明方程组有解，但无法确保解唯一，故（C ）不对.七、（本题共2小题，第（1）题5分，第（2）题6分，满分11分）（1）设B 是秩为2的54⨯的矩阵，T T12(1,1,2,3),(1,2,4,1),==--αα T 3(5,1,8,9)=--α是齐次线性方程组=Bx 0的解向量，求x =B 0的解空间的一个标准正交基.解：因秩()2r =B ，故解空间的维数为422-=. 又 12,αα线性无关，故12,αα是解空间的基. 取 T11(1,1,2,3)==βα，2122111(,)(,)=-αββαβββT T 1(1,1,4,1)(1,1,2,3)3=---T 4210(,,,2)333=--，故T T 122,3),2,1,5,3)==--εε 即是所求的一个标准正交基.（2）已知111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ是矩阵2125312a b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭A 的一个特征向量.（i ）试确定参数,a b 及特征向量ξ所对应的特征值；（ii ）问A 是否相似于对角阵？说明理由. 解：（i ）由2121()5310.121a b --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-=---= ⎪⎪ ⎪⎪-+-⎝⎭⎝⎭I A ξλλλλ即 2120,530,120,a b -++=⎧⎪-+-+=⎨⎪---=⎩λλλ解得 3,0,1a b =-==-λ.（ii ）由3212212533,||533(1),102102---⎛⎫⎪=--=-+-=+ ⎪ ⎪--+⎝⎭A I A λλλλλ 知1=-λ是A 的三重特征值.但秩312()5232101r r --⎛⎫⎪--=--= ⎪ ⎪⎝⎭I A ，从而1=-λ对应的线性无关特征向量只有一个，故A 不能相似于对角阵.八、（本题满分5分）设A 是n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为B . （1）证明B 可逆；（2）求1-AB .解（1）因||0≠A 及||||0=-≠B A ，故B 可逆.（2）记ij E 是由n 阶单位矩阵的第i 行和第j 行对换后所得到的初等矩阵，则ij =B E A . 因而 11111()ij ij ij ij -----====ABA E A AA E E E .线性代数期末试卷（二）试卷（二）一、填空题（每小题3分）（5）已知向量组123(1,2,1,1),(2,0,,0),(0,4,5,2)t =-==-ααα的秩为2，则t =__________. 解： 3 .13212111211045204522000422t t --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭行ααα121104520030t -⎛⎫ ⎪−−→-- ⎪ ⎪-⎝⎭行由向量组123,,ααα秩为2，知3t =.三、（6）（本题满分5分）已知111011001-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，且2-=A AB I ，其中I 是三阶单位矩阵，求矩阵B .解：由2()-=-=A AB A A B I ，及||10=-≠A ，知1--=A B A ，即 1-=-B A A ，又 1112011001---⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A .从而 111112021011011000001001000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭B .四、（本题满分8分）λ取可值时，方程组12312312321,2,4551x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪=-=-⎩λλ无解，有唯一解或有无究多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解.解法1 原方程组的系数行列式2211154(1)(54),455-∆=-=--=-+-λλλλλλ 故当1≠λ，且45≠-λ时，方程组有唯一解. 当1=λ原方程组为12312312321,2,455 1.x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩对其增广矩阵施行行初等变换：211103331112111245510999---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭111201110000-⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭，因此，当1=λ时，原方程组有无穷多解，其通解为1231,1,().x x k x k k =⎧⎪=-+⎨⎪=⎩为任意实数[或T T T123(,,)(1,1,0)(0,1,1)x x x k =-+（k 为任意实数）].当45=-λ时，原方程组的同解方程组为 12312312310455,45510,4551,x x x x x x x x x --=⎧⎪+-=-⎨⎪+-=-⎩对其增广矩阵施行行初等变换：1045510455455104551045510009----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，由此可知当45=-λ时，原方程组无解.解法2 对原方程组的增广矩阵施行行初等变换：2112111122103455165506--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→+-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-⎝⎭⎝⎭λλλλλλ211210354009-⎛⎫ ⎪+- ⎪ ⎪+⎝⎭λλλλ.于是，当45=-λ时，原方程组无解，当1≠λ且45≠-λ时，原方程组有唯一解，因此，当1=λ时，原方程组有无穷多解，其通解为1231,1,().x x k x k k =⎧⎪=-+⎨⎪=⎩为任意实数[或T T T123(,,)(1,1,0)(0,1,1)x x x k =-+（k 为任意实数）].线性代数期末试卷（三）一、填空题（每小题3分）（4）若二次型2221231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++是正定的，则t 的取值范围是__________.二次型的矩阵为210112012t t ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 1阶顺序主子式为1, 2阶顺序主子式为2110,311=>阶顺序主子式为21021111022201122tt tt =2202t -=>，故220t ->，即t <<二、选择题（每小题3分）（3）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（A ）122331,,++-αααααα （B ）1223123,,2++++ααααααα （C ）1223212,2,3+++αααααα（D ）123123123,2322,355++-++-ααααααααα解：（C ）正确对于（A ）向量组：考虑线性式112223331()()()k k k ++++-=αααααα0即 112233123(,,)k k k ⎛⎫ ⎪++-= ⎪ ⎪⎝⎭αααααα0112323101()110011k k k -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪++= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ααα0因为123,,ααα线性无关，所以123101110011k k k -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭0.因为101110011-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭不可逆，故上式有非零解，故（A ）向量组线性相关，故（A ）不正确. 因此向量组是否线性无关由对应的矩阵是否可逆而定，对于（B ）有1223123(,,2)++++=ααααααα123101(,,)112011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ααα，因为101112011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭不可逆，故（B ）向量组线性相关. 对于（C ）有122321(2,2,3)+++=αααααα 123101(,,)220033⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ααα，对于（D ）有123123123(,2322,355)++-++-=ααααααααα 123123(,,)1351225⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ααα. 因为（D ）中矩阵1231351225⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎝⎭不可逆，而（C ）中矩阵101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是可逆阵，故（C ）正确. （4）设,A B 为同阶可逆矩阵，则（A ）=AB BA ；（B ）存在可逆矩阵P ，使1-=P AP B ；（C ）存在可逆矩阵C ，使T=C AC B ；（D ）存在可逆矩阵P 和Q ，使=PAQ B . 解：（D ）正确因为,A B 是同阶可逆矩阵，不妨设阶数为n ，于是它们都与n 阶单位阵E 等价，故A 与B 等价. （A ）说的是,A B 可交换；（B ）说的是,A B 相似（C ）说的是,A B 合同显然,A B 同阶且可逆不能保证上述三种结论成立. （D ）说的恰是,A B 等价，故选（D ）.九、（本题满分6分）设A 为n 除非奇异矩阵，α为n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 T *T 0,,||b ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭IA P Q AA ααα 其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵，I 为n 阶单位矩阵。

(完整)线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( )。

（A) 24315 （B ） 14325 （C ） 41523 (D ）24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k ，则排列12j j j n 的逆序数是（）。

(A ）k (B)k n - (C ）k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项.（A ） 0 (B ）2-n (C ） )!2(-n （D) )!1(-n4．=001001001001000（ )。

(A ） 0 (B)1- （C) 1 （D ） 25.=001100000100100( ）。

(A) 0 （B ）1- （C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). （A) 0 （B)1- (C) 1 (D) 27。

若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ). (A) 4 (B ） 4- (C) 2 （D) 2-8．若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ）.（A ）ka (B)ka - (C ）a k 2 （D)a k 2-9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ ).（A) 0 （B ）3- (C ） 3 (D ） 210。

若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为（）.(A ）1- （B)2- （C ）3- （D ）011。

若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). （A)1- (B ）2- （C)3- （D ）012。

线性代数期末试卷及解析(4套全)2016科大

·207·线性代数期末试卷一一、填空题（每小题3分）（4）已知实二次型222123123121323(,,)()444f x x x a x x x x x x x x x =+++++经正交变换=x Py 可化成标准形216f y =，则a =__________. 解：a = 2 .二次型f 的矩阵为222222a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A222||22(4)(2)22a E A a a a a----=---=---+---λλλλλλ 故A 的特征值为4a =+λ及2a =-λ的二重根经正交变换22221122331,6f y y y y ==++=x Py λλλ 所以有12360===λλλ，由此 4620a a +=⎧⎨-=⎩推出 2a =二、选择题（每小题3分）（4）设有三张不同平面的方程123,1,2,3i i i i a x a y a z b i ++==，它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，则这三张平面可能的位置关系为（A ）（B ）（C ）（D ）解：（B ）正确.由于线性方程组123,1,2,3i i i i a x a y a z b i ++==， ()()23r A r A ==<，所以方程组有解，并且无穷多解.（A ）表示三个平面有唯一的交点，说明线性方程组有唯一解，此时()()3r A r A ==，故（A ）不对.·208· （C ）表示三个平面两两相交，但三个平面无公共点，说明线方程组无解，此时()2()3r A r A =<=，故（C ）不对.（D ）表示三个平面中有两个平行平面，与第三个平面相交，但三个平面无公共点，说明线性方程组无解，此时()2()3r A r A =<=，故（D ）不对. （B ）中三个平面相交于同一直线，说明方程组有解，且无穷多解，因此必有()()3r A r A =≠，又三平面既不是重合平面，又不是平行平面，故()2r =A ，即（B ）正确.九、（本题满分6分）已知4阶方阵12341234(,,,),,,,=A αααααααα均为4维列向量，其中234,,ααα线性无关，1232=-ααα，如果1234=+++βαααα，求线性方程组=Ax β的通解.解法1 令1234x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭x ，则由12123434(,,,)x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭Ax ααααβ得112233441234x x x x +++=+++αααααααα，将1232=-ααα代入上式，整理后得12213344(23)()(1)x x x x x +-+-++-=ααα0. 由234,,ααα线性无关，知12134230,0,10.x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩解此方程组得01320110k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ，其中k 为任意常数.解法2 由234,,ααα线性无关和123420=-+αααα，故A 的秩为3，因此=Ax 0的基础解系中只包含一个向量.由 12342-++=αααα0·209·知1210⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为齐次线性方程组=Ax 0的一个解，所以其通解为12,10k k ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭x 为任意常数.再由 123412341111(,,,)1111⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭βααααααααA知1111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为非齐次线性方程组=Ax β的一个特解，于是=Ax β的通解为11121110x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数.十、（本题满分8分）设,A B 为同阶方阵，（1）如果,A B 相似，试证,A B 的特征多项式相等（2）举一个二阶方阵的例子说明（1）的逆命题不成立. （3）当,A B 均为实对称矩阵时，试证（1）的逆命题成立. 证：（1）若,A B 相似，那么存在可逆矩阵P ，使1-=P AP B ，故 111|||||λλλ----=-=-=E B E P AP P EP P AP B ，故11|()|||||||λλ--=-=-P E A P P E A P 1||||||||.λλ-=-=-P P E A E A（2）令0100,0000⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ，那么2||||λλλ-==-E A E B ，但,A B 不相似. 否则，存在可逆矩阵P ，使 1-==P AP B 0，·210· 从而1-==A PBP 0，矛盾.（3）由,A B 均为实对称矩阵知，,A B 均相似于对角阵.若,A B 的特征多项式相等，记特征多项式的根为1,,n λλL ，则有A 相似于1n λλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭O ， B 也相似于1n λλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭O ，即存在可逆矩阵,P Q 使111n λλ--⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P AP Q BQ O. 于是111()()---=PQ A PQ B .由1-PQ 为可逆矩阵知，A 与B 相似.·211·线性代数期末试卷二一、填空题（每小题3分）（5）矩阵022222222--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭的非零特征值是__________.解： 4 .设 022222222--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A232222||2220222222r r +-=--===--λλλI A λλλλλ3222000(4)224c c -====--λλλλλ故非零特征值为4.二、选择题（每小题3分）（5）设向量组123,,ααα线性无关，1β可由123,,ααα线性表示，而向量2β不能由123,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有（A ）12312,,,k +αααββ线性无关（B ）12312,,,k +αααββ线性相关（C ）12312,,,k +αααββ线性无关（D ）12312,,,k +αααββ线性无关解：（A ）正确因为123,,ααα线性无关，1β可由123,,ααα线性表示，所以1231,,,αααβ线性相关；2β不能由123,,ααα线性表示，所以1232,,,αααβ线性无关.取0k =，说明（B ）、（C ）不对，而仅当0k =时，（D ）才成立，故（D ）不对，现证（A ）正确.易见12k +ββ不能表成123,,ααα的线性组合，如若不然，存在常数123,,l l l 使 12112233k l l l ++++ββααα则 21122331l l l k =++-βαααβ （1）而1β可由123,,ααα线性表示，即存在常数123,,k k k ，使1112233k k k =++βααα （2）（2）代入（1）2111222333()()()l kk l kk l kk =-+-+-βααα·212· 这与2β不能由123,,ααα线性表示矛盾. 可见12312,,,k +αααββ线性无关，当然也可以用线性无关的定义来证明该结论.十一、（本题满分6分）已知,A B 为3阶矩阵，且满足124-=-A B B E ，其中E 是3阶单位矩阵. （1）证明：矩阵2-A E 可逆；（2）若120120002-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，求矩阵A .解（1）由124-=-A B B E 知24--=AB B A 0，从而 (2)(4)8--=A E B E E ，或 1(2)(4)8-⋅-=A E B E E .故2-A E 可逆，且11(2)(4)8--=-A E B E .（2）由（1）知128(4)-=+-A E B E ，而 111104432013(4)1200,880021002--⎛⎫- ⎪--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭B E 故 020110002⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A .十二、（本题满分6分）同试卷（一）九.·213·线性代数期末试卷三一、填空题（每小题3分）（3）设三阶矩阵122212304-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，三维列向量T (,1,1)a =α，已知A α与α线性相关，则a =__________.解：1a =-.122212123304134a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭A α由A α与α线性相关，故k =A αα，即2334a ka a k a k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭故1a =-二、选择题（每小题3分）（3）设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则线性方程组()=AB x 0 （A ）当n m >时仅有零解. （B ）当n m >时必有非零解. （C ）当m n >时仅有零解. （D ）当m n >时必有非零解. 解：（D ）正确因为A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，所以AB 是m m ⨯方阵，故x 为1m ⨯列向量线性方程组()=AB x 0可写成()=A B x 0，这说明=Bx 0的解一定是()=AB x 0的解.当m n >时，=Bx 0必有非零解，所以()=AB x 0必有非零解，故（D ）正确，而（C ）错误.当n m >时，取B 为零阵时，x 为任意m 维向量=Bx 0，()=AB x 0故（A ）不正确.当n m >时，取10100,0101011⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭A B 时，2,()==AB E AB x 0仅有零解，故（B ）错误.事实上只要选择,A B 使AB 满秩阵即知（B ）不对. （4）设A 是n 阶实对称矩阵，P 是n 阶可逆矩阵，已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵1T ()-P AP 属于特征值λ的特征向量是·214· （A ）1-P α. （B ）T P α. （C ）P α. （D ）1T ()-P α. 解：（B ）正确.由已知条件=A αλα因A 是对称阵，故1T T T 1T T T 1()()()---==P AP P A P P A P . 因此有T T 1T T T T ()()()-⋅===P A P P αP AαP λαλP α这说明T P α是1T ()-P AP 属于特征值λ的特征向量，故（B ）正确. 本题的关键是与向量α左乘的矩阵是T P 才能与T 1()-P 消掉，（A ）、（C ）、（D ）不具备此形式. 九、（本题满分8分）设齐次线性方程组1231231230,0,0.n nn ax bx bx bx bx ax bx bx bx bx bx ax ++++=⎧⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩L L L L L L其中0,0,2a b n ≠≠≥. 试讨论,a b 为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解. 解：方程组的系数行列式1||[(1)]()n a b b bb a b ba nb a b b b a b b b b a-==+--A L LLM M M M L. （1）当a b ≠且(1)a n b ≠-时，方程组仅有零解. （2）当a b =时，对系数矩阵A 作行初等变换，有111100000000a a a a aa a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A L K L L M M M M M M M M LL. 原方程组的同解方程组为120,n x x x +++=L其基础解系为T T T 121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1)n -=-=-=-αααL L L L . 方程组的全部解是·215·112211n n c c c --=+++x αααL （121,,,n c c c -L 为任意常数）.（3）当(1)a n b =-时，对系数矩阵A 作行初等变换，有(1)(1)(1)(1)n bb b b b b n b b b b b b n b b b b b b b n b -⎛⎫ ⎪- ⎪⎪=→- ⎪⎪ ⎪-⎝⎭A L L L M M M M M L100011111101001111110010111111000111111100000nn n n -⎛⎫-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭L L L L L L M M MM M M M M M M L L L 原方程组的同解方程组为121,,.n nn n x x x x x x -=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩L L 其基础解系为T (1,1,,1)=βL . 方程组的全部解是c =x β(c 为任意常数).十、（本题满分8分）设A 为三阶实对称矩阵，且满足条件22+=A A 0，已知A 的秩()2r =A . （1）求A 的全部特征值；（2）当k 为何值时，矩阵k +A E 为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵. 解法1 （1）设λ为A 的一个特征值，对应的特征向量为α，则 ()λ=≠A ααα0 22λ=A αα. 于是22(2)(2)λλ+=+A A αα. 由条件2(2)+=A A α0推知 2(2)λλ+=α0. 又由于≠α0，故有·216· 220λλ+=，解得2,0λλ=-=.因为实对称矩阵A 必可对角化，且()2r =A ，所以2~20-⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭A Λ. 因此，矩阵A 的全部特征值为1232,0λλλ==-=.（2）矩阵k +A E 仍为实对称矩阵. 由（1）知，k +A E 的全部特征值为 2,2,k k k -+-+.于是，当2k >时矩阵k +A E 的全部特征值大于零. 因此，矩阵k +A E 为正定矩阵.解法2 （1）同解法1.（2）实对称矩阵必可对角化，故存在可逆矩阵P ，使得 1-=P AP Λ， 1-=A P ΛP . 于是11k k --+=+A E P ΛP PP 1()k -=+P ΛE P ，所以~k k ++A E ΛE . 而22k k k k -⎛⎫ ⎪+=- ⎪ ⎪⎝⎭ΛE .k +ΛE 为正定矩阵，只需其顺序主式式均大于0，即k 需满足 2220,(2)0,(2)0k k k k ->->->. 因此，当2k >时，矩阵k +A E 为正定矩阵.·217·线性代数期末试卷四一、填空题（每小题3分）（3）设矩阵211,3223-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭A B A A E ，则1-=B __________解：1-=B 10211⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭. (2)()=--B A E A E110121212220-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以||2=B*110101222||211-⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭--⎝⎭B B B . （4）设向量组123(,0,),(,,0),(0,,)a c b c a b ===ααα线性无关，则,,a b c 必满足关系式__________.解：0abc ≠因为123,,ααα线性无关，故123|,,|0≠ααα00200a cb c abc a b=≠. 即0abc ≠.二、选择题（每小题3分）（3）设,A B 为n 阶矩阵，**,A B 分别为,A B 对应的伴随矩阵，分块矩阵⎛⎫= ⎪⎝⎭A CB 00，则C 的伴随矩阵*=C （A ）**||||⎛⎫ ⎪⎝⎭A A B B 00. （B ）**||||⎛⎫ ⎪⎝⎭B B A A 00. （C ）**||||⎛⎫ ⎪⎝⎭A B B A 00. （D ）**||||⎛⎫ ⎪⎝⎭B A A B 00. 解：（D ）正确*||=AA A I·218· *||=BB B I||||||⎛⎫== ⎪⎝⎭A C A B B 00，设*,⎛⎫= ⎪⎝⎭G C G H 00、H 是n 阶方阵 *⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A G AG CCB H BH 000000 2|||||||||||n n n ⎛⎫== ⎪⎝⎭A B I A B I A B I 00 因此有 ||||||||n n =⎧⎨=⎩AG A B I BH A B I 所以应有*||=G B A*||=H A B于是***||||⎛⎫= ⎪⎝⎭B AC A B 00，恰为（D ）故（D ）正确当然此题通过直接计算选择正确答案也是一种行之有效的作法.九、（本题满分8分）设四元齐次线性方程组（I ）为123123230,20.x x x x x x +-=⎧⎨++=⎩ 由已知另一四元齐次线性方程组（II ）的一个基础解系为 T T 12(2,1,2,1),(1,2,4,8)a a =-+=-+αα.（1）求方程组（I ）的一个基础解系；（2）当a 为何值时，方程组（I ）与（II ）有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共解.解法1 （1）对方程组（I ）的系数矩阵作行初等变换，有2310105312110132--⎛⎫⎛⎫=→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A . 得方程组（I ）的同解方程组13423453,32.x x x x x x =-⎧⎨=-+⎩ 由此可得方程组（I ）的一个基础解系为T T 12(5,3,1,0),(3,2,0,1).=-=-ββ·219·（2）由题设条件，方程组（II ）的全部解为112212112231212422(2)4(8)x k k x k k k k x a k k k a k x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭αα ① （12,k k 为任意常数）.将上式代入方程组（I ），得112(1)0,(1)(1)0.a k a k a k +=⎧⎨+-+=⎩ ② 要使方程组（I ）与（II ）有非零公共解，只需关于12,k k 的方程组②有非零解. 因为210(1)1(1)a a a a +=-++-+，所以，当1a ≠-时，方程组（I ）与（II ）无非零公共解. 当1a =-时，方程组②有非零解，且12,k k 为不全为零的任意常数. 此时，由①可得方程组（I ）与（II ）的全部非零公共解为12123421121417x x k k x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（12,k k 为不全为零的任意常数）.解法2 （1）对方程组（I ）的系数矩阵作行初等变换，有23102310.12113501---⎛⎫⎛⎫=→ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A 得方程组（I ）的同解方程组31241223,35.x x x x x x =+⎧⎨=+⎩ 由此可得方程组（I ）的一个基础解系为T T 12(1,0,2,3),(0,1,3,5)==ββ.（2）设方程组（I ）与（II ）的公共解为η，则有数1234,,,k k k k ，使得 11223142k k k k =+=+ηββαα.由此得线性方程组·220· （III ）1342341234123420,20,23(2)40,35(8)0.k k k k k k k k a k k k k k a k -+==⎧⎪--+=⎪⎨--+++=⎪⎪--+++=⎩ 对方程组（III ）的系数矩阵作行初等变换，有10211021011201122324001035180001a a a a ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭由此可知，当1a ≠-时，方程组（III ）仅有零解，故方程组（I ）与（II ）无非零公共解.当1a =-时，方程组（III ）的同解方程组为1342342,2,k k k k k k =-⎧⎨=-+⎩ 令3142,k c k c ==，得方程组（I ）与（II ）的非零公共解为1221121417c c -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭η （12,c c 为不全为零的任意常数）.十、（本题满分8分）设实对称矩阵 111111a a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角形矩阵，并计算行列式||-A E 的值. 解：矩阵A 的特征多项式211||11(1)(2)11aa a a aλλλλλλ----=--=---+--E A . 由此得矩阵A 的特征值1231,2a a λλλ==+=-. 对于特征值121a λλ==+，可得对应的两个线性无关的特征向量 T T 12(1,1,0),(1,0,1)==αα.·221· 对于特征值32a λ=-，可得对应的特征向量 T 1(1,1,1)=-α.令矩阵1231111(,,)101,10112a a a -+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪===+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭P αααΛ，则1112a a a -+⎛⎫⎪==+ ⎪ ⎪-⎝⎭P AP Λ.11||||---=-A E P ΛP PP 1||||||-=⋅-⋅P ΛE P0000003a a a =-2(3).a a =-。

线性代数第二次作业解答

3 5 7 5 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 2 3 0 1 2 3 0 4 0 1 5 4 0 1 5 4 2 0 0 18 18 0 0 1 1 1 0 0 0 0 5 0 0 1 1 1 1 0
线性代数第二次课作业
孙乃喆
天津科技大学线性代数检测题 3-2
一．填空题
a1 1 0 0 a2 0 1 0 2. 设 n 维列向量 ε1 ， ε2 ， … ， εn ，则向量 α 可由向量组 a 0 0 1 n ε1 , ε2 , , εn 线性表示为______________________.
1 2 3 1
2 3 1
3 1 2
2 2
1 2 0 1 0 0 0 0
0 1 2 4 0 1 2 0 5 5 0 0 0 3 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0
x11 x2 2 x3 3 ，利用向量的
运算的定义，具体的计算右侧，再利用向量相等，可以把方程组具体写出来，然后再解方程组。
1.
β 1,1, 3 ， α1 1, 2,3 ， α2 0, 0, 0 ， α3 2,3, 4 ；
T T T T
解得 x1 2, x2 1, x3 3 ，从而 21 2 3 3 # 3.
β 0, 4, 2,5 ， α1 1, 2,3,1 ， α2 2,3,1, 2 ， α3 3,1, 2, 2 .
解. 设 x11 x2 2 x3 3 ，则由 Gauss 消元法有：

线性代数考试练习题带答案大全(二)

线性代数考试练习题带答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关，（B ）列向量组线性相关，（C ）行向量组线性无关，（D ）行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。

(A ) α必可由,,βγδ线性表出，（B ）β必不可由,,αγδ线性表出，（C ）δ必可由,,αβγ线性表出，（D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．(A )1λ>-；（B ）0λ>；（C ）1λ>；（D ）1λ≥．4．初等矩阵（A ）；(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ）所对应的行列式的值都等于1；（C ）相乘仍为初等矩阵；（D ）相加仍为初等矩阵 5．已知12,,,n ααα线性无关，则（C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；D. 以上都不对。

二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t7．设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为。

9．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。

线性代数试题库(含答案,适合期末复习,考研同学使用)

《线性代数》复习一：选择题1. 如果111213212223313233a a a a a a a a a = M ，则111213212223313233222222222a a a a a a a a a = （）A. 8MB. 2 MC. MD. 6 M2. 若A ，B 都是方阵，且|A |=2，|B |=-1，则|A -1B|=（）A. -2B.2C. 1/2D. –1/2 3. 已知可逆方阵13712A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭, 则A =（）A. 2713-⎛⎫ ⎪-⎝⎭B. 2713⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 3712-⎛⎫ ⎪-⎝⎭D. 3712-⎛⎫ ⎪-⎝⎭4. 如果n 阶方阵A 的行列式|A | =0, 则下列正确的是（）A. A =OB. r (A )> 0C. r (A )< nD. r (A ) =05. 设A , B 均为n 阶矩阵, A ≠O , 且AB = O , 则下列结论必成立的是（）A. BA = OB. B = OC. (A +B )(A -B )=A 2-B 2D. (A -B )2=A 2-BA +B 2 6. 下列各向量组线性相关的是（）A. α1=(1, 0, 0), α2=(0, 1, 0), α3=(0, 0, 1)B. α1=(1, 2, 3), α2=(4, 5, 6), α3=(2, 1, 0)C. α1=(1, 2, 3), α2=(2, 4, 5)D. α1=(1, 2, 2), α2=(2, 1, 2), α3=(2, 2, 1)7. 设AX =b 是一非齐次线性方程组, η1, η2是其任意2个解, 则下列结论错误的是（）A. η1+η2是AX =O 的一个解B. 121122ηη+是AX =b 的一个解C. η1-η2是AX =O 的一个解D. 2η1-η2是AX =b 的一个解8. 设A 为3阶方阵, A 的特征值为1, 2, 3,则3A 的特征值为（）A. 1/6, 1/3, 1/2B. 3, 6, 9C. 1, 2, 3D. 1, 1/2, 1/3 9. 设A 是n 阶方阵, 且|A |=2, A *是A 的伴随矩阵, 则|A *|=（）A. 21B. 2nC. 121-nD. 2n -110. 若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100321z x y 正定, 则x , y , z 的关系为（）A. x +y =zB. xy =zC. z >xyD. z >x +y参考答案:1.A 2.D 3. B 4. C 5. D 6. B 7. A 8. B 9. D 10. C1. 设2301λλ=-，则λ取值为（）A. λ=0或λ=-1/3B. λ=3C. λ≠0且λ≠-3D. λ≠0 2. 若A 是3阶方阵，且|A |=2，*A 是A 的伴随矩阵，则|A *A |=（） A. -8 B.2 C.8 D. 1/2 3. 在下列矩阵中, 可逆的是（）A. 000010001⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B. 110220001⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C. 110011121⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D. 100111101⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭4. 设n 阶矩阵A 满足A 2-2A +3E =O , 则A -1=（） A. E B. 1(2)3-E A C. 23-A E D. A 5. 设A 1111a a a aa a a a a a a a⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=, 若r (A )=1, 则a =（） A.1 B.3 C.2 D.46. 若齐次线性方程组1231231230,0,0x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解, 则常数λ= （）A.1B.4C. -2D. -17. 设A , B 均为n 阶矩阵, 则下列结论正确的是（）A. BA = ABB. (A -B )2=A 2-BA - AB +B 2C. (A +B )(A -B )=A 2-B 2D. (A -B )2=A 2-2 AB +B 28. 已知α1=(1, 0, 0), α2=(-2, 0, 0), α3=(0, 0, 3), 则下列向量中可以由α1, α2, α3线性表示的是（）A. (1, 2, 3)B. (1, -2, 0)C. (0, 2, 3)D. (3, 0, 5) 9. n 阶方阵A 可对角化的充分条件是（）A. A 有n 个不同的特征值B. A 的不同特征值的个数小于nC. A 有n 个不同的特征向量D. A 有n 个线性相关的特征向量10. 设二次型的标准形为2221233f y y y =-+，则二次型的正惯性指标为（）A.2B.-1C.1D.3参考答案: 1.A 2. C 3. D 4. B 5. A 6. A 7. B 8. D 9. A 10. A1. 设A 是4阶方阵，且|A |=2，则|-2A |=（）A. 16B. -4C. -32D. 322. 行列式34657128k 中元素k 的余子式和代数余子式值分别为（）A. 20，-20B. 20，20C. -20，20D. -20，-20 3. 已知可逆方阵2713⎛⎫⎪⎝⎭=A , 则1-A =（） A. 2713-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ B. 2713⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 3712-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ D. 3712-⎛⎫ ⎪-⎝⎭4. 如果n 阶方阵A 的行列式|A | =0, 则下列正确的是（）A. A =OB. r (A )> 0C. r (A )< nD. r (A ) =0 5. 设A , B 均为n 阶矩阵, 则下列结论中正确的是（）A. (A +B )(A -B )=A 2-B 2B. (AB )k =A k B kC. |k AB |=k |A |⋅|B |D. |(AB )k |=|A |k ⋅|B |k 6. 设矩阵A n ⨯n 的秩r (A )=n , 则非齐次线性方程组AX =b （）A. 无解B. 可能有解C. 有唯一解D. 有无穷多个解 7. 设A 为n 阶方阵, A 的秩 r (A )=r <n , 那么在A 的n 个列向量中（） A. 必有r 个列向量线性无关 B. 任意r 个列向量线性无关C. 任意r 个列向量都构成最大线性无关组D. 任何一个列向量都可以由其它r 个列向量线性表出 8. 已知矩阵44⨯A 的四个特征值为4，2，3，1，则A =（）A.2B.3C.4D.24 9. n 阶方阵A 可对角化的充分必要条件是（）A. A 有n 个不同的特征值B. A 为实对称矩阵C. A 有n 个不同的特征向量D. A 有n 个线性无关的特征向量 10. n 阶对称矩阵A 为正定矩阵的充要条件是（） A. A 的秩为n B. |A |>0C. A 的特征值都不等于零D. A 的特征值都大于零参考答案: 1.D 2. A 3. D 4. C 5. D 6. C 7. A 8. D 9. D 10. D1. 行列式3462578y x 中元素y 的余子式和代数余子式值分别为（）A. 2，-2B. –2，2C. 2，2D. -2，-2 2. 设A , B 均为n (n ≥2)阶方阵, 则下列成立是（） A. |A +B |=|A |+|B | B. AB =BAC. |AB |=|BA |D. (A +B )-1=B -1+A -1 3. 设n 阶矩阵A 满足A 2-2A = E , 则(A -2E )-1=（）A. AB. 2 AC. A +2ED. A -2E4. 矩阵111122223333⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭A 的秩为（）A.1B.3C.2D.45. 设n 元齐次线性方程组AX =O 的系数矩阵A 的秩为r , 则方程组AX =0的基础解系中向量个数为（）A. rB. n - rC. nD. 不确定 6. 若线性方程组⎩⎨⎧=+-=+-212321321x x x x x x λ无解, 则λ 等于（）A.2B.1C.0D. -17.n 阶实方阵A 的n 个行向量构成一组标准正交向量组，则A 是（） A.对称矩阵 B.正交矩阵 C.反对称矩阵 D.|A |=n8. n 阶矩阵A 是可逆矩阵的充要条件是（）A. A 的秩小于nB. A 的特征值至少有一个等于零C. A 的特征值都等于零D. A 的特征值都不等于零9. 设η1, η2是非齐次线性方程组Ax =b 的任意2个解, 则下列结论错误的是（） A. η1+η2是Ax =0的一个解 B.121122+ηη是Ax =b 的一个解 C. η1-η2是Ax =0的一个解 D. 2η1-η2是Ax =b 的一个解10. 设二次型的标准形为2221233f y y y =-+，则二次型的秩为（）A.2B.-1C.1D.3参考答案: 1. D 2. C 3. A 4. A 5. B 6. A 7.B 8. D 9.A 10. D1. 设000101a b b a =-=D ，则a ，b 取值为（）A. a =0，b ≠0B. a =b =0C. a ≠0，b =0D. a ≠0，b ≠0 2. 若A 、B 为n 阶方阵, 且AB = O , 则下列正确的是（） A. BA =O B. |B |=0或|A |=0 C. B = O 或A = O D. (A -B )2=A 2+B 2 3. 设A 是3阶方阵，且|A |=-2，则|A -1|等于（）A. -2B. 12-C.2D. 124. 设矩阵A , B , C 满足AB =AC , 则B =C 成立的一个充分条件是（）A. A 为方阵B. A 为非零矩阵C. A 为可逆方阵D. A 为对角阵 5. 如果n 阶方阵A ≠O 且行列式|A | =0, 则下列正确的是（）A. 0<r (A ) < nB. 0≤r (A )≤ nC. r (A )= nD. r (A ) =0 6. 若方程组123232378902020x x x x x x bx ++=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩存在非零解, 则常数b =（）A.2B.4C.-2D.-47. 设A 为n 阶方阵, 且|A |=0, 则（） A. A 中必有两行(列)的元素对应成比例B. A 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合C. A 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合D. A 中至少有一行(列)的元素全为零8. 设A 为3阶方阵, A 的特征值为1, 2, 3,则3A 的特征值为（）A. 1/6, 1/3, 1/2B. 3, 6, 9C. 1, 2, 3D. 1, 1/2, 1/3 9. 如果3阶矩阵A 的特征值为-1,1,2，则下列命题正确的是（） A. A 不能对角化 B. 0=AC. A 的特征向量线性相关D. A 可对角化10. 设二次型的标准形为2221233f y y y =--，则二次型的正惯性指标为（）A.2B.-1C.1D.3参考答案: 1. B 2. B 3. B 4. C 5. A 6. D 7. C 8. B 9. D 10. C1. 如果111213212223313233a a a a a a a a a =M ，则111112132121222331313233444a a a a a a a a a a a a ---=（） A. -4M B. 0 C. -2 M D. M2. 设A ij 是n 阶行列式D =|a ij |中元素a ij 的代数余子式, 则下列各式中正确的是（） A.10nij ij i a A ==∑B.10n ij ij j a A ==∑ C. 1nij ij j a A D ==∑D.121ni i i a A D ==∑3. 已知100010301⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A ，200221333⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，则|AB |=（）A.18B.12C.6D.364. 方阵A 可逆的充要条件是（）A. A ≠OB. |A |≠0C. A *≠OD. |A |=1 5. 若A 、B 为n 阶方阵, A 为可逆矩阵, 且AB = O , 则（）A. B ≠ O , 但r (B )<nB. B ≠ O , 但r (A )<n , r (B )<nC. B = OD. B ≠ O , 但r (A )=n , r (B )<n 6. 设β1, β2是非齐次线性方程组AX =b 的两个解, 则下列向量中仍为方程组解的是（）A. β1+β2B. β1-β2C. 121(2)2+ββD. 12325+ββ7. n 维向量组α1, α2, ⋅⋅⋅ , αs 线性无关, β为一n 维向量, 则（）A. α1, α2, ⋅⋅⋅ , αs , β线性相关B. β一定能被α1, α2, ⋅⋅⋅ , αs 线性表出C. β一定不能被α1, α2, ⋅⋅⋅ , αs 线性表出D. 当s =n 时, β一定能被α1, α2, ⋅⋅⋅ , αs 线性表出 8. 设A 为三阶矩阵, A 的特征值为-2, 1, 2, 则A -2E 的特征值为（） A. -2, 1, 2 B. -4, -1, 0 C. 1, 2, 4 D. 4, 1, -4 9.若向量α=（1，-2，1）与β=（2， 3，t ）正交，则t =（）A.-2B.0C.2D.410. 若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100321z x y 正定, 则x , y , z 的关系为（） A. x +y =z B. xy =z C. z >xy D. z >x +y参考答案: 1.A 2.C 3. C 4. B 5. C 6. D 7. D 8. B 9.D 10. C1.行列式3462578y x中元素x的余子式和代数余子式值分别为（）A.–9，-9B.–9，9C. 9，-9D. 9，92.1111234533334344=（）A.2B.4C.0D.13.设A为4阶矩阵, |A|=3,则其伴随矩阵A*的行列式|A*|=（）A.3B.81C.27D.94.设A,B均为n阶可逆矩阵,则下列各式中不正确的是（）A. (A+B)T=A T+B TB. (A+B)-1=A-1+B-1C. (AB)-1=B-1A-1D. (AB)T=B T A T5.设n阶矩阵A满足A2+A+E=O,则(A+E)-1=（）A.AB. -(A+E)C.–AD. -(A2+A )6.设n阶方阵A,B,则下列不正确的是（）A. r(AB)≤r(A)B. r(AB)≤r(B)C. r(AB)≤min{ r(A)，r(B)}D. r(AB)>r(A)7.已知方程组AX=b对应的齐次方程组为AX=O，则下列命题正确的是（）A.若AX=O只有零解,则AX=b有无穷多个解B.若AX=O有非零解,则AX=b一定有无穷多个解C.若AX=b有无穷解,则AX=O一定有非零解D.若AX=b有无穷解,则AX=O一定只有零解8.已知矩阵10102010x⎛⎫⎪=⎪⎝⎭A的一个特征值是0,则x=（）A.1B.2C.0D.39.与100021012⎛⎫⎪=-⎪-⎝⎭A相似的对角阵是（）A.113⎛⎫⎪=⎪⎝⎭Λ B.123⎛⎫⎪=⎪⎝⎭Λ C.113⎛⎫⎪=-⎪⎝⎭Λ D.114⎛⎫⎪=⎪⎝⎭Λ10.设A为3阶方阵,A的特征值为1,0,3,则A是（）A.正定B.半正定C.负定D.半负定参考答案: 1. C 2. C 3. C 4. B 5. C 6. D 7. C 8. A 9. A 10.B1.设A,B都是n阶方阵,k是一个数,则下列（）是正确的。

线性代数试题和答案(精选版)

线性代数习题和答案第一局部选择题 (共28分)一、单项选择题〔本大题共14小题，每题2分，共28分〕在每题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号。

错选或未选均无分。

1.设行列式a a a a 11122122=m ，a a a a 13112321=n ，那么行列式a a a a a a 111213212223++等于〔〕 A.m+nB. -(m+n)C. n -mD. m -n2.设矩阵A =100020003⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，那么A -1等于〔〕 A. 13000120001⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B. 10001200013⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ C. 130********⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D. 12000130001⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3.设矩阵A =312101214---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，A *是A の伴随矩阵，那么A *中位于〔1，2〕の元素是〔〕 A.–6 B. 6C. 2D.–24.设A 是方阵，如有矩阵关系式AB =AC ，那么必有〔〕A.A =0B. B ≠C 时A =0C.A ≠0时B =CD. |A |≠0时B =C5.3×4矩阵A の行向量组线性无关，那么秩〔A T 〕等于〔〕A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs 和β1，β2，…，βs 均线性相关，那么〔〕A.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和λ1β1+λ2β2+…λs βs =0B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs 使λ1〔α1+β1〕+λ2〔α2+β2〕+…+λs 〔αs +βs 〕=0C.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs 使λ1〔α1-β1〕+λ2〔α2-β2〕+…+λs 〔αs -βs 〕=0D.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs 和不全为0の数μ1，μ2，…，μs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和μ1β1+μ2β2+…+μs βs =07.设矩阵A の秩为r ，那么A 中〔〕A.所有r -1阶子式都不为0B.所有r -1阶子式全为0C.至少有一个r 阶子式不等于0D.所有r 阶子式都不为08.设Ax=b 是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，那么以下结论错误の是〔〕A.η1+η2是Ax=0の一个解B.12η1+12η2是Ax=b の一个解 C.η1-η2是Ax=0の一个解 D.2η1-η2是Ax=b の一个解9.设n 阶方阵A 不可逆，那么必有〔〕A.秩(A )<nB.秩(A )=n -1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A 是一个n(≥3)阶方阵，以下述中正确の是〔〕A.如存在数λ和向量α使A α=λα，那么α是A の属于特征值λの特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE -A )α=0，那么λ是A の特征值C.A の2个不同の特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A の3个互不一样の特征值，α1，α2，α3依次是A の属于λ1，λ2，λ3の特征向量，那么α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A の特征方程の3重根，A の属于λ0の线性无关の特征向量の个数为k ，那么必有〔〕A. k ≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A 是正交矩阵，那么以下结论错误の是〔〕A.|A|2必为1B.|A |必为1C.A -1=A TD.A の行〔列〕向量组是正交单位向量组13.设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B =C T AC .那么〔〕A.A 与B 相似B. A 与B 不等价C. A 与B 有一样の特征值D. A 与B 合同14.以下矩阵中是正定矩阵の为〔〕A.2334⎛⎝ ⎫⎭⎪B.3426⎛⎝ ⎫⎭⎪ C.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ 第二局部非选择题〔共72分〕二、填空题〔本大题共10小题，每题2分，共20分〕不写解答过程，将正确の答案写在每题の空格。

天津科技大学线性代数试题库3

学院: 专业: 学号: 姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――题号一二三四五六七八九十总成绩得分阅卷人复核人总难度系数：0.18 一、填空题（共15分，每小题3分）1. 设2153A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3242B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求TA B B +=4171-⎛⎫ ⎪--⎝⎭. (难度系数0.2)2. 方程组1342330 0x x x x x ++=⎧⎨-=⎩的基础解系为3110,1001--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (难度系数0.1) 3. 设(1,2,1), (1,1,1)αβ==-，则(,)αβ=___0__. (难度系数0.1)4. 若矩阵1126112612036a A a ⎛⎫-⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭为正交矩阵，则a =1 3. (难度系数0.1)5. 设100020003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，~B A ，则B 的特征值为__1、2、3__. (难度系数0.15)得分二、选择题（共15分，每小题3分）1. 设34⨯矩阵A 的秩为2，则（ D ）（难度系数0.2） (A) A 的一阶子式均不为0 (B) A 的二阶子式均不为0 (C) A 的三阶子式均不为0 (D) A 的三阶子式均为02. 设123,,ααα是五元方程组0Ax =的线性无关解，则112233x k k k ααα=++（123,,k k k 为任意常数）是0Ax =的（ C ） (难度系数0.15)(A) 通解 (B) 特解 (C) 解，但未必是通解 (D) 解，但一定不是通解 3. 向量β可由向量123,,ααα线性表示，且123,,ααα线性无关，则线性方程组112233x x x αααβ++=（ A ） (难度系数0.1)(A) 必有唯一解 (B) 必有无穷多解 (C) 可能有唯一解或无穷多解 (D) 无解4. 设向量组123121,2,011a a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的一个极大无关组是12,αα，则( A ). (难度系数0.1)(A) 0a =； (B) 2a =； (C) 0a =或2a =； (D) 0a ≠且2a ≠. 5. 设12,p p 是实对称矩阵A 的属于特征值1λ的特征向量，3p 是A 的属于特征值21()λλ≠的特征向量，则下列说法未必成立的是( A ). (难度系数0.25)(A) 12(,)0p p = (B) 13(,)0p p = (C) 23(,)0p p = (D) 123(,)0p p p += 三、（9分）设行列式111011111101110xD -=--，求元素x 的余子式24M 的值，并计算该行列式.（难度系数0.2）得分得分学院: 专业: 学号: 姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――解：24111111111M =--（3分）111002402=-=--（5分）按第四列展开行列式得242424(1)4D xA xM x +==-=-（或）（8分）（9分）（写成244D xM x ==-的不给这4分）四、（9分）设1111A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2()f x x x =+，求()f A .（难度系数0.1）解：111021110112A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(3分)， 2()()f A E =+=+A A A A （6分）112113111231⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭（9分）五（9分）设213112122A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，111213B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求1A B -. （难度系数0.2）解一：2131121122A ==-，（2分）1*2411471351A A A ---⎛⎫⎪==-- ⎪ ⎪-⎝⎭（6分）， 1241111347112273511314A B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭（9分）.解二：()21311112 1212213A B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭（2分）1121201 1 1303425⎛⎫ ⎪→---- ⎪ ⎪⎝⎭得分得分101011001301 1 13010 270011400114-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→----→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭（7分）故A 可逆，且1132714A B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭（9分）六、（9分）解方程组230231x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩（难度系数0.15）解： 1230123010112231101710171-⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭（5分）所以同解方程组为1342341127x x x x x x =-⎧⎨=-+⎩，得所求基础解系为111710ξ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，22101ξ-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，通解为1122x k k ξξ=+（12,k k 为任意常数）. （9分）七、（9分）求向量组()()121234, 1111αα==，()31012α=--的秩. (难度系数0.1)解：123412341234111101230123101202460000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→---→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭（6分），故向量组的秩为2.（9分）八、（9分）将向量组122101,1301a α⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭规范正交化. (难得分得分得分学院: 专业: 学号: 姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――度系数0.1)解：正交化：112010βα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，（1分）2111(,)5, (,)5αβββ==，（3分）2122111(,)(,)αββαβββ=-（5分）21101151325011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（7分）单位化：1112011150e ββ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，2221111271e ββ⎛⎫ ⎪⎪== ⎪- ⎪⎝⎭（9分）九、（9分）设120210002A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求正交矩阵P 及对角矩阵Λ，使得TP AP =Λ. (难度系数0.3)解：120210(2)(3)(1)02E A λλλλλλλ---=--=--+-，特征值12λ=，233,1λλ==-（3分）对12λ=，解方程组(2)0E A x -=：1201002210010000000E A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得分得A 对应特征值12λ=的一个特征向量1001p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭对23λ=，解方程组(3)0E A x -=：2201103220001001000E A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得A 对应特征值23λ=的一个特征向量2110p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭对31λ=-，解方程组()0E A x --=：220110220001003000E A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，得A 对应特征值31λ=-的一个特征向量3110p -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（6分）将123,,p p p 单位化，得1001e ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，211120e ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，311120e -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭取01110112200P ⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，231⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪-⎝⎭，则P 为正交矩阵，且使得T P AP =Λ.（9分）十、（7分）设向量组123,,ααα及1234,,,αααα均线性无关，而1235,,,αααα线性相关，证明12354,,,ααααα-线性无关. (难度系数0.5) 证明：反证法. 假设12354,,,ααααα-线性相关，由123,,ααα线性无关，知54αα-可由123,,ααα线性表示，（2分）记为54112233k k k ααααα-=++，则得分学院: 专业: 学号: 姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――45112233k k k ααααα=---. （3分）又1235,,,αααα线性相关，从而5α可由123,,ααα线性表示，（5分）记为5112233αλαλαλα=++，则4111222333()()()k k k αλαλαλα=-+-+-，（6分）与1234,,,αααα线性无关矛盾，从而12354,,,ααααα-线性无关.（7分）。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

◎屍:啊壮衣蒙学年第二学期本科试卷课程名称：线性代数（A ）总难度系数：0.18、填空题（共 15分，每小题3分）一31-1]X | +3X 3+X 4=0,1°订q1 3 4JX2 —X3 =01°一1°丿J 丿一3.设。

=（1,2,1）" =（1^1,1），则（。

，門二 00.2)（难度系数0.1）（难度系数0.1）■2"3 2、1.设 A =，B<5 3」<4BB-一4（难度系数/1 1a 血忑4.右矩阵A = a1 石 1爲、 1 为正交矩阵，则a =〒J1 O2馬腐丿数 0.1)<1 0 O'5.设 A = 02 0 ,B ~ A ，则B 的特征值为 1、2、320 3（难度系（难度系数线，求A 装0.15)1.设3 4矩阵A 的秩为2，则（D）（难度系数0.2）(A) A 的一阶子式均不为 0 (B) A 的二阶子式均不为 0 (C) A 的三阶子式均不为 0 (D) A 的三阶子式均为 02.设是五元方程组 Ax=O 的线性无关解，则 x = k 「i • k 2〉2 k^ 3（k 1, k 2, k 3为任意常数）是 Ax = 0的（ C ）（A ）通解（B ）特解（C ）解，但未必是通解（D ）解，但一定不是通解-1式M 24的值，并计算该行列式•（难度系数0.2）得分、选择题（共15分，每小题3 分）（难度系数0.15）3.向量：可由向量 r,〉2,〉3线性表示, 且〉1,〉2,〉3线性无关，则线性方程组x 1- x 2〉2 • X 3〉3 八( A ) （难度系数0.1）必有无穷多解的一个极大无关组是2，则(A ).( (A) a =0 ； (B) a =2 ； (C) a=0 或 a =2 ； (D) a=0 且 a = 2. 5.设P 1,P 2是实对称矩阵 A 的属于特征值'1的特征向量,P 3是A 的属于特征值’2（= '1）的特征向量，则下列说法未必成立的是（ A).（难度系数0.25）(A)( P 1, P 2) = 0 (B) ( P 1, P 3) = 0 (C)(P2,P 3 ) = 0(D) (Pl P 2, P 3)=0（9分）设行列式D，求元素x 的余子（A ）必有唯一解(B 难度系数0.1）得分1 1 1=0 0 —2 = —40—2 0— 按第四列展开行列式得 D =xA 24（或=（-1）2"X M 24）（ 8分）二-4x （9 分）（写成D =xM 24 - -4X 的不给这4分）（难度系数0.1）度系数0.2）-2<0广1 rq 0^广2 1+=1b日2>解：A E =(3‘-24 -P 广1 P*13A UB =-47-1 1 2 =2（9 分）.、、3-51」 J3」-4」‘2 1 3 1r'1 1 2 1 2、2 23 -5解二:(2 分)A BA11 2 1 2 0 -1 -1 -1 -3 1丿解: (5分)四、(9 分）设A 二-1f(x) 2 ,二 X X ，求 f (A).f(A ) = A 2A =A(A E) (6 分)(9分)，z2 13 'q r11 2 ，B =1 2 厂12 2」3」（难解一:=1，（2 分）A’-4-1 （6 分），-11 1M 24 =111 -1(3分)得分得分，求A’B.五（9分）设A-153、故A 可逆，且A 」B= 27 （9 分）C 19（9分）解方程组X 2y 3^0、2x + 3y _z = 1-1、n 0 01 3、-3 T 01 0 27（7 分）0 1 -1广1 01T 0—1 —1 -1 I 。

0 1—1得分a3 =（10 -1 -2 ）的秩.（难度系数 0.1）巾 23 4、23 4、『1234、解： 1 11 10 -1 -2 -3 T 0 -1 -2 -3<1 0 -12 -2 -4 一6」<0 0 00丿得分（6分），故向量组的秩为（9分）2. 求向量组一叫=12 3 4 , ：2（难度系数0.15）-11 2 7-1>（5分）11所以同解方程组为X1= 11x3 - 2x4区=一7X3 + X 4，得所求基础解系为=-7-2 1，通解为 x =心1 k 2 2 （ K,k 2为任意常数）（9分）（9分）111，八、（9分）将向量组5、 0 ,a 2 =-1 13 <0>1—1」3 0 1 0 -7 1' 0 1七得分规范正交化•（难：1‘2 =3, '3 - -1 （ 3 分）「 1 -2 0 '「1 0 0、入=2，解方程组（2E —A ）x = 0 : 2E —A =-2 10 T 0 1 0<00 0」<0 0 0」对度系数0.1）解：正交化：叫-宀,（1 分）（＞2,45,（『J =5, （3 分）单位化:（：2, -1）：（J ：■2） 5、「1、0 5 -111 5 3-2<0><-1.>•才1 01R1 11，e ?—1 r-22丿U 丿九、（9分）设A= 2,求正交矩阵P 及对角矩阵上，（难度系数 0.3） -2丸一22）（- 3）（ 1）特征值11 = 2，,（7（5（91 2 0得分C o }得A 对应特征值，1 = 2的一个特征向量 Pi =对‘2=3，解方程组（3E - A ）x =0 : 广2 -2 0^广1 -1 0'-2 2T 0 0 1<0<0°」3E —A二得A 对应特征值■■■■2 =3的一个特征向量对匕1，解方程组（-E -A ）x =0 :—E —A = I 0-1得A 对应特征值■ 3 = -1的一个特征向量 P 3 将P 1, P 2, P 3单位化，得0二 e 2-2 -2（6分）、 '1 1 0、T 0 0 1） 1°0 °」-3 0 0-1'0 1 、-1*2'0 1 1，A =30 0」 <T 」1丿则P 为正交矩阵，1 取…彳且使得P TAP（ 9分）得分十、（7分）设向量组〉1」2,〉3及〉1「2」3」4均线性无关, 而〉1」2「3「5线性相关，证明〉1」2,〉3,〉5-〉4线性无关• （难度系数0.5）证明：反证法•假设〉1,〉2」3」5 - >4线性相关，由〉1「2「3线性无关，知 1厂2, 〉5 -〉4 可由 1〉2「3 线性表示，（2 分）记为 >5 -〉4 =%〉1 k 2〉2 - k^ 3，则1^2,0（4 =°5 _ki% _k2a2_k3a3 . （ 3 分）又01,02,5,05线性相关，从而«5可由G 1,。

2,。

3线性表示，（5分）记为°^5 =打％+ +》3肚3，贝V 厘 4 =（入一k 区+ （，2 — 2k）2 中（3 —3 媲，（6 分）名—与口1,口2,口3,口4线性无关矛盾，从而。

1,。

2,。

3,。

5 -口4线性无关•（7分）姓—。