求极限的13种方法
考研：求数列极限的十五种解法
求数列极限的十五种方法1.定义法；-N 定义：设｛a .｝为数列，a 为定数，若对任给的正数；，总存在正数 N ，使得当n . N 时,有a . -a | .；：「，则称数列｛a .｝收敛于a ；记作：l im a^a ，否则称｛a .｝为发散数列.例1 •求证： 1nim：a —1，其中a 0.证：当a =1时，结论显然成立.III当 a >1 时，记 a =a n_1，则 a >0 ,由 a =n+a $ K 1 +n a =1 + n(c^ _1)，得_1 兰王，v‘ n彳 1 1 1任给E >0，则当n >口 =N 时，就有—1 ，即a 下一1 c 呂，即lim=1 .1综上， lim a n =1，其中 a >0 .例2 .求： 7nlim—.M^n!解： 变式： 7n_7 77 7 77 7 .7 7 771 .. n7--0 7丄丄n! 1 27 8 9 n —1 n 7! n 6! nn! 6! n2•利用柯西收敛准则由柯西收敛准则，数列 ｛x,｝收敛.1丄当—时，令b 蔦，则b 1，由上易知：”呻1lim a nn丄-11 —1lim b 下n ::0，N 丄6!则当n . N 时, •••lim 7=0.f n!柯西收敛准则：数列｛a n ｝收敛的充要条件是: 一；・0 , T 正整数N ，使得当n 、m • N 时，总有：|a n -a m I ■:"'成立.例3 •证明：数列x n 八§n当（n 才，2, 3,）为收敛数列. k 2±2证：X n -X m =sin(m 勺)-2m +当n • m • N 时，有有二丄「；6! n例4 .（有界变差数列收敛定理 ）若数列｛x ｝满足条件:（n =1, 2,），则称｛人｝为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛.=0, y n 二 X n —X nJ —%1—X n 』"| X ? - X ’那么｛y n ｝单调递增，由已知可知： ｛y n ｝有界，故｛%｝收敛, 从而0， -I 正整数N ，使得当n .m . N 时，有y n -y m ：：：；; 此即X n -X m _X n -X n 』"|X n 丄^/"| X m 1 - X m |八；由柯西收敛准则，数列｛ X,｝收敛.注：柯西收敛准则把 ；—N 定义中的a n 与a 的关系换成了 a n 与a m 的关系，其优点在于无需借用数列以外的数a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性.3 •运用单调有界定理单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限.例5 •证明：数列 x n = J a +J a +''描 （n 个根式，a >0，n =1, 2, 11|）极限存在，并求l i ^X n • 证：由假设知X n = a • X n1 ；①用数学归纳法可证： X n 1 X, , ^ N :② 此即证｛X,｝是单调递增的.事实上，0 ：：： Xn 1 • ..=a • Xn •；： J a • a • 1 ：：：、'（ ：a • 1）2二 a 1 ；由①②可知： ｛X n ｝单调递增有上界，从而 lim X^ =1存在，对①式两边取极限得：1二JFR ，解得： 1」1如和|/-1 4a(舍负)；.・.limX 」1如.22F 24.利用迫敛性准则（即两边夹法）迫敛性：设数列｛a n ｝、｛b n ｝都以a 为极限，数列｛C n ｝满足：存在正数 N ，当n • N 时，有:1*2 n "郭 n 2 +n 勺 n 2+2n 2+n +n)卫j <X ^n (n 1)；从而lim 単』亠m 吵"2(n ②) 2(n 5 1) "一斗2 (n 2n) 2 r ：2( n n 1)•••由迫敛性，得：朝人+冷…冷弓.注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用.证：令力 a^lC n 乞b ，则数列｛C n ｝收敛，且l nim Cn =a .例6 .求:解：记：X n备？■生，则:....1 2 小“丘 n ； 21 n 2n 1亠 ％ - x ,| M5•利用定积分的定义计算极限黎曼积分定义：设为f(x)定义在［a, b ］上的一个函数，J 为一个确定的数，若对任给的正数g >0 ,总存在某一正数 5，使得对［a, b ］的任意分割T ，在其上任意选取的点集 {©}，1X 」,x ］，n只要—就有送f(©)织—J £ ■则称函数f(x)在［a, b ］上(黎曼)可积，数J 为f(x)在［a, b ］i J_.兀 .2兀 sin — sin —— lim------ + ---- - +"f 1n 1< 22n2n2n .sin — sinsin sin — sinsin si n — sin sin-n nn ____ n . ___ 亠 亠 n ... n nnnn注：数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时， 可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义；部分相关的数列极限直接利用积 分定义可能比较困难，这上的定积分，记作 bJ f (x)dx •=exp "li 琴瓦 ^In(1 +丄)卜exp(』ln(1 +x)dx )=exp(2ln2 —1例8.求: 解：因为:又:.兀亠• 2兀亠亠.n 兀sin — sin sin -n n nn +1 n 1 =lim — ■- y ：n 1 二二 二 2 二 n 二 -—(sin — sin — ■ ■■-sin —) •兀丄• 2兀丄亠• nn sin sin sin 一 •- lim n nJnY ：n -1■nsin同理:sin — si n — s in 」由迫敛性，得:例7.求:1112 n n+評+廿1+討2兀时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论.6•利用（海涅）归结原则求数列极限（x ）=A=对任何人必（n 宀），有 ”叮（Xn ）=A •2=[im(1 •啤)]im(1 ^^1)^ ^lim(1 n^)^^lim(1 」)x =e ； lim(1 -1 -4)n=e • i ： n n注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决. 7•利用施托尔茨（Stolz ）定理求数列极限stolz 定理1: （__）型：若｛y n ｝是严格递增的正无穷大数列，它与数列 ｛X n ｝一起满足:□0"m ：x 二辭1，则有卩叹辭1，其中l为有限数，或；，或一stolz 定理2： （0）型：若｛yn ｝是严格递减的趋向于零的数列， n —「:：时，Xn —；0且lim X 1 Xn=］，则有lim Xn=l ，其中I 为有限数，或•：：，或-. n「y n1. -y n7%例11 .求：乍 2P 加:小n p愠 np+ (P^N) •解：令X n =1p ，2p 爲…圧-P , y n =n p1, n • N ，则由定理1,得:lim 1P 2P1 nP Rim (n P11)P P1，lim心 「 rn p1"：( n1)p_ n p n]p1) n p_(P ⑴卩P 1注：本题亦可由 方法五（即定积分定义）求得，也较为简便，此处略.例9•求：lim n-<-.: 1e n-1 1 解：lim■n-s ： 1-1 1例10 •计算: 解：一方面, 另一方面, 1= lim 学n T_on( lim 1 n 扛 (1 - n由归结原则: 1、n “ 1、n 2）：：：（1 ） > n(nr ')；1 1(1 ——1)n （取 X n=(1 2丄_2_ 丁 )心丄—(1—)5-; nn2n n—1 ,n = 2, 3,…)， 归结原则：lim f X十2n2由迫敛性，得:n'TnC ：S n，求：Hm S n •n8.利用级数求和求数列极限由于数列与级数在形式上的统一性，有时数列极限的计算可以转化为级数求和，从而通过级 数求和的知识使问题得到解决.1 2n例13 .求：lim( 21) ， (a >1). n： - a aa n1od解：令x =—，则|x | .；：1，考虑级数：V nx nan 1x而S(x)二x f (x)2;因此，原式(1—X)9.利用级数收敛性判断极限存在由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此 数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题.例14.设焉0，X ：^^ ^(n r O, 1, 2,)，证明：数列｛X ：｝收敛，并求极限2 +X ：证：由x 0・0 ,可得： x：0(：巾 1 2, )，令 f(x ^22 x C),(x 0)，例12 •设 解：令y =n 2，则｛y n ｝单调递增数列，于是由定理2得:nE ln C ；lim S n = lim k~ 2—— j nY ：2n 1n7 ln C n k1 -7 ln C ：= lim - n二 k 纟 k 土 2 2" (n 1) —nn” ln^^ k_on —k +1=lim n：■： 2n -1n +(n - 1)ln(n y ln kk -1=lim — n二2n 1(n 七)ln( n +1) — n In n -ln(n +1) = lim n:2n 1 .z n 1 nln( ) 1= lim :-n注：Stolz 定理是一种简便的求极限方法，特别对分子、分母为求和型，利用Stolz 定理有很大的优越性，它可以说是求数列极限的洛必达(L'Hospita )法则.lim an = lim =1，•••此级数是收敛的.令Q QS(x) nx n士二八'nx n1，再令n —f (x) =7 nx n」，x:: x::o f(t)dt ■ 0nt n1dt ■ x nn ±n 1f (x)二(产)二1 -x1 (1 -==S(a 」)=a(1-a 于2(1 亠x )=x ：1，x ： 0, (n =0,1,2,)，oo考虑级数：.J |X ： 1 -人； n 倉则 0 . f '(x)2(2 x)2由于X n 牛一X f (X n ) f (X nJf '(©(X n -X n£1X n —人iXn—人 1人一X n 1J?2所以, 级数"_人收敛，从而n£Q0壬(X n 牛-X n )收敛.n_0_令Sn=E (x kk_0_%牛一X k ） = X n 牛一人，叮臂^存在，二 n ^X n 丰 M^+U^S nJ (存在)；对式子：X 」= 2（1+X），两边同时取极限：| =2（1知）,2 *2 +I\ =^J 2或 I =―J2 （舍负）；二 lim 人=J2 .n与、 1 1 i例15 .证明：lim （1In n ）存在.（此极限值称为 Euler 常数）ii i i证：设 a n =i +— +—…+— —In n ，贝U a * —a*丄=—［in n —ln （n —i ）］；2 3 n n对函数y =1 n n 在［n -i, n ］上应用拉格朗日中值定理，可得：Inn —ln(n —1) - (0：：：小1)，10 •利用幕级数求极限例 16•设 sin x =sinx, sin x 二sin(sin n ±x) (n =2, 3, ■■- )，若 sinx 0 ,求:— i解：对于固定的x ，当n —•:时，单调趋于无穷，由stolz 公式，有:sin n x2nn ，1-1 lim nsin n x =lim lim — n 二 nn ：”： 1n 1 [2 2 2sin n x sin n 1 x sin n x所以 a n —a “ 丄=一1 .n(n -1+0) In -1)2 'OC A因为J 收敛，由比较判别法知: n三（n -1）2心a n -a ni 也收敛,n士1 1所以l j m® 存在，即lim^Vi*1iln n)存在. n利用基本初等函数的麦克劳林展开式, 常常易求岀一些特殊形式的数列极限... 1= lim ——y ： 1 ___ 1 sin 2(sin x) s in 2sin . x .2 2丄1 t sin t= lim lim 2 2 lim -“士一* t0 t -int(0 t^(t2-1t4 o(t4))sin t t 3t 4 -- t 6 o （t 6） 1 -- t 2 o （t 2） = lim 3 lim 33 .3t o （t ）3 o （i ）ii •利用微分中值定理求极限拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理，它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质,其应用十分广泛•下面我们来看一下拉格朗日中值定理在求数列极限中的应用. 、 a a 例仃•求：limn 2(arctan arctan ) , (a =0).n二 n n 1解：设f （x ） =arctanx ，在［—a, a］上应用拉格朗日中值定理, n +1 n得：吩…（洽）="吟话），启，故当2知，J 。
极限计算的13种方法示例
极限计算的13种方法示例极限是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点附近的行为。
在计算极限时，我们可以利用一些常见的方法来求解。
下面将介绍13种常见的极限计算方法。
一、代入法代入法是极限计算中最简单的方法之一。
当我们需要计算一个函数在某一点的极限时，只需要将该点的横坐标代入函数中，求得纵坐标即可。
二、夹逼定理夹逼定理是一种常用的极限计算方法，它适用于那些难以直接计算的函数。
夹逼定理的核心思想是通过找到两个函数，它们在极限点附近夹住我们要求的函数，从而求得该函数的极限值。
三、无穷小量法无穷小量法是极限计算中常用的方法之一。
它利用了无穷小量的性质，将函数中的高阶无穷小量忽略不计，只考虑最高阶的无穷小量来计算极限。
四、洛必达法则洛必达法则是一种常用的极限计算方法，它适用于求解0/0型和∞/∞型的极限。
该法则的核心思想是将函数的极限转化为两个函数的导数的极限，然后通过求导计算得到极限值。
五、泰勒展开法泰勒展开法是一种常用的近似计算极限的方法。
它利用了泰勒级数展开的性质，将函数在某一点附近进行泰勒展开，然后通过截断级数来计算函数的极限。
六、换元法换元法是一种常用的极限计算方法，它适用于那些存在复杂变量关系的函数。
通过引入新的变量来替代原来的变量，可以简化函数的形式，从而更容易计算极限。
七、分子有理化分子有理化是一种常用的极限计算方法，它适用于那些含有根式的函数。
通过将根式的分子有理化，可以将原函数转化为一个分式，从而更容易计算极限。
八、分部积分法分部积分法是一种常用的极限计算方法，它适用于那些含有积分的函数。
通过将原函数进行分部积分，可以将原函数转化为一个更简单的函数，从而更容易计算极限。
九、换元积分法换元积分法是一种常用的极限计算方法，它适用于那些含有复杂变量关系的函数。
通过引入新的变量来替代原来的变量，可以简化函数的形式，从而更容易计算极限。
十、二重极限法二重极限法是一种常用的极限计算方法，它适用于那些含有多个变量的函数。
高等数学求极限的14种方法(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim 0，（1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。
要特别注意判定极限是否存在在：（1）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。
常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”（2）A x x f x A x f x =+∞→=-∞→⇔=∞→lim lim lim )()((3) A x x x x A x f x x =→=→⇔=→+-lim lim lim 0)((4) 单调有界准则（5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理）(6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。
极限)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件。
是：εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。
只能在乘除．．时候使用。
例题略。
2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。
首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。
其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。
另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况： （1）“00”“∞∞”时候直接用(2)“∞•0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
例说中学数学极限问题解题常用十法
例说中学数学极限问题解题常用十法作者：韩勇来源：《中学教学参考·理科版》2012年第12期中学数学解决极限问题的基本思路是先通过恒等变形化归为极限的基本问题，然后用极限四则运算法则进行处理，其恒等变形是解决极限问题的最关键一步.本文将结合实例介绍解决极限问题常用恒等变形的十种方法.一、利用约分零因子法【例1】求极限（-4-1x-2 ）解析：分母有零因式的，首先分子、分母约去零因子，化归为连续函数的极限问题去求解.（-4-1x-2 ）（2--4 ）-1x+2 =-14 .二、利用分子、分母同除以相同因子法【例2】求极限-解析：∞∞ 型且分子、分母都是以多项式给出的极限，可以通过分子、分母同除以相同因子再求极限.--三、利用分子或分母有理化法【例3】求极限（x-）-解析：求含根式的极限，其主要方法为分子或分母有理化化去无理式，再求极限.（x-）-（）（）-四、利用数列公式求和法【例4】求极限（）.解析：对于数列的和、差或积求极限，若项数有限时可以直接利用极限的四则运算求极限，若项数为无限项时，应先把无限项化成有限项，如先求出前n项的和（差）或积再求极限.（）-（13 ）n+11-13 ]=32 .五、利用组合公式法【例5】求极限-n.解析：∵，∴-1-（14 ）-1 =-12 .六、利用函数连续性法【例6】求极限-解析：初等函数（一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数）在其定义域内是连续的，即在定义域内每一点均连续.如果函数f（x）、g（x）在某一点处连续，那么函数f（x）±g（x）、f（x）·g （x）、f（x）g（x）（g（x）≠0）在点处连续，则在点处的极限等于处的函数值.因为x=0是函数f（x）-的一个连续点，所以--=0.七、利用配凑法【例7】已知（3x）=2 ，求极限（2x）x.解析：把问题结合已知条件，从整体考虑，通过恰当的拼凑、配凑，使问题的解决能用已知条件，从而达到比较容易解决的目的.因为（3x）=2 ，所以（3x）=6 ，则（2x）=6 ，即（2x）2x=16 ，所以（2x）x=13.八、利用换元法【例8】求极限-1x.解析：因为当x→0时，直接从101+x-1x 的分子、分母中约去x比较困难，而101+x-1x 中当x→0时也趋近于0，因而可以考虑整体换元法，即设y=101+x，则x=y10-1，所以当x→0时，等价于y→1.解析：--1y10-1 =九、利用讨论法【例9】求极限（a为常数且a>0）.解析：当数列中含有不确定的参数时，需要对参数进行分类讨论求解，其依据是：（|q|1或q=-1）；（q=1）.（1）当0（） =01+0=0；（2）当a>1时，；（3）当a=1时，十、利用特殊观察法【例10】求极限（1）！= ；（2）（）= .解析：（1）利用n→∞时，n！变化比变多得多，即n！的变化速率比的变化速率快得多，故！相当于1∞=0 ，所以！=0.（2）利用三角函数性质-，得-，又因为（-|x|），所以（）=0.求极限问题时恒等变形方法灵活多样，要对题目进行全面分析，合理、恰当地选择方法，整体思考，往往可以化繁为简，在解题中起到事半功倍的效果.。
极限的求法总结
a xn
=
a 0 xn
a
即 {xn} 有下界， 由此得
xn+1 −
xn
=
1 2
(
xn
+
a xn
)
−
xn
=
a − xn2 2 xn
0
既
xn 单调下降，因此
lim
x→+
xn
存在。
（2）设
lim
x→+
xn
=
，由（1）
a 0
对递推公式两端取极限，得 = 1 ( + 2 ) 2
解得 = a （舍去负值），所以 = a.
=
a0
(
lim
x→x0
x)n
+
a1
(
lim
x→x0
x) n−1
++
an
= a0 x0n + a1 x0n−1 + + an = Pn (x0 ).
２
极限的求法总结
例3. lim x2 + 5x − 6 x→−1 3x2 + 2
商的法则(代入法)
方法总结： 多项式函数与分式函数(分母不为0)用 代入法求极限;
极限的求法总结
极限的求法总结
简介：求极限方法举例，列举21种 求极限的方法和相关问题
１
1.代入法求极限
极限的求法总结
例1.lim(x2 + x − 2) x→2
例2.设有多项式Pn (x) = a0 xn + a1xn−1 + ... + an ,
求
lim
x → x0
Pn
(
求一元函数极限的若干种方法
求一元函数极限（含数列）的若干种方法内容摘要：极限是数学分析中一个非常重要的概念，它是研究分析方法的重要理论基础。
我们知道，许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和以及广义积分等都是用极限来定义的。
因此掌握好求极限的方法就显得非常重要。
其中二元函数的极限是在一元函数的基础上发展起来的,二者既有联系也有区别。
本文通过部分例题的解析,以详细介绍一元函数极限的求法为主。
归纳了常用的十种求极限方法, 即: 运用极限的定义证明；利用等价无穷小量代换和初等变形来求极限；用两个重要的极限来求函数的极限；利用变量替换求极限；利用迫敛性定理来求极限；利用洛比达法则求函数的极限；利用泰勒公式求极限；利用微分中值定理和积分中值定理求极限；利用积分定义求极限；求极限其他常用方法。
并列举了大量的实例加以说明。
关键词：迫敛性定理中值定理洛必达法则A number of ways to seek a function limit (including the number of columns)Abstract：The limit is a very important concept in mathematical analysis, it is an important theoretical basis for research and analytical methods. We know that many important concepts such as continuity, derivative, definite integral, infinite series and generalized integral to define the limit. Therefore it is very important to master well limit.The limits of the function of two variables is on the basis of the function of one variables, the two have connection and have distinction. This article through the part of example analysis, to introduce the limit of the function of one variables. Summarizes the ten ways: Using the definition of the limits of proof; equivalent Infinitesimal Substitution and the primary deformation; two important limits to seek the limits of functions; variable substitution; the squeeze theorem; L'Hospital Rule; the Taylor formula; the mean value theorem and the integral mean value theorem to the limit; using the integral definition; other commonly used methods.And cited a number of examples to illustrate.Key words：The squeeze theorem Mean Value Theorem L'Hospital Rule目录1 综述 (1)1.1引言 (1)1.2极限的定义 (1)1.3极限问题的类型和方法概述 (1)2 常见的极限求解方法 (2)2.1运用极限的定义证明（估计法） (2)2.2利用等价无穷小量代换和初等变形来求极限 (3)2.3用两个重要的极限来求函数的极限 (6)2.4利用变量替换求极限 (7)2.5利用迫敛性来求极限 (8)2.6利用洛比达法则求函数的极限 (8)2.7利用泰勒公式求极限 (13)2.8利用微分中值定理和积分中值定理求极限 (14)2.9利用积分定义求极限 (14)2.10求极限其他常用方法 (17)3结论 (17)参考文献 (18)求一元函数极限（含数列）的若干种方法1综述1.1 引言极限的思想方法作为人类发现数学问题并解决数学问题的一种重要手段，随着科学技术的不断发展，社会生产力的不断提高，在数学的发展史上将发挥越来越重要的作用。
求极限的13种方法
求极限的13种方法求极限的方法有很多种，以下列举了常见的13种方法和技巧，以帮助解决各种极限问题。
1.代入法：将极限中的变量代入表达式中，简化计算。
这通常适用于简单的多项式函数。
2.夹逼定理：当一个函数夹在两个趋向于相同极限的函数之间时，函数的极限也趋向于相同的值。
3.式子分解：通过将复杂的函数分解成更简单的部分，可以更容易地计算极限。
4.求导法则：使用导数的性质和规则来计算函数的极限。
这适用于涉及导数的函数。
5.递归关系：如果一个函数的递归关系式成立，可以使用递归关系来计算函数的极限。
6.级数展开：将函数展开成无穷级数的形式，可以使用级数的性质来计算函数的极限。
7.泰勒级数：对于可微的函数，可以通过使用泰勒级数来近似计算函数的极限。
8. 洛必达法则：如果一个函数的极限形式是$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$，可以使用洛必达法则来计算极限。
该法则涉及对分子分母同时求导的操作。
9.极限存在性证明：通过证明一个函数在一些点上的左极限和右极限存在且相等，可以证明函数在该点上的极限存在。
10.收敛性证明：对于一个序列极限，可以通过证明序列是有界且单调递增或单调递减的来证明其极限存在。
11.极限值的判断：根据函数的性质，可以判断函数在一些点上的极限是多少。
12.替换法：通过将变量替换为一个新的变量，可以使函数更容易计算极限。
13.反证法：通过假设极限不存在或不等于一些特定值，来推导出矛盾的结论，从而证明极限存在或等于一些特定值。
这些方法并非完整的极限求解技巧列表，但是它们是最常见和基本的方法。
在实际问题中，可能需要结合使用多种方法来求解复杂的极限。
(整理)几种求极限方法的总结
几种求极限方法的总结摘 要 极限是数学分析中的重要概念，也是数学分析中最基础最重要的内容.通过n s 对求极限的学习和深入研究，我总结出十二种求极限的方法.关键词 定义 夹逼定理 单调有界 无穷小 洛必达 泰勒公式 数列求和定积分 定积分 数列[]1根据极限的定义：数列{n x }收敛⇔∃a,ε∀〉0,∃N N ∈+,当n 〉N 时，有n x -a 〈ε. 例1 用定义证明11lim=+∞→n nn证明：0,ε∀>要使不等式11-+n n =11n ε<+成立：解得n 11ε>-,取N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11ε，于是0,ε∀>∃ N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11ε，n N ∀>，有1,1n n ε-<+即11lim =+∞→n n n2利用两边夹定理求极限[]1例2 求极限⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++∞→n n n n n n 22221312111lim 解：设=n c nn n n +++++22212111则有：2n cn n>=+同时有：21nc n<=+，于是nc<<1nn <=+>=. 有11n nnc n n<<<<=+ 已知：11lim=+∞→n n n ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++∞→n n n n n n 22221312111lim =1 3利用函数的单调有界性求极限[]1实数的连续性定理：单调有界数列必有极限.例3 设a x =1，a a x +=2， a a a x n +++= （n=1,2, ）(0a >),求n n x ∞→lim解：显然{}n x 是单调增加的。
我们来证明它是有界的.易见12x a x +=，23x a x += ， 1-+=n n x a x ，从而 12-+=n n x a x ，显然n x 是单调增加的，所以2n n x a x <+两段除以n x ，得 1n nax x <+ 1+≤≤⇒a x a n 这就证明了{}n x 的有界性 设l x n →，对等式12-+=n n x a x 两边去极限，则有∞→-∞→+=n n n n x a x 12l i m l i m⇒a l l +=2解得214++=a l l 4利用无穷小的性质求极限[]2关于无穷小的性质有三个，但应用最多的性质是：若函数f(x)(x )a →是无穷小，函数g(x)在U （),ηa 有界，则函数f(x)*g(x)(x )a →是无穷小. 例 求极限)cos 1(cos lim x x x -++∞→解4 )221sin()221sin(2cos 1cos xx x x x x -+++-=-+ 2)221sin(2≤++-xx 而)1(21221)221sin(0x x x x xx ++=-+≤-+≤ 而,0)1(21lim=++∞→x x x 故 02_1lim=+∞→xx n 5 应用“两个重要极限”求极限[]2e xx x x x x =+=∞→→)11(lim ,1sin lim例5求)1cos 1(sin lim xx x +∞→解2sin 1222sin 211112(sin cos )(sin cos )(1sin )xx xx xx x x x x ⎡⎤+=+=+⎢⎥⎣⎦∴原式=e xxxxx =+∞→22sin 2sin 1)2sin 1(lim6利用洛必达法则求极限[]2例6求xx x 1sin arctan 2lim -∞→π（)00 解： xx n 1sin arctan 2lim -∞→π=11cos111lim 22=-+-∞→x xx n 例7 求极限xx x 3tan tan lim2π→（)∞∞解 xxx 3tan tan lim2π→= 3262cos 26cos 6lim 2sin 6sin lim sin cos 63sin 3cos 6lim )(cos 3)3(cos lim )3(tan )(tan lim 222232,,2=--===--==→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x πππππ7利用泰勒公式求极限[]2例8：求极限 xx x x n cos sin 1lim2-+∞→解 ∵xx x x cos sin 12-+中分子为2x ，∴将各函数展开到含2x 项。
关于极限的若干种计算方法
关于极限的若干种计算方法本文将极限的几种计算方法介绍如下： 一 代入求值法：这种方法只适用于在0x 点连续的函数求极限。
例1、计算3121lim 1x x x x →-+-解：321()11x x F x x x -+==+ 在处有定义且连续,331212111lim 1111x x x x →-+⨯-+∴==++ 例2、计算：22ln lim sin x x x x → 2222l n 2l n 24l n:l i m s i n s i n 2s i n 2x x x x →==解 二 倒数法：这种方法是利用无穷小量与无穷大量的关系来处理的。
例3、2232lim 531n n n n n →∞-++-解：因为分子分母的极限均不存在，故不能运用商的极限运算法则，可先将分子分母分别除以2n ，然后取极限。
于是2222123323lim lim 3153155n n n n n n n n n n→∞→∞-+-+==+-+- 例4、求2143lim 54x x x x →--+解：因为分母极限为零，分子极限不为零，故先考虑1()f x 的极限。
因为 21540l i m 0431x x x x →-+==-所以 2143lim54x x x x →-=∞-+（无穷小量的倒数是无穷大量。
） 例5、计算111lim[]1335(21)(21)n n n →∞+++⋅⋅-+解：由于极限的运算法则不适用于无限和的情形，故本题宜先求和，再求极限。
因为1111()(21)(21)22121k k k k =--+-+所以 111lim[]1335(21)(21)n n n →∞+++⋅⋅-+111111111lim[()()()]21323522121111lim[]22(21)2n n n n n →∞→∞=-+-++--+=-=+利用倒数法可得如下结论：111001011()lim 0()(,,00)()m m m n n x n n a m n b a x a x a x a m n m n a b b x b x b x b m n ---→∞-⎧=⎪⎪+++⎪=<≠≠⎨++++⎪∞>⎪⎪⎩m 0为自然数 三 化积约分法：有些函数()f x 在0x x =处无定义，这时不能用代入求值法求极限，但当0x x =时,()f x 的极限存在与否与()f x 在点0x 处是否有定义无关，所以常将()f x 先作适当变形，如分解因式约去极限为零的分母等，转化为在0x x =处有定义的新函数()g x ，再用代入求值法。
求极限的方法及例题总结
求极限的⽅法及例题总结1．定义：说明：（1）⼀些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以⽤上⾯的极限严格定义证明，例如：；5)13(lim 2=-→x x （2）在后⾯求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运⽤，⽽不需再⽤极限严格定义证明。
利⽤导数的定义求极限这种⽅法要求熟练的掌握导数的定义。
2．极限运算法则定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下⾯极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim（3）)0(,)()(lim成⽴此时需≠=B B Ax g x f说明：极限号下⾯的极限过程是⼀致的；同时注意法则成⽴的条件，当条件不满⾜时，不能⽤。
. 利⽤极限的四则运算法求极限这种⽅法主要应⽤于求⼀些简单函数的和、乘、积、商的极限。
通常情况下，要使⽤这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。
8.⽤初等⽅法变形后，再利⽤极限运算法则求极限例11213lim解：原式=43)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。
注：本题也可以⽤洛⽐达法则。
例2)12(lim --+∞→n n n n解：原式=2311213lim12)]1()2[(lim=-++=-++--+∞→∞→nn n n n n n n nn 分⼦分母同除以。
例3 nn n n n 323)1(lim++-∞→解：原式11)32(1)31(lim 3=++-=∞→n n n n上下同除以。
3．两个重要极限（1） 1sin lim 0=→x xxx xx =+→1)1(lim ； ex x x =+∞→)11(lim说明：不仅要能够运⽤这两个重要极限本⾝，还应能够熟练运⽤它们的变形形式，例如：133sin lim0=→x xx ，ex xx =--→210)21(lim ，ex xx =+∞→3)31(lim ；等等。
(完整word版)求极限的13种方法
求极限的13种方法（简叙）龘龖龍极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。
本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。
一、利用恒等变形求极限利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。
常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。
例1、求极限)1...()1)(1(22lim na aa n +++∞→ ，其中1<a分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。
解 因为)1...()1)(1(22na a a +++ =)1...()1)(1)(1(1122na a a a a +++-- =)1...()1)(1(11222na a a a ++-- =)1(1112+--n a a当∞→n 时，,21∞→+n 而1<a ，故从而,012→+n a)1...()1)(1(22lim naa a n +++∞→=a-11 二、利用变量代换求极限利用变量代换求极限的主要目的是化简原表达式，从而减少运算量，提高运算效率。
常用的变量代换有倒代换、整体代换、三角代换等。
例2、求极限11lim 1--→nmx x x ，其中m,n 为正整数。
分析 这是含根式的（00）型未定式，应先将其利用变量代换进行化简，再进一步计算极限。
解 令11,1→→=t x x t mn时，则当原式=mnt t t t t t t t t t t t m m n n m m n n t m n t =++++++=+++-+++-=----------→→1...1...)1...)(1()1...)(1(lim 11lim 2121212111 三、利用对数转换求极限利用对数转换求极限主要是通过公式,ln v u v e u ⋅=进行恒等变形，特别的情形，在（∞1）型未定式时可直接运用v u v e u ⋅-=)1( 例3、求极限ox →lim xx 2csc )(cos解 原式=ox →lim 21sin sin 21lim csc )1(cos 2202---==→ee e xx xx x四、利用夹逼准则求极限利用夹逼准则求极限主要应用于表达式易于放缩的情形。
求极限的方法总结--小论文
求数列极限的方法总结数学科学学院数学与应用数学08级汉班 **指导教师 ****摘 要 数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题，本文通过归纳和总结，从不同的方面罗列了它的几种求法。
关键词 数列极限、定义、泰勒公式、无穷小量极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。
求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。
夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。
泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。
还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。
1.定义法利用数列极限的定义求出数列的极限.设﹛Xn ﹜是一个数列,a 是实数,如果对任意给定的ε〉0,总存在一个正整数N ，当n 〉N 时,都有a Xn -<ε,我们就称a 是数列{Xn}的极限.记为a Xn n =∞→lim . 例1: 按定义证明0!1lim=∞→n n . 解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n令1/n<ε,则让n>ε1即可, 存在N=[ε1],当n>N 时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n<ε成立, 所以0!1lim =∞→n n . 2.利用极限四则运算法则对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则.例2: 求nnn b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim ,其中1,1<<b a . 解: 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限b b b b b a a a a a n n n n --=++++--=++++++111,1111212 ,原式=abbabbaannnn--=--=----+∞→+∞→11111111lim11lim11,3. 利用夹逼性定理求极限若存在正整数N,当n>N时,有Xn≤Yn≤Zn,且aZnXnnn==∞→∞→limlim,则有aYnn=∞→lim.例3:求{21nn+}的极限.解: 对任意正整数n,显然有nnnnnn221122=≤+<,而01→n,02→n,由夹逼性定理得1lim2=+∞→nnn.4．换元法通过换元将复杂的极限化为简单.例4.求极限21lim+-∞→nnn aa，此时解：若有，令则5.单调有界原理例5.证明数列有极限，并求其极限。
高等数学极限求解方法（共7篇）
高等数学极限求解方法（共7篇）以下是网友分享的关于高等数学极限求解方法的资料7篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。
高等数学求极限的方法篇1对于求解极限的方法可以归结为以下几类: (1)常用等价无穷小记住以下常用等价无穷小-例1 求极限limx →0x (1-cos x ) 【解】原式=x →0 =x →0=x →01==x →02例2 求下列极限1+cos x 2x() -1x (I)w =lim (II ) w =limx →0x →0ln(1+2x 3)4(2)等价无穷小的性质定理：有限个无穷小的代数和仍为无穷小. 定理：有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论：常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论：有限个无穷小的乘积也是无穷小.1【解】lim =0 , lim sin 为有界量，∴原式=0x →0x →0x【注】本题也可以利用常用的等价无穷小公式.(3)常用的极限sin x x sin x x lim =lim =1 lim =0 lim 极限不存在x →0x →0x →∞x →∞x sin x x sin x11x ln(1+x )lim(1+) =lim(1+x ) x =e lim =1x →∞x →0x →0x xlim =1 lim =1n →∞n →∞11例4 求w=lim(+2x ) xx →∞x(4)极限存在的两个准则(1)夹逼准则如果数列{x n },{y n }及{z n }满足下列条件:(1)y n ≤x n ≤z n (n =1, 2,3,...) ;(2)li m y n =lim z n =a , 那么数列{x n }的极限存在，且lim x n =a .n →∞n →∞n →∞(2)单调有界准则单调有界数列必有极限.(5)极限的定义(6)洛必达法则【解】(7)变量替换11方法2 w =lim(+2x ) x =e A ，而x →∞x01t1(t +2-1) x =1/t 0A =lim(+2x -1) −−−→lim −−→lim(1+2t ln 2) =1+l n 2, x →∞x t →0t →0t 故w =e 1+ln 2=2e(8)泰勒公式高等数学中极限的求解方法篇2龙源期刊网高等数学中极限的求解方法作者：曲波来源：《速读下旬》2014年第05期摘要：本文介绍了利用两个重要极限、无穷小量代换、洛比达法则、等求极限的方法，并结合具体的例子，指出了在解题过程中常遇见的一些问题。
高等数学求极限的各种方法
⾼等数学求极限的各种⽅法求极限的各种⽅法1.约去零因⼦求极限例1:求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x ⽆限接近,但1≠x ,所以1-x 这⼀零因⼦可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2.分⼦分母同除求极限例2:求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分⼦分母都以多项式给出的极限,可通过分⼦分母同除来求。
【解】3131lim 13lim 3 11323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) ⼀般分⼦分母同除x 的最⾼次⽅;(2)=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a n nm m m m n n n n x 0lim 011011ΛΛ 3.分⼦(母)有理化求极限例3:求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分⼦或分母有理化求极限,就是通过有理化化去⽆理式。
【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4:求极限3sin 1tan 1limxxx x +-+→【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan limsin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使⽤分⼦有理化⽅法外,及时分离极限式中的⾮零因⼦．．．．．．．．．．．就是解题的关键 4.应⽤两个重要极限求极限两个重要极限就是1sin lim 0=→xxx 与e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ,第⼀个重要极限过于简单且可通过等价⽆穷⼩来实现。
高等数学求极限的14种方法
高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim 0，（1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。
要特别注意判定极限是否存在在：（1）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。
常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”（2）A x x f x A x f x =+∞→=-∞→⇔=∞→limlimlim)()((3)A x x x x A x f x x =→=→⇔=→+-lim lim lim 0)((4) 单调有界准则（5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理）(6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。
极限)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件。
是：εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。
只能在乘除．．时候使用。
例题略。
2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。
首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。
其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。
另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况： （1）“00”“∞∞”时候直接用 (2)“∞•0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
【精品资料】求极限的计算方法与技巧
求极限的计算方法与技巧目录一、引言 (1)二﹑相关定义与定理 (1)三、极限的几个重要性质 (3)1、收敛数列的一些性质 (4)2、函数极限的相关性质 (4)四、极限的计算方法与技巧及举例说明 (5)1、利用极限定义验证极限 (5)2、利用等价无穷小求极限 (6)3、利用两个重要极限求极限 (7)4、利用数列与级数的关系求极限 (8)5、利用定积分概念求极限 (8)6、利用泰勒展开式求极限 (9)7、递推关系法 (9)8、拆项相消法 (10)9、利用不等式 (10)10、洛必达法则 (11)11、中值定理法 (12)12、单调有界定理 (13)13、利用极限的四则运算法则求极限 (14)14、利用加权平均值定理求极限 (14)15、拟和法 (15)16、利用函数导数、连续的定义 (16)17、化积为商法 (17)18、构造新数列 (17)19、Euler常数法 (18)一、引言在高等数学领域中极限是一个重要概念，求数列与函数的极限是数学分析的基本运算。
如函数的连续﹑导数﹑定积分及级数的收敛等都是在极限理论的基础上建立的。
求极限的主要方法有：定义法﹑四则运算﹑两边夹法则﹑实数连续性公理﹑数列的求和公式﹑利用两个重要极限等。
除这些常规方法外还有很多技巧，这些技巧隐含在函数的相关理论中，对这些技巧进行归纳探讨并就应用范围进行分析。
求极限是大学理科学生必须练好的一门的基本功，然而面对错综复杂的极限计算题许多学生感到茫然不知所措，为了帮助学生学好极限，本文对其方法进行了简略地归纳和总结.二、相关定义与定理定义1[1] 设{}n a 为数列,a 为定数。
若对任意的正数ε，总存在正整数N ，使得当N n >时有|,n a a ε-<|则称数列 {}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限,并记作lim ,n n a a →∞=或n a a →()n →∞读作“当n 趋于无穷大时,n a 的极限等于a 或n a 趋于a ”.若数列{}n a 没有极限,则称{}n a 不收敛,或称{}n a 为发散数列.定义2[2] 设f 为定义在[),a +∞上的函数,A 为定数.若对任意的0ε>,存在正 数()M a ≥,使得当x M >时有()f x A ε-<则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限,记作lim ()x f x A →+∞=,或()f x A →()x →+∞.定义3 设函数f 在点0x 的某空心邻域()0'0;U x δ内有定义,A 是一个确定 常数.若0,0εδ∀>∃>,总存在'x ,满足'0o x x δ<-<,且0()f x A ε-<，则称当0x x →时,()f x 以A 为极限,记为0lim ()x x f x A →=.定义4 设函数()f x 在(),o U a δ+内有定义,A 是一个确定的常数，若0ε∀>，0δ∃>,使当a x a δ<<+时,都有()f x A ε-<,则称函数()f x 在x 趋于a +时右极限存在,并以A 为右极限记作lim ()x af x A +→=.有时也记 (0)lim ()x af a f x +→+=. 定理 1〔单调有界定理〕在实系数中，有界的单调数列必有极限. 定理 2〔柯西收敛准则〕数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的0ε>，存 在正整数N ，使得当,n m N >时有n m a a ε-<. 这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问题。
求极限的方法毕业论文.
毕业论文（设计）任务书目录摘要 (5)Astract: (6)一、................................................................. 引言 7二、相关定义与定理 (7)三、极限的几个重要性质 (10)1、收敛数列的一些性质 (10)2、函数极限的相关性质 (10)四、极限的方法与技巧及举例说明 (11)1、................................................... 积分定义法求极限 112、....................................................... 对数法求极限 113、............................................... 利用等价无穷小求极限 124、............................................. 利用两个重要极限求极限 125、......................................... 利用数列与级数的关系求极限 136、............................................... 利用泰勒展开式求极限 137、....................................................... 单调有界定理 14&递推关系法 (15)9、....................................................... 先求和后求限 1510、........................................................ 利用不等式 1611、........................................................ 洛必达法则 1612、中值定理法 (17)13、两边夹法则 (18)14、利用极限的四则运算法则求极限 (18)15、施笃兹（stolz）定理 (19)16、E uler 常数法 (19)五、总结 (20)参考文献 (20)致谢 (21)求极限的方法与技巧龙丽丽摘要:极限概念是高等数学中很重要的概念之一，其它所有的重要的数学概念如导数、定积分都是建立在极限概念的基础上的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
求极限的13种方法案场各岗位服务流程销售大厅服务岗：1、销售大厅服务岗岗位职责：1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品;2)保持销售区域台面整洁;3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等;4)收集客户意见、建议及现场问题点；2、销售大厅服务岗工作及服务流程阶段工作及服务流程班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。
班中工作程序服务流程行为规范迎接指引递阅资料上饮品（糕点）添加茶水工作要求1）眼神关注客人，当客人距3米距离时，应主动跨出自己的位置迎宾，然后侯客迎询问客户送客户注意事项15度鞠躬微笑问候：“您好！欢迎光临！”2）在客人前方1-2米距离领位，指引请客人向休息区，在客人入座后问客人对座位是否满意：“您好！请问坐这儿可以吗？”得到同意后为客人拉椅入座“好的，请入座！”3）若客人无置业顾问陪同，可询问：请问您有专属的置业顾问吗？，为客人取阅项目资料，并礼貌的告知请客人稍等，置业顾问会很快过来介绍，同时请置业顾问关注该客人；4）问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好，这里是XX销售中心，这边请”5）问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好6）关注客人物品，如物品较多，则主动询问是否需要帮助（如拾到物品须两名人员在场方能打开，提示客人注意贵重物品）；7）在满座位的情况下，须先向客人致歉，在请其到沙盘区进行观摩稍作等待；阶段工作及服务流程班中工作程序工作要求注意事项饮料（糕点服务）1）在所有饮料（糕点）服务中必须使用托盘；2）所有饮料服务均已“对不起，打扰一下，请问您需要什么饮品”为起始；3）服务方向：从客人的右面服务；4）当客人的饮料杯中只剩三分之一时，必须询问客人是否需要再添一杯，在二次服务中特别注意瓶口绝对不可以与客人使用的杯子接触；5）在客人再次需要饮料时必须更换杯子；下班程序1）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导；2）填写物资领用申请表并整理客户意见；3）参加班后总结会；4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班；1.3.3.3吧台服务岗1.3.3.3.1吧台服务岗岗位职责1）为来访的客人提供全程的休息及饮品服务；2）保持吧台区域的整洁；3)饮品使用的器皿必须消毒；4）及时补充吧台物资；5）收集客户意见、建议及问题点；1.3.3.3.2吧台服务岗工作及流程阶段工作及服务流程班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。
班中工作程序服务流程行为规范问询需求按需求提供饮品客户离开后清理桌面阶段工作及服务流程服务准迎客：保得知需客户班中工作程序工作要求注意事项1)在饮品制作完毕后，如果有其他客户仍在等到则又销售大厅服务岗呈送；2)所有承装饮品的器皿必须干净整洁；下班程序5）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导；6）填写物资领用申请表并整理客户意见；7）参加班后总结会；8）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班；1.3.4展示区服务岗岗位职责1.3.4.1车场服务岗1.3.4.1.1车场服务岗岗位职责1）维护停车区的正常停车秩序；2）引导客户车辆停放，同时车辆停放有序；3）当车辆挺稳时，上前开车门并问好；同时提醒客户锁好车门；4）视情况主动为客户提供服务；5）待车辆停放完好后，仔细检查车身情况请客户签字确认；1.3.4.1.2阶段工作及服务流程班前阶段1）自检仪容仪表2）检查周边及案场区设备、消防器材是否良好，如出现异常现象立即报告或报修3）检查停车场车位是否充足，如有异常及时上报上级领导班中工作程序服务流程行为规范1.敬礼2.指引停车3.迎客问好4.目送阶段工作及服务流程班中工作程序工作要求注意事项1）岗位应表现良好的职业形象时刻注意自身的表现，用BI规范严格要求自己2）安全员向客户敬礼，开车门，检查车辆情况并登记，用对讲系统告知销售大厅迎宾，待客人准备离开目送客人离开；迎送引导敬为问指引销售检查车为引敬下班程序1）检查使用的工具情况，异常情况及时记录并报告上级领导；2）参加班后总结会；3）统计访客量；4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班；1.3.4.2展示区礼宾岗1.3.4.2.1展示区礼宾岗岗位职责1）对过往的客户行标准的军礼，目视；2）与下一交接岗保持信息联系，及时将信息告知下一岗位，让其做好接待工作；3）热情礼貌的回答客户的提问，并做正确的指引；4）注视岗位周边情况，发现异常及时上报上级领导；1.3.4.2.2展示区礼宾岗工作及服务流程阶段工作及服务流程班前阶段1）自检仪容仪表2）检查周边及案场区设备、消防器材是否良好，如出现异常现象立即报告或报修班中工作程序服务流程敬礼问指引样板敬礼目送行为规范1.迎接客户2.指引客户3.为客户提供帮助4.目送客户工作要求注意事项1）礼宾岗必须掌握样板房户型、面积、朝向、在售金额、物业服务管理费用等客户比较关注的话题；2）礼宾岗上班后必须检查样板房的整体情况，如果发现问题必须及时上报并协助销售进行处理；3）视线范围内见有客户参观时，远处目视，待客户行进1.5米的距离时，敬军礼并主动向客户微笑问好，“欢迎您来参观样板房，这边请，手势指引样板房方向”；阶段工作及服务流程班中工作程序工作要求注意事项4）参观期间，礼宾岗需注意背包或穿大衣等可以重点人员进行关注，避免样板房的物品丢失，当巡检时发现有物品丢失及时上报上级领导，对参观的可疑人员进行询问，根据销售部的意见决定是否报警；5）样板房开放时间，在未经销售、项目部允许而进行拍照、摄像等行为劝阻，禁止任何人员挪动展示物品；6）样板房开放时礼宾岗要关注老人、小孩、孕妇及行动不便的人群，对在参观过程中出现的意外及物品损坏必须及时上报上级领导，根据销售部的意见进行处理并做好登记；7）样板房开放期间礼宾岗要礼貌准确的回答客户的问题，对不能回答的问题需引导给销售人员由其进行解答，严禁用含糊不清或拒绝来回答；8）留意客户是否离开样板房，通知电瓶车司机来接客户；9）当客户参观完毕离开样板房，待客户1.5米距离时微笑敬礼目送客户，手势指向出门的方向，若电瓶车未到，向客户致歉并说明电瓶车马上就到；10）每天下班要对样板房物品进行检查并做好登记，如出现丢失或损坏须向上级领导呈报，根据销售部意见进行处理并做好记录；11）礼宾岗下班后要关闭样板房的水源、电源及监控系统并与晚班人员做好交接；12）对于特殊天气，样板房礼宾岗要检查周边环境，以防不则；下班程序1）检查使用的工具情况，异常情况及时记录并报告上级领导；2）参加班后总结会；3）统计访客量；4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班；1.3.4.3电瓶车服务岗1.3.4.3.1电瓶车服务岗岗位职责1）严格按照规定的路线及线路行驶，将客人送到指定地点；2）正确执行驾驶操作流程，确保车行安全；3）了解开发建设项目的基本情况并使用统一说辞，在允许的情况下礼貌回答客户问题；4）车辆停放时及时对车辆进行清洁，确保车辆干净；5）负责车辆的检查；6）对车辆实施责任化管理，未经允许任何人不得驾驶；7）不允许非客户人员乘坐电瓶车；8）做好电瓶车的交接工作1.3.4.3.2电瓶车服务岗工作及服务流程阶段工作及服务流程班前阶段1）自检仪容仪表2）检查电瓶车运行状态，如发现问题立即上报上级领导进行维修并做好记录班中工作程序服务流程行为规范1）迎接客户上车2）转弯、减速、避让提示客户3）下车提示客户小心工作要求注意事项1）电瓶车驾驶员载客至样板房过程中禁止鸣笛、超速、遇车避让；2）客户上车时应主动问好，欢迎您来到XX项目，车辆行驶时应提示客户坐稳扶好，到达目的地时，驾驶员提示客户样板房已经到达请小心下车，客户离开电瓶车时应说：欢迎下次乘坐，谢谢再见，问指引车辆起车辆行驶下请慢走；3）带客户下车时应检查车上是否有遗留物品，并提示客户随身带好物品；4）电瓶车必须严格按照规定路线行驶；5）做好行车记录；下班程序1）待客户全部离开后将电瓶车开至指定位置，并将车辆进行清洁及充电；2）整理客户意见，参加班后会；3）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班；1.3.5样板房服务岗1.3.5.1样板房讲解岗岗位标准1.3.5.1.1样板房讲解岗岗位职责1)负责来访样板房客户的全程接待与讲解；2）协助、配合置业顾问介绍；3）客户离开后，样板房零星保洁的处理；4）收集客户意见、建议及现场问题点的填写（样板房日常庶务）反馈单,下班后递交案场负责人；1.3.5.1.2样板房讲解刚工作及服务流程阶段工作及服务流程班前阶1）自检仪容仪表，以饱满的工作状态进入工段作；2）检查样板房设备设施运行情况，如有异常及时上报并做好登记；3）检查样板房保洁情况及空调开启情况；设备设施班中工作程序服务流程行为规范1）站立微笑自然2）递送鞋套3）热情大方、细致讲解4）温馨道别保持整洁工作要求注意事项1）每日对接样板房设备清单，检查空调开启及保洁状态；2）站在样板房或电梯口，笑意盈盈接待客户；3）顾客出现时，身体成30度角鞠躬“欢迎光顾XX样板房”4）引领入座并双手递上鞋套，双手递上时不宜过高，与客人坐下时的膝盖同高；5）与客户交谈时声音要足，吐字清晰避迎客，引导客协助置向客户免重复；6）专注你接待的客户，勿去应其他客户，以示尊重，对其他客户微笑点头以示回应；7）若无销售人员带领的客户，要主动介绍房子的户型及基本信息，谈到房子的价位时请客户直接与销售人员联系不要直接做回答；8）参加样板房时，未经销售或其他人员允许谢绝拍照及录像，谢绝动用样板房物品及附属设施，对客遗失物品做好登记并上报上级领导；9）时刻注意进入样板房的客户群体，特别是小孩，要处处表达殷勤的关心，以示待客之道；10）时刻留意客户的谈话，记下客户对样板房的关注点和相关信息；11）送别，引领客户入座示意脱下鞋套双手承接，客户起身离去时，鞠躬说感谢您参观样板房，并目送客户离开；下班程序1）检查样板房设备设施是否处于良好的运营状态，如出现异常及时维修；2）需对接样板房物品清单；3）整理客户意见，参加班后会；4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班；1.3.5.2样板房服务岗岗位标准（参见销售大厅服务岗岗位标准）1.3.6案场服务岗管理要求培训及例会岗前培训BI规范及楼盘基本情况在岗培训每月至少一次1）公司企业文化2）客户服务技巧3）客户心理培训4）突发事件处理5）营销知识培训6）职业安全7）7S现场管理例会日会：每日参加案场管理岗组织的总结会并及时接收案场信息周会：每周参加管理岗组织的服务类业务点评会客户信息收集反馈每日汇总客户信息反馈到案场管理岗样板房客户车场岗客户监督考核1）考核频次：至少每月一次；2）考核人：案场管理岗；3）每月汇总客户信息反馈表，依据上级检查及客户满意度调查情况进行绩效加减；4）由案场负责人直接考核；5）连续两个月考核不合格者直接辞退1.4案场基础作业岗1.4.1案场基础作业岗任职资格岗位类型岗位名称任职资格基础作业岗安全岗基本要求：1）男性：身高1.80米以上；2）年龄：(18-30)岁；3）普通话标准；4）学历：高中以上；技能要求：1）熟悉项目的基本情况2）具备过硬的军事素质素质要求：1）性格：开朗、主动服务意识强有亲和力；2）从业经历：具有同岗位经验半年以上案场保洁岗及绿化养护岗基本要求：1）男女不限；2）年龄30岁以下3）学历：初中以上技能要求“案场保洁岗：熟知药剂使用及工具使用案场绿化养护岗：熟知树木习性及绿化养护知识素质要求：具有亲和力，对保洁及绿化工作有认同感案场技术保障岗基本要求：男性五官端正学历：中专（机电一体化）技能要求：1）具有水或电及空调证书；2）熟悉各岗位操作工具的使用；3）同岗工作一年以上素质要求：踏实肯干，具有亲和力及主动服务意识1.4.2案场基础作业岗通用行为规范通用规范 参照标准君正物业员工BI 规范手册1.4.3安全岗岗位标准1.4.3.1安全岗岗位职责1）负责销售案场管理服务区域的安全巡视工作，维持正常秩序；2）监督工作区域内各岗位工作状态及现场情况及时反馈信息；3）发现和制止各种违规和违章行为，对可疑人员要礼貌的盘问和跟踪察看；4）谢绝和制止未经许可的各类拍照、摆放广告行为；1.4.3.2安全岗作业要求1）按照巡视路线巡视签到检查重点部位；2）遇见客户要站立、微笑、敬礼，礼貌的回答客户的提问并正确引导；3）人过地净，协助案场保洁人员做好案场的环境维护；4）在每一巡视期内检查设备设施运行状态并做好记录；5）协助做好参观人员的车辆引导、指引和执勤工作；6）积极协助其他岗位工作，依据指令进行协助；1.4.4保洁岗岗位标准1.4.4.1保洁岗岗位职责1）负责案场办公区域、样板房及饰品的清洁工作；2）负责案场外围的清洁工作；3）负责案场垃圾的处理；4）对案场杂志等资料及时归位；1.4.4.2保洁岗作业要求1）每天提前半小时上岗，对案场玻璃、地面等进行全方位清洁；2）卫生间每十分钟进行一次巡视性清洁；3）阴雨天提前关闭门窗；4）掌握清洁器具的使用；5）熟知清洁药剂的配比及使用；1.4.5绿化岗岗位标准1.4.5.1绿化岗岗位职责1)负责管理区域内一切绿化的养护；2）确保绿化的正常存活率；3）对绿植进行修剪及消杀；1.4.6案场技术岗岗位标准1.4.6.1案场技术岗岗位职责1）全面负责案场区域内设备设施的维护、维修及保养；2）协助管理岗完成重大接待工作案场的布置；3）现场安全的整体把控；1.4.6.2案场技术岗岗位要求1）每日案场开放前对辖区设备设施进行检查，保障现场零事故；2）每日班后对设备设施进行检查保障正常运行并做好相关记录；3）报修后5分钟赶到现场；4）接到异常天气信息，对案场设备进行安全隐患排除；1.4.7案场基础作业岗岗位要求培训及例会岗前培训BI规范及楼盘基本情况在岗培训每月至少一次1）公司企业文化2）客户服务技巧3）客户心理培训4）突发事件处理5）营销知识培训6）职业安全7）7S现场管理例会日会：每日参加案场管理岗组织的总结会并及时接收案场信息周会：每周参加管理岗组织的服务类业务点评会客户信息收集反馈每日汇总客户信息反馈到案场管理岗监督考核1）考核频次：至少每月一次；2）考核人：案场管理岗；3）每月汇总客户信息反馈表，依据上级检查及样板房客户车场岗客户客户满意度调查情况进行绩效加减；4）由案场负责人直接考核；5）连续两个月考核不合格者直接辞退2服务创新案例项目推荐亮点服务为客户爱车提供遮阳服务服务员面向客户时刻关注客户上午11点给客户送上点心，关怀到心2服务创新案例项目推荐亮点服务夏日毛巾送清凉，冬日毛巾暖人心洗手间提供百宝箱样板房门口提供卷尺待客户使用摆件销售大厅销售大厅标准摆设：布置整齐规范布置整齐规范水中花、烟缸、百宝箱、项目推介书茶几物品、花、烟缸水中花时尚周围用木桩装饰垃圾桶装饰（石子边缘放置一枚花卉）垃圾桶上方加印LOGO整齐的伞架样板房没有电样板房门口鞋销售大厅设置梯所设的温馨字画套分门别类摆放娱乐实施（桌球等）求极限的13种方法（简叙）龘龖龍极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。