湖南理工学院高等数学试题3

高等数学考试试题（含答案）
一、填空题(每小题3分, 共30分) 答案写在答题纸上, 写在题后无效.
1. (),()y z z
z xf f u x y x x y
∂∂=+=∂∂设可导，则________________;
2. 2(,,),(,)0x f x y z e yz z z x y x y z xyz ==+++=设其中是由确定的隐函数，则 '(0,1,1)________________x f -=;
3. (,)xyz z z x y +==由方程在点（1,0,-1）处的 __________全微分dz=
4. ln(A(1,0,1)__________u x =+函数在点处的梯度为;
5. 曲线21,,__________1t t x y z t t t
+=
==+在点处切线垂直于平面281610x y z -+-=; 6. 设函数()f x 为[0,1]上的正值连续函数，其中D {(,)|01,01}x y x y =≤≤≤≤则
()()
()()D
af x bf y dxdy f x f y ++⎰⎰ =__________; 7. 平面薄片D 由曲线2y x =及直线y x =所围成，其上任一点密度2(,)u x y x y =，此薄
片的质量为____________;
8.
曲面z =和曲面22z x y =+所围立体的体积V =________; 9.计算曲线积分(1,2)
43224(0,0)
(4)(65)I x xy dx x y y dy =++-⎰
，则I =______________;
10. 设曲线L
为下半圆周y =则曲线积分22()L x y ds +=⎰__________.
二、选择题 (每小题4分, 共40分) 答案写在答题纸上, 写在题后无效. 1.
函数z =在点(0,0)处( )
(A) 不连续； (B)偏导数存在； (C) 沿任一方向的方向导数存在； (D) 可微. 2. 设f
连续，若22(,)uv
D F u v =
⎰⎰
，其中uv D 为图中阴影部分，
则
F
u
∂=∂( )
(A) 2()vf u ； (B)
2()v f u u ； (C) ()vf u ； (D) ()v
f u u
. 3. 设(,)z f x x y =+有二阶连续偏导数，令,u x v x y ==+，则22z
x
∂=∂( )
(A) ''''
uu vv
f f +； (B) ''''''uu uv vv f f f ++； (C) ''''''2uu uv vv f f f ++； (D) '''''uu vu v f f f ++.
4. 函数23(,)f x y x y =在点(2,1)处沿方向l i j =+
的方向导数为( )
(A)16;
(C) 28; (D)
.
5. 已知函数(,)f x y 在(0,0)U 内连续，且222
00
(,)lim
1()
x y f x y xy
x y →→-=+，则( ) (A) 点(0,0)不是(,)f x y 的极值点; (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点; (C) 点(0,0)是(,)f x y 的极小值点;
(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点.
6. 设(,)f x y 为连续函数，则1
40
(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于( )
(A)
(,)x
f x y dy
(B)
(,)f x y dy
(C)
(,)y
f x y dx
(D)
(,)f x y dx
7. 设区域22{(,)|1,0}D x y x y x =+≤≥，则二重积分 22
11D
xy
I dxdy x y +=++⎰⎰
=（ ） (A)24π; (B) 2
2
π； (C)ln 2π； （D ）ln 22π.
8. 设曲线L 是以点(1,0)为中心，R 为半径的圆周(R>1)，取顺时针方向，则曲线积分
22
4L xdy ydx
I x y -==+⎰
（ ）
(A)π; (B) π-; (C) 0; (D) 2π.
9. 设曲面∑是锥面2223()z x y =+被平面0,3z z ==所截得的部分，则曲面积分
22()I x y ds ∑
=+=⎰⎰（ ）
(A)92π-; (B) 9
2
π ; (C) -9π; (D) 9π;.
10.向量2
(23)()(2)A x z i xz y j y z k =+-+++ 穿过球面222(3)(1)(2)9x y z -+++-= 流向外侧的流量是( )
(A) 108π; (B) 36π; (C) 216π; (D) 54π.
三、 (15分) 在曲面2222(1)(1)z x y =-+-(0)z >上求点1111(,,)P x y z ，
使点1P 到原点的距离最短，并求曲面上过1P 点的切平面方程。

试卷评分标准
一、填空题(每小题3分, 共30分)
1. z 或()y xf x ;
2. 1;
3.
dx ； 4. 11
(,0,)22;
5. 1(,2,1)2;
6. 1()2a b +;
7. 135;
8. 1π6;
9. 79
5- 10. .π
二、选择题(每小题4分, 共40分)
1. ( C ) ;
2. ( A ) ;
3. ( C ) ;
4. ( B ) ;
5. ( A ) ;
6. ( C ) ;
7. ( D ) ;
8. ( B );
9. ( D ); 10. ( A ).
三、解 目标函数为2222f d x y z ==++，约束条件为2222(1)(1)z x y =-+- 2 分 解法1：化为无条件极值：
22222(,)2(1)(1)(,)f x y x y x y x y R =++-+-∈ 分2
24(1)0
22(1)0x y f x x f y y =+-=⎧⎪⎨
=+-=⎪⎩ 得出唯一驻点112312
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩ 代入曲面方程得
6
z =
（舍去负值） 4 分
111111(,)6(,)0(,)4xx xy yy A f x y B f x y C f x y ======
因为 2240AC B -=>
，且驻点唯一，所以1
21(,32P 处取得最短距离
6
d =
分2 （或由题意，原点到曲面存在最小距离，所以(,)f x y
在唯一驻点取得最小值
6
） 解法2：令222222(,,,)(2(1)(1))L x y z x y z x y z λλ=+++-+-- 4 分
由22224(1)0
24(1)0
220
2(1)(1)0x y z L x x L y y L z z L x y z λλλλ=+-=⎧⎪=+-=⎪
⎨=-=⎪⎪=-+--=⎩
解出111
2312x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩
4 分
由于驻点唯一，根据实际意义，点121
(,
,326P
为所求点，最短距离为
6
2 分
以下求切平面方程：
令2
2
2
(,,)2(1)(1)F x y z x y z =-+--，
则14()3x F P =-
，1()1y F P =-
，1()z F P =
，取n =
3 分 所求切平面方程为
214()3()032x y z -+-+-=
，即4370x y +-= 2 分
四、解 补充1∑为xoy 平面上被椭圆2
2
14
y x +=所围部分的下侧，记Ω为由∑和1∑围成的空间闭区域，根据高斯公式得 分2
1
2
211
14
1
23(20)d d d
366(1)2y x z I xzdydz zydzdx xydxdy z z x y z zdz
dxdy z z dz ππ
∑+∑Ω
+
≤-=++==++==-=⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
⎰ 分分
1
2
2214
2330
4y x I xzdydz zydzdx xydxdy
xydxdy ∑+
≤=++=-=⎰⎰⎰⎰
分
因此 12π.I I I =-=。