湖南理工学院高等数学试题3

高等数学考试试题（含答案）

一、填空题(每小题3分, 共30分) 答案写在答题纸上, 写在题后无效.

1. (),()y z z

z xf f u x y x x y

∂∂=+=∂∂设可导，则________________;

2. 2(,,),(,)0x f x y z e yz z z x y x y z xyz ==+++=设其中是由确定的隐函数，则 '(0,1,1)________________x f -=;

3. (,)xyz z z x y +==由方程在点（1,0,-1）处的 __________全微分dz=

4. ln(A(1,0,1)__________u x =+函数在点处的梯度为;

5. 曲线21,,__________1t t x y z t t t

+=

==+在点处切线垂直于平面281610x y z -+-=; 6. 设函数()f x 为[0,1]上的正值连续函数，其中D {(,)|01,01}x y x y =≤≤≤≤则

()()

()()D

af x bf y dxdy f x f y ++⎰⎰ =__________; 7. 平面薄片D 由曲线2y x =及直线y x =所围成，其上任一点密度2(,)u x y x y =，此薄

片的质量为____________;

8.

曲面z =和曲面22z x y =+所围立体的体积V =________; 9.计算曲线积分(1,2)

43224(0,0)

(4)(65)I x xy dx x y y dy =++-⎰

，则I =______________;

10. 设曲线L

为下半圆周y =则曲线积分22()L x y ds +=⎰__________.

二、选择题 (每小题4分, 共40分) 答案写在答题纸上, 写在题后无效. 1.

函数z =在点(0,0)处( )

(A) 不连续； (B)偏导数存在； (C) 沿任一方向的方向导数存在； (D) 可微. 2. 设f

连续，若22(,)uv

D F u v =

⎰⎰

，其中uv D 为图中阴影部分，

则

F

u

∂=∂( )

(A) 2()vf u ； (B)

2()v f u u ； (C) ()vf u ； (D) ()v

f u u

. 3. 设(,)z f x x y =+有二阶连续偏导数，令,u x v x y ==+，则22z

x

∂=∂( )

(A) ''''

uu vv

f f +； (B) ''''''uu uv vv f f f ++； (C) ''''''2uu uv vv f f f ++； (D) '''''uu vu v f f f ++.

4. 函数23(,)f x y x y =在点(2,1)处沿方向l i j =+

的方向导数为( )

(A)16;

(C) 28; (D)

.

5. 已知函数(,)f x y 在(0,0)U 内连续，且222

00

(,)lim

1()

x y f x y xy

x y →→-=+，则( ) (A) 点(0,0)不是(,)f x y 的极值点; (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点; (C) 点(0,0)是(,)f x y 的极小值点;

(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点.

6. 设(,)f x y 为连续函数，则1

40

(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于( )

(A)

(,)x

f x y dy

(B)

(,)f x y dy

(C)

(,)y

f x y dx

(D)

(,)f x y dx

7. 设区域22{(,)|1,0}D x y x y x =+≤≥，则二重积分 22

11D

xy

I dxdy x y +=++⎰⎰

=（ ） (A)24π; (B) 2

2

π； (C)ln 2π； （D ）ln 22π.

8. 设曲线L 是以点(1,0)为中心，R 为半径的圆周(R>1)，取顺时针方向，则曲线积分

22

4L xdy ydx

I x y -==+⎰

（ ）

(A)π; (B) π-; (C) 0; (D) 2π.

9. 设曲面∑是锥面2223()z x y =+被平面0,3z z ==所截得的部分，则曲面积分

22()I x y ds ∑

=+=⎰⎰（ ）

(A)92π-; (B) 9

2

π ; (C) -9π; (D) 9π;.

10.向量2

(23)()(2)A x z i xz y j y z k =+-+++ 穿过球面222(3)(1)(2)9x y z -+++-= 流向外侧的流量是( )

(A) 108π; (B) 36π; (C) 216π; (D) 54π.

三、 (15分) 在曲面2222(1)(1)z x y =-+-(0)z >上求点1111(,,)P x y z ，

使点1P 到原点的距离最短，并求曲面上过1P 点的切平面方程。

试卷评分标准

一、填空题(每小题3分, 共30分)

1. z 或()y xf x ;

2. 1;

3.

dx ； 4. 11

(,0,)22;

5. 1(,2,1)2;

6. 1()2a b +;

7. 135;

8. 1π6;

9. 79

5- 10. .π

二、选择题(每小题4分, 共40分)

1. ( C ) ;

2. ( A ) ;

3. ( C ) ;

4. ( B ) ;

5. ( A ) ;

6. ( C ) ;

7. ( D ) ;

8. ( B );

9. ( D ); 10. ( A ).

三、解 目标函数为2222f d x y z ==++，约束条件为2222(1)(1)z x y =-+- 2 分 解法1：化为无条件极值：

22222(,)2(1)(1)(,)f x y x y x y x y R =++-+-∈ 分2

24(1)0

22(1)0x y f x x f y y =+-=⎧⎪⎨

=+-=⎪⎩ 得出唯一驻点112312

x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=

⎪⎩ 代入曲面方程得

6

z =

（舍去负值） 4 分