2-3-2等差数列习题课

，
∵a1<0，∴d>0， 解得 10≤n≤11. ∴n 取 10 或 11 时，Sn 取最小值．
第二章

2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
解法 3：∵S9＝S12，∴a10＋a11＋a12＝0，∴3a11＝0， ∴a11＝0.∵a1<0，∴前 10 项或前 11 项和最小．
第二章
第二章
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
合作探究 已知在正整数数列{an}中，前 n 项和 Sn 满足： 1 Sn＝ (an＋2)2. 8 (1)求证：{an}是等差数列； 1 (2)若 bn＝ an－30，求数列{bn}的前 n 项和的最小值． 2
第二章
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
第二章
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
[分析]
Sn 是等差数列前 n 项的和，故 Sn 是 n 的不含常数
2
1 项的二次函数，即 Sn＝an ＋bn 形式，从而 可拆项，从而相 Sn 加相消可得 S.
第二章
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
[解析]
kk－1 ∵Sk＝3k＋ ×2＝k2＋2k＝k(k＋2)， 2
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
[点评]
解法 1 利用等差数列前 n 项和 Sn 是 n 的二次函数
(公差 d≠0 时)，通过二次函数求最值的方法求解；解法 2 利用 等差数列的性质由 a1<0 及 S9＝S12 知 d>0，从而数列中必存在 一项 an≤0 且 an＋1>0 以找出正负项的分界点；解法 3 利用 S9 ＝S12 及等差数列的性质．要注意体会各种解法的着眼点，总结 规律．
[解析]
1 (1)证明：∵Sn＝ (an＋2)2，① 8 (n≥2)．
1 ∴Sn－1＝8(an－1＋2)2
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 1 1 2 ＝8(an＋2) －8(an－1＋2)2， 整理得(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0. ∴an－an－1＝4，即{an}为等差数列．
第二章
.
第二章
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
[点评]
解决此类问题要认真阅读理解所给出的定义，并
将其与所学知识相联系，寻求解题方法．
第二章
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
设 m∈N*，log2m 的整数部分用 F(m)表示，则 F(1)＋F(2) ＋F(3)＋„＋F(1024)的值是( A．8204 C．9218 ) B．8192 D．8021
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
1 1 2 (2)解：∵S1＝8(a1＋2) .∴a1＝8(a1＋2)2. 解得 a1＝2.∴an＝2＋4(n－1)＝4n－2， 1 1 ∴bn＝2an－30＝2(4n－2)－30＝2n－31. 31 令 bn<0 得 n< 2 ， ∴S15 为前 n 项和的最小值． 故 S15＝b1＋b2＋„＋b15＝2(1＋2＋„＋15)－15×31 ＝－225.
天入院治疗流感的人数共有________人．
[答案] 255
第二章
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
[解析]
∵an＋2－an＝1＋(－1)n
(n∈N*)，∴n 为奇数时，
an＋2＝an，n 为偶数时，an＋2－an＝2，即数列{an}的奇数项为 常数列，偶数项构成以 2 为首项，2 为公差的等差数列． 15×14 故这 30 天入院治疗流感人数共有 15＋(15×2＋ 2 ×2)＝255 人．
第二章
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
命题方向
信息给予题
[例 2]
定义“等和数列”：在一个数列中，如果任意相
邻两项的和都等于同一个常数， 那么这个数列叫做等和数列， 这个常数叫做数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且 a1 ＝2，公和为 5，求 a18 和这个数列的前 n 项和 Sn. [分析] 本题是信息题，正确理解“新定义”，既要和
[解析]
解法 1：设等差数列{an}的公差为 d，则由题意得
1 1 9a1＋ ×9×8· d＝12a1＋ ×12×11· d 2 2 ∴a1＝－10d， ∵a1<0，∴d>0， 1 1 2 21 ∴Sn＝na1＋ n(n－1)d＝ dn － dn 2 2 2 212 441 d ＝ n－ 2 － d. 2 8
[解析]
(1)∵对任意的正整数 n,2 Sn＝an＋1①
恒成立， 当 n＝1 时，2 a1＝a1＋1，即( a1－1)2＝0， ∴a1＝1. 当 n≥2 时，有 2 Sn－1＝an－1＋1.②
2 ①2－②2 得 4an＝a2－an－1＋2an－2an－1， n
即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.
第二章
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
nx1＋xn ∴ ＝24n，∴x1＋xn＝48， 2 又∵xn＝5x1， ∴6x1＝48，∴x1＝8. ∴xn＝40 (min)． 故最后关闭的水龙头放水 40min.
第二章
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
(2011· 湖北荆门调研)秋末冬初， 流感盛行， 荆门市某医院 近 30 天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{an}，已知 a1 ＝1，a2＝2，且 an＋2－an＝1＋(－1)n (n∈N*)，则该医院 30
第二章
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
n n 5 ∴Sn＝ · · n. 2＋ 3＝ 2 2 2 n－1 n＋1 当 n 是奇数时，有 个 3， 个 2， 2 2 n－1 n＋1 5n－1 ∴Sn＝ 2 · 3＋ 2 · 2＝ 2 . 5 n n＝2k，k∈N* 2 ∴Sn＝ 5n－1 n＝2k＋1，k∈N* 2
1 1 1 11 ∴S ＝ ＝2 k－k＋2， kk＋2 k 1 1 1 1 1 1 ∴S＝ 1－3＋2－4＋3－5＋„＋ 2
1 1 1 1 － ＋n－n＋2 n－1 n＋1
[答案] A
第二章
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
[解析]
当 2n≤m<2n 1 时，n≤log2m<n＋1，
＋
此时 F(m)＝n，这样的值共 2n 个， 又 1024＝210，∴F(1024)＝10. ∴F(1)＋F(2)＋F(3)＋„＋F(1024) ＝0＋21×1＋22×2＋23×3＋„＋29×9＋10＝8204.
第二章
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
[点评]
准确理解 F(m)的含义是解答本题的关键，可先计
算部分项，如 F(1)＝0，F(2)＝1，F(3)＝1，F(4)＝2，F(5)＝2， F(6)＝2，F(7)＝2，F(8)＝3，观察其规律，从中发现 2n≤m<2n
＋1
时，F(m)＝n.
第二章
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
∵d>0，∴Sn 有最小值． 又∵n∈N*，∴n＝10 或 n＝11 时，Sn 取最小值．
第二章
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
解法 2：同解法 1，由 S9＝S12 得 a1＝－10d，
a ＝a ＋n－1d≤0 n 1 设 an＋1＝a1＋nd≥0 －10d＋n－1d≤0 ，∴ －10d＋nd≥0
成才之路· 数学
人教A版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
第二章
数 列
第二章
数
列
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
第二章
2．3 等差数列的前 n 项和
第二章
数
列
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
第二章
第 2 课时 等差数列习题课
第二章
数
1 1 1 1 ＝21＋2－n＋1－n＋2 2n＋3 3 ＝ － 4 2n＋1n＋2
第二章 2.3 第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
[点评]
1 A 形如： 的式子， 若可拆分为 － an＋bcn＋d an＋b
B 的形式，一般可用此法进行求解． cn＋d
第二章
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
[解析]
设共有 n 个水龙头， 每个水龙头放水时间依次为
x1，x2，„，xn，由已知可知 x2－x1＝x3－x2＝„＝xn－xn－1， ∴数列{xn}成等差数列． 1 每个水龙头 1min 放水24n，(这里不妨设水池的容积为 1) 1 ∴ · ＋x ＋„＋xn)＝1，即 Sn＝24n， (x 24n 1 2
相关知识联系又要考虑其特点．
第二章
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
[解析]
由题设 a1＋a2＝a2＋a3＝„＝a17＋a18＝„＝a2k－1
＋a2k＝a2k＋a2k＋1＝5. ∵a1＝2，∴a2＝3，a3＝2，a4＝3，„， 当 n 是奇数时 an＝2，当 n 是偶数时，an＝3. ∴a18＝3. n n 当 n 是偶数时，有2个 2，2个 3，
第二章
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
∵an>0，∴an＋an－1>0，∴an－an－1＝2， ∴数列{an}是首项为 1，公差为 2 的等差数列， ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
第二章
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
探索延拓创新
第二章
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
命题方向
裂项求和法
[例 4]
首项为 3，公差为 2 的等差数列，Sk 为其前 k 项
1 1 1 之和，则 S＝ ＋ ＋„＋ ＝________. S1 S2 Sn
2n＋3 3 [答案] 4－ 2n＋1n＋2
第二章
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
首项为正数的等差数列{an}，它的前 3 项和与前 11 项和 相等，则此数列前________项和最大？
[答案] 7
第二章
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
[解析]
由 S3＝S11，有
3×3－1d 11×11－1 3a1＋ ＝11·1＋ a · d 2 2 2 得 d＝－13a1<0. nn－1 1 14 2 ∴Sn＝na1＋ 2 d＝－13a1n ＋13a1n 1 49 2 ＝－13a1(n－7) ＋13a1. 故当 n＝7 时，Sn 最大，即前 7 项和最大．
第二章
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
已知正数数列{an}的前 n 项和为 Sn，且对任意的正整数 n 满足 2 Sn＝an＋1. (1)求数列{an}的通项公式； 1 (2)设 bn＝ ，求数列{bn}的前 n 项和 Bn. an·n＋1 a
第二章
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
第二章
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
思路方法技巧
第二章
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
命题方向
等差数列的最值问题
[例 1]
等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，该数列前多少
项的和最小？
第二章
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
第二章
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
建模应用引路
第二章
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
[例 3]
一个水池有若干出水量相同的水龙头， 如果所有
水龙头同时放水，那么 24min 可注满水池．如果开始时全部 放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水 龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时 间恰好是第一个水龙头放水时间的 5 倍，问最后关闭的这个 水龙头放水多少时间？
列
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
课程目标解读 课堂巩固训练 思路方法技巧 课后强化作业 探索延拓创新
第二章
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
课程目标解读
第二章
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
1．熟练应用等差数列前 n 项和的公式解决一些应用问题． 2．会求与等差数列相关的一些简单最值问题．