第二章测验题(微积分)
微积分第二章详细答案
第二章习题2-11. 证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有n x a ε-<取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有n k x a ε+-<由数列极限的定义得 l i m n k x x a +→∞=.2. 证明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：lim 0,,.使当时，有n x n x aN n N x a εε→∞=∴∀>∃>-<而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 l i m n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。
3. 证明：lim n →∞x n =0的充要条件是lim n →∞∣x n ∣=0.证：必要性由2题已证，下面证明充分性。
即证若lim 0n n x →∞=，则lim 0n n x →∞=，由lim 0n n x →∞=知，0ε∀>，N ∃，设当n N >时，有0 0n n n x x x εεε-<<-<即即由数列极限的定义可得 l i m 0n n x →∞=4. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)nn n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭ =0； (2) lim n →∞2!n =0. 证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n nnn n n nn++≤+++≤≤=+而且 21lim0n n→∞=，2lim0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n nn n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭ . （2）因为22222240!1231nn n n n<=<- ，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得2lim0!nn n →∞=5. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x 1＞0,x n +1=13()2n nx x +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…；(3) 设x n 单调递增，y n 单调递减，且lim n →∞(x n -y n )=0,证明x n 和y n 的极限均存在.证：（1）由10x >及13()2n n nx x x =+知，有0n x >（1,2,n = ）即数列{}n x 有下界。
微积分 II 考试试卷
(A) tan x2 (B) 2x sec x2 (C) tan b2 tan a2 (D) 03. 下列叙述正确的是( )．(A) 若f (x, y) 在(x , y ) 连续，则函数在(x , y ) 必偏导数存在；0 0 0 0(B) 若f (x, y) 在(x , y ) 偏导数存在，则函数在(x , y ) 必连续；0 0 0 0(C) 若f (x, y) 在(x , y ) 偏导数存在，则函数在(x , y ) 必可微；0 0 0 0(D) 若f (x, y) 在(x , y ) 可微，则函数在(x , y ) 必连续.0 0 0 04. 设二重积分ϕϕ f (x, y)dxdy ，其中D 由y 轴, y = 1及y = x 围成的区域，D则下列对积分区域的表示正确的是( ) .(A) ：D = {(x, y) | 0 < x < 1,0 < y < 1} (B)：D = {(x, y) | 0 < x < 1, x < y < 1}(C) D = {(x, y) | 0 < y < 1,0 < x < 1} (D) D = {(x, y) | 0 < y < 1, y < x < 1}5. unn=1(A) u +10 (B) u 2 (C) 1(D) un=1 n=1 n=1 n n=1.A(1)n nn +1n=1 B(1)n 1nn=11. 下列广义积分发散的是( ) .2.d ϕ b tan x 2 dx = ( ) .dx a ϕ 1 1 dx 0 x 2(A)ϕ + 1 dx (B) ϕ + x dx ϕ 1 1 dx1 x3 0 0 3 xn n u +10 n 一．选择题C xw(- 1)n1n nn =17.x (x - 1)n2n nDxwn =1(-1n 3n[- 1,3) (- 1,3](- 1,3)[- 1,3]( ).(y ,+ xy = 0 y ,+ xy 2 = 0( y , + xy = 0 ((y ,)2 + xy = 09.y , - 4y ,+ 3y = 0 .y = c e x + c e 3xy = e x + e 3x 1 2y = c e xy = e x + c e 3x1 2二、填空题 ．2. j1x sin 2 xdx = j xsin t dt 3.lim 02t = x )0xj 2dy jy 2f (x, y)dx 交换积分次序后的二重积分为5. 0 y 27. j11dx =1+ x1.djx 2sin tdt =dx x．4. j 4e x dx =．．．.-1 1+ x 4dz8. u = x y , x = e t , y = 2t ，则= ．dt9. xdx + y2dy = 010. ()n .n=12n .11n!n=112. y = 2xy三、计算题ϕ 1 ln xdx .1. 求积分ϕ e 3 1 dx .2. 计算反常积分x(1 + ln x) 013. e xy 2z+ e z = 0,4. f (x, y) = x2 + 5y2 6x +10 y +1.ϕϕe x2 + y2 dxdy ，其中D 是由x2 + y2 4 所围成区域.5. 求二重积分D6. ϕϕ (x + 6y)dxdy D y = 5x, y = x, x = 1 .D5. xy2dy = (x3 + y3 )dx8.. 微分方程y 4y+ 3y = e2x 的通解四、应用题.10 y = x2 , x = yy2 = x x y 2 = 0.n +3 .2nn =1(1)n 1n 2 +1五、 1n cos n =1。
微积分第二章习题参考答案
f ( x ) f ( x ), f ( x ) f ( x ),
即f ( x )为奇函数;
§2.3隐函数的导数(23-24)
一.1. ey sec 2 ( r ) ; 2. csc 2 ( r ) ; 2 2 y 1 sec ( r )
x 0
1 2 x
1.
二.解1.(1).
y ln( x 1 x 2 ) ln x ,
1 x
1 y (1 ) x x 1 x2 1 x2 1 . x 2 1 x 2 x(1 x 2 )
(2) 1 y 3sec (ln x ) sec(ln x )tan(ln x ) x 3 sec 3 (ln x )tan(ln x ). x
x 1 dy k 2e ,当 0时, , dx 0 y0
切线方程为 y 2e( x 1), 1 法线方程为 y ( x 1). 2e
四.
解 : s ( t ) x ( t ) 9,
2 2
ds dx s( t ) x ( t ) 0, dt dt ds 已知 160, s 5, x 4, dt dx 200, v 200 120 80. dt
(sin 2 x ) f (cos 2 x )]sin 2 x . [f 1 (3) y f ( x ); 2 1 f ( x)
(4) y f (sin x )cos x cos[ f ( x )] f ( x ).
4.解.(一) lim f ( x ) lim
1 1 2( 1)2 2( 1)2 y , y 2 2 , 3 3 ( t 2) ( t 1) ( t 2) ( t 1)
微积分线性代数练习题
不定积分和定积分一、单项选择题1．在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 3）的曲线为（ ）． A ．42+=x y B ．32+=x y C ．22+=x y D ．12+=x y 答案：C2. 下列函数中，（ ）是2sin x x 的原函数．A ．-2cos 2x xB ．2cos 2x xC ．2cos 21x -D ．2cos 21x x答案：C3．下列等式不成立的是（ ）．A ．3ln )d(3d 3x xx = B ．)d(cos d sin x x x =-C ．x x xd d 21= D ．)1d(d ln x x x = 选择D 4．若c x x f x +-=-⎰2ed )(，则)(x f '=（ ）.A . 2ex -- B . 2e 21x- C . 2e 41x- D . 2e 41x--答案：D5. =-⎰)d(e x x （ ）．A ．c x x +-eB ．c x x x ++--e eC ．c x x +--eD ．c x x x +---e e答案：B 6. 若c x x f xx+-=⎰11e d e )(，则f (x ) =（ ）．A ．x 1 B ．-x 1 C ．21x D ．-21x 答案：C7. 若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则下列等式成立的是( )．A ．)(d )(x F x x f x a=⎰ B ．)()(d )(a F x F x x f xa-=⎰C ．)()(d )(a f b f x x F b a-=⎰ D ．)()(d )(a F b F x x f ba-='⎰答案：B8．下列定积分中积分值为0的是（ ）．A ．x x x d 2e e 11⎰--- B ．x x x d 2ee 11⎰--+ C ．x x x d )cos (3⎰-+ππD ．x x x d )sin (2⎰-+ππ答案：A9．下列无穷积分中收敛的是（ ）．A ．⎰∞+0d sin x xB ．⎰∞+0d e x xC ．⎰∞+12d 1x xD ．⎰∞+13d 1x x答案：C10．下列微分方程中，（ ）是线性微分方程．A ．y y yx '=+ln 2B ．x xy y y e 2=+'C ．y y x y e ='+''D ．x y y x y x ln e sin ='-'' 答案：D 11．微分方程0)()(432=+'''+'xy y y y 的阶是（ ）.A . 4B . 3C . 2D . 1 答案：C 二、填空题1．=⎰-x x d e d 2．答案：x x d e 2-2．__________________d )cos (='⎰x x 。
微积分第1、2章测验题
的垂线,求此平面的方程. 的垂线,求此平面的方程. 所求平面方程为 x + 2y +1= 0
x 具有二阶连续偏 2．已知函数 z = f x, ,其中 f 具有二阶连续偏 y 2 2 ∂2 z ∂2 f 2 ∂2 f 1 ∂2 f ∂z ∂z + 2⋅ 2 微商. 微商.求 2 , . 2= 2+ ⋅ ∂x ∂x∂y ∂x ∂u y ∂u∂v y ∂v
(12分 七、 分) 已知函数f(x)在[0, 2a]上连续,且f (0) = f (2a) , 在 上连续, 已知函数 上连续 求证在[0, 内至少有一点 内至少有一点c， 求证在 a]内至少有一点 ，使得 f (c) = f (c + a).
一、单项选择题 (每小题 分) 每小题4分 每小题 1．下列说法正确的是 D → → → → → 是单位向量； A i + j + k 是单位向量； B i × i = 0； ； → → → → → → C 如果向量 a 垂直向量 b ,则 a + b = a − b； ； 垂直. D 平面 x+ y+z=0与 x+ y − 2z+3=0 垂直 与 2．函数 y = C1ex + C2e−2x + xex 满足的一个 微分方程是 D A y" − y' − 2y = 3xex； B y" − y' − 2y = 3ex； C y" + y' − 2y = 3xex； D y" + y' − 2y = 3ex.
x→+∞ x→+∞
《微积分》《高等数学》第二章测试题
《微积分》第二章测试题1。
【导数的概念】已知()23f '=，求()()22lim h f h f h h→+--解()()()()()()()00222222lim lim 226h h f h f h f h f f h f f h h h →→+--+---⎛⎫'=+== ⎪-⎝⎭2. 设函数cos ln xy x e a -=++，求dydx解sin xdy x e dx-=-- 3.设函数y e=，求dy dx解dydx111e e x =⋅⋅=+4. 设函数2sin cos 2y x x =，求dy dx ，0x dy dx=解()22224sin cos 2sin 12sin sin 2sin y x x x x x x ==-=-()()3222sin cos 8sin cos 2sin cos 14sin sin 214sin dy x x x x x x x x x dx=-=-=-，0x dy dx ==5. 【函数的微分,记得加dx 】设函数2sin 2xy x =，求dy 解24332cos 22sin 22cos 22sin 22cos 22sin 2,dy x x x x x x x x x x dy dx dx x x x---==∴= 6。
【高阶导数】设函数11y x =-，求n n d y dx解()()()()()()()231234123!11,21,3!1,,1n nn n dyd y d y d y n x x x x dxdx dxdx x ----+'=-=--=-=--=-- 7.【隐函数求导】 设函数()y y x =由方程2sin 20xy y -=确定,求dydx解 等式两边同时对x 求导222sin 20,y xyy y y ''+-=则()2222sin 222221dy y y y y dx y xy xy xy x y '====---8.求曲线y =在点()4,2处的切线方程解41142x y y x=''===切线方程为114y x =+ 9。
《微积分》各章习题及详细答案
第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时,x x sin tan -是x 的阶无穷小.4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为。
5、=-∞→x e xx arctan lim .6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim 0。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________. 13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________.15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数,则中所给的函数必为奇函数。
(Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C))]()()[(x h x g x f +；(D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； (C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
微积分习题答案第二章极限与连续
练习2.11.写出下列数列的前五项.()12312+-=n n a n (n=1,2,3,…) ()23)1(1n nn a --= (n =1,2,3, …)()3n n na )11(+= n=1,2,3, …)()4)!12()1(121--=--n x n n n a (n=1,2,3, …)，其中x 是固定的实数.解：()1由2312+-=n n a n (n=1,2,3, …)得数列的前五项为 51，83，115，147，179. ()2由3)1(1nnn a --= (n=1,2,3, …)得数列的前五项为 ２，０，332，０，352. ()3由n n na )11(+= (n=1,2,3, …)得数列的前五项为２，2)23(，3)34(，4)45(，5)56(.()4由)!12()1(121--=--n x n n n a (n=1,2,3, …) 得数列的前五项为!1x，!33x -，!55x ，!77x -，!99x .2.做出下面各数列在数轴上的点，并说出哪些数列有极限？哪些没有极限？()1n n a 21=()2n nna )1(-= ()3n n n a 1)1(-= ()41+=n n a n ()5n n a n πsin 1= ()62sin πn n a n =. 解：作图略.()1有极限为0 ()2没有极限 ()3有极限为0 ()4有极限为1 ()5有极限为0 ()6没有极限.3*（略） 4*（略） 5*（略）6.设()⎩⎨⎧≥-<=1,131,x x x x x f ，作()x f 的图形，并讨论当1→x 时()x f 的左右极限，问)(lim 1x f x → 是否存在？ 解：图略.因为 2)(lim 1=+→x f x ，1)(lim 1=-→x f x)(lim )(lim 11x f x f x x -+→→≠所以)(lim 1x f x →不存在.7.求下列函数在指定点的极限.()1xx x f ||)(=在0=x 处 ()2⎩⎨⎧-+=124)(x x x f 11≥<x x 在0=x ，1=x ，2=x 处. 解：()1⎩⎨⎧-==11||)(x x x f Θ00<>x x 11lim )(lim 00==++→→x x x f ，11lim )(lim 0-=-=--→→x x x f所以xx x f ||)(=在0=x 处极限不存在. ()24)4(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x ，4)4(lim )(lim 0=+=--→→x x f x x所以⎩⎨⎧-+=124)(x x x f 11≥<x x 在0=x 处极限为4.1)12(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x ，5)4(lim )(lim 11=+=--→→x x f x x所以⎩⎨⎧-+=124)(x x x f 11≥<x x 在1=x 处极限不存在.3)12(lim )(lim 22=-=++→→x x f x x ，3)12(lim )(lim 22=-=--→→x x f x x所以⎩⎨⎧-+=124)(x x x f 11≥<x x 在2=x 处极限为3.8.下列函数在什么情况下是无穷大量，什么情况下是无穷小量？()111-=x y ()2x y ln = ()32x y = ()4x e y =.解：()1当1→x 时11-=x y 是无穷大量，当∞→x 时11-=x y 是无穷小量.()2当+∞→x 时x y ln =是无穷大量，当+→0x 时x y ln =是无穷大量，当1→x 时x y ln =是无穷小量.()3当∞→x 时2x y =是无穷大量，当0→x 时2x y =是无穷小量.()4当+∞→x 时x e y =是无穷大量，当-∞→x 时x e y =是无穷小量.9.下列各题中哪些是无穷小，哪些是无穷大？()1221,0xx x +→ ()212,0-→-x x()3x x lg ,0+→ ()4θθθsec 1sin ,0+→.解：()1、()3是无穷大，()2、()4是无穷小. 10.下列说法是否正确？()1无穷大量是极限为无穷大的变量()2无穷大量是无界变量，无界变量也是无穷大量 ()3无极限的数列一定无界.解：()1不正确。
微积分考试题目及答案
微积分考试题目及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = x^2在x=0处的导数是（）。
A. 0B. 2C. 1D. -1答案：C2. 曲线y = x^3 - 3x + 2在x=1处的切线斜率是（）。
A. 1B. -1C. 3D. -3答案：B3. 函数f(x) = sin(x)的不定积分是（）。
A. -cos(x) + CB. cos(x) + CC. sin(x) + CD. -sin(x) + C答案：B4. 极限lim(x→0) (x^2 - sin(x^2)) / x^2的值是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 2答案：A5. 函数f(x) = e^x的反函数是（）。
A. ln(x)B. e^xC. x^eD. x答案：A6. 曲线y = ln(x)在x=e处的切线方程是（）。
A. y = x - 1B. y = x + 1C. y = 1 - xD. y = 1 + x答案：A7. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的极值点是（）。
A. x = 1B. x = 2C. x = 0D. x = -1答案：A8. 曲线y = x^2 + 2x + 1的拐点是（）。
A. (-1, 0)B. (1, 2)C. (-1, 2)D. (1, 0)答案：C9. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的最小值是（）。
A. 0B. 4C. -4D. 1答案：A10. 曲线y = x^3 - 3x^2 + 2x的拐点是（）。
A. (1, -2)B. (2, -4)C. (0, 0)D. (1, 0)答案：D二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的导数是_________。
答案：2x + 312. 曲线y = x^2 - 4x + 4的顶点坐标是_________。
答案：(2, 0)13. 函数f(x) = e^x的二阶导数是_________。
解答微积分B上第二章练习二
第二章 练习二(§2.4、§2.5)班级________________姓名________________学号______________一、是非判断题1、如果在某一极限过程中，)(),(x g x f 都无极限，则)()(x g x f +也可能有极限.[ 是 ]11(0)x x x→，，-2、如果在某一极限过程中，)(),(x g x f 都无极限，则)()(x g x f ⋅ 必无极限. [ 非 ]1(sin )sin x x x→∞，，3、如果在某一极限过程中，)(x f 有极限，)(x g 无极限，则)()(x g x f +必无极限. [ 是 ]4、如果在某一极限过程中，)(x f 有极限，)(x g 无极限，则)()(x g x f ⋅必无极限. [ 非 ]1(0)x x x→，,，5、如果0)(lim ,)(lim 0==→→x g A x f x x x x 则 )()(limx g x f x x →必不存在. [ 非 ] (0sin )x x x →，，6、如果)(x f ＞)(x g ，而,)(lim 0A x f x x =→,)(lim 0B x g x x =→那么A ＞B . [ 非 ]7、若)()(limx g x f x x →存在，且0)(lim 0=→x g x x ，则0)(lim 0=→x f x x . [ 是 ]8、如果a z y n n n n ==∞→∞→lim lim ，且1010>n 时有 n y ≤n x ≤n z ，那么a x n n =∞→lim . [ 是 ]9、数列收敛的充分必要条件是数列单调有界. [ 非 ]10、如果｛n a ｝是单调数列，则数列有极限或者∞=∞→n n a lim . [ 是 ]11、如果)(x f ＞0，且,)(lim 0A x f x x =→ 那么A ≥0. [ 是 ]12、如果 A x f x =+∞→)(lim ，0>∃X 且x ＞X 时)(x f ≥0，那么A ≥0. [ 是 ]二、填空题1、,6)2)(1(lim 21-=--++→x x cbx x x 则=b 4 ，=c -5 .22111lim(1)(2)0lim 6,lim()0,(1),(1)(2)x x x x bx cx x x bx c c b x x →→→++--==-++==-+--（而故必得 22211111(1)lim lim lim(1)(2)(1)(2)(1)(2)x x x x bx c x bx b x b x x x x x x x →→→+++---+-==------于是令 11lim264,5)2x x bb bc x →++==--=-==--，得2、l x x ax x x =++---→14lim231,则=a 4 ，=l 10 . 3、=→xctgx x 0lim 1 ；=∞→nn n x2sin2lim x . 4、x x x 432cos sin 与 nx 是同阶无穷小，则n ＝ 5 0)n x x →(由题设是无穷小,故.234334422000sin cos sin sin sin (cos ,limcos 1,lim 1,23,lim ,n n n x x x x x x x x x x x n x x x x --→→→=⋅==->=∞当时∴333222000sin sin sin 023,lim ,20,lim 0,23lim 10)n n n x x x x x xn n n x x x---→→→<-<-≤=-==≠时不存在时仅当时5、设0)(lim 0=→x x x α，则=→)()(sin lim0x x x x αα 1 .6、当∞→x 时，2)2sin(3x与2xA是等价无穷小，则A ＝ 12 . 22222222223sin()3sin()12sin()sin1212((,1),112)222()()4x x x x x A A A A A A x x x x==→→∞→=⇔=当时而三、计算题1、502030)12()23()12(lim +--∞→x x x x =20)23(.22222211lim (11)lim11x x x x x x x x x x x x x x →+∞→+∞++-+-++--+=+++-+2、222lim1111111x x x x x→+∞==+++-+.3、h a h a h sin )sin(lim0-+→ 4、30sin lim xxtgx x -→02sin cos()22lim h h h a h→+= 30sin (1cos )lim cos x x x x x →-= 0s i n 2l i m c o s ()c o s .22h hh a a h →=⋅+= 22001sin 12lim lim cos 2x x x x x x x →→=⋅=. 5、x x x x x 2cos 2sin 1cos sin 1lim 0-+-+→ 6、xx x x x 2220tan 43)2cos 1(25lim +--→201sin cos lim 2sin cos 2sin x x x x x x →+-=+ 20202(1cos 2)5limtan 34lim()x x x x x x →→--=+00sin 1cos lim lim 2sin (cos sin )2sin (cos sin )x x x x x x x x x x →→-=+++ 2202012(2)25lim 1tan 734(lim )x x x x x x→→⋅-==+. 2001112lim lim 2(cos sin )2(cos sin )2x x x x x x x x →→=+=++.四、利用夹逼准则求极限)1211(lim 222πππn n n n n n +++++++∞→ .（略） 五、设),,2,1(,11,111 =++==+n x x x x nnn 利用单调有界准则求n n x ∞→lim .证 显然{}110,12,(1,2,),1n n n n n x x x n x x -->=+<=+从而即数列有界;又121132,11,12x n x x x ==+=>=+时 2111111,1111k k k k k k k x n k x x x x x n k x ------=>+>⇒+>=++设时,即,于是当时，11111111111111211*********k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x xx x x x x x x x x -----+-----+++-=+-=+--=-+++++++222111111111111222310,(23)(1)(23)(1)k k k k n k k k k k k x x x x x x x x x x x -----------+++--+-==>++++{}11,,,k k n n n x x n Z x x x ++>∀∈>＋即从而即数列单调增加;{}11lim ,1,1n n n n n n x x x A x x -→∞-==++由单调收敛则,数列收敛,设则由111112lim lim 12n n n n n n n n n n x x x x x x x x ----→∞→∞+=+++有，于是（）=（）,21512,2A A A A ±+=+⇒=∴ 15150,,lim 22n n n x A x →∞++>==又即∴.。
《微积分(下)》第2章多元函数微分学练习题--参考答案
第2章 多元函数微分学一、二元函数的极限专题练习：1.求下列二元函数的极限: (1)()11(,)2,2lim2;y xy x y xy +⎛⎫→- ⎪⎝⎭+ (2)()()2222(,),3limsin;x y x y x y →∞∞++(3) ()(,)0,1sin lim;x y xyx →(4)((,)0,0limx y →解: (1) 当1(,)2,2x y ⎛⎫→- ⎪⎝⎭时，10xy +→，因此()[]1112(1)11(,)2,(,)2,22lim2lim1(1)e yxy y xy x y x y xy xy -++⎛⎫⎛⎫→-→- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎫+=++=⎨⎬⎩⎭。
(2) 当()(,),x y →-∞+∞时，2230x y →+，因此222233sin ~x y x y++， ()()()()22222222(,),(,),33limsinlim 3x y x y x y x y x y x y →∞∞→∞∞+=+⋅=++。
(3) 当()(,)0,1x y →时，0xy →，因此sin ~xy xy ，()()(,)0,1(,)0,1sin limlim 1x y x y xy xyx x →→==。
(4) 当()(,)0,0x y →10,0xy →→，因此，(())())(,)0,0(,)0,0(,)0,01limlimlim12x y x y x y xy xy→→→===。
2．证明：当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x y f x y xy=+的极限不存在。
证明: 取2(0)y kx k =≠，则()()()()()()()444484433334444444(,)0,0(,)0,0(,)0,0limlimlim11x y x y x y x y k x x k k xyxk xk k →→→===++++显然此极限值与k 的取值相关，因此当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x y f x y xy=+的极限不存在。
微积分第二章习题参考答案
,
y
3 2(1)3 (t 2)4
3 2(1)3 (t 1)4
,
y(n)
n!(1)n (t 2)n1
n!(1)n (t 1)n1
n!(1)n ( (t
1 2)n1
(t
1 1)n1
).
四.求下列函数所指定阶的导娄数.
1. y sh , y(100) . y sh ch , y 2ch sh , y 3sh ch , y(4) 4ch sh,
五.(1)
1 dy dx d arctan y dx 1 y2 dy,
x0
x0
x
x
2时,f ( x)在x 0处连续.
六.
设f
(
x
)存在,
求下列函数y的二阶时数
d2y dx 2
.
(1) y f (e x ).
y e x f (e x ),
y e x f (e x ) e2x f (e x ),
(2) f ( x) 0, y ln f ( x).
y f ( x) . f (x)
2.当 1时,函数在x 0处可导,
当 1时,函数在x 0处不可导.
三.解. f (1) f (1 0) 1, f (1 0) a b,
b 1 a;
又
f(1)
lim
x10
x2 1 x1
2,
f
(1)
lim
x 1 0
(ax b) x1
1
(ax 1 a) 1
lim
a,
2. tan t ;
3. 2 ln(1 x) dx; 1 x
4. 8tan(1 2 x2 )sec2(1 2 x2 ) xdx;
(t )(1 t ) (t )
微积分基础在线自检自测2
活动形式：在线测验活动时间：第2-17周考查内容：《微积分基础》第2章第3小节及第3章的学习内容，包括2.3高阶导数3.1函数单调性3.2函数的极值3.3导数应用举例活动说明：本次作业由10道单项选择题、6道判断题和4道填空题组成，每小题5分，满分1 00分．本次作业在关闭之前，允许大家反复多次练习，系统将保留您的最好成绩，希望大家多做练习，争取好成绩．需要提醒大家的是每次练习的作业题目可能不一样，请大家一定要认真阅读题目．单项选择题（每小题5分，共10小题）1.【考查知识点：高阶导数】若，其中a是常数，则（）．A.B.C.D.正确答案: D2.【考查知识点：高阶导数】若f（x）=xcosx，则f ''（x）=（）．单选题 (5 分) 5分A.cos x+x sin xB.cos x-x sin xC.-2sin x-x cos xD.2sin x+x cos x正确答案: C3.【考查知识点：函数单调性】函数的单调增加区间是（）单选题 (5 分) 5分A.B.C.D.正确答案: A4.【考查知识点：函数单调性】函数y=ln(1+x2)的单调减少区间是（）单选题 (5 分) 5分A.(-1,+∞)B.(-∞,-1)C.(-∞,0)D.(0,+∞)正确答案: C5. 【考查知识点：极值】函数的极大值点是（）单选题 (5 分) 5分A.x=1B.x=0C.x=-1D.x=3正确答案: C6. 【考查知识点：最值】单选题 (5 分) 5分A.1B.2C.0D.3正确答案: B7.【考查知识点：驻点】函数y=3（x-1）2的驻点是（）单选题 (5 分) 5分A.x=1B.x=3C.x=-1D.x=0正确答案: A8.【考查知识点：极值最值综合】满足方程f '(x)=0的点一定是函数y=f(x)的（）.单选题 (5 分) 5分A.极值点B.最值点C.驻点D.间断点正确答案: C9.设曲线y=x2+x-2在点M处的切线的斜率为3，则点M的坐标为（）．单选题 (5 分) 5分A. (0, 1)B.(1, 0)C.(0, 0)D. (1, 1)正确答案: B10.【考查知识点：导数综合】若函数f (x)在点x0处可导，则( )是错误的．单选题 (5 分) 5分A.函数f (x)在点x0处有定义B.，但C.函数f (x)在点x0处连续D.函数f (x)在点x0处可微正确答案: B判断题（每小题5分，共6小题）11.设，则。
《微积分》各章习题及详细答案
第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时,x x sin tan -就是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为 。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续,则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。
8、设)(x f 的定义域就是]1,0[,则)(ln x f 的定义域就是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 就是非零常数,则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时,1)1(312-+ax 与1cos -x 就是等价无穷小,则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域就是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ,则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 就是],[l l -上的偶函数,)(x h 就是],[l l -上的奇函数,则 中所给的函数必为奇函数。
(Ａ))()(x g x f +;(Ｂ))()(x h x f +;(C))]()()[(x h x g x f +;(D))()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α,31)(x x -=β,则当1→x 时有 。
(Ａ)α就是比β高阶的无穷小; (Ｂ)α就是比β低阶的无穷小; (C)α与β就是同阶无穷小; (D)βα~。
微积分习题解答(第二章)
微积分习题解答（第二章）1写出下列数列的一般项，并通过观察指出其中收敛数列的极限值。
()()11120,,0,,0,,2461112nn u n ⎡⎤=+-⎣⎦解：一般项该数列收敛，其极限为零。
()()11113,,,,26122011n u n n =+ 解：一般项该数列收敛，其极限为零。
()2510172642,,,,,23451n n u n+=解：一般项该数列发散。
3.利用定义证明下列极限；()nnnnn -11lim 060-110661ln ln 61ln 1,ln 6-106-1lim 06n n n N n N εεεεε→∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭>⎛⎫⎛⎫-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>⎡⎤⎢⎥=+>⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫-< ⎪⎝⎭⎛⎫∴= ⎪⎝⎭证明：对于任给，要使只要取正整数当时总有不等式成立()223lim010111,0limn n n N n N εεεεε→∞→∞=>-=<>⎡⎤=+>⎢⎥⎣⎦-<∴=证明：对于任给，要使只要取正整数当时总有不等式成立4.试判断下列论点断是否正确。
()()()1,,lim 11111lim01n n n n n u A u A nnn n→∞→∞-=⨯--=+=≠-如果越大越接近零则有 错误 例如随着越大，而越加接近零，但()(){}1130lim 0N =N n >N 10lim n n n n n n n u A u Au u u Aεεεε→∞→∞>-=∠>-=<∴=如果对于任给，在数列中除有限项外，都满足不等式<，则有 正确设N 为题中的‘有限项’中的最大下标，由题意 对于任给，只要取正整数+1，当时， 总有不等式满足()(){}5s in s in n n n u nu n u ⨯==≤有界数列必定收敛错误 例如显然1，但发散6．利用定义证明下列极限：()()()()()()111lim 3120312311,3312lim 312x x x x x x x x εεεδδε→→-=>--=-<=<-<--<-=证明：对于任意给定的，要使只需取，则当0时总有 成立，于是，由极限定义可知()3lim ln 0ln 0,ln lim ln x MMx x M x M x eex x Mx δδ++→--→=-∞>∴<-⇒<<=<<<-=-∞证明：对于任意给定的，y =l n x 单调增加，要使只需取，则当0时总有成立，于是，由极限定义可知()14lim2120111212211,12121lim212x x x x x x x x X x xx x x εεεε→∞→∞=+>-=<<++=-<+=+证明：对于任意给定的，要使只需取，则当>X 时总有成立，于是，由极限定义可知()()()5lim 00010ln 01,ln 0,lim 0xx xxxxxx ee ee x x X eeεεεεεεεε→-∞→-∞=><<-==<=<<∴<<-<= 证明：对于任意给定的不妨设，要使只需取，取正数X =-l n ,则当>X 时总有成立，于是，由极限定义可知7。
第二章微分学答案
(e x ) f (e x ) f ( x )) (e f
x
§2.3隐函数的导数
e y 一.1. y ; y 1 xe ye xy 2 xy cos( x 2 y ) 2. y ; xy 2 2 2 y xe x cos( x y ) y ( x ln y y ) 3. y x ( y ln x x ) 3 4. y t; 2 x x 5. y y (ln 1); 1 x 1 x
切线方程为：y ( x e 2 ) x e 2 法线方程为：y ( x e 2 )
二.3.解： 两边同时取对数， 1 则有 ln y ln x ln( x 1) 2ln( x 2) 2 方程两边同时对x求导 : y 1 1 2 y x 2( x 1) x 2 1 1 2 y y ( ) x 2( x 1) x 2
§2.2求导法则
一.1.B; 2. y 2. B 1 1 x2 1 . x 二 .1. y tan 2 x . y y x 3( x 1) 1 2 1 4. y y x 1 3x 1 3(2 x ) 5. 1
1 1 三.3.解： y , x 2 x 1 ( 1)n n ! ( 1)n n ! y(n) n1 ( x 2) ( x 1)n1
dy dy dt 2sin t cos t 三.4.解： 2cos t , dx dx sin t dt dy d 2 y d ( dx ) 2sin t 2. 2 dx dx sin t
1 三. 1.(1)解：y 3sec (ln x ) sec(ln x ) tan(ln x ) x 1 sin 2 1 1 1 1 2 sin2 1 v v (2)解：y e ( 2sin cos )( 2 ) 2 (sin )( e ) v v v v v 1 2 (3)解：y (sec t tan t sec t ) sec t sec t tan t 1 x 1 ( x 1) 1 (4)解：y 2 2 2 ( x 1) x 1 x 1 1 x 1 (5)解：y 2 xe x cos x x 2e x cos x x 2e x sin x
微积分测试题标准标准答案
微积分测试题答案一、选择题(每题2分)1、设x ƒ()定义域为（1,2），则lg x ƒ()地定义域为（） A 、（0,lg2）B 、（0，lg2]C 、（10,100）D 、（1,2）2、x=-1是函数x ƒ()=()221x x x x --地（） A 、跳跃间断点 B 、可去间断点C 、无穷间断点 D 、不是间断点3、试求02lim x x→等于（）A 、-14B 、0C 、1D 、∞ 4、若1y xx y+=，求y '等于（） A 、22x y y x --B 、22y x y x --C 、22y x x y--D 、22x yx y +-5、曲线221xy x =-地渐近线条数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6、下列函数中，那个不是映射（）A 、2y x =(,)x R y R +-∈∈B 、221y x =-+ C 、2y x =D 、ln y x =(0)x > 二、填空题（每题2分） 1、__________2、、2(1))li m ()1x n xf x f x nx →∞-=+设 （，则 的间断点为__________3、21lim51x x bx ax→++=-已知常数 a 、b,，则此函数的最大值为__________ 4、263y x k y x k =-==已知直线 是 的切线，则 __________5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ，在点（，）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分）1、221x y x=+函数是有界函数 ( )2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、limββαα=∞若，就说是比低阶的无穷小( )4可导函数的极值点未必是它的驻点 ( )5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点( )四、计算题（每题6分）1、1sin xy x=求函数 的导数2、21()arctan ln(12f x x x x dy =-+已知），求3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求4、20tan sin limsin x x xx x→-求 5、计算6、210lim(cos )x x x +→计算 五、应用题1、设某企业在生产一种商品x 件时地总收益为2)100Rx x x =-（，总成本函数为2()20050C x x x =++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大地情况下，总税额最大？（8分）2、描绘函数21y x x=+地图形（12分） 六、证明题（每题6分）1、用极限地定义证明：设01lim (),lim ()x x f x A f A x+→+∞→==则 2、证明方程10,1xxe =在区间（）内有且仅有一个实数一、选择题1、C2、C3、A4、B5、D6、B 二、填空题1、0x =2、6,7a b ==-3、184、35、20x y +-= 三、判断题1、√2、×3、√4、×5、× 四、计算题 1、1sin1sin1sin ln 1sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )xxx xx xy x ee x x x x x x x x x x x'='='⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦=-+（（2、22()112(arctan )121arctan dy f x dxxx x dx x x xdx='=+-++=3、 解：2222)2)222302323(23)(23(22)(26)(23x y xy y y x yy x y y x y x y yy y x y--'+'=-∴'=--'----'∴''=-4、 解：2223000tan sin ,1cos 21tan (1cos )12lim lim sin 2x x x xx x x xx x x x xx x →→→--∴==当时，原式=5、解：65232222261)61116116(1)166arctan 6arctanx t dx t tt t t t t tt t C C===+=++-=+=-+=-+=-+⎰⎰⎰⎰令原式（6、 解：2201ln cos 01limln cos 20200012lim 1lim ln cos ln cos lim 1(sin )cos lim 2tan 1lim 22x xx x xx x x x x e ex xxxx x xx x e++→++++→→→→→-===-=-==-∴= 原式其中：原式 五、应用题1、解：设每件商品征收地货物税为a ，利润为()L x222()()()100(20050)2(50)200()45050()0,,()4(50)41(502)410250225L x R x C x axx x x x ax x a x L x x a aL x x L x a a ax T a T a T a =--=--++-=-+--'=-+--'==-='=-'==''=-<∴=令得此时取得最大值税收T=令得当时，T 取得最大值2、 解：()()2300,01202201D x y x x y x y x y x =-∞⋃+∞='=-'==''=+''==-，间断点为令则令则渐进线：32lim lim 001lim x x x y y y x y y x y x x→∞→→∞=∞∴=∴=+==∞∴无水平渐近线是的铅直渐近线无斜渐近线图象六、证明题1、 证明：lim ()0,0()11101()1lim ()x x f x AM x M f x A x MM M xf A x f A xεεξε→∞→∞=∴∀>∃>>-<><<>∴-<=当时，有取=，则当0时，有即2、 证明：[]()1()0,1(0)10,(1)100,1()0,1()(1)0,(0,1)()0,110,1x x x f x xe f x f f e f e f x x e x f x xe ξξξξ=-=-<=->∈=='=+>∈∴-令在（）上连续由零点定理：至少存在一个（），使得即又则在上单调递增方程在（）内有且仅有一个实根版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有 This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.p1Ean 。
第二章测验题(微积分)
上海第二工业大学2009-2010学年第一学期 微积分（第二章）测验 试卷姓名： 学号： 班级： 成绩：一、填空题（每题3分，共30分）1．设421()tan f x x=,则()__________f x '=； 2．设y =，则________________x dy =；3．若2,0()2,0x ae x f x bx x ⎧<=⎨-≥⎩,在0x =处可导,则常数_______,_________a b ==；4．设ln x y x =，则2ln 3________x x y xy x'''++=； 5．27()sin 2x f x x =＋，则(28)()__________f π=； 6．若0()f x '存在，则0000()()lim _______x x xf x x f x x x →-=-； 7．设(cos )sin[()]y f x f x =+，其中f 可微，则______________dy dx =； 8．设函数()f u 可导，函数2()y f x =在点1x =-处取得增量0.1x ∆=-时，相应的函数增量y ∆的线性主部为0.1，则(1)_____________f '=；9．一个正方体的棱长10x m =，如果棱长增加0.1m ，则正方体体积的增加量(要求用微分近似计算)的近似值为3__________m ；10．曲线x y e =在(0,1)处的切线方程为______________。
二、选择题（每题3分，共21分）1．设()f x 可导，常数0a ≠，则lim [()()]n a n f x f x n→∞--（ ） （A ）a ； （B ）a -； （C ）()af x '； （D ）()a f x '-；2．下列结论不正确的是（ ）（A ）若()f x 在0x 处可导，则()f x 在0x 处可微；（B ）()f x 在0x 处可微是()f x 在0x 处连续的充分条件；（C ）()f x 在0x 处的左导数0()f x -'及右导数0()f x +'都存在是()f x 在0x 处可微的充分必要条件；（D ）()f x 在0x 处连续是()f x 在0x 处可导的必要条件。
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上海第二工业大学
2009-2010学年第一学期 微积分（第二章）测验 试卷
姓名： 学号： 班级： 成绩：
一、填空题（每题3分，共30分）
1．设421()tan f x x
=,则()__________f x '=； 2
．设y =
，则________________x dy =；
3．若2,0()2,0
x ae x f x bx x ⎧<=⎨-≥⎩,在0x =处可导,则常数_______,_________a b ==；
4．设ln x y x =，则2ln 3________x x y xy x
'''++=； 5．27()sin 2x f x x =＋，则(28)()__________f π=； 6．若0()f x '存在，则0000
()()lim _______x x xf x x f x x x →-=-； 7．设(cos )sin[()]y f x f x =+，其中f 可微，则
______________dy dx =； 8．设函数()f u 可导，函数2()y f x =在点1x =-处取得增量0.1x ∆=-时，相应的函数增量y ∆的线性
主部为0.1，则(1)_____________f '=；
9．一个正方体的棱长10x m =，如果棱长增加0.1m ，则正方体体积的增加量(要求用微分近似计算)的近似值为3
__________m ；
10．曲线x y e =在(0,1)处的切线方程为______________。
二、选择题（每题3分，共21分）
1．设()f x 可导，常数0a ≠，则lim [()()]n a n f x f x n
→∞--（ ） （A ）a ； （B ）a -； （C ）()af x '； （D ）()a f x '-；
2．下列结论不正确的是（ ）
（A ）若()f x 在0x 处可导，则()f x 在0x 处可微；
（B ）()f x 在0x 处可微是()f x 在0x 处连续的充分条件；
（C ）()f x 在0x 处的左导数0()f x -'及右导数0()f x +'都存在是()f x 在0x 处可微的充分必要条件；
（D ）()f x 在0x 处连续是()f x 在0x 处可导的必要条件。
30)a =>在点(,)a a 处的切线方程是（ ）
（A ）20x y a --=； （B ）20x y a +-=； （C ）0x y --=； （D ）0x y +-=。
4．设()f x 在点1x =处具有连续导数，且(1)1f '=，则0lim x d f dx
+→为（ ） （A ）1-； （B ）12
-； （C ）2； （D ）1。
5．设()f x 在0x =的邻域内连续，且
08x →=，则(0)f '=（ ） （A ）2； （B ）1-； （C ）8； （D ）1。
6．若函数()f x 可导，且2
()sin [sin(1)],(0)4f x x f '=+=，则()f x 的反函数()x g y =当自变量y 取值为4时的导数值为（ ）
（A ）21sin (sin 4)； （B ）21sin (sin 5)； （C ）0； （D ）21sin (sin1)。
7．已知()f x 在0x =处可导，且1(0)3f '=
，又对任意x ，有(3)3()f x f x +=，则(3)f '=（ ） （A ）3； （B ）13
； （C ）1； （D ）0。
三、计算题（每题5分，共35分）
1.讨论ln ,1()1,1x x f x x x ≥⎧=⎨
-<⎩在定义域内的可导性，求()f x '。
2.设22
sin 2cos ln 2y x x =++，求y '。
3.设(0,1)a a x
a x a y x a a a a =++>≠，求y '。
4.设1log 10()(0,1)x
x y x x x
=+>≠，求y '。
5.函数()y y x =是由方程1cos()x y e e xy -+=所确定的隐函数，求0x dy
dx =。
6.
设参数方程ln arctan x y t
⎧⎪=⎨=⎪⎩求212,t dy d y dx dx =。
7.求由方程(cos )(sin )x y y x =所确定的函数()y y x =的导数dy dx。
四、证明题（注意：任选下列其中一题）（本题7分）
1.设()f x 在0x =处可导，且(0)0,(0)0f f '=≠，又()F x 在0x =处可导，证明(())F f x 在0x =处也可导，并求出0x =处的导数。
2.函数()f x 在(,)-∞+∞内有定义，对任意x 都有(1)2()f x f x +=，且当01x ≤≤时2()(1)f x x x =-，试判断在0x =处函数()f x 是否可导？
五、设函数()f x 在0x =处可导，且()0f a ≠，求1()lim ()x x f a x f a →∞⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。
（本题7分）。