第二章测验题(微积分)

上海第二工业大学

2009-2010学年第一学期 微积分（第二章）测验 试卷

姓名： 学号： 班级： 成绩：

一、填空题（每题3分，共30分）

1．设421()tan f x x

=,则()__________f x '=； 2

．设y =

，则________________x dy =；

3．若2,0()2,0

x ae x f x bx x ⎧<=⎨-≥⎩,在0x =处可导,则常数_______,_________a b ==；

4．设ln x y x =，则2ln 3________x x y xy x

'''++=； 5．27()sin 2x f x x =＋，则(28)()__________f π=； 6．若0()f x '存在，则0000

()()lim _______x x xf x x f x x x →-=-； 7．设(cos )sin[()]y f x f x =+，其中f 可微，则

______________dy dx =； 8．设函数()f u 可导，函数2()y f x =在点1x =-处取得增量0.1x ∆=-时，相应的函数增量y ∆的线性

主部为0.1，则(1)_____________f '=；

9．一个正方体的棱长10x m =，如果棱长增加0.1m ，则正方体体积的增加量(要求用微分近似计算)的近似值为3

__________m ；

10．曲线x y e =在(0,1)处的切线方程为______________。 二、选择题（每题3分，共21分）

1．设()f x 可导，常数0a ≠，则lim [()()]n a n f x f x n

→∞--（ ） （A ）a ； （B ）a -； （C ）()af x '； （D ）()a f x '-；

2．下列结论不正确的是（ ）

（A ）若()f x 在0x 处可导，则()f x 在0x 处可微；

（B ）()f x 在0x 处可微是()f x 在0x 处连续的充分条件；

（C ）()f x 在0x 处的左导数0()f x -'及右导数0()f x +'都存在是()f x 在0x 处可微的充分必要条件；

（D ）()f x 在0x 处连续是()f x 在0x 处可导的必要条件。

30)a =>在点(,)a a 处的切线方程是（ ）

（A ）20x y a --=； （B ）20x y a +-=； （C ）0x y --=； （D ）0x y +-=。

4．设()f x 在点1x =处具有连续导数，且(1)1f '=，则0lim x d f dx

+→为（ ） （A ）1-； （B ）12

-； （C ）2； （D ）1。 5．设()f x 在0x =的邻域内连续，且

08x →=，则(0)f '=（ ） （A ）2； （B ）1-； （C ）8； （D ）1。

6．若函数()f x 可导，且2

()sin [sin(1)],(0)4f x x f '=+=，则()f x 的反函数()x g y =当自变量y 取值为4时的导数值为（ ）

（A ）21sin (sin 4)； （B ）21sin (sin 5)； （C ）0； （D ）21sin (sin1)

。 7．已知()f x 在0x =处可导，且1(0)3f '=

，又对任意x ，有(3)3()f x f x +=，则(3)f '=（ ） （A ）3； （B ）13

； （C ）1； （D ）0。 三、计算题（每题5分，共35分）

1.讨论ln ,1()1,1x x f x x x ≥⎧=⎨

-<⎩在定义域内的可导性，求()f x '。

2.设22

sin 2cos ln 2y x x =++，求y '。

3.设(0,1)a a x

a x a y x a a a a =++>≠，求y '。

4.设1log 10()(0,1)x

x y x x x

=+>≠，求y '。

5.函数()y y x =是由方程1cos()x y e e xy -+=所确定的隐函数，求0x dy

dx =。

6.

设参数方程ln arctan x y t

⎧⎪=⎨=⎪⎩求212,t dy d y dx dx =。

7.求由方程(cos )(sin )x y y x =所确定的函数()y y x =的导数dy dx

。

四、证明题（注意：任选下列其中一题）（本题7分）

1.设()f x 在0x =处可导，且(0)0,(0)0f f '=≠，又()F x 在0x =处可导，证明(())F f x 在0x =处也可导，并求出0x =处的导数。

2.函数()f x 在(,)-∞+∞内有定义，对任意x 都有(1)2()f x f x +=，且当01x ≤≤时2()(1)f x x x =-，试判断在0x =处函数()f x 是否可导？

五、设函数()f x 在0x =处可导，且()0f a ≠，求1()lim ()x x f a x f a →∞⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

。（本题7分）