离散数学考试题详细答案资料讲解
离散数学期末考试题及详细答案
离散数学期末考试题及详细答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 在离散数学中,下列哪个概念用来描述元素与集合之间的关系?A. 并集B. 交集C. 子集D. 元素答案:D2. 布尔代数中,下列哪个运算符表示逻辑“与”?A. ∨B. ∧C. ¬D. →答案:B3. 下列哪个命题的否定是正确的?A. 如果今天是周一,则明天是周二。
B. 如果今天是周一,则明天不是周二。
答案:B4. 在图论中,一个图的顶点数为n,边数为m,下列哪个条件可以保证该图是连通的?A. m > nB. m ≥ nC. m = nD. m > n-1答案:D二、填空题(每题5分,共20分)1. 在集合论中,一个集合的幂集包含该集合的所有______。
答案:子集2. 如果一个函数f: A → B是单射的,那么对于任意的a1, a2 ∈ A,如果a1 ≠ a2,则f(a1) ≠ f(a2)。
这种性质称为函数的______。
答案:单射性3. 在图论中,一个图的直径是指图中任意两个顶点之间的最短路径的最大值。
如果一个图的直径为1,则该图被称为______。
答案:完全图4. 一个布尔表达式可以表示为一系列逻辑运算符和变量的组合。
布尔表达式(A ∧ B) ∨ (¬ A ∧ C)的真值表中,当A为真,B为假,C为真时,整个表达式的值为______。
答案:真三、简答题(每题10分,共30分)1. 请简述什么是图的哈密顿回路,并给出一个例子。
答案:哈密顿回路是图中的一个回路,它恰好访问每个顶点一次。
例如,在一个完全图中,任意一个顶点出发,依次访问其他顶点,最后回到出发点的路径就是一个哈密顿回路。
2. 请解释什么是二元关系,并给出一个二元关系的例子。
答案:二元关系是定义在两个集合上的一个关系,它关联了第一个集合中的元素和第二个集合中的元素。
例如,小于关系是实数集合上的一个二元关系,它关联了每一对实数,如果第一个数小于第二个数。
离散数学期末考试题(附答案和含解析3)
A一、单项选择题2.设集合A={1,2,3},下列关系R 中不是等价关系的是( D )A.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>}; B.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<3,2>,<2,3>};C. R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>};D. R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2 >}.3.在公式()F (x ,y )→( y )G (x ,y )中变元x 是( B )x ∀∃A .自由变元;(前面无∀或∃量词) B .既是自由变元,又是约束变元;C .约束变元;(前面有∀或∃量词) D .既不是自由变元,又不是约束变元.4.设A={{1,2,3},{4,5},{6,7,8}},下列选项正确的是( C )A .1∈A ;B .{1,2,3}A ;C .{{4,5}}A ;D .∅∈A.⊆⊆5.设论域为{l ,2},与公式等价的是( A ))()(x A x ∃A.A (1)A (2); B. A (1)A (2); C.A (1)∧A (2);D. A (2)A (1).∨→→6.一棵树有5个3度结点,2个2度结点,其它的都是l 度结点,那么这棵树的结点数是( B )A.13;B.14 ;C.16 ;D.17 .//设一度结点数为n,则有:5×3+2×2+n=2[(5+2+n)-1]解得:n=7, 所以这棵树的结点数为:m=5+2+7=14.7.设A 是偶数集合,下列说法正确的是( A )A .<A ,+>是群;B .<A ,×>是群;C .<A ,÷>是群;D .<A ,+>, <A ,×>,<A ,÷>都不是群。
离散数学期末考试题(附答案和含解析)
一、填空2.A ,B ,C 表示三个集合,文图中阴影部分的集合表达式为 (B ⊕C)-A4.公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为 )()(R S P R S P ∨⌝∨⌝∧∨∨⌝ 。
5.若解释I 的论域D 仅包含一个元素,则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为 1 。
6.设A={1,2,3,4},A 上关系图如下,则 R^2= {(1,1),(1,3),(2,2),(2,4)} 。
//备注:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000100001010010R⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00000000101001012R7.设A={a ,b ,c ,d},其上偏序关系R 的哈斯图如下,则R= {(a,b),(a,c), (a,d), (b,d), (c,d)} U {(a,a),(b,b)(c,c)(d,d)} 。
//备注:偏序满足自反性,反对称性,传递性8.图的补图为 。
//补图:给定一个图G ,又G 中所有结点和所有能使G 成为完全图的添加边组成的图,成为补图. 自补图:一个图如果同构于它的补图,则是自补图 9.设A={a ,b ,c ,d} ,A 上二元运算如下:* a b c d a b c da b c d b c d a c d a b d a b c那么代数系统<A ,*>的幺元是 a ,有逆元的元素为 a,b,c,d ,它们的逆元分别为 a,b,c,d 。
//备注:二元运算为x*y=max{x,y},x,y ∈A 。
10.下图所示的偏序集中,是格的为 c 。
//(注:什么是格?即任意两个元素有最小上界 和最大下界的偏序)二、选择题1、下列是真命题的有( C 、D )A . }}{{}{a a ⊆;B .}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ;C .}},{{ΦΦ∈Φ; D .}}{{}{Φ∈Φ。
2、下列集合中相等的有( B 、C )A .{4,3}Φ⋃;B .{Φ,3,4};C .{4,Φ,3,3};D . {3,4}。
离散数学期末考试试题与答案
12. (8分) (G, · )是一个群,取定u ∊ G. ∀g1,g2∊G,定义: g1*g2= g1· u-1· g2. 证明: (G,*)是群。
证明: (1) 封闭性 (2) 可以结合性 (3) 幺元 e*=u. 事实上, g*e*=g*u=g· u-1· u=g· e=g e**g=u*g=u· u-1· g=e· g=g (4) 逆元 对于∀g∊G, 在代数运算*下的逆元记为g*-1 于是, g*-1=u· g-1· u 这里, g-1是在代数运算· 下的逆元
13. (5分) G是一个群,H,K是G正规子群. 证明: H∩K是G正规子群.
证明: (1) (3分) a,b HK,就有a,b H, a,b K, 因为H, K是群G的子群, 所以,a*b-1H,a*b-1K,因此a*b-1 HK。故 HK是G的子群。 (2) (2分) 对于a HK, gG, 就有a H,aK。 因为H,K是群G的正规子群,所以 g*a*g-1H, g*a*g-1K, 从而有g*a*g-1HK, 故HK是G的正规子群。
1. (6分) 已知 A={{a},a,b}, B={{b}, a}, 求 A×B, AB, P(A). 解: A×B={({a},{b}), ({a},a), (a, {b}), (a, a), (b, {b}), (b, a)} AB=(A-B) ∪(B-A)={{a}, b, {b}} P(A)={Ø, {a}, a, b, {{a}, a}, {{a},b}, {a,b}, A}.
2. (4分) 已知R1,R2是A上的对称关系, R1∘R2对称吗? 证明或 举反例说明.
离散数学习题答案解析
离散数学习题答案解析(总16页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--离散数学习题答案习题一及答案:(P14-15)14、将下列命题符号化:(5)李辛与李末是兄弟解:设p:李辛与李末是兄弟,则命题符号化的结果是p(6)王强与刘威都学过法语∧解:设p:王强学过法语;q:刘威学过法语;则命题符号化的结果是p q(9)只有天下大雨,他才乘班车上班→解:设p:天下大雨;q:他乘班车上班;则命题符号化的结果是q p (11)下雪路滑,他迟到了解:设p:下雪;q:路滑;r:他迟到了;则命题符号化的结果是()∧→p q r 15、设p:2+3=5.q:大熊猫产在中国.r:太阳从西方升起.求下列复合命题的真值:(4)()(())∧∧⌝↔⌝∨⌝→p q r p q r解:p=1,q=1,r=0,∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔,p q r()(110)1p q r⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔(())((11)0)(00)1∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔()(())111p q r p q r19、用真值表判断下列公式的类型:(2)()→⌝→⌝p p q解:列出公式的真值表,如下所示:由真值表可以看出公式有3个成真赋值,故公式是非重言式的可满足式。
20、求下列公式的成真赋值: (4)()p q q ⌝∨→解:因为该公式是一个蕴含式,所以首先分析它的成假赋值,成假赋值的条件是:()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨⇔⎩⇒0p q ⇔⎧⎨⇔⎩ 所以公式的成真赋值有:01,10,11。
习题二及答案:(P38)5、求下列公式的主析取范式,并求成真赋值: (2)()()p q q r ⌝→∧∧解:原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨,此即公式的主析取范式, 所以成真赋值为011,111。
*6、求下列公式的主合取范式,并求成假赋值: (2)()()p q p r ∧∨⌝∨解:原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔,此即公式的主合取范式, 所以成假赋值为100。
离散数学期末考试试题及答案详解
离散数学期末考试试题及答案详解一、【单项选择题】(本大题共15小题,每题3分,共45分)在每题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。
1、在由3个元素组成的集合上,可以有 ( ) 种不同的关系。
[A] 3 [B] 8 [C]9 [D]272、设A1,2,3,5,8,B1,2,5,7,那么AB( )。
[A] 3,8 [B]3 [C]8 [D]3,83、假设X是Y的子集,那么一定有( )。
[A]X不属于Y [B]X∈Y[C]X真包含于 Y [D]X∩Y=X4、以下关系中是等价关系的是( )。
[A]不等关系 [B]空关系[C]全关系 [D]偏序关系5、对于一个从集合A到集合B的映射,以下表述中错误的选项是( )。
[A]对A的每个元素都要有象 [B] 对A的每个元素都只有一个象[C]对B的.每个元素都有原象 [D] 对B的元素可以有不止一个原象6、设p:小李努力学习,q:小李获得好成绩,命题“除非小李努力学习,否那么他不能获得好成绩”的符号化形式为( )。
[A]p→q [B]q→p [C]┐q→┐p [D]┐p→q7、设A={a,b,c},那么A到A的双射共有( )。
[A]3个 [B]6个 [C]8个 [D]9个8、一个连通G具有以下何种条件时,能一笔画出:即从某结点出发,经过中每边仅一次回到该结点( )。
[A] G没有奇数度结点 [B] G有1个奇数度结点[C] G有2个奇数度结点 [D] G没有或有2个奇数度结点[A] G中有幺元 [B] G中么元是唯一的[C] G中任一元素有逆元 [D] G中除了幺元外无其他幂等元10、令p:今天下雪了,q:路滑,那么命题“虽然今天下雪了,但是路不滑”可符号化为( )[A] p→┐q [B] p∨┐q[C] p∧q [D] p∧┐q11、设G=的结点集为V={v1,v2,v3},边集为E={,}.那么G 的割(点)集是( )。
离散数学考试题目及答案
离散数学考试题目及答案1. 试述命题逻辑中的等价关系和蕴含关系。
答案:命题逻辑中的等价关系是指两个命题在所有可能的真值赋值下都具有相同的真值。
若命题P和Q等价,则记作P⇔Q。
蕴含关系是指如果命题P为真,则命题Q也为真,但Q为真时P不一定为真。
若命题P蕴含Q,则记作P→Q。
2. 证明:若集合A和B的交集非空,则它们的并集包含A和B。
答案:设x属于A∩B,即x同时属于A和B。
根据并集的定义,若元素属于A或B,则它属于A∪B。
因此,x属于A∪B。
由于x是任意属于A∩B的元素,所以A∩B≠∅意味着A∪B至少包含A∩B中的所有元素,即A∪B包含A和B。
3. 给定一个有向图G,如何判断G中是否存在环?答案:判断有向图G中是否存在环,可以采用深度优先搜索(DFS)算法。
在DFS过程中,记录每个顶点的访问状态,如果遇到一个已访问过的顶点,且该顶点不是当前路径的直接前驱,则表示存在环。
4. 描述有限自动机的组成部分及其功能。
答案:有限自动机由以下几部分组成:输入字母表、状态集合、转移函数、初始状态和接受状态集合。
输入字母表定义了自动机可以接收的符号集合;状态集合包含了自动机所有可能的状态;转移函数定义了在给定输入符号和当前状态的情况下,自动机如何转移到下一个状态;初始状态是自动机开始工作时的状态;接受状态集合包含了所有使自动机接受输入字符串的状态。
5. 什么是图的连通分量?如何确定一个无向图的连通分量?答案:图的连通分量是指图中最大的连通子图。
在一个无向图中,如果两个顶点之间存在路径,则称这两个顶点是连通的。
确定无向图的连通分量可以通过深度优先搜索(DFS)或广度优先搜索(BFS)算法。
从任一顶点开始搜索,搜索过程中访问的所有顶点构成一个连通分量。
重复此过程,直到所有顶点都被访问过,即可确定图中所有连通分量。
离散数学试题及答案解析
离散数学试题及答案解析一、选择题1. 在集合{1,2,3,4}中,含有3个元素的子集有多少个?A. 4B. 8C. 16D. 32答案:B解析:含有3个元素的子集可以通过组合数公式C(n, k) = n! / [k!(n-k)!]来计算,其中n为集合的元素个数,k为子集中的元素个数。
在本题中,n=4,k=3,所以C(4, 3) = 4! / [3!(4-3)!] = 4。
2. 下列哪个命题是真命题?A. 所有偶数都是整数。
B. 所有整数都是偶数。
C. 所有整数都是奇数。
D. 所有奇数都是整数。
答案:A解析:偶数是指能被2整除的整数,因此所有偶数都是整数,选项A是真命题。
选项B、C和D都是错误的,因为并非所有整数都是偶数或奇数。
二、填空题1. 逻辑运算符“非”(NOT)的真值表是:当输入为真时,输出为______;当输入为假时,输出为真。
答案:假解析:逻辑运算符“非”(NOT)是一元运算符,它将输入的真值取反。
如果输入为真,则输出为假;如果输入为假,则输出为真。
2. 命题逻辑中,合取词“与”(AND)的真值表是:当两个命题都为真时,输出为真;否则输出为______。
答案:假解析:合取词“与”(AND)是二元运算符,只有当两个命题都为真时,输出才为真;如果其中一个或两个命题为假,则输出为假。
三、简答题1. 解释什么是等价关系,并给出一个例子。
答案:等价关系是定义在集合上的一个二元关系,它满足自反性、对称性和传递性。
例如,考虑整数集合上的“同余”关系。
对于任意整数a,b,如果a和b除以同一个正整数n后余数相同,则称a和b模n同余。
这个关系是自反的(a同余a),对称的(如果a同余b,则b同余a),并且是传递的(如果a同余b且b同余c,则a同余c)。
2. 什么是图的连通性?一个图是连通的需要满足什么条件?答案:图的连通性是指在无向图中,任意两个顶点之间都存在一条路径。
一个图是连通的需要满足以下条件:图中的任意两个顶点v和w,都可以通过图中的边相互到达。
离散数学习题的答案解析
离散数学习题的答案解析离散数学习题答案习题⼀及答案:(P14-15) 14、将下列命题符号化:(5)李⾟与李末是兄弟解:设p :李⾟与李末是兄弟,则命题符号化的结果是p (6)王强与刘威都学过法语解:设p :王强学过法语;q :刘威学过法语;则命题符号化的结果是p q ∧(9)只有天下⼤⾬,他才乘班车上班解:设p :天下⼤⾬;q :他乘班车上班;则命题符号化的结果是q p →`(11)下雪路滑,他迟到了解:设p :下雪;q :路滑;r :他迟到了;则命题符号化的结果是()p q r ∧→15、设p :2+3=5.q :⼤熊猫产在中国. r :太阳从西⽅升起. 求下列复合命题的真值:(4)()(())p q r p q r ∧∧∨?→解:p=1,q=1,r=0,()(110)1p q r ∧∧??∧∧??,(())((11)0)(00)1p q r ?∨?→??∨?→?→?*()(())111p q r p q r ∴∧∧∨?→19、⽤真值表判断下列公式的类型:(2)()p p q →?→?解:列出公式的真值表,如下所⽰:20、求下列公式的成真赋值:(4)()p q q ?∨→解:因为该公式是⼀个蕴含式,所以⾸先分析它的成假赋值,成假赋值的条件是:()10p q q ?∨0p q所以公式的成真赋值有:01,10,11。
【习题⼆及答案:(P38)5、求下列公式的主析取范式,并求成真赋值:(2)()()p q q r ?→∧∧解:原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨,此即公式的主析取范式,所以成真赋值为011,111。
*6、求下列公式的主合取范式,并求成假赋值: |(2)()()p q p r ∧∨?∨解:原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?,此即公式的主合取范式,所以成假赋值为100。
《离散数学》试题及标准答案解析
《离散数学》试题及标准答案解析⼀、填空题1设集合A,B,其中A={1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B=____________________; ρ(A) - ρ(B)= __________________________ .2. 设有限集合A, |A| = n, 则 |ρ(A×A)| = __________________________.3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________.4. 已知命题公式G=?(P→Q)∧R,则G的主析取范式是_________________________________________________________________________________________.6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B=_________________________; A?B=_________________________;A-B= _____________________ .7. 设R是集合A上的等价关系,则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________.8. 设命题公式G=?(P→(Q∧R)),则使公式G为真的解释有__________________________,_____________________________, __________________________.9. 设集合A={1,2,3,4}, A上的关系R1= {(1,4),(2,3),(3,2)}, R2= {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则R1?R2 = ________________________,R2? R1 =____________________________, R12 =________________________.10. 设有限集A, B,|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合,其中R是实数集,A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A =__________________________ , A∩B = __________________________ , .13.设集合A={2, 3, 4, 5, 6},R是A上的整除,则R以集合形式(列举法)记为__________________________________________________________________.14. 设⼀阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x),则G的前束范式是__________________________ _____.16. 设谓词的定义域为{a, b},将表达式?xR(x)→?xS(x)中量词消除,写成与之对应的命题公式是__________________________________________________________________________.17. 设集合A={1, 2, 3, 4},A上的⼆元关系R={(1,1),(1,2),(2,3)}, S={(1,3),(2,3),(3,2)}。
离散数学考试题详细答案分析
离散数学考试题(后附详细答案)一、命题符号化(共6小题,每小题3分,共计18分)1.用命题逻辑把下列命题符号化a)假如上午不下雨,我去看电影,否则就在家里读书或看报。
设P表示命题“上午下雨”,Q表示命题“我去看电影”,R表示命题“在家里读书”,S表示命题“在家看报”,命题符号化为:(⌝P⇄Q)∧(P⇄R∨S)b)我今天进城,除非下雨。
设P表示命题“我今天进城”,Q表示命题“天下雨”,命题符号化为:⌝Q→P或⌝P→Qc)仅当你走,我将留下。
设P表示命题“你走”,Q表示命题“我留下”,命题符号化为: Q→P2.用谓词逻辑把下列命题符号化a)有些实数不是有理数设R(x)表示“x是实数”,Q(x)表示“x是有理数”,命题符号化为:∃x(R(x) ∧⌝Q(x)) 或⌝∀x(R(x) →Q(x))b)对于所有非零实数x,总存在y使得xy=1。
设R(x)表示“x是实数”,E(x,y)表示“x=y”,f(x,y)=xy, 命题符号化为:∀x(R(x) ∧⌝E(x,0) →∃y(R(y) ∧E(f(x,y),1))))c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B,使得f(a)=b.设F(f)表示“f是从A到B的函数”, A(x)表示“x∈A”, B(x)表示“x∈B”,E(x,y)表示“x=y”, 命题符号化为:F(f)⇄∀a(A(a)→∃b(B(b) ∧ E(f(a),b) ∧∀c(S(c) ∧ E(f(a),c) →E(a,b))))二、简答题(共6道题,共32分)1.求命题公式(P→(Q→R))↔(R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式,并写出所有成真赋值。
(5分)(P→(Q→R))↔(R→(Q→P))⇔(⌝P∨⌝Q∨R)↔(P∨⌝Q∨⌝R)⇔((⌝P∨⌝Q∨R)→(P∨⌝Q∨⌝R)) ∧ ((P∨⌝Q∨⌝R) →(⌝P∨⌝Q∨R)).⇔((P∧Q∧⌝R)∨ (P∨⌝Q∨⌝R)) ∧ ((⌝P∧Q∧R) ∨(⌝P∨⌝Q∨R))⇔(P∨⌝Q∨⌝R) ∧(⌝P∨⌝Q∨R) 这是主合取范式公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧Q∧⌝R)∨(P∧⌝Q∧⌝R)∨(P∧⌝Q∧R)∨(P∧Q∧R)2.设个体域为{1,2,3},求下列命题的真值(4分)a)∀x∃y(x+y=4)b)∃y∀x (x+y=4)a) T b) F3.求∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x)→∃xG(x))的前束范式。
离散数学期末考试题(附答案和含解析2)
一.填空题1. 谓词公式)()(x xQ x xP ∃→∀的前束范式是 ∃x ∃y¬P(x)∨Q(y)2。
设全集 E={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,5}, 则A ∩B = {2} ,=A {4,5} ,=B A {1,3,4,5} 。
3。
设{}{}b a B c b a A ,,,,==,则=-)()(B A ρρ__{{c },{a ,c},{b,c},{a,b,c}}_,=-)()(A B ρρ__Φ__。
4。
在代数系统(N,+)中,其单位元是0,仅有 单位元0 有逆元。
//x+y=0,x 的逆元= -x ,即x=05.如果连通平面图G 有n 个顶点,e 条边,则G 有__e+2-n __个面。
//点+面-边=23 无向图G 有12条边,G 中有6个3度结点,其余结点的度数均小于3,问G 中至少有 9 个结点?//因为至少,所以 6×3+2n=12×2 解得n=3 总结点m=6+3=9二.选择题1。
与命题公式)(R Q P →→等价的公式是( )(A )R Q P →∨)( (B )R Q P →∧)( (C))(R Q P ∧→ (D ))(R Q P ∨→3。
在图>=<E V G ,中,结点总度数与边数的关系是( C )(A )E v i 2)deg(= (B ) E v i =)deg((C)∑∈=V v i E v 2)deg((D) ∑∈=V v iE v )deg(4. 设D 是有n 个结点的有向完全图,则图D 的边数为( A )(A ))1(-n n (B))1(+n n (C)2/)1(+n n (D)2/)1(-n n5。
无向图G 是欧拉图,当且仅当( C )(A) G 的所有结点的度数都是偶数 (B )G 的所有结点的度数都是奇数(C)G 连通且所有结点的度数都是偶数 (D) G 连通且G 的所有结点度数都是奇数。
离散数学习题答案解析
离散数学习题答案习题一及答案:(P14-15) 14、将下列命题符号化:(5)李辛与李末是兄弟解:设p :李辛与李末是兄弟,则命题符号化的结果是p (6)王强与刘威都学过法语解:设p :王强学过法语;q :刘威学过法语;则命题符号化的结果是p q ∧(9)只有天下大雨,他才乘班车上班解:设p :天下大雨;q :他乘班车上班;则命题符号化的结果是q p → (11)下雪路滑,他迟到了解:设p :下雪;q :路滑;r :他迟到了;则命题符号化的结果是()p q r ∧→15、设p :2+3=5.q :大熊猫产在中国. r :太阳从西方升起. 求下列复合命题的真值:(4)()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→ 解:p=1,q=1,r=0,()(110)1p q r ∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔,(())((11)0)(00)1p q r ⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔ ()(())111p q r p q r ∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔19、用真值表判断下列公式的类型: (2)()p p q →⌝→⌝解:列出公式的真值表,如下所示:由真值表可以看出公式有3个成真赋值,故公式是非重言式的可满足式。
20、求下列公式的成真赋值: (4)()p q q ⌝∨→解:因为该公式是一个蕴含式,所以首先分析它的成假赋值,成假赋值的条件是:()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨⇔⎩⇒0p q ⇔⎧⎨⇔⎩ 所以公式的成真赋值有:01,10,11。
习题二及答案:(P38)5、求下列公式的主析取范式,并求成真赋值: (2)()()p q q r ⌝→∧∧解:原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨,此即公式的主析取范式, 所以成真赋值为011,111。
*6、求下列公式的主合取范式,并求成假赋值: (2)()()p q p r ∧∨⌝∨解:原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔,此即公式的主合取范式,所以成假赋值为100。
离散数学期末考试题及答案
离散数学期末考试题及答案1. 题目描述:以下是离散数学期末考试的题目。
请仔细阅读每个问题,并在题后给出相应的答案。
请注意,答案应尽量详细和准确,以确保得分。
1.1 命题与谓词逻辑(20分)1.1.1 什么是命题逻辑?它可以用于解决哪些问题?1.1.2 简要解释谓词逻辑的概念和其在离散数学中的应用。
1.2 集合和图论(30分)1.2.1 定义两个集合的并、交和差的概念。
1.2.2 解释有向图和无向图的区别,并给出一个实际应用中的例子。
1.3 关系和函数(40分)1.3.1 什么是关系?请给出一个实际应用中关系的例子。
1.3.2 定义函数的概念,并解释函数与关系的区别。
1.4 计数原理(20分)1.4.1 简要阐述乘法原理和加法原理的概念,并给出一个应用实例。
1.4.2 什么是排列和组合?请说明它们的应用场景,并给出一个例子。
2. 答案解析:2.1 命题与谓词逻辑1.1.1 命题逻辑是一种数学分支,用于研究命题之间的关系和推理规则。
其应用范围广泛,包括数学、计算机科学、哲学等领域。
1.1.2 谓词逻辑是一种扩展了命题逻辑的逻辑体系,它考虑了命题中的变量、谓词和量词等元素。
在离散数学中,谓词逻辑常用于描述集合、函数和关系等概念。
2.2 集合和图论1.2.1 集合的并(∪)是指将两个或多个集合中的所有元素取出形成一个新的集合;交(∩)指仅包含两个或多个集合中共有的元素;差(-)是指从一个集合中去除另一个集合中的元素。
1.2.2 有向图中,边是具有方向性的;而在无向图中,边是没有方向性的。
例如,在社交网络中,有向图可以表示人与人之间的关注关系,而无向图可以表示人与人之间的好友关系。
2.3 关系和函数1.3.1 关系是集合之间的一种特殊的子集,它描述了元素之间的某种联系。
例如,家族中的血亲关系可以看作是一个关系。
关系可以用图、矩阵等方式表示。
1.3.2 函数是一种特殊的关系,它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
离散数学考试试题及答案
离散数学考试试题及答案一、单项选择题(每题5分,共20分)1. 在离散数学中,以下哪个概念不是布尔代数的基本元素?A. 逻辑与B. 逻辑或C. 逻辑非D. 逻辑异或答案:D2. 下列哪个命题不是命题逻辑中的命题?A. 所有学生都是勤奋的B. 有些学生是勤奋的C. 学生是勤奋的D. 勤奋的学生答案:D3. 在集合论中,以下哪个符号表示集合的并集?A. ∩B. ∪C. ⊆D. ⊂答案:B4. 以下哪个图不是无向图?A. 简单图B. 完全图C. 有向图D. 多重图答案:C二、填空题(每题5分,共20分)1. 如果一个命题的逆否命题为真,则原命题的________为真。
答案:逆命题2. 在图论中,如果一个图的任意两个顶点都由一条边连接,则称这个图为________图。
答案:完全3. 一个集合的幂集是指包含该集合的所有________的集合。
答案:子集4. 如果一个函数的定义域和值域都是有限集合,那么这个函数被称为________函数。
答案:有限三、简答题(每题10分,共30分)1. 请简述什么是图的欧拉路径。
答案:欧拉路径是一条通过图中每条边恰好一次的路径。
2. 解释什么是二元关系,并给出一个例子。
答案:二元关系是指定义在两个集合之间的关系,它将第一个集合中的元素与第二个集合中的元素联系起来。
例如,小于关系就是一个二元关系。
3. 请说明什么是递归函数,并给出一个简单的例子。
答案:递归函数是一种通过自身定义来计算函数值的函数。
例如,阶乘函数就是一个递归函数,定义为:n! = n * (n-1)!,其中n! = 1当n=0时。
四、计算题(每题10分,共30分)1. 计算以下逻辑表达式:(P ∧ Q) ∨ ¬R答案:首先计算P ∧ Q,然后计算¬R,最后计算两者的逻辑或。
2. 给定集合A = {1, 2, 3},B = {2, 3, 4},求A ∪ B。
答案:A ∪ B = {1, 2, 3, 4}3. 已知函数f(x) = 2x + 3,求f(5)。
《离散数学》试卷及答案精选全文完整版
H(x):x是身体健康的;
S(x):x是科学家
C(x):x是事业获得成功的人
置换规则。
3、设集合|A|=101,S ,且|S|为奇数,则这样的S有2101/2或2100个。
4、设mi是公式G的的主析取范式中的一个极小项,则mi的对偶式不一定是(填“是”/“不是”/“不一定是” ) G的主合取范式中的一个极大项。
5、由3个元素组成的有限集上所有的等价关系有5个
6、给定解释I如下: (1) Di:={2,3}; (2) a=3; (3) 函数f(x)为f(2)=2,f(3)=3; (4) 谓词:F(x)为F(2):=1,F(3):=0;G(x,y)为当i=j时,G(i,j):=1;当i≠j时,G(i,j):=0;其中i,j=2,3;
ac>0并且cu>0
若u>0,则c>0,a>0,因此有ac>0;
若u<0,则c<0,a<0, 也有ac>0;
因此有(a+bi)R(u+vi)
所以R在C*是传递的。所以R是C*上的等价关系。
2、在一阶逻辑自然推理系统F中,构造下面推理的证明。个体域是人的集合。
“每位科学家都是勤奋的,每个勤奋又身体健康的人在事业中都会获得成功。存在着身体健康的科学家。所以,存在着事业获得成功的人。”(15分)
2.设A={1,2,3…10},定义A上的二元关系R={<x,y>|x,y∈A∩x+y=10},试讨论R关于关系的五个方面的性质并说明理由(5分)
解答:R={<1,9>,<9,1>,<2,8>,<8, 2 >,<3,7>,<7,3>,<4,6>,<6, 4 >,<5, 5 >}
离散数学试题及答案解析
离散数学试题及答案解析一、单项选择题(每题2分,共10分)1. 集合A={1,2,3},集合B={2,3,4},则A∩B等于:A. {1,2,3}B. {2,3}C. {1,4}D. {3,4}答案:B2. 以下哪个命题是真命题?A. 所有天鹅都是白色的。
B. 有些天鹅不是白色的。
C. 所有天鹅都不是白色的。
D. 没有天鹅是白色的。
答案:B3. 函数f: A→B的定义域是A,值域是B,那么f是:A. 单射B. 满射C. 双射D. 既不是单射也不是满射答案:D4. 逻辑表达式(p∧q)→r的逆否命题是:A. ¬r→¬(p∧q)B. ¬r→¬p∨¬qC. r→(p∧q)D. ¬r∧¬p∨¬q答案:B5. 有限集合A={a, b, c}的子集个数为:A. 3B. 4C. 7D. 8答案:D二、填空题(每题3分,共15分)1. 如果一个关系R在集合A上是自反的,那么对于A中的每一个元素a,都有___________。
答案:(a, a)∈R2. 命题逻辑中,合取(AND)的逻辑运算符用___________表示。
答案:∧3. 在图论中,一个连通图是指图中任意两个顶点之间都存在___________。
答案:路径4. 集合{1, 2, 3}的幂集包含___________个元素。
答案:85. 如果一个函数f是单射,那么对于任意的x1, x2∈A,如果f(x1)=f(x2),则x1___________x2。
答案:=三、解答题(每题10分,共20分)1. 证明:若p是q的充分条件,q是r的充分条件,则p是r的充分条件。
证明:假设p成立,由于p是q的充分条件,所以q成立。
又因为q是r的充分条件,所以r成立。
因此,p成立可以推出r成立,即p是r的充分条件。
2. 给定一个有向图,其中包含顶点A、B、C、D,边为(A, B),(B, C),(C, D),(D, A),(A, C)。
离散数学期末考试试题及答案详解
离散数学期末复习例题讲解一、考核说明考核对象:本课程考核说明适用于国家开放大学开放教育本科电气信息类计算机科学与技术专业的学生.考核依据:本考核说明是以本课程的教学大纲(2015年3月修改)和指定的参考教材为依据制定的.本课程指定的参考教材是由胡俊、顾静相编写,国家开放大学出版社出版的《离散数学(本科)》第2版.考核方式:本课程的考核实行形成性考核和终结性考核相结合的方式.其中终结性考核采用半开卷、笔试方式,试卷满分100分.半开卷考试允许考生携带指定的一张专用A4纸(统一印制),考生可以将自己对全课程学习内容的总结归纳写在这张A4纸上带入考场,作为答卷时参考.考试时间:90分钟.试题类型及结构:单项选择题的分数占15%,填空题的分数占15%,公式翻译题的分数占12%,判断说明题的分数占14%,计算题的分数占36%;证明题的分数占8%.二、例题讲解(一)集合论1.单项选择题(1)若集合A={2,a,{ a },4},则下列表述正确的是( ).A.{a,{ a }}∈A B.{ a }⊆AC.{2}∈A D.∅∈A答:B(2)若集合A={a,b,{1,2 }},B={1,2},则().A.B⊂ A,且B∈A B.B⊄ A,且B∉AC.B ⊂ A,但B∉A D.B∈ A,但B⊄A答:D(3)设集合A = {1, a },则P(A) = ( ).A.{{1}, {a}} B.{∅,{1}, {a}}C.{∅,{1}, {a}, {1, a }} D.{{1}, {a}, {1, a }}答:C(4)设集合A = {1,2,3,4,5,6 }上的二元关系R ={<a , b>⎢a , b∈A , 且a +b = 8},则R具有的性质为().A.对称的B.自反的C.对称和传递的D.反自反和传递的答:A(5)设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R = {<1 , 1>,<2 , 2>,<2 , 3>,<4 , 4>},S = {<1 , 1>,<2 , 2>,<2 , 3>,<3 , 2>,<4 , 4>},则S 是R 的( )闭包.A .自反B .传递C .对称D .以上都不对 答:C(6)设集合A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}上的偏序关系的哈斯图如图1所示,若A 的子集B = {3 , 4 , 5}, 则元素3为B 的( ).A .最小上界B .最大下界C .下界D .以上答案都不对 图1 答:A2.填空题(1)设集合A 有n 个元素,那么A 的幂集合P (A )的元素个数为 . 答:2n(2)设集合A ={0,1,2},B ={0,2,4},R 是A 到B 的二元关系,},,{B A y x B y A x y x R ⋂∈∈∈><=且且则R 的集合表示式为 . 答:{<0,0>, <0,2>, <2,0>, <2,2>}(3)设集合A ={a ,b ,c ,d },A 上的二元关系R ={<a , b >, <b , a >, <b , c >, <c , d >},则R 的自反闭包是 .答:r (R )= {<a , b >, <b , a >, <b , c >, <c , d >}∪I A(4)设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},R 是A 上的整除关系,B ={2, 4, 6},则集合B 的最大元、最小元、上界、下界依次为 . 答:无、2、无、2(5)设集合A ={1, 2},B ={a , b },那么集合A 到B 的不同函数的个数有 . 答:4因为:f :{<1, a >, <2, a >}, {<1, b >, <2, b >}{<1, a >, <2, b >}, {<1, b >, <2, a >}3.如果R 1和R 2是A 上的自反关系,判断结论:“R 1-1、R 1∪R 2、R 1⋂R 2是自反的”是否成立?并说明理由. 答:结论成立.因为R 1和R 2是A 上的自反关系,即I A ⊆R 1,I A ⊆R 2. 由逆关系定义和I A ⊆R 1,得I A ⊆ R 1-1;由I A ⊆R 1,I A ⊆R 2,得I A ⊆ R 1∪R 2,I A ⊆ R 1⋂R 2.所以,R 1-1、R 1∪R 2、R 1⋂R 2是自反的.注: R 1-R 2是自反的吗?4.若偏序集<A ,R >的哈斯图如图2所示,则集合 A 的最大元为a ;最小元不存在.答:错a 是集合A 的极大元,最大元不存在. 图2 5.设集合A ={a ,b , { a , b }},B ={{a }, {b }, b },求a f5(1)B ⋂A ; (2)A -B ; (3)A ⨯B . 解:(1)B ⋂A ={a , b , { a , b }}⋂{{a }, {b }, b }={b } (2)A -B = {a , b , { a , b }}-{{a }, {b }, b }={a , { a , b }} (3)A ⨯B ={a , b , { a , b }}⨯{{a }, {b }, b }={<a , {a }>, <a , {b }>, <a , b >,<b , {a }>, <b , {b }>, <b , b >, <{ a , b }, {a }>, <{ a , b }, {b }>, <{ a , b }, b >}6.设A ={0,1,2,3,4},R ={<x ,y >|x ∈A ,y ∈A 且x +y <0},S ={<x ,y >|x ∈A ,y ∈A 且x +y ≤3},试求R ,S ,R ︒S ,R -1,S -1,r (R ),s (R ),t (R ),r (S ),s(S ),t (S ).解:R =∅,S ={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<3,0>} R ︒S =∅,R -1=∅,S -1= S ;r (R )= I A ,s (R )= ∅,t (R )= ∅;r (S )=S ∪{<2,2>,<3,3>,<4,4>},s (S )= S ;t (S )= S ∪{<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,3>} 7.试证明集合等式:A ⋃ (B ⋂C )=(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C ).证:若x ∈A ⋃ (B ⋂C ),则x ∈A 或x ∈B ⋂C , 即 x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C . 即x ∈A ⋃B 且 x ∈A ⋃C , 即 x ∈T =(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C ),所以A ⋃ (B ⋂C )⊆ (A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C ).反之,若x ∈(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C ),则x ∈A ⋃B 且 x ∈A ⋃C , 即x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ,即x ∈A 或x ∈B ⋂C , 即x ∈A ⋃ (B ⋂C ),所以(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )⊆ A ⋃ (B ⋂C ). 因此.A ⋃ (B ⋂C )=(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C ). 8.设R 是集合A 上的对称关系和传递关系,试证明:若对∀a ∈A ,∃b ∈A ,使得<a , b >∈R ,则R 是等价关系.证明:已知R 是对称关系和传递关系,只需证明R 是自反关系. ∀a ∈A ,∃b ∈A ,使得<a , b >∈R ,因为R 是对称的,故<b , a >∈R ; 又R 是传递的,即当<a , b >∈R ,<b , a >∈R ⇒<a , a >∈R ;由元素a 的任意性,知R 是自反的. 所以,R 是等价关系.(二)图论1.单项选择题(1)设图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100000100则G 的边数为( ).A .5B .6C .3D .4 答:D(2)设图G =<V , E >,则下列结论成立的是 ( ).A .deg(V )=2∣E ∣B .deg(V )=∣E ∣C .E v Vv 2)deg(=∑∈ D .E v Vv =∑∈)deg(答:C(3)设有向图(a )、(b )、(c )与(d )如图3所示,则下列结论成立的是 ( ).图3A .(a )是强连通的B .(b )是强连通的C .(c )是强连通的D .(d )是强连通的答:A(4)给定无向图G 如图4所示,下面给出的结点集子集中,不是点割集的为( ). A .{b , d } B .{d }C .{a , c }D .{g , e } 答:A 图4(5)图G 如图5所示,以下说法正确的是( ). A .{(a , d )}是割边B .{(a , d )}是边割集C .{(d , e )}是边割集D .{(a, d ) ,(a, c )}是边割集答:C 图5 (6)设G 是连通平面图,有v 个结点,e 条边,r 个面,则r = ( ).A .e -v +2B .v +e -2C .e -v -2D .e +v +2 答:A2.填空题(1)已知图G 中有1个1度结点,2个2度结点,3个3度结点,4个4度结点,则G 的边数是 .答:15 (1⨯1+2⨯2+3⨯3+4⨯4)/2(2)设无向图G =<V ,E >是汉密尔顿图,则V 的任意非空子集V 1,都有 ≤∣V 1∣. 答:W (G - V 1)(3)设无向图G 为欧拉图,则图G 连通且 . 答:每个结点的度数为偶数(4)设图G =<V ,E >,其中|V |=n ,|E |=m .则图G 是树当且仅当G 是连通的,且m = . 答:n -1(5)连通无向图G 有6个顶点9条边,从G 中删去 条边才有可能得到G 的一棵生成树T . 答:4οο οο (a )οο οο (b ) οοοο (c )οοοο(d )a gb d fc e οο ο οο οο ο a ο οο ο ο b c f d e(6)给定一个序列集合{1,01,10,11,001,000},若去掉其中的元素 ,则该序列集合构成前缀码.答:1 3.给定图G (如图6所示): (1)试判断它们是否为欧拉图?并说明理由. (2)若是欧拉图,请写出一条欧拉回路.答:(1)图G 是欧拉图,因为图G 是连通图且每个结点的度数是偶数.(2)欧拉回路为: v 1 e 1 v 2 e 2 v 3 e 3 v 4 e 5v 5 e 7 v 2 e 8v 6 e 6 v 4 e 4v 1 注意:回路是不惟一4.试判断“设G 是一个有5个结点、10条边的连通图,则G 为平面图”是否正确,为什么?答:错误.因为它不满足定理4.3.3,即“设G 是一个有v 个结点e 条边的连通简单平面图,若v ≥3,则e ≤3v -6.”5.设图G =<V ,E >,其中V ={a 1, a 2, a 3, a 4, a 5},E ={(a 1, a 2),(a 2, a 4),(a 3, a 1),(a 4, a 5),(a 5, a 2)}(1)试给出G 的图形表示; (2)求G 的邻接矩阵; (3)求出每个结点的度数; (4)画出其补图的图形. 解:(1)图G 是无向图,图形如图7所示:图7 (2)图G 的邻接矩阵如下:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0101010010000011100100110)(G A(3)结点a 1, a 2, a 3, a 4, a 5的度数分别为:2,3,1,2,2. (4)图G 的补图的如图8所示:图86.图G =<V , E >,其中V ={a , b , c , d , e , f },E ={ (a , b ), (a , c ), (a , e ), (b , d ), (b , e ), (c , e ), (d , e ),ο οο ο οa 1a 2 a 3a 4a 5v 1 v 2 v 3v 4 v 5v 6 e 1 e 2e 3 e 4 e 5 e 6e 7 e 8 οο ο ο ο ο图6 ο ο ο ο οa 1a 2 a 3a 4 a 5οο ο ο οa 1 a 2 a 3a 4a 5(d , f ), (e , f ) },对应边的权值依次为5,2,1,2,6,1,9,3及8.(1)画出G 的图形; (2)写出G 的邻接矩阵;(3)求出G 权最小的生成树及其权值. 解:(1)G 的图形如图9所示:(2)邻接矩阵:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡011000101111110010010001011001010110 图9(3)粗线表示最小的生成树(见图10):最小的生成树的权为:1+1+5+2+3=12. 图107.设有一组权为2,3,6,9,13,15,试 (1)画出相应的最优二叉树; (2)计算它们的权值.解:最优二叉树如图11所示:图11 权值: 2⨯4+3⨯4+6⨯3+9⨯2+13⨯2+15⨯2 =8+12+18+18+26+30 =1128.设G 是一个n 阶无向简单图,n 是大于等于2的奇数.证明图G 与它的补图G 中的奇数度顶点个数相等.证明:设,G V E =<>,,G V E '=<>.则E '是由n 阶无向完全图n K 的边删去E 所得到的.所以对于任意结点u V ∈,u 在G 和G 中的度数之和等于u 在n K 中的度数.由于n 是大于等于2的奇数,从而n K 的每个结点都是偶数度的( 1 (2)n -≥度),于是若u V ∈在G 中是奇数度结点,则它在G 中也是奇数度结点.故图G 与它的补图G 中的奇数度结点个数相等.οο ο ο οc a b e dοf1 5 22 61 9 38 ο ο ο ο οc a b ed οf 15 22 61 938 οοο οο ο ο ο ο32 9 135 6 1115 20 ο ο 48289.设连通图G 有k 个奇数度的结点,证明在图G 中至少要添加2k条边才能使其成为欧拉图.证明:由定理3.1.2,任何图中度数为奇数的结点必是偶数,可知k 是偶数. 又根据定理4.1.1的推论,图G 是欧拉图的充分必要条件是图G 不含奇数度结点.因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边,使图G 的所有结点的度数变为偶数,成为欧拉图.故最少要加2k条边到图G 才能使其成为欧拉图.(三)数理逻辑1.单项选择题(1) 下列命题公式是等价公式的为( ).A .⌝P ∧⌝Q ⇔P ∨QB .A →(⌝B →A ) ⇔⌝A →(A →B )C .Q →(P ∨Q ⇔⌝Q ∧(P ∨Q )D .⌝A ∨(A ∧B ) ⇔B 答:B 因为A →(⌝B →A ) ⇔ A →(B ∨A ) ⇔⌝A ∨(B ∨A ) ⇔ A ∨ (⌝A ∨B ) ⇔ A ∨ (A →B )⇔⌝A →(A →B )(2)下列公式 ( )为重言式.A .⌝(⌝P ∨(P ∧Q )) ↔QB .(B →(A ∨B )) ↔(⌝A ∧(A ∨B ))C .A ∧⌝B ↔A ∨BD .(P →(⌝Q →P ))↔(⌝P →(P →Q )) 答:D 因为(P →(⌝Q →P ))⇔⌝P ∨(Q ∨P )) ⇔1 (⌝P →(P →Q )) ⇔P ∨(⌝P ∨Q )) ⇔1 (3)命题公式⌝ (P →Q )的主析取范式是( ). A .Q P ⌝∧ B Q P ∧⌝ C .Q P ∨⌝ D .Q P ⌝∨答:A 因为⌝ (P →Q ) ⇔⌝ (⌝P ∨Q ) ⇔P ∧⌝Q(4)设C (x ): x 是国家级运动员,G (x ): x 是健壮的,则命题“没有一个国家级运动员不是健壮的”可符号化为 ( )A .))()((x G x C x ⌝∧⌝∀B .))()((x G xC x ⌝→⌝∀C .))()((x G x C x ⌝→⌝∃D .))()((x G x C x ⌝∧⌝∃答:D(5)表达式))(),(())(),((z zQ y x R y z Q y x P x ∀→∃∧∨∀中x ∀的辖域是( ). A .P (x , y ) B .P (x , y )∨Q (z ) C .R (x , y ) D .P (x , y )∧R (x , y ) 答:B2.填空题(1)命题公式()P Q P →∨的真值是 . 答:1 因为()P Q P →∨⇔⌝P ∨(Q ∨ P ) ⇔1(2)含有三个命题变项P ,Q ,R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是 . 答:(P ∧Q ∧⌝R )∨( P ∧Q ∧R )因为P ∧Q ⇔ P ∧Q ∧(⌝R ∨R ) ⇔(P ∧Q ∧⌝R )∨( P ∧Q ∧R )(3)设个体域D ={1,2},那么谓词公式)()(y yB x xA ∀∨∃消去量词后的等值式为 . 答:(A (1) ∨A (2))∨(B (1) ∧B (2))(5)谓词命题公式(∀x )(P (x )→Q (x )∨R (x ,y ))中的约束变元为 . 答:x3.请将语句翻译成命题公式: (1)今天不是天晴.(2)你去听课,他也去听课.(3)如果天下雪,则我明天就不去市里. (4)尽管他参加了考试,但他没有通过考试.解:(1)设P :今天是天晴; 命题公式为: ⌝ P .(2)设P :你去听课,Q :他去听课:命题公式为:P ∧Q .(3)设P :天下雪,Q :我明天去市里; 命题公式为:P →⌝Q .(4)设P :他参加了考试,Q :他没有通过考试; 命题公式为:P ∧⌝ Q .4.请将语句翻译成谓词公式: (1)所有人都不去上课. (2)有人不去工作. 解:(1)设P (x ):x 是人,Q (x ):x 去上课.谓词公式为: (∀x )(P (x )→ ┐Q (x )).(2)设P (x ):x 是人,Q (x ):x 去工作,谓词公式为: (∃x )(P (x) ∧┐Q (x )). 5.判断下列各题正误,并说明理由.(1)公式((Q ∧⌝R )→P )∧(⌝P →Q ∨R )↔P ∨R 为永真式.(2)求命题公式(P ∧Q )∧(⌝P ∨⌝R )的真值表,并判断它的类型. 解:(1)该公式是永真式.因为 R P R Q P P R Q ∨↔∨→⌝∧→⌝∧)())((R P R Q P P R Q ∨↔∨∨∧∨∨⌝⇔)()( R P Q Q R P ∨↔∧⌝∨∨⇔)( 1⇔(2)6.判断下列各题正误,并说明理由.(1)公式))(),(()(x xP y x yG x xP ∀→∃→∀是逻辑有效式(永真式).(2)下面的推理是否正确,请给予说明. ① P (a ) P ② (∀x )P (x ) US ① 解:(1)该公式是永真式.因为 ))(),(()(x xP y x yG x xP ∀→∃→∀⇔))(),(()(x xP y x yG x xP ∀∨⌝∃∨⌝∀1)(),()(⇔∀∨⌝∃∨⌝∀⇔x xP y x yG x xP(2)错误.② 应为(∀x )P (x ) UG ① 全称指定规则与全称推广规则不能混淆.7.求公式R Q P →∧)(的析取、合取、主合取\主合取范式. 解:R Q P R Q P ∨∧⌝⇔→∧)()(R Q P ∨⌝∨⌝⇔)(R Q P ∨⌝∨⌝⇔ (析取、合取、主合取范式)⇔(┐P ∧(┐Q ∨Q )∧(┐R ∨R ))∨((┐P ∨P )∧┐Q ∧(┐R ∨R )) ∨((┐P ∨P )∧(┐Q ∨Q )∧R )⇔(┐P ∧┐Q ∧┐R )∨(┐P ∧┐Q ∧R )∨(┐P ∧Q ∧┐R )∨(┐P ∧Q ∧R )∨(P ∧┐Q ∧┐R )∨(P ∧┐Q ∧R )∨(P ∧Q ∧R )(主析取范式)8.用列真值表的方法求命题公式R Q P →→)(的主析取范式.解:列真值表取真值为1的项,所求主析取范式为:(┐P ∧┐Q ∧R )∨(┐P ∧Q ∧R )∨(P ∧┐Q ∧┐R )∨(P ∧┐Q ∧R ) ∨(P ∧Q ∧R )9.试求谓词公式),()),(),()((y x B y x yG y x xH x S x ∨∃→∃∧∀中,∀x ,∃x ,∃y 的辖域,试问G (x , y )和B (x , y )中x ,y 是自由变元,还是约束变元?解:∀x 的辖域:)),(),()((y x yG y x xH x S ∃→∃∧ ∃x 的辖域:H (x ,y )∃y 的辖域:G (x ,y ) G (x , y )中的x ,y 是约束变量,B (x , y )中的x , y 是自由变量. 10.证明命题公式(P →(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q 与⌝(P ∨⌝Q )等价. 证:(P →(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q ⇔(⌝P ∨(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q ⇔(⌝P ∨Q ∨⌝R )∧⌝P ∧Q⇔(⌝P ∧⌝P ∧Q )∨(Q ∧⌝P ∧Q )∨(⌝R ∧⌝P ∧Q ) ⇔(⌝P ∧Q )∨(⌝P ∧Q )∨(⌝P ∧Q ∧⌝R ) ⇔⌝P ∧Q (吸收律) ⇔⌝(P ∨⌝Q ) (摩根律)9.构造推理证明))()(()()(x Q x P x x xQ x xP →∀⇒∀→∃. 分析:前提:)()(x xQ x xP ∀→∃.结论:))()((x Q x P x →∀证:(1) )()(x xQ x xP ∀→∃ P(2) )()(x xQ x xP ∀∨⌝∃ T (1)E(3) )()(x xQ x P x ∀∨⌝∀ T (2) E (量词与否定的关系) (4) ))()((x Q x P x ∨⌝∀(5) ))()((x Q x P x →∀ T (4) E上面这些例题供大家复习参考.。
离散数学试题与参考答案
《离散数学》试题及答案一、选择题:本题共5小题,每小题3分,共15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 命题公式Q Q P →∨)(为 ( )(A) 矛盾式 (B) 可满足式 (C) 重言式 (D) 合取范式2.设P 表示“天下大雨”, Q 表示“他在室内运动”,则命题“除非天下大雨,否则他不在室内运动”符号化为( )。
(A). P Q →; (B).P Q ∧; (C).P Q ⌝→⌝; (D).P Q ⌝∨.3.设集合A ={{1,2,3}, {4,5}, {6,7,8}},则下式为真的是( )(A) 1∈A (B) {1,2, 3}⊆A(C) {{4,5}}⊂A (D) ∅∈A4. 设A ={1,2},B ={a ,b ,c },C ={c ,d }, 则A ×(B ⋂C )= ( )(A) {<1,c >,<2,c >} (B) {<c ,1>,<2,c >} (C) {<c ,1><c ,2>,} (D) {<1,c >,<c ,2>}5. 设G 如右图:那么G 不是( ). (A)哈密顿图; (B)完全图;(C)欧拉图; (D) 平面图.二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共206. 设集合A ={∅,{a }},则A 的幂集P (A )=7. 设集合A ={1,2,3,4 }, B ={6,8,12}, A 到B 的关系R =},,2,{B y A x x y y x ∈∈=><,那么R -1=8. 在“同学,老乡,亲戚,朋友”四个关系中_______是等价关系.9. 写出一个不含“→”的逻辑联结词的完备集 .10.设X ={a ,b ,c },R 是X 上的二元关系,其关系矩阵为 M R =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001001101,那么R 的关系图为三、证明题(共30分)11. (10分)已知A 、B 、C 是三个集合,证明A ∩(B ∪C)=(A ∩B)∪(A ∩C)12. (10分)构造证明:(P →(Q →S))∧(⌝R ∨P)∧Q ⇒R →S13.(10分)证明(0,1)与[0,1),[0,1)与[0,1]等势。
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离散数学考试题详细答案离散数学考试题(后附详细答案)一、命题符号化(共6小题,每小题3分,共计18分)1.用命题逻辑把下列命题符号化a)假如上午不下雨,我去看电影,否则就在家里读书或看报。
设P表示命题“上午下雨”,Q表示命题“我去看电影”,R表示命题“在家里读书”,S表示命题“在家看报”,命题符号化为:(⌝P⇄Q)∧(P⇄R∨S)b)我今天进城,除非下雨。
设P表示命题“我今天进城”,Q表示命题“天下雨”,命题符号化为:⌝Q→P或⌝P →Qc)仅当你走,我将留下。
设P表示命题“你走”,Q表示命题“我留下”,命题符号化为: Q→P2.用谓词逻辑把下列命题符号化a)有些实数不是有理数设R(x)表示“x是实数”,Q(x)表示“x是有理数”,命题符号化为:∃x(R(x) ∧⌝Q(x)) 或⌝∀x(R(x) →Q(x))b)对于所有非零实数x,总存在y使得xy=1。
设R(x)表示“x是实数”,E(x,y)表示“x=y”,f(x,y)=xy, 命题符号化为:∀x(R(x) ∧⌝E(x,0) →∃y(R(y) ∧E(f(x,y),1))))c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B,使得f(a)=b.设F(f)表示“f是从A到B的函数”, A(x)表示“x∈A”, B(x)表示“x∈B”,E(x,y)表示“x=y”, 命题符号化为:F(f)⇄∀a(A(a)→∃b(B(b) ∧ E(f(a),b) ∧∀c(S(c) ∧ E(f(a),c) →E(a,b))))二、简答题(共6道题,共32分)1.求命题公式(P→(Q→R))↔(R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式,并写出所有成真赋值。
(5分)(P→(Q→R))↔(R→(Q→P))⇔(⌝P∨⌝Q∨R)↔(P∨⌝Q∨⌝R)⇔((⌝P∨⌝Q∨R)→(P∨⌝Q∨⌝R)) ∧ ((P∨⌝Q∨⌝R) →(⌝P∨⌝Q∨R)).⇔((P∧Q∧⌝R)∨ (P∨⌝Q∨⌝R)) ∧ ((⌝P∧Q∧R) ∨(⌝P∨⌝Q∨R))⇔(P∨⌝Q∨⌝R) ∧(⌝P∨⌝Q∨R) 这是主合取范式公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧Q∧⌝R)∨(P∧⌝Q∧⌝R)∨(P∧⌝Q∧R)∨(P∧Q∧R)2.设个体域为{1,2,3},求下列命题的真值(4分)a)∀x∃y(x+y=4)b)∃y∀x (x+y=4)a) T b) F3.求∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x)→∃xG(x))的前束范式。
(4分)∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x)→∃xG(x)) ⇔∀x(F(x)→G(x))→(∃yF(y)→∃zG(z))⇔∀x(F(x)→G(x))→∀y∃z(F(y)→G(z)) ⇔∃x∀y∃z((F(x)→G(x))→ (F(y)→G(z)))4.判断下面命题的真假,并说明原因。
(每小题2分,共4分)a)(A⋃B)-C=(A-B) ⋃(A-C)b)若f是从集合A到集合B的入射函数,则|A|≤|B|a) 真命题。
因为(A⋃B)-C=(A⋃B)⋂~C=(A⋂~C)⋃(B⋂~C)=(A-C)⋃(B-C)b) 真命题。
因为如果f是从集合A到集合B的入射函数,则|ranf|=|A|,且ranf⊆B,故命题成立。
5.设A是有穷集,|A|=5,问(每小题2分,共4分)a)A上有多少种不同的等价关系?b)从A到A的不同双射函数有多少个?a) 52 b) 5!=1206.设有偏序集<A,≤>,其哈斯图如图1,求子集B={b,d,e}的最小元,最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界,(5分)图1B的最小元是b,无最大元、极大元是d和e、极小元是b、上界集合是{g}、下界集合是{a,b}、上确界是g、下确界是b.7.已知有限集S={a1,a2,…,a n},N为自然数集合,R为实数集合,求下列集合的基数S;P(S);N,N n;P(N);R,R×R,{o,1}N(写出即可)(6分)K[S]=n; K[P(S)]=n2; K[N]=ℵ0,K[N n]=ℵ0, K[P(N)]=ℵ; K[R]=ℵ, K=[R×R]= ℵ,K[{0,1}N]= ℵ三、证明题(共3小题,共计40分)1.使用构造性证明,证明下面推理的有效性。
(每小题5分,共10分)a)A→(B∧C),(E→⌝F)→⌝C, B→(A∧⌝S)⇒B→Eb)∀x(P(x)→⌝Q(x)), ∀x(Q(x)∨R(x)),∃x⌝R(x) ⇒∃x⌝P(x)a) 证(1)B P(附加条件)(2)B→(A∧⌝S) P(3) A∧⌝S T(1)(2) I(4) A T(3) I(5) A→(B∧C) P(6) B∧C T(4)(5) I(7) C T(6) I(8) (E→⌝F)→⌝C P(9) ⌝(E→⌝F) T(7)(8) I(10) E∧F T(9) E(11) E T(10) I(12) B→E CPb) 证 (1) ∃x⌝R(x) P(2) ⌝R(c) ES(1)(3) ∀x(Q(x)∨R(x)) P(4) Q(c)∨R(c) US(3)(5) Q(c) T(2)(4) I(6) ∀x(P(x)→⌝Q(x)) P(7) P(c)→⌝Q(c) US(6)(8) ⌝P(c) T(5)(7) I(9) ∃x ⌝P(x) EG(8)2. 设R 1是A 上的等价关系,R 2是B 上的等价关系,A ≠∅且B ≠∅,关系R满足:<<x 1,y 1>,<x 2,y 2>>∈R ,当且仅当< x 1, x 2>∈R 1且<y 1,y 2>∈R 2。
试证明:R 是A ×B 上的等价关系。
(10分)证 任取<x,y >,<x,y >∈A ×B ⇒x ∈A ∧ y ∈B ⇒<x,x>∈R 1∧<y,y>∈R 2⇒<<x,y>,<x,y>>∈R ,故R 是自反的任取<<x,y >,<u,v>>,<<x,y >,<u,v>>∈R ⇒<x,u>∈R 1∧<y,v>∈R 2⇒<u,x>∈R 1∧<v,y>∈R 2⇒<<u,v>,<x,y>>∈R.故R 是对称的。
任取<<x,y >,<u,v>>,<<u,v>,<s,t>>∈R<<x,y >,<u,v>>,<<u,v>,<s,t>>∈R ⇒<x,u>∈R 1∧<y,v>∈R 2∧<u,s>∈R 1∧<v,t>∈R 2⇒(<x,u>∈R 1∧<u,s>∈R 1)∧(<y,v>∈R 2∧<v,t>∈R 2)⇒<x,s> R 1∧<y,t>∈R 2⇒<<x,y>,<s,t>>∈R, 故R 是传递的。
综上所述R 是A ×B 上的等价关系。
3. 用伯恩斯坦定理证明(0,1]和(a,b)等势。
(10分)证 构造函数f :(0,1]→(a,b),f(x)=22b x a +,显然f 是入射函数 构造函数g: (a,b)→(0,1],a b a x x g --=)(,显然g 是入射函数, 故(0,1]和(a,b)等势。
由于22122221⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥+++r m m m r m m m r r ΛΛ,所以22r n r s ≥4. 设R 是集合A 上的等价关系,A 的元素个数为n ,R 作为集合有s 个元素,若A 关于R 的商集A/R 有r 个元素,证明:rs ≥n 2。
(10分)证 设商集A/R 的r 个等价类的元素个数分别为m 1,m 2,…,m r ,由于一个划分对应一个等价关系,m 1+m 2+…+m r =n , s m m m r =+++22221Λ 由于22122221⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥+++r m m m r m m m r r ΛΛ(r 个数的平方的平均值大于等于这r 个数的平均值的平方),所以22rn r s ≥,即2n rs ≥四、 应用题(10分)在一个道路上连接有8个城市,分别标记为a,b,c,d,e,f,g,h 。
城市之间的直接连接的道路是单向的,有a →b, a →c, b →g, g →b, c →f, f →e, b →d, d →f.对每一个城市求出从它出发所能够到达的所有其他城市。
解 把8个城市作为集合A 的元素,即A={a,b,c,d,e,,f,g,h},在A 上定义二元关系R ,<x,y >∈R 当且仅当从x 到y 有直接连接的道路,即R={<a,b>,<a,c>,<b,g>,<g,b>,<c,f>,<f,e>,<b,d>,<d,f>}那么该问题即变为求R 的传递闭包。
利用Warshal 算法,求得t(R)=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000001111010000100000000000000110000001100000111100001111110 那么从城市x 出发能到达的城市为})(,|{}])[{)((y x R t y x y x I R t A ≠∧>∈<=-,故有},,,,,{}])[{)((g f e d c b a I R t A =-},,,{}])[{)((g f e d b I R t A =-},{}])[{)((f e c I R t A =-},{}])[{)((f e d I R t A =-}{}])[{)((e f I R t A =-},,,{}])[{)((f e d b g I R t A =-φ=-=-}])[{)((}])[{)((e I R t e I R t A A离散数学 考试题答案一、 命题符号化(共6小题,每小题3分,共计18分)1. 用命题逻辑把下列命题符号化a) 设P 表示命题“上午下雨”,Q 表示命题“我去看电影”,R 表示命题“在家里读书”,S 表示命题“在家看报”,命题符号化为:(⌝P ⇄Q )∧(P ⇄R ∨S)b) 设P 表示命题“我今天进城”,Q 表示命题“天下雨”,命题符号化为:⌝Q →P或⌝P →Qc) 设P 表示命题“你走”,Q 表示命题“我留下”,命题符号化为: Q →P2. 用谓词逻辑把下列命题符号化a) 设R(x)表示“x 是实数”,Q(x)表示“x 是有理数”,命题符号化为:∃x(R(x) ∧⌝Q(x)) 或 ⌝∀x(R(x) →Q(x))b) 设R(x)表示“x 是实数”,E(x,y)表示“x=y ”,f(x,y)=xy, 命题符号化为: ∀x(R(x) ∧⌝E(x,0) →∃y(R(y) ∧E(f(x,y),1))))c)设F(f)表示“f是从A到B的函数”, A(x)表示“x∈A”, B(x)表示“x∈B”,E(x,y)表示“x=y”, 命题符号化为:F(f)⇄∀a(A(a)→∃b(B(b) ∧ E(f(a),b) ∧∀c(S(c) ∧ E(f(a),c) →E(a,b))))二、简答题(共6道题,共32分)1.(P→(Q→R))↔(R→(Q→P))⇔(⌝P∨⌝Q∨R)↔(P∨⌝Q∨⌝R)⇔((⌝P∨⌝Q∨R)→(P∨⌝Q∨⌝R)) ∧ ((P∨⌝Q∨⌝R) →(⌝P∨⌝Q∨R)).⇔((P∧Q∧⌝R)∨ (P∨⌝Q∨⌝R)) ∧ ((⌝P∧Q∧R) ∨(⌝P∨⌝Q∨R))⇔(P∨⌝Q∨⌝R) ∧(⌝P∨⌝Q∨R) 这是主合取范式公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧Q∧⌝R)∨(P∧⌝Q∧⌝R)∨(P∧⌝Q∧R)∨(P∧Q∧R)2.a) T b) F3.∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x)→∃xG(x)) ⇔∀x(F(x)→G(x))→(∃yF(y)→∃zG(z))⇔∀x(F(x)→G(x))→∀y∃z(F(y)→G(z)) ⇔∃x∀y∃z((F(x)→G(x))→ (F(y)→G(z)))4.a) 真命题。