离散数学考试题详细答案资料讲解

离散数学考试题详细

答案

离散数学考试题(后附详细答案)

一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）

1.用命题逻辑把下列命题符号化

a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。

设P表示命题“上午下雨”，Q表示命题“我去看电影”，R表示命题“在家里读书”，S表示命题“在家看报”，命题符号化为：（⌝P⇄Q）∧(P⇄R∨S)

b)我今天进城，除非下雨。

设P表示命题“我今天进城”，Q表示命题“天下雨”，命题符号化为：⌝Q→P或⌝P →Q

c)仅当你走，我将留下。

设P表示命题“你走”，Q表示命题“我留下”，命题符号化为： Q→P

2.用谓词逻辑把下列命题符号化

a)有些实数不是有理数

设R(x)表示“x是实数”，Q(x)表示“x是有理数”，命题符号化为：∃x(R(x) ∧⌝Q(x)) 或⌝∀x(R(x) →Q(x))

b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。

设R(x)表示“x是实数”，E(x,y)表示“x=y”,f(x,y)=xy, 命题符号化为：∀x(R(x) ∧⌝E(x,0) →∃y(R(y) ∧E(f(x,y),1))))

c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b.

设F(f)表示“f是从A到B的函数”, A(x)表示“x∈A”, B(x)表示“x∈B”,E(x,y)表示“x=y”, 命题符号化为：F(f)⇄∀a(A(a)→∃b(B(b) ∧ E(f(a),b) ∧∀c(S(c) ∧ E(f(a),c) →E(a,b))))

二、简答题（共6道题，共32分）

1.求命题公式(P→(Q→R))↔(R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出

所有成真赋值。（5分）

(P→(Q→R))↔(R→(Q→P))⇔（⌝P∨⌝Q∨R）↔(P∨⌝Q∨⌝R)

⇔(（⌝P∨⌝Q∨R）→(P∨⌝Q∨⌝R)) ∧ ((P∨⌝Q∨⌝R) →（⌝P∨⌝Q∨R）).

⇔(（P∧Q∧⌝R）∨ (P∨⌝Q∨⌝R)) ∧ ((⌝P∧Q∧R) ∨（⌝P∨⌝Q∨R）)

⇔(P∨⌝Q∨⌝R) ∧(⌝P∨⌝Q∨R) 这是主合取范式

公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为

（⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨（⌝P∧⌝Q∧R)∨（⌝P∧Q∧⌝R)∨（P∧⌝Q∧⌝R)∨（P∧⌝Q∧R)∨

（P∧Q∧R)

2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分）

a)∀x∃y(x+y=4)

b)∃y∀x (x+y=4)

a) T b) F

3.求∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x)→∃xG(x))的前束范式。（4分）

∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x)→∃xG(x)) ⇔∀x(F(x)→G(x))→(∃yF(y)→∃zG(z))⇔∀x(F(x)→G(x))→∀y∃z(F(y)→G(z)) ⇔∃x∀y∃z((F(x)→G(x))→ (F(y)→G(z)))

4.判断下面命题的真假，并说明原因。（每小题2分，共4分）

a)（A⋃B）－C=(A-B) ⋃(A-C)

b)若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A|≤|B|

a) 真命题。因为（A⋃B）－C=（A⋃B）⋂~C=（A⋂~C）⋃（B⋂~C）=（A-C）⋃（B-C）

b) 真命题。因为如果f是从集合A到集合B的入射函数，则|ranf|=|A|，且

ranf⊆B,故命题成立。

5.设A是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分）

a)A上有多少种不同的等价关系？

b)从A到A的不同双射函数有多少个？

a) 52 b) 5!=120

6.设有偏序集，其哈斯图如图1，求子集B={b,d,e}的最小元，最大

元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界，(5分)

图1

B的最小元是b，无最大元、极大元是d和e、极小元是b、上界集合是{g}、下界集合是{a,b}、上确界是g、下确界是b.

7.已知有限集S={a1,a2,…,a n},N为自然数集合，R为实数集合，求下列集合的

基数S;P(S);N,N n;P(N);R,R×R,{o,1}N（写出即可）(6分)

K[S]=n; K[P(S)]=n2; K[N]=ℵ0,K[N n]=ℵ0, K[P(N)]=ℵ; K[R]=ℵ, K=[R×R]= ℵ,K[{0,1}N]= ℵ

三、证明题（共3小题，共计40分）

1.使用构造性证明，证明下面推理的有效性。（每小题5分，共10分）

a)A→(B∧C),(E→⌝F)→⌝C, B→(A∧⌝S)⇒B→E

b)∀x(P(x)→⌝Q(x)), ∀x(Q(x)∨R(x))，∃x⌝R(x) ⇒∃x⌝P(x)

a) 证（1）B P(附加条件)

（2）B→(A∧⌝S) P

(3) A∧⌝S T(1)(2) I

(4) A T(3) I

(5) A→(B∧C) P

(6) B∧C T(4)(5) I

(7) C T(6) I

(8) (E→⌝F)→⌝C P

(9) ⌝(E→⌝F) T(7)(8) I

(10) E∧F T(9) E

(11) E T(10) I

(12) B→E CP

b) 证 (1) ∃x⌝R(x) P

(2) ⌝R(c) ES(1)

(3) ∀x(Q(x)∨R(x)) P

(4) Q(c)∨R(c) US(3)

(5) Q(c) T(2)(4) I

(6) ∀x(P(x)→⌝Q(x)) P

(7) P(c)→⌝Q(c) US(6)