第七章 多元统计分析(1)1
多元统计分析
多元统计分析多元统计分析是基于多种变量之间的相互关系进行研究和分析的一种统计方法。
它可以帮助研究者从多个维度出发，全面地了解各个变量之间的关系，并据此做出相应的推断和判断。
在实践中，多元统计分析被广泛应用于社会科学、经济学、医学等领域，为研究者提供了理解和解释复杂数据的重要工具。
多元统计分析可以通过多种技术和方法来实现，下面将分别介绍其中的几种主要方法。
一、相关分析相关分析是一种用来研究两个或多个变量之间关系的重要方法。
它通过计算变量之间的相关系数，来衡量它们之间的线性关系的强度和方向。
相关分析的结果可以帮助我们了解变量之间的相互作用，从而得出一些关于其关系的结论。
二、方差分析方差分析是一种用来比较两个或多个样本平均值之间差异的方法。
它通过将总体的方差分解成由各个因素引起的方差和误差方差，从而判断各因素对总体的影响是否显著。
方差分析广泛应用于实验设计和质量控制等领域，在这些领域中，它可以帮助我们确定影响结果的关键因素，从而做出相应的优化和改进措施。
三、主成分分析主成分分析是一种用来降低数据维度和提取主要信息的方法。
它通过将原始变量转化为一组不相关的主成分，使得新的变量包含了原始变量的大部分信息。
主成分分析常用于数据探索和降维分析，可以帮助我们发现数据中的隐藏规律和重要特征，从而更好地理解数据背后的本质。
四、因子分析因子分析是一种用来探索和测量潜在因子对观测变量之间关系的方法。
它通过将一组观测变量解释为潜在因子的线性组合，来研究变量之间的内在结构和联系。
因子分析广泛应用于心理学、教育学等领域，在这些领域中，它可以帮助我们发现隐藏在观测变量背后的潜在因子，从而更好地理解其背后的机制。
五、判别分析判别分析是一种用来寻找能够最好地将不同样本分类的方法。
它通过计算各个样本组别之间的离散度和组内散布度，来确定最佳的分类界限和分类规则。
判别分析广泛应用于模式识别和预测分析等领域，在这些领域中，它可以帮助我们确定分类问题的解决方案，进行有效的预测和决策。
多元统计分析(1)
社会科学研究中的应用
1 2
社会现象分析
通过多元统计分析，研究人员可以分析社会现象 的多个方面，揭示其内在规律和影响因素。
政策效果评估
利用多元统计分析方法，政策制定者可以评估政 策实施的效果，以便调整和完善政策。
3
人口统计研究
分析人口数据的多个维度，如年龄、性别、教育 水平等，以揭示人口结构和社会发展的关系。
处理非结构化数据
深度学习在处理图像、 文本等非结构化数据方 面具有优势，可以扩展 多元统计分析的应用范 围。
统计计算与可视化技术的创新发展
01
高性能计算技术
利用高性能计算技术，可以加速多元统计分析的计算过程，提高分析效
率。
02
可视化技术
可视化技术可以帮助人们更直观地理解多元统计分析的结果，揭示数据
模型拟合与评估
利用样本数据对模型进行拟合，并通过相关指标评估模型的拟合优 度和预测能力。
假设检验与P值计算
根据研究假设进行假设检验，并计算相应的P值以判断假设是否成立 。
结果解释与评估
结果解释
对分析结果进行解释和说明，包括统计量的意义 、模型的预测能力等。
结果评估
根据专业知识、经验等对分析结果进行评估和判 断，以验证结果的合理性和可靠性。
目录
CONTENTS
01
引言
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
多元统计分析的定义
01
多元统计分析是一种研究多个变 量之间相互关系以及这些变量对 整体影响的统计方法。
02
它通过对多个变量的观测数据进 行综合分析，揭示变量之间的内 在规律和联系。
多元统计分析的应用领域
多元统计分析
多元统计分析在统计学中，多元统计分析是一种研究多个变量之间关系的方法。
它是利用多个变量的观测值来对问题进行全面、综合的分析，从而揭示出变量之间的相互影响和作用机制。
多元统计分析能够准确地描述和解释变量之间的关系，为决策者提供有力的科学依据。
多元统计分析广泛应用于社会科学、经济学、医学、心理学等各个领域。
通过对多个变量进行统计分析，我们可以找到变量之间的关联，发现潜在的模式和规律。
这有助于我们更好地理解研究对象的特征和行为，为决策制定提供准确的预测和建议。
在多元统计分析中，常用的方法包括相关分析、回归分析、因子分析、聚类分析等。
相关分析是研究变量之间的关联性，通过计算相关系数来衡量变量之间的线性关系强度和方向。
回归分析则是研究因变量与自变量之间的关系，通过建立数学模型来进行预测和解释。
因子分析可以将一组相关变量简化为几个相互独立的维度，帮助我们观察变量之间的隐藏结构。
聚类分析则可以将观测样本根据相似性进行分类，发现样本之间的群体关系和特征。
多元统计分析的过程一般包括数据收集、数据预处理、变量选择、模型建立和结果解释等几个阶段。
数据收集是获取原始数据的过程，可以通过问卷调查、实验观测等方式进行。
数据预处理是对原始数据进行清洗、整编和转换，以便于分析和解释。
变量选择是根据研究目标和方法选择合适的变量进行分析。
模型建立是根据预设的理论框架和统计方法建立数学模型，进而进行统计分析。
结果解释是对统计结果进行解读和推断，将统计结论转化为实际问题的解决方案。
多元统计分析的优势在于它能够综合考虑多个变量之间的复杂关系。
相比于单变量分析，它能够提供更全面、准确的信息和结论。
例如，在市场研究中，我们可以利用多元统计分析来探索消费者的购买行为和喜好，从而制定有针对性的营销策略。
在医学研究中，多元统计分析可以帮助研究人员分析影响疾病风险的多个因素，为疾病预防和治疗提供科学依据。
然而，多元统计分析也存在一些局限性和挑战。
首先，多元统计分析要求样本数据的质量高，数据之间需要存在一定的相关性才能进行分析。
多元统计分析
多元统计分析
在多元统计分析中，我们可以同时考虑几个变量之间的关系，而不仅
仅是单一变量之间的关系。
通过这种分析，我们可以发现和理解变量之间
的相互作用，以及它们对结果的影响。
在进行多元统计分析之前，首先需要对原始数据进行预处理。
预处理
包括缺失值处理、异常值处理、变量转换等步骤，以确保数据的准确性和
完整性。
然后可以选择合适的多元统计方法来进行分析。
多元统计分析的方法包括回归分析、方差分析、因子分析等。
回归分
析用于研究因变量和自变量之间的关系，可以用于预测和解释结果变量。
方差分析用于研究不同组之间的差异，可以用于比较不同组的平均值差异。
因子分析用于确定变量之间的潜在关系，可以用于降维和变量选择。
除了以上介绍的方法外，还有其他一些方法可以用于多元统计分析，
如聚类分析、判别分析、聚类分析等。
聚类分析用于将样本分为不同的组，可以帮助我们发现样本之间的相似性和差异性。
判别分析用于研究变量之
间的关系，并用于分类和预测。
聚类分析用于研究变量之间的关系，并用
于发现变量之间的模式。
总之，多元统计分析是一种强大的工具，可以帮助我们更全面地理解
和解释数据。
通过使用多元统计方法，我们可以发现变量之间的关系，并
用于预测和解释结果变量。
因此，多元统计分析在各个领域中都有着广泛
的应用。
《多元统计分析》课件
数据预处理和清洗
1
数据清洗
解决缺失值、异常值和重复数据问题。
2
标准化处理
对数据进行标准化、归一化和正态化处理。
3
变量选择
学习如何选择影响结果的重要变量。
描述性统计分析
1 中心趋势分析
运用平均值、中位数和众数等指标揭示数据的集中情况。
2 离散程度分析
探索数据的离散程度，如标准差和方差。
3 分布形态分析
识别数据分布的形态，如正态分布和偏态分布。
相关分析
线性相关
学习如何评估变量之间的 线性关系。
非线性相关
探索变量之间的非线性关 系，如曲线和曲面拟合。
相关系数
了解相关系数的计算方法 及其解释。
统计显著性检验
1
假设检验
学习如何根据样本数据推断总体参数。
2
置信区间
了解如何估计总体参数的范围。
3
显著性水平
确定显著性水平及其对推断的影响。
回归分析
线性回归
构建线性回归模型来预测因变量。
回归诊断
评估回归模型用。
多元方差分析
单因素设计
比较多个组之间的差异。
多重比较
确定组之间的具体差异。
二因素设计
考虑两个自变量对因变量的 影响。
《多元统计分析》PPT课件
探索多元统计分析的定义、概念和应用。从数据预处理到分析模型选择，帮 助解决实际问题。了解多元统计软件和未来发展方向。
数据结构和类型
结构
探索多元数据的各种结 构，包括矩阵、向量和 表格。
类型
了解多元数据的分类， 如连续型、离散型、定 类型和定序型。
示例
使用实际案例来展示多 元数据的结构和类型。
第七章 多元统计分析(1)1
Cov( Ax, By ) = ACov( x, y ) BT
二、多元正态分布 定义
若p维随机变量 x = ( x1 , x2 ,..., x p )′ 的概率密度函 维随机变量 数为
f ( x1 , x 2 , L , x p ) = 1 (2π ) | Σ |
1 n x = ∑ x(i ) n i =1 1 k nα (α ) = ∑∑ x(i ) n α =1 i =1 1 k (α ) = ∑ nα x n α =1 1 x = X ′1 n
1 n x j = ∑ xij ( j = 1,2, L, p) n i =1
1 (α ) = ∑∑ xij n α =1 i =1
为第i个 设p维随机变量 x = ( x1 , x2 ,..., x p )′ E(xi)为第 个 维随机变量 ， 为第 随机变量的数学期望(或均值)( )(i=1,2,…,p)，则称 随机变量的数学期望(或均值)( )
E ( x) = ( E ( x1 ), E ( x2 ),L , E ( x p ) )′ = µ ˆ
( )
nα × p
, (α = 1,2, L , k ; i = 1,2, L , nα ; j = 1,2, L , p )
常见统计量
(1)总体 (1)总体Gα的样本均值 总体 向量表示法 矩阵表示法 分量表示法
( x (α ) = ( x1(α ) , x2(α ) ,..., x pα ) )′
x
(α ) ij
个总体G 第α个总体 α的样本矩阵
( X (α ) = ( x1(α ) , x2α ) , L , x (pα ) ) (α x(′1()α ) x11 ) , (α ) (α ) x(′2 ) x21 , = = M M ( ( ) x(′nα )) xnα 1 , α α (α x12 ) , L , (α x22 ) , L ,
《多元统计分析》课件
采用L1正则化，通过惩罚项来选择最重要 的自变量，实现特征选择和模型简化。
比较
应用场景
岭回归适用于所有自变量都对因变量有影 响的情况，而套索回归更适用于特征选择 和模型压缩。
适用于数据集较大、自变量之间存在多重 共线性的情况，如生物信息学数据分析、 市场细分等。
主成分回归与偏最小二乘回归
主成分回归
适用于自变量之间存在多重 共线性的情况，同时要求高 预测精度，如金融市场预测 、化学计量学等。
06 多元数据的典型相关分析
典型相关分析的基本思想
01
典型相关分析是一种研究多个 随机变量之间相关性的多元统 计分析方法。
02
它通过寻找一对或多个线性组 合，使得这些线性组合之间的 相关性达到最大或最小，从而 揭示多个变量之间的关系。
原理
基于最小二乘法原理，通过最小化预 测值与实际值之间的平方误差来估计 回归系数。
应用场景
适用于因变量与自变量之间存在线性 关系的情况，如预测房价、股票价格 等。
注意事项
需对自变量进行筛选和多重共线性诊 断，以避免模型的不稳定性和误差。
岭回归与套索回归
岭回归
套索回归
是一种用于解决多重共线性的回归方法， 通过引入一个小的正则化项来稳定系数估 计。
层次聚类
01
步骤
02
1. 将每个数据点视为一个独立的集群。
2. 计算任意两个集群之间的距离或相似度。
03
层次聚类
01 3. 将最相近的两个集群合并为一个新的集群。 02 4. 重复步骤2和3，直到满足终止条件（如达到预
设的集群数量或最大距离阈值）。
03 应用：适用于探索性数据分析，帮助研究者了解 数据的分布和结构。
多元统计分析(一)
uX uμ j min uX uμi
1i k
则判定 X 来自总体 G j 。
聚类分析
聚类就是将数据分组成为多个类。在同一个类内对象之间 具有较高的相似度，不同类之间的对象差别较大。早在孩提时 代，人就通过不断改进下意识中的聚类模式来学会如何区分猫 和狗，动物和植物。 聚类分析中“类”的特征： 聚类所说的类不是事先给定的，而是根据数据的相似性 和距离来划分 聚类的数目和结构都没有事先假定 聚类方法的目的：是寻找数据中潜在的自然分组结构和感兴趣 的关系
判别分析
由 k个不同总体的样本来构造判别函数， 利用它来决定新的未知类别的样品属于哪一 类，这是判别分析所处理的问题。它在医疗 诊断、天气预报、图像识别等方面有广泛的 应用。例如，为了判断某人是否有心脏病， 从健康的人和有心脏病的人这两个总体中分 别抽取样本，对每人各测两个指标X1和X2， 点绘如图
2、多个总体的距离判别问题
●问题：设有 k 个总体 G1 , G2 , L ,G k ，其均值和协方差矩阵分别 是 和 ， 而 且 μ1 , μ 2 ,, μ k Σ1 , Σ 2 ,, Σ k Σ1 Σ 2 Σ k Σ 。对于一个新的样品 X ，要判断它来自
哪个总体。 该问题与两个总体的距离判别问题的解决思想一样。
E(uX) E(uX | Gi ) uE(X | Gi ) uμi i 1,2,, k D(uX) D(uX | Gi ) uD(X | Gi )u uΣiu i 1,2,, k
令
b (uμ i uμ ) 2 e uΣ i u u( Σ i )u uEu
对于多总体情形，判别函数为
hi ( x) p j f j ( x)C (i j ), i 1,2, L , k.
多元统计分析
多元统计分析多元统计分析是一种用于处理和解释多维数据的方法。
它将多个变量同时考虑，并探索变量之间的关系和模式。
在许多领域，例如社会科学、医学研究和市场调查中，多元统计分析被广泛应用于数据分析和决策支持。
通过对大量数据进行综合分析，我们可以获得更准确的结论和洞察力，为问题的解决提供有力的支持。
1. 多元统计分析的基本概念和方法多元统计分析涉及许多不同的技术和方法。
其中一些包括主成分分析、因子分析、聚类分析、判别分析和多元回归分析。
这些方法可以帮助我们降维、识别变量间的关系、发现群组和预测未来趋势。
2. 主成分分析主成分分析是一种降维技术，可以将大量的变量转化为相对较少的几个无关变量，称为主成分。
通过这种方式，我们可以更好地理解数据，并减少冗余信息。
主成分分析通常用于数据可视化和探索性分析。
3. 因子分析因子分析是一种用于探索变量之间潜在关系的技术。
它可以帮助我们确定潜在因素，即变量背后的共同因素。
因子分析常用于市场研究，以确定产品特征或消费者态度的维度。
通过这种方式，我们可以对复杂的数据进行简化和解释。
4. 聚类分析聚类分析是一种将相似观测对象划分为群组的技术。
它基于变量间的相似性或距离度量，将观测对象聚合在一起，并形成具有相似特征的群组。
聚类分析常用于市场分割和客户分类。
5. 判别分析判别分析是一种用于预测和分类的技术。
它可以帮助我们从一系列的预测变量中确定哪些变量对于区分不同组别是最重要的。
判别分析常用于医学诊断、人力资源管理和贷款风险评估等领域。
6. 多元回归分析多元回归分析用于研究多个自变量对因变量的影响。
通过建立回归模型，我们可以理解各个变量对于因变量的相对重要性，并进行预测和解释。
总结：多元统计分析是一种强大的数据分析工具，可以帮助我们理解和解释复杂的多维数据。
通过运用各种分析方法，我们可以从大量的数据中发现模式和关系，并得出准确的结论和洞察力。
无论是在学术研究、商业决策还是社会科学领域，多元统计分析都发挥着重要的作用。
多元统计分析知识点 多元统计分析课件
多元统计分析（1）题目:多元统计分析知识点研究生专业指导教师完成日期 2013年 12月目录第一章绪论 (1)§1.1什么是多元统计分析 ....................................................................................................... 1 §1.2多元统计分析能解决哪些实际问题 ............................................................................... 2 §1.3主要内容安排 ................................................................................................................... 2 第二章多元正态分布 .. (2)§2.1基本概念 ........................................................................................................................... 2 §2.2多元正态分布的定义及基本性质 .. (8)1.（多元正态分布）定义 ................................................................................................ 9 2.多元正态变量的基本性质 (10)§2.3多元正态分布的参数估计12(,,,)p X X X X '= (11)1.多元样本的概念及表示法 (12)2. 多元样本的数值特征 ................................................................................................ 123.μ和∑的最大似然估计及基本性质 (15)4.Wishart 分布 (17)第五章 聚类分析 (18)§5.1什么是聚类分析 ............................................................................................................. 18 §5.2距离和相似系数 . (19)1．Q —型聚类分析常用的距离和相似系数 ................................................................ 20 2.R 型聚类分析常用的距离和相似系数 ...................................................................... 25 §5.3八种系统聚类方法 (26)1.最短距离法 .................................................................................................................. 27 2.最长距离法 .................................................................................................................. 30 3.中间距离法 .................................................................................................................. 32 4.重心法 .......................................................................................................................... 35 5.类平均法 ...................................................................................................................... 37 6.可变类平均法 .............................................................................................................. 38 7.可变法 .......................................................................................................................... 38 8.离差平方和法（Word 方法） (38)第六章判别分析 (39)§6.1什么是判别分析 ............................................................................................................. 39 §6.2距离判别法 (40)1、两个总体的距离判别法 (40)2.多总体的距离判别法 (45)§6.3费歇（Fisher）判别法 (46)1.不等协方差矩阵两总体Fisher判别法 (46)2.多总体费歇（Fisher）判别法 (51)§6.4贝叶斯（Bayes）判别法 (58)1.基本思想 (58)2.多元正态总体的Bayes判别法 (59)§6.5逐步判别法 (61)1.基本思想 (61)2.引入和剔除变量所用的检验统计量 (62)3.Bartlett近似公式 (63)第一章绪论§1.1什么是多元统计分析在自然科学、社会科学以及经济领域中，常常需要同时观察多个指标。
多元统计分析
多元统计分析在当今这个数据驱动的时代，多元统计分析成为了理解和处理复杂数据的强大工具。
它就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们打开隐藏在海量数据背后的秘密之门。
那么，什么是多元统计分析呢？简单来说，多元统计分析是研究多个变量之间相互关系和内在规律的一种统计方法。
当我们面对的不再是单一的变量，而是多个相互关联的变量时，传统的统计方法可能就显得力不从心了，这时候多元统计分析就派上了用场。
想象一下，我们要研究一个人的健康状况。
如果只考虑一个因素，比如体重，可能得出的结论是片面的。
但如果同时考虑体重、血压、血糖、血脂等多个变量，就能更全面、更准确地评估这个人的健康水平。
这就是多元统计分析的魅力所在，它能够综合多个变量的信息，提供更深入、更全面的洞察。
多元统计分析包含了许多具体的方法，比如主成分分析、因子分析、聚类分析、判别分析、典型相关分析等等。
每种方法都有其独特的用途和适用场景。
主成分分析就像是一个“数据压缩器”。
在面对众多相关的变量时，它能够提取出几个主要的成分，这些成分能够解释大部分数据的变异。
这不仅减少了变量的数量，简化了问题，还能帮助我们抓住数据的主要特征。
因子分析则更像是在寻找数据背后的“潜在因素”。
它试图找出那些影响多个变量的共同因素，从而揭示变量之间更深层次的关系。
聚类分析像是一个“分类器”，它可以根据数据的相似性将对象分成不同的组或类别。
这对于市场细分、客户分类等方面非常有用。
判别分析则是相反的过程，它根据已知的类别和相关变量，建立判别函数，来判断新的观测值属于哪个类别。
典型相关分析则用于研究两组变量之间的相关性。
多元统计分析在各个领域都有着广泛的应用。
在医学领域，医生可以通过多元统计分析来评估药物的疗效，综合考虑多个症状和生理指标的变化。
在经济领域，分析师可以利用它来研究市场趋势，综合考虑多种经济指标和市场因素。
在教育领域，教育工作者可以通过分析学生的多个学习成绩和个人特征，来制定更个性化的教育方案。
第七章多元统计分析
多元统计分析
研究多个随机变量——随机向量 多元统计分析是数理统计学中一个重 要的分支，它是研究高维数据之间相 互依赖关系以及内在规律性的一门统 计学科，是一元统计学的推广.
1
随着计算机的发展和普及，多元统 计分析的理论和方法也不断发展和完 善，并已应用到农业、工业、生物、 医学、考古学、教育学、文学以及气 象学等领域中.
2
0
所以，DX非负定，即 DX 0.
9
定义3 : 设X ( X 1 , X 2 , , X p )
和Y (Y1 , Y2 , , Yq ) 是随机向量, 若X i与Y j的协方差Cov ( X i , Y j ) (i 1, 2, , p; j 1, 2, , q )存在, 则称
22
性质7 设X N p (, ), 0，则
Y ( X ) 1 ( X ) 2 ( p) 证明：
X AU , AA , U (U1 ,U 2 ,,U p ) U i N (0,1)，
定义5
A可逆
A
1
1
n
样本离差阵为 A X X X X aij
n n
1
p p
其中aij x i xi x j x j
1
i, j 1, 2, , p
29
样本协方差阵为 1 S A sij p p n 1 样本相关系数阵为
协方差阵已知时选用统计量
n X 0
2
1 0
X
0
H0
~
2
p
36
应用多元统计分析习题解答 第七章讲解学习
应用多元统计分析习题解答第七章第七章 因子分析7.1 试述因子分析与主成分分析的联系与区别。
答：因子分析与主成分分析的联系是：①两种分析方法都是一种降维、简化数据的技术。
②两种分析的求解过程是类似的，都是从一个协方差阵出发，利用特征值、特征向量求解。
因子分析可以说是主成分分析的姐妹篇，将主成分分析向前推进一步便导致因子分析。
因子分析也可以说成是主成分分析的逆问题。
如果说主成分分析是将原指标综合、归纳，那么因子分析可以说是将原指标给予分解、演绎。
因子分析与主成分分析的主要区别是：主成分分析本质上是一种线性变换，将原始坐标变换到变异程度大的方向上为止，突出数据变异的方向，归纳重要信息。
而因子分析是从显在变量去提炼潜在因子的过程。
此外，主成分分析不需要构造分析模型而因子分析要构造因子模型。
7.2 因子分析主要可应用于哪些方面？答：因子分析是一种通过显在变量测评潜在变量，通过具体指标测评抽象因子的统计分析方法。
目前因子分析在心理学、社会学、经济学等学科中都有重要的应用。
具体来说，①因子分析可以用于分类。
如用考试分数将学生的学习状况予以分类；用空气中各种成分的比例对空气的优劣予以分类等等②因子分析可以用于探索潜在因素。
即是探索未能观察的或不能观测的的潜在因素是什么，起的作用如何等。
对我们进一步研究与探讨指示方向。
在社会调查分析中十分常用。
③因子分析的另一个作用是用于时空分解。
如研究几个不同地点的不同日期的气象状况，就用因子分析将时间因素引起的变化和空间因素引起的变化分离开来从而判断各自的影响和变化规律。
7.3 简述因子模型中载荷矩阵A 的统计意义。
答：对于因子模型1122i i i ij j im m i X a F a F a F a F ε=++++++ 1,2,,i p =因子载荷阵为11121212221212(,,,)m m m p p pm a a a aa a A A A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Ai X 与j F 的协方差为：1Cov(,)Cov(,)mi j ik k i j k X F a F F ε==+∑=1Cov(,)Cov(,)mik k j i j k a F F F ε=+∑=ij a若对iX作标准化处理，=ija,因此ija一方面表示iX对jF的依赖程度；另一方面也反映了变量i X对公共因子jF的相对重要性。
多元统计分析多元统计分析1
多元统计分析是一门具有很强应用性的课程;它在自然科学 和社会科学等各个领域中得到广泛的应用;它包括了很多非常有 用的数据处理方法.
3.变量间的相互联系
(1) 相互依赖关系:分析一个或几个变量的变化是否依赖于另一些变 量的变化?如果是,建立变量间的定量关系式,并用于预测或控制---回 归分析.
(2) 变量间的相互关系: 分析两组变量间的相互关系---典型相关分 析等.
（3）两组变量间的相互依赖关系---偏最小二乘回归分析.
４.多元数据的统计推断 参数估计和假设检验问题.特别是多元正态分布的均值向量和协 方差阵的估计和假设检验等问题。
在实际问题中，很多随机现象涉及到的变量不只一个，而经常是 多个变量，而且这些变量间又存在一定的联系。
一、多元统计分析研究的对象和内容
我们先看一个例子，考察学生的学习情况时，就需了解学生在几 个主要科目的考试成绩。下表给出从中学某年级随机抽取的12名学生 中5门主要课程期末考试成绩。
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
之后R.A.Fisher、H.Hotelling、S.N.Roy、许宝騄等人作了一系列 奠基的工作，使多元统计分析在理论上得到迅速的发展,在许多领域中 也有了实际应用.二十世纪50年代中期,随着电子计算机的出现和发展, 使得多元统计分析在地质、气象、医学、社会学等方面得到广泛的应 用.60年代通过应用和实践又完善和发展了理论,由于新理论、新方法的 不断出现又促使它的应用范围更加扩大.
第七章多元统计分析资料
17
性质1 设X N p (, ), 0，则 E(X ) , D(X )
性质2:正态随机变量的线性变换仍为正态变量 正态随机向量的线性变换仍为正态向量
即，设随机向量X Np (, ),C是任一r p
阶矩阵，b是r 1常数向量，记Y CX b，则
Y Nr (C b,CC )
18
性质3：设随机向量
X
X1 X2
N
p
1 2
,
11 21
12 22
其中X1是k维随机向量，X 2是p k维随机向量，
1是k 1常数向量，2是( p k)1常数向量，
11为k阶方阵，12为k ( p k)阵，21为( p k) k 阵，22为p k阶方阵,且 | 22 | 0，则
19
(1)E(AX ) AE(X )
(2)E(AXB) AE(X )B
(3)D( AX ) AD( X ) A (4)Cov( AX , BY ) ACov( X ,Y )B
14
一元：X～N(μ,σ2)，密度函数
1
2
exp{
1
2 2
(x
)2}
15
定义5：设U (U1,U2, ,Uq ) 是随机向量，且 Ui (i 1, 2, , q)独立同分布，其中Ui N(0,1)，
4
众所周知，一元正态分布在数理统计的 理论及应用中都占据着重要的地位，主 要因为 (1)很多随机变量服从正态分布；
(2)根据中心极限定理，当样本容量很 大时，许多统计量的极限分布往往都 与正态分布有关.
5
多元统计分析中，多元正态分布也占据 着重要的地位. 原因也是相当多的实际 问题中，高维数据服从或近似服从正态 分布.
多元统计分析
多元统计分析多元统计分析是一种应用广泛的统计方法，用来研究多个变量之间的关系。
它能够帮助我们更深入地理解数据背后的规律和模式，为决策提供支持。
本文将介绍多元统计分析的概念、方法和应用，并着重讨论其在社会科学研究中的应用。
多元统计分析可以帮助我们分析和解释多个自变量对一个或多个因变量的影响，以及自变量之间的相互作用。
通过利用多元统计方法，我们可以综合考虑多个因素对研究对象的影响，进而找出变量之间的关系和模式。
在进行多元统计分析之前，我们需要先了解数据的特点和要求。
首先，数据应当是连续变量或可分类的变量。
其次，数据应当具有一定的样本量，以确保分析结果的可靠性。
最后，数据应当是可靠和有效的，以减少分析中的误差。
多元统计分析有多种方法，例如多元方差分析（MANOVA）、因子分析、聚类分析、路径分析等。
每种方法都有其适用的场景和假设。
在选择合适的方法之前，我们需要明确研究问题和分析目的，以及数据的性质和假设。
多元统计分析在社会科学研究中具有广泛的应用。
以社会心理学为例，我们可以利用多元统计方法来研究不同因素对人类行为的影响。
例如，我们可以通过多元方差分析来比较不同社会群体在某个行为指标上的差异，从而了解个体和社会环境的相互作用。
此外，我们还可以运用聚类分析来将个体划分为具有相似特征的群体，以便更好地理解个体差异和群体特点。
此外，多元统计分析还可以用于经济学、教育学、医学等领域的研究。
例如，经济学家可以利用因子分析来识别不同经济指标之间的关系和结构；教育学家可以利用路径分析来研究不同教育因素对学业成绩的影响；医学研究者可以利用聚类分析来研究患者的疾病类型和治疗反应。
总之，多元统计分析是一种重要的统计方法，能够帮助我们更全面、深入地理解数据的规律和模式。
通过合理选择和应用多元统计方法，我们能够揭示变量之间的关系和模式，为决策提供支持。
在社会科学研究中，多元统计分析发挥着重要的作用，有助于推动研究的进展和实践的改进。
数理统计课件 多元统计分析
7 知，给定 X 2 = x2 ， X1 的条件分布为 N1(µ1,2 , Σ11,2 ) ，其中
， ， µ1,2 ⎜⎜⎝⎛
σ2 σ1
⎟⎟⎠⎞( x2
−
µ2 )
Σ11,2
=
σ
2 1
(1
−
ρ
2)
同理可得，在给定 X1 = x1 时 X 2 的条件分布为 N (µ2,1,Σ22,1 ) ， 其中
知， X ~ N p (µ, ∑)
性质
7
若
X
=
⎡ ⎢ ⎣
X1 X2
⎤ ⎥ ⎦
,
X
~
N p (µ, ∑), X1, X 2
分别是 m
维和
p − m 维向量，且| ∑ |≠ 0, µ 和 ∑ 也有相应的分块表示
µ
def
=
⎡ µ1 ⎢⎣µ2
⎤ ⎥⎦
,
∑
def
=
⎡ ∑11 ⎢⎣∑21
∑12 ⎤ ∑22 ⎥⎦
性质 3 若 C 为 m × p 矩阵， b 为 m × 1 向量，Y = CX + b ， 且 X 服 从 Np(µ,Σ) 分 布 ， 则 Y 服 从 m 维 正 态 分 布 ， 且
E(Y ) = Cµ + b ，Cov(Y ,Y ) = C ∑C T ，即 Y 服从 N m (Cµ + b,CΣC T ) 分布. 性质 3 说明，多维正态分布在线性变换下仍为多维
y = Q( x − µ) ，则 ( x − µ)T Σ−1( x − µ) = ( x − µ)T QT Q( x − µ) = yT y .这个变
换
的
雅
可
比
行
列
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三、抽样与统计量 单总体情况
总体 样本 第i个样品 个样品 个指标的n次观测值 第j个指标的 次观测值 个指标的 个指标的第i次观测值 第j个指标的第 次观测值 个指标的第
x = ( x1 , x2 ,..., x p )′ x(1) , x( 2) ,..., x( n ) x(i ) = ( xi1 , xi 2 ,..., xip )′ x j = ( x1 j , x2 j ,..., xnj )′ xij
)( x
(α ) kj
−x
(α ) j
)(i, j = 1,2,L , p )
常见统计量
(5)组内离差阵 组内离差阵
E = (eij ) p× p
E = ∑ Lα
α =1
k
(6)组间离差阵 组间离差阵
B = (bij ) p× p
B = ∑ nα ( x
α =1
k
(α )
− x )( x
(α )
− x )′
1 n x = ∑ x(i ) n i =1 1 k nα (α ) = ∑∑ x(i ) n α =1 i =1 1 k (α ) = ∑ nα x n α =1 1 x = X ′1 n
1 n x j = ∑ xij ( j = 1,2, L, p) n i =1
1 (α ) = ∑∑ xij n α =1 i =1
第七章 多元统计分析
§7.1
多维随机变量
一、多维随机变量 定义
某一随机试验涉及的p个随机变 设x1,x2, …,xp为某一随机试验涉及的 个随机变 量，则称
x = ( x1 , x2 ,..., x p )′
维随机向量或p维随机变量 为p维随机向量或 维随机变量。 维随机向量或 维随机变量。
定义
k =1
(3)样本协方差阵 (3)样本协方差阵
L Σ= n −1
常见统计量
(4) 样本相关阵
~ R = (rij ) p× p rij = lij lii l jj (i, j = 1,2,L, p )
多总体情况
k个总体 个总体 个总体( 第α个总体 α=1,2,…,k) 第α个总体 α第i个样品 个总体G 个样品 个总体第j个指标的 第α个总体第 个指标的 nα次观测值 个总体第j个指标的 第α个总体第 个指标的 第i次观测值 次观测值
为随机变量x的方差阵。 为随机变量 的方差阵。
定义
设p维随机变量 x = ( x1 , x2 ,..., x p )′ 则称R = (rij ) p× p 维随机变量 ， 为随机变量x的相关阵。 为随机变量 的相关阵。 其中
rij =
Cov( xi , x j ) D( xi ) D( x j )
( )
nα × p
, (α = 1,2, L , k ; i = 1,2, L , nα ; j = 1,2, L , p )
常见统计量
(1)总体 (1)总体Gα的样本均值 总体 向量表示法 矩阵表示法 分量表示法
( x (α ) = ( x1(α ) , x2(α ) ,..., x pα ) )′
(i, j=1,2,…,p). ).
均值向量、 均值向量、协方差阵和方差阵的性质
是多维随机变量， 与 是常数矩阵 为 是常数矩阵， 设x与y是多维随机变量，A与B是常数矩阵，c为 与 是多维随机变量 常数向量， 常数向量，则有
E ( Ax + c ) = AE ( x ) + c
E ( AxB ) = AE ( x ) B
总的样本矩阵
x(′1) x(′2 ) X = = (xij )n× p , (i = 1, 2, L , n; j = 1, 2, L , p ) M x′ (n)
X (1) (2) X ( = = xijα ) M (k ) X
1 nα (α ) x (α ) = ∑ x(i ) nα i =1 1 (α ) ′(α )1 x = X nα nα 1 (α ) ( xj = xijα ) ( j = 1,2, L, p) ∑ nα i =1
常见统计量
(2)总的样本均值 (2)总的样本均值
x = ( x1 , x2 ,..., x p )′
多元正态分布的性质
µ1 Σ11 Σ 21 x1 ，其中x1是r维 (4) 设x = ~ N p , x µ Σ Σ 22 2 2 12 随机变量，x2 是p-r维随机变量, µ1是r维常向量，µ 2 是 p-r维常向量，Σ11是r阶方阵，Σ12 是r × ( p − r )矩阵， Σ 21是( p − r ) × r矩阵，Σ 22 是p − r阶方阵，则 x1 ~ N r ( µ1 , Σ11 ) , x2 ~ N p − r ( µ 2 , Σ 22 )
Cov( x1 , y1 ), Cov( x1 , y2 ), Cov( x , y ), Cov( x , y ), 2 1 2 2 Cov( x, y ) = M M Cov( x p , y1 ), Cov( x p , y2 ), L , Cov( x1 , yq ) L , Cov( x2 , yq ) L, M L , Cov( x p , yq )
W =E+B
个家庭，调查他们的月收入(百元) 例1 对9个家庭，调查他们的月收入(百元)和 月支出(百元) 数据如下表： 月支出(百元)，数据如下表： 样品序号 类别 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x1 月收入
30 35 38 25 40 32 26 29 36
1 k (α ) = ∑ nα x j n α =1
k
nα
常见统计量
( (3)总体 α的样本离差阵 Lα = (lijα ) ) p× p 总体G 总体
Lα = ∑ ( x((iα) ) − x (α ) )( x((iα) ) − x (α ) )′
i =1
nα
l
(α ) ij
= ∑ (x
k =1
常见统计量
(2)样本离差阵 (2)样本离差阵
n
L = (lij ) p× p
L = ∑ ( x(i ) − x )( x(i ) − x )′
i =1
其中
1 L = X ′( I − J ) X n n lij = ∑ ( xki − xi )( xkj − x j )(i, j = 1,2,L, p )
维随机变量x的数学期望(或均值向量) 为p维随机变量 的数学期望(或均值向量)。 维随机变量
定义
设p维随机变量 x = ( x1 , x2 ,..., x p )′和q维随机变 维随机变量 维随机变 量 y = ( y1 , y2 ,L , yq )′，Cov(xi,yj)=E[xi-E(xi)][yj-E(yj)] 为随机变量x 的协方差( 为随机变量 i与yj的协方差(i=1,2,…,p;j=1,2,…,q), ), 则称
x ~ N p ( µ , Σ)
多元正态分布的性质 (1)若x ~ N p ( µ , Σ)，则E ( x) = µ , D( x) = Σ
(2) 设A是r × p矩阵，b是r维常向量，则 Ax + b ~ N r ( Aµ + b, AΣA′)
x1 (3) 设x = 是多维正态随机变量( x1 , x2 也可是多维)， x 2 则x1 , x2互不相关的充要条件是 x1 , x2 相互独立。
x
(α ) ij
个总体G 第α个总体 α的样本矩阵
( X (α ) = ( x1(α ) , x2α ) , L , x (pα ) ) (α x(′1()α ) x11 ) , (α ) (α ) x(′2 ) x21 , = = M M ( ( ) x(′nα )) xnα 1 , α α (α x12 ) , L , (α x22 ) , L ,
总体x的样本矩阵 总体 的样本矩阵
x(′1) x11 , x(′2 ) x21 , X = ( x1 , x2 , L , x p )′ = = M M x′ x , ( n ) n1
x12 , L , x22 , L , L, xn 2 , L , M
x1 p x2 p = (xij )n× p M xnp
常见统计量
(1)样本均值向量 (1)样本均值向量 向量表示法 矩阵表示法 分量表示法
x = ( x1 , x2 ,..., x p )′
1 n x = ∑ x(i ) n i =1 1 x = X ′1 n 1 n x j = ∑ xij ( j = 1,2, L, p) n i =1
= ∑∑ ( x
α =1 i =1
(α ) (i )
−x
(α )
)( x
(α ) (i )
−x
(α )
)′
1 = X ′( I − J ) X n n wij = ∑ ( xki − xi )(α =1 k =1
k =1 k nα (α ) ki
−x
(α ) i
p 2 1 2
1 ′Σ −1 ( x − µ ) exp − ( x − µ ) 2
为常向量， 为常正定阵， 其中 µ = ( µ1 , µ 2 ,L , µ p )′为常向量，Σ为常正定阵， 则称p维随机变量 服从多元正态分布 也称x为 维随机变量x服从多元正态分布， 则称 维随机变量 服从多元正态分布，也称 为 p维正态随机变量。记为 维正态随机变量。 维正态随机变量
1 ′ ( I − J ) X (α ) =X n n
(α )
α