图论GraphTheory教学讲义

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图论(Graph Theory)

第一章图形理论图形理论有明确的起始点，由瑞士数学家尤拉(Leonhard Euler, 1707-1783)于1736年发表的论文开始。

其研究的主要论点，乃在于解决当时的热门问题，即有名K önigsgerg 的七桥问题。

1.1 定义与例题定义1.1：令 V 为非空集合，且E V V ⊆⨯. 序对(),V E 称为(V 上)有向图(directedgraph or digraph)，其中 V 为顶点(vertex)或节点(node)的集合，E 为边(edge)的集合。

我们记(),G V E =表示此图形。

图1.1为{}, , , , V a b c d e =上有向图的例子，其中()()()(){}, , , , , , , E a a a b a d b c =。

边的方向由边上的有向箭头表示，如图所示对任意边，如(), b c ，我们说此边接合(incident)顶点, b c ；称b 邻接至(adjacent to) c ；或c 邻接自(adjacent from) b 。

此外， b 称为边的原点(origin)或源点(source)， c 称为终点(terminus or terminating vertex)。

边(), a a 为一个循环(loop)，且顶点e 不与任何边接合，称为孤立点(isolated)。

若不考虑边的方向，此图称为无向图(undirected)。

定义1.2：令, x y 为无向图(), G V E =的顶点(不一定相异)。

G 中的X Y -路(x y -walk)是指选自G 的顶点及边的有限交错序列。

01122311,,,,,,...,,,,n n n n x x e x e x e e x e x y --==其中由顶点 1x 开始，终止于顶点y ，n 个边{}1,,1i i i e x x i n -=≤≤路的长度(length)是指该条路的边数n 。

图论讲座

指派问题（assignment problem）
一家公司经理准备安排名员工去完成项任务，每人一项。由于各员工的特点不同，不同的员工去完成同一项任务时所获得的回报是不同的。如何分配工作方案可以使总回报最大？
2013.11.10
中国邮递员问题(CPP－chinese postman problem)
图论的起源
图论起源于18世纪。第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。 1857年，凯莱发现了“树”。 1895年，哈密尔顿提出周游世界游戏。
2013.11.10
图论的运用
近几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大促进了图论研究和运用，图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、运筹学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。
2013.11.10
哥尼斯堡七桥问题
2013.11.10
哥尼斯堡七桥问题的数学模型
2013.11.10
图与网络
图与网络是运筹学(Operations Research)中一个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术通讯与网络技术等诸多领域。下面将要讨论的最短路问题、最大流问题、最小费用流问题和匹配问题等都是图与网络的基本问题。
2013.11.10
最短路问题(SSP—shortest path problem)
一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应该选择哪条路线？假设货柜车行车速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找一条从甲地到乙地的最短路。
图论(Graph Theory) ----图与网络模型及方法

图论讲义

v5
同构图举例
4 2 1 a c 3 1 2 3
G
4 a 5 d
H
6
H’
b
G’
d b
f c e
G ≅ G’ 1→a,2→b,3→c, 4→d
H ≅ H’ 1→a,2→b,3→c, 4→d,5→e,6→f
非同构图举例存在结点数及每个结点对应度都相等的两个图仍然不同构的情况.一个例子如下:(注意:两个4度点或邻接或不相邻接)
1.3 端点，关联边，相邻，次端点，关联边，相邻， • 有向图中，由节点指向外的弧的数目称为正次数，记有向图中，由节点指向外的弧的数目称为正次数，指向该节点的弧的数目称为负次数，为 d+，指向该节点的弧的数目称为负次数，记为 d– • 次数为 0 的点称为孤立点的点称为孤立点孤立点(isolated vertex) ，次数为 1 的悬挂点(pendant vertex) 点称为悬挂点点称为悬挂点定理 1：图中奇点的个数总是偶数个： 1.4 链，圈，路径，回路，欧拉回路路径，回路， • 相邻节点的序列 {v1′′ ,v2′′ ,…, vn′′} 构成一条链(link)，又称构成一条链，行走(walk)；首尾相连的链称为圈(loop)，或闭行走为行走；首尾相连的链称为圈，在无向图中，节点不重复出现的链称为路径(path)；在 • 在无向图中，节点不重复出现的链称为路径路径；有向图中，节点不重复出现且链中所有弧的方向一致，有向图中，节点不重复出现且链中所有弧的方向一致，则称为有向路径向路径(directed path) 则称为有向路径 • 首尾相连的路径称为回路(circuit)；首尾相连的路径称为回路回路；
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一摆渡人欲将一只狼,一头羊, 例一摆渡人欲将一只狼,一头羊,一篮菜从河西渡过河到河东.由于船小,一次只能带一物过河，西渡过河到河东.由于船小,一次只能带一物过河，并且狼与羊,羊与菜不能独处.给出渡河方法. 并且狼与羊,羊与菜不能独处.给出渡河方法. 用四维0 向量表示( 解：用四维0-1向量表示(人,狼,羊,菜)在河西岸的状态(在河西岸则分量取1,否则取0), 1,否则取0),共有西岸的状态(在河西岸则分量取1,否则取0),共有 24 =16 种状态.在河东岸的状态类似表示. 种状态.在河东岸的状态类似表示. 由题设,状态(0,1,1,0),(0,0,1,1),(0,1,1,1)是不由题设,状态 , , 是不允许的,从而对应状态(1,0,0,1), (1,1,0,0), (1,0,0,0) 允许的,从而对应状态也是不允许的. 也是不允许的. 以可允许的允许的10个状态向量作为顶点向量作为顶点,将可能互以可允许的个状态向量作为顶点将可能互相转移的状态用线段连接起来构成一个图. 相转移的状态用线段连接起来构成一个图根据此图便可找到渡河方法渡河方法. 根据此图便可找到渡河方法.

离散数学-第11章

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图论简介
• 1856年，哈密顿在给格雷夫斯的信中提出一个游戏：用正十二面体上20个顶点表示20个城市，要求游戏者沿着各边行走，走遍每个城市一次且仅一次，最后回到原出发城市。这个游戏促使人们研究如何判断一个图有无这一性质，如果有，则又如何确定这样的路径，即称之为哈密顿图。这是一个至今尚未完全解决的问题。 • 1962年，中国数学家管梅谷提出一个所谓“中国邮路问题”：邮递员带着邮件从邮局出发，走遍他所管辖的每一条街道，最后回到邮局，如何选择路线，使走的路程最短。1967年，埃德蒙兹给出中国邮路问题一个好的解法。 • 图论虽有200年的历史,但受计算机科学发展的刺激,发展极其迅速。上世纪60年代以来图论在各种学科领域中得到了广泛应用。图论在理论上也得到了新的发展，如图特等发展了拟阵理论，贝尔热等发展了超图理论，埃尔德什等发展了极图理论等。 • 本书介绍图的基本概念、路与回路、图的矩阵表示、欧拉图与汉密尔顿图、平面图、对偶图与着色、树与生成树、根树及其应用、二部图、匹配等。各章节主要知识点关联如图4.0.0所示。
9
11.1 图的概念
解图11.1.1中(a),(b)分别给出了无向图G和有向图D的图形表示。
e1 v1 e3 v5 e7 e2 e4 e8 v4
(a)
e1 v2 e5 e6 e4 v3 d a
e2 b e3 e5 e6 e7
(b)
c
图11.1.1 例11.1.1无向图G和有向图D
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11.1.2 简单图、多重图和同构图
回路
关联矩阵
邻接矩阵
ห้องสมุดไป่ตู้
可达矩阵
平面图的着色
哈密顿图欧拉图生成树
树
森林

图论讲义第1章-图的概念

图论与网络流理论（Graph Theory and Network Flow Theory）高随祥中科院研究生院专业基础课学时/学分：60/3本课程适合基础数学、应用数学、计算数学、运筹学与控制论、概率论与数理统计各专业的硕士学位研究生作为专业基础课，也可供物理学、化学、天文学、地学、生物科学、计算机科学与技术、计算机软件、管理科学与工程以及通信、信号等学科专业的硕士研究生选修。

主要讲授图论与网络流理论的基本概念、方法和定理，介绍该领域重要的问题以及典型的算法，展示图论与网络流模型及方法的广泛应用。

为学习者将来从事有关方面的理论研究打下基础，也为进行应用性研究提供一种有力的工具。

内容提要第一章图的基本概念图的基本概念；二部图及其性质；图的同构；关联矩阵与邻接矩阵。

路、圈与连通图；最短路问题。

树及其基本性质；生成树；最小生成树。

第二章图的连通性割点、割边和块；边连通与点连通；连通度；Whitney定理；可靠通信网络的设计。

第三章匹配问题匹配与最大匹配；完美匹配；二部图的最大匹配；指派问题与最大权匹配。

第四章欧拉图与哈密尔顿图欧拉图；中国邮递员问题；哈密尔顿图；旅行商问题。

第五章支配集、独立集、覆盖集与团支配集、点独立集、点覆盖集、边覆盖集与团的概念及其求法。

第六章图的着色问题点着色；边着色；平面图；四色猜想；色多项式；色数的应用。

第七章网络流理论有向图；网络与网络流的基本概念；最大流最小割定理；求最大流的标号算法；最小费用流问题；最小费用最大流；网络流理论的应用。

主要参考书[1] J.A. Bondy and U.S. Murty, Graph theory with applications, 1976, 有中译本（吴望名等译）。

[2] B.Bollobas, Modern graph theory (现代图论)，科学出版社，2001。

[3] 蒋长浩，图论与网络流，中国林业出版社，2001。

图论GraphicTheoryppt课件

a、如果某边去掉后会导致某点无连通的边，则此顶点亦可去也。
b、去某边后不能造成图形的不连通。
2020/8/1
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v3 3 1 v5
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(3)接着去掉(v3,v2)
依序去掉相连的边但必须注意下列两条件：
a、如果某边去掉后会导致某点无连通的边，则此顶点亦可去也。
b、去某边后不能造成图形的不连通。
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解：首先看图中是否有Euler回路，即看每个顶点的度是否都是偶数。
d(V1)=2， d(V2)=4， d(V3)=2，
d(V4)=4， d(V5)=4， d(V6)=4，
d(V7)=2， d(V8)=2， d(V9)=4。
Hamilton图。
• 在图G中，若存在通过每个顶点各一次的道
路，则称这条道路为Hamilton道路。
2020/8/1
• 定理(充分条件) ：设简单图G的顶点数为 n(n>3)，若G中任意一对顶点vi、vj，恒有 d(vi)+d(vj)≥n-1，则图G中至少有一条 Hamilton道路。
• 推论(充分条件) ：若任意一对顶点vi、vj，恒有d(vi)+d(vj)≥n，则图G中至少有一条 Hamilton回路。
vk
v2
v1
vp-1
vp
vL
与假设矛盾，所以存在包含所有顶点的 Hamilon道路。
2020/8/1

GRAPH THEORY 图论

一筆畫問題 (Euler Tour)

哥尼斯堡(Konigsberg)七橋問題
一筆畫問題 (Euler Tour)

中國郵路問題
可以一筆畫
不能一筆畫
更複雜的一筆畫問題

哈密頓（Hamilton）環遊世界問題

如何一次歷遍二十個城市而不重覆？
這是一個NP Complete的問題
References
A graph that can be decomposed into two partite sets but not fewer is bipartite It is a complete bipartite if its vertices can be divided into two non-empty groups, A and B. Each vertex in A is connected to B, and viceversa
一些基本的圖形
Graph (無向圖) Digraph (有向圖)
loop
Multigraph (多圖)
Pseudograph
loop
Path and Cycle

路徑(path):是一個有限非空的點和邊的交錯序列，其中的點兩兩不相同迴圈(cycle):起點和終點相同的路徑
E.g.
路徑P=fdabce 迴圈C=abca
The three graphs above are isomorphic 這三個圖表示相同的概念
生活中的一些例子
台大網路架構圖
一些特殊的圖
完整的圖 Complete graphs

任意兩點之間都有一個邊與其相連的圖稱為完整的圖，以 Kn 來表示，n為點數，邊數為 n C 2

运筹学--图论 ppt课件

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[8,v2]
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[2,v1]
v4
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[10,v4]
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Dijkstra算法示例1
3）迭代计算(c)—更新与永久标号节点v2相连的节 (d2+w25=3+7=)10< ∞ (=d5) 点的临时标号。
[3,v1]
v2
[0,-]
7
v5
[10,v2]
2 [+∞,v1] 6
v4
v7
[+∞,v1]
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Dijkstra算法示例1
2）迭代计算(a)—从临时标号中找到距离上界dk最小的节点v4，d4=min{dk}，将其变换为永久编号。
[3,v1] [+∞,v1]
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[0,-]
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2 [+∞,v1] 6 1 2 [+∞,v1]
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最小树问题不一定有唯一解。
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最小支撑树问题的解法

破圈法算法

初始化将图G的边按权值从大到小的次序排列，从原图开始迭代；迭代

第1步(删边) 从排列中顺序选择一条与图中剩余边构成圈的边，则将此边从图中删除，进入第2步(结束判断)；第2步(结束判断) 若图中剩下n-1条边，则已经得到最小支撑树；否则，进入下一轮迭代，返回第1步(加边)；

柯尼斯堡七桥问题

柯尼斯堡市区横跨普雷格尔河两岸，在河中心有两个小岛。小岛的两岸共有七座桥将岛与岛、岛与河岸连接起来。一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，并最后回到出发点？

Graph Theory离散数学、图论、双语

pf. If not, then there exist vertices x and y with deg(x) = 0 and deg(y) = n-1. It’s impossible.
Ch1-22 Copyright 黃鈴玲
Exercise 9. Every vertex of a graph G of order 14 and size 25 has degree 3 or 5. How many vertices of degree 3 does G have?
Ch1-14 Copyright 黃鈴玲
1.2 The degree of a vertex
Definition. For a vertex v of G, its neighborhood N(v) = { u V(G) | v u E(G) }. The degree of vertex v is deg(v) = | N(v) |.
Ch1-16 Copyright 黃鈴玲
Handshaking theorem

Theorem 1.1 (Handshaking theorem) Let G be a graph, deg(v) | E(G) | 2
vV ( G )
Example
u
2

v
3
vV ( G )
deg(v) 8
u v y
N(u) = {x, w, v}, N(y)={ }
deg(u) = 3, deg(y) =0
x
w
Ch1-15 Copyright 黃鈴玲
Notes

If |V(G)| = p, then 0 deg(v) p-1, v V(G). If deg(v) = 0, then v is called an isolated vertex (孤立點). v is an odd vertex if deg(v) is odd. v is an even vertex if deg(v) is even.

图论介绍（GraphTheory）

图论介绍（GraphTheory）1 图论概述1.1 发展历史第⼀阶段：1736：欧拉发表⾸篇关于图论的⽂章，研究了哥尼斯堡七桥问题，被称为图论之⽗1750：提出了拓扑学的第⼀个定理，多⾯体欧拉公式：V-E+F=2第⼆阶段（19~20世纪）：1852: Francis Guthrie提出四⾊问题1856: Thomas P. Kirkman & William R.Hamilton研究了哈密尔顿图1878: Alfred Kempe给出给出四⾊定理证明1890: 希伍德（Heawood）推翻原有四⾊定理证明1891: 彼得森（Petersen 丹麦）给出关于图论的理论知识的第⼀篇论⽂1936: 哥尼格(Dénes Kőnig Hungarian), 写出第⼀本图论专著《有限图与⽆限图的理论》，图论成为了⼀门独⽴学科第三阶段（现代图论）：1941: F. P. Ramsey开创 Extremal graph theory1959: Erd˝os and Rényi 引⼊随机图理论（边的存在的概率为p）1976: Kenneth Appel & Wolfgang Haken使⽤计算机最终证明了四⾊问题1.2 参考教材Graph Theory with Application - J.A. Bondy and U.S.R. Murty, Elsevier, 1976《图论及其应⽤》经典教材，吴望名译，有电⼦版Graph theory - J.A. Bondy and U.S.R. Murty, Springer, 2008《图论》GTM244，可以认为是 “Graph Theory with Application” 的第⼆版，推荐教材Graph Theory, 5th - Reinhard Diestel, Springer, 2017《图论》GTM173，有电⼦版Introduction to Graph Theory, 2nd- Douglas B. West, 2017⼊门教材2 图的初步知识（注：⼀般考虑simple graph (no graph loops or multiple edges), 且阶⼤于等于2）2.1 不规则图Definition: 所有顶点的度都不同的图叫不规则图 (irregular graph)Definition: 只有⼀对顶点的度相同的图叫⼏乎不规则图 (almost irregular graph)Theorem:1）不规则图不存在2）恰好存在两个阶数相同的⼏乎不规则图，且互为补图（顶点相同，边合起来是完全图）3）对于任意最⼤值为n的正整数集合，存在n+1阶的图，使其顶点数正好等于这些整数（以上结论不适⽤于多重图和加权图）2.2 正则图Definition: 所有顶点的度为r的图叫 r-正则图 (r-regular graph)e.g. 单连通的0-regular是单个点，单连通的1-regular是⼀条边的图，单连通的2-regular是⼀个圈，单连通的3-regular称为⽴⽅图Theorem: n阶r正则图存在，只要r, n不都是奇数，且r<=n-1常⽤正则图：Kn: n阶完全图，r = n-1Cn: n(n>=3)阶圈， r = 2Qr: n=2^r阶的超⽴⽅体(r-cube)Kr,r: n=2r阶的⼆分图2.3 ⼆分图（bipartite graph）Definition：顶点被分为两个集合，所有边只在两个集合之间连接的图叫⼆分图Theorem：图G是⼆分图\Leftrightarrow G中⽆奇圈2.4 ⼦图图G，⼦图（subgraph）Hsubgraph ---> spanning subgraph---> induced subgraph ---> vertex-delete subgraphspanning subgraph: ⽣成⼦图，H和G的顶点相同induced subgraph: 诱导⼦图，H = G[S] (从图中去除1个或多个顶点)vertex-delete subgraph: 去顶点⼦图，从图中去除1个顶点Theorem：任意图都可以表⽰为某个正则图的导出⼦图未解问题：给定某⼀图G的所有去顶点⼦图，是否能够重构出唯⼀的图G（同构意义上是唯⼀的）？2.5 距离Definition：连通图（connected），由多个连通分⽀（component）构成的图为不连通图（disconnected）G-v ⽐ G有更多的连通分⽀，则点v称为G的割点（cut-vertex）G-e ⽐ G有更多的连通分⽀，则边e称为G的桥（bridge）Theorem:连通图G，e是桥\Leftrightarrow e不属于G的任何⼀个圈\Leftrightarrow存在顶点u，v，使得任意路径u-v的路径经过e连通图G，w是割点\Leftrightarrow存在顶点u，v，使得任意路径u-v的路径经过wDefinition：点u, v之间的距离（distance）：u,v之间最短路径的长度d(u,v)点u的离⼼率（eccentricity）：u 与其它点的最⼤距离\epsilon(u)=\max\limits_v d(u,v)最⼩离⼼率为图的半径（radius），达到最⼩离⼼率的点为中⼼点（central vertex）最⼤离⼼率为图的直径（diameter），达到最⼤离⼼率的点为边缘点（peripheral vertex）2.6 TreeDefinition：不包含圈的连通图为树（Tree）Theorem：图G是树\Leftrightarrow G中任意两个顶点都有且只有⼀条连通路径n阶树有n-1条边在G内添加任意⼀条边，就会形成⼀个回路。

[化学]图论Graph Theory-精品文档

第一章图形理论图形理论有明确的起始点，由瑞士数学家尤拉(Leonhard Euler, 1707-1783)于1736年发表的论文开始。

其研究的主要论点，乃在于解决当时的热门问题，即有名K önigsgerg 的七桥问题。

我们记(),G V E =表示此图形。

图1.1为{}, , , , V a b c d e =上有向图的例子，其中()()()(){}, , , , , , , E a a a b a d b c =。

此外， b 称为边的原点(origin)或源点(source)， c 称为终点(terminus or terminating vertex)。

边(), a a 为一个循环(loop)，且顶点e 不与任何边接合，称为孤立点(isolated)。

若不考虑边的方向，此图称为无向图(undirected)。

定义1.2：令, x y 为无向图(), G V E =的顶点(不一定相异)。

G 中的X Y -路(x y -walk)是指选自G 的顶点及边的有限交错序列。

01122311,,,,,,...,,,,n n n n x x e x e x e e x e x y --==其中由顶点 1x 开始，终止于顶点y ，n 个边{}1,,1i i i e x x i n -=≤≤路的长度(length)是指该条路的边数n 。

graph_theory

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1. 图的基本概念
中必包含一个三角。问题：定理5给出的边界是否是紧的？为便于讨论图算法，给出算法复杂性的几个基本定义定义13：对于给定的函数g(n)，定义如下的函数集合 O(g(n)):={f(n)|存在正常数c和n0，使得对于所有n≥ n0，0≤f(n) ≤cg(n)}，称g(n)为O(g(n))中任意函数f(n) 的渐近上界（注：一般要求g(n)和f(n)定义于N）
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2. 路与回路
定理3：若W(G)=n，在G中删除一边获得G’，则W(G’) ≤n+1 定理4：对于任何一个图G，有k(G) ≤λ(G) ≤ δ(G) 定理5：一个连通无向图G中的结点v是割点⇔ 存在两个结点u和w，使得结点u和w的每一条路都通过v。定义6：若u可达v，它们之间所有路中，最短路的长度称为结点u和v之间的距离，记作d<u,v>，若从u到v不可达，d<u,v> ＝∞。称D=max{d<u,v>|u,v∈V}为图G=<V,E>的直径注：d<u,v>
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1 图的基本概念
8. 环（loop）：关联于同一结点的边，也称为自回路 9. 有向图、无向图和混合图：本课程只涉及有向图和无向图
定义2：设G=<V,E>是一个图，则|V|称为G的阶数（order），|E|称为G的规模（size）。
定义3：在图G= <V,E>中，与结点v (v ∈ V)关联的边数，称为该结点的度数（degree），记作deg(v)。
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2.路与回路
定理8：若无向图G恰有两个奇数度结点，则此两点间必有一条路定义8：如果图G=<V,E>的结点集合V可划分为 8 G=<V,E> V 两个非空集合V1 、 V2的并，使得任意e∈E均连接了分处V1和V2中的两个结点，则称其两分图（bipartite graph）。例子定理9：简单图G=<V,E>是两分图 iff 不包含任何奇圈。

图论教案

第六章图论(Graph Theory)◎知识目标：掌握图的方法与原理；图的基本概念；最小树、最短路、最大流的概念、计算与应用；了解中国邮路问题与解法。

◎能力目标：通过学习，使学生掌握图的方法与原理，提高分析问题和解决问题的能力。

◎本章重点：最小树、最短路、最大流的计算与应用◎本章难点：最短路的应用、最大流的计算引例：哥尼斯堡七桥问题18世纪著名古典数学问题之一。

在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。

问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。

有关图论研究的热点问题。

18世纪初普鲁士的柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有7座桥横跨河上，把全镇连接起来。

当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥。

这就是哥尼斯堡七桥问题。

L.欧拉用点表示岛和陆地，两点之间的连线表示连接它们的桥，将河流、小岛和桥简化为一个网络，把七桥问题化成判断连通网络能否一笔画的问题。

他不仅解决了此问题，且给出了连通网络可一笔画的充要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2。

当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。

Konigsberg城中有一条名叫Pre gel的河流横经其中，这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。

Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。

后来推论出此种走法是不可能的。

他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。

所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开的线与最後回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。

图论教案

第六章图论(Graph Theory)◎知识目标：掌握图的方法与原理；图的基本概念；最小树、最短路、最大流的概念、计算与应用；了解中国邮路问题与解法。

◎能力目标：通过学习，使学生掌握图的方法与原理，提高分析问题和解决问题的能力。

在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。

有关图论研究的热点问题。

18世纪初普鲁士的柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有7座桥横跨河上，把全镇连接起来。

当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥。

这就是哥尼斯堡七桥问题。

L.欧拉用点表示岛和陆地，两点之间的连线表示连接它们的桥，将河流、小岛和桥简化为一个网络，把七桥问题化成判断连通网络能否一笔画的问题。

他不仅解决了此问题，且给出了连通网络可一笔画的充要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2。

当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。

Konigsberg城中有一条名叫Preg el的河流横经其中，这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。

Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。

后来推论出此种走法是不可能的。

他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。

所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开的线与最後回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。

图论GraphTheory-中国科学院数学研究所

四色问题
四色问题: 对每个平面图，只用4种颜色对其面着色,使得任何两个有公共边的面得到不同颜色。
Whitney（Wolf 奖得主，微分拓扑学奠基人）和 Tutte（英国皇家学会会员）在四色问题的研究上有过合作。
1976年,两位计算机专家借助计算机验证,解决了四色问题。数学家们仍在努力寻找纯推理证明。
1735年, 欧拉(Euler)证明哥尼斯堡七桥问题无解, 由此开创了数学的一个新分支---图论.
欧拉将七桥问题转化为图论问题: 求图中一条迹(walk), 过每条边一次且仅一次（这种性质的迹称为欧拉迹）。
欧拉定理: 连通图存在欧拉迹当且仅当图中奇度数的点的个数至多为2。
哥尼斯堡七桥问题
欧拉定理
Pyber认为此猜想的解决在目前是不可及的“out of reach at present”。
路分解猜想
Gallai 猜想： n 个点的连通图可分解成至多 (n+1)/2条路。
Lovasz定理：n个点的连通图可分解成至多
n/2条路和圈。
Lovasz：长期从事图论研究，51岁获 Wolf 奖，曾任国际数学联盟主席，多个国家的科学院院士，曾在微软研究中心任职多年，现为匈牙利科学院院长。
图的定义
图的直观定义：点与边图的抽象定义：一个集合上的二元关系
Petersen 图
点集：5个元素{a,b,c,d,e}的所有2-子集作为点边集：两点有边相连当且仅当对应的2-子集不交
ab
ce
de
ac
cd
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱbe
ad bd
bc
ea
图论
图论是离散数学的一个主要分支。

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有向边(directed edge) 无向边(indirected edge) 平行边(parallel edge ) 自回路（环）(Self-loop / Ring)8来自图的基本概念 2(2)
边(edge)
有向边(directed edge)
端点有始点和终点之分的边。用有序二元组<始点,终点>表示
结点v的入度: 以v为终点的有向边的数目，记为deg-(v)或d-(v)
有向图中结点v的度d(v)：d(v)=d+(v)+d-(v)
a
deg+(c) = 2
deg-(c) = 3
b
c
deg(c) = deg+(c) + deg-(c) = 5
23
定理 1
设图G是具有n个顶点、m条边的有向图，
第五章图论 (Graph Theory)
1
图论的起源
Konigsberg(柯尼斯堡)七桥问题
能否从河岸或小岛出发，恰好通过每一座桥一次再回到出发地?
2
欧拉引进了图论
瑞士数学家Euler(欧拉)于1736年从理论上圆满解决这个问题。
A
抽象
D
B
D
A B
C
C
3
图论发展过程
1736年－欧拉解决柯尼斯堡七桥问题－图论产生 1936 年－图论第一部专著出现《有界图和无界图的
理论》经过近六十多年的发展，逐渐成为一门相对独立的学
科。
4
图论的应用
网络技术的理论基础和重要的研究工具生物和化学：区别分子式相同但结构不同的两
种化合物。计算机和通信：用于通信网络和计算机网络的
设计，交通网络的合理分布
大型工程项目的计划管理。
5
图的基本概念 1
图（graph）：由结点（顶点）(vertex) 和连接结点的边所构成的图形.
V(G)={v1,v2,···,vn}，则
n
n
de(gvi) de(gvi)m
i1
i1
24
定理 2 （Hankshaking）
设图G是具有n个顶点、m条边，V(G)={v1,v2,···,vn}，则
n
degv(i) 2m
i1
推论：度数为奇数的顶点个数必为偶数。
25
常用的简单图
赋权图无向完全图有向完全图竞赛图正则图
b
两个端点a和b之间平行边的条数
称为边(a,b)（或<a,b>）的重数
自回路（环）(Self-loop / Ring) v1
两个端点重合的无向（有向）边。
10
图的基本概念 3
边与结点的关系
设边e的端点为a和b
边e关联(incident)于顶点a和b（或a和b关联边e） a、b是邻接（相邻）的(adjacent)
(a)
(b)
(c)
13
图的基本分类（2）
多重图(multiple graph)：含平行边的图简单图(simple graph)：无环和平行边的图
a
b
c
14
图的基本分类（3）
根据图中结点的数目可分为：有限图(finite graph)：顶点个数有限的图无限图(infinite graph)：顶点个数无限的图
15
回顾
类型
有向图无向图混合图多重图简单图有限图无限图
特点
所有边都有方向所有边都无方向
既有有向边又有无向边有平行边
无平行边和环结点数有限结点数无限
16
练习题
判断下面给出的两个图的类型。
有向图无向图混合图多重图简单图
无向图
有向图简单图
17
图的基本分类（4）
底图定向图逆图
A
V(G)表示图G的结点集
E(G)表示图G的边集。
B
D
图G可记为<V(G),E(G)>或<V,E> C
有n个顶点和m条边的图记为(n,m)图或称为n阶图。
6
注意：图论中研究的图只关心图的结点之间是否有边相连，不关心结点的位置和边的长短
A
B
D C
B
D
A
C
7
图的基本概念 2(1)
边(edge)
26
赋权图
赋权图是顶点或边附加了信息的图。顶点或边中附加的信息称为权。
27
赋权图例
A
5
B 15 C
20
8
2
1D
7
2 4
F
E
6
28
普通图和赋权图
[比较] 对普通图，主要研究结点和边之间的拓扑关系
度，连通，通路等性质
赋权图给普通图附加了数量关系
距离，成本，代价，规模等性质
29
无向完全图
c
21
结点的度（1）
结点v的度: 指结点v关联的边数，记为deg(v)或d(v)。
注意：每个环看作两条边
d(c)=4
c
d(d)=2
d
b d(b)=2
a d(a)=4
22
结点的度（2）
有向图中，度可分为：出度(out-degree)和入度 (in-degree)
结点v的出度: 以v为起点的有向边的数目记为deg+(v) 或d+(v)
11
图的基本类型（1）
根据图中边的类型可将图分为：
无向图(undirected graph) 有向图(directed graph) 混合图(mixed graph)
多重图(multiple graph) 简单图(simple graph)
12
图的基本类型（2）
无向图(undirected graph)：所有边都是无向边的图。有向图(directed graph)：所有边都是有向边的图。混合图：既有有向边又有无向边的图。
v1
v2
<v1,v2>
无向边(indirected edge)
边的两个端点都可以作始点和终点的边 v1
v2
端点为v1和v2的无向边表示为 (v1, v2) 或v1v2
9
图的基本概念 2(2)
边(edge)
平行边(parallel edge )
两结点之间的多条无向边或
多条方向相同的有向边称为平行边。 a
任意两个不同的顶点间都有一条边关联的无向简单图称为无向完全图
n阶无向完全图记为：Kn
K1
K2
K3
K4
K5
30
有向完全图
任意两个不同的顶点之间都有两条方向相反的有向边相连并且每一个顶点都有一条自回路的有向图称为有向完全图
31
完全图边数
n阶无向完全图的边数是多少？ n(n-1)/2
n阶有向完全图的边数是多少？ n2
18
图的基本类型（5）
底图：将有向图G的所有有向边换成无向边，得到的无向图称为G的底图。
19
图的基本类型（6）
定向图：将无向图G中每条无向边指定一个方向所得到的图称为G的定向图。
20
图的基本分类（7）
逆图
称将为有G向的图逆G图的，每记一为条～G边。的方向颠倒所得到的图
a
a
b
c
逆图 b

图论GraphTheory教学讲义