二次函数y=axbxc的图像和性质第二课时课件
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二次函数二次函数的图象与性质二次函数y=axbxc的图象与性质课件华东师大
二次函数二次函数的图象与性质课件xx年xx月xx日•引言•基本概念•图象与性质目录•表达式与系数•应用举例•回顾与总结01引言二次函数是数学学科中的重要内容，是中考、高考的热点之一通过学习二次函数的图象与性质，可以更好地理解数学学科中的知识点之间的联系和转化课程背景掌握二次函数的图象和性质会用二次函数的图象和性质解决实际问题培养学生的思维能力和创新意识学习目标主要内容二次函数的图象与性质辅助内容二次函数的应用举例、二次函数的拓展内容概述02基本概念y=ax^2+bx+c(a\neq0)定义式顶点式一般式y=a(x-h)^2+ky=ax^2+bx+c(a\neq0)030201开口方向：a>0时，开口向上；a<0时，开口向下顶点：(-b/2a,\frac{4ac-b^2}{4a})与y轴交点：(0,c)对称轴：x=-b/2a有最小值当a>0时，最小值为\frac{4ac-b^2}{4a}；当a<0时，最大值为\frac{4ac-b^2}{4a}区间讨论在区间(m,n)上，当a>0时，二次函数单调递增；当a<0时，二次函数单调递减判别式Δ=b^2-4ac，决定函数图像与x轴有无交点值域当Δ<0时，值域为\{y|y≥\frac{4ac-b^2}{4a}\}或\{y|y≤\frac{4ac-b^2}{4a}\}二次函数性质0102030403图象与性质总结词对于二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)，其图象关于对称轴x=-b/2a对称。
详细描述当a、b、c取不同的值时，二次函数的图象表现出不同的形状和位置。
但无论图象如何变化，其对称轴始终保持不变，都为x=-b/2a。
这一性质对于理解和掌握二次函数的图象和性质非常重要。
图象对称性二次函数图象的变化规律与a、b、c的符号及对称轴位置有关。
总结词在y轴左侧，当a<0时，二次函数图象单调递减；当a>0时，图象先减后增。
九年级数学下册二次函数yaxbxc的图象和性质课件
当x b 时,最大值为 4ac b2
2a
4aLeabharlann a xb 2a
2
4ac b2 4a2
a x
b
2
4ac
b2
.
2a
4a
这个结果通常称为求顶 点坐标公式.
顶点坐标公式
y a x b 2 4ac b2 .
2a
4a
因此,二次函数²的图象是一条抛物线.
y 3x2 与 y 3(x 1)2 2图象之间的关系
13x2 向上平移2个单位得
3x2+2
3x2+2
再由3x2+2向右平移1个单
位得3(1)2+2
3(1)2+2
y1
23x2 向右平移1个单位得 3(1)2
再由3(1)2向上平移2个单位
得3(1)2+2
3x2
2
o
1
x
3(1)2
知识回顾应用
想一想,函数2和2的图象之间的关 系是什么？
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
根据图形填表：
抛物线 顶点坐标 对称轴
位置
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4ac 4a
直线x
b2 b
2a
由a,b和c的符号确定
那是怎样的平移呢？ 只要将表达式右边进行配方就可以知道了。
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质课件(共2课时,58张)
例2 二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是 A
（
）
方法点拨：把函数的一般
A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4）式化为顶点式，再由定点
式确定开口方向、对称轴、
B．开口向下，顶点坐标为（1，4）
顶点及其他性质.
C．开口向上，顶点坐标为（1，4）
D．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4）
解析 ∵二次函数y=x2+2x﹣3的二次项系数为a=1＞0，
探究新知
怎样将 y
配方可得
1 2
x 6 x 21 化成y=a(x-h)2+k的情势？
2
1 2
y x 6 x 21
想一想：配方的方
2
1
( x 2 12 x 42)
法及步骤是什么？
2
1 2
( x 12 x 62 62 42)
2
1
[( x 2 12 x 62 ) 62 42]
直线x=2，顶点坐标为(2,-1).
探究新知
知识点 2
二次函数y=ax2+bx+c 的图象与性质
根据下列关系你能发现二次函数y=ax2+bx+c的图象
和性质吗？
2
b
4
ac
b
y=ax2+bx+c a( x )2
2a
4a
探究新知
2
b
4
ac
b
2
y=ax2+bx+c a( x )
-6.5
-4
-2.5
-2
-2.5
-4 -6.5 ···
九年级数学第二章第四节：二次函数yaxbxc的图象课件
和3x2的图象的位置和形状.
请你总结二次函数()2的图象和性质.
二次函数3(1)23(1)3(1)2
y
在x轴的下方(除顶点
外),它的开口向下,并 y 3x 12
y 3x 12
且向下无限伸展.
1.抛物线3(1)2的顶点
3.抛物线3(1)2在对称轴(直线1) 的左侧(即当x<1时), y随着x的
(2)对称轴不同:分别是直线 h和y轴. (3)最值不同:分别是k和0. 3.联系: ()²(a≠0) 的图象可以看成²的图象先沿x轴整体左(右)平移 个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上 (下)平移个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
独立
x取哪些值时,函数3(1)2的值随x的增大而减少？
?
做函一做数()2(a≠0)的图象和性质
在同一坐标系中作出二次函数3x23(1)2和 完成3下(1表)2,的并图比象较．3x2,3(1)2和3(1)2的值, 它们之间有什么关系?
y 3x2
y 3x 12 y 3x 12
着x当的时增大,最而大减值小为. 0.
a 越小,开口越大.
做一做
我思，我进步
在同一坐标系中作出二次函数3x²3(1)2和3(1)2+2的图 象.
二次函数3x²3(1)2和3(1)2+2的图象有什么关系?它们的 开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一 看．
?
二次函数()²与²的关系
• 一般地,由²的图象便可得到二次函数
y=ax2+bx+c
想一想
函数² 的图象
二次函数 3(1)2+2 的图象是什么形状?它与我们已经作 过的二次函数的图象有什么关系?
二次函数的图像与性质(第二课时)说课课件
二次函数的图像与性质第二课时说课课件教材背景分析一教材的地位与作用二次函数的图像与性质是在学生已经学习过一次函数包括正比例函数反比例函数的图像与性质以及会建立二次函数模型和理解二次函数的有关概念的基础上进行的它既是前面所学知识的应用拓展是对前面所学一次函数反比例函数图像与性质的一次升华又是今后学习二次函数的应用二次函数与一元二次方程的联系的预备知识又是学生高中阶段数学学习的基础知识
引导学生养成全面看问题、分类讨论的学习习惯，通过直观 多媒体演示和学生动手作图、分析，激发学生学习数学的积极 性。
《二次函数的图像与性质》（第二课时）说课课件
教学结构设计
建立以“实施主体性教学，培养学生自学能力”为主的课堂 教学结构模式——学教结合式 让学生先自学，然后由老师来教，这样容易激发学生的求知 欲望，调动学生学习的兴趣。以“学教结合”为模式的课堂结构 设计为“五个阶段”： ①准备阶段。教师引导学生确定学习目标。 ②自学阶段。学生围绕目标自学。 ③议论阶段。让学生自我表现，相互质疑，相互交流，启发 理解。 ④点拨阶段。在学生自学基础上，教师加以点拨，让学生心 领神会，豁然贯通。 ⑤延伸阶段。这一阶段是让学生从“学会”到“会学”的升 华。延伸阶段要做到“三化”，一是知识的深化，二是知识向能 力、技能的转化，三是学习方法的固化，即演练巩固，牢固掌握 其方法。
教学过程设计 复习 探究导入新课 见课件制作 见课件制作 见课件制作 教材P36练习1、2、3
新课学习
课堂练习 思考总结 作业布置
见课件制作 A、教材P38——A组1(1)(2); B、基础训练P15—P16。
《二次函数的图像与性质》（第二课时）说课课件 教学评价设计
本节课，我合理、充分利用了多媒体教学的手段，利 用powerpoint，《几何画板》这两种软件制作了课件，特 别是《几何画板》软件的应用，画出了标准、动画形式的 二次函数的图像，让抽象思维不强的学生，更加形象的结 合图形，分析说出二次函数y=ax2的有关性质，充分体现了 “数形结合”的数学思想。为了突出重点，攻破难点，我 要求学生“先观察后思考”、“先做后说”、“先讨论后 总结”，“师生共做”充分体现了教学过程中以学生为主 体，老师起主导作用的教学原则。本节课，让学生有观察， 有思考，有讨论，有练习，充分调动了学生的学习兴趣， 从而为高效率、高质量地上好这一堂课作好了充分的准备。
引导学生养成全面看问题、分类讨论的学习习惯，通过直观 多媒体演示和学生动手作图、分析，激发学生学习数学的积极 性。
《二次函数的图像与性质》（第二课时）说课课件
教学结构设计
建立以“实施主体性教学，培养学生自学能力”为主的课堂 教学结构模式——学教结合式 让学生先自学，然后由老师来教，这样容易激发学生的求知 欲望，调动学生学习的兴趣。以“学教结合”为模式的课堂结构 设计为“五个阶段”： ①准备阶段。教师引导学生确定学习目标。 ②自学阶段。学生围绕目标自学。 ③议论阶段。让学生自我表现，相互质疑，相互交流，启发 理解。 ④点拨阶段。在学生自学基础上，教师加以点拨，让学生心 领神会，豁然贯通。 ⑤延伸阶段。这一阶段是让学生从“学会”到“会学”的升 华。延伸阶段要做到“三化”，一是知识的深化，二是知识向能 力、技能的转化，三是学习方法的固化，即演练巩固，牢固掌握 其方法。
教学过程设计 复习 探究导入新课 见课件制作 见课件制作 见课件制作 教材P36练习1、2、3
新课学习
课堂练习 思考总结 作业布置
见课件制作 A、教材P38——A组1(1)(2); B、基础训练P15—P16。
《二次函数的图像与性质》（第二课时）说课课件 教学评价设计
本节课，我合理、充分利用了多媒体教学的手段，利 用powerpoint，《几何画板》这两种软件制作了课件，特 别是《几何画板》软件的应用，画出了标准、动画形式的 二次函数的图像，让抽象思维不强的学生，更加形象的结 合图形，分析说出二次函数y=ax2的有关性质，充分体现了 “数形结合”的数学思想。为了突出重点，攻破难点，我 要求学生“先观察后思考”、“先做后说”、“先讨论后 总结”，“师生共做”充分体现了教学过程中以学生为主 体，老师起主导作用的教学原则。本节课，让学生有观察， 有思考，有讨论，有练习，充分调动了学生的学习兴趣， 从而为高效率、高质量地上好这一堂课作好了充分的准备。
二次函数二次函数的图象与性质二次函数y=axbxc的图象与性质课件
THANKS
谢谢您的观看
本课程将介绍二次函数的图象与性质，并通过具体实例来帮 助学员掌握二次函数的运用。
课程目标与内容概述
1
掌握二次函数的图象与性质，了解二次函数的 表达式、对称轴、顶点等基本概念。
2
熟悉二次函数的各种形式，包括一般式、顶点 式、交点式等，并能够进行互化。
3
通过典型例题解析，让学员掌握二次函数的解 题方法和技巧，提高数学应用能力。
对未来学习的展望与建议
深入学习
建议学员在掌握本课件内容后，进一步学习高级的数学 知识，如三角函数、微积分等，以拓展数学知识体系。
实践应用
鼓励学员将二次函数的知识应用到实际生活中，如解决 实际问题、进行数学建模等，以培养数学思维和解决问 题的能力。
持续学习
建议学员保持对数学领域的新发展和应用的关注，不断 学习和更新知识，提高自己的数学素养。
与其他数学知识的综合运用
01 02
与方程的综合运用
二次函数通常与一元二次方程结合在一起，因为一元二次方程的解就 是二次函数的零点。因此，在解决一些实际问题时，需要将二次函数 与其他数学知识综合运用。
与三角函数的综合运用
在解决一些实际问题时，如振动问题、波动问题等，需要将二次函数 与三角函数综合运用。
图像
02
过点$(1,0)$的曲线，在$(0, + \infty)$上单调递增。
性质
03
当$a>1$时，函数为增函数，当$0<a<1$时，函数为减函数
。
04
二次函数的实践应用
求解实际问题的应用案例
投资收益问题
假设一个投资者在某个项目上投资了$a元，年利率为b，经过c年后，他从该项目中获得的 收益为y元。那么，二次函数$y=ax^{2}bxc$可以用来预测未来收益。
2 二次函数的图象与性质2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第2课时PPT课件(华师大版)
y=x 分别交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左边),求△ABC 的面积.
[解析] 将抛物线 y=- x2 向左平移 4 个单位后得到抛物线
2
y=- (x+4) ,在平面直角坐标系中画出直线 y=x 与抛物线 y=- (x+4)
2
的草图,求出 A,B 两点的坐标,然后利用△ABC 的面积等于△AOC 的面
∴当 x<-2 时,y 值随 x 值的增大而增大.
2
【归纳总结】抛物线 y=a(x-h) 的顶点坐标是(h,0),对称轴是直线 x=h.
第2课时
二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
备选目标 二次函数y=a(x-h)2与一次函数的关系
例
2
将抛物线 y=- x 向左平移 4 个单位后,其顶点为 C,并与直线
第2课时
二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
如图,过点 A,B 分别作 AD⊥x 轴于点 D,BE⊥x 轴于点 E,
∴△ABC 的面积= OC·AD- OC·BE= ×4×8- ×4×2=12.
第2课时
二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
总结反思
小结
知识点一 二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系
第26章
26.2
二次函数
二次函数的图象与性质
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第26章
第2课时
二次函数
2
二次函数y=a(x-h)
的图象与性质
目标突破
总结反思
二次函数二次函数y=axbxc的图象课件
二次函数y＝axbxc的图象课件pptxx年xx月xx日•引言•二次函数的图象和性质•绘制二次函数的图象目录•分析和解释图象•实际应用案例•总结与展望01引言理解二次函数图像的形状和特点学习如何利用二次函数解析式绘制图像通过可视化方法增强对二次函数性质的理解目的和背景定义和公式解释a、b、c三个参数的含义和作用说明二次函数图像的开口方向、顶点位置、对称轴等特征介绍二次函数的一般形式：y =ax^2 + bx + c课程目标和意义通过图像分析二次函数的性质和变化规律掌握二次函数图像的基本绘制方法为后续学习复杂函数图像和分析打下基础学习如何利用二次函数解决实际问题02二次函数的图象和性质二次函数的图象$y = ax^2 + bx + c$表达式根据$a$的正负来判断，$a>0$时，开口向上；$a<0$时，开口向下开口方向$x = -\frac{b}{2a}$对称轴$(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))$顶点坐标决定二次函数的增减性，开口向上时，函数在对称轴左侧单调递减；开口向下时，函数在对称轴左侧单调递增开口方向根据开口方向和对称轴位置来判断，如开口向上，则在对称轴左侧递减；如开口向下，则在对称轴左侧递增单调性开口方向与单调性顶点坐标二次函数的顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))$，该点也是函数的最大值或最小值点对称轴二次函数的对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$，根据此公式可以快速找到函数图像的对称轴顶点与对称轴03绘制二次函数的图象MatlabMatlab是一个强大的数学软件，可以轻松绘制各种函数图象，包括二次函数。
在Matlab中，只需输入二次函数的解析式，即可快速得到对应的图象。
使用数学软件绘制图象MathematicaMathematica是一个功能强大的科学计算软件，也可以用来绘制二次函数图象。
二次函数二次函数y=axbxc的图象课件ppt
绘制图像的基本步骤
确定坐标轴和比例尺
在二维平面上，我们需要确定x轴和y轴的位置 ，并设定适当的比例尺以保持图像的真实性。
绘制点
根据上一步中计算出的(x, y)坐标，我们可以在 坐标平面上绘制出对应的点。
连接点
使用平滑的曲线或直线连接相邻的点，从而形 成二次函数的图像。
03
常见二次函数的图像特征
a>0的情况
定义和公式
01
02
03
二次函数一般形式
$y = ax^{2} + bx + c$
二次函数标准形式
$y = ax^{2} + bx + c$ （其中$a \neq 0$）
二次函数顶点式
$y = a(x - h)^{2} + k$ （其中$h,k$分别为顶点 坐标）
课程目标和意义
掌握二次函数图像的绘制方法 和步骤
下一步学习计划
练习更多的二次函数题目，加 深对知识点的理解和掌握。
学习二次函数的极值和最值问 题，掌握求函数最大值和最小 值的方法。
学习二次函数的实际应用，了 解二次函数在生活中的实际应 用场景。
感谢您的观看
THANKS
要点二
详细描述
对于二次方程，可以采用因式分解法或者公式法求解。 因式分解法主要是通过将方程的右边化为0，从而得到 两个一次方程，解这两个一次方程就可以得到未知数的 值。公式法则适用于所有二次方程，直接代入公式即可 求解。
生活中的实际应用
总结词
二次函数在生活中的应用非常广泛，例如在物理学、经济学 、工程学等方面都有应用。
总结词
平移和伸缩变换是二次函数图像的基本变 换方式，通过改变函数的变量系数可以实 现图像在水平和垂直方向上的移动以及放 大或缩小。
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第2课时 课件(共16张PPT)人教版数学九年级上册
【例题】
【例2】已知抛物线的顶点为(-1，-3), 与y轴交点为(0，-5),求抛物线的解析式.
y
-1
ox
-3
解析：设所求的二次函数为y=a(x＋1)2-3Байду номын сангаас由点( 0,-5 )在抛物线上得：
a-3=-5, 得a=-2 故所求的抛物线解析式为y=－2(x＋1)2-3
【例题】 【例3】当x=1时，抛物线最高点的纵坐标为4，且与x 轴两交点之间的距离为6，求此函数解析式.
【例题】
【例1】已知一个二次函数的图象过（-1，10），
（1，4），（2，7）三点，求这个函数的解析式.
解析：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c，
由条件得：
a-b+c=10， a+b+c=4，
4a+2b+c=7，
解方程组得：a=2, b=-3, c=5.
因此，所求二次函数的解析式是：y=2x2-3x+5
(1，1)．求这个二次函数的表达式． 解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．
依题意得 a-b＋c＝-5， c＝-4， 解得 a＋b＋c＝1，
a＝2，
b＝3， c＝-4，
∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x-4.
已知条件
待定系数法 求二次函数解析式
所选方法
①已知三点坐标
用一般式法：y=ax2+bx+c
解析：方法一：由题意知，抛物线的顶点为（1,4），对
称轴为x=1，又因为抛物线与x轴两交点之间的距离为6，
所以抛物线与x轴的两交点为（-2,0）和（4,0），
设函数解析式为y=a(x-1)2+4，因为当x=-2时，y=0，
二次函数二次函数的图象与性质二次函数y=axbxc的图象与性质第课件
性质
有最大值，当x=-b/2a时取得最大 值，最大值为[4ac-b2]/4a
二次函数y=ax2bxcx的图象与性质
总结词
定义
混合型二次函数
y=ax2bxcx，其中a≠0，b≠0，c≠0
图象
性质
抛物线，对称轴为直线x=-c/2a，顶点为(c/2a，[4ac-bc]/4a)
有最大值，当x=-c/2a时取得最大值，最大 值为[4ac-bc]/4a
二次函数y=axbxc的图象与性质 第课件
xx年xx月xx日
目录
• 二次函数的图象 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 特殊二次函数的图象与性质 • 二次函数与其他函数的关系 • 二次函数的学习方法与技巧
01
二次函数的图象
定义与表达式
二次函数定义
一般形式为y=ax^2+bx+c (a\neq0)，其中a、b、c为常数
开口方向与大小
开口方向
当a>0时，抛物线开口向上；当 a<0时，抛物线开口向下
开口大小
a的绝对值越大，抛物线开口越小； a的绝对值越小，抛物线开口越大
对称轴位置
当a、b同号时，对称轴在y轴左侧； 当a、b异号时，对称轴在y轴右侧
顶点位置
当x=-b/2a时，二次函数取得极值 点；当x=-b/2a时，二次函数取得 最值点
善于利用数学工具，例如计算器、电脑软件等，帮助 自己更好地学习和理解。
学会总结和发现二次函数的规律和特点，例如对称性 、极值点等。
多做练习题，加深对概念和性质的理解，提高解题能 力和思维水平。
相关习题推荐
习题1
给定二次函数的解析式为y=x2+2x+3，求函数的对称轴、顶点坐标和开口方向。
二次函数二次函数y=axbxc的图象课件ppt
02
在代数中，二次方程和二次函数有密切的联系，可以解决诸如
一元二次方程根的分布等问题。
在微积分中，二次函数可以研究最值、单调性等问题，以及与
03
其它函数的交点等性质。
如何用二次函数解决实际问题
列出方程
首先需要针对实际问题列出二次方 程或二次函数。
求解
利用数学方法求解二次函数的极值 点、对称轴、与坐标轴的交点等关 键点。
平移距离
将二次函数图像沿x轴平移n个单位，则用“左加右减”的原则，将n/|a|代入到函 数解析式中。
变换的定义及操作
变换类型
变换包括旋转、缩放、翻转等，这些变换都是以图像中心为 基准点进行旋转、缩放或翻转。
变换操作
将二次函数图像逆时针旋转θ角度，则将x轴与y轴上分别乘以 cosθ与sinθ；缩放则将x轴与y轴上分别乘以大于1或小于1的 系数；翻转则将x轴与y轴上分别乘以-1。
利用描点法作出函 数图像的基本形状 。
05
二次函数图像的应用及意义
二次函数图像在数学学科中的应用
理解二次函数图像有助于理解二次函数的性质 和概念。
在解决几何问题时，二次函数图像可以提供重 要的几何意义和辅助线。
通过观察二次函数图像，可以更好地掌握二次 函数的极值、单调区间等数学特征。
二次函数图像在其他学科中的应用
描点
在函数图像上描出$(x,y)$点， 其中$x$满足$x=h$，$y$为函
数值。
参数法作图
确定参数
选择合适的参数$t$，使$(x,y)$满足二次函数表达式。
确定图像
根据参数方程确定二次函数的图像。
如何用两种方法作出二次函数的图像
首先根据二次函数 表达式确定顶点坐 标和对称轴。