连续谱本征函数的归一化

包头师范学院

本科毕业论文

论文题目：连续谱本征函数的归一化

院系：物理科学与技术学院

专业：物理学

姓名：赵德胜

学号：0809320046

指导教师：林海

二〇一二年四月

内容摘要

根据波函数统计诠释,波函数应满足归一化条件.从三种情况讨论波函数的归一化问题.

对于分立谱要对其进行归一化，而对于连续谱要对其进行归一化，实则就是他们所选的”归一化”标准不同，但他们之间又有很多微妙的差别和联系，在具体的解决问题时可以体现出来。波函数（也可称概率幅）是描写粒子体系的量子状态的函数，是概率波，所以对其归一化的研究是非常有意义的。

关键词：波函数；归一化；概率密度；本征函数；边界条件

Abstract

According to the statistical interpretation wave function, wave function should meet the normalization conditions. From three of the wavelet function to discuss a normalized problem.

For division spectrum in its normalization, while for the continuous spectrum in its return change, actually is they selected "normalization" standard between different, but they have a lot of subtle differences and connections, in specific solutions can be reflected. Wave function (can say that probability amplitude) is a description of the quantum state of the particle systems is probability wave function, so for its normalization research is very significant.

Key words: Wave function；Normalization；Probability density；Eigen function；Boundary conditions

目录

引言 (1)

1.什么是归一化 (2)

2.表同态的不同波函数的归一化 (3)

3.连续谱本征函数的“归一化” (4)

4.箱式归一化 (5)

5.总结 (7)

参考文献 (8)

致谢 (9)

引言

与经典物理不同 ,在量子力学中是用波函数来描述微观粒子运动状态的.但并不是所有的波函数都有意义 ,只有那些满足波函数标准条件的函数才能用来

描述微观粒子的运动状态. 根据波函数的统计诠释 ,量子力学对波函数Ψ(r

,t)

提出的要求之一便是一个真实的波函数需要满足归一化条件(平方可积),即

|Ψ(r

,t) |2

3d r = 1,量子力学理论体系是在几个基本假定的基础上建立起

来的.将有关的基本假定概述如下:量子力学体系的状态由一个波函数描写,力学量用厄密算符表示.力学量算符的本征函数组成一个完备系,且可以构成一个正交归一的完备系.量子力学体系的任一状态波函数Ψ均可按上述的正交归一完备函数系展开.当体系处于Ψ态时,测量力学量 F 得到的结果必为 F 的某个本征值,得到此结果的概率 (或概率密度)为上述展开式中相应本征函数的系数的模平方.总的概率当然应该等于1,于是就要求把本征函数和状态波函数归一化,这就是归一化的物理意义.可见,波函数的归一化问题在量子力学中的地位是多么重要. 本文便从以下几种情况讨论波函数的归一化问题.

一、什么是归一化

由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于一，因而粒子在空间各点出现的概率只决定于波函数在空间各点的相对强度，而不决定于强度的绝对大小。如果把波函数在空间个点的振幅同时加大一倍，并不影响粒子在空间各点的概率，换句话说，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子的状态并不改变。量子力学中的波函数的这种性质是其他波动过程（如声波、光波等等）所没有的。对于声波、光波等，体系的状态随振幅的大小而改变，如果把各处振幅加大为二倍，那么声或光的轻度到处都加大为四倍，这就完全是另一个态了。[1]

下面用数学来表达波函数的这种性质，设波函数),,,(t z y x ψ描写粒子的状态，在空间一点过（x,y,z ）和时刻t ，波的强度是ψψψ

*=2

，*ψ表示ψ的共轭复

数。以dW （x ，y ，z ，t ）表示在时刻t 、在坐标x 到x+dx 、y 到y+dy 、z 到z+dz 的无限小区域内找到粒子的概率，则dW 除了和这个区域的体积dxdydz d =τ成比例外，也和在这个区域内没一点找到粒子的概率成比例。按照波函数的统计解释，在这个区域内一点找到粒子的概率与2

t)z,y,(x, ψ成比例，所以dW （x ，y ，z ，t ）=τψd C 2

t)z,y,(x, ，始终C 是比例常数。以体积τd 除概率dW ，得到在时刻t 、在（x ，y ，z ）点伏击单位体积内找到粒子的概率，我们成这个概率为概率密度，并以),,,(t z y x w 表示：

2

),,,(),,,(),,,(t z y x C d t z y x dW t z y x w ψτ

==

。

将上式对整个空间积分，得到粒子在整个空间中出现的概率，由于粒子存在于空间中，这个概率等于1，所以有1t)z,y,(x, 2

=⎰∞

τψd C ，

式中积分号下的无穷大表示对整个空间积分。由1t)z,y,(x, 2

=⎰∞

τψd C 式有