抛物线顶点坐标的求法(公式法)
关于抛物线知识点总结
关于抛物线知识点总结平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
下面导师为大家带来的是初中数学知识点归纳之抛物线。
以下是“抛物线知识点总结”希望能够帮助的到您！抛物线y = ax + bx + c (a≠0)就是y等于a乘以x 的平方加上b乘以x再加上c置于平面直角坐标系中a > 0时开口向上a < 0时开口向下(a=0时为一元一次函数)c>0时函数图像与y轴正方向相交c< 0时函数图像与y轴负方向相交c = 0时抛物线经过原点b = 0时抛物线对称轴为y轴(当然a=0且b≠0时该函数为一次函数)还有顶点公式y = a(x+h)* 2+ k ,(h,k)=(-b/(2a),(4ac-b )/(4a)) 就是y等于a乘以(x+h)的平方+k-h是顶点坐标的xk是顶点坐标的y一般用于求最大值与最小值和对称轴抛物线标准方程：y =2px (p>0)它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y =2px y =-2px x =2py x =-2py大家看过初中数学知识点归纳之抛物线，要知道其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。
接下来还有更多更全的初中数学知识点大全等着大家来记忆呢。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
顶点坐标求法教案
顶点坐标的求法
教学难点
1、配方中二次项系数的处理2、求顶点坐标的公式的推导
教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
一、旧知检测
写出下列抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、最值
1、y=5x22、y= -3x2-5 3、y= - (x+2)2
4、y=2(x-1)2+2 5、y= (x+3)2-3
学生在学案上笔答，教师巡视了解学生的掌握情况
（1）在转化的过程中，哪个地方是你不知道如何处理的？
（2）你觉得在转化的过程中，哪个地方是易错的？
（3）你在转化的过程中，你认为最关键的是哪一步？完成这一步的前提条件是什么？
学生谈想法、
学生在学案上解答，教师巡视，引导
渗透转化的数学思想
突破难点
四、巩固训练
请求出以下二次函数的顶点坐标
1、y=2x2-4x+6 2、y= - x2-2x+2 3、y= x2+2x
检测学生的知识掌握的情况，获得反馈信息
二、创设情境引入新课
1、结合图像挖掘隐含条件
2、二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝_______
3、课堂测试调查的问题解决
学生探究、口答
对学生进行解题方法的指导
三、问题探究
1、做课堂测试问题中对的同学的想法
2、将引例中的二次函数化成y=a(x-h)2+k的形式
练习巩固公式的同时，教给学生检查的方法，培养检查意识。
七、拓展探究，解决引例
1、二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝_______
2、（09年北京）将x2-2x-3化成(x-m)2+k形式，则m+k=?
二次函数必背知识点(精辟)
标相等，设纵坐标为 k ，则横坐标是 ax 2 bx c k 的两个实数根.
（5）一次函数 y kx nk 0的图像 l 与二次函数 y ax2 bx ca 0的图像
（2）函数 y ax 2 的图像与 a 的符号关系. ①当 a 0 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点； ②当 a 0 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴的抛物线的解析式形式为 y ax 2（a 0）.
3.二次函数 y ax2 bx c 的图像是对称轴平行于（包括重合） y 轴的抛物线.
y最小 ax22 bx2 c 。
考点四、二次函数的性质 （6~14 分） 1、二次函数的性质
二次函数
函数
y ax2 bx c(a,b,ห้องสมุดไป่ตู้c是常数，a 0)
a>0
a<0
y y
图像
0
x
0
x
（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；
（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；
（2）对称轴是 x= b ，顶点坐标是（ b ， （2）对称轴是 x= b ，顶点坐标是
性质
2a
2a
2a
4ac b2
）；
4a
（
b
4ac b2
，
）；
2a 4a
相信你会成功。加油！！
5
适合任何版本的数学教材，希望能帮到你。
（3）在对称轴的左侧，即当 x< b 时，y 随 2a
x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当 x>
高中抛物线数学公式有哪些
高中抛物线数学公式有哪些高中抛物线数学公式有哪些高中抛物线数学公式1、抛物线：y=ax__+bx+c就是y等于ax的平方加上bx再加上c。
a0时，抛物线开口向上;a0时抛物线开口向下;c=0时抛物线经过原点;b=0时抛物线对称轴为y轴。
2、顶点式y=a(x+h)__+k就是y等于a乘以(x+h)的平方+k，-h是顶点坐标的x，k是顶点坐标的y，一般用于求最大值与最小值。
3、抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0)。
4、准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程：y^2=2pxy^2=-2p__^2=2pyx^2=-2py。
高考数学冲刺策略1、拓实基础，强化通性通法。
高考对基础知识的考查既全面又突出重点。
抓基础就是要重视对教材的复习，尤其是要重视概念、公式、法则、定理的形成过程，运用时注意条件和结论的限制范围，理解教材中例题的典型作用，对教材中的练习题，不但要会做，还要深刻理解在解决问题时题目所体现的数学思维方法。
2、抓住重点内容，注重能力培养。
高中数学主体内容是支撑整个高中数学最重要的部分，也是进入大学必须掌握的内容，这些内容都是每年必考且重点考的。
象关于函数(含三角函数)、平面向量、直线和圆锥曲线、线面关系、数列、概率、导数等，把它们作为复习中的重中之重来处理，要一个一个专题去落实，要通过对这些专题的复习向其他知识点辐射。
3、细心审题、耐心答题，规范准确，减少失误。
计算能力、逻辑推理能力是考试大纲中明确规定的两种培养的能力。
可以说是学好数学的两种最基本能力，在数学试卷中的考查无处不在。
并且在每年的阅卷中因为这两种能力不好而造成的失分占有相当的比例。
所以我们在数学复习时，除抓好知识、题型、方法等方面的教学外，还应通过各种方式、机会提高和规范学生的运算能力和逻辑推理能力。
4、定期重复巩固。
即使是复习过的数学内容仍须定期巩固，但是复习的次数应随时间的增长而逐步减小，间隔也可以逐渐拉长。
二次函数 抛物线
二次函数 抛物线（一）1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .4.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.5.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 6.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<a b（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab. 7.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121(二)一. 二次函数解析式有三种：（1）y ax bx c a =++≠20() 一般式（2）()y a x h k =-+2顶点式；()h k ， 顶点 （3）()()y a x x x x =--12 双根式；()()x x 120，，是图象与x 轴交点坐标。
人教版九年级数学《用公式法求抛物线的顶点坐标和对称轴》课前预习任务单和课堂小练习及答案
九年级数学课前预习任务单和课堂小练习及答案二次函数的图象和性质(6)——用公式法求抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标和对称轴课前预习任务单课 堂 小 练限时 10分钟 总分 100分 得分非线性循环练1. (10分)下列关于x 的方程：①ax 2＋bx ＋c ＝0；②x 2＋4x－3＝0；③x 2－4＋x 5＝0；④3x ＝x 2中，一元二次方程有( A )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2. (10分)如图X 22－19－1，抛物线的顶点P 的坐标是(1，－3)，则此抛物线对应的二次函数有( B )图X22－19－1A . 最大值1B . 最小值－3C . 最大值－3D . 最小值13. (10分)已知关于x 的方程 x 2＋3x ＋2＝0的一个根是m ，那么3m 2＋9m ＝ －6 .4. (10分)抛物线y ＝x 2－2x ＋2的对称轴是 直线x ＝1 .5. (10分)解方程：(2x －1)2－9＝0.解： x 1＝－1，x 2＝2.当堂高效测1. (10分)抛物线y ＝x 2－4x ＋9的对称轴为直线 x ＝2 .2. (10分)抛物线y ＝－2x 2－4x ＋8的开口 向下 ，顶点坐标是 (－1,10) .3. (10分)抛物线y ＝2x 2＋bx ＋c 的顶点坐标是(－1,4)，则b ＝ 4 ，c ＝ 6 .4. (20分)利用公式法求下列二次函数的对称轴、顶点坐标和最值.(1)y ＝x 2－2x －3；解：y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴抛物线的对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是(1，－4)，当x ＝1时，函数y 有最小值－4.(2)y ＝－x 2－2x ＋1.解：y ＝－x 2－2x ＋1＝－(x ＋1)2＋2， ∴抛物线的对称轴是直线x ＝－1，顶点坐标是(－1,2)，当x ＝－1时，函数y 有最大值2.。
直角坐标系知识点
二 次 函 数一、定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 例：已知关于x 的函数是常数c b a c bx ax y ,,(2++=）当a,b,c 满足什么条件时 （1）是一次函数 （2）是正比例函数 （3）是二次函数 二、二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a（1）①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点③｜a ｜越大，开口越小。
（2）顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=（3）①当0>a 时，在对称轴左边，y 随x 的增大而减小；在在对称轴右边，y 随x 的增大而增大；②当0<a 时，在对称轴左边，y 随x 的增大而增大；在在对称轴右边，y 随x 的增大而减小。
（4） y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0,c )例：1、（2011四川重庆，7，4分）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( D )A ． a >0B ． b ＜0C ． c ＜0D ． a ＋b ＋c >0 练习：1、（2011山东威海，7，3分）二次函数223y x x =--的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（ A ）． A ．－1＜x ＜3 B ．x ＜－1 C ． x ＞3D ．x ＜－1或x ＞32、（2010湖北孝感，12，3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac －b 2=4a ；④a+b+c ＜0.其中正确的个数是（ C ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4三、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：c bx ax y ++=2，顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线ab x 2-=.（2）配方法：()k h x a y +-=2的顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.(3)利用交点式求对称轴及顶点：()()21x x x x a y --=，对称轴为221x x x +=例1、求下列各抛物线的顶点和对称轴：（1）532+-=x y x（2）72)1(2-=-x y （3）)9)(7(3+--=x x y例2、2011江苏淮安，14，3分）抛物线y=x 2-2x -3的顶点坐标是 .（1，－4） 四、抛物线的平移方法1：计算机两条抛物线的顶点，由顶点判定平移情况 方法2：将函数换成顶点式．．．，用口决“（x ）左加右减，上加下减” 例1、抛物线322++=x x y 经过怎样平移得到142+-=x x y 答案：向右平移3，再向下移5个单位得到；例2、（2011四川乐山5，3分）将抛物线2y x =-向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（A ）A ．2(2)y x =-+B ．22y x =-+C ．2(2)y x =--D ．22y x =--例3、（ 2011重庆江津， 18，4分）将抛物线y=x 2－2x 向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_______.（y=(x-5)2+2 或 y=x 2-10x+27） 练习：1、抛物线3222++=x x y 经过怎样平移得到1422+-=x x y2、抛物线322++=x x y 向左平移2个单位，再向上移3个单位得到c bx x y ++=2，求b和c 。
一元二次方程的解法及判别
一元二次方程的解法及判别一、一元二次方程的定义一元二次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程。
一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二、一元二次方程的解法1.因式分解法：将一元二次方程进行因式分解，使其变为两个一次因式的乘积等于0的形式，然后根据零因子定律求解。
2.公式法：利用一元二次方程的求根公式（也称二次公式）求解。
求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
三、一元二次方程的判别式判别式是用来判断一元二次方程的根的情况的数值。
判别式的公式为：Δ = b^2 - 4ac。
四、判别式的性质与解的情况1.当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。
2.当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根，也称为重根。
3.当Δ < 0时，方程没有实数根，而是有两个共轭的复数根。
五、一元二次方程的解法比较1.因式分解法适用于方程的系数较小，且容易分解的情况。
2.公式法适用于任何形式的一元二次方程，无论系数的大小和是否容易分解。
六、一元二次方程的应用一元二次方程在实际生活中有广泛的应用，如物体的运动轨迹、投资收益、面积计算等方面。
总结：一元二次方程的解法及判别是中学数学中的重要知识点，掌握因式分解法和公式法求解一元二次方程，以及理解判别式的性质和解的情况，对于解决实际问题具有重要意义。
习题及方法：已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，求解该方程。
这是一个一元二次方程，我们可以尝试使用因式分解法来解它。
首先，我们需要找到两个数，它们的乘积等于常数项6，而它们的和等于一次项的系数（-5）。
这两个数是-2和-3。
因此，我们可以将方程重写为：(x - 2)(x - 3) = 0。
根据零因子定律，我们得到x - 2 = 0或x - 3 = 0。
解得x1 = 2，x2 = 3。
给定一元二次方程2x^2 + 5x - 3 = 0，求解该方程。
初中数学二次函数知识点汇总
1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a .3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-=-=444222122122121二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。
二次函数的顶点求法
2、顶点在y轴上的条件为b=0。
例：顶点在y轴上，求m。
解：由题意易得m-1=0，则m=1。
3、顶点在原点的条件为b=c=0。
4、顶点在各象限内的条件为△≠0，b≠0。
3、代入法：先求出的值，再代入y=中，求出y，得顶点坐标为（x，y）。
例：求抛物线的顶点p坐标
解法1，配方法：，则p（2，1）；
解法2，公式法： ==2， ==1，则p（2，1）；
解法3，代入法： ==2，y= =1，则p（2，1）。
二、顶点的位置
1、顶点在x 轴上的条件为
例：的顶点
对于很多同学而言，刚学二次函数时都觉得有点吃力，特别是求二次函数的顶点坐标以及顶点位置的判断存在一定的困难。为此，本人进行了以下的小结，希望对同学们有所帮助。
一、顶点坐标的求法
1、配方法：即将化成形式，得到顶点坐标为（h，k）。
2、公式法：将a、b、c的值代入中，得顶点坐标为。
《公式法求顶点坐标》学生用
（ 4）
1 2 y x 4x 3 2
4 0.5 3 (4) y小 5 4 0.5
2
解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上
4 x对 4 2 0 .5
顶点坐标：（4 , - 5）
对称轴： x 对 4
当 x 4时， y最小值＝ -5
4 3 0 2 1 y小 43 3
《公式法求顶点坐标》步骤:
1、从二次函数一般式中找出a b c的值； 2、把a b c的值代入顶点坐标公式；
1 1 顶点坐标为 , 3 3
1 1 当x 时，y最小值＝3 3
1 对称轴x 3
x对
b 2a
对称轴x 1
当x 1时，y最大值＝ 1
（ 3）
y 2 x 8x 8
2
2
解: a = －2 < 0抛物线开口向下
4 （ 2） （ 8） 8 8 x对 2 y大 0 2 (2) 4 （ 2）
顶点坐标为 2, 0
对称轴x 2
4ac b y大（小） 4a
2
3、按题的要求写出结果。 注意：a>0有小值；a<0有大值。
（ 2）
y x 2x
2
解: a = －1 < 0抛物线开口向下
2 x对 1 2 (1)
4 （ 1 ） 0 （ 2） y大 1 4 （ 1 ）
2
顶点坐标为 1,1
注意：一般式化成顶点式的步骤。 二次函数的一般式：y＝ax2 +bx+c化成顶点式：y=a(x-h)2 +k
三、用配方法:求二次函数y＝－2x2－4x＋1 的对称轴、顶点坐标、大（小）值．
抛物线的基本几何特征
• 抛物线 y = ax + c的几何特征： 的几何特征：
2
• 抛物线的开口方向
a ， 物 的 口 上 当 > 0时 抛 线 开 向 a 抛 线 开口 下 向 当 < 0时， 物 的
• 抛物线的顶点（0，c），对称轴 x=0 抛物线的顶点（0，c）， ），对称轴 • 若a＞0，当x＜0时，函数 随x的增大而减小， 的增大而减小， ＞ ， ＜ 时 函数y随 的增大而减小 的增大而增大； 当x ＞0时，函数 随x的增大而增大； 时 函数y随 的增大而增大 • 若a ＜ 0，当x＜0时，函数 随x的增大而增大， 的增大而增大， ， ＜ 时 函数y随 的增大而增大 当x ＞0时，函数 随x的增大而减小 时 函数y随 的增大而减小
二次函数的解析式 k2 +k−4 1.已知函数 y = (k − 2)x 是关于x的二次函 已知函数 +1 是关于 的二次函 数，求k的值并写出函数的解析式（用定义） 的值并写出函数的解析式 用定义） 2.用一根长为 的木条，做成一个小长方形 用一根长为8m的木条 用一根长为 的木条， 的窗框。若宽为x ，窗户面积为y 的窗框。若宽为 m，窗户面积为 m2，求 y与x的函数解析式 （列方程法） 与 的函数解析式 列方程法） 3.已知抛物线的顶点为（3，4），与y轴的交 已知抛物线的顶点为（ ， ）， ），与 轴的交 已知抛物线的顶点为 点为（ ， ）求抛物线的解析式. 点为（0，1）求抛物线的解析式
• 若a＞0，当x=0时，函数 有最小值 ；若a 有最小值c； ＞ ， 时 函数y有最小值 有最大值c. ＜0, 当x=0时，函数 有最大值 时 函数y有最大值 • 它的图像是由抛物线 y = ax2 向 上 （c＞0） ＞ ） 个单位； 平移 c 个单位；或者向 下 （c＜0）平移 ＜ ） 而得到. 个单位 │c│ 而得到
关于抛物线知识点总结
关于抛物线知识点总结平面内，到定点与定直线的间隔相等的点的轨迹叫做抛物线。
下面导师为大家带来的是初中数学知识点归纳之抛物线。
以下是“抛物线知识点总结”希望能够帮助的到您！y = ax^2 + bx + c (a≠0)就是y等于a乘以x 的平方加上 b乘以x再加上 c置于平面直角坐标系中a > 0时开口向上a < 0时开口向下(a=0时为一元一次函数)c>0时函数图像与y轴正方向相交c< 0时函数图像与y轴负方向相交c = 0时抛物线经过原点b = 0时抛物线对称轴为y轴(当然a=0且b≠0时该函数为一次函数)还有顶点公式y = a(x+h)* 2+ k ,(h,k)=(-b/(2a),(4ac-b^2)/(4a))就是y等于a乘以(x+h)的平方+k-h是顶点坐标的xk是顶点坐标的y一般用于求最大值与最小值和对称轴抛物线标准方程：y^2=2px (p>0)它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py大家看过初中数学知识点归纳之抛物线，要知道其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。
接下来还有更多更全的初中数学知识点大全等着大家来记忆呢。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。
高考数学复习 知识讲解_抛物线的方程与性质_基础
高考数学复习 抛物线的方程与性质 编稿：张希勇 责编：李霞【学习目标】1．掌握抛物线的定义 、几何图形和标准方程.2．理解抛物线的简单性质（范围、对称性、顶点、离心率）. 3．能用抛物线的方程与性质解决与抛物线有关的简单问题. 4. 进一步体会数形结合的思想方法. 【要点梳理】要点一、抛物线的定义定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．要点二、抛物线的标准方程 标准方程的推导如图，以过F 且垂直于 l 的直线为x 轴,垂足为K.以F,K 的中点O 为坐标原点建立直角坐标系xoy. 设|KF|=p(p ＞0)，那么焦点F 的坐标为(,0)2p ，准线l 的方程为2p x =-. 设点M （x,y ）是抛物线上任意一点，点M 到l 的距离为d.由抛物线的定义，抛物线就是集合}|||{d MF M P ==..|2|)2(|,2|,)2(||2222p x y p x px d y p x MF +=+-∴+=+-=将上式两边平方并化简，得22(0)y px p =>. ①方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，坐标是(,0)2p它的准线方程是2p x =-. 抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式22y px =，22y px =-，22x py =，22x py =-(0)p >。
要点诠释：①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线220x y =-的一次项为20y -，故其焦点在y 轴上，且开口向负方向（向下）③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线220x y =-的一次项20y -的系数为20-，故其焦点坐标是(0,5)-。
抛物线知识点总结及例题讲解
当 a0 时，对称轴左边 y 随 x 的增大而减小，对称轴右边 y 随 x 的增大而增大，当 a0 时，
情况相反. ② ③ ④ 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点. 只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同. 一元二次方程 ax bx c 0 （a≠0）的根，就是抛物线 y ax bx c 与 x 轴 交点的
2 2 2
.
5.二次函数 y ax c （c 不为零） ，当 x 取 x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则 x1 与 x2 的关系 是 .
2
6.抛物线 y ax bx c 当 b=0 时，对称轴是 侧，当 a，b 异号时，对称轴在 y 轴 7.抛物线 y 2( x 1) 3 开口
B. ,0
1 2
C.（-1，5）
D.（3，4）
5
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17.直线 y A.0 个
5 1 x 2 与抛物线 y x 2 x 的交点个数是（ 2 2
B.1 个
2
）
C.2 个
D.互相重合的两个 ）
18.关于抛物线 y ax bx c （a≠0） ，下面几点结论中，正确的有（ ①
2
b 2 4ac b 2 ， ) 2a 4a
∴顶点是 (
b 4ac b 2 b , ) ，对称轴是直线 x . 2a 4a 2a
2
（2） 配方法： 运用配方的方法， 将抛物线的解析式化为 y a( x h) k 的形式， 得到顶点为 (h, k ) ， 对称轴是直线 .
y
b ＜1 2a ∴ 2a b ＞0
-1
O
下册第二章第7课用公式法解决y=ax2+bx+c的相关问题-北师大版九年级数学全一册课件
=-1.
把A，B两点坐标代入，得b=3，3k+b=0，解得b=3， 用公式法求抛物线y=3x2+5x-7的对称轴及顶点坐标.
（例3）下列是抛物线y=-2x2-3x+1的大致图象是 用公式法求抛物线y=x2+x+1的顶点坐标.
把x=-1和m=4代入y=x2+（m-2）x，得y=-1.
已知二次函数y=2x2-8x+9.
解：y＝x2-6x+5=（x-3）2-4，由抛物线y＝x2先 向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位 长度得到.
二级能力提升练
13. 当m= -2 时，抛物线y=（m-1）
+9的开
口向下，对称轴是 y轴（或直线x=0） .在对
称轴左侧，y随x的增大而 增大 ；在对称轴
右侧，y随x的增大而 减小 .
重难易错
9. 已知二次函数y= x2-3x+c经过点（2，y1），（-1，
y2），（
，y3），则对应的函数值y1，y2，y3的
大小关系是（ D ）
A. y1>y2>y3 C. y2>y3>y1
B. y3>y2>y1 D. y2>y1>y3
10. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示， 给出下列结论：①abc>0；②2a+b<0；③4a2b+c<0；④a+b+2c>0，其中正确结论的个数是
（例4）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
1 2 （3）对于二次函数y=a（x-h）2+k，当x取哪些值时，y的值随x的值增大而减小？
22二次函数知识点
二次函数知识点一、定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二、二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a 的性质（1）①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.③｜a ｜越大，开口越小。
（2）顶点是），（ab ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-= （3）①当0>a 时，在对称轴左边，y 随x 的增大而减小；在在对称轴右边，y 随x 的增大而增大；②当0<a 时，在对称轴左边，y 随x 的增大而增大；在在对称轴右边，y 随x 的增大而减小。
（4） y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0,c )三、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：c bx ax y ++=2，顶点是），（ab ac a b 4422--，对称轴是直线ab x 2-=. （2）配方法：()k h x a y +-=2的顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.四、抛物线的平移方法1：计算机两条抛物线的顶点，由顶点判定平移情况方法2：将函数换成顶点式．．．，用口决“（x ）左加右减，上加下减”五、用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. (4)一般式与顶点式的变换六，几种特殊的二次函数的图像特征如下：k ax y +=2 开口向上 当0<a 时开口向下0=x （y 轴） (0, k ) ()2h x a y -=h x = (h ,0) ()k h x a y +-=2h x =(h ,k )c bx ax y ++=2ab x 2-=(ab ac a b 4422--，)七、(2c bx ax y ++=)0≠a 与一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的关系八、二次函数与符号c b a 、、的关系ac b 42-=∆∆>0∆＝0∆<002=++c bx ax)0(≠a方程有两个不相等的实数根x x 21，方程有两个相等的实数根x x 21=方程没有实数根cbx ax y ++=2)0(≠a抛物物与x 轴有两个交点），（，0)0(21x x B A抛物物与x 轴只有一个交点)0(1，x抛物物与x 轴没有交点⑴a 决定抛物线的开口方向和大小当a ＞0时，抛物线向上开口； 当a ＜0时，抛物线向下开口。
第2课时《公式法求顶点坐标》
1 1
3 2
1 配方：加上 一次项系数一半平方 2) 减去一次项系数一半平方；
整理：中括号里前部分写成完全 平方，后部分是一个常数；
y＝－2〖(x+1)2y＝－2(x+1)2+ 3
〗
化成：去掉中括号化成了二的函数的顶点式。
x对 1
y大 3
顶点坐标（-1，3）
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c图象和性质
知识回顾：
一、抛物线（顶点式）y=a(x-h)2+k图象的性质:
抛物线（顶点式） 系数 开口 a﹥0 向上 a﹤0 向下 对称轴 X对=h X对=h 顶点坐标
y=a(x-h)2+k
（h，k）
（h，k）
二、填空（顶点式：y=a(x-h)2+k）:
二次函数 y=2(x+3)2+5 y = -3x(x-1)2 -2 y = 4(x-3)2 +7 y = -5(x-2)2 - 6 开口方向 向上 向下 向上 向下 对称轴 直线x=-3 直线x=1 直线x=3 直线x=2 顶点坐标 ( -3, 5 ) ( 1 , -2 )( 3 , 7) ( 2 , -6
2
2
求：二次函数y=ax² +bx+c的对称轴和顶点坐标？
配方:
提取：各项提取二次项系数；
2
2 b b b c a x x a 2 a 2 a a 2 b 4ac b 2 整理：中括号里前部分写 a x 2 成完全平方，后部 2 a 4 a 这个结果通常 分是一个常数；
4 （ 2） （ 8） 8 8 x对 2 y大 0 2 (2) 4 （ 2）
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抛物线顶点坐标的求法（公式法）
1、二次函数表达式的“一般形式”为； 李丹与王涓（2019届bobo ）
2、二次函数表达式的“配方形式”为；
一、怎样由“公式法”来求抛物线的顶点坐标
1、先把“一般形式”的二次函数c bx ax y
2++=（0a ≠）转化成“配方形式”为，再依据由“配方
式”看顶点坐标的方法，可知其顶点坐标
为，我们把这个“坐标结论”称为二次函数的“顶点坐标公式”； ①、求二次函数35x 2x y
2+=－的顶点坐标以及最值？
解：由顶点坐标公式得：==2a
b
x －
顶横
； ==4a
b 4a
c y 2－顶纵
；
∴ 顶点坐标为；
又∵ 抛物线开口向，有最点，∴ y 有最值； 即：当=x 时，=；
②、求二次函数3112x 2x y
2－－+=的顶点坐标，并对函数的增减性作出描述？
解：由顶点坐标公式得：==2a
b
x －
顶横； 把=顶横
x 代入函数表达式得：=顶纵y
=； ∴ 顶点坐标为；
又∵ 抛物线开口向，所以，
在对称轴的左侧，即当自变量x 时，y 的值随x 的增大而； 在对称轴的右侧，即当自变量x 时，y 的值随x 的增大而；
③、求二次函数3112x 2x y
2－－+=的顶点坐标、并在当4＜5x ≤时，求函数y 的最值？
解：由顶点坐标公式得：==2a
b
x －
顶横； ∴ 可设抛物线的表达式为：(
)()k x
y
2+=，易求=k ；
∴ 原表达式化为配方式为，则顶点坐标为； 又=顶横
x ，不在“4＜5x ≤”的范围内，∴ 函数y 的最值“不在”顶点处取，
由图形可知，当=x
时，=min y ；
变式：如果把“4＜5x
≤”改为“5x 4≤≤”
，问y 有最大值吗？答：； 点评：第①题是严格运用“顶点坐标”公式，分别求顶横x 和顶纵y （不妨命名为：全求分别法）； 第②题是先求顶横x ，然后代入函数表达式，再求出顶纵y （不妨命名为：半求代入法）； 第③题是先求顶横x ，然后“拼凑”出配方式，再求出k y =顶纵
（不妨命名为：半求拼凑法）；
以上“三种”方法，请根据实际情况灵活选择，以便于计算作为“选择依据”！！！
二、怎样由“交点式”来求抛物线的顶点坐标
1、基本事实依据：什么叫抛物线的对称轴？
答：第一种说法，经过抛物线的顶点，且垂直于轴的直线，叫做抛物线的对称轴； 第二种说法，抛物线上任意一对“对称点”连线的线，叫做抛物线的对称轴； 2、二次函数的表达式的“交点形式”为()()21x x x x a y
－－=（0a ≠）.
其中，“a 值”与“一般形式”c bx ax y 2++=（0a ≠）中“a 值”的相等，而“1x 、2x ”
分别代表抛物线c bx ax y 2++=（0a ≠）与x 轴的交点横坐标，即是说“1x 、2x ”是一元二次方
程0c bx ax
2
=++（0a ≠）的二根，所以抛物线的“交点形式”，也可称“二根形式”。
3、重要思路⇒：如果抛物线c bx ax y 2++=（0a ≠）与x 轴有两个交点，分别为A （1x ，0）、
B （
2x ，0），那么线段
AB 的“垂直平分线”必为抛物线的，这条对称轴的表达式为：直线
顶横也x 2
x x x 2
1=+=
（关于这一结论，可以通过举例，来加以理解！）。
知道了顶横x ，就可以根据表达式()()21x x x x a y
－－=，利用“半求代入法”，求出“顶纵y ”，
岂不快哉！如此一来，也能“又快、有准”地写出“配方形式”()k h x a y
2
++=，岂不美哉！
①、求二次函数()()6x 1x 3y +=－的顶点坐标以及最值，并把解析式化为配方式.
解： 联立 得：()()06x 1x 3
=+－，解得：=1x ，=2x ；
∴ 抛物线的对称轴为：直线=x =；
把=顶横
x 代入()()6x 1x 3y +=－，得=顶纵y =；
∴ 顶点坐标为，∴当=x
时，=；
则抛物线的配方形式为；
()()⎩⎨
⎧=+=0
y x 6x 1x 3y 轴：－
抛物线：
②、求抛物线16x 9x y 2－－+=的顶点坐标，并在x 1≤－＜4的范围内，求函数y 的最值？
③、某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x (元)满足关系：2x 140m －=，
(1)、写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件的销售价x 间的函数关系式；
(2)、如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
4、提出问题⇒：如果抛物线c bx ax y 2++=（0a ≠）与x 轴“没有交点”，那么怎样由“交点式”
来求抛物线的顶点坐标呢？
思路：假设抛物线与平行于x 轴的“某条直线”：如m y =有两个交点，
则联立 得：m c bx ax
2
=++，即：0m c bx ax 2=++－，设此方程的二根为1x 、2x ，
由韦达定理可知：a
b
a b x x 21
－原始原始－
==+，
而点A （1x ，m ）、点B （2x ，m ）必然是抛物线上的一对“对称点”，
⎩⎨
⎧=++=m
y x c bx ax y 2轴：抛物线：
∴ 对称轴为：直线顶横也－x 2a
b
2x x x 21==+=
然后把2a
b
x －
顶横
=代入抛物线表达式c bx ax y
2
++=可得：4a
b 4a
c y 2－顶纵
=
∴ 抛物线的顶点坐标为；
启示：无论抛物线与x 轴是否有公共点，其顶点横标，即对称轴直线“永远”为：2a
b
x －
顶横=，
再借“三法之一”就可求出顶点的纵坐标！！！
三、应用练习
1、函数7x 3x y 2+=－－化为配方式为，可知顶点坐标为，
当=x
时，y 有最值为；
2、抛物线()()5x 3x y
+=－－先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得新抛物线的表达式
为，新抛物线的顶点坐标为；
3、已知点A （6－，1y ）、B （5－，2y ）、C （1－，3y ）
在抛物线()k ++=2
4x a y 上，且直线ax
y =经过第二、四象限，试比较1y 、2y 、3y 的大小关系（用“＜”来连接）； 4、抛物线()()3x 6x 3y
－－=的顶点坐标为，当自变量x 的取值范围满足：x 2≤＜5时，函数y 的取
值范围满足：； 5、已知抛物线c bx ax y
2++=的对称轴是直线2x －=，函数y 的取值范围是9y －≥，则抛物线
的开口向，若抛物线与y 轴的交点坐标是（0，3），则抛物线的表达式为，它与x 轴的两个交点的坐标为； 6、已知抛物线c bx ax y
2++=与x x 2y 2+=的开口方向相反，开口大小程度一样，且它与直线
3y =的两个交点的横坐标分别为15和－－，则抛物线的表达式为，它与x 轴的两个交点的距离为；
7、如图，△ABC 中，∠B=90°，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 开始,沿AB 边向点B 以每秒1cm 的速度移动，点Q 从点B 开始，沿着BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动，如果P 、Q 同时出发，问经过几秒钟△PBQ 的面积最大？最大面积是多少？
B
Q
C
P
A。