抛物线顶点坐标的求法配方法

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26.1配方法及顶点式

b 它的对称轴是直线: x . 2a
b 4ac b2 它的顶点是 2a , 4a .
?
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 1.y 2x2 12x 13; 2.y 5x2 80x 319;
1 3.y 2 x x 2;4.y 32x 12 x. 2
独立作业
2 1 a , b 6, c 21. 2 -(-6) -b 6 x 1 2 2a 2 1 2 2 4 21 (-6) 4ac - b y 2 4a 1 4 2
1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标. 3 .y 1 x 2 6x 21;
2 2 2 2
y ax bx c 例.求次函数 c y=ax² +bx+c的对 2 b 称轴和顶点坐标． a x a x a
2
一般地,对于二次函数y=ax² +bx+c,我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.
提取二次项系数
2
1.配方:
老师提示:
这个结果通常称为求顶点坐标公式.
y 3x2 6x 5 怎样直接作出 2 3 x 2x 5 函数y=3x2-6x+5
的图象? 1.配方:
老师提示:

2 3 x 1 3 5
配方后的表达式通常称为配方式或顶点式
3x 1 2
2
化简:去掉中括号,后两项合并同类项
b 4ac b a x . 2a 4a
化简:去掉中括号

2
配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方

二次函数之配方法求顶点式以及与一元二次方程的关系

§6.2二次函数的图像与性质⑸【课前自习】1. 根据y2 2.抛物线y ＝2(x ＋2)2＋1的开口向，对称轴是；顶点坐标是，说明当x ＝时，y 有最值是；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 3.抛物线y ＝－2(x －2)2－1的开口向，对称轴是；顶点坐标是，说明当x ＝时，y 有最值是；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 4.抛物线y ＝－12(x ＋1)2－3与抛物线关于x 轴成轴对称；抛物线y ＝－12(x ＋1)2－3 与抛物线关于y 轴成轴对称；抛物线y ＝－12(x ＋1)2－3与抛物线关于原点对称.5. y ＝a (x ＋m )2＋n 被我们称为二次函数的式.一、探索归纳：1.问题：你能直接说出函数y ＝x 2＋2x ＋2 的图像的对称轴和顶点坐标吗？ .2.你有办法解决问题①吗？y ＝x 2＋2x ＋2的对称轴是，顶点坐标是 .3.像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用的方法转化为式，从而直接得到它的图像性质.练习1.用配方法把下列二次函数化成顶点式：①y ＝x 2－2x －2 ②y ＝x 2＋3x ＋2 ③y ＝2x 2＋2x ＋2④y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)4.归纳：二次函数的一般形式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)可以被整理成顶点式：，说明它的对称轴是，顶点坐标公式是 .练习2.用公式法把下列二次函数化成顶点式：①y ＝2x 2－3x ＋4 ②y ＝－3x 2＋x ＋2 ③y ＝－x 2－2x二、典型例题：例1、用描点法画出y ＝12x 2＋2x －1的图像.⑴用法求顶点坐标：⑶在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：⑷观察图像，该抛物线与y 轴交与点，与x 轴有个交点.例2、已知抛物线y ＝x 2－4x ＋c 的顶点A 在直线y ＝－4x －1上，求抛物线的顶点坐标.【课堂检测】1.用配方法把下列二次函数化成顶点式：①y ＝x 2－3x －1 ②y ＝x 2＋4x ＋22.用公式法把下列二次函数化成顶点式：①y ＝－2x 2＋3x －4 ②y ＝12x 2－x ＋23.用描点法画出y ＝x 2＋2x －3的图像. ⑴用法求顶点坐标：⑵列表：⑶在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：①抛物线与y 轴交点坐标是；②抛物线与x 轴交点坐标是； ③当x ＝时，y ＝0； ④它的对称轴是；⑤当x 时，y 随x 的增大而减小.【课外作业】1. 抛物线y ＝3x 2＋2x 的图像开口向，顶点坐标是，说明当x ＝时， y 有最值是 .2. 函数y ＝－2x 2＋8x ＋8的对称轴是，当x 时，y 随x 的增大而增大.3. 用描点法画出y ＝－12x 2－x ＋32的图像.⑴用法求顶点坐标：⑵列表：⑶在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：①抛物线与y轴交点坐标是；抛物线与x轴交点坐标是；②当x＝时，y＝0；③它的对称轴是；④当x时，y随x的增大而减小.§6.3二次函数与一元二次方程一、知识准备在同一坐标系中画出二次函数y＝x2－2x－3，y＝x2－6x＋9，y＝x2－2x＋3的图象并回答下列问题：⑴说出每个图象与x轴的交点坐标？⑵分析二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的坐标，与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根有什么关系?【归纳】〖例题解析〗例1．已知二次函数y＝kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为．〖当堂练习一〗1.不画图象，你能求出函数y＝x2＋x－6的图象与x轴的交点坐标吗？2.判断下列函数的图象与x轴是否有交点，并说明理由.（1）y＝x2－x（2）y＝－x2＋6x－9（3）y＝3x2＋6x＋113.抛物线y＝2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m＝．例2．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（－3，0），对称轴为x＝－1，顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线表达式．〖当堂练习二〗4.抛物线y ＝3x 2＋5x 与两坐标轴交点的个数为（）A ．3个B ．2个C ．1个D ．无5.如图，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2，点A 、B 均在抛物线上，且AB与x 轴平行，其中点A 的坐标为(0，3)，则点B 的坐标为（） A ．(2，3) B ．(3，2) C ．(3，3) D ．(4，3)6.二次函数y ＝kx 2＋3x －4的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围．7.抛物线y ＝x 2－2x －8的顶点坐标是________，与x 轴的交点坐标是________. 8.已知抛物线y ＝mx 2＋(3－2m )x ＋m －2(m ≠0)与x 轴有两个不同的交点．（1）求m 的取值范围；（2）判断点P (1，1)是否在抛物线上；【课后延伸】①已知函数y ＝(k －3)x 2＋2x ＋1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 .②已知抛物线y ＝12x 2＋x ＋c 与x 轴没有交点．求c 的取值范围 .③已知函数y ＝mx 2－6x ＋1（m 是常数）．⑴求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值．④若二次函数y ＝－x 2＋2x ＋k 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋k ＝0的一个解x 1＝3，另一个解x 2＝．⑤二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根．x 1＝ _________ ，x 2＝ _________ ；（2）写出不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集． _________ ；（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围． _________ ；（4）若方程ax 2＋bx ＋c ＝k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围． _________ ． ⑥阅读材料，解答问题．例．用图象法解一元二次不等式：x 2－2x －3＞0．解：设y ＝x 2－2x －3，则y 是x 的二次函数．∵a ＝1＞0，∴抛物线开口向上．又∵当y ＝0时，x 2－2x －3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3．∴由此得抛物线y ＝x 2－2x －3的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当x ＜－1或x ＞3时，y ＞0．∴x 2－2x －3＞0的解集是：x ＜－1或x ＞3．（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x 2－2x －3＜0的解集是 _________ ；（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x 2－5x +6＜0．（画出大致图象）．⑦如图是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的一部分，对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为B (3，0)，则由图象可知，不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是 _________ ．⑧已知平面直角坐标系xOy ，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 过点A (4,0)、B (1,3) . （1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P (m ,n )在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值.。

《抛物线》复习课件

由于抛物线的定义域和值域与开口方向和位置有关，学生容易忽略这一
点而导致错误。因此，在解题时需要特别注意定义域和值域的限制。
03
错误理解抛物线的对称性和平移性质
学生可能对抛物线的对称性和平移性质理解不深刻，导致在解题时出错。
为了避免这种错误，需要加强对这些性质的理解和练习。
下一步学习计划和目标
深入学习抛物线的性质和应用
05
CATALOGUE
典型例题解析与思路拓展
求抛物线方程或参数值问题
已知抛物线顶点、焦点或准线，求抛物线方程
通过顶点式、焦点式或准线式，代入已知条件求解。
已知抛物线上两点坐标，求抛物线方程
利用两点式或中点式，结合抛物线性质求解。
已知抛物线方程和参数，求参数值
将方程化为标准形式，通过比较系数或利用抛物线性质求解参数。
物理学中的抛ห้องสมุดไป่ตู้线运动
抛体运动
在重力作用下，物体被抛出后沿着抛物线路径进行运动，如炮弹的飞行轨迹、篮球的投篮轨迹等。
斜抛运动
物体以一定角度抛出后，在重力和初速度的共同作用下沿着抛物线路径进行运动，如足球的远射、排球的扣球等。
平抛运动
物体以水平初速度抛出后，在重力的作用下沿着抛物线路径进行运动，如飞镖的飞行、羽毛球的扣杀等。
抛物线的图像和性质抛物线的图像是一个对称的U形曲线，具有顶点、对称轴、开口方向等性质。这些性质对于理解和分析抛物线问题非常重要。
易错难点剖析指导
01
混淆抛物线的四种标准方程
学生容易混淆不同开口方向和位置的抛物线的标准方程。为了避免这种
错误，需要仔细区分每种方程的特点和适用条件。
02
忽略抛物线的定义域和值域

二次函数知识要点

二次函数要点姓名：一．以下说明什么？1．抛物线过原点2．抛物线对称轴为y轴3．抛物线顶点在x轴上4．抛物线顶点在原点5．抛物线顶点在y轴上6。

抛物线与x轴交点的横坐标为x1，x2，则对称轴为，抛物线过（4，6），（2，6）两点，则说明抛物线对称轴为。

7．当x为何值时函数y有最大值或最小值8．说出y=ax2，y=ax2+c，y=a（x+m）2，y=a（x+m）2+k的顶点坐标，以上几种形式都可称为式9．求二次函数的最值就是求。

10。

函数y=ax2+bx+c的最小值是-1，说明什么？11．如何判断抛物线与x轴的交点的个数？如何求其坐标？12．如何判断函数与函数的交点个数？如何求其坐标？13．要使抛物线进行左、右平移必须在什么形式下进行？例把y=x2+4x向左平移2个单位把抛物线进行上、下平移必须在什么形式下进行？14．把抛物线的旋转1800，必须在式下，改变的值即可。

例把y=4x2+3和y=4x2+8x旋转1800得解析式为。

15．求抛物线的顶点坐标有几种方法，各为何法？16．求抛物线顶点的公式为。

17．函数有最大值或最小值由谁决定，何时有最大值，最小值？18．二次项系数a决定函数图象的，|a|越大，图象开口。

19．求抛物线与x轴两个交点间的距离如何求？例。

分别求二次函数（1）y=x2+4x-3 （2）y=x2+（a-2）x-2a20．如何求抛物线与y轴的交点坐标？21．二次函数对称轴只与哪些系数有关？例求二次函数y=2x2-4x-c的对称轴22．在二次函数中，何时出现一元二次方程，什么情况下提及△例抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点个数为。

23．函数y =ax2+bx+c y恒大于0，必须具备什么条件。

y恒小于0必须具备什么条件。

y恒大于等于0或恒小于等于0呢？24．抛物线与y轴交于正半轴，则c 0，交于负半轴则c 0。

二、二次函数必须掌握的题型及步骤（一）二次函数与坐标轴交点的求法1．求二次函数与x轴的交点坐标步骤：令y=0，求ax2+bx+c=0的两根x1、x2，则x1、x2即为二次函数与x轴的交点的横坐标2．求二次函数与y轴的交点坐标步骤：把x=0代入y=ax2+bx+c中，求得y 即为交点的纵坐标例抛物线y=2（x-1）2与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标。

人教版九年级上数学-二次函数一般式化顶点式题目方法及练习题

二次函数一般式2y ax bx c =++化成()2y a x h k =-+的形式一．基础知识:1.（1）完全平方公式:222a ab b ±+=()2a ±—— （2）()226_____x x x ++=+ （3）()223______x x x -+=- （4）()222____x x x ++=+ （5）()224____x x x -+=-二、基础知识练习1.类型一:1,a b ==偶数例1.用配方法将抛物线261y x x =-+-化成顶点式,并写出开口方向、顶点坐标、对称轴。

举一反三:用配方法将抛物线281y x x =-+化成()2y a x h k =-+的形式,并写出开口方向、顶点坐标、对称轴。

类型二:1,a b ==奇数例2.求抛物线21y x x =++的顶点坐标。

举一反三:求抛物线232y x x =-+的顶点坐标。

类型三:1a ≠例3.求二次函数221210y x x =-+-的最大值举一反三:求二次函数23123y x x =--的最小值。

例4.求抛物线21232y x x =--+的顶点坐标。

举一反三:求抛物线23+12y x x =-+的顶点坐标。

三、过关练习:1.求抛物线243y x x =--的顶点坐标2.将抛物线22y x x =-化成()2y a x h k =-+的形式为（） A.()211y x =-+ B. ()211y x =-- C. ()214y x =++ D.()214y x =--3.已知抛物线228y x x =+。

（1）化成顶点式为_________(2)顶点坐标为_________(3)当x ________时,y 的最_______值__________;(4)当x________时,y 随x 的增大而增大。

4.二次函数2112y x x =---的图像可由抛物线212y x =-怎样平移得到？5.抛物线222y x x =-++。

抛物线顶点坐标求解常见方法总结

抛物线顶点坐标求解常见方法总结一、背景介绍抛物线是一个常见的数学模型，它具有顶点，该顶点表示抛物线的最高或最低点。

求解抛物线的顶点坐标是解题过程中的关键步骤之一。

本文总结了常见的抛物线顶点坐标求解方法。

二、常见方法1. 平方配方法：对于标准形式的抛物线方程y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，可以使用平方配方法求解顶点坐标。

顶点的x坐标为 -b/2a，将x坐标代入方程得到顶点的y坐标。

2. 完全平方公式：对于顶点坐标为(h, k)的抛物线，可以根据顶点坐标的性质使用完全平方公式求解。

抛物线方程可以表示为 y =a(x-h)^2 + k，其中a为常数。

通过观察平方项可以得到顶点的坐标。

3. 求导法：对于一般形式的抛物线方程 y = ax^2 + bx + c，可以求导得到一次函数，一次函数的斜率表示抛物线的切线斜率。

顶点的x坐标为导数为0的点，将x坐标代入方程得到顶点的y坐标。

4. 配方法：对于一般形式的抛物线方程 y = ax^2 + bx + c，可以使用配方法求解顶点坐标。

将ax^2 + bx分解为a(x^2 + b/a x)，再加上c，得到a(x^2 + b/a x + b^2/4a^2) + c - b^2/4a = a(x + b/2a)^2+ c - b^2/4a。

从中可以得到顶点的x坐标和y坐标。

三、应用场景抛物线顶点坐标的求解在数学、物理等领域具有广泛应用。

例如，在物体抛射运动的问题中，抛物线顶点坐标可以表示物体的最高点，求解可用于判断射程、飞行时间等。

在工程建模中，抛物线顶点坐标求解可以用于确定最佳曲线的设计。

四、总结本文介绍了常见的抛物线顶点坐标求解方法，包括平方配方法、完全平方公式、求导法和配方法。

这些方法可根据具体问题的形式选择合适的方法进行求解。

抛物线顶点坐标的求解在多个领域具有实际应用，可以帮助解决各种与抛物线相关的问题。

以上为“抛物线顶点坐标求解常见方法总结”的相关内容。

抛物线顶点坐标的求法(配方法)

求抛物线顶点坐标第一种方法（配方法）一、基础知识梳理1、二次函数的表达式的一般形式是，当0b=，且0c =时，表达式化为，这是形式最简单的二次函数表达式；2、通过列表、、可知任何二次函数的图像都是线，抛物线一定有最高点（或最低点），这个点就是抛物线的，抛物线是对称图形；3、任何函数图像，在最高点的“一瞬间”，函数取得最值，而这个值就是这个“最高点”的坐标中的（选填：横坐标，或纵坐标），而函数取得这个“最值”所对应的自变量的值，就是这个“最高点”的坐标中的（选填：横坐标，或纵坐标）。

4、任何函数图像，在最低点的“一瞬间”，函数取得最值，而这个值就是这个“最低点”的坐标中的（选填：横坐标，或纵坐标），而函数取得这个“最值”所对应的自变量的值，就是这个“最低点”的坐标中的（选填：横坐标，或纵坐标）。

5、二次函数2ax y =的图像形状是，它的顶点坐标是，它的对称轴恰好是轴，即直线。

6、关于二次函数的“最值问题”，需由顶点坐标，再结合开口方向，来回答。

对于二次函数2ax y =的图像，其顶点坐标为。

①、当a ＞0时，抛物线开口向，图像有最点，∴ 函数y 有最值，又∵ 其顶点坐标为，∴ 当自变量=x时，因变量（选填：m ax y 或min y ）=；②、当a ＜0时，抛物线开口向，图像有最点，∴ 函数y 有最值，又∵ 其顶点坐标为，∴ 当自变量=x 时，因变量（选填：m ax y 或min y ）=；7、关于二次函数的“增减性问题”，需分为对称轴的左右两侧，再结合开口方向，依据数形结合来回答。

对于二次函数2ax y =的图像，其对称轴为直线。

①、当a ＞0时，抛物线开口向，在对称轴的左侧，即当自变量x 时，因变量y 的值随x 的增大而；在对称轴的右侧，即当自变量x 时，因变量y 的值随x 的增大而；②、当a ＜0时，抛物线开口向，在对称轴的左侧，即当自变量x 时，因变量y 的值随x 的增大而；在对称轴的右侧，即当自变量x 时，因变量y 的值随x 的增大而；二、平移问题第一类：“点”的平移1、把A 点()32，先向上平移5个单位，再向左平移4个单位后，所得点B 坐标为； 2、把C 点()13－，－先向下平移5个单位，再向右平移4个单位后，所得点D 坐标为； 3、点E ()56－，－是由点F ()42，－先向（选填：左或右）平移个单位，再向（选填：上或下）平移个单位之后得到的；4、点G ()12－，是由点H ()43－，－先向（选填：上或下）平移个单位，再向（选填：左或右）平移个单位之后得到的；小结：对于“点”的平移，不讲口诀，自然思考即可！第二类：“解析式”的平移1、直线x 3y=向上平移6个单位后，所得新直线的表达式为； 2、直线x 3y=向下平移3个单位后，所得新直线的表达式为； 3、直线x 3y=向左平移2个单位后，所得新直线的表达式为； 4、直线x 3y =向右平移1个单位后，所得新直线的表达式为；5、抛物线2x 2y =向上平移6个单位后，所得新抛线的表达式为；6、抛物线2x 2y =向下平移3个单位后，所得新抛线的表达式为；7、抛物线2x 2y=向左平移2个单位后，所得新抛线的表达式为；8、抛物线2x 2y =向右平移1个单位后，所得新抛线的表达式为；小结：对于“解析式”的平移，善用口诀，上、下；左、右；三、对“抛物线平移过程，必然伴随顶点平移”的研究1、“旧”抛物线2x 3y－=，先向下平移2个单位，再向右平移4个单位后，所得“新”抛物线的表达式为；①、旧抛物线在平移的过程中，它的顶点也会作相应的平移吗？答：；②、旧抛物线的顶点P 的坐标为，当点P 先向下平移2个单位，再向右平移4个单位后，得到点Q 的坐标为，你觉得点Q 是新抛物线的顶点吗？答：；③、请观察新抛物线的表达式，与其顶点Q 的坐标，它们是有内在联系的！即：顶点的纵坐标，就是“配方形式”的表达式中“尾巴后面”的，而顶点的横坐标，则由“配方形式”的表达式中“括号里”的0=，求出x 的值，即为顶点的坐标。

抛物线知识点归纳总结

积
• 利用抛物线的对称性，简化体积计算过程
抛物线面积与体积问题的实际应用
抛物线面积与体积在几何问题中的应用
• 描述圆锥曲线、圆等几何图形的面积和体积问题
• 描述抛物线与椭圆、双曲线等二次曲线的面积和体积问题
抛物线面积与体积在物理问题中的应用
• 描述物体的抛物线运动轨迹的面积和体积问题
• 描述物体的抛物线形变问题的面积和体积问题
• 标准方程y = ax^2 + bx + c决定了抛物线图像的形状、
• 一般方程为Ax^2 + Bx + Cy + D = 0，其中A、B、C、
开口方向、顶点坐标等
D为常数，A≠0
• 根据抛物线图像的特征，可以反推出标准方程
• 一般方程可以转化为标准方程，进而确定抛物线图像
03
抛物线的方程求解与应用
kx
抛物线的切线绘制方法与技巧
抛物线的切线绘制方法
抛物线的切线绘制技巧
• 确定抛物线上需要绘制切线的点
• 利用抛物线的对称性，简化切线绘制过程
• 利用切线方程，计算切线的斜率和截距
• 结合图像，判断抛物线的形状和开口方向，辅助切线绘
• 绘制切线，使其通过指定点和切线方程
制
抛物线切线问题的实际应用
• 对抛物线方程进行化简，得到标准方程或一般方程
• 变形后的抛物线方程仍保持原有性质，但图像发生改变
• 化简后的抛物线方程便于求解和应用
04
抛物线的极值与最值问题
抛物线的极值点与最值点求解
抛物线的极值点
抛物线的最值点
• 抛物线在顶点处取得极值，即顶点为极值点
• 抛物线在顶点处取得最值，即顶点为最值点

《公式法求顶点坐标》学生用

当 x 2时， y最大值＝0
（ 4）
1 2 y x 4x 3 2
4 0.5 3 (4) y小 5 4 0.5
2
解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上
4 x对 4 2 0 .5
顶点坐标：（4 , - 5）
对称轴： x 对 4
当 x 4时， y最小值＝ -5
4 3 0 2 1 y小 43 3
《公式法求顶点坐标》步骤:
1、从二次函数一般式中找出a b c的值； 2、把a b c的值代入顶点坐标公式；
1 1 顶点坐标为 , 3 3
1 1 当x 时，y最小值＝3 3
1 对称轴x 3
x对
b 2a
对称轴x 1
当x 1时，y最大值＝ 1
（ 3）
y 2 x 8x 8
2
2
解: a = －2 < 0抛物线开口向下
4 （ 2）（ 8） 8 8 x对 2 y大 0 2 (2) 4 （ 2）
顶点坐标为 2, 0
对称轴x 2
4ac b y大（小） 4a
2
3、按题的要求写出结果。注意：a>0有小值；a<0有大值。
（ 2）
y x 2x
2
解: a = －1 < 0抛物线开口向下
2 x对 1 2 (1)
4 （ 1 ） 0 （ 2） y大 1 4 （ 1 ）
2
顶点坐标为 1,1
注意：一般式化成顶点式的步骤。二次函数的一般式：y＝ax2 +bx+c化成顶点式：y=a(x-h)2 +k
三、用配方法:求二次函数y＝－2x2－4x＋1 的对称轴、顶点坐标、大（小）值．

抛物线的解析式的三种形式

抛物线的解析式的三种形式抛物线的解析式有三种形式：①一般式：(a≠0）；②顶点式:，(h,k）是顶点坐标；③交点式：（a≠0）,其中x1，x2是方程的两个实根.在实际应用中，需要根据题目的条件选择相应的形式以简化计算。

利用待定系数法确定二次函数的解析式的步骤可以总结为五个字：设、列、求、定。

例1、已知二次函数图像顶点坐标为（－2,3），且过点(1，0)，求此二次函数的解析式.（试用两种不同的方法）分析：根据所给条件中有顶点坐标的特点,可以选用顶点式.解法一：设二次函数的解析式为：因为二次函数图像过点（1,0）所以所以所以函数解析式为.分析：根据所给条件中顶点坐标可知,抛物线的对称轴为x＝－2，利用抛物线的对称性,可求得点（1，0）关于对称轴x＝－2的对称点（－5，0)，可选用交点式。

解法二:设二次函数的解析式为：，因为二次函数图像过点（－2,3）所以所以函数解析式为。

点评:当题目条件中有顶点坐标时，选用顶点式；当条件中有两个与x轴的交点时，一般选用交点式。

但我们注意到，解法二是在知道抛物线与x轴的一个交点后，利用对称轴可从顶点坐标中得到,再利用抛物线的对称性获得另外一个与x轴的交点坐标，再利用交点式获得结果。

两种方法各有千秋，仔细体会必定会有所收获。

当然此题也可使用一般式,但不如这两种方法简单。

例2、已知二次函数，当x＝－1时有最小值－4,且图像在x轴上截得线段长为4，求函数解析式。

分析：当题目条件中点的条件不足三个时，要充分利用二次函数的对称性转化条件.在本题中由于所给条件能得到一个顶点坐标(－1，－4），另外一个条件是图像在x轴上截得的线段长,条件似乎不是特别充分。

仔细分析，有“当x＝－1时有最小值－4”就知道对称轴,再有“图像在x轴上截得线段长为4"，利用对称性可得图像与x轴的交点坐标为（－3，0）,（1，0），从而可利用交点式解决问题。

解：∵当x＝－1时有最小值－4，且图像在x轴上截得线段长为4∴函数图像与x轴交于（－3，0)，(1，0）两点.∴设二次函数的解析式为∵二次函数过（－1，－4）∴∴a＝1∴点评：本题当然还可直接使用顶点坐标公式转化为关于a，b，c的两个等式,再利用“图像在x轴上截得线段长为4”转化为，组合成一个关于a，b,c的方程组来解.不过这种方法计算量大一些。

二次函数考查重点与常见题型

二次函数考查重点与常见题型（复习）1．考查二次函数的定义、性质，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点，则m 的值是 2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像。

如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（） y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 xA B C D3．考查用待定系数法求二次函数的解析式。

如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

4．考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值。

已知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）与x 轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y 轴交点的纵坐标是－32（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。

【例题经典】例1 （1）二次函数2y ax bx c =++的图像如图1，则点),(ac b M 在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（2）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图2所示，•则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(1) (2) 例2.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于点(-2，O)、(x 1，0)，且1<x 1<2，与y 轴的正半轴的交点在点(O ，2)的下方．下列结论：①a<b<0；②2a+c>O；③4a+c<O；④2a -b+1>O ，其中正确结论的个数为( )A 1个 B. 2个 C. 3个 D ．4个例3.已知：关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( )A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D ．(3，2)例4、（2006年烟台市）如图（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB 与CD 重合．设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为y m 2．（1）写出y 与x 的关系式；（2）当x=2，3.5时，y 分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.例5、已知抛物线y=12x 2+x-52．（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，求线段AB 的长．例6.已知：二次函数y=ax 2-(b+1)x-3a 的图象经过点P(4，10)，交x 轴于)0,(1x A ，)0,(2x B 两点)(21x x <，交y 轴负半轴于C 点，且满足3AO=OB ．(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M ，使锐角∠MCO>∠A CO?若存在，请你求出M 点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由．例7、 “已知函数c bx x y ++=221的图象经过点A （c ，－2），求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。

抛物线知识点总结及例题讲解

当 a0 时，对称轴左边 y 随 x 的增大而减小，对称轴右边 y 随 x 的增大而增大，当 a0 时，
情况相反. ② ③ ④ 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点. 只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同. 一元二次方程 ax bx c 0 （a≠0）的根，就是抛物线 y ax bx c 与 x 轴交点的
2 2 2
.
5.二次函数 y ax c （c 不为零），当 x 取 x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则 x1 与 x2 的关系是 .
2
6.抛物线 y ax bx c 当 b=0 时，对称轴是侧，当 a，b 异号时，对称轴在 y 轴 7.抛物线 y 2( x 1) 3 开口
B. ,0
1 2

C.（-1，5）
D.（3，4）
5
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17.直线 y A.0 个
5 1 x 2 与抛物线 y x 2 x 的交点个数是（ 2 2
B.1 个
2
）
C.2 个
D.互相重合的两个）
18.关于抛物线 y ax bx c （a≠0），下面几点结论中，正确的有（ ①
2
b 2 4ac b 2 ， ) 2a 4a
∴顶点是 (
b 4ac b 2 b , ) ，对称轴是直线 x . 2a 4a 2a
2
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 y a( x h) k 的形式，得到顶点为 (h, k ) ，对称轴是直线 .
y
b ＜1 2a ∴ 2a b ＞0
-1
O

数学抛物线的基本知识点

数学抛物线的基本知识点
数学抛物线是一种基本的曲线，表示一种抛物状的运动形式，注重抛物线上物体的关系以及物体运动轨迹的变化规律，覆盖范围涉及二次函数，分析几何和思维分析的一种数学教学。

抛物线的一般公式为： y=ax2 + bx + c （其中a、b、c都是常数），根据不同的实际情况，抛物线可以分为凸函数和凹函数。

如果a为正，那么函数图像呈上凸形，其经典例子是空气炮球。

如果a为负，那么函数图像呈下凹形，其经典例子是铅球抛弹。

在解抛物线方程组时，一般都要用到求解二次方程的方法。

由于抛物线方程是一个特殊的二次形式，因此它的解很容易得到，即将y代入到方程，求出x的解即可，这称为求抛物线的原点，就是把二次方程组中的等式从求y变成求x的形式，有时我们也会用配方法解出抛物线的顶点。

抛物线的性质也是一个重要的方面，抛物线的性质有很多，如抛物线 on 是凹函数，则其性质是：其对称轴在直线y=b/2a上，抛物线如果是凹函数m抛物线，对称轴在k-抛物线( 即 a、b、c均为0）上，抛物线的函数图像比较特殊，其经典实例为椭圆，抛物线具有反凹性，抛物线前半段凹下，后半段凸向上，另外，抛物线的直线等价版路径长度为无穷大，抛物线的任意一点和上一点的长度相等。

在几何图形学中，抛物线被广泛应用于描述运动轨迹，可以用来模拟物体以抛物线形式运动，如生理学上的抛物线表示人体机械组织的变化规律；地质学上的抛物线可以描绘地震波的传播形状；还可以用来表示电磁学、热力学和力学等方面中的现象。

最后，还有一些其它的知识点可以关联到抛物线，如抛物线可以通过一个横线来折叠而成，形成双曲线，并且可以以抛物线的形式定义的三角恒等式。

另外，抛物线的表示方式还可以和有理方程联系起来，从而实现各方面的科学研究。

二次函数知识点总结及相关典型题目(教师用)

二次函数主讲：陈老师一、定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 例：已知关于x 的函数是常数c b a c bx ax y ,,(2++=）当a,b,c 满足什么条件时（1）是一次函数（2）是正比例函数（3）是二次函数二、二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a 的性质（1）①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点. ③｜a ｜越大，开口越小。

（2）顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线ab x 2-=（3）①当0>a 时，在对称轴左边，y 随x 的增大而减小；在在对称轴右边，y 随x 的增大而增大；②当0<a 时，在对称轴左边，y 随x 的增大而增大；在在对称轴右边，y 随x 的增大而减小。

（4） y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0,c )例：1、（2011四川重庆，7，4分）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( D )A ． a >0B ． b ＜0C ． c ＜0D ． a ＋b ＋c >0练习：1、（2011山东威海，7，3分）二次函数223y x x =--的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（ A ）． A ．－1＜x ＜3B ．x ＜－1C ． x ＞3D ．x ＜－1或x ＞32、（2010湖北孝感，12，3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac －b 2=4a ；④a+b+c ＜0.其中正确的个数是（ C ）yxO山东威海题图轴下方轴的交点在，抛物线与轴上方，轴的交点在，抛物线与x y c x y c 00<>A. 1B. 2C. 3D. 4三、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：c bx ax y ++=2，顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线ab x 2-=.（2）配方法：()k h x a y +-=2的顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.(3)利用交点式求对称轴及顶点：()()21x x x x a y --=，对称轴为221xx x +=例1、求下列各抛物线的顶点和对称轴：（1）532+-=x y x（2）72)1(2-=-x y （3）)9)(7(3+--=x x y例2、2011江苏淮安，14，3分）抛物线y=x 2-2x -3的顶点坐标是 .（1，－4）四、抛物线的平移方法1：计算机两条抛物线的顶点，由顶点判定平移情况方法2：将函数换成顶点式．．．，用口决“（x ）左加右减，上加下减” 例1、抛物线322++=x x y 经过怎样平移得到142+-=x x y 答案：向右平移3，再向下移5个单位得到；例2、（2011四川乐山5，3分）将抛物线2y x =-向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（A ） A ．2(2)y x =-+ B ．22y x =-+ C ．2(2)y x =-- D ．22y x =--例3、（ 2011重庆江津， 18，4分）将抛物线y=x 2－2x 向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_______.（y=(x-5)2+2 或 y=x 2-10x+27）练习：1、抛物线3222++=x x y 经过怎样平移得到1422+-=x x y2、抛物线322++=x x y 向左平移2个单位，再向上移3个单位得到c bx x y ++=2，求b 和c 。

配方法求顶点式

用配方法把二次函数化成顶点式
练习：写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点
y （3） 2x2 8x 8 解： y 2(x2 4x) 8
y 2(x2 4x 4 4) 8 y 2(x 2)2 8 8
y 2(x 2)2
答：开口向下、对称轴是直线 x 2 、顶点 (2，0)
用配方法把二次函数化成顶点式
练习：写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点
（1） y 1 x 2 4x 3 2
解： y 1 (x2 8x) 3 2
y 1 (x2 8x 16 16) 3 2
y 1 (x 4)2 8 3 2
y 1 (x 4)2 5 2
答：开口向上、对称轴是直线 x 4 、顶点 (4， 5)
对
比
课题：把二次函数化成顶点式
1、配方法 2、公式法
用配方法把二次函数化成顶点式
练习：写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点
（1） y 3x 2 2x
解： y 3(x 2 2 x)
y 3(x2 23x 1 1)
3 99
y 3(x 1)2 1
3
答：开口向上、对称轴是直线
请说出下列二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴：
① y 2x2
② y x2
③ y 2x2 3
复习回顾：
请说出下列二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴：
④ y 2x2 5
⑤ y x2 7
⑥ y x2 4
复习回顾：
请说出下列二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴：
3
x
1
3
、顶点 ( 1， 1) 33

抛物线的解析式的三种形式应用例析

抛物线的解析式的三种形式解题例析松江区立达中学庄士忠卢栋才 201600抛物线的解析式有三种形式：①一般式：（a≠0）；②顶点式：，（h，k）是顶点坐标；③交点式：（a≠0），其中x1，x2是方程的两个实根。

在具体解答中，需要根据题目的条件，直接或间接选择相应的形式以简化计算，一般利用待定系数法进行。

利用待定系数法确定二次函数的解析式的步骤可以总结为五个字：设、列、求、定。

例1、已知二次函数图像顶点坐标为（－2，3），且过点（1，0），求此二次函数的解析式。

（试用两种不同的方法）分析：根据所给条件中有顶点坐标的特点，可以选用顶点式。

解法一：设二次函数的解析式为：因为二次函数图像过点（1，0）所以所以所以函数解析式为。

分析：根据所给条件中顶点坐标可知，抛物线的对称轴为x＝－2，利用抛物线的对称性，可求得点（1，0）关于对称轴x＝－2的对称点（－5，0），可选用交点式。

解法二：设二次函数的解析式为：，因为二次函数图像过点（－2，3）所以所以函数解析式为。

点评：当题目条件中有顶点坐标时，选用顶点式；当条件中有两个与x轴的交点时，一般选用交点式。

但我们注意到，解法二是在知道抛物线与x轴的一个交点后，利用对称轴可从顶点坐标中得到，再利用抛物线的对称性获得另外一个与x轴的交点坐标，再利用交点式获得结果。

两种方法各有千秋，仔细体会必定会有所收获。

当然此题也可使用一般式，但不如这两种方法简单。

例2、已知二次函数，当x＝－1时有最小值－4，且图像在x轴上截得线段长为4，求函数解析式。

分析：当题目条件中点的条件不足三个时，要充分利用二次函数的对称性转化条件。

在本题中由于所给条件能得到一个顶点坐标（－1，－4），另外一个条件是图像在x轴上截得的线段长，条件似乎不是特别充分。

仔细分析，有“当x＝－1时有最小值－4”就知道对称轴，再有“图像在x轴上截得线段长为4”，利用对称性可得图像与x轴的交点坐标为（－3，0），（1，0），从而可利用交点式解决问题。

数学人教版九年级上册配方法求二次函数的对称轴、顶点坐标

授课人：李桂政
教学目标
1、能求出y=ax +bx+c的开口方向、对称轴、顶点坐标。 2 2、理解y=ax +bx+c的顶点坐标公式
2
新课导入
2 说出二次函数y=-3(x-1） +1
图象的开口方向，对称轴，顶点坐标。它是由y=-3x2怎样平移得到的？
知识讲解我们已经学习了二次函数 2 y=3x 的图象，如何通过平移二次 2 2 函数y=3x 得到二次函数y=3x 6x+5的图象呢？
课外作业
1、抛物线y=(x-1)2-3的对称轴是（ A、y轴 B、直线x=﹣1 C、直线x=1 D、直线x=﹣3 x-5的图象的对称轴为（）
C、x=2 D、x=-2
3、如果抛物线y=x2+(m-1)x-m+2的对称轴是y轴，那么m的值是_________ 4、已知抛物线y=x2﹣x﹣1 (1) 求抛物线y=x2﹣x﹣1的顶点坐标、对称轴； (2) 抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的交点为(m，0)，求代数式m2+1的值．
x2－6x＋21
= (x－6)2＋3
1 2 由此可知，抛物线y= x -6x+21的顶点是点（6，3），对称轴是直线x＝6 2
你能把函数y=ax²+bx+c通过配方法化成顶点式吗？
y=ax2+bx+c
b 2 =a(x + a a
x)+c x+(2 a
)2+
b b 2 2 ) -( ) ]+c 2a
2
b 2 =a[x +
=a(x+
b 2a
4 ac b 4a
2 4 ac b 所以抛物线的顶点式y =a(x+ b )2+ 4a 2a

抛物线的基本知识点

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