2020年考研数学(一)真题(1)

（2）证明随机变量Y 服从标准正态分布.
23. （本题满分 11 分）
设某种元件的使用寿命 T 的分布函数为
F t
1
e
t
m
,
0,
t 0, 其他.
其中 ， m 为参数且大于零.
（1）求概率 PT t与 PT S t T S，其中 S 0 ， t 0 .
（2）任取 n 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为 t1,t2,,tn ，若 m 已知，求
6.
已知直线 L1 :
x a2 a1
y
b2 b1
2 c2 c1
与直线 L2
:
x a3 a2
y b3 b2
2 c3 c2
相交于
ai
一点，法向量 ai
bi
，
i
1,2,3 .
则
ci
A. a1 可由 a2, a3 线性表示.
B. a2 可由 a1, a3 线性表示.
C. a3 可由 a1, a2 线性表示.
0
xy
1,11
.
a 0 1 1
13. 行列式 0
a
1 1
.
1 1 a 0
1 1 0 a
14. 设 x 顺从区间 , 上的均匀分布，Y sin X ，则 CovX ,Y
.
2 2
三、解答题：15~23 小题，共 94 分. 请将解答写在答题纸指定位置上. 解答写出文字说明、 证明过程或演算步骤.
n1
B. an xn 发散时， r R .
n1
B. r R 时， an xn 发散.
n1
D. r R 时， an xn 发散.
n1
5. 若矩阵 A 经初等列变换化成 B ，则（ ） A. 存在矩阵 P ，使得 PA B . C.存在矩阵 P ，使得 PB A.
B.存在矩阵 P ，使得 BP A. D. 方程组 Ax 0 与 Bx 0 同解.
15. （本题满分 10 分）
求函数 f x, y x3 8y3 xy 的最大值.
16. （本题满分 10 分）
计算曲线积分 I
L
4x 4x2
y y2
dx
பைடு நூலகம்x y 4x2 y
dy
，其中
L
是
x2
y
2
，方向为逆时针
方向. 17. （本题满分 10 分）
设数列an满足 a1
1x
1an
1
n
e
1 x
1
1
ln 1
x
.
10.
设
y
x t2 ln t
1 t2 1
，则 d 2 y dx2
t 1
.
11. 若函数 f x满足 f x af x f x 0a 0 ，且 f 0 m ， f 0 n ，则
f0 f xdx
.
12. 设函数 f
x, y
xy ext2 dt ，则 2 f
设函数 f x在区间 0,2上具有连续导数，f 0 f 2 0，M max f x，证明： x0, 2
（1）存在号 0,2，使得 f M ；（2）若对任意的 x 0,2 ，f x M ，则 M 0 .
20. （本题满分 11 分）
设二次型
f
x1,
x2
x12
4x1x2
4x22
经正交变换
（2）若 A2 A 6 0 ，求 P1AP ，并判断 A 是否相似于对角矩阵.
22. （本题满分 11 分）
设随机变量 X1, X 2, X3 相互独立，其中 X1 与 X 2 均服从标准正态分布， X 3 的概率分布
为 PX3
0
PX 3
1
1 2
，Y
X3X1
1
X3X2 .
（1）求二维随机变量 X1,Y 的分布函数，结果用标准正态分布函数 x 表示.
的最大似然估计值 .
1 2
an
，证明：当
x
1时幂级数
an xn
n1
收
敛，并求其和函数. 18. （本题满分 10 分）
设 为由面 Z : x2 y2 x2 y2 4 的下侧， f x是连续函数，计算
I xf xy 2 ydydz yf xy 2 y xdzdx 2 f xy 2dxdy .
19. （本题满分 10 分）
x1 x2
Q
y1 y2
化为二次型
gy1, y2 ay12 4 y1y2 by22 ，其中 a b .
（1）求 a ， b 的值；（2）求正交矩阵 Q .
21. （本题满分 11 分）
设 A 为 2 阶矩阵， P , A ，其中 是非零向量且不是 A 的特征向量.
（1）证明 P 为可逆矩阵；
B. lim
0 存在.
x, y 0,0
x2 y2
d x, y, f x, y
lim
0 存在.
C. x, y 0,0
x2 y2
d x, y, f x, y
D. lim
0.
x, y 0,0
x2 y2
4. 设 R 为幂级数 an xn 的收敛半径， r 是实数，则（ ）
n1
A. an xn 发散时， r R .
x0 x
D. 当 f x在 x 0 处可导时， lim f x 0 .
x x0
2
3.
设函数
f
x在点 0,0处可微，
f 0,0 0 ，n
f x
,
f y
,1
0,0
非零向量
d
与n
垂直，则（ ）
n x, y, f x, y
A. lim
0 存在.
x, y 0,0
x2 y2
n x, y, f x, y
1co s x
D.
sin t3dt
0
2. 设函数 f x在区间 1,1内有定义，且 lim f x 0 ，则（ ） x0
A. 当 lim f x 0 ， f x在 x 0 处可导.
x0 x
B. 当 lim f x 0 ， f x在 x 0 处可导.
x x0
2
C. 当 f x在 x 0 处可导时， lim f x 0 .
D. a1, a2, a3 线性无关.
7. 设 A ， B ， C 为三个随机事件，且 PA PB PC 1 ， PAB 0 ，
4
PAC PBC 1 ，则 A ， B ， C 中恰有一个事件发生的概率为
12
A. 3 . 4
B. 2 . 3
C. 1 . 2
D. 5 . 12
8.
设 x1, x2,, xn 为来自总体 X
的简单随机样本，其中 PX
0
PX
1
1 2
，
x表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得 P 100 Xi 55 的近似值为
i1
A. 1 1 .
B. 1 .
C.1 0,2.
D. 0,2.
二、填空题：9~14 小题，每小题 2 分，共 24 分.请将解答写在答题纸指定位置上.
9.
lim
x0
2020 年考研数学（一）真题
一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分. 下列每题给出的四个选项中，只有一 个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1. x 0 时，下列无穷小量中最高阶是（ ）
A. x et2 1 dt 0
B.
x
ln(1
t3 )dt
0
C. sinx sin t2dt 0