泛函分析在电气工程中的应用

泛函分析在电气工程中的应用

薛平 11S106023

摘要：根据电气工程领域所涉及的相关问题，结合实际解决方案，简要论述了泛函分析在该领域中的应用。

0 引言

泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科，是从变分问题、积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论、几何学和现代数学的观点，来研究无限维向量和向量空间上的函数、算子和几线理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。

泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学等分科中都有应用，对解决工程领域相关计算问题也做出了不少贡献。一级学科电气工程下辖5个二级学科，分别为电机与电器、电力系统及其自动化、高电压与绝缘技术、电力电子与电力传动、电工理论与新技术。各学科研究方向不一，所面临的问题也各不相同，但是都或多或少存在计算上的难题。泛函分析的出现为解决这些难题提供了方法上的支持。

1 泛函分析在电机定子温度场分析中的应用

电机损耗所产生的热量，直接影响绝缘的电气性能和寿命。为了使这部分热能够由流体带走，需要设计合理的通风结构。在电机构件中，径向通风沟是散热的主要途径。但由于径向通风沟截面积较小、结构复杂，流体通常是以紊流状态流过径向通风沟并带走热量的，即流体在径向通风沟内以三维矢量速度流动。其流动的快慢影响到电机构件表面散热系数，进而影响电机的散热量。因此，研究流畅的变化对电机通风结构的设计具有十分重要的意义。

由于流体的流速是非线性的，所以不可以简单地将其视为常量。文献[1]采用三维等参元法和流体相似理论，对大型大电机温度场进行了理论分析，得出了一些对于电机故障预报和诊断有益的结论。

在直角坐标系下，各向异性媒介中稳态导热微分方程一般形式为

x y z q x x y y z z θθθλλλ⎡⎤∂∂∂∂∂∂⎡⎤⎡⎤++=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦

⎣⎦ 式中：θ为物体的温度，x λ、y λ、z λ分别为x 、y 、z 方向的导热系数，q 为热源密度。 根据变分原理可得与上述微分方程对应的泛函表达式为

()()222212min 2222y x z V V S f J q d dS x y z λλλθθθθθαθθθ⎡⎤⎛⎫∂∂∂⎛⎫⎛⎫=++-+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦

⎰⎰ 对上述方程进行三维等参元分析，若采用六面体八节点等参单元进行剖分，经推导可得

()12

T T J K F θθθθ=-

式中：θ为求解域内全部节点温度所形成的温度列矩阵；K 和F 分别为总体系数矩阵和总体有段列向量。 对泛函取极值（即0J θ

∂=∂），可得 K F θ=

对上述方程组进行处理和求解，即可求得径向通风沟流场线性变化下的场解。

2 泛函分析在电力系统非线性费用函数分摊中的应用

国内外电网多年的运行表明电网调度要集中，电网运行时一个整体，电网的安全性、稳定性及可靠性受制于电网中所有电厂和电力用户。网厂分家后，安全阻塞费用、固定费用及网损应合理地分摊，这便涉及了非线性费用函数值的分摊问题。

在非线性函数值分摊理论中，改变路径函数后函数值的分摊将发生变化，因而自变量的分摊值可表达为路径函数的泛函。如何选择非线性函数值分摊路径与评判分摊结果的合理性是关键。文献[2]对电力系统非线性费用函数值分摊理论中的积分区间划分原则进行了研究，根据泛函极值理论提出了电力系统非线性费用函数值分摊的合理性评判准则与公平性条件。网损交互项分摊的数值计算表明：自变量按同比例的变化路径能满足基于泛函极值理论的合理性评判准则，按等比例步长划分积分区间是所有满足合理性准则中的最简单的一种。 3 泛函分析在线性集总参数电路中的应用

变分原理在电磁场有限元计算中已获广泛应用，文献[3]则讨论如何将该原理应用于线性集总参数电路的求解中。作者从特勒根定理出发，导出了基于节点电压和回路电流的功率泛函，给出了通过变分获得电路解答的方法和步骤。借助功率泛函的概念，指出了电路解答与电路系统的功率最小点或者功率驻定点相对应。数值算例验证了这一结论。集总参数电路的泛函是求解电磁场——电路耦合问题的桥梁之一，在实际应用中有重要的意义。

4 泛函分析在输电网规划中的应用

目前大规模输电网规划求解中经常遇见无法完成对解空间的充分搜索，从而难于求得全局最优解的问题。文献[4]对此进行了讨论，并给出了泛函形式的输电网规划模型，重点分析了输电网规划解的模式。在分析了传统蚁群算法易产生未成熟收敛现象及其原因的基础上，设计了一种基于模式记忆的并行蚁群算法，该算法通过模式记忆实现了解空间分解，能够有效地识别、记忆和跳出局部最优解；通过局部细化搜索进一步加强了局部搜索能力；通过并行计算提高了计算速度。

参考文献

1程树康,李伟利,周封,侯云鹏. 大型发电机定子绝缘老化后非线性温度场计算.

哈尔滨工业大学学报. 2003,35(1): 62-65

2吴政球,匡文凯等. 电力市场非线性费用函数分摊公平性准则. 中国电机工程学报. 2006,26(14): 36-40

3邹军,蒋陶宁,顿月芹. 求解线性集总参数电路的变分方法. 电气电子教学学报. 2010,32(2): 20-22

4翟海保,程浩忠,吕干云等. 基于模式记忆并行蚁群算法的输电网规划. 中国电机工程学报. 2005,25(9): 17-22