苏教版初二数学平行四边形难点上

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八年级数学苏科版下册平行四边形重难点学案_

八年级数学苏科版下册平行四边形重难点学案_平行四边形（重难点）知识点1．平行四边形的判定(1) 按边：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等．(2) 按角：两组对角分别相等．(3) 按对角线：对角线互相平分，在选择以上方法时，应根据题目条件合理选择，若条件中有对边相等或对边平行可从边入手；若涉及到对角线可从对角线入手；若涉及到角可考虑从对角相等入手，三类方法中选择边进行判定的较多．知识点2．平行四边形性质的应用(1) 平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行线或两边相等；(2) 角的性质可以证明两角相等或两角互补；(3) 对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍分关系．平行四边形的性质为证明线段相等、角相等、线段平行及垂直提供了理论依据．知识点3．三角形中位线(1)三角形有三条中位线，每一条中位线与第三边都有相应的位置关系与数量关系；(2)三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形，因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的．1.如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明．2.如图，在菱形中，，点，，分别在边，上，，平分，点是线段上一动点（与点不重合）．（1）求证：；（2）当，时．①求周长的最小值；②若点是的中点，是否存在直线将分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．3.如图，AM是△ABC的中线，D 是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连结AE．（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH=AM．①求∠CAM的度数；②当FH=，DM=4时，求DH的长．4.已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．（1）求证：AB＝AF；（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．5.如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE＝DF，EF分别与AB、CD交于点G、H．求证：AG＝CH．6.如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，点E在对角线AC上，BE＝BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH＝AG，连接EH．（1）若BC ＝12，AB＝13，求AF的长；（2）求证：EB＝EH．7.如图，在平行四边形ABCD中，BD 为对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接AF、CE．求证：AF＝CE．8.在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为BC上一点．（1）如图1，若AF⊥BC，垂足为F，BF＝3，AF＝4，求EF的长．（2）如图2，若DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQ∥PC，求证：PC＝2AQ．9.已知：如图，AD 是△ABC的中线，E为AD的中点，过点A作AF∥BC交BE延长线于点F，连接CF．（1）如图1，求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）如图2．连接CE，在不添加任何助线的情况下，请直接写出图2中所有与△BEC面积相等的三角形．10.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF．（1）判断四边形BDEF的形状，并说明理由；（2）若∠C＝45°，BD＝2，求D，F两点的距离．11.在▱ABCD 中，点E为CD边上一点，点F为BC中点，连接BE，DF交于点G，且GA＝GD：（1）如图1，若AB＝AE＝BG＝6，AE⊥CD，求AG2的值；（2）如图2，若EM平分∠BEC，且EM∥DF，过点G作GN⊥BE交AE于点N且GN＝GE，求证：AE⊥CD．12.如图，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点M为BC上一点，连接AM，且AB＝AM，点E为BM中点，AF⊥AB，连接EF，延长FO交AB于点N．（1）若BM＝4，MC＝3，AC＝，求AM的长度；（2）若∠ACB＝45°，求证：AN+AF＝EF．13.在▱ABCD中，连接对角线BD，AB＝BD，E为线段AD上一点，AE＝BE，F为射线BE上一点，DE＝BF，连接AF （1）如图1，若∠BED＝60°，CD＝2，求EF的长；（2）如图2，连接DF并延长交AB于点G，若AF＝2DE，求证：DF＝2GF．14.已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E 点，DF平分∠ADC交线段AE于F点．（1）如图1，若AE＝AD，求证：CD＝AF+BE；（2）如图2，若AE：AD＝a：b，试探究线段CD、AF、BE 之间所满足的等量关系，请直接写出你的结论．15.如图1，在平行四边形ABCD中，E，F分别在边AD，AB上，连接CE，CF，且满足∠DCE＝∠BCF，BF＝DE，∠A＝60°，连接EF．（1）若EF＝2，求△AEF的面积；（2）如图2，取CE的中点P，连接DP，PF，DF，求证：DP⊥PF．16.在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．（1）如图1，若∠ADC＝90°，G是EF的中点，连接AG、CG．①求证：BE＝BF．②请判断△AGC的形状，并说明理由；（2）如图2，若∠ADC＝60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）。

苏教版八年级下册数学[平行四边形（基础）知识点整理及重点题型梳理]

苏教版八年级下册数学[平行四边形（基础）知识点整理及重点题型梳理]苏教版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习平行四边形（基础）【学习目标】1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理；2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．3. 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算．【要点梳理】要点一、平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.要点二、平行四边形的性质1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.要点诠释：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.要点三、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.要点四、平行线间的距离1.两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.（2）平行线间的距离处处相等任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度. 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.2.平行四边形的面积：平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.【典型例题】类型一、平行四边形的性质1、如图，在?ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE．（1）求证：△ABC≌EAD；（2）若AE平分∠DAB，∠EAC=20°，求∠AED的度数．【思路点拨】（1）先证明∠B=∠EAD，然后利用SAS可进行全等的证明；（2）证明△ABE为等边三角形，可得∠BAE=60°，求出∠BAC的度数，即可得∠AED的度数．【答案与解析】解：（1）∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BC=AD，∴∠EAD=∠AEB，又∵AB=AE，∴∠B=∠AEB，∴∠B=∠EAD，在△ABC和△EAD中，，∴△ABC≌△EAD．（2）∵AE平分∠DAB，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB=∠B，∴△ABE为等边三角形，∴∠BAE=60°，∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=80°，∵△ABC≌△EAD，∴∠AED=∠BAC=80°．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题注意掌握平行四边形的对边平行且相等的性质．举一反三：【变式】如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF，请你猜想：线段BE 与线段DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明.【答案】证明：猜想：BE ∥DF 且BE ＝DF.∵四边形ABCD 是平行四边形∴CB ＝AD ，CB ∥AD∴∠BCE ＝∠DAF在△BCE 和△DAF 中CB AD BCE DAFCE AF =??∠=∠??=?∴△BCE ≌△DAF∴BE ＝DF ，∠BEC ＝∠DFA∴BE ∥DF即BE ∥DF 且BE ＝DF.类型二、平行四边形的判定2、（2016?锦州）如图，在?ABCD 中，∠BAD 和∠DCB 的平分线AE 、CF 分别交BC 、AD 于点E 、F ，点M 、N 分别为AE 、CF 的中点，连接FM 、EN ，试判断FM 和EN 的数量关系和位置关系，并加以证明．【思路点拨】由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，AB=CD ，∠BAD=∠DCB ，∠B=∠D ，证出∠BAE=∠DCF ，由ASA 证明△BAE ≌△DCF ，得出AE=CF ，∠AEB=∠DFC ，证出AE ∥CF ，由已知得出ME ∥FN ，ME=FN ，证出四边形MENF 是平行四边形，即可得出结论∴FM=EN ．【答案与解析】解：FM=EN ，FM ∥EN ；理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB=CD ，∠BAD=∠DCB ，∠B=∠D ，∠DAE=∠AEB ，∠DFC=∠BCF ，∵∠BAD 和∠DCB 的平分线AE 、CF 分别交BC 、AD 于点E 、F ，∴∠BAE=∠DAE=∠BAD ，∠BCF=∠DCF=∠DCB ，∴∠BAE=∠DCF，在△BAE和△DCF中，，∴△BAE≌△DCF（ASA），∴AE=CF，∠AEB=∠DFC，∴∠AEB=∠BCF，∴AE∥CF，∵点M、N分别为AE、CF的中点，∴ME∥FN，ME=FN，∴四边形MENF是平行四边形，∴FM=EN，FM∥EN．【总结升华】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键．举一反三：【变式】（2015?厦门校级一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F，若CE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．【答案】证明：∵∠BAD的平分线交直线BC于点E，∴∠1=∠2，∵AB∥CD，∴∠1=∠F，∵CE=CF，∴∠F=∠3，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AD∥BC，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．3、如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE＝CF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形BFDE是平行四边形．【答案与解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB＝CD，在△AB E和△CDF中，∵AB CDA C AE CF=∠=∠=，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AE＝CF，∴AD－AE＝BC－CF，即DE＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形．【总结升华】此题考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定．此题难度不大，注意熟练掌握定理的应用．类型三、平行四边形与面积有关的计算4、如图所示，在ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠EAF＝60°，BE＝2cm，DF＝3cm，求AB，BC 的长及ABCD的面积．【思路点拨】在四边形AECF中，由已知条件∠EAF＝60°，可求出∠C＝120°，进而求出∠B＝60°．由于BE＝2cm，在Rt△A BE中，可求出AB．同理，在Rt△AFD中求出AD．要求ABCD 的面积，需求出AE或AF的长．【答案与解析】解：在四边形AECF中，∵∠EAF＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠C＝360°－∠EAF－∠AEC－∠AFC＝360°－60°－90°－90°＝120°．在ABCD 中，∵ AB ∥CD ，∴ ∠B ＋∠C ＝180°．∠C ＋∠D ＝180°，∴ ∠B ＝∠D ＝60°．在Rt △ABE 中，∠B ＝60°，BE ＝2cm ，∴ AB ＝4cm ，CD ＝AB ＝4cm ．(平行四边形的对边相等)同理，在Rt △ADF 中，AD ＝6cm ，∴ BC ＝AD ＝6cm ，∴ AF ===(cm )．∴ ABCD S =CD ·AF ＝4?＝2cm )．【总结升华】本题除了应用平行四边形的性质及勾股定理外，还应用了“直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”这个直角三角形的性质．举一反三：【变式】如图，已知ABCD 中，M 是BC 的中点，且AM ＝9，BD ＝12，AD ＝10，求该平行四边形的面积.【答案】解：平移线段AM 至BE ，连EA ，则四边形BEAM 为平行四边形∴BE ＝AM ＝9，ED ＝AE ＋AD ＝15，又BD ＝12222BE BD DE +=∴∴∠EBD ＝90°，BE ⊥BD ，∴△EBD 面积＝12BE BD =54 又∵2AE ＝AD∴△ABD 面积＝2543?＝36 ∴ABCD 的面积＝72.。

苏教版八年级下册数学[平行四边形(基础)知识点整理及重点题型梳理]

苏教版八年级下册数学[平行四边形(基础)知识点整理及重点题型梳理]本文介绍了苏教版八年级下册数学中平行四边形的重难点，包括定义、性质、判定和距离等方面。

首先，平行四边形的定义是指两组对边分别平行的四边形，记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。

平行四边形的基本元素包括边、角、对角线，其中相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条。

其次，平行四边形的性质包括边的性质、角的性质、对角线性质和中心对称性质。

边的性质是指平行四边形两组对边平行且相等；角的性质是指平行四边形邻角互补，对角相等；对角线性质是指平行四边形的对角线互相平分；中心对称性质是指平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心。

这些性质可以证明线段的相等关系或倍半关系，也可以解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决。

其次，平行四边形的判定方法包括两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、两组对角分别相等和对角线互相平分。

这些判定方法是研究本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法。

同时，这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据。

最后，两条平行线间的距离是指两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，是垂线段的长度，处处相等。

这些知识点的掌握可以初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题，综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算。

任何两条平行线间的距离都是存在且唯一的，它们之间的最短线段就是夹在这两条平行线之间的距离。

同时，两条平行线之间的任何两条平行线段都是相等的。

平行四边形的面积可以通过底和高的乘积来计算，而等底等高的平行四边形面积是相等的。

在平行四边形ABCD中，如果AE=AB，那么需要证明△ABC≌△EAD。

苏教版八年级下册第9章：中心对称图形～平行四边形重难点题型训练【含答案】

苏教版八年级下册第9章：中心对称图形——平行四边形重难点题型训练1．如图1，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）如图2，延长BC和DE相交于点G，不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的平行四边形．（除四边形ABCD和四边形OCED外）2．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且2DE＝AC，连接AE交OD于点F，连接DE、OE．（1）求证：AF＝EF；（2）已知AB＝2，若AB＝2DE，求AE的长．3．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长BC到点E，使BE＝CD，连接AE交CD 于点F．（1）求证：AE平分∠BAD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠E＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．4．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E，F分别在AC，AB上，且DE∥AB，EF∥BC．（1）求证：CD＝EF；（2）已知∠ABC＝60°，连接BE，若BE平分∠ABC，CD＝6，求四边形BDEF 的周长．5．（1）如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边AB、BC上，∠EDF＝45°，连接EF，求证：EF＝AE+FC．（2）如图②，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EDF＝45°，猜想EF、AE、FC的数量关系，并说明理由．6．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，AE与BF相交于点O，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝，求▱ABCD的面积．7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点C、A分别在x、y轴上，A（0，6），E（0，2），点H、F分别在边AB、OC上，以H、E、F为顶点作菱形EFGH．（1）当H（﹣2，6）时，求证：四边形EFGH是正方形；（2）若F（﹣5，0），求点G的坐标．8．如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC，BD的平行线，所围成的四边形EFGH显然是平行四边形．（1）当四边形ABCD分别是菱形、矩形、平行四边形时，相应的四边形EFGH一定是“平行四边形、菱形、矩形、正方形”中的哪一种？请将你的结论填入下表：四边形ABCD菱形矩形平行四边形四边形EFGH （2）反之，当用上述方法所围成的平行四边形EFGH分别是矩形、菱形时，相应的原四边形ABCD必须满足怎样的条件？当时，四边形EFGH是矩形；当时四边形EFGH是菱形．9．如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，EM⊥BC，EN⊥CD垂足分别是点M、N（1）求证：AE＝MN；（2）若AE＝2，∠DAE＝30°，求正方形的边长．10．如图，△ABC≌△DBC，AD平分∠BAC，AD交BC于点O．（1）如图1，求证：四边形ABDC是菱形；（2）如图2，点E为BD边的中点，连接AE交BC于点F，若∠AFO＝∠ADC，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图2中所有长度是线段EF长度的偶数倍的线段．11．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒．（1）若PE⊥BC，求BQ的长；（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．12．已知：正方形ABCD，E是BC的中点，连接AE，过点B作射线BM交正方形的一边于点F，交AE于点O．（1）若BF⊥AE，①求证：BF＝AE；②连接OD，确定OD与AB的数量关系，并证明；（2）若正方形的边长为4，且BF＝AE，求BO的长．13．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠ADC，E，F分别为AD，CD的中点，连接BE，BF，延长BE交CD的延长线于点M．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）若MD＝6，BC＝12，求BF的长度．（结果可保留根号）14．在矩形ABCD中，点E，点F为对角线BD上两点，DE＝EF＝FB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若AE⊥BD，AF＝2，AB＝4，求BF的长度．15．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．（1）求证：△AEF≌△DEC；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠COD＝90°，OC＝AC，∵DE＝AC，∴OC＝DE，∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形，∴四边形OCED是矩形，∴OE＝CD；（2）图中所有的平行四边形有：四边形AOED，四边形ACGD，四边形OBCE．由AO DE可得四边形AOED是平行四边形；由AC∥DG，AD∥CG可得四边形ACGD是平行四边形；由OE∥BC，OB∥CE可得四边形OBCE是平行四边形．2．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝AC，∵2DE＝AC，∴DE＝OA，又∵DE∥AC，∴四边形OADE是平行四边形，∴AF＝EF；（2）解：连接CE，∵DE∥OC，DE＝OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，∴四边形OCED是矩形，∴∠OCE＝90°，又∵AB＝2DE＝AC，∴△ABC为等边三角形，∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2，AO＝AC＝1，∴在矩形OCED中，CE＝OD＝＝，∴在Rt△ACE中，AE＝＝．3．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BE，∴∠DAE＝∠E，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠E，∴AB＝BE，∴∠BAE＝∠E，∴∠BAE＝∠DAE，∴AE平分∠BAD；（2）解：由BE＝AB，∠BEA＝60°，∴△ABE为等边三角形，∴AB＝AE＝4，又∵BF⊥AE，∴AF＝EF＝2，∴BF＝＝2，∵∠DAE＝∠E，AF＝EF，∠AFD＝∠CFE，∴△ADF≌△ECF（ASA），∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积＝×4×2＝4．4．（1）证明：∵DE∥AB，EF∥BC，∴四边形BDEF是平行四边形，∴EF＝BD，∵点D是BC边的中点，∴BD＝CD，∴CD＝EF；（2）解：∵BE平分∠ABC，∴∠FBE＝∠DBE，又∵四边形BDEF是平行四边形，∴BD＝EF，BF＝ED，EF∥BD，∴∠FEB＝∠DBE，∴∠FBE＝∠BEF，∴BF＝EF，∴BD＝EF＝BF＝ED，又∵BD＝CD＝6，∴BD＝EF＝BF＝ED＝6，∴四边形BDEF的周长＝6×4＝24．5．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠ADC＝∠DAB＝90°，如图①：延长BA，使AM＝CF，连接MD，在△AMD和△CFD中，，∴△AMD≌△CFD（SAS），∴∠MDA＝∠CDF，MD＝DF，∵∠EDF＝45°，∴∠ADE+∠FDC＝45°，∴∠ADM+∠ADE＝45°＝∠MDE，∴∠MDE＝∠EDF，在△EDF和△EDM中，，∴△EDF≌△EDM（SAS），∴EF＝EM，∵EM＝AM+AE＝AE+CF，∴EF＝AE+CF；（2）EF2＝AE2+CF2，理由如下：如图②，将△CDF绕点D顺时针旋转90°，可得△ADN，由旋转的性质可得DN＝DF，AN＝CF，∠DAN＝∠DCF＝45°，∠CDF＝∠ADN，∴∠CAN＝∠CAD+∠DAN＝90°，∴EN2＝AE2+AN2，∵∠EDF＝45°，∴∠CDF+∠ADE＝45°，∴∠ADE+∠ADN＝45°＝∠NDE＝∠EDF，在△EDF和△EDN中，，∴△EDF≌△EDN（SAS），∴EF＝EN，∴EF2＝AE2+CF2．6．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，同理可得AB＝AF，∴AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF．∴四边形ABEF是菱形．（2）作FG⊥BC于G，∵四边形ABEF是菱形，AE＝6，BF＝8，∴AE⊥BF，OE＝AE＝3，OB＝BF＝4，∴BE＝＝5，∵S菱形ABEF＝•AE•BF＝BE•FG，∴GF＝，∴S平行四边形ABCD＝BC•FG＝（BE+EC）•GF＝（5+）×＝36．7．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAO＝∠AOC＝90°，∵E（0，2），H（﹣2，6），∴AH＝OE＝2，∵四边形EFGH是菱形，∴EH＝EF，在Rt△AHE和Rt△OEF中，，∴Rt△AHE≌Rt△OEF，∴∠AEH＝∠EFO，∵∠EFO+∠FEO＝90°，∴∠AEH+∠FEO＝90°，∴∠HEF＝90°，∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．（2）连接EG交FH于K．∵HE＝EF，∴AH2+AE2＝EO2+OF2，∴AH2+16＝4+25，∴AH＝，∴H（﹣，6），∵KH＝KF，∴K（﹣，3），∵GK＝KE，∴G（﹣5﹣，4）．8．解：（1）四边形ABCD是菱形时，平行四边形EFGH是矩形，四边形ABCD是矩形时，平行四边形EFGH是菱形，四边形ABCD是平行四边形时，四边形EFGH是平行四边形；故答案为：矩形；菱形；平行四边形；（2）当平行四边形是矩形时，原四边形ABCD必须满足的条件是对角线互相垂直，当平行四边形是菱形时，原四边形ABCD必须满足的条件是对角线相等．故答案为：对角线互相垂直（AC⊥BD）；对角线相等（A C＝BD）．9．（1）证明：连接EC．∵四边形ABCD是正方形，EM⊥BC，EN⊥CD，∴∠NCM＝∠CME＝∠CNE＝90°，∴四边形EMCN为矩形．∴MN＝CE．又∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ABE＝∠CBE．在△ABE和△CBE中∵，∴△ABE≌△CBE（SAS）．∴AE＝EC．∴AE＝MN．（2）解：过点E作EF⊥AD于点F，∵AE＝2，∠DAE＝30°，∴EF＝AE＝1，AF＝AE•cos30°＝2×＝．∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠EDF＝45°，∴DF＝EF＝1，∴AD＝AF+DF＝+1，即正方形的边长为+1．10．（1）证明：∵△ABC≌△DBC，∴AB＝BD，AC＝CD，∴∠BAD＝∠BDA，∠CAD＝∠CDA，∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC，∠ADC＝∠ADC，在△ADB和△ADC中，，∴△ADB≌△ADC，∴AB＝AC，∴AB＝BD＝CD＝AC，∴四边形ABCD是菱形．（2）解：∵∠AFO＝∠ADC＝∠ADB，又∵∠AFO+∠EFO＝180°，∴∠EFO+∠EDO＝180°，∴∠FED+∠FOD＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AD⊥BC，∴∠FEO＝∠FOD＝90°，∵BE＝ED，∴AB＝AD，∴AB＝AD＝BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠EBF＝∠ABD＝30°，在Rt△BEF中，BF＝2EF，∵∠FBA＝∠FAB＝30°，∴FA＝FB，在Rt△AFC中，CF＝2AF＝4EF，综上所述，长度是线段EF长度的偶数倍的线段有BF，AF，CF．11．解：（1）作AM⊥BC于M，设AC交PE于N．如图所示：∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，∴∠C＝45°＝∠B，∴AB＝AC，∴BM＝CM，∴AM＝BC＝5，∵AD∥BC，∴∠PAN＝∠C＝45°，∵PE⊥BC，∴PE＝AM＝5，PE⊥AD，∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，∴PN＝AP＝t，CE＝NE＝5﹣t，∵CE＝CQ﹣QE＝2t﹣2，∴5﹣t＝2t﹣2，解得：t＝，所以BQ＝BC﹣CQ＝10﹣2×＝；（2）存在，t＝4或12；理由如下：若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则AP＝BE，∴t＝10﹣2t+2或t＝2t﹣2﹣10解得：t＝4或12∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t＝4或12．12．解：（1）①如图1①，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABE＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵BF⊥AE，∴∠CBF+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BF＝AE；②OD＝AB．证明：延长AD，交射线BM于点G，如图1②，∵△ABE≌△BCF，∴BE＝CF．∵E为BC的中点，∴CF＝BE＝BC＝DC，∴CF＝DF．∵DG∥BC，∴∠DGF＝∠CBF．在△DGF和△CBF中，，∴△DGF≌△CBF，∴DG＝BC，∴DG＝AD．∵BF⊥AE，∴OD＝AG＝AD＝AB；（2）①若点F在CD上，如图2①，在Rt△ABE和Rt△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠CBF+∠AEB＝90°，∴∠AOB＝90°．∵∠ABE＝90°，AB＝4，BE＝2，∴AE＝＝2．∵S△ABE＝AB•BE＝AE•BO，∴BO＝＝＝．②若点F在AD上，如图2②，在Rt△ABE和Rt△BAF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BAF（HL），∴∠BAE＝∠ABF，∴OB＝OA．∵∠BAE+∠AEB＝90°，∠ABF+∠EBF＝90°，∴∠AEB＝∠EBF，∴OB＝OE，∴OA＝OB＝OE．∵∠ABE＝90°，AB＝4，BE＝2，∴AE＝＝2，∴OB＝AE＝．综上所述：BO的长为或．13．（1）证明：∵在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A+∠ADC＝180°，∵∠A＝∠ADC，∴∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠M，∵E为AD的中点，∴AE＝DE．在△ABE和△DME中，∴△ABE≌△DME（AAS），∴AB＝DM＝6，∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝DM＝6，∠C＝90°，∵F为CD的中点，∴CF＝CD＝3，在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF＝＝＝3．14．（1）证明：连接AC，交BD于O，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，OA＝OC，OB＝OD，∵DE＝FB，∴OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）解：∵DE＝EF＝BF，AE⊥BD，∴AD＝AF＝2，∴BD＝＝＝2，∴BF＝BD＝．15．证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∵点E为AD的中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEC中，∴△AEF≌△DEC（AAS）；（2）当△ABC满足：AB＝AC时，四边形AFBD是矩形；∵△AEF≌△DEC，∴AF＝CD，∵AF＝BD，∴CD＝BD；∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠ADB＝90°，∴平行四边形AFBD是矩形．。

苏教版二年级上册《初步认识平行四边形》数学教案

苏教版二年级上册《初步认识平行四边形》数学教案一、教学目标知识与能力1.能够初步认识平行四边形。

2.能够理解什么是平行四边形。

3.能够用正确的方式画出平行四边形。

过程与方法1.合作探究的方法引导学生自主探究平行四边形的特点。

2.提供多样化的活动方式，包括听、读、说、写等活动形式，帮助孩子们更好地理解和记忆相关知识。

3.鼓励孩子们积极思考，参与课堂探究，提高活跃性。

情感态度与价值观1.培养孩子们探究和思考的能力，增强他们对数学的兴趣和自信心。

2.培养孩子们观察和发现问题的能力，培养他们的严谨思维态度。

二、教学重难点教学重点1.初步认识平行四边形。

2.理解什么是平行四边形。

3.能够用正确的方式画出平行四边形。

教学难点1.如何让孩子们理解平行四边形的概念。

2.如何让孩子们正确地画出平行四边形。

三、教学过程导入新课1.让孩子们观察一下教室、校园周围的建筑，看看是否有符合要求的平行四边形，并鼓励他们描述其特点。

2.让孩子们看看课本中的图片，指出其中所有的平行四边形，并描述其特点。

知识讲授1.让孩子们认识一下“平行”的概念，并用两个铅笔做出平行线的样子，让孩子们感性理解“平行”的含义。

2.展示一张平行四边形的图片，让孩子们自主探究平行四边形的特点，并引导他们进一步理解平行四边形是由两组对边为平行线的四边形构成。

3.让孩子们根据所学，自己用尺子和铅笔画出一个平行四边形，检查各边是否平行且相等。

讲解练习1.让孩子们看一幅由纸条组成的村落风光图，让孩子们在图中找到平行四边形，并画出来。

2.让孩子们自己创造一个平行四边形，用牛皮纸和颜料等工具绘制出来，可以鼓励他们自由发挥，并在绘图过程中加强对平行四边形概念的理解和记忆。

课堂小结1.归纳平行四边形的定义和特点，帮助孩子们进行相关知识的总结。

四、作业布置1.让孩子们在课本上找到并圈出所有的平行四边形，根据学习内容写出相关总结。

2.让孩子们自己设计一个平行四边形，并用尺子和铅笔画出来。

苏教版数学八年级上册全册教案-苏教版八年级数学上册教案

苏教版数学八年级上册全册教案-苏教版八年级数学上册教案第一章矩形和平行四边形第一节课前热身知识点1. 四边形既有不等边的叫做梯形。

2. 梯形的面积=上底+下底 ×高 ÷ 2。

教学目标1. 能识别矩形和平行四边形。

2. 理解平行四边形和矩形的性质和定义。

3. 掌握平行四边形和矩形的周长和面积公式。

4. 能灵活解决与矩形和平行四边形相关的问题。

第二节矩形知识点1. 矩形的特点是四条边相互平行，四个角都是直角。

2. 特殊矩形：正方形，长方形。

教学目标1. 掌握矩形的定义和基本性质。

2. 能计算矩形的周长和面积。

3. 能够解决与矩形相关的问题。

第三节平行四边形知识点1. 平行四边形的特点是对边平行，对角线互相平分。

2. 特殊平行四边形：菱形。

教学目标1. 理解平行四边形的定义和基本性质，能够正确的画出平行四边形。

2. 掌握平行四边形的周长和面积计算公式，能够灵活运用解决问题。

3. 能够分辨平行四边形和其他的四边形。

4. 能够解决与平行四边形相关的问题。

第二章比例和单位换算第一节倍数和倍数的性质知识点1. 倍数：一个数是另一个数的几倍，这个数就是另一个数的倍数。

2. 倍数性质：(1) 两个数的比例相等，其中一个数是另一个的倍数；(2) 若a, b与c成比例，则它们的倍数也成比例。

3. 倍数应用：量的倍数、面积倍数、体积倍数。

教学目标1. 能够理解倍数的含义和性质。

2. 掌握计算倍数以及倍数的应用。

第二节均分知识点1. 如何将一个数分成几等份称为均分。

2. 两个数分别和它们的平均数的关系。

3. 三个或三个以上数和它们的平均数的关系。

教学目标1. 能够理解均分的概念。

2. 掌握均分的计算方法。

3. 能够解决与均分相关的问题。

第三节比例知识点1. 比例的概念。

2. 比例的四种关系：等比、比例、反比、无关。

3. 比例的计算和综合应用。

4. 度量单位换算。

教学目标1. 能够理解比例的概念。

2. 掌握比例的计算方法和应用。

苏教版八年级数学第9章《中心对称图形——平行四边形》2021年高频易错题集

八年级数学第9章《中心对称图形——平行四边形》2021年高频易错题集一．选择题（共10小题）1．如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（）A．125°B．145°C．175°D．190°2．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝10，F是DE上一点，连接AF，CF，DF＝1．若∠AFC＝90°，则BC的长度为（）A．10B．12C．14D．16第1题第2题第5题3．若平行四边形的两条对角线长为6 cm和16 cm，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是（）A．5cm B．8cm C．12cm D．16cm4．点A，B，C，D在同一平面内，从四个条件中（1）AB＝CD，（2）AB∥CD，（3）BC＝AD，（4）BC∥AD中任选两个，使四边形ABCD是平行四边形，这样的选法有（）A．3种B．4种C．5种D．6种5．下列命题中正确的是（）A．有一组邻边相等的四边形是菱形；B．对角线相等四边形是矩形C．对角线垂直的平行四边形是正方形；D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形6．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（）A．逐渐增加；B．逐渐减小C．保持不变且与EF的长度相等；D．保持不变且与AB的长度相等7．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，添加下列条件不能推得四边形ABCD为菱形的是（）A．AB＝CD B．AD∥BC C．BC＝CD D．AB＝BC8．下列说法中，错误的是（）A．如果一个四边形绕对角线的交点旋转90°后，所得的图形能与原图形重合，那么这个四边形是正方形B．在一个平行四边形中，如果有一条对角线平分一个内角，那么该平行四边形是菱形C．在一个四边形中，如果有一条对角线平分一组内角，则该四边形是菱形D．两张等宽的纸条交叠在一起，重叠的部分是菱形9．下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线相等；B．对角线互相平分C．对角线互相垂直；D．对边相等且平行10．下列说法错误的是（）A．16的平方根为±4；B．⼀组对边平行，⼀组对角相等的四边形是平行四边形；C．⼀限不循环小数是无理数；D．对角线相等的四边形是矩形二．填空题（共5小题）11．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是AB、AC上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连结AM、MN，若AC＝6，AB＝5，则AM﹣MN的最大值为．第11题第12题12．如图，△ABC的周长为16，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，M，N，P分别为DE，EF，DF的中点，则△MNP的周长为．如果△ABC，△DEF，△MNP分别为第1个，第2个，第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是．13．如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是（8，0），点C的坐标是（2，6），则点B的坐标是．第13题第14题第15题14．如图，用9个全等的等边三角形，按图拼成一个几何图案，从该图案中可以找出个平行四边形．15．如图，已知∠XOY＝60°，点A在边OX上，OA＝2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD＝a，OE＝b，则a+2b 的取值范围是．三．解答题（共5小题）16．如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点．（1）求证：FG＝FH；（2）若∠A＝90°，求证：FG⊥FH；（3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数．18．如图，▱ABCD的周长为26cm，AC，BD相交于点O，△BOC的周长比△AOB的周长小3cm，求AB，BC的长．19．如图，已知△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，点E、C、F不在同一直线上．你能说明四边形CFDE是平行四边形吗？20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．解：∵CD⊥AB，F为边AC的中点，∴DF＝AC＝CF，又∵CD＝CF，∴CD＝DF＝CF，∴△CDF是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∵∠B＝50°，∴∠BCD+∠BDC＝130°，∵∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，∴∠DCE+∠CDE＝65°，∴∠CED＝115°，∴∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°，故选：C．【点评】本题主要考查了直角三角形的斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．2．解：如图，∵∠AFC＝90°，E是AC的中点，∴Rt△ACF中，EF＝AC＝＝5，∴DE＝1+5＝6；∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴BC＝2DE＝12，故选：B．【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握三角形的中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点是解题的基础和关键．3．解：由题意可知，平行四边形边长的取值范围是：8﹣3＜边长＜8+3，即5＜边长＜11．只有选项B在此范围内，故选B．【点评】本题主要考查了平行四边形对角线互相平分这一性质，此类求三角形第三边的范围的题目，解题的关键是根据三角形三边关系定理列出不等式，再求解．4．解：任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有（1）（2）；（3）（4）；（1）（3）；（2）（4）共四种．故选：B．【点评】本题主要考查对平行四边形的判定的理解和掌握，能熟练地运用平行四边形的判定定理进行推理是解此题的关键．5．解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，本选项说法错误；B、对角线相等平行四边形是矩形，本选项说法错误；C、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，本选项说法错误；D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，本选项说法正确；故选：D．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6．解：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD，∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝60°，∵DC∥AB，∴∠CDB＝∠ABD＝60°，∴∠A＝∠CDB，∵∠EBF＝60°，∴∠ABE+∠EBD＝∠EBD+∠DBF，∴∠ABE＝∠DBF，在△ABE和△DBF中，，∴△ABE≌△DBF（ASA），∴AE＝DF，∴AE+CF＝DF+CF＝CD＝AB，故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和等边三角形的判定，熟练掌握菱形的性质是解题关键．7．解：A选项：若AB＝CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，当AB＝AD可判定四边形ABCD是菱形；B选项：当AD∥BC时，又AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，当AB＝AD可判定四边形ABCD是菱形；C选项：当BC＝CD时，△ABC≌△ACD（SAS），∴∠A＝∠C．∵AB∥CD，∴∠C+∠ABC＝180°．∴∠A+∠ABC＝180°．∴AD∥BC．又AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，当AB＝AD可判定四边形ABCD是菱形；D选项只能说明四边形的三条边相等，所以不能判定是菱形．故选：D．【点评】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义．8．解：A．如果一个四边形绕对角线的交点旋转90°后，所得的图形能与原图形重合，那么这个四边形是正方形，本选项正确；B．在一个平行四边形中，如果有一条对角线平分一个内角，那么该平行四边形是菱形，本选项正确；C．在一个四边形中，如果有一条对角线平分一组内角，则该四边形不一定是菱形，本选项错误；D．两张等宽的纸条交叠在一起，重叠的部分是菱形，本选项正确；故选：C．【点评】本题主要考查了正方形的判定方法、菱形的判定方法，解题时注意：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形．9．解：A．因为矩形的对角线相等，所以A选项不符合题意；B．因为矩形和菱形的对角线都互相平分，所以B选项不符合题意；C．因为菱形对角线互相垂直，所以C选项符合题意；D．因为矩形和菱形的对边都相等且平行，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质、菱形的性质．10．解：A、由于（±4）2＝16，所以16的平方根为±4．故本选项说法正确．B、一组对边平行，一组对角相等的四边形可证出另一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形．故本选项说法正确．C、无理数是⼀限不循环小数，故本选项说法正确．D、对⻆线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形，故本选项说法错误．故选：D．【点评】考查了矩形的判定，平行四边形的判定，平方根．注意“对⻆线相等的平行四边形是矩形”．二．填空题（共5小题）11．解：如图，连接DM，DN，由图可以得到M的轨迹是一条线段（AD的垂直平分线的一部分），M在AN上的时候最大（此时AM最大，MN最小），当M在AN上时，设AM＝x，则MN＝3﹣x，DM＝AM＝x，DN＝AB＝，在直角三角形DMN中，根据勾股定理，得DM2＝DN2+MN2，∴x2＝（3﹣x）2+2.52，解得x＝，∴3﹣x＝，此时AM﹣MN＝﹣＝．∴AM﹣MN的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质、三角形的三边关系，解决本题的关键是掌握直角三角形斜边中线性质．12．解：∵△ABC的周长为16，D、F、E分别为AB、AC、BC的中点，∴EF、DF、DE为三角形中位线，∴EF＝AB，DE＝AC，DF＝BC，∴EF+DE+DF＝（AB+AC+BC），即△DEF的周长是△ABC周长的一半，同理，△MNP的周长是△DEF的周长的一半，即△MNP的周长＝△ABC的周长的＝×16＝4，以此类推，第n个小三角形的周长是第一个三角形周长的＝×16＝25﹣n，故答案为：4；25﹣n．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、图形的变化规律，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝BC，OA∥BC，∵A（8，0），∴OA＝BC＝8，∵C（2，6），∴B（10，6），故答案为：（10，6）【点评】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．14．解：两个全等的等边三角形，以一边为对角线构成的四边形是平行四边形，这样的两个平行四边形又可组成较大的平行四边形，从该图案中可以找出15个平行四边形．故答案为：15．【点评】此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况和读图能力，注意找图过程中，要做到不重不漏．15．解：如图1，过P作PH⊥OY交于点H，∵PD∥OY，PE∥OX，∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP＝∠XOY＝60°，∴EP＝OD＝a，Rt△HEP中，∠EPH＝30°，∴EH＝EP＝a，∴a+2b＝2（a+b）＝2（EH+EO）＝2OH，当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值＝OC＝OA＝1，即a+2b的最小值是2；当P在点B时，如图2，OC＝1，AC＝BC＝，Rt△CHP中，∠HCP＝30°，∴PH＝，CH＝，则OH的最大值是：OC+CH＝1+＝，即（a+2b）的最大值是5，∴2≤a+2b≤5．【点评】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度，掌握确认a+2b的最值就是确认OH最值的范围．三．解答题（共5小题）16．如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．【分析】（1）连接DM，ME，根据直角三角形的性质得到DM＝BC，ME＝BC，得到DM＝ME，根据等腰直角三角形的性质证明；（2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算；（3）仿照（2）的计算过程解答．【解答】（1）证明：如图（1），连接DM，ME，∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，∴DM＝BC，ME＝BC，∴DM＝ME，又∵N为DE中点，∴MN⊥DE；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），＝360°﹣2（180°﹣∠A），＝2∠A，∴∠DME＝180°﹣2∠A；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：连结DM，ME，在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC，＝2（180°﹣∠BAC），＝360°﹣2∠BAC，∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC），＝2∠BAC﹣180°．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点．（1）求证：FG＝FH；（2）若∠A＝90°，求证：FG⊥FH；（3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数．【分析】（1）由中点性质及AB＝AC，得到BD＝EC，再由中位线性质证明FG∥BD，GF ＝，FH∥EC，FH＝，从而得到FG＝FH；（2）由（1）FG∥BD，FH∥EC，再由∠A＝90°，可证FG⊥FH；（3）由（1）FG∥BD，∠A＝80°，可求得∠FKC，再由FH∥EC，可求得∠GFH的度数．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，∴BD＝EC∵点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点，∴FG∥BD，GF＝FH∥EC，FH＝∴FG＝FH；（2）证明：由（1）FG∥BD。

《平行四边形的认识》数学说课稿

《平行四边形的认识》数学说课稿《平行四边形的认识》数学说课稿篇1一、说教材说课内容：苏教版四年级下册第43~45页。

二、教学内容的地位、作用和意义。

认识平行四边形这节课是在学生已经直观认识平行四边形，初步掌握了长方形、正方形、三角形的特征，认识了平行与相交的基础上，通过一系列的'探究实践活动继续认识平行四边形，了解对边分别平行和对边相等的特征，并认识平行四边形的底和高。

这部分的内容是以后学习平行四边形面积的基础，有利于提高学生动手能力，增强创新意识，进一步发展学生对“空间与图形”的学习兴趣。

三、说目标1、知识与技能目标（1）理解平行四边形的概念及其特征。

（2）认识平行四边形的底和高，会画高。

（3）培养学生实践能力，观察能力、分析能力。

2、过程与方法目标让学生通过动手操作，动眼观察，动口表达动脑思考等方式探究新知。

3、情感态度与价值观目标让学生感受图形与生活的密切联系，在探索中感受成功的乐趣。

四、说教学重难点重点：认识平行四边形的特征。

认识平行四边形的底和高。

难点：作平行四边形的高，明白底与高的对应关系。

五、说教法和学法。

（一）说教法：根据本节课的教材内容特点，为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，采用观察发现法为主，多媒体演示法为辅。

教学中，设计启发性思考问题，创设问题情境，引导学生思考。

教学适时运用电教媒体化静为动，激发学生探求知识的欲望，逐步推导归纳得出结论，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养思维能力。

（二）说学法1、根据自主性和差异性原则，让学生“观察→猜想→概括→验证→交流→应用”的学习过程中，自主参与知识的发生、发展和形成的过程，使学生掌握知识。

2、学生一题多解，并及时引导学生小结方法，克服思维定势。

例题讲解采取分解图形的方法，使学生体验并学习“转化”的数学思想。

3、利用实际生活中的图形，使获取新知识的过程成为水到渠成，增强学生学习的成就感及自信心，从而培养浓厚的学习兴趣。

平行四边形苏教版八年级上册数学ppt课件

A
D C
几何语言:
B
平行四边形的对边相等.
因为四边形ABCD是平行四边形所以AB=CD， AD=BC 理由是：平行四边形的对边相等.
A
D
B
C
平行四边形的对角相等.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以∠A=∠C，∠B=∠D．
理由是：平行四边形的对角相等.
A
Ｏ
D
B
C
平行四边形的对角线互相平分.
因为四边形ABCD是平行四边形所以ＯA=ＯC， OB=OD．
A D
B
C
如图，四边形ABCD是平行四边形，记作：“ ABCD” 读作：“平行四边形ABCD” AB与CD，AD与BC叫做对边，平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫 ∠A与∠C，∠B与∠D叫做对角．它的对角线。
定义包括两重意思：
（1）如果两组对边分别平行，则这个四边形就是平行四边形； B
(中心对称图形, 对称中心是对角线的交点)
角
平行四边形的对角相等
对角线平行四边形的对角线
互相平分
如图，村子里有一四边形的池塘，在它的四个角的顶点A、B、C、D处均种了一棵大核桃树。村子准备开挖池塘建养鱼塘，想使池塘的面积扩大1倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问能否实现这一构想？若能，请你画出图形；若不能，请说明理由。
C’
A
B’ C A’
B
上图中，AB与B’C, ∠ABC与∠B’相等吗? 为什么?
你还能得到哪些结论?
练兵场：
1.如图， ABCD中，∠B=50°A
你能知道什么呢？解：
D
B C 因为四边形ABCD是平行四边形因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥ BC 所以∠ D =∠ B =50° ．理由是：平行四边形的对边互相平行理由是：平行四边形的对角相等. 所以∠A+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）即∠A=180°－ ∠B =130 ° 所以∠Ｃ =∠Ａ =130° ．理由是：平行四边形的对角相等.

3.江苏数学八年级上册知识整理：平行四边形

江苏数学八年级上册知识整理：平行四边形平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

表示：平行四边形用符号“□”来表示。

平行四边形性质：平行四边形对边相等；平行四边形对角相等；平行四边形对角线互相平分平行四边形的面积等于底和高的积，即S□ABCD=ah，其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边到其对边的距离，即对应的高。

平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形从对角线看：对角钱互相平分的四边形是平行四边形从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

若一条直线过平行四边形对角线的交点，则直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积。

知识巩固4.如图，ABCD的对角线AC和BD相较于点O，如果AC=10，BD=12，AB=m，那么m的取值范围是。

1、已知ABCD 的对角线交于O ，过O 作直线交AB 、CD 的反向延长线于E 、F ，求证：OE =OF .2、如图，在周长为20cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE的周长为 cm.1.平行四边形的周长等于56 cm ，两邻边长的比为3∶1，那么这个平行四边形较长的边长为_______.2、在□ABCD 中，∠A +∠C =270°，则∠B =______，∠C =______.3.如图，□ABCD 中，EF 过对角线的交点O ，AB =4，AD =3，OF =1.3，则四边形BCEF 的周长为（）A.8.3 B.9.6 C.12.6 D.13.64、如图，在□ABCD 中，AB =AC ，若□ABCD 的周长为38 cm ，△ABC 的周长比□ABCD 的周长少10 cm ，求□ABCD 的一组邻边的长.A B C DO E1.在□ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值的比可能是（）A.1∶2∶3∶4B.1∶2∶2∶1C.1∶1∶2∶2D.2∶1∶2∶12、如图，在ABCD 中，AB=10cm ，AB 边上的高DH=4cm ，BC=6cm,则BC 边上的高DF 的长为。

新苏教版八年级下数学教案第九章中心对称图形--平行四边形复习课

第九章中心对称图形-平行四边形单元复习课【知识梳理】9.1 图形的旋转1.概念：在平面内，将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角．2.图形旋转的性质:（1）旋转前后的图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等．3.练习:(1)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是（）A． B．2 C．3 D．2(2)如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ的面积为．(3)如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1、BC1分别交于点E、F．（1）求证：△BCF≌△BA1D．（2）当∠C=α度时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由．(4).如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点．将△ABC 绕点A 顺时针旋转α角（0°＜α＜180°），得到△AB ′C ′（如图2）．（1）探究DB ′与EC ′的数量关系，并给予证明；（2）当DB ′∥AE 时，试求旋转角α的度数．9.2 中心对称与中心对称图形1.一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称．这个点叫做对称中心．2.成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．3.把一个图形绕旋转，如果旋转后的图形能够与，那么这个图形叫做，这个点就是。

苏教版数学八年级上册平行四边形性质教案

苏教版数学八年级上册平行四边形性质教案教学目标：1. 理解平行四边形的定义，并能够识别平行四边形；2. 掌握平行四边形的性质，包括对角线互相等长、对角线互相平分、同底角相等、同位角相等；3. 能够解决与平行四边形有关的实际问题；4. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学准备：1. 教材：苏教版数学八年级上册2. 学具：直尺、铅笔、钢笔、绘图纸3. 多媒体设备：数据投影仪、电脑教学过程：一、导入（约5分钟）通过出示一张图纸上绘制的平行四边形，引导学生观察、猜测并提出平行四边形的定义。

二、学习平行四边形的定义（约10分钟）1. 出示平行四边形的定义，并引导学生读出定义的要点。

2. 学生阅读教材中关于平行四边形定义的相关知识点，并作出笔记。

三、发现平行四边形的性质（约10分钟）1. 出示一张平行四边形的图形，引导学生观察图形，并提问：哪些线段相等？如何判断某两条线段是平行的？2. 引导学生尝试连接平行四边形的对角线，并观察对角线的性质。

四、引导学生总结平行四边形的性质（约10分钟）1. 引导学生总结出平行四边形的对角线互相等长的性质，并提问：为什么对角线互相等长？2. 引导学生总结出平行四边形的对角线互相平分的性质，并提问：为什么对角线互相平分？3. 引导学生总结出平行四边形的同底角相等的性质，并提问：为什么同底角相等？4. 引导学生总结出平行四边形的同位角相等的性质，并提问：为什么同位角相等？五、巩固与拓展（约15分钟）1. 给学生提供一些平行四边形的练习题，巩固刚才学习的知识。

2. 引导学生解决一些与平行四边形有关的实际问题，拓展学生的思维能力。

六、课堂总结（约5分钟）总结本节课学习的内容，并引导学生回答以下问题：本节课你学到了什么？平行四边形的性质有哪些？七、作业布置（约5分钟）布置相应的作业，要求学生对课上所学的平行四边形性质进行复习，并完成练习册相应的题目。

八、教学反思（约5分钟）反思本节课的教学效果，回顾教学过程是否顺利，学生的参与度如何，是否达到了预期的教学目标。

平行四边形和梯形教案

平行四边形和梯形教案（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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苏教版八年级数学上册平行四边形及矩形

课题平行四边形及矩形教学目标掌握平行四边形及矩形的性质及判定方法，会进行相关的计算和证明问题，理解几何图形的分析方法，熟练进行分析和计算重难点透视平行四边形、矩形的概念,性质和判定是这部分的重点、运用是难点考点平行四边形及矩形的性质及判定方法，会进行相关的计算和证明问题知识点剖析序号知识点预估时间掌握情况1 平行四边形的相关知识 502 矩形的相关知识 503 练习 154 小结 5教学内容一：平行四边形平行四边形是特殊的四边形,它具有许多特点,我们要认真研究。

因为矩形,菱形,正方形等特殊的平行四边形的知识都是建立在这个基础之上的,所以掌握平行四边形的知识不仅是学好本部分的关键,也是学好全章的关键。

一：知识要点:(一)平行四边形定义: 的四边形是平行四边形。

(二)平行四边形的性质: 从它的边,角,对角线三个方面进行研究。

1.由定义知平行四边形的对边。

2.两组对边分别；3.两组对角分别；4.对角线；5.平行四边形是图形。

(三)平行四边形的判定。

1.利用定义判定。

2. 的四边形是平行四边形。

3. 的四边形是平行四边形。

4. 的四边形是平行四边形。

5. 的四边形是平行四边形。

二.例题分析:(一)要熟练掌握平行四边形的性质及判定,就要学会多角度地思考问题,要学会认真审题,注意题设中的关键词语,如:"两组","互相","平行且相等"等等,并会举反例否定一个命题。

例1. 判断正误(我们要判断一个命题是假命题,举一个反例即可)1.一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形。

—————( )2.一组对边平行,一组对边相等的四边形是平行四边形。

—————( )3.一组对边平行,一组对角互补的四边形是平行四边形。

—————( )4.一组对边平行,一组邻角相等的四边形是平行四边形。

—————( )5.四条边都相等的四边形是平行四边形。

—————( )6.两组邻边相等的四边形是平行四边形。

二年级上册数学教案8：平行四边形的初步认识-苏教版

二年级上册数学教案8：平行四边形的初步认识-苏教版教学目标1.能够初步认识平行四边形的形状特征。

2.能够辨别图形是否为平行四边形。

3.能够运用所学知识，解决实际问题。

教学重难点1.教学重点：平行四边形的形状特征。

2.教学难点：如何解决相关问题。

教学内容一、引入1.导入新知识：请同学们关注黑板上的图形，问同学们认为这是什么形状？2.接着提问，这里有两个形状，同学们是否认为它们相同？二、新知1.讲解平行四边形的特征：四边形的对边平行且相等。

2.通过干板演示，让同学们自行体验四边形对边平行且相等的特征。

3.展示一些常见的平行四边形，让同学们进行辨别，看哪些图形是平行四边形。

三、练习1.在黑板上绘制一些图形，让同学们辨别哪些是平行四边形。

2.设计一些有趣的练习题，让同学们进行练习。

四、拓展1.通过生活实例介绍平行四边形的用途，如箱子、书桌等。

2.提供一些在实际生活中运用平行四边形的题目，让同学们进行思考解答。

教学方法1.手势+语言模型法。

2.互动提问答案解析法。

教学手段1.桌上板书。

2.干板演示法。

3.视频展示法。

4.生活实例法。

5.练习题法。

教学评价1.通过小组合作的方式解答问题。

2.通过实际生活中运用平行四边形的题目进行考核。

教学后记1.在讲解时，应注意简化语言，用形象生动的方式让同学们更好的理解。

2.鼓励同学们自己提出问题，引导他们独立思考。

3.鼓励同学们在上课之外继续练习和思考。

平行四边形面积教案【优秀3篇】

平行四边形面积教案【优秀3篇】平行四边形的面积教案篇一教学内容：教材平行四边形的面积的内容。

知识目标：通过长方形面积计算知识迁移，理解平行四边形面积的计算公式，并能正确计算平行四边形面积。

能力目标：在剪一剪，拼一拼、比一比中发展空间观念；在看一看，想一想中初步感知等积转化的思想方法，提高分析问题、解决问题的能力。

情感目标：通过活动，激发学习兴趣，培养互相合作、交流、探索的精神，感受数学与生活的密切联系。

教学重点：掌握平行四边形的面积计算公式，能正确计算平行四边形的面积。

教学难点：初步认识转化的思想方法在研究平行四边形面积时的作用，并培养学生的分析、综合、抽象。

概括能力和运用转化的方法解决实际问题的能力。

教具学具：方格纸、平行四边形卡片、剪刀、三角板、直尺等。

探索新知教学片段：1、比一比，估一估师：现在我们把平行四边形花坛画到纸上，我们先认识平行四边形的底和高。

平行四边形的底和长方形的长一样长，平行四边形的高和长方形的宽一样长，它们的面积哪个比较大？生：一样大。

2、生：长方形比较大。

生：平行四边形比较大。

……师：大家都有不同的猜测，有很多同学都说一样大，那么，谁的想法正确呢？我们可以用什么方法来验证呢？四人小组讨论。

生：可以用数格子的方法。

我先数出整块的，然后这些剩下的小块拼一拼，还可以拼成整块的。

师：那么用数方格的方法数数看。

数一数，它们的面积各是多少？……师：哦，你们数的结果是都是72平方米，说明……生：平行四边形的面积和长方形的面积相等。

师：也就是……生：平行四边形的面积也是72平方米。

师：长方形的面积我们可以用公式来计算，那平行四边形的面积是不是也有计算公式呢，这就是我们今天要一起探讨的'问题。

（板书：平行四边形的面积）[让学生对“平行四边形面积的计算方法”提出猜想，再进行验证，在获得知识的同时能培养学生思考的深入性和严密性。

也可制造悬念，进一步激发探究的欲望。

新课标指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖于模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。

八年级数学平行四边形的判定课件苏教版

No ABCD的对角线相交于点O，。点E、F、G、H分别是OA、OB、。2.
∠BCD的平分线分别交BC、AD于E、F
ABCD中，∠BAD、
Image
第十三页，共13页。
CD上，AE=CF.四边形DEBF是平行四边
形吗？为什么？
A
E\
D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
\F
C
第五页，共13页。
2.如图, ABCD的对角线相交于点O, 直线(zhíxiàn)EF过点O分别交BC、AD 与点E、F，G、H分别为OB、OD的中点。四边形GEHF是平行四边形吗？为什么？
A
F
D
H
G
O
B
E
C
第六页，共13页。
第八页，共13页。
练一练
1.
ABCD的对角线相交(xiāngjiāo)于
点O，
点E、F、G、H分别是OA、OB、
OC、OD的A中点。四边形EFGDH是平行
四边形吗？为什E 么？ H O
F
G
B
C
第九页，共13页。
练一练
2. ABCD中，∠BAD、 ∠BCD的平分线分别(fēnbié)交BC、AD于E、F。四边形AECF 是平行四边形吗?为什么？
回顾
要判别一个(yī ɡè)四边形是平行四边形，你有什么方法？两组对边分别(fēnbié)平行的四边形是平行
边形两.组对边分别(fēnbié)相等的四边形是平行四
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
第七页，共13页。
学校(xuéxiào)买了四棵树，准备栽在花园里，已经种了三棵树，现在学校(xuéxiào)希望这四棵树能组成一个平行四形，你觉得这第四棵树应栽在哪呢?如何画的？