数列的通项公式及递推公式
数列的递推公式及通项公式
数列的递推公式及通项公式数列是数学中一个重要的概念，是由一组按照特定规律排列的数所组成的序列。
数列有两种常见的表示方式：递推公式和通项公式。
本文将从基本概念入手，详细介绍数列的递推公式和通项公式，并结合实例加深理解。
一、数列的基本概念数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
数列中的每一个数称为该数列的项，用an表示。
通常用字母n表示项的位置。
例如，1, 3, 5, 7, 9, ... 是一个递增的奇数数列。
其中1是第1项，3是第2项，5是第3项，以此类推。
二、递推公式递推公式也称为递推关系式或递推式，用于表示数列中的每一项与前一项之间的关系。
通过递推公式，可以通过给定的前几项，求解后面的任意项。
递推公式的一般形式为an = f(an-1)，其中f表示规定的函数或运算。
可以根据数列的特点来确定递推公式。
例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9, ...，我们可以观察到每一项与前一项之间的关系是+2。
因此，递推公式可以表示为an = an-1 + 2。
三、通项公式通项公式是用一个公式直接表示数列的第n项，无需通过前面的项推导得到。
通项公式更为简洁，可以方便地计算数列中任意一项的值。
通常用公式an = f(n)表示数列的通项公式，其中f(n)表示与项的位置n有关的函数或运算。
以等差数列为例，假设首项是a1，公差是d，那么通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d。
其中，a1表示首项的值，n表示项的位置，d表示公差。
四、使用递推公式和通项公式的实例1. 递推公式实例：考虑一个数列，首项是2，每一项都是前一项的3倍。
我们可以得到递推公式an = 3 * an-1。
根据递推公式，可以计算数列的前几项：a1 = 2a2 = 3 * a1 = 3 * 2 = 6a3 = 3 * a2 = 3 * 6 = 18a4 = 3 * a3 = 3 * 18 = 54...2. 通项公式实例：考虑一个等差数列，首项是1，公差是4。
数列的递推公式和通项公式
数列的递推公式和通项公式数列是数学中的一种常见概念，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。
数列的递推公式和通项公式是数列的两种重要表示方式，它们可以帮助我们更好地理解和计算数列。
一、数列的递推公式数列的递推公式是指通过前一项或多项来推导出后一项的公式。
一般来说，递推公式可以分为线性递推和非线性递推两种。
1.1 线性递推公式线性递推公式是指数列中的每一项都可以通过前一项乘以一个常数再加上另一个常数得到。
一般可以用如下的形式表示：an = a(n-1) * r + b。
其中an表示数列中的第n项，a(n-1)表示数列中的第(n-1)项，r和b 为常数。
例如，如果数列的前两项分别为a1和a2，且每一项都等于前一项乘以2再加上1，则该数列的递推公式为：an = a(n-1) * 2 + 1。
利用这个递推公式，我们可以轻松求解数列中的任意一项。
1.2 非线性递推公式非线性递推公式是指数列中的每一项不能通过前一项乘以一个常数再加上另一个常数得到。
非线性递推公式的形式较为多样，常见的有多项式递推和递归递推等。
以多项式递推为例，假设数列的前两项分别为a1和a2，而后续项满足如下规律：an = an-1^2 + an-2^2。
在这种情况下，我们无法仅仅通过前一项或多项来计算后一项。
此时，我们需要借助递归或其他更复杂的方法来求解数列中的每一项。
二、数列的通项公式数列的通项公式是指通过数列的位置n来计算该位置上的数值。
通项公式可以直接给出数列前n项的数值，而不需要通过递推关系一步步推导。
通项公式也常被称为数列的一般项公式。
2.1 等差数列的通项公式等差数列是最常见的数列之一，它的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列中的第n项，a1表示数列的首项，d表示公差。
例如，如果一个等差数列的首项为3，公差为2，则它的通项公式为an = 3 + (n-1)2。
通过这个通项公式，我们可以轻松计算出等差数列中的任何一项。
数列的递推公式及通项公式
数列的递推公式及通项公式数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。
数列中的每个数字称为项，而这些项之间的关系可以通过递推公式和通项公式来描述。
本文将介绍数列的递推公式和通项公式，并通过具体的例子来解释其应用。
一、递推公式递推公式是指通过前一项或多项来确定后一项的公式。
递推公式可以分为线性递推和非线性递推两种类型。
1.1 线性递推线性递推是指数列的每一项都可以通过前一项乘以某个常数再加上某个常数得到。
其一般形式如下：an = a(n-1) * r + d其中，an代表数列中的第n项，a(n-1)代表数列中的第n-1项，r为公比，d为公差。
例如，给定数列1，3，5，7，9，...，其中第一项a1为1，公差d 为2。
根据数列的特点可以确定递推公式为：an = a(n-1) + 2通过递推公式，可以依次计算出数列的每一项。
1.2 非线性递推非线性递推是指数列的每一项不能用前一项的线性组合表示，而是通过其他的方式来确定。
例如，斐波那契数列就是一个常见的非线性递推数列。
斐波那契数列的递推公式为：an = a(n-1) + a(n-2)其中，a1 = 1，a2 = 1。
根据递推公式，可以计算出斐波那契数列的每一项。
二、通项公式通项公式是指通过数列的位置n来直接计算数列中的第n项的公式。
通项公式可以分为线性通项和非线性通项两种类型。
2.1 线性通项线性通项是指数列的每一项可以通过位置n的线性关系来计算。
其一般形式如下：an = a1 + (n-1) * d其中，an代表数列中的第n项，a1为数列首项，d为公差。
以等差数列为例，假设已知数列首项a1为2，公差d为3，可以通过线性通项公式an = 2 + (n-1) * 3计算出数列的任意一项。
2.2 非线性通项非线性通项是指数列的每一项不能用位置n的线性关系来计算，而是通过其他的方式来确定。
例如，等比数列就是一个常见的非线性通项数列。
等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)其中，an代表数列中的第n项，a1为数列首项，r为公比。
数列的递推公式与通项公式
一 、 察 法 ： 据 前 若 干项 观 察 结 果 ( 不完 全 归 纳 法 ) 观 根
例1. 数列{an }的前5项依次为下列数, 试写出 数列的一个通项公式. (1)3, 5, 9, 17, 33, …… 3 1 1 3 1 (2) − , , − , , − , …… 2 2 4 20 10 n−1 n (1)an − an−1 = 2 ⇒ an = 2 + 1 3 3 3 3 3 (2) − , , − , , − ,… 2 2× 3 3× 4 4× 5 5× 6 n 3 × (−1) ⇒ an = n(n + 1)
、 用 a n n 二 利 Sn求 n :分 =1与 ≥2两 情 讨 ， 种 况 论 案 否 写 分 的 式 答 是 要 成 段 形 . 2 列 的 n 和 S 分 满 下 条 ， 例 . 数 {an} 前 项 为 n且 别 足 列 件 n=1 求 列 通 公 an (1)a = 3 数 的 项 式 n 2 6n − 5 n ≥ 2 (1)Sn =3n −2n+2 n 8 n=1 (2)Sn =5 +3 (2)an = n −1 4× 5 n≥ 2 2 (3)a1 =1 2Sn =2anSn −an， ≥2 n ， an +1 2 (4)an >0 Sn =( ， ) 2 n=1 −2 (3) − = 2 ⇒ Sn = ⇒ an = n≥ 2 Sn Sn − 1 2n − 1 (2n − 1)(2n − 3) (4)an = an−1 + 2 ⇒ an = 2n − 1
数列的递推公式与通项公式知识点总结
数列的递推公式与通项公式知识点总结数列是数学中常见的概念，它指的是按照一定规律排列的一系列数字。
而数列的递推公式与通项公式是研究数列的重要工具。
本文将对数列的递推公式与通项公式进行知识点总结，并探讨其应用。
一、数列的递推公式数列的递推公式，又称为递归公式，是一种用前一项或前几项表示后一项的规律。
递推公式能够方便地求解数列中任意一项的值，同时也能够帮助我们寻找数列的规律。
1.1 等差数列的递推公式等差数列是最简单且常见的一种数列，它的每一项与前一项之差都是一个常数d，称为公差。
设等差数列的首项为a1，公差为d，则等差数列的递推公式可以表示为：an = an-1 + d，其中n为项数，n>1。
例如，首项为3，公差为2的等差数列的递推公式为：an = an-1 + 2。
1.2 等比数列的递推公式等比数列是指数列中每一项与前一项之比都是一个常数q，称为公比。
设等比数列的首项为a1，公比为q，则等比数列的递推公式可以表示为：an = an-1 * q，其中n为项数，n>1。
例如，首项为2，公比为3的等比数列的递推公式为：an = an-1 * 3。
二、数列的通项公式数列的通项公式是一种用项数n表示第n项的公式。
通项公式能够直接求解数列中任意一项的值，不需要通过递推公式逐项计算。
通项公式的推导需要对数列的规律进行观察和总结。
2.1 等差数列的通项公式对于等差数列，它的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1) * d，其中n为项数。
例如，首项为3，公差为2的等差数列的通项公式为：an = 3 + (n-1) * 2。
2.2 等比数列的通项公式对于等比数列，它的通项公式可以表示为：an = a1 * q^(n-1)，其中n为项数。
例如，首项为2，公比为3的等比数列的通项公式为：an = 2 * 3^(n-1)。
三、递推公式与通项公式的应用递推公式和通项公式在数列相关问题中有广泛的应用，它们能够帮助我们求解数列中任意一项的值，推导数列的规律以及解决实际问题。
数列的递推公式与通项公式前n项和公式
二、数列的递推公式与通项公式、前n 项和公式一、知识点回顾：1、递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
2、数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧--11s s s n n 12=≥n n 。
在数列｛a n ｝中，前n 项和S n 与通项公式a n 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。
注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；若a 1 适合由a n 的表达式，则a n 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。
（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
3、数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥。
一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。
⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。
⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥。
数列的通项公式与递推公式
数列的通项公式与递推公式数列是数学中的重要概念，在各个领域中都有广泛的应用。
数列由一系列有序的数字组成，可以通过通项公式和递推公式来进行描述和计算。
本文将着重介绍数列的通项公式和递推公式，并探讨它们在数学中的应用。
一、数列的概念和表示方法数列是按照一定顺序排列的一系列数字的集合。
数列中的每个数字称为数列的项，数列的第一个数字称为首项，数列的最后一个数字称为末项。
数列可以用一般项表示为{a₁，a₂，a₃，…}，其中a₁表示数列的首项，a₂表示数列的第二项，以此类推。
二、数列的通项公式数列的通项公式是指通过一个整数n，可以直接求得数列的第n项的公式。
数列的通项公式的形式可以根据数列的性质来确定。
1.等差数列的通项公式等差数列是指数列中后一项与前一项之差都相等的数列。
如果等差为d，首项为a₁，则等差数列的通项公式为an = a₁ + (n-1)d。
2.等比数列的通项公式等比数列是指数列中后一项与前一项之比都相等的数列。
如果公比为q，首项为a₁，则等比数列的通项公式为an = a₁ * q^(n-1)。
3.斐波那契数列的通项公式斐波那契数列是指数列中每一项都等于前两项之和的数列。
斐波那契数列的通项公式为an = (φ^n - (1-φ)^n) / √5，其中φ=(1+√5)/2。
三、数列的递推公式数列的递推公式是指通过前面的项来求解下一项的公式。
递推公式可以帮助我们从已知的项推导出其他的项。
1.等差数列的递推公式对于等差数列an，其递推公式为an = an-1 + d，其中an-1表示数列的前一项，d为等差。
2.等比数列的递推公式对于等比数列an，其递推公式为an = an-1 * q，其中an-1表示数列的前一项，q为公比。
3.斐波那契数列的递推公式斐波那契数列的递推公式为an = an-1 + an-2，其中an-1和an-2分别表示数列的前两项。
四、数列的应用数列的通项公式和递推公式在数学中有着广泛的应用。
数列的递推公式和通项公式总结
数列的递推公式和通项公式总结一、数列的概念1.数列：按照一定顺序排列的一列数。
2.项：数列中的每一个数。
3.项数：数列中数的个数。
4.首项：数列的第一项。
5.末项：数列的最后一项。
6.公差：等差数列中，相邻两项的差。
7.公比：等比数列中，相邻两项的比。
二、数列的递推公式1.等差数列的递推公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的递推公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的递推公式：an = an-1 + an-2–an：第n项–an-1：第n-1项–an-2：第n-2项三、数列的通项公式1.等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的通项公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的通项公式：an = (1/√5) * [((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n]–an：第n项四、数列的性质1.收敛性：数列的各项逐渐接近某个固定的数。
2.发散性：数列的各项无限增大或无限减小。
3.周期性：数列的各项按照一定周期重复出现。
五、数列的应用1.数学问题：求数列的前n项和、某项的值、数列的收敛性等。
2.实际问题：人口增长、贷款利息计算、等差数列的求和等。
六、数列的分类1.有限数列：项数有限的数列。
2.无限数列：项数无限的数列。
3.交错数列：正负交替出现的数列。
4.非交错数列：同号连续出现的数列。
5.常数数列：所有项都相等的数列。
6.非常数数列：各项不相等的数列。
综上所述，数列的递推公式和通项公式是数列学中的重要知识点，通过这些公式，我们可以求解数列的各种问题。
同时，了解数列的性质和分类，有助于我们更好地理解和应用数列。
习题及方法：1.习题一：已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。
答案：a10 = 3 + (10-1) * 2 = 3 + 18 = 21解题思路：利用等差数列的递推公式an = a1 + (n-1)d，将给定的首项和公差代入公式，求得第10项的值。
递推公式和通项公式
递推公式和通项公式递推公式和通项公式是数学中常用的两种表示数列的方式。
数列是按照一定规律排列的一系列数值，比如斐波那契数列、等差数列等都是数学中常见的数列。
递推公式是通过前面的项得出后面的项，而通项公式则是通过数列中任意一项的下标得到这一项的数值。
下面将详细介绍递推公式和通项公式的概念、计算方法以及应用。
一、递推公式递推公式是通过前面的项推导出后面的项的公式，通常用于描述数列的规律。
递推公式的形式可以是直接递推公式和间接递推公式。
1.直接递推公式直接递推公式是根据数列中前面的若干项直接计算出后面其中一项的公式。
以斐波那契数列为例，斐波那契数列的递推公式为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F表示数列中的项数，n表示项数的下标，n-1表示前一项的下标，n-2表示前两项的下标。
根据这个递推公式，可以依次计算出数列中后续的项。
2.间接递推公式间接递推公式是通过数列中前面的项与后面的项的关系间接推导出后面其中一项的公式。
以等差数列为例，等差数列的递推公式为：an = a1+ (n-1)d，其中a表示数列中的项数，n表示项数的下标，a1表示首项，d表示公差。
根据这个递推公式，可以通过首项和公差来计算出数列中后续的项。
二、通项公式通项公式又称为数列的通项公式、一般项公式或通项公式，是通过数列中任意一项的下标得到这一项的数值的公式。
通项公式可以直接计算出数列中任意一项的数值，而不需要通过前面的项来逐步推导。
通项公式的形式可以是显式通项公式和递推通项公式。
1.显式通项公式显式通项公式是通过数列中任意项的位置直接计算该项的数值的公式。
以等差数列为例，等差数列的显式通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列中第n项的数值，a1表示首项，d表示公差。
根据这个公式，可以直接计算出数列中任意一项的数值。
2.递推通项公式递推通项公式是通过数列中前面的若干项推导出后面其中一项的数值的公式。
递推通项公式通常是基于递推公式得到的。
数列的通项公式
数列的通项公式基础知识点1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项(通常也叫做首项)．2．数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．3．数列的递推公式如果已知数列{a n}的第一项(或前几项)，且任何一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即a n＝f(a n－1)(或a n＝f(a n－1，a n－2)等)，那么这个式子叫做数列{a n}的递推公式．4．S n与a n的关系已知数列{a n}的前n项和为S n，则a n ＝⎩⎨⎧S1，n＝1，Sn－S n－1，n≥2，这个关系式对任意数列均成立．5.由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a1且a n－a n－1＝f(n)，可用“累加法”求a n.(2)已知a1且a nan－1＝f(n)，可用“累乘法”求a n.(3)已知a1且a n＋1＝qa n＋b，则a n＋1＋k＝q(a n＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{a n＋k}．(4)形如a n＋1＝AanBan＋C(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．基础题型训练：一．选择题（共10小题）1．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项 B．第7项 C．第11项 D．第19项2．已知数列{an }的前n项和，则a2•a6=（）A． B． C．16 D．643．设数列{an }的前n项和为Sn，若Sn=2n﹣1（n∈N+），则a2018的值为（）A．2 B．3 C．2018 D．40354．在等差数列{an }中，其前n项和为Sn，若a5，a7是方程x2+10x﹣16=0的两个根，那么S11的值为（）A．44 B．﹣44 C．55 D．﹣55 5．无穷数列1，3，6，10…的通项公式为（）A．an =n2﹣n+1 B．an=n2+n﹣1 C．an= D．an=6．在数列{an }中，a1=﹣1，a2=0，an+2=an+1+an，则a5等于（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣37．数列{an }的前n项和Sn=2n2﹣3n（n∈N*），则a4等于（）A．11 B．15 C．17 D．208．在数列{an }中，a1=1，an+1﹣an=2，则a51的值为（）A．49 B．89 C．99 D．1019．若数列{an }由a1=2，an+1=an+2n（n≥1）确定，则a100的值为（）A．9900 B．9902 C．9904 D．990610．已知数列{an }中，a1=1，an=3an﹣1+4（n∈N*且n≥2），则数列{an}通项公式an为（）A．3n﹣1 B．3n+1﹣8 C．3n﹣2 D．3n 二．填空题（共4小题）11．已知数列{an }的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn（n∈N+），则数列{an}的通项公式an= ．12．已知数列{an }的前n项和Sn=3+2n，则数列{an}的通项公式为．13．数列{an }满足an+1=3an+1，且a1=1，则数列{an}的通项公式an= ．14．已知数列{an }是等差数列，Sn是其前n项和，且S12＞0，S13＜0，则使an＜0成立的最小值n是．三．解答题（共1小题）15．设等差数列{an }的前n项和为Sn，已知a3=24，S11=0．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an }的前n项和Sn；（Ⅲ）当n为何值时，Sn 最大，并求Sn的最大值．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则an 2﹣an﹣12=3，又∵a12=2，∴an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选：B．2．已知数列{an }的前n项和，则a2•a6=（）A．B．C．16 D．64【解答】解：∵数列{an}的前n项和，∴a2=S2﹣S1=（22﹣1）﹣（2﹣1）=4﹣2=2，a6=S6﹣S5=（26﹣1）﹣（25﹣）=64﹣32=32，则a2•a6=2×32=64，故选：D．3．设数列{an }的前n项和为Sn，若Sn=2n﹣1（n∈N+），则a2018的值为（）A．2 B．3 C．2018 D．4035【解答】解：∵Sn =2n﹣1（n∈N+），则a2018=S2018﹣S2017=2×2018﹣1﹣（2×2017﹣1）=2．故选：A．4．在等差数列{an }中，其前n项和为Sn，若a5，a7是方程x2+10x﹣16=0的两个根，那么S11的值为（）A．44 B．﹣44 C．55 D．﹣55【解答】解：∵a5，a7是方程x2+10x﹣16=0的两个根，∴a5+a7=﹣10，则S11====﹣55，故选：D．5．无穷数列1，3，6，10…的通项公式为（）A．an =n2﹣n+1 B．an=n2+n﹣1 C．an=D．an=【解答】解：∵a2﹣a1=3﹣1=2，a 3﹣a2=6﹣3=3，a 4﹣a3=10﹣6=4，…∴an =a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）=1+2+3+…+n=．故选：C．6．在数列{an }中，a1=﹣1，a2=0，an+2=an+1+an，则a5等于（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【解答】解：数列{an }中，a1=﹣1，a2=0，an+2=an+1+an，a3=﹣1，a4=﹣1，则a5=﹣2．故选：C．7．数列{an }的前n项和Sn=2n2﹣3n（n∈N*），则a4等于（）A．11 B．15 C．17 D．20【解答】解：a4=S4﹣S3=（2×16﹣3×4）﹣（2×9﹣3×3）=11．故选：A．8．在数列{an }中，a1=1，an+1﹣an=2，则a51的值为（）A．49 B．89 C．99 D．101【解答】解：∵在数列{an }中，a1=1，an+1﹣an=2，∴数列{an }是首项为a1=1，公差为an+1﹣an=2的等差数列，∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴a51=2×51﹣1=101．故选：D．9．若数列{an }由a1=2，an+1=an+2n（n≥1）确定，则a100的值为（）A．9900 B．9902 C．9904 D．9906【解答】解：由题意可得，得an+1﹣an=2n所以a2﹣a1=2a3﹣a2=4…an ﹣an﹣1=2（n﹣1）把以上n﹣1个式子相加可得，an ﹣a1=2+4+6+…+2（n﹣1）=n（n﹣1）所以，an=n（n﹣1）+2则a100=9902故选：B．10．已知数列{an }中，a1=1，an=3an﹣1+4（n∈N*且n≥2），则数列{an}通项公式an为（）A．3n﹣1 B．3n+1﹣8 C．3n﹣2 D．3n【解答】解：在an =3an﹣1+4两边同时加上2，得an+2=3an﹣1+6=3（an﹣1+2），根据等比数列的定义，数列{ an+2}是等比数列，且公比为3．以a1+2=3为首项．等比数列{ an +2}的通项an+2=3•3 n﹣1=3 n，移向得an=3n﹣2．故选：C．二．填空题（共4小题）11．已知数列{an }的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn（n∈N+），则数列{an}的通项公式an= ．【解答】解：当n≥2时，an =2Sn﹣1，∴an+1﹣an=2Sn﹣2Sn﹣1=2an，即an+1=3an，∴数列{an }为等比数列，a2=2a1=2，公比为3，∴an=2•3n﹣2，当n=1时，a1=1∴数列{an}的通项公式为．故答案为：．12．已知数列{an }的前n项和Sn=3+2n，则数列{an}的通项公式为．【解答】解：由Sn=3+2n，当n=1时，a1=S1=5．当n≥2时，．所以．故答案为．13．数列{an }满足an+1=3an+1，且a1=1，则数列{an}的通项公式an= •（3n﹣1）．【解答】解：∵an+1=3an+1，∴an+1+=3（an+），则数列{an +}是公比q=3的等比数列，首项a1+=1+=，则an+=•3n﹣1=•3n，则an=﹣+•3n=•（3n﹣1），故答案为：•（3n﹣1）14．已知数列{an }是等差数列，Sn是其前n项和，且S12＞0，S13＜0，则使an＜0成立的最小值n是7 ．【解答】解：∵S12＞0，S13＜0，∴＞0，＜0，∴a6+a7＞0，a7＜0，∴a6＞0．则使an＜0成立的最小值n是7．故答案为：7．三．解答题（共1小题）15．设等差数列{an }的前n项和为Sn，已知a3=24，S11=0．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an }的前n项和Sn；（Ⅲ）当n为何值时，Sn 最大，并求Sn的最大值．【解答】解：（Ⅰ）依题意，∵a3=24，S11=0，∴a1+2d=24，a1+55d=0，解之得a1=40，d=﹣8，∴an=48﹣8n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a1=40，an=48﹣8n，∴Sn==﹣4n2+44n．（Ⅲ）由（Ⅱ）有，Sn=﹣4n2+44n=﹣4（n﹣5.5）2+121，故当n=5或n=6时，Sn 最大，且Sn的最大值为120．。
数列的通项公式与递推公式
答案：A
由递推公式求通项公式
【例2】
2an (1)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ an＋2
(n∈N*)，求通项an. an＋1 n (2)设{an}是首项为1的正项数列，且 ＝ ，求 an n＋1 它的通项公式．
1 【分析】 (1)将已知等式化简、整理，得 － ＝ an＋1 an 1 1 ，用累加法可求 ，再求 an.(2)可用累乘法求通项． 2 an 1
1 1 在数列{an}中，若a1＝ 2 ，an＝ (n≥2，n∈N*)， 1－an－1 则a2 007的值为( A．－1 C．1 ) 1 B.2 D．2
1 1 解析：a1＝ 2 ，a2＝2，a3＝－1，a4＝ 2 ，a5＝2，a6＝－ 1，…，归纳得an＋3＝an. ∴a2 007＝a3×669＝a3＝－1.
——易错警示系列—— 用函数方法解决数列问题 时，常忽略数列的特殊性 易错点：用函数方法解决数列问题时，常忽略数列的 特殊性 对于数列{an}，若第n项最大，则
an>an－1， an>an＋1. an≥an－1， an≥an＋1，
而不是
【典例】
9n· n＋1 已知an＝ 10n (n∈N*)，则数列{an}中有
解析：经观察，第n个图中间1个点向n个方向发散，每 个方向上另有(n－1)个点．故第n个图形中点的总个数为n(n －1)＋1＝n2－n＋1.
答案：n2－n＋1
{an }随n的变化有何规律？ 观察下列数列 {an } 通项公式，
（1）an 3n 1 1 a 1 2 （2） n n （3） an 2
1．递推公式与通项公式的对比
数列的递推公式及应用
【例1】
已知数列{an}的第1项是2，以后的各项
数列的递推公式和通项公式
数列的递推公式和通项公式数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。
在数学中，数列是一种常见的概念，它可以通过递推公式和通项公式来表示。
本文将介绍数列的定义、递推公式和通项公式的含义和应用。
一. 数列的定义数列是一种有序排列的数字序列，常用字母an表示其中的每一项。
一般情况下，数列中的每一项都与前一项或多项之间存在某种关系。
数列通常用大括号{}表示，例如{an}。
二. 递推公式递推公式是指通过前一项或多项来确定数列中的下一项的公式。
也可以称之为递归公式。
递推公式包含了数列中各项之间的递推关系。
形式上，递推公式可以表示为an = f(an-1, an-2, ... , an-k)，其中an表示第n项，f表示递推关系的函数，an-1, an-2, ... , an-k表示前一项或多项。
递推公式的具体形式取决于数列的性质和递推关系的特点。
常见的递推公式包括等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
1. 等差数列的递推公式等差数列是指数列中每一项与其前一项之差都相等的数列。
设数列的公差为d，首项为a1，则等差数列的递推公式为an = a1 + (n-1)d。
2. 等比数列的递推公式等比数列是指数列中每一项与其前一项之比都相等的数列。
设数列的公比为q，首项为a1，则等比数列的递推公式为an = a1 * q^(n-1)。
3. 斐波那契数列的递推公式斐波那契数列是指数列中每一项都等于其前两项之和的数列。
设数列的首两项分别为a1和a2，则斐波那契数列的递推公式为an = an-1 + an-2。
三. 通项公式通项公式是指能够直接计算数列第n项的公式，也称为一般公式。
通项公式将数列的第n项与n直接相关，而不需要通过前一项来计算。
通项公式通常用an表示。
通项公式的形式取决于数列的递推关系和数列的性质。
通项公式的推导方法各异，根据数列的特点，可以通过数列的递推关系、求和公式、解方程等方法得到相应的通项公式。
通项公式能够直接计算数列中任意一项的值，方便在数学中进行进一步计算和研究。
通项公式和递推关系
通项公式和递推关系
通项公式是指数列中的每一项与项号之间的关系式。
通项公式可以通过观察数列的规律、使用递推关系或利用数学方法推导得出。
递推关系是数列中相邻项之间的关系式。
通过已知的前几项，可以通过递推关系计算出后面的项数。
递推关系可以是线性关系、二次关系、几何关系等。
举例来说：
1.等差数列的通项公式和递推关系：
通项公式：an = a1 + (n-1)d
其中，an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
递推关系：an = an-1 + d
2.等比数列的通项公式和递推关系：
通项公式：an = a1 * r^(n-1)
其中，an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。
递推关系：an = an-1 * r
除了等差数列和等比数列，还有其他类型的数列，如斐波那契数列、等差三角数列等，它们都有各自的通项公式和递推关系。
拓展：
还有一种特殊的数列称为递归数列，它的每一项都是前面若干项
的函数。
递归数列的通项公式无法通过递推关系直接得出，而是需要
找到项之间的递推规律，通过前面的项算出后面的项。
递归数列常见
的例子是费氏数列，其通项公式为：
Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F1 = F2 = 1。
有时候，数列的规律不仅仅通过递推关系来确定，还需要借助于
其他数学工具，如组合数学中的排列组合、二项式定理等。
在某些情
况下，数列的通项公式可能无法通过已知的方法求得，这时候需要借
助于数值计算、数学推论或者近似方法来获取数列的一些特性和性质。
数列的递推公式与通项公式
数列的递推公式与通项公式数列是数学中非常重要的概念，它是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。
在数列中，递推公式和通项公式是两个重要的概念，它们可以用来描述数列中每一项之间的关系和求解数列中任意一项的数值。
本文将详细介绍数列的递推公式和通项公式的概念、性质以及应用。
一、数列的递推公式数列的递推公式是指通过已知项和前一项之间的关系来确定数列中后一项的公式。
递推公式的一般形式可以表示为：an = f(an-1)，其中an表示数列中的第n项，an-1表示数列中的第n-1项，f为一个函数或运算关系。
递推公式可以是线性的，也可以是非线性的。
线性递推公式的形式通常为：an = a1 + (n-1)d，其中a1为数列中的首项，d为数列中的公差。
这种递推公式常见于等差数列中。
非线性递推公式的形式则更加多样化，可以根据具体的数列规律来确定。
递推公式的使用可以方便地计算数列中的任意一项。
通过已知的前几项，根据递推公式可以逐步计算出后面的项，从而得到完整的数列。
递推公式也可以用于描述一些实际问题中的数值关系，如金融中的复利计算、物理中的运动规律等。
二、数列的通项公式数列的通项公式是指通过数列中的项数n来表示数列中任意一项的公式。
通项公式的一般形式可以表示为：an = f(n)，其中an表示数列中的第n项，f为一个函数或运算关系。
通项公式是递推公式的逆运算，它可以通过已知的数列中的几个项来确定数列的通项公式。
通项公式可以使我们更加方便地计算数列中任意一项的数值，而不需要逐步计算。
对于某些简单的数列，可以直接通过观察数列中的规律来确定通项公式。
例如，等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，d为公差（等差数列）或r为公比（等比数列）。
对于复杂的数列，可以通过数列的递推关系来推导出通项公式。
具体的推导方法根据数列的性质而定，可能需要运用数学归纳法、代数运算等技巧。
数列的递推公式与通项公式
数列的递推公式与通项公式数列是数学中的重要概念，它是按照特定规律排列的一系列数值。
在数列中，递推公式和通项公式是两个关键概念。
递推公式用来描述数列中每一项与前一项之间的关系，而通项公式则是用来计算数列中任意一项的值。
本文将深入探讨数列的递推公式与通项公式，希望能帮助读者对数列的理解更加深入。
一、递推公式递推公式是数列中每一项与前一项之间的关系式。
通过递推公式可以计算出数列中的各项值，从而形成一个完整的数列。
递推公式可以是线性的，也可以是非线性的，具体形式取决于数列的特点。
以斐波那契数列为例，斐波那契数列是一个非常著名的数列，在数列中的前两项是1，之后的每一项都等于前两项之和。
可以得出斐波那契数列的递推公式如下：Fn = Fn-1 + Fn-2其中，Fn表示第n项的值，Fn-1表示第n-1项的值，Fn-2表示第n-2项的值。
通过递推公式，我们可以计算出斐波那契数列中任意一项的值。
除了非线性的递推公式，还有一些数列的递推公式是线性的。
例如，等差数列和等比数列就可以使用线性的递推公式来描述。
在等差数列中，每一项都是前一项加上一个固定的差值d，递推公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d其中，an表示第n项的值，a1表示首项的值，d表示公差，n表示项数。
通过递推公式，我们可以轻松地计算出等差数列中任意一项的值。
二、通项公式通项公式是数列中任意一项的值的一般公式。
通过通项公式，我们可以直接计算数列中任意一项的值，而不需要通过递推关系一步一步计算。
以等差数列为例，等差数列的通项公式可以通过递推公式推导得到。
在等差数列中，递推公式为：an = a1 + (n-1)d将此递推公式进行整理和化简，可以得到等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d通过通项公式，我们可以直接计算出等差数列中任意一项的值。
只需要知道首项的值a1，公差d和要计算的项数n即可。
同样地，等比数列也有对应的通项公式。
等比数列的递推公式为：an = a1 * r^(n-1)其中，an表示第n项的值，a1表示首项的值，r表示公比，n表示项数。
数列的递推关系与通项公式
数列的递推关系与通项公式在数学中，数列是由数字按照一定顺序排列而成的序列。
不同的数列可以有不同的递推关系和通项公式来描述它们。
本文将详细介绍数列的递推关系和通项公式的概念、应用和计算方法。
一、递推关系递推关系是指通过前面几项的数值来计算出数列后面一项的数值的关系式。
递推关系可以用于求解以后面的数值为目标的数列问题，通常采用迭代或递归的方式进行计算。
举个例子，斐波那契数列的递推关系为：$F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$，其中$F_1=1,F_2=1$。
也就是说，斐波那契数列中每一项的值都等于前两项的值之和。
通过递推关系，可以计算出斐波那契数列的任意一项，例如$F_3=2,F_4=3$等。
二、通项公式通项公式是指数列的任意一项能通过公式直接计算出来。
通项公式是数列的一种显式表达式，它不需要通过前面的项数计算后面的项数。
通项公式的求解是数列学习的重点之一。
对于某些数列，其通项公式可能很容易求解，而对于某些数列，其通项公式可能非常难以求解。
一般来说，数列的通项公式可以通过数学归纳法、递推关系和差分方程等方式求解。
举个例子，对于等差数列$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$，其中$a_{1}$为首项，$d$为公差，$n$为项数。
通过推导，我们可以得到等差数列的通项公式为$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$。
通过这个通项公式，我们可以方便地计算出等差数列中任意一项的值。
三、数列的应用数列是数学中非常重要的一部分，具有广泛的应用价值。
在实际生活和工作中，数列有着很多重要的应用，比如在经济学、物理学、计算机科学等学科中，数列都有着不可或缺的作用。
1. 经济学中的应用经济学中常用的一些数列，如等比数列和收益率数列，可以用于计算商品价格、资产价值和财务报表等。
数列可以帮助经济学家计算和预测未来的经济情况，找出经济规律和趋势，从而为政策制定和决策提供依据。
2. 物理学中的应用在物理学中，数列可用于描述诸如声波、光波等周期性变化的现象。
数列的递推公式与通项公式
数列的递推公式与通项公式数列是指按一定规律排列的一组数。
在数列中，递推公式与通项公式是两个重要概念。
递推公式用于计算数列中的每一项，通项公式则可以直接计算出数列中任意一项的数值。
本文将介绍数列的递推公式与通项公式的概念、特点以及计算方法。
一、递推公式递推公式是指通过当前项与前一项之间的关系来计算数列的下一项。
递推公式通常以“An = ...”的形式表示，其中An表示第n项，等号右侧则是An与前一项之间的关系式。
递推公式的特点是通过已知的前几项，可以推算出数列的后续项。
对于等差数列而言，递推公式的一般形式为An = A1 + (n-1)d，其中A1为首项，d为公差，n为项数。
这个公式表明等差数列中的每一项都是前一项加上公差得到的。
例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, ...，其递推公式为An = 1 + (n-1)2。
对于等比数列而言，递推公式的一般形式为An = A1 * r^(n-1)，其中A1为首项，r为公比，n为项数。
这个公式表明等比数列中的每一项都是前一项乘以公比得到的。
例如，对于等比数列1, 2, 4, 8, ...，其递推公式为An = 1 * 2^(n-1)。
二、通项公式通项公式是直接计算数列中任意一项的数值的公式。
通项公式通常以“An = ...”的形式表示，其中An表示第n项，等号右侧则是与项数n相关的表达式。
通项公式的特点是通过项数n的值，可以直接计算出数列中对应项的数值。
对于等差数列而言，通项公式的一般形式为An = A1 + (n-1)d，其中A1为首项，d为公差，n为项数。
这个公式表明等差数列中的第n项可以通过首项与公差的运算得到。
例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, ...，其通项公式为An = 1 + (n-1)2。
对于等比数列而言，通项公式的一般形式为An = A1 * r^(n-1)，其中A1为首项，r为公比，n为项数。
这个公式表明等比数列中的第n项可以通过首项与公比的运算得到。
通项公式和递推公式的联系和区别
通项公式和递推公式在数学中都是重要的概念，它们在代数、数论和组合数学等领域有着广泛的应用。
本文将从简单到复杂逐步探讨通项公式和递推公式的联系和区别，以帮助读者更深入地理解这两个概念。
1. 通项公式和递推公式的定义通项公式是一个数列中，第n个项与n之间的关系式，通常表示为An=f(n)，其中An代表第n个项，f(n)是n的函数。
通项公式可以用来直接计算数列中任意项的值。
而递推公式是一个数列中，第n个项与前面某些项的关系式，通常表示为An=An-1+An-2，或者An=f(An-1,An-2)，其中An代表第n个项，An-1和An-2代表前两个项。
递推公式通过确定初始值，然后通过前一项来递推得到后一项的值。
2. 联系：通项公式可以通过递推公式求得在一些情况下，我们很难直接写出数列的通项公式。
这时，递推公式就显得非常重要了。
通过递推公式，我们可以通过已知的初始值，不断地递推求得数列的每一项的值，直到得到我们想要的结果。
斐波那契数列就是一个典型的例子。
其递推公式为Fn=Fn-1+Fn-2，初始值为F0=0，F1=1。
通过递推公式，我们可以得到斐波那契数列的每一项的值。
而这些值可以帮助我们找到斐波那契数列的通项公式。
3. 区别：通项公式是直接计算数列中任意项的值，而递推公式是通过前一项递推得到后一项的值通项公式和递推公式在求解数列中的项的值时有着不同的方式。
通项公式是一个对n的函数，直接通过n的值计算出数列中第n个项的值。
而递推公式则是通过已知的一些项，利用前一项的值来得到后一项的值。
4. 个人观点和总结在实际应用中，通项公式和递推公式都有其独特的优势。
通项公式能够直接给出数列中任意项的值，适用于直接计算数列中某一项的情况；而递推公式则适合于通过前一项递推得到后一项的场景，它更贴近实际问题的建模和求解过程。
掌握通项公式和递推公式的联系和区别，对于理解和运用数列以及在数学建模和解决实际问题中有着重要的意义。
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数列的通项公式及递推公式
数列是按照一定的规律排列的一系列数字。
在数学中，我们常常使用通项公式和递推公式来描述数列。
一、通项公式
通项公式是指能够给出数列中第n项的公式。
也就是说，通过通项公式，我们可以直接计算出数列中任意一项的值，而不需要知道前面的所有项。
1.1等差数列的通项公式
等差数列是指相邻两项之间的差值都是相等的数列。
一般地，等差数列可以写作a，a+d，a+2d，a+3d，...，其中a是首项，d是公差（即相邻两项之间的差值）。
等差数列的通项公式为：an = a + (n-1)d，其中an是数列中第n项的值，a是数列的首项，d是数列的公差。
举个例子，如果一个等差数列的首项是2，公差是3，那么这个数列的通项公式就是an = 2 + 3(n-1)。
1.2等比数列的通项公式
等比数列是指相邻两项之间的比值都是相等的数列。
一般地，等比数列可以写作a，ar，ar^2，ar^3，...，其中a是首项，r是公比（即相邻两项之间的比值）。
等比数列的通项公式为：an = a * r^(n-1)，其中an是数列中第n 项的值，a是数列的首项，r是数列的公比。
举个例子，如果一个等比数列的首项是2，公比是3，那么这个数列的通项公式就是an = 2 * 3^(n-1)。
二、递推公式
递推公式是指通过已知数列中的前几项来计算出下一项的公式。
也就是说，通过递推公式，我们可以通过已知的前几项来求解后面的项。
2.1等差数列的递推公式
对于等差数列而言，递推公式可以表示为：an = an-1 + d。
这个公式表示数列中的第n项等于它前一项的值加上公差d。
2.2等比数列的递推公式
对于等比数列而言，递推公式可以表示为：an = an-1 * r。
这个公式表示数列中的第n项等于它前一项的值乘以公比r。
举个例子，如果一个等差数列的首项是2，公差是3，那么数列的递推公式就是an = an-1 + 3
对于一个等比数列的首项是2，公比是3，那么数列的递推公式就是an = an-1 * 3
综上所述，通项公式和递推公式是描述数列的重要工具。
通过这些公式，我们可以根据已知条件来推导出数列中的任意一项的值，或者通过已知的前几项来计算出后面的项。