初高中数学衔接教材(已整理精品)

初高中数学衔接教材

1.乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式

2 2 (a b)(a b) a b ；

（2）完全平方公式 2 2 2

(a b) a 2 a b ．b

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 2 2 3 3

(a b) (a a b b ) a ；b

（2）立方差公式 2 2 3 3

(a b) (a a b b ) a ；b

（3）三数和平方公式

2 2 2 2 (a b c ) a b c 2 ( a b b c ；)

a c

（4）两数和立方公式 3 3 2 2 3

(a b) a 3 a b 3 a b ；b

（5）两数差立方公式

3 3 2 2 (a b) a 3 a b 3 a b ．b 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．

例 1 计算：

2 2 (x 1)(x 1)(x x 1)(x x 1)．

解法一： 原式= 2 2 2 2

(x 1) (x 1) x = 2 4 2 (x 1)(x x 1)

= 6 1 x ．

解法二： 原式=

2 2 (x 1)(x x 1)(x 1)(x x

1)

= 3 3 (x 1)(x

1)

= 6 1

x ．

例 2 已知 a b c 4，ab bc ac 4，求

2 2 2 a b c 的值．

解：

2 2 2 ( )2

2( ) 8

a b c a b c ab bc ac ．

练 习

1．填空：

（1）

1 1 1 1

2 2

a b ( b a) （ ）； 9 4 2 3

（2）(4 m 2

2 ) 16m 4m ( ) ；

(3 )

2 2 2 2 (a 2b c) a 4b c ( ) ． 2．选择题：

（1）若

2 1

x mx k 是一个完全平方式，则k 等于（）

2

（A ）

2

m （B）

1

4

2

m （C）

1

3

2

m （D）

1

16

2

m

（2）不论 a，b 为何实数， 2 2 2 4 8

a b a b 的值

（）

（A ）总是正数（B）总是负数

（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数

2．因式分解

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应

了解求根法及待定系数法．

1．十字相乘法

例1 分解因式：

2 2

（1）x －3x＋2；（2）x ＋4x－12；

2 ( ) 2

（3）x a b xy aby ；（4）xy 1 x y ．

2

解：（1）如图1．1－1，将二次项 x 分解成图中的两个x 的积，再将常数项 2 分解成－1

初中升高中数学教材变化分析

2

与－2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x －3x＋2 中的一次项，所以，有

2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

x

x 1

－1 1 －2 x －ay

－1

x －2 x

1 －

2 6 －by

1

图 1．1－1 图 1．1－3 图1．1－4

图 1．1－2

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1 中的两个x 用 1 来表示（如图1．1－2 所示）．

（2）由图 1．1－3，得

2

x ＋4x－12＝(x－2)( x＋6)．

（3）由图 1．1－4，得

2 ( ) 2

x a b xy aby ＝(x ay)( x by)

x －1

（4）xy 1 x y ＝xy＋(x－y)－1

＝(x－1) (y+ 1) （如图 1．1－5 所示）．课堂练习

一、填空题：y

图 1．1－5

1

1、把下列各式分解因式：

2 x

（1） 5 6

x __________________________________________________ 。

2 x

（2） 5 6

x __________________________________________________ 。

2 x

（3） 5 6

x __________________________________________________ 。

2 x

（4） 5 6

x __________________________________________________ 。

2

（5） x a 1 x a

__________________________________________________ 。

2 x

（6）11 18

x __________________________________________________ 。

2 x

（7）6 7 2

x __________________________________________________ 。

2 m

（8）4 12 9

m __________________________________________________ 。

2

（9）5 7x 6x __________________________________________________ 。

2 6 2

（10）12x xy y __________________________________________________ 。