南京师范大学附中树人学校八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》提高练习(培优练)

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南京市八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》经典练习卷(含答案解析)

南京市八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》经典练习卷(含答案解析)

一、选择题1.根据等式:()()2111x x x -+=-,()()23111,x x x x -++=-()()324111x x x x x -+++=-,()()4325111,x x x x x x -++++=-……的规律,则可以推算得出2021202020192222...221++++++的末位数字是( )A .1B .3C .5D .7 2.若3a b +=-,10ab =-,则-a b 的值是( )A .0或7B .0或13-C .7-或7D .13-或133.代数式2346x x -+的值为3,则2463x x -+的值为( ) A .7B .18C .5D .94.我们已经接触了很多代数恒等式,知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式.例如左图可以用来解释(a+b )2-(a -b )2=4ab .那么通过右图面积的计算,验证了一个恒等式,此等式是( )A .22()()a b a b a b -=+-B .22()(2)a b a b a ab b -+=+-C .222()2a b a ab b -=-+D .222()2a b a ab b +=++5.形如ab cd的式子叫做二阶行列式,它的算法是:ab ad bc cd=-,则221a a a a -++的运算结果是( ) A .4a B .4a -C .4D .4-6.化简()2003200455-+所得的值为( )A .5-B .0C .20025D .200345⨯ 7.2a =1,b 是2的相反数,则a+b 的值是( ) A .1B .-3C .-1或-3D .1或-38.下列计算正确的是( ) A .(a +b )(a ﹣2b )=a 2﹣2b 2B .(a ﹣12)2=a 2﹣14C .﹣2a (3a ﹣1)=﹣6a 2+aD .(a ﹣2b )2=a 2﹣4ab +4b 2 9.下列运算正确的是( ) A .3m ·4m =12m B .m 6÷m 2= m 3(m≠0) C .236(3)27m m -=D .(2m+1)(m-1)=2m 2-m-110.已知552a =,443b =,334c =,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .a b c >> B .b c a >>C .c a b >>D .a c b >>11.已知51x =+,51y =-,则代数式222x xy y ++的值为( ).A .20B .10C .45D .2512.长和宽分别为a ,b 的长方形的周长为16,面积为12,则22 a b ab +的值为( ) A .24 B .48 C .96 D .192 13.若|a |=13,b|=7,且a +b>0,则a -b 的值是( ). A .6或20B .20 或-20C .6或-6D .-6或2014.下列各式计算正确的是( ) A .5210a a a =B .()428=a a C .()236a ba b = D .358a a a +=15.已知x =7+1,y =7﹣1,则xy 的值为( ) A .8B .48C .27D .6二、填空题16.若2330x x --=,则()()()123x x x x ---的值为______.17.如图是一个简单的数值运算程序,当输入n 的值为3时,则输出的结果为______.18.已知a ,b 互为相反数,c ,d 互为倒数,x 是数轴上到原点的距离为1的点表示的数,则2021a bxcd cd+-+的值为_______. 19.若()()21x a x -+的积中不含x 的一次项,则a 的值为______.20.历史上数学家欧拉最先把关于x 的多项式用记号()f x 来表示,把x 等于某数a 时的多项式的值用()f a 来表示.例如,对于多项式42()5f x mx nx x =+++,当2x =时,多项式的值为(2)1647f m n =++,若(2)10f =,则()2f -的值为_________.21.若294x kx ++是一个完全平方式,则k 的值为_____. 22.若2a 与()23b +互为相反数,则2-=b a ______. 23.若2249x mxy y -+是一个完全平方式,则m =______24.因式分解()2228ac bc abc -+=______. 25.若a - b = 1, ab = 2 ,则a + b =______. 26.分解因式:2a 2﹣8=______.三、解答题27.先化简,再求值:2()(2)(2)()x y x y y x y ⎡⎤---+÷-⎣⎦,其中1x =-,2y =. 28.图1是一个长为2a 、宽为2b 的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后按图2的形状拼成一个正方形.(1)图2中的阴影部分的正方形的周长等于________.(2)观察图2,请你写出下列三个代数式2()a b +,2()a b -,ab 之间的等量关系为________.(3)运用你所得到的公式,计算:若m 、n 为实数,且3=-mn ,4m n -=,试求m n +的值.(4)如图3,点C 是线段AB 上的一点,以AC 、BC 为边向两边作正方形,设8AB =,两正方形的面积和1226S S +=,求图中阴影部分面积. 29.分解因式(1)22363ax axy ay -+(2)()()22162xx x ---30.观察下列两个等式:22111121213,55322⨯=+-⨯=+-,给出定义如下:我们称使等式23ab a b =+-成立的一对有理数a ,b 为“海山有理数对”,记为(),a b ,如:()112,1,5,2⎛⎫⎪⎝⎭,都是“海山有理数对”. (1)数对()()2,1,1,1--中是“海山有理数对”的是_____________; (2)若()3n ,是“海山有理数对”,则n =_____________;(3)若()m,2是“海山有理数对”,求()223221m m m ⎡⎤---⎣⎦的值.。

八年级数学上册整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)

八年级数学上册整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)
一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题(难)
1.先阅读下列材料:我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法,其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等等,其中十字相乘法在高中应用较多.
十字相乘法:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角;再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角;然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数(如图),如:将式子 和 分解因式,如图:
(2)先找出x=-1时,得出多项式的值,进而找出一个因式,再将多项式设成分解因式的形式,即可得出结论.
【详解】
解:(1)把 带入多项式 ,发现此多项式的值为0,
∴多项式 中有因式 ,
于是可设 ,
得出: ,
∴ , ,
∴ , ,
(2)把 代入 ,多项式的值为0,
∴多项式 中有因式 ,
于是可设 ,
∴ , ,


请你仿照以上方法,探索解决下列问题:
(1)分解因式: ;
(2)分解因式: .
【答案】(1)(x﹣3)(x﹣4);(2)(x﹣1)(3x+1).
【解析】
【分析】
(1)将1分成1乘以1,12分成-3乘以-4,交叉相乘的结果为-7,即可得到答案;
(2)将3分成1乘以3,-1分成-1乘以1,由此得到分解因式的结果.
解答:把 带入多项式 ,发现此多项式的值为0,由此确定多项式 中有因式 ,于是可设 ,分别求出 , 的值.再代入 ,就容易分解多项式 ,这种分解因式的方法叫做“试根法”.
(1)求上述式子中 , 的值;
(2)请你用“试根法”分解因式: .
【答案】(1) , ;(2)
【解析】
【分析】
(1)先找出一个x的值,进而找出一个因式,再将多项式设成分解因式的形式,即可得出结论;

8年级上册 第14章《整式乘除与因式分解》同步练习及答案(14.1-14.2)

8年级上册 第14章《整式乘除与因式分解》同步练习及答案(14.1-14.2)

(第10题)第14章《整式乘除与因式分解》同步练习(§14.1~14.2)班级 学号 姓名 得分一、填空题(每题3分,共30分)1.若a b c x x x x =2014x ,则c b a ++=______________.2.(2)(2)a b ab --=__________,2332()()a a --=__________.3.如果2423)(a a a x =⋅,则______=x .4.计算:(12)(21)a a ---= .5.有一个长9104⨯mm ,宽3105.2⨯mm ,高3610⨯mm 的长方体水箱,这个水箱的容积是______________2mm .6.通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式(一定成立的等式),请根据右图写出一个代数恒等式是:________________.7.若3230123)x a a x a x a x =+++,则220213()()a a a a +-+的值为 .8.已知:A =-2ab ,B =3ab (a +2b ),C =2a 2b -2ab 2 ,3AB -AC 21=__________. 9.用图所示的正方形和长方形卡片若干张,拼成一个长为2a b +,宽为a b +的矩形,需要A 类卡片_______张,B 类卡片_______张,C 类卡片_______张.10.我国北宋时期数学家贾宪在他的著作《开方作法本源》中的“开方作法本源图”如下图所示,通过观察你认为图中a =__________.二、选择题(每题3分,共24分)11.下列运算正确的是 ( )(第6题) (第9题)a b bA .236x x x =B .2242x x x +=C .22(2)4x x -=-D .358(3)(5)15a a a --=12.如果一个单项式与3ab -的积为234a bc -,则这个单项式为( ) A .14ac B .214a c C .294a c D .94ac 13.计算233[()]()a b a b ++的正确结果是( )A .8()a b +B .9()a b +C .10()a b +D .11()a b +14.若x 2-y 2=20,且x +y =-5,则x -y 的值是( )A .5B .4C .-4D .以上都不对15.若25x 2+30xy +k 是一个完全平方式,则k 是( )A .36y 2B .9y 2C .6y 2D .y 216.已知2a b +=,则224a b b -+的值是( )A.2 B.3 C.4 D.6 17.计算)12)(25(-+a a 等于( )A .2102-aB .25102--a aC .24102-+a aD .2102--a a18.下列计算正确的是( )A .56)8)(7(2-+=-+x x x xB .4)2(22+=+x xC .2256)8)(27(x x x -=+-D .22169)43)(43(y x y x y x -=-+三、解答题(共46分)19.(8分)利用乘法公式公式计算(1)(3a +b )(3a -b ); (2)10012.20.(6分)计算(52x +1)2-(52x -1)2.21.(7分)化简求值:()()()()22232232323a b a b a b a b --+-++.其中:31,2=-=b a .22.(7分)解方程 2(x -2)+x 2=(x +1)(x -1)+x .23.(9分)如图,在矩形ABCD中,横向阴影部分是矩形,另一阴影部分是平行四边形,根据图中标注的数据,计算图中空白部分的面积.24.(9分)学习了整数幂的运算后,小明给小华出了这样一道题:试比较3555,4444,5333的大小?小华怎么也做不出来.聪明的读者你能帮小华解答吗?参考答案一、填空题1.2013 2.2242a b ab -+、12a - 3.18 4.214a - 5.16610⨯ 6.()ab a b a a 2222+=+ 7.1 8.32231638a b a b -- 9.2、3、1 10.6二、选择题11.D 12.A 13.B 14.C 15.B 16.C 17.D 18.D三、解答题19.(1)9a 2—b 2;(2)1002001 20.10x 21.22427a b +,19 22.x =3 23.2ab ac bc c --+ 24.能,35551113243=;4441114256=;3331115125=.因为256243125>>,所以111111111256243125>>.所以444555333435>>.。

八级上册数学第十四章整式的乘法与因式分解测试题【推荐下载】

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八级上册数学第十四章整式的乘法与因式分解测试题八年级数学第十四章整式的乘法与因式分解测试题姓名成绩一、选择题:将下列各题正确答案的代号的选项填在下表中。

每小题2 分,共24分。

题号123456789101112答案1.下列计算正确的是()A. B. C. D.2.化简()A. -B.C.D. -3.若,则m的值为()A. 1B. 2C. 3D. 44.计算()A. B. C. D.5.化简的结果正确的是()A. B. C. 2 D.6.下列计算错误的是()A. 3a2b=5abB. -a2a=-a3C. D.7.下列计算正确的是()A. B.C. D.8.一个长方体的长、宽、高分别为3x-4,2x和x,则它的体积等于()A. B.C. D.9.下列多项式相乘和结果为x3-2x2y+xy2的是()A. B. C. D.10. 的计算结果是()A. B. C. D.11.一次课堂练习,一位同学做了4道因式分解题,你认为这位同学做得不够完整的题是()A. B.C. D.12.若a+b=6,a b=3,则3a2b+3ab2的值是()A. 9B. 27C. 19D. 54二、填空题:本大题共8小题,每小题3分,共24分。

13.若,则=.14.已知:,则m的值为.15.计算的结果是.16.若a-b=1,a b=-2,则=.17.已知:,x y=.18.在实数范围内分解因式:x4-4=.19.若9x2+m x y+16y2是一个完全平方式,则m的值是.20.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图甲),把余下的部分拼成一个矩形(如图乙),根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证(填写序号).①a2+2ab+b2 ②a2-2ab+b2③a2-b2=④a2+a b-2b2三、解答题:(本大题共52分)21.计算题:(每小题4分,共计16分)⑴.⑵.⑶22.化简求值:(每小题3分,共6分)⑴.,其中a=3,b=-.⑵.已知2x-y=10,求的值.23.将下列各式因式分解:(每小题4分,共16分)24.解不等式组:(8分)25.探究题:(6分)观察下列式子:(x2-1)÷(x-1)=x+1;(x3-1)÷(x-1)=x2+x+1;(x4-1)÷(x-1)=x3+x2+x+1(x5-1)÷(x-1)=x4+x3+x2+x+1⑴.你能得到一般情况下(xn-1)+(x-1)的结果吗?(n为正整数)⑵.根据⑴的结果计算:1+2+22+23+24+…+262+263.。

数学八年级上册 整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)

数学八年级上册 整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)

数学八年级上册 整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word 版 含解析)一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题(难)1.如果多项式29x kx -+能用公式法分解因式,那么k 的值是( )A .3B .6C .3±D .6±【答案】D【解析】由于可以利用公式法分解因式,所以它是一个完全平方式222a ab b ±+,所以236k =±⨯=±.故选D.2.下列多项式中,能分解因式的是:A .224a b -+B .22a b --C .4244x x --D .22a ab b -+【答案】A【解析】根据因式分解的意义,可知A 、224a b -+能用平方差公式()()22a b a b a b -=+-分解,故正确;B 、22a b --=-(22a b +),不能进行因式分解,故不正确;C 、4244x x --不符合完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±,故不正确;D 、22a ab b -+既没有公因式,也不符合公式,故不正确.故选:A.点睛:此题主要考查了因式分解,解题时利用因式分解的方法:因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤:一提(公因式)、二套(平方差公式()()22a b a b a b -=+-,完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±)、三检查(彻底分解).3.因式分解x 2-ax +b ,甲看错了a 的值,分解的结果是(x +6)(x -1),乙看错了b 的值,分解的结果为(x -2)(x +1),那么x 2+ax +b 分解因式正确的结果为( )A .(x -2)(x +3)B .(x +2)(x -3)C .(x -2)(x -3)D .(x +2)(x +3) 【答案】B【解析】【分析】【详解】因为(x +6)(x -1)=x 2+5x-6,所以b=-6;因为(x -2)(x +1)=x 2-x-2,所以a=1.所以x 2-ax +b=x 2-x-6=(x-3)(x+2).故选B.点睛:本题主要考查了多项式的乘法和因式分解,看错了a ,说明b 是正确的,所以将看错了a 的式子展开后,可得到b 的值,同理得到a 的值,再把a ,b 的值代入到x 2+ax +b 中分解因式.4.下列计算正确的是( )A .3x 2 ·4x 2 =12x 2B .(x -1)(x —1)=x 2—1C .(x 5)2 =x 7D .x 4 ÷x =x 3【答案】D【解析】试题分析:根据单项式乘以单项式的法则,可知3x 2 ·4x 2 =12x 4,故A 不正确; 根据乘法公式(完全平方公式)可知(x -1)(x —1)=x 2—2x+1,故B 不正确; 根据幂的乘方,底数不变,指数相乘,可得(x 5)2 =x 10,故C 不正确;根据同底数幂的相除,可知x 4 ÷x =x 3,故D 正确. 故选:D.5.在2014,2015,2016,2017这四个数中,不能表示为两个整数平方差的数是( ).A .2014B .2015C .2016D .2017 【答案】A【解析】由于22()()a b a b a b -=+-,所以22201510081007=-;222016505503=-;22201710091008=-;因+a b 与-a b 的奇偶性相同,21007⨯一奇一偶,故2014不能表示为两个整数的平方差. 故选A.6.化简()22x 的结果是( )A .x 4B .2x 2C .4x 2D .4x 【答案】C【解析】【分析】利用积的乘方法则:把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘即可.【详解】(2x)²=2²·x²=4x²,故选C.【点睛】本题考查了积的乘方,解题的关键是掌握积的乘方的运算法则.7.已知x -y =3,12x z -=,则()()22554y z y z -+-+的值等于( ) A .0B .52C .52-D .25【答案】A【解析】 【分析】 此题应先把已知条件化简,然后求出y-z 的值,代入所求代数式求值即可. 【详解】由x-y=3,12x z -=得:()()x z x y y z ---=- 15322=-=-; 把52-代入原式,可得255252525255=0224424⎛⎫⎛⎫-+-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选:A .【点睛】此题考查的是学生对代数式变形方法的理解,这一方法在求代数式值时是常用办法.8.下列各式不能用公式法分解因式的是( )A .92-xB .2269a ab b -+-C .22x y --D .21x -【答案】C【解析】【分析】根据公式法有平方差公式、完全平方公式,可得答案.【详解】A 、x 2-9,可用平方差公式,故A 能用公式法分解因式;B 、-a 2+6ab-9 b 2能用完全平方公式,故B 能用公式法分解因式;C 、-x 2-y 2不能用平方差公式分解因式,故C 正确;D 、x 2-1可用平方差公式,故D 能用公式法分解因式;故选C .【点睛】本题考查了因式分解,熟记平方差公式、完全平方公式是解题关键.9.如果x m =4,x n =8(m 、n 为自然数),那么x 3m ﹣n 等于( )A .B .4C .8D .56 【答案】C【解析】【分析】根据同底数幂的除法法则可知:指数相减可以化为同底数幂的除法,故x 3m ﹣n 可化为x 3m ÷x n ,再根据幂的乘方可知:指数相乘可化为幂的乘方,故x 3m =(x m )3,再代入x m =4,x n =8,即可得到结果.【详解】解:x 3m ﹣n =x 3m ÷x n =(x m )3÷x n =43÷8=64÷8=8, 故选:C .【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法,幂的乘方,关键是熟练掌握同底数幂的除法与幂的乘方的计算法则,并能进行逆运用.10.如图,矩形的长、宽分别为a 、b ,周长为10,面积为6,则a 2b +ab 2的值为( )A .60B .30C .15D .16 【答案】B【解析】【分析】直接利用矩形周长和面积公式得出a+b ,ab ,进而利用提取公因式法分解因式得出答案.【详解】∵边长分别为a 、b 的长方形的周长为10,面积6,∴2(a+b )=10,ab=6,则a+b=5,故ab 2+a 2b=ab (b+a )=6×5=30.故选:B .【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及矩形的性质应用,正确分解因式是解题关键.二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题(难)11.若()219x y +=,()25x y -=,则22xy +=______.【答案】12【解析】【分析】根据完全平方公式的两个关系式间的关键解答即可.【详解】∵()219x y +=,()25x y -=,∴()()224x y x x y y +=-+,∴19=5+4xy ,∴xy=72, ∴()2227252122x x x y y y +-=+=+⨯=, 故答案为:12.【点睛】 此题考查完全平方公式,熟记公式并掌握两个公式的等量关系是解题的关键.12.已知a-b=4,ab=6,则22a b += _________.【答案】28【解析】【分析】对完全平方公式进行变形即可解答.【详解】解:∵222()216a b a ab b -=-+=∴22a b +=2()a b -+2ab=16+2×6=28故答案为28.【点睛】本题考查了完全平方公式的应用,掌握完全平方公式并能够进行灵活变形是解答本题的关键.13.如果9x 2-axy+4y 2是完全平方式,则a 的值是____.【答案】±12【解析】【分析】根据完全平方式得出-axy=±2×3x2y ,求出即可.【详解】解:9x 2-axy+4y 2=(3x±2y )2即-axy=±2×3x2y所以a=±12 【点睛】本题考查了完全平方式,能熟记完全平方公式的特点是解此题的关键,注意:完全平方式有两个a 2-2ab+b 2和a 2+2ab+62是本题的易错点.14.在实数范围内因式分解:231x x +-=____________【答案】x x ⎛++ ⎝⎭⎝⎭【解析】利用一元二次方程的解法在实数范围内分解因式即可.【详解】令2310x x +-=∴1x =2x =∴231x x +-=x x ⎛+ ⎝⎭⎝⎭故答案为:x x ⎛+ ⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查实数范围内的因式分解,利用一元二次方程的解法即可解答,熟练掌握相关知识点是解题关键.15.计算:532862a a a -÷=()___________.【答案】343a a -【解析】根据整式的除法—多项式除以单项式,可知:532862a a a -÷=()8a 5÷2a 2-6a 3÷2a 2=343a a -.故答案为:343a a -.16.对于实数a ,b ,定义运算“※”如下:a ※b=a 2﹣ab ,例如,5※3=52﹣5×3=10.若(x+1)※(x ﹣2)=6,则x 的值为_____.【答案】1【解析】【分析】根据新定义运算对式子进行变形得到关于x 的方程,解方程即可得解.【详解】由题意得,(x+1)2﹣(x+1)(x ﹣2)=6,整理得,3x+3=6,解得,x=1,故答案为1.【点睛】本题考查了解方程,涉及到完全平方公式、多项式乘法的运算等,根据题意正确得到方程是解题的关键.17.若(x+p)与(x+5)的乘积中不含x 的一次项,则p =_____.【解析】【分析】根据多项式乘以多项式的法则,可表示为(a +b )(m +n )=am +an +bm +bn 计算,再根据乘积中不含x 的一次项,得出它的系数为0,即可求出p 的值.【详解】解:(x +p )(x +5)=x 2+5x +px +5p =x 2+(5+p )x +5p ,∵乘积中不含x 的一次项,∴5+p =0,解得p =﹣5,故答案为:﹣5.18.请看杨辉三角(1),并观察下列等式(2):根据前面各式的规律,则(a+b )6= .【答案】a 6+6a 5b+15a 4b 2+20a 3b 3+15a 2b 4+6ab 5+b 6.【解析】【分析】通过观察可以看出(a+b )6的展开式为6次7项式,a 的次数按降幂排列,b 的次数按升幂排列,各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1.【详解】通过观察可以看出(a+b )6的展开式为6次7项式,a 的次数按降幂排列,b 的次数按升幂排列,各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1.所以(a+b )6=a 6+6a 5b+15a 4b 2+20a 3b 3+15a 2b 4+6ab 5+b 6.19.已知16x x +=,则221x x +=______ 【答案】34【解析】∵16x x +=,∴221x x +=22126236234x x ⎛⎫+-=-=-= ⎪⎝⎭, 故答案为34.20.光的速度约为3×105 km/s,太阳系以外距离地球最近的一颗恒星(比邻星)发出的光需要4年的时间才能到达地球.若一年以3×107 s计算,则这颗恒星到地球的距离是_______km.【答案】3.6×1013【解析】【分析】根据题意列出算式,再根据单项式的运算法则进行计算.【详解】依题意,这颗恒星到地球的距离为4×3×107×3×105,=(4×3×3)×(107×105),=3.6×1013km.故答案为:3.6×1013.【点睛】本题考查了根据实际问题列算式的能力,科学记数法相乘可以运用单项式相乘的法则进行计算.。

八年级数学上册整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)

八年级数学上册整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)

一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题(难)1.利用我们学过的知识,可以导出下面这个等式:()()()12222222a b c ab bc ac a b b c c a ⎡⎤++---=-+-+-⎣⎦. 该等式从左到右的变形,不仅保持了结构的对称性,还体现了数学的和谐、简洁美. (1)请你展开右边检验这个等式的正确性;(2)利用上面的式子计算:222201820192020201820192019202020182020++-⨯-⨯-⨯.【答案】(1)见解析;(2)3.【解析】【分析】(1)根据完全平方公式和合并同类项的方法可以将等式右边的式子进行化简,从而可以得出结论;(2)根据题目中的等式可以求得所求式子的值.【详解】解:(1)12[(a-b )2+(b-c )2+(c-a )2] =12(a 2-2ab+b 2+b 2-2bc+c 2+a 2-2ac+c 2) =12×(2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2bc-2ac ) =a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac ,故a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac=12[(a-b )2+(b-c )2+(c-a )2]正确; (2)20182+20192+20202-2018×2019-2019×2020-2018×2020 =12×[(2018-2019)2+(2019-2020)2+(2020-2018)2] =12×(1+1+4) =12×6 =3.【点睛】本题考查因式分解的应用,解答本题的关键是明确题意,熟练掌握完全平方公式并能灵活运用.2.观察以下等式:(x+1)(x 2-x+1)=x 3+1(x+3)(x2-3x+9)=x3+27(x+6)(x2-6x+36)=x3+216............(1)按以上等式的规律,填空:(a+b)(___________________)=a3+b3(2)利用多项式的乘法法则,证明(1)中的等式成立.(3)利用(1)中的公式化简:(x+y)(x2-xy+y2)-(x-y)(x2+xy+y2)【答案】(1)a2-ab+b2;(2)详见解析;(3)2y3.【解析】【分析】(1)根据所给等式可直接得到答案(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3;(2)利用多项式与多项式相乘的法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项,再把所得的积相加进行计算即可得到答案;(3)结合题目本身的特征,利用(1)中的公式直接运用即可.【详解】(1)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3;(2)(a+b)(a2-ab+b2)=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3;(3)(x+y)(x2-xy+y2)-(x-y)(x2+xy+y2)=x3+y3-(x3-y3)=2y3.【点睛】本题考查了多项式乘以多项式,关键是掌握多项式乘法法则,注意观察所给例题,找出其中的规律是解决本题的基本思路.3.阅读下列因式分解的过程,解答下列问题:1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3.(1)上述分解因式的方法是____________,共应用了________次;(2)若分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2019,则需要应用上述方法________次,结果是________;(3)分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整数).【答案】(1)提取公因式法,2;(2)2019,(1+x)2020;(3) (1+x)n+1.【解析】【分析】(1)根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可;(2)根据已知分解因式的方法可以得出答案;(3)由(1)中计算发现规律进而得出答案.【详解】(1)提取公因式法,2(因式分解的方法是提公因式法,共应用了2次)(2)2019,(1+x)2020(分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2019,则需应用上述方法2019次,结果是(1+x)2020)(3)原式=(1+x)[1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n-1]=(1+x)2[1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n-2]=(1+x)3[1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n-3]=(1+x)n(1+x)=(1+x)n+1.【点睛】本题考查的知识点是因式分解-提公因式法,解题的关键是熟练的掌握因式分解-提公因式法.4.一个四位正整数m各个数位上的数字互不相同且都不为0,四位数m的前两位数字之和为5,后两位数字之和为11,称这样的四位数m为“半期数”;把四位数m的各位上的数字依次轮换后得到新的四位数m′,设m′=abcd,在m′的所有可能的情况中,当|b+2c﹣a ﹣d|最小时,称此时的m′是m的“伴随数”,并规定F(m′)=a2+c2﹣2bd;例如:m=2365,则m′为:3652,6523,5236,因为|6+10﹣3﹣2|=11,|5+4﹣6﹣3|=0,|2+6﹣5﹣6|=3,0最小,所以6523叫做2365的“伴随数”,F(5236)=52+32﹣2×2×6=10.(1)最大的四位“半期数”为;“半期数”3247的“伴随数”是.(2)已知四位数P=abcd是“半期数”,三位数Q=2ab,且441Q﹣4P=88991,求F(P')的最大值.【答案】(1)4192,7324;(2)42.【解析】【分析】(1)根据“半期数”的定义分析最大的四位“半期数”应该是千位最大,最大只能为4,所以百位是1,十位最大是9,个位是2,所以最大半期数为:4192,分析3247的所有可能为,2473,4732,7324.根据题意|b+2c﹣a﹣d|最小的数是7324,所以3247的“伴随数”是:7324.(2)根据定义可知a+b=5,c+d=11.再根据441Q﹣4P=88991,可以算出P的值,从而求出F(P')的最大值.【详解】解;(1)根据题意可得最大的四位“半期数”应该是千位最大,最大只能为4,所以百位是1,十位最大是9,个位是2,所以最大半期数为:4192.∵3247的所有可能为,2473,4732,7324.∵|4+14﹣2﹣3|=13,|7+6﹣4﹣2|=7,|3+4﹣7﹣4|=4, 4最小,所以7324为3247的“伴随数”.故答案为4192;7324.(2)∵P为“半期数”∴a+b=5,c+d=11,∴b=5﹣a,d=11﹣c,∴P=1000a+100(5﹣a)+10c+11﹣c=900a+9c+511.∵Q =200+10a +c ,∴441Q ﹣4P =88991,∴441(200+10a +c )﹣4(900a +9c +511)=88991 化简得:2a +c =7①当a =1时,c =5,此时这个四位数为1456符合题意;②当a =2时,c =3,此时这个四位数为2338不符合题意,舍去;③当a =3时,c =1,不符合题意,舍去;综上所述:这个四位数只能是1456,则P '可能为4561,5614,6145.∵|5+12﹣4﹣1|=12,|6+2﹣5﹣4|=1,|1+8﹣6﹣5|=2,1最小,所以5614为P 的“伴随数”,∴F (5614)=a 2+c 2﹣2bd =25+1﹣2×6×4=﹣22;F (4561)=a 2+c 2﹣2bd =16+36﹣2×5×1=42;F (6145)=a 2+c 2﹣2bd =36+16﹣2×1×5=42;∴F (P ')的最大值为42.【点睛】解决本道题的关键是理解好半期数的定义:一个四位正整数m 各个数位上的数字互不相同且都不为0,四位数m 的前两位数字之和为5,后两位数字之和为11,称这样的四位数m 为“半期数”,然后根据当|b +2c ﹣a ﹣d |最小时,称此时的m '是m 的“伴随数”来确定伴随数.5.阅读理解:把两个相同的数连接在一起就得到一个新数,我们把它称为“连接数”,例如:234234,3939…等,都是连接数,其中,234234称为六位连接数,3939称为四位连接数.(1)请写出一个六位连接数 ,它 (填“能”或“不能”)被13整除.(2)是否任意六位连接数,都能被13整除,请说明理由.(3)若一个四位连接数记为M ,它的各位数字之和的3倍记为N ,M ﹣N 的结果能被13整除,这样的四位连接数有几个?【答案】(1)证明见解析(2)abcabc 能被13整除(3)这样的四位连接数有1919,2525,3131,一共3个【解析】分析:(1)根据六位连接数的定义可知123123为六位连接数,再将123123进行因数分解,判断得出它能被13整除;(2)设abcabc 为六位连接数,将abcabc 进行因数分解,判断得出它能被13整除; (3)设xyxy 为四位连接数,用含x 、y 的代数式表示M 与N ,再计算M ﹣N ,然后将13M N -表示为77x +7y +3413x y +,根据M ﹣N 的结果能被13整除以及M 与N 都是1~9之间的整数,求得x 与y 的值,即可求解.详解:(1)123123为六位连接数;∵123123=123×1001=123×13×77,∴123123能被13整除;(2)任意六位连接数都能被13整除,理由如下:设abcabc 为六位连接数.∵abcabc =abc ×1001=abc ×13×77,∴abcabc 能被13(3)设xyxy 为四位连接数,则M =1000x +100y +10x +y =1010x +101y ,N =3(x +y +x +y )=6x +6y ,∴M ﹣N =(1010x +101y )﹣(6x +6y )=1004x +95y ,∴13M N -=10049513x y +=77x +7y +3413x y +.∵M ﹣N 的结果能被13整除,∴3413x y +是整数.∵3x +4y 取值范围大于3小于63,所以能被13整除的数有13,26,39,52,∴x =1,y =9;x =2,y =5;x =3,y =1;x =8,y =7;x =9,y =3;x =5,y =6;x =6,y =2;满足条件的四位连接数的3131,2525,6262,9393,8787,5656,1919共7个. 点睛:本题考查了因式分解的应用,整式的运算,理解“连接数”的定义是解题的关键.6.阅读下列材料:1637年笛卡尔在其《几何学》中,首次应用“待定系数法”将四次方程分解为两个二次方程求解,并最早给出因式分解定理.他认为:对于一个高于二次的关于x 的多项式,“x a =是该多项式值为0时的一个解”与“这个多项式一定可以分解为(x a -)与另一个整式的乘积”可互相推导成立.例如:分解因式3223x x +-.∵1x =是32230x x +-=的一个解,∴3223x x +-可以分解为()1x -与另一个整式的乘积.设()()322231x x x ax bx c +-=-++ 而()()()()2321x ax bx c ax b a x c b x c -++=+-+--,则有 1203a b a c b c =⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=-⎩,得133a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩,从而()()32223133x x x x x +-=-++ 运用材料提供的方法,解答以下问题:(1)①运用上述方法分解因式323x x ++时,猜想出3230x x ++=的一个解为_______(只填写一个即可),则323x x ++可以分解为_______与另一个整式的乘积;②分解因式323x x ++;(2)若1x -与2x +都是多项式32x mx nx p +++的因式,求m n -的值.【答案】(1)①:x=-1;(x+1);②3223=(1)(3)x x x x x +++-+;(2)3【解析】【分析】(1)①计算当x=-1时,方程成立,则323x x ++必有一个因式为(x+1),即可作答; ②根据待定系数法原理先设另一个多项式,然后根据多项式乘多项式的计算即可求得结(2))设32=(1)(2)x mx mx p x x M +++-+(其中M 为二次整式),由材料可知,x=1,x=-2是方程320x mx nx p +++=的解,然后列方程组求解即可.【详解】解:(1)①323x x ++,观察知,显然x=-1时,原式=0,则3230x x ++=的一个解为x=-1;原式可分解为(x+1)与另一个整式的积.故答案为:x=-1;(x+1)②设另一个因式为(x 2+ax+b ),(x+1)(x 2+ax+b )=x 3+ax 2+bx+x 2+ax+b=x 3+(a+1)x 2+(a+b )x+b∴a+1=0 ,a=-1, b=3∴多项式的另一因式为x 2-x+3.∴3223=(1)(3)x x x x x +++-+.(2)设32=(1)(2)x mx nx p x x M +++-+(其中M 为二次整式),由材料可知,x=1,x=-2是方程320x mx nx p +++=的解, ∴可得108420m n p m n p +++=⎧⎨-+-+=⎩①②, ∴②-①,得m-n=3∴m n -的值为3.【点睛】本题考查了分解因式,正确理解题意,利用待定系数法和多项式乘多项式的计算法则求解是解题的关键.7.(知识生成)我们已经知道,通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式.例如图1可以得到(a+b )2=a 2+2ab+b 2,基于此,请解答下列问题:(1)根据图2,写出一个代数恒等式:.(2)利用(1)中得到的结论,解决下面的问题:若a+b+c=10,ab+ac+bc=35,则a2+b2+c2=.(3)小明同学用图3中x张边长为a的正方形,y张边长为b的正方形,z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为(2a+b)(a+2b)长方形,则x+y+z=.(知识迁移)(4)事实上,通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式,图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体,请你根据图4中图形的变化关系,写出一个代数恒等式:.【答案】(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc;(2)30;(3)9;(4)x3﹣x=(x+1)(x﹣1)x【解析】【分析】(1)依据正方形的面积=(a+b+c)2;正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,可得等式;(2)依据a2+b2+c2=(a+b+c)2﹣2ab﹣2ac﹣2bc,进行计算即可;(3)依据所拼图形的面积为:xa2+yb2+zab,而(2a+b)(a+2b)=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5b2+2ab,即可得到x,y,z的值.(4)根据原几何体的体积=新几何体的体积,列式可得结论.【详解】(1)由图2得:正方形的面积=(a+b+c)2;正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,故答案为:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc;(2)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,∵a+b+c=10,ab+ac+bc=35,∴102=a2+b2+c2+2×35,∴a2+b2+c2=100﹣70=30,故答案为:30;(3)由题意得:(2a+b )(a+2b )=xa 2+yb 2+zab ,∴2a 2+5ab+2b 2=xa 2+yb 2+zab ,∴225x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴x+y+z =9,故答案为:9;(4)∵原几何体的体积=x 3﹣1×1•x =x 3﹣x ,新几何体的体积=(x+1)(x ﹣1)x ,∴x 3﹣x =(x+1)(x ﹣1)x .故答案为:x 3﹣x =(x+1)(x ﹣1)x .【点睛】本题主要考查的是整式的混合运算,利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积,然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键.8.探究题:观察下列式子:(x 2-1)÷(x -1)=x +1;(x 3-1)÷(x -1)=x 2+x +1;(x 4-1)÷(x -1)=x 3+x 2+x +1;(x 5-1)÷(x -1)=x 4+x 3+x 2+x +1;(1)你能得到一般情况下(1)(1)n x x -÷-的结果吗?(n 为正整数)(2)根据(1)的结果计算:1+2+22+23+24+…+262+263.【答案】(1)12n n x x --++…+1;(2)6421-. 【解析】【分析】(1)根据已知的式子可得到的式子是关于x 的一个式子,最高次数是n-1,共有n 项; (2)把2当作x ,即可把所求的式子看成是两个二项式的商的形式,逆用(1)的结果即可求解.【详解】由题意可得:(1)()()1211n n n x x x x ---÷-=++ (1)(2)()()234626364641222222212121+++++⋯++=-÷-=-. 【点睛】 考查了多项式与多项式的除法,观察所给式子,发现运算规律是解题的关键.9.观察:22213-=;2222432110-+-=;22222265432121-+-+-=. 探究:(1)2222222287654321-+-+-+-= .(直接写出答案)(2)222222(2)(21)(22)(23)21n n n n --+---+-= .(直接写出答案) 应用:(3)如图,20个圆由小到大套在一起,从外向里相间画阴影,最外面一层画阴影,最外面的圆的半径为20cm ,向里依次为19cm 、18cm 、……1cm ,那么在这个图形中,所有阴影部分的面积和是多少?(结果保留π)【答案】(1)36;(2)83n -;(3)210π【解析】【分析】(1)根据已知条件,直接结算可得;(2)根据观察可得规律:结果就是底数和;其实是运用平方差公式得到;(3)根据题意列出式子,()()()()()22222222222019181716154321ππππππππππ-+-+-++-+-,再根据上面规律简便运算.【详解】(1)2222222287654321-+-+-+-=15+21=36;(2)222222(2)(21)(22)(23)21n n n n --+---+-=[][][][]()()2(21)2(21)(22)(23)(22)(23)2121n n n n n n n n +-•--+-+-•---++•-2(21)(22)(23)21n n n n =+-+-+-++=83n -;(3)由题意可得阴影面积是:()()()()()22222222222019181716154321ππππππππππ-+-+-++-+- =2019181716154321ππππππππππ++++++++++=()1202012π⨯⨯+ =210π【点睛】 考核知识点:因式分解在运算中的应用.观察并找出规律,利用平方差公式分析问题是关键.10.阅读材料:小明发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如2=()2,善于思考的小明进行了以下探索:设=()2(其中a、b、m、n均为正整数)则有:=m2+2n2,所以a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把的式子化为平方式的方法.请仿照小明的方法探索并解决下列问题:(1)当a、b、m、n均为正整数时,若()2,用含m、n的式子分别表示a、b,得a=,b=(2)若(2(其中a、b、m、n均为正整数),求a的值.【答案】(1)m2+3n2,2mn;(2)13.【解析】试题分析:(1)根据完全平方公式运算法则,即可得出a、b的表达式;(2)根据题意,4=2mn,首先确定m、n的值,通过分析m=2,n=1或者m=1,n=2,然后即可确定好a的值.试题解析:(1)∵)2,∴2+3n2∴a=m2+3n2,b=2mn.故a=m2+3n2,b=2mn;(2)由题意,得223 {42a m nmn=+=∵4=2mn,且m、n为正整数,∴m=2,n=1或m=1,n=2,∴a=22+3×12=7或a=12+3×22=13。

人教版八年级上册提高训练试题 第十四章《整式的乘除与因式分解》

人教版八年级上册提高训练试题  第十四章《整式的乘除与因式分解》

人教版八年级上册提高训练试题 第十四章《整式的乘除与因式分解》(无答案)一、选择题1.计算23a a 的结果是( )A.5aB.6aC.aD.5a2.下列计算正确的是( )A .5552a a a =B .5510a a a +=C .5510a a a =D .55102a a a = 3.下列运算中,正确的是( )A .x 4m ⋅x 4m = 2x 4mB .(-a)3⋅a 4= a 12C .a 9+a 3= a 3D .(-b)-3 (-b)21b=- 4.若3x =15,3y =5,则3x -y 等于( ). A .5 B .3 C .15 D .105.若(x -3)(x+4)=x 2+px+q,那么p 、q 的值是( )A .p=1,q=-12B .p=-1,q=12C .p=7,q=12D .p=7,q=-126.若a ,b ,c 为一个三角形的三边长,则式子(a -c)2-b 2的值( )A .一定为正数B .一定为负数C .可能是正数,也可能是负数D .可能为07.如果x 2-(m -1)x +1是一个完全平方式,则m 的值为( )A .-1B .1C .-1或3D .1或38.若(x 2﹣px +q )(x ﹣3)展开后不含x 的一次项,则p 与q 的关系是( )A.p=3q B.p+3q=0 C.q+3p=0 D.q=3p9.数形结合是初中数学重要的思想方法,下图就是用几何图形描述了一个重要的数学公式,这个公式是()A.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)B.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2C.a(a﹣b)=a2﹣ab D.(a﹣b)2=a2﹣b210.对于算式20183﹣2018,下列说法错误的是()A.能被2016整除B.能被2017整除C.能被2018整除D.能被2019整除11.小明在抄分解因式的题目时,不小心漏抄了x的指数,他只知道该数为不大于10的正整数,并且能利用平方差公式分解因式,他抄在作业本上的式子是x□﹣4y2(“□”表示漏抄的指数),则这个指数可能的结果共有()A.2种B.3种C.4种D.5种12.已知a、b、c为一个三角形的三条边长,则代数式(a﹣b)2﹣c2的值()A.一定为负数B.一定是正数C.可能是正数,可能为负数D.可能为零二、填空题13.计算:-2a2(ab+1)=14.已知51=+x x ,那么221xx +=_______。

八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法14.1.3积的乘方训练新人教版(20

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14.1。

3 积的乘方[学生用书P71]1.下列计算正确的是()A.a+2a=3a2 B.(a2b)3=a6b3C.(a m)2=a m+2 D.a3·a2=a62.[2016·成都]计算(-x3y)2的结果是( )A.-x5y B.x6yC.-x3y2 D.x6y23.[2016·株洲]下列计算错误的是( )A.(2mn)2=4m2n2B.(-2mn)2=4m2n2C.(2m2n2)3=8m6n6D.(-2m2n2)3=-8m5n54.计算(2×106)3的结果是( )A.6×109 B.8×109C.2×1018 D.8×10185.下列计算正确的是( )A.(ab2)3=ab6B.(3c d)3=9c3d3C.(-3a3)2=-9a5D.错误!错误!=-错误!x9y66.[2016·青岛]计算a·a5-(2a3)2的结果为( )A.a6-2a5 B.-a6C.a6-4a5 D.-3a67.计算:(1)(ab)6=____;(2)(a3y)5=_ __;(3)(x2y3)4=____;(4)(-a2)3+3a2·a4=__ __.8.计算:(1)(3a)2·a5=__ _;(2)-(-2a2)4=__ __.9.现规定一种运算:a*b=(ab)b,如3*2=(3×2)2=36,那么2*3的结果为__ _.10.计算:(1)(-2a2b3)3;(2)(a3·b m)3·b2;(3)38×48;(4)(x2y3)4+(-2x4y)2y10.11.运用积的乘方法则进行计算:(1)[(-a2b n)3·(a n-1·b2)3]5;(2)(-2x4)4+2x10·(-2x2)3-2x4·(-x4)3;(3)(a-b)n·[(b-a)n]2.12.利用积的乘方法则进行简便运算:(1)(-0.125)10×810;(2)(-0.25)2 016×(-4)2 017;(3)错误!错误!×82;(4)错误!错误!·(23)4。

八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法14.1.2幂的乘方训练新人教版(20

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八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解14.1 整式的乘法14.1.2 幂的乘方同步训练(新版)新人教版编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解14.1 整式的乘法14.1.2 幂的乘方同步训练(新版)新人教版)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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14.1.2 幂的乘方[学生用书P69]1.[2016·台州]下列计算正确的是()A.x2+x2=x4 B.2x2-x2=x2C.x2·x3=x6 D.(x2)3=x52.[2016·孝感]下列运算正确的是( )A.a2+a2=a4 B.a5-a3=a2C.a2·a2=2a2 D.错误!错误!=a103. 下列算式中:①a4·a2;②(a2)3;③a12+a2;④a2·a3。

计算结果为a6的算式的个数是( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.有下列运算:①(-x2)3=-x5;②3xy-3yx=0;③3100×(-3)100=0;④m·m5·m7=m12;⑤3a4+a4=3a8;⑥(x2)4=x16。

其中正确的有()A.1个 B.2个C.3个 D.4个5.化简(-a2)5+(-a5)2的结果是()A.-2a7 B.0C.a10 D.-2a106.计算下列各式,并用幂的形式表示结果:(1)(25)3=__ __;(2)(q6)5=____;(3)[(-5)4]3=_ __;(4)-3×(32)3=__ __.7.计算:(1)x n-2·x n+2(n是大于2的整数);(2)-(x3)5;(3)[(-2)2]3;(4)[(-a)3]2;(5)(a-b)·(b-a)2·(-a+b)4。

南京师范大学附中树人学校数学整式的乘法与因式分解章末训练(Word版 含解析)

南京师范大学附中树人学校数学整式的乘法与因式分解章末训练(Word版 含解析)

南京师范大学附中树人学校数学整式的乘法与因式分解章末训练(Word版含解析)一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题(难)1.248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除,则这两个数是()A.61和63 B.63和65 C.65和67 D.64和67【答案】B【解析】【分析】248﹣1=(224+1)(224﹣1)=(224+1)(212+1)(212﹣1)=(224+1)(212+1)(26+1)(26﹣1)=(224+1)(212+1)(26+1)(23+1)(23﹣1),即可求解.【详解】解:248﹣1=(224+1)(224﹣1)=(224+1)(212+1)(212﹣1)=(224+1)(212+1)(26+1)(26﹣1)=(224+1)(212+1)(26+1)(23+1)(23﹣1)=(224+1)(212+1)×65×63,故选:B.【点睛】此题考察多项式的因式分解,将248﹣1利用平方差公式因式分解得到(224+1)(212+1)×65×63,即可得到答案2.已知n16221++是一个有理数的平方,则n不能取以下各数中的哪一个()-D.9A.30 B.32 C.18【答案】B【解析】【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时,利用完全平方公式分别求出n的值,然后选择答案即可.【详解】2n是乘积二倍项时,2n+216+1=216+2×28+1=(28+1)2,此时n=8+1=9,216是乘积二倍项时,2n+216+1=2n+2×215+1=(215+1)2,此时n=2×15=30,1是乘积二倍项时,2n+216+1=(28)2+2×28×2-9+(2-9)2=(28+2-9)2,此时n=-18,综上所述,n可以取到的数是9、30、-18,不能取到的数是32.故选B.【点睛】本题考查了完全平方式,难点在于要分情况讨论,熟记完全平方公式结构是解题的关键.3.已知a 与b 互为相反数且都不为零,n 为正整数,则下列两数互为相反数的是( ) A .a 2n -1与-b 2n -1 B .a 2n -1与b 2n -1 C .a 2n 与b 2n D .a n 与b n【答案】B【解析】已知a 与b 互为相反数且都不为零,可得a 、b 的同奇次幂互为相反数,同偶次幂相等,由此可得选项A 、C 相等,选项B 互为相反数,选项D 可能相等,也可能互为相反数,故选B.4.利用平方差公式计算(25)(25)x x ---的结果是A .245x -B .2425x -C .2254x -D .2425x + 【答案】C【解析】【分析】平方差公式是(a+b )(a-b )=a 2-b 2.【详解】解:()()()()()2225252525425254x x x x x x ---=--+=--=-, 故选择C.【点睛】本题考查了平方差公式,应牢记公式的形式.5.已知(x -2015)2+(x -2017)2=34,则(x -2016)2的值是( )A .4B .8C .12D .16【答案】D【解析】(x -2 015)2+(x -2 017)2=(x -2 016+1)2+(x -2 016-1)2=22(2016)2(2016)1(2016)2(2016)1x x x x -+-++---+=22(2016)2x -+=34∴2(2016)16x -=故选D.点睛:本题主要考查了完全平方公式的应用,把(x -2 015)2+(x -2 017)2化为 (x -2 016+1)2+(x -2 016-1)2,利用完全平方公式展开,化简后即可求得(x -2 016)2的值,注意要把x-2016当作一个整体.6.下列计算正确的是( )A .224a a a +=B .352()a a =C .527a a a ⋅=D .2222a a -=【答案】C【解析】解:A. 222a a 2a +=,故A 错误;B. ()326a a =,故B 错误;C. 527a a a ⋅=,正确;D. 2222a a a -=,故D 错误;故选C7.已知x -y =3,12x z -=,则()()22554y z y z -+-+的值等于( ) A .0B .52C .52-D .25 【答案】A【解析】【分析】此题应先把已知条件化简,然后求出y-z 的值,代入所求代数式求值即可.【详解】由x-y=3,12x z -=得:()()x z x y y z ---=- 15322=-=-; 把52-代入原式,可得255252525255=0224424⎛⎫⎛⎫-+-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选:A .【点睛】此题考查的是学生对代数式变形方法的理解,这一方法在求代数式值时是常用办法.8.如图所示的是用4个全等的小长方形与1个小正方形密铺而成的正方形图案,已知该图案的面积为144,小正方形的面积为4,若分别用x 、y (x y >)表示小长方形的长和宽,则下列关系式中错误的是( )A .22100x y +=B .2x y -=C .12x y +=D .35xy =【答案】A【分析】由正方形的面积公式可求x +y =12,x ﹣y =2,可求x =7,y =5,即可求解.【详解】由题意可得:(x +y )2=144,(x ﹣y )2=4,∴x +y =12,x ﹣y =2,故B 、C 选项不符合题意;∴x =7,y =5,∴xy =35,故D 选项不符合题意;∴x 2+y 2=84≠100,故选项A 符合题意. 故选A .【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景,解答本题需结合图形,利用等式的变形来解决问题.9.下列从左到右的变形,是因式分解的是( )A .()()23x 3x 9x -+=-B .()()()()y 1y 33y y 1+-=-+C .()24yz 2y z z 2y 2z zy z -+=-+ D .228x 8x 22(2x 1)-+-=-- 【答案】D【解析】【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,结合选项进行判断即可.【详解】根据因式分解的定义得:从左边到右边的变形,是因式分解的是228x 8x 22(2x 1)-+-=--.其他不是因式分解:A,C 右边不是积的形式,B 左边不是多项式.故选D.【点睛】本题考查了因式分解的意义,注意因式分解后左边和右边是相等的,不能凭空想象右边的式子.10.下面计算正确的是( )A .33645x x x +=B .236a a a ⋅=C .()4312216x x -=D .()()22222x y x y x y +-=- 【答案】C【解析】【分析】A.合并同类项得到结果;B.利用同底数幂的乘法法则计算得到结果;C.利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果;D.利用平方差公式计算得到结果,即可作出判断.【详解】A.原式=35x ,错误;B.原式=5a ,错误;C.原式=1216x ,正确;D.原式=224x y -,错误.故选C.【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法,合并同类项,幂的乘方与积的乘方,平方差公式运算,熟知其运算法则是解题的关键.二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题(难)11.如果实数a ,b 满足a +b =6,ab =8,那么a 2+b 2=_____.【答案】20【解析】【分析】【详解】∵6,a b +=∴222()236,a b a ab b +=++=∵ab=8,∴22a b +=36-2ab=36-2×8=20.【点睛】本题考查了完全平方公式的变形应用,熟练进行完全平方公式的变形是解题的关键.12.222---x xy y =__________【答案】()2x y -+【解析】根据因式分解的方法,先提公因式“﹣”,再根据完全平方公式分解因式为:()()2222222x xy y x xy y x y ---=-++=-+. 故答案为()2x y -+.点睛:此题主要考查了因式分解,因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤:一提(公因式)、二套(平方差公式()()22a b a b a b -=+-,完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±)、三检查(彻底分解),注意符号的变化.13.若22(3)16x m x +-+是关于x 的完全平方式,则m =__________. 【答案】7或-1【解析】【分析】直接利用完全平方公式的定义得出2(m-3)=±8,进而求出答案.详解:∵x 2+2(m-3)x+16是关于x 的完全平方式,∴2(m-3)=±8,解得:m=-1或7,故答案为-1或7.点睛:此题主要考查了完全平方公式,正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键.14.因式分解:x 3﹣4x=_____.【答案】x (x+2)(x ﹣2)【解析】试题分析:首先提取公因式x ,进而利用平方差公式分解因式.即x 3﹣4x=x (x 2﹣4)=x (x+2)(x ﹣2).故答案为x (x+2)(x ﹣2).考点:提公因式法与公式法的综合运用.15.因式分解:223ax 12ay -=______.【答案】()()3a x 2y x 2y +-【解析】【分析】先提公因式3a ,然后再利用平方差公式进行分解即可得.【详解】原式()223a x 4y =-()()3a x 2y x 2y =+-,故答案为:()()3a x 2y x 2y +-.【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.16.计算:))201820192的结果是_____.2【解析】【分析】逆用积的乘方运算法则以及平方差公式即可求得答案.【详解】))201820192=)))2018201822⨯⨯=)))201822⎡⎤⎣⎦⨯⨯=(5-4)2018×)2=,【点睛】本题考查了积的乘方的逆用,平方差公式,熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.17.若3a b +=,则226a b b -+的值为__________.【答案】9【解析】分析:先将226a b b -+化为()()6a b a b b +-+,再将3a b +=代入所化式子计算即可. 详解:∵3a b +=,∴226a b b -+=()()6a b a b b +-+=3()6a b b -+=336a b b -+=3()a b +=9.故答案为:9.点睛:“能够把226a b b -+化为()()6a b a b b +-+”是解答本题的关键.18.因式分解:mn (n ﹣m )﹣n (m ﹣n )=_____.【答案】()()1n n m m -+【解析】mn(n-m)-n(m-n)= mn(n-m)+n(n-m)=n(n-m)(m+1),故答案为n(n-m)(m+1).19.若21x x +=,则433331x x x +++的值为_____.【答案】4【解析】【分析】把所求多项式进行变形,代入已知条件,即可得出答案.【详解】∵21x x +=,∴()43222233313313313()1314x x x xx x x x x x x +++=+++=++=++=+=; 故答案为:4.【点睛】本题考查了因式分解的应用;把所求多项式进行灵活变形是解题的关键.20.光的速度约为3×105 km/s,太阳系以外距离地球最近的一颗恒星(比邻星)发出的光需要4年的时间才能到达地球.若一年以3×107 s 计算,则这颗恒星到地球的距离是_______km.【答案】3.6×1013【解析】【分析】根据题意列出算式,再根据单项式的运算法则进行计算.【详解】依题意,这颗恒星到地球的距离为4×3×107×3×105,=(4×3×3)×(107×105),=3.6×1013km .故答案为:3.6×1013.【点睛】本题考查了根据实际问题列算式的能力,科学记数法相乘可以运用单项式相乘的法则进行计算.。

八年级上册整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)

八年级上册整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)

一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题(难)1.因式分解是多项式理论的中心内容之一,是代数中一种重要的恒等变形,它是学习数学和科学技术不可缺少的基础知识.在初中阶段,它是分式中研究约分、通分、分式的化简和计算的基础;利用因式分解的知识,有时可使某些数值计算简便.因式分解的方法很多,请根据提示完成下面的因式分解并利用这个因式分解解决提出的问题.(1)填空: ①()242221144x x x x ⎡⎤+=++-=⎢⎥⎣⎦( )22x -=( )( ) ②()()242116=644⎡⎤+++-⎢⎥⎣⎦=( )( )=( )⨯ ( ) (2)解决问题,计算:4444116844115744⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】(1)①212x +,221122x x x x ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,②26,26,2211666622⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,42.530.5,;(2)14541 【解析】【分析】(1)根据完全平方公式和平方差公式计算可得;(2)利用前面所得规律变形即可.【详解】(1)()242221144x x x x ⎡⎤+=++-⎢⎥⎣⎦ 22212x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 221122x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()2422211666624⎡⎤+=++-⎢⎥⎣⎦ 2211666622⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭42.530.5=⨯ 故答案为:①212x +,221122x x x x ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,②26,26,2211666622⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,42.530.5,; (2)4444116844115744⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2222222211116666888822221111555577772222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+++-+ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+++-+ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 42.530.372.556.530.520.556.542.5⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ 14541= 【点睛】本题考查了因式分解的应用;熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键.2.阅读材料:若m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0,求m 、n 的值.解:∵m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0,∴(m 2﹣2mn+n 2)+(n 2﹣8n+16)=0∴(m ﹣n )2+(n ﹣4)2=0,∴(m ﹣n )2=0,(n ﹣4)2=0,∴n=4,m=4.根据你的观察,探究下面的问题:(1)已知x 2+2xy+2y 2+2y+1=0,求2x+y 的值;(2)已知a ﹣b=4,ab+c 2﹣6c+13=0,求a+b+c 的值.【答案】(1)1;(2)3.【解析】【分析】(1)根据题意,可以将题目中的式子化为材料中的形式,从而可以得到x 、y 的值,从而可以得到2x+y 的值;(2)根据a-b=4,ab+c 2-6c+13=0,可以得到a 、b 、c 的值,从而可以得到a+b+c 的值.【详解】解:(1)∵x 2+2xy+2y 2+2y+1=0,∴(x 2+2xy+y 2)+(y 2+2y+1)=0,∴(x+y)2+(y+1)2=0,∴x+y=0,y+1=0,解得,x=1,y=−1,∴2x+y=2×1+(−1)=1;(2)∵a−b=4,∴a=b+4,∴将a=b+4代入ab+c 2−6c+13=0,得b 2+4b+c 2−6c+13=0,∴(b 2+4b+4)+(c 2−6c+9)=0,∴(b+2)2+(c−3)2=0,∴b+2=0,c−3=0,解得,b=−2,c=3,∴a=b+4=−2+4=2,∴a+b+c=2−2+3=3.【点睛】此题考查了因式分解方法的应用:利用因式分解解决求值问题;利用因式分解解决证明问题;利用因式分解简化计算问题.此题解答的关键是要明确:用因式分解的方法将式子变形时,根据已知条件,变形的可以是整个代数式,也可以是其中的一部分.3.若一个整数能表示成22a b +(a ,b 是整数)的形式,则称这个数为“完美数”.例如,5是“完美数”,因为22521=+.再如,()222222M x xy y x y y =++=++(x ,y 是整数),所以M 也是“完美数”. (1)请你再写一个小于10的“完美数”,并判断29是否为“完美数”;(2)已知224412S x y x y k =++-+(x ,y 是整数,是常数),要使S 为“完美数”,试求出符合条件的一个2200-0=值,并说明理由.(3)如果数m ,n 都是“完美数”,试说明mn 也是“完美数”..【答案】(1)8、29是完美数(2)S 是完美数(3)mn 是完美数【解析】【分析】(1)利用“完美数”的定义可得;(2)利用配方法,将S 配成完美数,可求k 的值(3)根据完全平方公式,可证明mn 是“完美数”;【详解】(1) 22228,8+=∴是完美数;222925,29=+∴是完美数 (2) ()222)2313S x y k =++-+-( 13.k S ∴=当时,是完美数(3) 2222,m a b n c d 设=+=+,则()()()()222222mn a bc d ac bd ad bc =++=++- 即mn 也是完美数.【点睛】本题考查了因式分解的应用,完全平方公式的运用,阅读理解题目表述的意思是本题的关键.4.请你观察下列式子:2(1)(1)1x x x -+=-()()23111x x x x -++=-()()324111x x x x x -+++=-()()4325111x x x x x x -++++=-……根据上面的规律,解答下列问题:(1)当3x =时,计算201720162015(31)(333-+++…323331)++++=_________;(2)设201720162015222a =+++…322221++++,则a 的个位数字为 ;(3)求式子201720162015555+++…32555+++的和.【答案】(1)201831-;(2)3;(3)2018554- 【解析】【分析】(1)根据已知的等式发现规律即可求解;(2)先根据x=2,求出a=20182-1,再发现2的幂个位数字的规律,即可求出a 的个位数字;(3)利用已知的等式运算规律构造(5-1)×(2016201520142555...551++++++)即可求解.【详解】(1)∵2(1)(1)1x x x -+=- ()()23111x x x x -++=-()()324111x x x x x -+++=-()()4325111x x x x x x -++++=-……∴()()1122.1..11n n n n x x x x x x x --+-+++++=-+故x=3时,201720162015(31)(333-+++…323331)++++=201831-故填:201831-; (2)201720162015222a =+++…322221++++=(2-1)201720162015(222+++…322221)++++=201821-∵21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64∴2n 的个位数按2,4,8,6,依次循环排列,∵2018÷4=504…2,∴20182的个位数为4,∴201821-的个位数为3,故填:3;(3)201720162015555+++…32555+++ =1(51)54-⨯⨯(201620152014555+++…2551+++) =54×(5-1)(201620152014555+++…2551+++) =54×(201751-) =2018554- 【点睛】此题主要考查等式的规律探索及应用,解题的关键是根据已知等式找到规律.5.已知一个三位自然数,若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和,则称这个数为“和数”,若满足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差,则称这个数为“谐数”.如果一个数即是“和数”,又是“谐数”,则称这个数为“和谐数”.例如321,321=+,∴321是“和数”,2232-1=,∴321是“谐数”,∴321是“和谐数”.(1)最小的和谐数是 ,最大的和谐数是 ;(2)证明:任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数;(3)已知103817m b c =++(0714b c ≤≤≤≤,,且,b c 均为整数)是一个“和数”,请求出所有m .【答案】(1)110;954;(2)见解析;(3)880m =或853或826.【解析】【分析】(1)根据“和数”与“谐数”的概念求解可得;(2)设“谐数”的百位数字为x 、十位数字为y ,个位数字为z ,根据“谐数”的概念得x=y 2-z 2=(y+z )(y-z ),由x+y+z=(y+z )(y-z )+y+z=(y+z )(y-z+1)及y+z 、y-z+1必然一奇一偶可得答案;(3)先判断出2≤b+2≤9、10≤3c+7≤19,据此可得m=10b+3c+817=8×100+(b+2)×10+(3c-3),根据“和数”的概念知8=b+2+3c-3,即b+3c=9,从而进一步求解可得.【详解】(1)最小的和谐数是110,最大的和谐数是954.(2)设:“谐数”的百位数字为x ,十位数字为y ,个位数字为z(19,09,09x y z ≤≤≤≤≤≤且 y z >且 ,,x y z 均为正数),由题意知,()()22x y z y z y z =-=+-, ∴()()()()1x y z y z y z y z y z y z ++=+-++=+-+,z∵y z +与y z -奇偶性相同,∴y z +与1y z -+必一奇一偶,∴()()1y z y z +-+必是偶数,∴任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数;(3)∵07b ≤≤,∴229b ≤+≤,∵14c ≤≤,∴3312c ≤≤,∴103719c ≤+≤,∴817103m b c =++,()()810011037b c =⨯++⨯++()()81002103710b c =⨯++⨯++-()()810021033b c =⨯++⨯+-,∵m 为和数,∴8233b c =++-,即39b c +=,∴61b c =⎧⎨=⎩或32b c =⎧⎨=⎩或03b c =⎧⎨=⎩, ∴880m =或853或826.【点睛】本题考查因式分解的应用,解题的关键是理解题意、熟练掌握“和数”与“谐数”的概念及整式的运算、不等式的性质.6.阅读理解:把两个相同的数连接在一起就得到一个新数,我们把它称为“连接数”,例如:234234,3939…等,都是连接数,其中,234234称为六位连接数,3939称为四位连接数.(1)请写出一个六位连接数 ,它 (填“能”或“不能”)被13整除.(2)是否任意六位连接数,都能被13整除,请说明理由.(3)若一个四位连接数记为M ,它的各位数字之和的3倍记为N ,M ﹣N 的结果能被13整除,这样的四位连接数有几个?【答案】(1)证明见解析(2)abcabc 能被13整除(3)这样的四位连接数有1919,2525,3131,一共3个【解析】分析:(1)根据六位连接数的定义可知123123为六位连接数,再将123123进行因数分解,判断得出它能被13整除;(2)设abcabc 为六位连接数,将abcabc 进行因数分解,判断得出它能被13整除; (3)设xyxy 为四位连接数,用含x 、y 的代数式表示M 与N ,再计算M ﹣N ,然后将13M N -表示为77x +7y +3413x y +,根据M ﹣N 的结果能被13整除以及M 与N 都是1~9之间的整数,求得x 与y 的值,即可求解.详解:(1)123123为六位连接数;∵123123=123×1001=123×13×77,∴123123能被13整除;(2)任意六位连接数都能被13整除,理由如下:设abcabc 为六位连接数.∵abcabc =abc ×1001=abc ×13×77,∴abcabc 能被13整除;(3)设xyxy 为四位连接数,则M =1000x +100y +10x +y =1010x +101y ,N =3(x +y +x +y )=6x +6y ,∴M ﹣N =(1010x +101y )﹣(6x +6y )=1004x +95y ,∴13M N -=10049513x y +=77x +7y +3413x y +.∵M ﹣N 的结果能被13整除,∴3413x y +是整数.∵3x +4y 取值范围大于3小于63,所以能被13整除的数有13,26,39,52,∴x =1,y =9;x =2,y =5;x =3,y =1;x =8,y =7;x =9,y =3;x =5,y =6;x =6,y =2;满足条件的四位连接数的3131,2525,6262,9393,8787,5656,1919共7个. 点睛:本题考查了因式分解的应用,整式的运算,理解“连接数”的定义是解题的关键.7.阅读下列材料:利用完全平方公式,可以将多项式2(0)ax bx c a ++≠变形为2()a x m n ++的形式, 我们把这样的变形方法叫做多项式2ax bx c ++的配方法.运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式.例如:21124x x ++=222111111()()2422x x ++-+ =21125()24x +- =115115()()2222x x +++-=(8)(3)x x ++ 根据以上材料,解答下列问题: (1)用多项式的配方法将281x x +-化成2()x m n ++的形式;(2)下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式2340x x --进行分解因式的解答过程:老师说,这位同学的解答过程中有错误,请你找出该同学解答中开始出现错误的地方,并用“ ”标画出来,然后写出完整的、正确的解答过程:(3)求证:x ,y 取任何实数时,多项式222416x y x y +--+的值总为正数.【答案】(1)2(4)17x +- ;(2)(5)(8)x x +-;(3)见解析【解析】试题分析:(1)根据配方法,可得答案;(2)根据配方法,可得平方差公式,再根据平方差公式,可得答案;(3)根据交换律、结合率,可得完全平方公式,根据完全平方公式,可得答案. 试题解析:解:(1)281x x +-=2228441x x ++--=2(4)17x +-(2)2340x x --=222333()()40222x x -+-- =23169()24x -- =313313()()2222x x -+-- =(5)(8)x x +- (3)证明:222416x y x y +--+=22214411x x y y -++-++=22(1)(2)11x y -+-+∵2(1)x -≥0,2(2)y -≥0,∴22(1)(2)110x y -+-+>.∴x ,y 取任何实数时,多项式222416x y x y +--+的值总是正数.点睛:本题考查了配方法,利用完全平方公式:a 2±2ab +b 2=(a ±b )2配方是解题关键.8.阅读以下文字并解决问题:对于形如222x ax a ++这样的二次三项式,我们可以直接用公式法把它分解成()2x a +的形式,但对于二次三项式2627x x +-,就不能直接用公式法分解了。

八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法14.1.4第3课时多项式与多项式相乘同步训练

八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法14.1.4第3课时多项式与多项式相乘同步训练

第3课时多项式与多项式相乘[学生用书P77]1.下列各式中:①(a-2b)(3a+b)=3a2-5ab-2b2;②(2x+1)(2x-1)=4x2-x-1;③(x-y)(x+y)=x2-y2;④(x+2)(3x+6)=3x2+6x+12.其中正确的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个2.[2015·佛山]若(x+2)(x-1)=x2+mx+n,则m+n=( )A.1 B.-2 C.-1 D.23.计算:(1)(x-1)(x+1)=_ __;(2)(x-3)(x+2)=_ _;(3)(3x+y)(x-2y)=__ __;(4)(2a-5b)(a+5b)=__ __.4.一幅宣传画的长为a cm,宽为b cm,把它贴在一块长方形木板上,四周刚好留出2 cm宽的边框,则这块木板的面积是__ __cm2.5.计算:(1)(x-1)(x+3);(2)(x+1)·x·(x-1);(3)(x-y)(x2+xy+y2).6.[2016·睢宁月考]先化简,再求值:(x-1)(2x+1)-2(x-5)(x+2),其中x=-2.7.已知a+b=3,ab=2,则(a-2)(b-2)=__ __.8.[2016·天水期中]若(x2+nx+3)(x2-3x+m)的展开式中不含x2和x3项,求m,n的值.9.如图14-1-5,有一张长为10 cm,宽为 6 cm 的长方形纸片,在4个角剪去4个边长为x cm的小正方形,按折痕做一个有底无盖的长方形盒子,试求盒子的体积.图14-1-510.[2015·鄄城期中]先阅读后作答:根据几何图形的面积关系可以说明整式的乘法.例如:(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2可以用图14-1-6(1)的面积关系来说明.(1) (2)图14-1-6(1)根据图14-1-6(2)写出一个等式;(2)已知(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,请你画出一个相应的几何图形加以说明.参考答案【知识管理】每一项相加am+an+bm+bn【归类探究】例1(1)3x2+8x+4 (2)-4y2+21y-5 (3)x3+8 例2(1)m(m+x)=(m2+mx) cm2(2)(3mx+3x2) cm2例3(1)m=-1,n=2 (2)-9【当堂测评】1.B 2.D3.(1)2x3-5x2+4x-10 (2)a2+a-6(3)20x2+9x-18 (4)1-4a2(5)6a2-5ab+b2【分层作业】1.C 2.C3.(1)x2-1 (2)x2-x-6 (3)3x2-5xy-2y2(4)2a2+5ab-25b24.(ab+4a+4b+16)5.(1)x2+2x-3 (2)x3-x(3)x3-y36.5x+19 9 7.0 8.m=6,n=39.(4x3-32x2+60x) cm310.(1)(a+2b)(2a+b)=2a2+5ab+2b2(2)略。

(人教版)南京八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》经典练习卷(提高培优)

(人教版)南京八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》经典练习卷(提高培优)

一、选择题1.多项式2425a ma ++是完全平方式,那么m 的值是( )A .10±B .20±C .10D .202.若2x y +=,1xy =-,则()()1212x y --的值是( )A .7-B .3-C .1D .93.下列各式由左边到右边的变形中,是分解因式的为( )A .2105525x x x x x -=⋅-B .()a x y ax ay +=+C .()22442x x x -+=-D .()()2163443x x x x x -+=-++ 4.下列运算正确的是( )A .()23636a = B .()()22356a a a a --=-+ C .842x x x ÷= D .326326x x x ⋅= 5.()()()2483212121+++···()32211++的个位数是( )A .4B .5C .6D .8 6.下列运算中,正确的个数是( ) ①2352x x x +=;②()326x x =;③03215⨯-=;④538--+=A .1个B .2个C .3个D .4个 7.已知3a b -=、4b c -=、5c d -=,则()()a c d b --的值为( )A .7B .9C .-63D .12 8.如图,对一个正方形进行了分割,通过面积相等可以证明下列哪个式子( )A .22()()x y x y x y -=-+B .222()2x y x xy y +=++C .222()2x y x xy y -=-+D .22()()4x y x y xy +=-+ 9.下列各式计算正确的是( )A .224a a a +=B .236a a a ⋅=C .()22439a a -=D .22(1)1a a +=+ 10.当2x =时,代数式31ax bx ++的值为6,则2x =-时,31ax bx ++的值为( ) A .6-B .5-C .4D .4- 11.已知552a =,443b =,334c =,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .a b c >> B .b c a >> C .c a b >> D .a c b >> 12.下列各多项式中,能用平方差公式分解因式的是( )A .21x -+B .21x +C .21x --D .221x x -+ 13.下列计算正确的是( ) A .(ab 3)2=a 2b 6B .a 2·a 3=a 6C .(a +b )(a -b )=a 2-2b 2D .5a -2a =3 14.长和宽分别为a ,b 的长方形的周长为16,面积为12,则22 a b ab +的值为( )A .24B .48C .96D .192 15.若()()()248(21)2121211A =+++++,则A 的末位数字是( )A .4B .2C .5D .6 二、填空题16.如图,是一个运算的流程图,输入正整数x 的值,按流程图进行操作并输出y 的值.例如,若输入x =10,则第一次输出y =5.若输入某数x 后,第二次输出y =3,则输入的x 的值为_________.17.如图,大正方形与小正方形的面积之差是60,则阴影部分的面积是_____.18.若2330x x --=,则()()()123x x x x ---的值为______.19.已知a ,b 互为相反数,c ,d 互为倒数,x 是数轴上到原点的距离为1的点表示的数,则2021a b x cd cd+-+的值为_______. 20.历史上数学家欧拉最先把关于x 的多项式用记号()f x 来表示,把x 等于某数a 时的多项式的值用()f a 来表示.例如,对于多项式()35f x mx nx =++,当3x =时,多项式的值为()32735f m n =++,若()36f =,则()3f -的值为__________.21.若21202x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭,则20202021x y 的值为_________. 22.已知x-3y=-1,那么代数式3-2x+6y 的值是________23.一个长方形的两邻边分别是8x -,2x -,若()()228213x x -+-=,则这个长方形的面积是_________24.因式分解:33327xy x y -=______.25.若代数式23y y +-的值为0,则代数式3242020y y ++的值为___________. 26.在学习整式乘法的时候,我们发现一个有趣的问题:将上述等号右边的式子的各项系数排成下表,如图:(a +b )0=1(a +b )1=a +b(a +b )2=a 2+2ab +b 2(a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3这个图叫做“杨辉三角”,请观察这些系数的规律,直接写出(a +b )5=__________,并说出第7排的第三个数是___.三、解答题27.先阅读下列材料,再解答问题:常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法,但有的多项式只用上述一种方法无法分解,例如多项式244x xy x y -+-和2222a b c bc --+.经过细心观察可以发现,若将多项式进行合理分组后,先将每一组进行分解,分别分解后再用提公因式法或公式法就可以完整分解了.解答过程如下:()()()()()()22(1)444444x xy x yx xy x y x x y x y x y x -+-=-+-=-+-=-+()()()()22222222(2)22a b c bca b c bc a b c a b c a b c --+=-+-=--=+--+这种方法叫分组分解法,对于超过三项的多项式往往考虑这种方法.利用上述思想方法,把下列各式分解因式:(1)32236m m m --+(2)2229x xy y --+28.分解因式:(1)25105x x ++(2)()()2249a x y b y x -+-29.若一个三位或三位以上的整数A 分成左、中、右三个数后满足:①中间数=左边数2-右边数2,则称中间数是A 的“吉祥数”.如231的“吉祥数”是3,4122的“吉样数”是12;②中间数=(左边数-右边数)2,则称中间数是A 的“如意数”.如143的“如意数”是4,5161和1165的“如意数”是16.(1)若一个三位数的“吉祥数”是5,则这个数是_________,若一个四位数的“如意数”是81,则这个数是____,(2)一个“吉祥数”与一个“如意数”的左边数均为m ,右边数均为n ,且这个“吉祥数”比这个“如意数”大12,求满足条件的“吉样数”.30.已知5x y -=,6xy =,求下列各式的值.(1)22x y +;(2)x y +。

南京师范大学附属中学八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》经典复习题(含答案解析)

南京师范大学附属中学八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》经典复习题(含答案解析)

一、选择题1.在日常生活中如取款、上网等都需要密码,有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便.原理是:如对于多项式44x y -,因式分解的结果是()()()22x y x y x y-++,若取9x =,9y =,则各个因式的值是:0x y -=,18x y +=,22162x y +=,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式32x xy -,取30x =,20y =,用上述方法产生的密码不可能是( ) A .301050B .103020C .305010D .5010302.下列运算正确的是( ) A .()23636a =B .()()22356a a a a --=-+ C .842x x x ÷=D .326326x x x ⋅=3.我们已经接触了很多代数恒等式,知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式.例如左图可以用来解释(a+b )2-(a -b )2=4ab .那么通过右图面积的计算,验证了一个恒等式,此等式是( )A .22()()a b a b a b -=+-B .22()(2)a b a b a ab b -+=+-C .222()2a b a ab b -=-+D .222()2a b a ab b +=++4.计算()201920180.52-⨯的值( )A .2B .2-C .12D .12-5.已知A 为多项式,且2221241A x y x y =--+++,则A 有( ) A .最大值23 B .最小值23 C .最大值23- D .最小值23- 6.2a =1,b 是2的相反数,则a+b 的值是( )A .1B .-3C .-1或-3D .1或-37.如图,对一个正方形进行了分割,通过面积相等可以证明下列哪个式子( )A .22()()x y x y x y -=-+B .222()2x y x xy y +=++C .222()2x y x xy y -=-+D .22()()4x y x y xy +=-+8.下列计算一定正确的是( ) A .235a b ab += B .()235610a b a b -=C .623a a a ÷=D .()222a b a b +=+9.数151025N =⨯是( ) A .10位数 B .11位数 C .12位数 D .13位数 10.已知552a =,443b =,334c =,则a ,b ,c 的大小关系是( )A .a b c >>B .b c a >>C .c a b >>D .a c b >>11.已知51x =,51y =,则代数式222x xy y ++的值为( ).A .20B .10C .45D .2512.下列计算正确的是( )A .(ab 3)2=a 2b 6B .a 2·a 3=a 6C .(a +b )(a -b )=a 2-2b 2D .5a -2a =3 13.已知代数式2a -b =7,则-4a +2b +10的值是( ) A .7B .4C .-4D .-714.已知x 7,y 7﹣1,则xy 的值为( ) A .8B .48C .7D .615.下列运算正确的是( ). A .236x x x = B .2242x x x +=C .22(2)4x x -=-D .358(3)(5)15a a a --=二、填空题16.若2,3x y a a ==,则22x y a +=_______________________. 17.若()()21x a x -+的积中不含x 的一次项,则a 的值为______. 18.已知25m =,2245m n +=,则2n =_______. 19.我们知道,同底数幂的乘法法则为m nm n a a a +⋅=(其中0a ≠,m 、n 为正整数),类似地我们规定关于任意正整数m 、n 的一种新运算:()()()h m n h m h n +=⋅;比如(2)3h =,则(4)(22)339h h =+=⨯=,若(2)(0)h k k =≠,那么(8)h =_______,(2)(2020)h n h ⋅=_______.20.如图所示,在这个运算程序当中,若开始输入的x 是2,则经过2021次输出的结果是________.21.若2a x =,3b x =,则32a b x -=___________.22.对于2(34)x y --的计算,追风学习小组进行了激烈的讨论,①小杰说只能用公式()2222a b a ab b -=-+;②小聪说可以看成普通的多项式乘以多项式即(34)(34)x y x y ----;③小懿说可以用公式222()2a b a ab b +=++但要看准谁是a 谁是b ;④小王说口算就是22916x y +;⑤小亮说可以转化计算2(34)x y +,你认为谁的说法正确请写出序号____.23.要使()()22524x x x mx -+--的展开式中不含2x 项,则m 的值是______. 24.设(2a+3b )2=(2a ﹣3b )2+A ,则A =__________25.若方程22(1)8m x mx x --+=是关于x 的一元一次方程,则代数式2008|1|m m --的值为________.26.若9m =4,27n =2,则32m ﹣3n =__.三、解答题27.(1)因式分解:()222224x y x y +-(2)计算:()()()233323a b a b a b a b ⎡⎤----++÷-⎣⎦28.在日历上,我们可以发现其中某些数满足一定的规律,如下图是2021年1月份的日历,我们任意用一个22⨯的方框框出4个数,将其中4个位置上的数两两交叉相乘,再用较大的数减去较小的数,你发现了什么规律?(1)图中方框框出的四个数,按照题目所说的计算规律,结果为______.(2)换一个位置试一下,是否有同样的规律?如果有,请你利用整式的运算对你发现的规律加以证明;如果没有,请说明理由.29.把一个长为2m 、宽为2n 的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后拼成一个正方形(如图1).(1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积(直接用含m ,n 的代数式表示). 方法1:______________________________. 方法2:______________________________.(2)根据(1)中结论,请你写出下列三个代数式()2m n +,()2m n -,mn 间的等量关系:________(3)根据(2)中的等量关系,解决如下问题:已知实数x ,y 满足6xy =,5x y -=,请求出x y +的值.30.对于一个图形,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个数学等式. 例如由图①可以得到两数和的平方公式:(a +b )2=a 2+2ab +b 2.请解答下列问题:(1)写出由图②可以得到的数学等式 ;(2)利用(1)中得到的结论,解决下面问题:若a +b +c =6,a 2+b 2+c 2=14,求ab +bc +ac 的值;(3)可爱同学用图③中x 个边长为a 的正方形,y 个宽为a ,长为b 的长方形,z 个边长为b 的正方形,拼出一个面积为(2a +b )(a +4b )的长方形,则x +y +z = .。

南京市八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》经典练习卷(含答案解析)

南京市八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》经典练习卷(含答案解析)

一、选择题1.对于①2(2)(1)2x x x x +-=+-,②4(14)x xy x y -=-,从左到右的变形,表述正确的是( )A .都是因式分解B .都是乘法运算C .①是因式分解,②是乘法运算D .①是乘法运算,②是因式分解D解析:D【分析】根据因式分解的定义(把一个多项式化成几个整式积的形式,叫因式分解,也叫分解因式判断即可.将多项式×多项式变得多项式,是乘法运算.【详解】解:①2(2)(1)2x x x x +-=+-,从左到右的变形是整式的乘法;②4(14)x xy x y -=-,从左到右的变形是因式分解;所以①是乘法运算,②因式分解.故选:D .【点睛】此题考查了因式分解与乘法运算的定义的认识,解题的关键是掌握因式分解及乘法运算的定义.2.若2x y +=,1xy =-,则()()1212x y --的值是( )A .7-B .3-C .1D .9A解析:A【分析】利用多项式乘以多项式法则计算,整理后将已知等式代入计算即可求出值.【详解】解:∵x+y=2,xy=-1,∴(1-2x )(1-2y )=1-2y-2x+4xy=1-2(x+y )+4xy=1-2×2-4=-7;故选:A .【点睛】本题考查了多项式乘多项式,熟练掌握运算法则是解本题的关键.3.我们已经接触了很多代数恒等式,知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式.例如左图可以用来解释(a+b )2-(a -b )2=4ab .那么通过右图面积的计算,验证了一个恒等式,此等式是( )A .22()()a b a b a b -=+-B .22()(2)a b a b a ab b -+=+-C .222()2a b a ab b -=-+D .222()2a b a ab b +=++ C解析:C【分析】 利用不同的方法表示出空白部分的面积:一种是利用公式2()a b -直接计算,另一种是割补法得222a ab b -+,根据面积相等即可建立等式,得出结论.【详解】解:空白部分的面积:2()a b -,还可以表示为:222a ab b -+,∴此等式是222()2a b a ab b -=-+.故选:C .【点睛】本题考查了完全平方公式的几何意义,注意图形的分割与拼合,会用不同的方法表示出空白部分的面积是解题的关键.4.形如abcd 的式子叫做二阶行列式,它的算法是:ab ad bc cd =-,则221a a a a -++的运算结果是( )A .4aB .4a -C .4D .4- A解析:A【分析】根据定义把二阶行列式表示成整式,然后再化简计算即可.【详解】解:由题意可得: ()()()212221aa a a a a a a -=+--+++ =()224a a a +--=224a a a +-+=a+4,故答案为A .【点睛】本题考查整式乘法的混合运算,通过观察题目给出的运算法则,把所求解的算式根据运算法则展开是解题关键.5.如表,已知表格中竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等,则m +n =( )A .1B .2C .5D .7D 解析:D【分析】 由题意竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等,则有m ﹣3+4﹣(m +3)=﹣3+1+n ﹣(4+1),即可解出n =5,从而求出m 值即可.【详解】解:由题意得竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等,则有m ﹣3+4﹣(m +3)=﹣3+1+n ﹣(4+1),整理得n =5,则有m ﹣3+4=﹣3+1+5,解得m =2,∴m +n =5+2=7,故选:D .【点睛】此题主要考查列一元一次方程解决实际问题,理解题意,找出等量关系是解题关键. 6.下列因式分解正确的是( )A .24414(1)1m m m m -+=-+B .a 2+b 2=(a +b )2C .x 2-16y 2=(x +8y )(x -8y )D .-16x 2+1=(1+4x )(1-4x )D解析:D【分析】把各式分解得到结果,即可作出判断.【详解】解: A 、()224412-1-+=m m m ,原选项错误,不符合题意;B 、a 2+b 2不能分解,不符合题意;C 、x 2-16y 2=(x +4y )(x -4y ),原选项错误,不符合题意;D 、-16x 2+1=(1+4x )(1-4x ) ,原选项正确,符合题意;故选:D .【点睛】此题考查了运用公式法分解因式,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.7.下列计算中能用平方差公式的是( ).A .()()a b a b -+-B .1133x y y x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C .22x x D .()()21x x -+ B解析:B【分析】 根据平方差公式()()22a b a b a b -+=-一项一项代入判断即可. 【详解】A 选项:两项都是互为相反数,故不能用平方差公式;B 选项:两项有一项完全相同,另一项为相反数,故可用平方差公式;C 选项:两项完全相同,故不能用平方差公式;D 选项:有一项2-与1不同,故不能用平方差公式.故选:B .【点睛】此题考查平方差的基本特征:()()22a b a b a b -+=-中a 与b 两项符号不同,难度一般.8.下列各多项式中,能用平方差公式分解因式的是( )A .21x -+B .21x +C .21x --D .221x x -+ A 解析:A【分析】根据平方差公式:两个数平方的差,等于这两个数的和与差的平方解答.【详解】A 、21x -+,能用平方差公式分解因式;B 、21x +,不能用平方差公式分解因式;C 、21x --,不能用平方差公式分解因式;D 、221x x -+,不能用平方差公式分解因式;故选:A .【点睛】此题考查平方差公式:22()()a b a b a b -=+-,掌握公式中多项式的特点是解题的关键.9.下列各式运算正确的是( )A .235a a a +=B .1025a a a ÷=C .()32626b b =D .2421a a a -⋅= D 解析:D【分析】根据幂的乘方,底数不变指数相乘;同底数幂相乘,底数不变指数相加;合并同类项的法则,对各选项计算后利用排除法求解.【详解】解:A 、a 2与3a 不是同类项,不能合并,故本选项错误;B 、1028a a a ÷=,故本选项错误;C 、()32628b b =,故本选项错误; D 、24221a a a a --⋅==,正确. 故选:D .【点睛】本题考查了幂的乘方的性质,同底数幂的乘法,合并同类项的法则,熟练掌握运算性质是解题的关键,合并同类项时,不是同类项的不能合并.10.已知21102x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭,则代数式2xy−(x +y )2=( ) A .34 B .54- C .12- D .54B 解析:B【分析】直接利用非负数的性质得出x ,y 的值,进而代入得出答案.【详解】∵|x +1|+(y−12)2=0, ∴x +1=0,y−12=0, 解得:x =−1,y =12, ∵2xy−(x +y )2=2xy−x 2−y 2−2xy =−x 2−y 2,∴当x =−1,y =12时, 原式=−(−1)2−(12)2=−1−14=−54. 故选:B .【点睛】 此题主要考查了非负数的性质,和完全平方公式,正确得出x ,y 的值是解题关键.二、填空题11.如果23a b -的值为1-,则645b a -+的值为_____.7【分析】把所求代数式整理成已知条件的形式然后整体代入进行计算即可得解【详解】解:∵2a-3b=-1∴3b-2a=1∴=2+5=7故答案是:7【点睛】本题考查了代数式求值整体思想的利用是解题的关键解析:7【分析】把所求代数式整理成已知条件的形式,然后整体代入进行计算即可得解.【详解】解:∵2a-3b=-1,∴3b -2a=1,∴()64523b 2a 5b a -+=-+=2+5=7,故答案是:7.【点睛】本题考查了代数式求值,整体思想的利用是解题的关键.12.若()()21x a x -+的积中不含x 的一次项,则a 的值为______.2【分析】先运用多项式的乘法法则计算再合并同类项因积中不含x 的一次项所以让一次项的系数等于0得a 的等式再求解【详解】解:(2x-a )(x+1)=2x2+(2-a )x-a ∵积中不含x 的一次项∴2-a=解析:2【分析】先运用多项式的乘法法则计算,再合并同类项,因积中不含x 的一次项,所以让一次项的系数等于0,得a 的等式,再求解.【详解】解:(2x-a )(x+1)=2x 2+(2-a )x-a ,∵积中不含x 的一次项,∴2-a=0,∴a=2,故答案为:2.【点睛】本题考查了多项式乘多项式法则,注意当要求多项式中不含有哪一项时,应让这一项的系数为0.13.计算:248(21)(21)(21)(21)1+++++=___________.216【分析】在原来的算式前面乘上(2-1)根据平方差公式进行计算即可求解【详解】原式======216故答案是:216【点睛】本题主要考查有理数的运算掌握平方差公式是解题的关键 解析:216【分析】在原来的算式前面乘上(2-1),根据平方差公式,进行计算,即可求解.【详解】原式=248(21)(21)(21)(21)(21)1-+++++=2248(21)(21)(21)(21)1-++++=448(21)(21)(21)1-+++=88(21)(21)1-++=16(21)1-+=216.故答案是:216.【点睛】本题主要考查有理数的运算,掌握平方差公式,是解题的关键.14.若2211392781n n ++⨯÷=,则n =____.3【分析】根据幂的乘方把算式中的各底数变成同底数然后按同底数幂运算法则列方程即可【详解】解:故答案为:3【点睛】本题考查了同底数幂的乘除和幂的乘方根据题意把底数变成相同是解题关键解析:3【分析】根据幂的乘方把算式中的各底数变成同底数,然后按同底数幂运算法则,列方程即可.【详解】解:2211392781n n ++⨯÷=22213143(3)(3)3n n ++⨯÷=,2423343333n n ++⨯÷=,242(33)433n n ++-+=,1433n +=,14n +=,3n =.故答案为:3【点睛】本题考查了同底数幂的乘除和幂的乘方,根据题意,把底数变成相同是解题关键. 15.已知x-3y=-1,那么代数式3-2x+6y 的值是________5【分析】把3-2x+6y 化为3-2(x-3y)再代入求值即可【详解】∵x ﹣3y=-1∴原式=3-2(x-3y)=3-(-2)=5故答案为:5【点睛】本题考查了代数式求值熟练运用整体思想是解本题的关键解析:5【分析】把3-2x+6y 化为3-2(x-3y),再代入求值即可.【详解】∵x ﹣3y=-1,∴原式=3-2(x-3y)=3-(-2)=5.故答案为:5.【点睛】本题考查了代数式求值,熟练运用整体思想是解本题的关键.16.如果()()223232x x y ---=-,那么代数式()3()4(2)x y x y x y ++----的值是___________.8【分析】先解求出将代入代数式即可得解【详解】∵∴式子展开得:化简得:∴将代入代数式故答案为:8【点睛】此题考查整式的化简求值掌握整式的去括号法则和合并同类项法则是解题的关键解析:8【分析】先解()()223232x x y ---=-,求出0y =,将0y =代入代数式()3()4(2)x y x y x y ++---- 即可得解.【详解】∵()()223232x x y ---=-,∴式子展开得:223232x x y --+=-,化简得:0y =,∴将0y =代入代数式()3()4(2)x y x y x y ++---- 34(2)x x x =+--448x x =-+8=.故答案为:8.【点睛】此题考查整式的化简求值,掌握整式的去括号法则和合并同类项法则是解题的关键. 17.要使()()22524x x x mx -+--的展开式中不含2x 项,则m 的值是______.-6【分析】结合题意根据整式乘法的性质计算即可得到答案【详解】∵的展开式中不含项∴∴∴故答案为:-6【点睛】本题考查了整式的知识;解题的关键是熟练掌握整式乘法的性质从而完成求解解析:-6【分析】结合题意,根据整式乘法的性质计算,即可得到答案.【详解】∵()()22524x x x mx -+--的展开式中不含2x 项∴()224520x x mx x ⨯-+⨯+⨯= ∴4100m -++=∴6m =-故答案为:-6.【点睛】本题考查了整式的知识;解题的关键是熟练掌握整式乘法的性质,从而完成求解. 18.已知()()()214b c a b c a -=--且a ≠0,则b c a +=__.2【分析】由可得:去分母整理可得:从而得到:于是可得答案【详解】解:故答案为:2【知识点】本题考查的是整式的乘法运算完全平方公式的应用因式分解的应用非负数的性质代数式的值利用平方根的含义解方程掌握以解析:2【分析】 由()()()214b c a b c a -=--可得:()()()21,4b c bc a b c a bc -+=--+去分母整理可得:()220,b c a +-=从而得到:2,b c a +=于是可得答案.【详解】解: ()()()21,4b c a b c a -=-- ()()()21,4b c bc a b c a bc ∴-+=--+ ()()22444b c bc ac a bc ab bc ∴-+=--++,()()22440,b c a a b c ∴++-+=()220,b c a ∴+-=20,b c a ∴+-=2,b c a ∴+=∴ 2=2,b c a a a+= 故答案为:2.【知识点】本题考查的是整式的乘法运算,完全平方公式的应用,因式分解的应用,非负数的性质,代数式的值,利用平方根的含义解方程,掌握以上知识是解题的关键.19.若9m =4,27n =2,则32m ﹣3n =__.2【分析】根据指数的运算把32m ﹣3n 改写成同底数幂除法再用幂的乘方的逆运算即可【详解】解:32m ﹣3n =32m÷33n ==9m÷27n =4÷2=2;故答案为:2【点睛】本题考查了幂的乘方与同底数幂 解析:2【分析】根据指数的运算,把32m ﹣3n 改写成同底数幂除法,再用幂的乘方的逆运算即可.【详解】解:32m ﹣3n ,=32m ÷33n ,=23(3)(3)m n÷=9m ÷27n ,=4÷2,=2;故答案为:2.【点睛】本题考查了幂的乘方与同底数幂的除法的逆运算,根据指数的运算特点,把原式改写成对应的幂的运算是解题关键.20.分解因式:2a2﹣8=______.2(a+2)(a-2)【分析】先提取公因式2再对余下的多项式利用平方差公式继续分解【详解】解:2a2-8=2(a2-4)=2(a+2)(a-2)故答案为:2(a+2)(a-2)【点睛】本题考查了用提解析:2(a+2)(a-2)【分析】先提取公因式2,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.【详解】解:2a2-8,=2(a2-4),=2(a+2)(a-2).故答案为:2(a+2)(a-2).【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.三、解答题21.因式分解(1)m3﹣36m(2)(m2+n2)2-4m2n2解析:(1)m(m+6)(m-6);(2)(m+n)2(m-n)2【分析】(1)首先提取公因式法进行因式分解,再利用平方差公式因式分解即可;(2)首先利用平方差公式分解因式,再利用完全平方公式进行因式分解即可.【详解】解:(1)m3﹣36m= m(m2﹣36)=m(m+6)(m-6)(2)(m2+n2)2-4m2n2=(m2+n2)2-(2mn)2=(m2+n2+2mn)(m2+n2-2mn)=(m+n)2(m-n)2【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.22.如图1,将一个长为4a,宽为2b的长方形,沿图中虚线均匀分成4个小长方形,然后按图2形状拼成一个正方形.(1)图2的空白部分的边长是多少?(用含a ,b 的式子表示)(2)若2a+b=7,且ab=6,求图2中的空白正方形的面积;(3)观察图2,用等式表示出(2a-b )2,ab 和(2a+b )2的数量关系.解析:(1)2a-b ;(2)1;(3)22(2)(2)8a b a b ab +=-+【分析】(1)观察由已知图形,求出小长方形的长为2 a ,宽为b ,那么图2中的空白部分的正方形的边长是小长方形的长—小长方形的宽;(2)通过观察图形,大正方形的边长为小长方形的长和宽的和.图2中空白部分的正方形的面积为大正方形的面积 - 四个小长方形的面积;(3)通过观察图形知:(2 a +b )2 ,(2 a -b )2 , 8 a b .分别表示的是大正方形、空白部分的正方形及小长方形的面积,据此即可解答.【详解】解:()1长为4a ,宽为2b 的长方形分成四个小长方形,则小长方形的长为422a a ÷=,宽为22b b ÷=,图2的空白部分的边长=小长方形的长 - 小长方形的宽,即图2的空白部分的边长是2a b -;()2由图2可知,S 空白小正方形=()()222=28a b a b ab -+-, 27a b +=,且6ab =,∴S 空白小正方形=()()222=28a b a b ab -+-=()2786=1-⨯; ()3由图2可以看出,大正方形面积=空白部分的正方形的面积+四个小长方形的面积, 即:22(2)(2)8a b a b ab +=-+.【点睛】此题考查了学生观察、分析图形解答问题的综合能力,以及对列代数式、代数式求值的理解与掌握.关键是通过观察图形找出各图形之间的关系.23.(1)因式分解:()222224x y x y +- (2)计算:()()()233323a b a b a b a b ⎡⎤----++÷-⎣⎦解析:(1)()()22x y x y -+;(2)9a【分析】 (1)先用平方差公式进行因式分解,然后再用完全平方公式进行因式分解;(2)整式的混合运算,注意先算乘方,然后算乘除,最后算加减,如果有小括号先算小括号里面的.【详解】解:(1)()222224x y x y +- =()()222222x y xyx y xy +-++ =()()22x y x y -+(2)()()()233323a b a b a b a b ⎡⎤----++÷-⎣⎦=()222296923a ab b b a a b ⎡⎤++--÷-⎣⎦=2222(96+9)23a ab b b a a b ++-÷-=2(186)23a ab a b +÷-=933a b b +-=9a【点睛】本题考查因式分解和整式的混合运算,掌握运算法则正确计算是解题关键.24.因式分解:(1)222x - (2)32244x x y xy -+解析:(1)2(1)(1)x x +-;(2)2(2)-x x y .【分析】(1)首先提公因式2,再利用平方差公式进行分解即可;(2)首先提公因式x ,再利用完全平方公式进行分解即可.【详解】(1)原式()221x =- 2(1)(1)x x =+-.(2)原式()2244x x xy y =-+2(2)x x y =-.【点睛】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式,要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解,一般来说,如果可以先提取公因式的要先提取公因式,再考虑运用公式法分解. 25.在日历上,我们可以发现其中某些数满足一定规律,如图是2020年12月份的日历,我们选择其中被框起的部分,将每个框中三个位置上的数作如下计算:7===7==不难发现,结果都是7.(1)请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证;(2)请你利用代数式的运算对以上规律加以证明.解析:(1)见解析;(2)见解析【分析】(1)答案不唯一,如选择6,13,20这三个数,按照已知等式方法计算即可;(2)设中间那个数为n,列得2(7)(7)--+,根据平方差公式及合并同类项法则计n n n算即可.【详解】解:(1)答案不唯一,如:在图中框出如图,2-⨯=-==;13620169120497(2)证明:设中间那个数为n,则:2(7)(7)497--+==n n n∴2(7)(7)7--+=.n n n.【点睛】此题考查数字计算规律探究,掌握有理数混合运算法则,整式的混合运算法则以及化简算术平方根是解题的关键.26.图1是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后按图2的形状拼成一个正方形.(1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于______;(2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积.①________________;②__________________.(3)观察图2你能写出2()m n +,2()m n -,mn 三个代数式之间的等量_____________.(4)运用你所得到的公式,计算若知8,7a b ab +==,求-a b 和22a b -的值.(5)用完全平方公式和非负数的性质求代数式222431832x x y y ++-+的最小值.解析:(1)m-n ;(2)①(m-n )2;②(m+n )2-4mn ;(3)(m-n )2=(m+n )2-4mn ;(4)6a b -=±,22a b -=±48;(5)3【分析】(1)根据阴影部分正方形的边长等于小长方形的长减去宽解答;(2)从整体与局部两个思路考虑解答;(3)根据大正方形的面积减去阴影部分小正方形的面积等于四个长方形的面积解答; (4)根据()()224a b a b ab -=+-,可得a-b 的值,再根据22a b -=()()a b a b +-求出22a b -的值;(5)利用完全平方公式将原式变形为()()2221333x y ++-+,再根据非负数的性质可求出最小值为3.【详解】解:(1)由图可知,阴影部分小正方形的边长为:m-n ;(2)根据正方形的面积公式,阴影部分的面积为(m-n )2,还可以表示为(m+n )2-4mn ;(3)根据阴影部分的面积相等,(m-n )2=(m+n )2-4mn ;(4)∵8,7a b ab +==,∴()()224a b a b ab -=+-=2847-⨯=36, ∴6a b -=±,若6a b -=,则22a b -=()()a b a b +-=86⨯=48,若6a b -=-,则22a b -=()()a b a b +-=()86⨯-=-48;(5)222431832x x y y ++-+=22242318273x x y y +++-++=()()2221333x y ++-+∵()2210x +≥,()2330y -≥, ∴()()2221333x y ++-+≥3,即最小值为3. 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景,准确识图,根据阴影部分的面积的两种不同表示方法得到的代数式的值相等列式是解题的关键.27.已知将32()(34)x mx n x x ++-+化简的结果不含3x 和2x 项.(1)求m 、n 的值;(2)当m 、n 取第(1)小题的值时,求22242m mn n -+的值.解析:(1)m=-4,n=-12;(2)128【分析】(1)利用多项式乘以多项式法则计算得到结果,根据展开式中不含x 2和x 3项即可得到m 与n 的值;(2)根据题意,将(1)中所求m 、n 的值代入计算即可.【详解】解:(1)32()(34)x mx n x x ++-+54323(4)(3)(43)4x x m x n m x m n x n =-+++-+-+;∵化简的结果不含3x 和2x 项,∴40m +=,30n m -=,∴4m =-,12n =-;(2)22222422()2(412)264128m mn n m n -+=-=⨯-+=⨯=;【点睛】此题主要考查了多项式乘以多项式,熟练掌握运算法则是解本题的关键.28.化简:(1)()34322223x y x y z x y -÷;(2)2(4)3(1)(3)x x x x -+-+.解析:(1)223xy xz -;(2)2529x x --【分析】(1)按照多项式除以单项式的法则计算即可;(2)先按整式乘法法则去括号,再合并同类项即可.【详解】解:(1)原式3422322223x y x y x y z x y =÷-÷ 223xy xz =-.(2)原式()2228323x x x x =-++- 2228369x x x x =-++- 2529x x =--.【点睛】本题考查了整式的混合运算,准确掌握并运用法则是解题关键.。

初二数学八上第十四章整式乘法与因式分解知识点总结复习和常考题型练习(K12教育文档)

初二数学八上第十四章整式乘法与因式分解知识点总结复习和常考题型练习(K12教育文档)

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第十四章 整式的乘除与分解因式一、知识框架:二、知识概念:1。

基本运算:⑴同底数幂的乘法:m n m n a a a +⨯= ⑵幂的乘方:()n m mn a a = ⑶积的乘方:()nn n ab a b = 2。

整式的乘法:⑴单项式⨯单项式:系数⨯系数,同字母⨯同字母,不同字母为积的因式.⑵单项式⨯多项式:用单项式乘以多项式的每个项后相加。

⑶多项式⨯多项式:用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3。

计算公式:⑴平方差公式:()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式:()2222a b a ab b +=++;()2222a b a ab b -=-+4.整式的除法:⑴同底数幂的除法:m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式:系数÷系数,同字母÷同字母,不同字母作为商的因式.⑶多项式÷单项式:用多项式每个项除以单项式后相加。

⑷多项式÷多项式:用竖式.5.因式分解:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解。

6.因式分解方法:⑴提公因式法:找出最大公因式.⑵公式法:①平方差公式:()()22a b a b a b -=+- ②完全平方公式:()2222a ab b a b ±+=± ③立方和:3322()()a b a b a ab b +=+-+ ④立方差:3322()()a b a b a ab b -=-++⑶十字相乘法:()()()2x p q x pq x p x q +++=++ ⑷拆项法 ⑸添项法常考例题精选1。

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一、选择题1.一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放,则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是( )(用含有a 、b 的代数式表示).A .a-bB .a+bC .abD .2ab C解析:C【分析】 设小正方形的边长为x ,大正方形的边长为y ,列方程求解,用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可.【详解】解:设小正方形的边长为x ,大正方形的边长为y ,则:22x y a y x b+=⎧⎨-=⎩ , 解得:42a b x a b y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩, ∴阴影面积=(2a b +)2﹣4×(4a b -)22222224444a ab b a ab b ab ++-+=-==ab . 故选C .【点睛】本题考查了整式的混合运算,求得大正方形的边长和小正方形的边长是解题的关键. 2.若2()(2)3x a x x x b +-=-+,则实数b 等于( )A .2-B .2C .12-D .12B 解析:B【分析】等式左边去括号后两边经过比对可以得解 .【详解】解:原等式可变为: ()22223x a x a x x b +--=-+,∴可得:232a b a -=-⎧⎨=-⎩,解之得:a=-1,b=2,故选B .【点睛】本题考查二元一次方程组的应用和多项式的乘法,熟练掌握代数式相等的意义、多项式的乘法法则及二元一次方程组的解法是解题关键.3.将11n n x x +--因式分解,结果正确的是( )A .()121n xx -- B .()11n x x -- C .()1n x x x -- D .()()111n x x x -+- D解析:D【分析】先提公因式x n-1,再用平方差公式进行分解即可.【详解】x n+1−x n-1=x n-1(x 2-1)=x n−1(x+1)(x−1),故选:D【点睛】此题考查了提公因式法和公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键. 4.下列计算中能用平方差公式的是( ).A .()()a b a b -+-B .1133x y y x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C .22x x D .()()21x x -+ B解析:B【分析】根据平方差公式()()22a b a b a b -+=-一项一项代入判断即可. 【详解】A 选项:两项都是互为相反数,故不能用平方差公式;B 选项:两项有一项完全相同,另一项为相反数,故可用平方差公式;C 选项:两项完全相同,故不能用平方差公式;D 选项:有一项2-与1不同,故不能用平方差公式.故选:B .【点睛】此题考查平方差的基本特征:()()22a b a b a b -+=-中a 与b 两项符号不同,难度一般.5.如图是一所楼房的平面图,下列式子中不能表示它的面积的是( )A .x 2+3x +6B .(x +3)(x +2)﹣2xC .x (x +3)+6D .x (x +2)+x 2D解析:D【分析】 根据S 楼房的面积=S 矩形ABCD +S 矩形DEFC +S 矩形CFHG 代入数值求出图形面积,再根据计算各整式判断即可.【详解】S 楼房的面积=S 矩形ABCD +S 矩形DEFC +S 矩形CFHG=AD •AB +DC •DE +CF •FH .∵AB =DC =AD =x ,DE =CF =3,FH =2,∴S 楼房的面积=x 2+3x +6.∵(x+3)(x+2)﹣2x= x 2+3x +6,x (x +3)+6= x 2+3x +6,x (x +2)+x 2=2 x 2+2x , 故选:D ..【点睛】此题考查列整式求图形面积,整式的混合运算,掌握整式的运算法则是解题的关键. 6.计算2019202040.753⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭的结果是( ) A .43 B .43- C .0.75 D .-0.75D 解析:D【分析】先将20200.75化为20193434⨯,再用幂的乘方的逆运算计算,再计算乘法即可得到答案. 【详解】2019202040.753⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭ =20192019343434⎛⎫⎛⎫⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=201934()3434⎡⎤⨯⎢⎥⎣⎦⨯- =(31)4-⨯=34-, 故选:D .【点睛】此题考查有理数数的乘法运算,掌握幂的乘方的逆运算是解题的关键.7.已知5a b +=,2ab =-,则a 2+b 2的值为( )A .21B .23C .25D .29D 解析:D【分析】根据完全平方公式得()2222a b a b ab +=+-,再整体代入即可求值.【详解】解:∵()2222a b a b ab +=++,∴()2222a b a b ab +=+-, ∵5a b +=,2ab =-,∴原式()252225429=-⨯-=+=. 故选:D .【点睛】本题考查完全平方公式,解题的关键是熟练运用完全平方公式进行计算.8.下列各多项式中,能用平方差公式分解因式的是( )A .21x -+B .21x +C .21x --D .221x x -+ A解析:A【分析】根据平方差公式:两个数平方的差,等于这两个数的和与差的平方解答.【详解】A 、21x -+,能用平方差公式分解因式;B 、21x +,不能用平方差公式分解因式;C 、21x --,不能用平方差公式分解因式;D 、221x x -+,不能用平方差公式分解因式;故选:A .【点睛】此题考查平方差公式:22()()a b a b a b -=+-,掌握公式中多项式的特点是解题的关键.9.下列各式中,正确的是( )A .2222x y yx x y -+=B .22445a a a +=C .()2424m m --=-+D .33a b ab += A解析:A【分析】根据同类项的定义与单项式的乘法法则,分别判断分析即可.【详解】解:A.2222x y yx x y -+=,故A 正确; B.22245a a a +=,故B 不正确;C.-2(m-4)=-2m+8,故C 不正确;D.3a 与b 不是同类项,不能合并,故D 不正确.故选A.【点睛】本题考查了合并同类项与单项式的乘法、去括号与添括号.注意,去括号时,如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.10.a ,b ,c 在数轴上的位置如下图所示,则下列代数式中值为正的是( )A .()()1a c b --B .()11c a b c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C .()1a a c b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭D .()1ac bc - C 解析:C【分析】现根据各数在数轴上的位置确定其取值范围,然后可确定答案.【详解】解:由图知:0<a <1,b >1,c <0, ∴()100a a c b ⎛⎫+>-> ⎪⎝⎭,, ()1a a c b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭值为正,C 正确; 而()110c a b c ⎛⎫--< ⎪⎝⎭,()()10a c b --<,()10ac bc -<;A 、B 、D 错误. 故选:C.【点睛】此题主要考查由取值范围确定代数式正负问题,解题的关键是根据点在数轴上的位置判断其正负.二、填空题11.如图,是一个运算的流程图,输入正整数x 的值,按流程图进行操作并输出y 的值.例如,若输入x =10,则第一次输出y =5.若输入某数x 后,第二次输出y =3,则输入的x 的值为_________.9或10或11或12【分析】由运算流程图先求出第一次输出的数分为偶数或者奇数;然后再分两种情况求出输入的x 的值即可【详解】解:根据题意∵第二次输出设第一次输出的数是奇数m 时则解得:;设第一次输出的数解析:9或10或11或12.【分析】由运算流程图,先求出第一次输出的数,分为偶数或者奇数;然后再分两种情况求出输入的x 的值即可.【详解】解:根据题意,∵第二次输出3y =,设第一次输出的数是奇数m 时,则132m +=,解得:5m =; 设第一次输出的数是偶数n 时,则32n =,解得:6n =. 当第一次输出为5时,又可以分为两种情况:当x 为奇数时,则152x +=,解得:9x =; 当x 为偶数时,则52=x ,解得:10x =; 当第一次输出为6时,又可以分为两种情况: 当x 为奇数时,则162x +=,解得:11x =; 当x 为偶数时,则62x =,解得:12x =; 故答案为:9或10或11或12.【点睛】本题考查有理数的运算,结合编程的流程图出题,题目新颖,并且运用到了分类讨论这一重要数学思想.熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键.12.若()()253x x x bx c +-=++,则b+c=______.-13【分析】先利用多项式的乘法展开再根据对应项系数相等确定出bc 的值最后计算出结果即可【详解】解:∵∴∴b=2c=-15∴b+c=2-15=-13故答案为:-13【点睛】此题主要考查了整式的乘法熟解析:-13【分析】先利用多项式的乘法展开,再根据对应项系数相等确定出b ,c 的值,最后计算出结果即可.【详解】解:∵()()253x x x bx c +-=++ ∴22+215x x x bx c -=++∴b=2,c=-15∴b+c=2-15=-13故答案为:-13.【点睛】此题主要考查了整式的乘法,熟练掌握运算法则是解答此题的关键.13.若26x x m ++为完全平方式,则m =____.9【分析】完全平方式可以写为首末两个数的平方则中间项为x 和积的2倍即可解得m 的值【详解】解:根据题意是完全平方式且6>0可写成则中间项为x 和积的2倍故∴m=9故答案填:9【点睛】本题是完全平方公式的解析:9【分析】完全平方式可以写为首末两个数的平方(2x ,则中间项为x 2倍,即可解得m 的值.【详解】解:根据题意,26x x m ++是完全平方式,且6>0,可写成(2x +,则中间项为x 2倍,故62x =∴m =9,故答案填:9.【点睛】本题是完全平方公式的应用,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.注意中间项的符号,避免漏解.14.对于有理数a ,b ,定义min{,}a b 的含义为:当a b <时,min{,}a b a =;当a b >时,min{,}a b b =.例如:min{1,22}-=-,min{3,1}1-=-.已知}a =}b b =,且a 和b 是两个连续的正整数,则a+b =_____.9【分析】根据新定义得出ab 的值再求和即可【详解】解:∵min{a}=min{b}=b ∴<ab <又∵a 和b 为两个连续正整数∴a=5b=4则a+b=9故答案为:9【点睛】本题主要考查了算术平方根和实数解析:9【分析】根据新定义得出a ,b 的值,再求和即可.【详解】解:∵,b}=b , ∴a ,b又∵a 和b 为两个连续正整数,∴a=5,b=4,则a+b=9.故答案为:9.【点睛】本题主要考查了算术平方根和实数的大小比较,正确得出a ,b 的值是解题关键. 15.数学家发明了一个魔术盒,当任意数对(,)a b 放入其中时,会得到一个新的数:(1)(2)a b --.例如:将数对(2,1)放入其中时,最后得到的数是________;(1)将数对放入其中,最后得到的数________;(2)现将数对(,0)m 放入其中,得到数n ,再将数对(,)n m 放入其中后,最后得到的数是________.(结果要化简)-1-2-2m2+5m-2【分析】根据题目中的新定义运算规则可分别计算出数对和放入其中后最后得到的数再由数对放入其中得到数计算出m 与n 的关系再计算数对即可得到结果【详解】解:由题意得:数对放入其中时解析:-1 -2 -2m 2+5m-2【分析】根据题目中的新定义运算规则,可分别计算出数对(2,1)和放入其中后,最后得到的数,再由数对(,0)m 放入其中,得到数n ,计算出m 与n 的关系,再计算数对(,)n m ,即可得到结果.【详解】解:由题意得:数对(2,1)放入其中时,最后得到的数是:(2-1)×(1-2)=-1; 故答案为:-1;(1)将数对3-1-2)=-2;故答案为:-2;(2)根据数对(,0)m 放入其中得到数n ,可得:(m−1)×(0−2)=n , 则-2m+2=n , ∴将数对(n ,m )放入其中后,最后得到的数是:(n−1)(m−2)=(-2m+2−1)(m−2)=(-2m+1)(m−2)=-2m 2+5m-2.故答案为:-2m 2+5m-2.【点睛】此题主要考查了新定义下的实数运算,弄清题中的新定义运算规则、实数及多项式乘多项式的运算法则是解本题的关键.16.因式分解:316m m -=________.m (m+4)(m-4)【分析】原式提取公因式再利用平方差公式分解即可【详解】解:=m (m2-16)=m (m+4)(m-4)故答案为:m (m+4)(m-4)【点睛】此题考查了综合提公因式法和公式法分解 解析:m (m+4)(m-4)【分析】原式提取公因式,再利用平方差公式分解即可.【详解】解:316m m -=m (m 2-16)=m (m+4)(m-4),故答案为:m (m+4)(m-4)【点睛】此题考查了综合提公因式法和公式法分解因式,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.17.如果关于x 的多项式24x bx ++是一个完全平方式,那么b =________.【分析】多项式的首项和末项分别是x 和2的平方那么中间一项是加上或减去x 与2积的2倍由此得到答案【详解】∵∴b=故答案为:【点睛】此题考查完全平方式掌握完全平方式的构成特点是解题的关键解析:4±【分析】多项式的首项和末项分别是x 和2的平方,那么中间一项是加上或减去x 与2积的2倍,由此得到答案.【详解】∵222(2)444x x x x bx ±±=+=++,∴b=4±,故答案为:4±.【点睛】此题考查完全平方式,掌握完全平方式的构成特点是解题的关键.18.计算:32(2)a b -=________.【分析】积的乘方等于积中每个因式分别乘方再把所得的幂相乘根据法则计算即可【详解】=故答案为:【点睛】此题考查积的乘方:等于积中每个因式分别乘方再把所得的幂相乘解析:624a b【分析】积的乘方等于积中每个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,根据法则计算即可.【详解】32(2)a b -=624a b ,故答案为:624a b .【点睛】此题考查积的乘方:等于积中每个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.19.设(2a+3b )2=(2a ﹣3b )2+A ,则A =__________24ab 【分析】由完全平方公式(a±b )2=a2±2ab+b2得到(a+b )2=(a ﹣b )2+4ab 据此可以作出判断【详解】解:∵(2a+3b )2=(2a ﹣3b )2+4×2a×3b =(2a ﹣3b )2解析:24ab【分析】由完全平方公式(a ±b )2=a 2±2ab +b 2,得到(a +b )2=(a ﹣b )2+4ab ,据此可以作出判断.【详解】解:∵(2a +3b )2=(2a ﹣3b )2+4×2a ×3b =(2a ﹣3b )2+24ab ,(2a +3b )2=(2a ﹣3b )2+A ,∴A =24ab .故答案为:24ab .【点睛】本题考查了完全平方公式.关键是要了解(a ﹣b )2与(a +b )2展开式中区别就在于2ab 项的符号上,通过加上或者减去4ab 可相互变形得到.20.已知()()()214b c a b c a -=--且a ≠0,则b c a +=__.2【分析】由可得:去分母整理可得:从而得到:于是可得答案【详解】解:故答案为:2【知识点】本题考查的是整式的乘法运算完全平方公式的应用因式分解的应用非负数的性质代数式的值利用平方根的含义解方程掌握以解析:2【分析】 由()()()214b c a b c a -=--可得:()()()21,4b c bc a b c a bc -+=--+去分母整理可得:()220,b c a +-=从而得到:2,b c a +=于是可得答案.【详解】解: ()()()21,4b c a b c a -=-- ()()()21,4b c bc a b c a bc ∴-+=--+ ()()22444b c bc ac a bc ab bc ∴-+=--++,()()22440,b c a a b c ∴++-+=()220,b c a ∴+-=20,b c a ∴+-=2,b c a ∴+=∴ 2=2,b c a a a+= 故答案为:2.【知识点】本题考查的是整式的乘法运算,完全平方公式的应用,因式分解的应用,非负数的性质,代数式的值,利用平方根的含义解方程,掌握以上知识是解题的关键.三、解答题21.下面是小华同学分解因式229()4()a x y b y x -+-的过程,请认真阅读,并回答下列问题.解:原式229()4()a x y b x y =-+-① 22()(94)x y a b =-+②2()(32)x y a b =-+③任务一:以上解答过程从第 步开始出现错误.任务二:请你写出正确的解答过程.解析:①;见解析【分析】根据提公因式法和平方差公式进行因式分解.【详解】解:在小华同学的解答中,对原式进行变形,从第①步开始出现错误,故答案为:①正确过程如下:229()4()a x y b y x -+-229()4()a x y b x y =---22()(94)x y a b =--()(32)(32)x y a b a b =-+-.【点睛】本题考查综合提公因式和公式法进行因式分解,掌握提公因式技巧和平方差公式的公式结构正确计算是解题关键.22.阅读下列文字,并解决问题.已知x 2y =3,求2xy (x 5y 2﹣3x 3y ﹣4x )的值.我们知道,满足x 2y =3的x ,y 的值可能较多,不可能逐一代入求解,而运用整体思想能使问题化繁为简,化难为易,运用整体代入的方法能巧妙地解决一些代数式的求值问题,于是将x 2y =3整体代入.解:2xy (x 5y 2﹣3x 3y ﹣4x )=2x 6y 3﹣6x 4y 2﹣8x 2y=2(x 2y )3﹣6(x 2y )2﹣8x 2y=2×33﹣6×32﹣8×3=﹣24.请你用上述方法解决问题:(1)已知ab =4,求(2a 3b 2﹣3a 2b+4a )•(﹣2b )的值;(2)已知x ﹣1x=5,求1x x +的值.解析:(1)-192;(2)1x x += 【分析】(1)根据单项式乘多项式的运算法矩形计算,根据积的乘方法则变形,把已知数据代入计算即可;(2)根据完全平方公式把原式变形,把已知数据代入计算即可.【详解】解:(1)∵ab =4,∴(2a 3b 2﹣3a 2b+4a )•(﹣2b )=﹣4a 3b 3+6a 2b 2﹣8ab=﹣4(ab )3+6(ab )2﹣8ab=﹣4×43+6×42﹣8×4=﹣192;(2)∵x ﹣1x=5, ∴22211()()45429x x x x +=-+=+=. 1x x∴+=【点睛】本题考查的整式的混合运算及完全平方公式,正确理解题意掌握相关运算顺序和计算法则正确计算是解题的关键.23.(1)先化简,再求值:()()()22m n m n m n m ⎡⎤-++-÷⎣⎦,其中1m =,3n =-.(2)已知:1x y -=,2xy =,求32232x y x y xy -+的值.解析:(1)m n -,4;(2)()2xy x y -,2【分析】(1)整式的混合运算,先算乘方,然后算乘除,最后算加减,有小括号先算小括号里面的,化简后代入求值进行计算求值;(2)将原式进行因式分解,然后代入求值.【详解】解:(1)()()()22m n m n m n m ⎡⎤-++-÷⎣⎦=2222(2)2m n m mn n m -+-+÷=2(22)2m mn m -÷m n =-当1m =,3n =-时,原式1(3)4=--=(2)32232x y x y xy -+=22(2)xy x xy y -+()2xy x y =-,∵1x y -=,2xy =∴原式=2×12=2.【点睛】本题考查因式分解和整式的混合运算,掌握运算法则正确计算是解题关键.24.分解因式: ()()144m m ++()32228x xy -解析:(1)()22m +;(2)()()222x x y x y +- 【分析】(1)将原代数式去括号计算后,直接利用完全平方公式因式分解;(2)先提取公因式,再利用平方差公式因式分解.【详解】解:()()144m m ++244m m =++()22m =+; ()32228x xy -()2224x x y =- ()()222x x y x y =+-.【点睛】本题考查因式分解.一般因式分解时能提取公因式先提取公因式,再看能否运用公式因式分解.25.计算:(1)23262x y x y -÷(2)()233221688x y z x y z xy +÷(3)运用乘法公式计算:2123124122-⨯解析:(1)23y -;(2)22xyz x z +;(3)1【分析】(1)利用单项式除以单项式法则计算;(2)运用多项式除以单项式法则计算;(3)先将124122⨯化为(1231)(1231)+⨯-,利用平方差公式计算,再计算加减法.【详解】解:(1)23262x y x y -÷=23y -; (2)()233221688x y z x y z xy +÷=22xyz x z +;(3)2123124122-⨯=222123(1231)(1231)123(1231)1-+⨯-=--=. 【点睛】此题考查整式的计算法则:单项式除以单项式、多项式除以单项式、平方差公式,熟记法则是解题的关键.26.在日历上,我们可以发现其中某些数满足一定规律,如图是2020年12月份的日历,我们选择其中被框起的部分,将每个框中三个位置上的数作如下计算: 281156415497-⨯=-==2241731576527497-⨯=-==不难发现,结果都是7.(1)请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证;(2)请你利用代数式的运算对以上规律加以证明.解析:(1)见解析;(2)见解析【分析】(1)答案不唯一,如选择6,13,20这三个数,按照已知等式方法计算即可;(2)设中间那个数为n,列得2(7)(7)--+,根据平方差公式及合并同类项法则计n n n算即可.【详解】解:(1)答案不唯一,如:在图中框出如图,2-⨯=-==;13620169120497(2)证明:设中间那个数为n,则:2(7)(7)497--+==n n n∴2(7)(7)7--+=.n n n.【点睛】此题考查数字计算规律探究,掌握有理数混合运算法则,整式的混合运算法则以及化简算术平方根是解题的关键.27.第一步:阅读材料,掌握知识.要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它的前两项分成一组,并提出公因式a,再把它的后两项分成一组,提出公因式b,从而得: am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m +n).这时,由于a(m+n)+b(m+n)中又有公因式(m+n),于是可提出(m+n),从而得到(m+n)(a+b),因此有: am+an+bn+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m +n)(a+b).这种方法称为分组法.第二步:理解知识,尝试填空.(1)ab-ac+bc-b2=(ab-ac)+(bc-b2)=a(b-c)-b(b-c)=.第三步:应用知识,解决问题.(2)因式分解:x2y-4y-2x2+8.第四步:提炼思想,拓展应用.(3)已知三角形的三边长分别是a、b、c,且满足a2+2b2+c2=2b(a+c),试判断这个三角形的形状,并说明理由.解析:(1)(b-c)(a-b);(2)(y-2)(x+2)(x-2);(3)这个三角形为等边三角形,理由见解析.【分析】(1)提取b-c即可;(2)先分组,用提取公因式法分解,再用平方差公式分解即可;(3)移项后分解因式,可得出a=b=c ,则可得出答案.【详解】解:(1)a (b-c )-b (b-c )=(b-c )(a-b ).故答案为:(b-c )(a-b );(2)x 2y-4y-2x 2+8=(x 2y-4y )-(2x 2-8)=y (x 2-4)-2(x 2-4)=(y-2)(x 2-4)=(y-2)(x+2)(x-2);(3)这个三角形为等边三角形.理由如下:∵a 2+2b 2+c 2=2b (a+c ),∴a 2+2b 2+c 2-2ba-2bc=0,∴a 2-2ab+b 2+b 2-2bc+c 2=0,∴(a-b )2+(b-c )2=0,∵(a-b )2≥0,(b-c )2≥0,∴a-b=0,b-c=0,∴a=b=c ,∴这个三角形是等边三角形.【点睛】本题考查分组因式分解,等边三角形的定义.能理解题意,掌握分组分解法是解题关键. 28.计算:(1)x 2·x (2)(x 3)5(3)(-2x 3)2解析:(1)3x ,(2)15x ,(3)64x .【分析】(1)按照同底数幂相乘法则计算即可;(2)按照幂的乘方法则计算即可;(3)先按照积的乘方运算,再计算幂的乘方即可.【详解】解:(1)2213x x x x +⋅==,(2)353515()x x x ⨯==,(3)322326(2)(2)()4x x x -=-⨯=.【点睛】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方运算,熟练掌握这些幂的运算法则是解题关键.。

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