连续可微偏导数

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二元函数连续可微偏导之间的关系解读

一、引言对于一元函数而言,函数y=f(x在点x0处连续、导数存在、可微这三个概念的关系是很清楚的,即可微一定连续,但连续不一定可微,可微和导数存在是等价的。

对多元函数而言,由于偏导数的出现,使得他们之间的关系要复杂的多。

下面以二元函数为例,探讨其在点(x0,y0处连续、偏导数存在、可微、偏导数连续之间的关系。

二、二元函数连续、偏导数存在、可微、偏导数连续之间的关系1.可微与连续的关系假设函数f(x,y在点(x0,y0处可微,那么在该点连续,但反之不成立(同一元函数。

证明:因为f(x,y在点(x0,y0处可微,因此有0≤f(x0+△x,y0+△y-f(x0,y0≤A△x+B△y+O(O→(△x→0,△y→0,所以lim(△x,△y→(0,0f(x0+△x,y0+△y=f(x0,y0,故f(x,y在点(x0,y0处连续。

反之不成立。

例1.f(x,y=x2yx2+y2,x2+y2≠00,x2+y2=$在点(0,0处连续,但在该点不可微。

2.偏导数存在与可微的关系由定理17.1[1](可微的必要条件,函数f(x,y在点(x0,y0处可微,那么f(x,y在点(x0,y0的偏导数一定存在;但反之不成立,如例1中函数f(x,y在点(0,0处偏导数存在,但在此点不可微。

3.偏导数连续与可微的关系由定理17.2[2](可微的充分条件知,函数f(x,y在点(x0,y0处偏导数连续,那么f(x,y 在点(x0,y0处可微;但反之不成立,例2.f(x,y=(x2+y2sin1x2+y2,x2+y2≠00,x2+y2=%’’’&’’(0在点(0,0处可微,但偏导数在点(0,0不连续。

4.连续与偏导数存在之间的关系二元函数连续与偏导数存在之间没有必然的联系。

例3f(x,y=x2+y2(圆锥在点(0,0连续但在该点不存在偏导数。

更值得注意的是,即使函数在某点存在对所有自变量的偏导数,也不能保证函数在该点连续。

例4.f(x,yxyx2+y2,x2+y2≠00,x2+y2=$在点(0,0不连续,但f y(0,0=lim△y→∞0-0=0,f y(0,0=lim△y→∞0-0△y=0。

多元函数偏导数连续和可微的关系

多元函数偏导数连续和可微的关系一、前言多元函数是数学中的重要概念，它在物理、经济学、工程学等众多领域都有广泛的应用。

而多元函数偏导数连续和可微的关系是多元函数研究中的一个重要问题，本文将详细介绍这个问题。

二、多元函数偏导数的定义在介绍多元函数偏导数连续和可微的关系之前，我们需要先了解多元函数偏导数的定义。

对于一个二元函数$f(x,y)$，它在点$(x_0,y_0)$处对$x$求偏导数，记为$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)$，表示当$y$固定在$y_0$时，$f(x,y)$对$x$的变化率。

同理，它在点$(x_0,y_0)$处对$y$求偏导数，记为$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$，表示当$x$固定在$x_0$时，$f(x,y)$对$y$的变化率。

对于一个$n(n\geqslant3)$元函数$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，它在点$(x_{10},x_{20},\cdots,x_{n0})$处对$x_i(i=1,2,\cdots,n)$求偏导数，记为$\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_{10},x_{20},\cdots,x_{n0})$，表示当$x_j(j\neq i)$固定在$x_{j0}(j\neq i)$时，$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$对$x_i$的变化率。

三、多元函数偏导数连续的定义在介绍多元函数偏导数连续和可微的关系之前，我们需要先了解多元函数偏导数连续的定义。

对于一个$n(n\geqslant2)$元函数$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，如果它在点$(x_{10},x_{20},\cdots,x_{n0})$处对$x_i(i=1,2,\cdots,n)$求偏导数存在且连续，那么称$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$在点$(x_{10},x_{20},\cdots,x_{n0})$处对$x_i(i=1,2,\cdots,n)$求偏导数连续。

可微偏导连续之间的关系

可微偏导连续之间的关系以可微偏导连续之间的关系为标题，可以从以下几个方面展开论述。

我们需要了解可微偏导的概念。

可微偏导是指一个多元函数在某一点处的偏导数存在且连续。

在数学中，我们常常使用偏导数来描述函数在某一点处的变化率。

而可微偏导的连续性则表明函数在该点附近的所有偏导数都存在且保持一定的关系，这为我们研究函数的性质提供了很大的便利。

可微偏导连续之间的关系可以通过数学表达式来描述。

假设一个函数f(x,y)是定义在一个开区域D上的二元函数，若函数f在D上的所有偏导数都存在且连续，那么我们可以得到以下结论：可微偏导连续。

这个结论是数学分析中的一个重要定理，也是我们研究函数性质的基础。

接下来，我们来探讨可微偏导连续之间的实际意义。

可微偏导连续的条件保证了函数在某一点处的变化率是连续的，这在实际问题中具有很重要的意义。

例如，在经济学中，我们常常使用边际效用来描述某种商品对消费者满足程度的变化。

而可微偏导连续的条件则保证了边际效用的变化是连续的，使得我们能够更好地研究消费者的行为。

可微偏导连续还与极值问题有着密切的关系。

在求解极值问题时，我们往往需要通过求取函数的偏导数来确定极值点。

而可微偏导连续的条件可以保证函数在极值点附近的局部性质，从而为我们找到极值点提供了依据。

这在优化问题中具有很大的应用价值。

我们还可以将可微偏导连续与其他数学概念进行关联。

例如，可微偏导连续与连续函数之间存在一定的关系。

连续函数是指函数在定义域上的每一个点都满足极限存在的条件。

而可微偏导连续的条件则保证了函数在某一点处的偏导数的极限存在。

因此，可微偏导连续的函数在定义域上一定是连续的。

这种关联可以帮助我们更好地理解函数的性质。

可微偏导连续之间存在着紧密的关系。

可微偏导连续的条件保证了函数在某一点处的变化率连续，具有实际意义，并且与极值问题、连续函数等数学概念有着密切的关联。

通过研究可微偏导连续之间的关系，我们可以更深入地理解和应用数学分析中的相关概念，为问题的求解提供更有效的方法和思路。

二元函数连续偏导可微之间的关系

二元函数连续偏导可微之间的关系二元函数是指一个有两个自变量的函数。

在数学中，连续偏导数和可微性是二元函数重要的性质。

本文将探讨二元函数的连续偏导数和可微性之间的关系。

我们来了解连续偏导数和可微性的定义。

对于一个二元函数f(x, y)，如果它的偏导数在定义域内存在且连续，那么我们称f(x, y)在该定义域内具有连续偏导数。

而如果一个二元函数在某一点的偏导数存在且连续，且其在该点的全微分存在，那么我们称该函数在该点可微。

连续偏导数和可微性之间有着密切的联系。

事实上，对于一个具有连续偏导数的二元函数，在该点可微是一个充分条件，但不是必要条件。

也就是说，如果一个二元函数在某一点可微，那么它在该点的偏导数一定是连续的。

然而，如果一个二元函数的偏导数在某一点连续，不一定能保证这个函数在该点可微。

具体来说，我们可以通过一个例子来说明这个关系。

考虑二元函数f(x, y) = |xy| / √(x^2 + y^2)，当(x, y) ≠ (0, 0)时，f(x, y)的偏导数可以通过求导得到。

我们可以得到f对x的偏导数f_x = y^2 / (x^2 + y^2)^(3/2)，f对y的偏导数f_y = x^2 / (x^2 + y^2)^(3/2)。

容易看出，f(x, y)在整个定义域内的偏导数都是连续的。

然而，当(x, y) = (0, 0)时，f(x, y)的偏导数f_x = f_y = 0。

虽然f(x, y)在该点的偏导数连续，但是f(x, y)在该点不可微。

因为我们可以通过计算f(x, y)在该点的全微分来证明全微分不存在。

连续偏导数和可微性之间的关系是：连续偏导数是可微性的充分条件，但不是必要条件。

这意味着一个二元函数的连续偏导数可以确保它在某一点可微，但一个二元函数的偏导数连续并不能保证它在某一点可微。

对于二元函数的研究，连续偏导数和可微性是非常重要的性质。

它们在数学中有广泛的应用，尤其在微积分和优化理论中。

多元函数可微与偏导数都存在、连续、极限存在的关系

多元函数可微与偏导数都存在、连续、极限
存在的关系
多元函数可微与偏导数都存在、连续、极限存在的关系
在高等数学中，我们熟悉的多元函数可微性是指函数在某一点处沿着任意方向的增量与对应的线性主部之比存在极限，而偏导数是指函数在某一点关于某一变量的导数，即在其他变量不变的情况下，该变量的导数存在极限。

那么多元函数可微与偏导数都存在、连续、极限存在之间存在着怎样的关系呢？
首先，多元函数在某一点处可微，则必然在该点处连续，并且在该点处偏导数存在，反之亦然。

这可以从定义出发进行证明。

其次，多元函数在某一点处连续，则必然在该点处偏导数都存在，但不一定可微。

这是因为连续性只能保证存在单向导数，而可微性需要同时满足双向导数都存在且相等。

第三，偏导数在某一点处存在，但不一定连续。

例如函数
$f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy^2}{x^2+y^4},&(x,y)\neq(0,0) \\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}$在$(0,0)$处$x$和$y$的偏导数都存在，但不连续。

综上所述，多元函数可微与偏导数都存在、连续、极限存在之间存在着一定的关系，但彼此之间并不完全等价。

在实际问题中，我们
需要根据具体情况选择适合的理论工具来研究多元函数的性质，以解决相应的问题。

多元函数偏导数连续和可微的关系

多元函数偏导数连续和可微的关系引言在数学中，我们常常需要研究多元函数的性质和特点。

其中，多元函数的偏导数是一个重要的概念，它在数学分析以及应用数学中有着广泛的应用。

本文将探讨多元函数偏导数的连续性和可微性之间的关系。

多元函数的偏导数定义考虑一个二元函数f(x,y)，其中x和y是自变量，f是因变量。

我们可以将x或y视为定值，而将另一个变量作为独立变量进行求导。

这样得到的导数就称为偏导数。

具体而言，函数f(x,y)的对x的偏导数记作∂f∂x，表示在y固定的情况下，f对x的变化率。

同样地，函数f(x,y)的对y的偏导数记作∂f∂y，表示在x固定的情况下，f对y的变化率。

对于多元函数，我们可以类似地定义更多的偏导数。

例如，对于三元函数f(x,y,z)，我们可以求得∂f∂x 、∂f∂y和∂f∂z。

连续性和可微性在研究多元函数的性质时，连续性和可微性是两个重要的概念。

下面我们将分别讨论偏导数的连续性和可微性。

偏导数的连续性定义首先，我们来定义多元函数偏导数的连续性。

偏导数连续的定义如下：若函数在某一点处的偏导数存在且连续，则称该函数在该点处的偏导数连续。

定理根据多元函数的连续性的定义，我们可以得到以下定理：如果在某区域内，函数的偏导数连续，那么函数在该区域内是连续的。

证明如下：假设函数在某一点处的偏导数连续，即∂f∂x 和∂f∂y在该点处连续。

那么根据偏导数的定义，我们有：∂f ∂x =limΔx→0f(x+Δx,y)−f(x,y)Δx∂f ∂y =limΔy→0f(x,y+Δy)−f(x,y)Δy由于偏导数连续，我们可以将极限与连续性交换，即：∂f∂x=f x(x,y)∂f∂y=f y(x,y)由此可见，在函数的偏导数连续的情况下，函数在该点处是连续的。

因此，我们可以得出结论：函数的偏导数连续是函数连续的充分条件。

偏导数的可微性定义接下来我们来定义多元函数偏导数的可微性。

偏导数可微的定义如下：如果函数在某一点的所有偏导数都存在且连续，那么函数在该点处可微。

二元函数的连续偏导可微

二元函数的连续性、偏导及可微之间的联系二元函数连续性、偏导数存在性、及可微的定义 1.二元函数的连续性定义设f 为定义在D 上的二元函数，0P D ∈(它或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点) ,对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要()0;P P D δ∈⋂，就有()()0f P f P ε-<, 则称f 在P 点连续2.二元函数的偏导数定义设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域内有定义，当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆ 时，相应地函数有增量x z ∆=0000(,)(,)f x x y f x y +∆-如果 00000(,)(,)limx f x x y f x y x∆→+∆-∆存在，则称此极限为函数z (,)f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数，记作00(,)x f x y 或()00,x y fx ∂∂对y 的偏导数同理 3.二元函数的可微性定义设函数(,)z f x y =在点()000,P x y 的某邻域()0U P 内有定义，对于()0U P 中的点()00,(,)P x y f x x y y =+∆+∆，若函数f 在0P 处的全增量z ∆可表示为：()()0000(,),z f x x y y f x y A x B y o ρ∆=+∆+∆-=∆+∆+， (1)其中AB 是仅与点P 0有关的常数，ρ=，()o ρ是较高阶的无穷小量，则称函数f 在点P 0可微.并称(1)中A x B y ∆+∆为f 在点P 0的全微分，记作000(,)P dz df x y A x B y ==∆+∆说明：1)A 、B 是与x ∆y ∆无关的常数，但与0P 可能有关；2) dz 是z ∆的线性主部0lim0z dzρρ→∆-=二元函数连续性、偏导数存在性、及可微的联系多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也有些差异，这些差异主要是由多元函数的“多元”而产生的.对于多元函数，我们着重讨论二元函数，在掌握了二元函数的有关理论和研究方法之后，在将它推广到一般的多元函数中去.本文将通过具体实例来讨论二元函数连续性、偏导数存在性、及可微的联系. 一、二元函数连续性与偏导存在性间的关系偏导存在不一定连续，反之连续不一定有偏导存在 1)函数(,)f x y 在点000(,)p x y 连续，但偏导不一定存在. 例1.证明函数(,)f xy =(0,0)连续偏导数不存在.证明：∵(,)(0,0)(,)lim (,)lim0(0,0)x y x y f x y f →→===,故函数(,)f x y =(0,0)连续.由偏导数定义：001,(0,0)(0,0)(0,0)limlim 1,x x x x f x f f x x ∆→∆→∆>⎧+∆-===⎨-∆<∆⎩故(0,0)x f 不存在.同理可证(0,0)y f 也不存在.2)函数(,)f x y 在点000(,)P x y 偏导存在，但不一定连续.例 2.证明函数22,0(,)1,0x y xy f x y xy ⎧+==⎨≠⎩在点(0,0)处(0,0)x f ，(0,0)y f 存在，但不连续证明 : 由偏导数定义：00(0,0)(0,0)(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x→∆→+∆-==∆=∆ 同理可求得(0,0)0y f =∵22(,)(0,0)(,)(0,0)lim (,)lim ()1(0,0)0x y x y f x y x y f →→=+=≠=故函数22,0(,)1,0x y xy f x y xy ⎧+==⎨≠⎩在点(0,0)处不连续.综上可见，二元函数的连续性与偏导存在性间不存在必然的联系. 二、二元函数的可微性与偏导间的关系1.可微性与偏导存在性1) 可微则偏导存在(可微的必要条件1)若二元函数(,)f x y 在其定义域内一点000(,)P x y 处可微，则f 在该点关于每个自变量的偏导都存在，且000000(,)(,)(,)x y df x y f x y dx f x y dy =+注1 定理1的逆命题不成立，2)偏导存在，不一定可微.例3证明函数22220(,)0,0x y f x y x y +≠=+=⎩在原点两个偏导存在，但不可微.证明由偏导数定义：00(0,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx ∆→∆→+∆--===∆∆同理可求得(0,0)0y f =下面利用可微的定义来证明其不可微性. 用反证法.若函数f 在原点可微，则[](0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y f df f x y f f dx f dy ⎡⎤∆-=+∆+∆--+=⎣⎦应是较ρ=2200lim lim f df x y x y ρρρ→→∆-∆∆=∆+∆ 当动点(,)x y 沿直线y mx =趋于(0,0)时，则(,)(0,0)2222(,)(0,0)lim lim 11x y y mxx y xy m mx y m m →=→==+++ 这一结果说明动点沿不同斜率m 的直线趋于原点时，对应的极限值也不同.因此所讨论的极限不存在.故函数f 在原点不可微.例4. 22220(,)0,x y f x y x y +≠=+=⎪⎩在(0,0)处两个偏导存在，但不可微.证明由偏导数定义：00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→+∆--===∆∆ 同理可求得(0,0)0y f =下面利用可微的定义来证明其不可微性.[](0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y f df f x y f f dx f dy ⎡⎤∆-=+∆+∆--+=⎣⎦为此考察极限limf dfρρρ→→∆-=当动点(,)x y 沿直线y =趋于时，则(,)(0,0)(,)limlim x y y mxx y →=→==0≠因此f 在原点不可微例5. 证明函数2222222,0(,)0,0x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩在(0，0)两个偏导存在，但不可微.证明由偏导数定义：00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→+∆--===∆∆ 同理可求得(0,0)0y f =下面利用可微的定义来证明其不可微性.(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+= 222(,)(0,0)x yf f x y f x y ∆∆∆=∆∆-=∆+∆从而()222230,(0,0)222limlimlim0()()x y x y f dfx y x y x y x y ρρρρ→→∆∆→∆∆∆-∆∆∆+∆==≠=∆+∆取因此f 在原点不可微注:本题还可以说明连续不一定可微例6.证明函数2222322222,0(,)()0,0x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=⎨+⎪+=⎩在(0，0)连续，且两个偏导数都存在但不可微.证明(1)∵223222()x y x y ≤+∴0,4,εδεδε∀>∃=<<∴(,)(0,0)lim (,)0(0,0)x y f x y f →==故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2)又00(,0)(0,0)0(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx →→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===(3) (0,0)(0,0)0,x y df f x f y =∆+∆=(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=∆∆-=∆∆从而222220limlim ()()f dfx y x y x y ρρρ→→∆-∆∆=∆=∆∆+∆取不存在故 f 在原点不可微注:本题还可以说明连续不一定可微2. 偏导连续与可微1)偏导连续，一定可微.(可微的充分条件)若二元函数(,)z f x y =的偏导在点000(,)P x y 的某邻域内存在，且x f 与y f 在点000(,)P x y 处连续，则函数(,)f x y 在点000(,)P x y 可微.注2 偏导连续是函数可微的充分而非必要条件.2)可微，偏导不一定连续例7.证明函数()222222221sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微，但(,)x f x y ，(,)y f x y 在(0，0)处不连续.证明 22(,),0x y x y ∀+≠，有222222121(,)2sincos x x f x y x x y x y x y =-+++222222121(,)2sin cos y y f x y y x y x y x y =-+++ (1)当y=x 时，极限2200111lim (,)lim(2sin cos )22x x x f x x x x x x→→=-不存在，则(,)x f x y 在(0，0)点不连续.同理可证(,)y f x y 在(0，0)点不连续.(2)∵ 200(,0)(0,0)1(0,0)limlim sin 0x x x f x f f x x x→→-===200(0,)(0,0)1(0,0)lim lim sin 0y y y f y f f y y y→→-===则(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+=2222222211(,)(0,0)()sinsin ((,):0)f f x y f x y x y x y x y ρρ∆=-=+=∀+≠+ 从而2221sin1limlimlim sin0f dfρρρρρρρρρ→→→∆-===即函数(,)f x y 在点(0，0)可微.例8. 证明函数()2222220(,)0,0x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微，但(,)x f x y ，(,)y f x y 在(0，0)处不连续.证明 22(,),0x y x y ∀+≠，有(,)2x f x y x =(,)2y f x y y = (1)当y=x时，极限00lim (,)lim(2x x x f x x x →→=不存在，则(,)x f x y 在(0，0)点间断.同理可证(,)y f x y 在(0，0)点间断.(2)∵00(,0)(0,0)(0,0)limlim 0x x x f x f f x x→→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y→→-===则(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+=(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=-=从而201cos1limlimlim cos0f dfρρρρρρρρρ→→→∆-===即函数(,)f x y 在点(0，0)可微.例9.证明函数2222221sin ,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微，但(,)x f x y ，(,)y f x y 在(0，0)处不连续.证明 22(,),0x y x y ∀+≠，有22222222121(,)sin cos ()x x y f x y y x y x y x y =-+++22222222121(,)sin cos ()y xy f x y x x y x y x y =-+++(1)当y=x 时，极限2200111lim (,)lim(sin cos )222x x x f x x x x x x→→=-不存在，则(,)x f x y 在(0，0)点不连续.同理可证(,)y f x y 在(0，0)点不连续.(2)∵ 00(,0)(0,0)(0,0)limlim00x x x f x f f x→→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===则(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+=221(,)(0,0)sinf f x y f x y x y ∆=∆∆-=∆∆∆+∆从而()22,1limlimx y f dfx y ρρ→∆∆→∆-=∆+∆=0即函数(,)f x y 在点(0，0)可微.三、二元函数的连续性与可微性间的关系 1)可微，一定连续(可微的必要条件2)二元函数(,)f x y 在000(,)P x y 可微,则必然连续，反之不然.2)连续，不一定可微例10.证明函数3222222,0(,)0,0x x y f x y x yx y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩在(0，0)连续，且偏导存在但不可微. 证明:(1)∵322222,x x x x x y x y=⋅≤++ ∴0,,,x y x εδεδδε∀>∃=<<<当时， ∴(,)(0,0)lim (,)0(0,0)x y f x y f →==故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2) 00(,0)(0,0)(0,0)limlim 1x x x f x f xf xx →→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===(3) (0,0)(0,0),x y df f x f y x =∆+∆=∆(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=∆∆-=∆∆从而20limf dfρρρ→→∆-=不存在即函数(,)f x y 在点(0，0)不可微. 注：本题也可以说明偏导存在但不一定可微.例11.证明函数222222sin(),0(,)0,0x y xy x y x y f x y x y +⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在(0，0)连续，且偏导存在但不可微. 证明:(1)∵22sin(),222x y x y x y x y xy xy x y xy ++++≤⋅=≤+∴0,,,2x yx y εδεδδε+∀>∃=<<<当时， ∴(,)(0,0)lim (,)0(0,0)x y f x y f →==故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2) 00(,0)(0,0)0(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx →→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===(3) (0,0)(0,0)0,x y df f x f y =∆+∆=(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=∆∆-=∆∆从而0limf dfρρρ→→∆-=取y k x ∆=∆则23320022221sin (1)limlim (1)(1)x f dfk kx k k xk k ρρ→∆→∆-++=⋅=++ 不存在故函数(,)f x y 在点(0，0)不可微.注：本题也可以说明偏导存在但不一定可微. 例12 .证明函数(,)f x y xy =在点(0，0)连续，但它在点(0，0)不可微.证明:(1)∵00lim (,)lim 0(0,0)x x y y f x y xy f →→→→===故函数(,)f x y xy =在点(0,0)连续.例13.证明函数222222,0(,)0,0xy x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+⎪=⎨⎪⎪+=⎩在(0，0)连续，但不可微.证明:(1)∵2222222222x y xyx y x y x y++≤=++ ∴00lim (,)0(0,0)x y f x y f →→== 故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2)不可微见例4综上所述二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系如图所示：偏导连续可微连续偏导存在补充1.确定α的值，使得函数()222222221sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y α⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微.2.设函数2222(,)sin 0(,)0,0g x y x y f x y x y ⎧+≠⎪=⎨⎪+=⎩，证明：(1)若(0,0)0g =,g 在点(0，0)处可微,且(0,0)0dg =，则 f 在点(0，0)处可微,且(0,0)0df =.(2)若g 在点(0，0)处可导,且f 在点(0，0)处可微,则(0,0)0df =.3.确定正整数α的值，使得函数()22220(,)0,0x y x y f x y x y α⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处(1)连续，(2)偏导存在，(3)存在一阶连续偏导.4.设函数222222,0()(,)00,0px x y x y f x y p x y ⎧+≠⎪+=>⎨⎪+=⎩,试讨论它在(0,0)点处的连续性.。

叙述二元函数偏导,可微,连续的关系

叙述二元函数偏导,可微,连续的关系二元函数是指一个含有两个自变量的函数，例如f(x,y)，其中x和y是独立变量，而f(x,y)是它们的函数值。

在数学上，二元函数的偏导数、连续性和可微性是重要的性质，它们直接影响到函数的性质和应用。

一、二元函数的偏导数偏导数是指多元函数中对某一变量求导数时，将其他变量看做常数而求出的导数。

对于二元函数f(x,y)，其偏导数可以分为两种类型：偏导数和混合偏导数。

1. 偏导数：偏导数常用∂来表示，表示函数f(x,y)对x或y中的其中一个变量求导的结果。

例如，f(x,y)对x 求导得到的偏导数为：∂f(x,y)/∂x = lim(Δx→0) [f(x+Δx,y) - f(x,y)] / Δx同理，f(x,y)对y求导得到的偏导数为：∂f(x,y)/∂y = lim(Δy→0) [f(x,y+Δy) - f(x,y)] / Δy2. 混合偏导数：混合偏导数是指对一个二元函数f(x,y)的某个变量求偏导数之后，再对其余变量求偏导数，也就是先后求导数的结果。

例如，对f(x,y)先对x求偏导之后再对y求偏导的结果为：∂²f(x,y) / (∂x ∂y)同理，对f(x,y)先对y求偏导之后再对x求偏导的结果为：∂²f(x,y) / (∂y ∂x)如果∂²f(x,y) / (∂x ∂y) = ∂²f(x,y) / (∂y ∂x)，则称混合偏导数存在且相等。

二、二元函数的可微性可微性是指一个函数在某个点可导且导数存在，则称该函数在该点可微。

对于二元函数f(x,y)，其可微与单变量函数类似，需要同时满足以下两个条件：1. 偏导数存在：即f(x,y)对x、y的偏导数都存在；2. 偏导数连续：即f(x,y)对x、y的偏导数都是连续函数。

如果一个函数在某一点可微，则在该点的局部变化可以近似于一个线性变化，其近似表达式为：Δf(x,y) = ∂f(x,y)/∂x Δx + ∂f(x,y)/∂y Δy其中Δx 和Δy 分别表示自变量 x 和 y 的微小变化量，Δf(x,y) 表示函数在 (x,y) 点处的局部变化量。

二元函数连续可微偏导之间的关系解读

三、可微性判别步骤
1.如果f在点(x0,y0处不连续或偏导数不存在,则f在点(x0,y0处不可微。
2.如果f在点(x0,y0处连续,存在f x(x0,y0、fy(x0,y0,则f在点(x0,y0处可微的充分必要条件是满足下列等价的任一式:
(1△z=f(x0+△x,y0+△y-f(x0,y0
=f x(x0,y0△x+f y(x0,y0△y+o((△x2+(△y2
4.连续与偏导数存在之间的关系
二元函数连续与偏导数存在之间没有必然的联系。
例3f(x,y=x2+y2
(圆锥在点(0,0连续但在该点不存在偏导数。更值得注意的是,即使函数在某点存在对所有自变量的偏导数,也不能保证函数在该点连续。
例4.f(x,y
xy
x2+y2
,x2+y2≠0
0,x2+y2=
$
在点(0,0不连续,但
三、巧妙设计变式训练,促进灵活迁移
所谓“变式”,是指在教学中变化引用的材料内容和形式,从不同角度、用不同方法进行教学,使思维的“触须”伸向不同方位和不向领域。因此,通过变式训练可以实现知识的有效迁移。教师要充分运用“变式”教学,通过“一题多变”、“一图多问”、“多题重组”等形式从多个方面构造问
题,使学生养成多角度、多方位处理问题的习惯。教师提出的问题越多,学生思维越发散,理解越深刻,并通过对所提问题的解答而达到灵活迁移的目的。例如,函数与方程、不等式的结合向来是中考或高考的热点,教师可以通过设计变式训练把三者结合的恰到好处:
(2△z=f(x0+△x,y0+△y-f(x0,y0
=f x(x0,y0△x+f y(x0,y0△y+ε((△x2+(△y2

偏导数存在可微连续之间的关系

偏导数存在可微连续之间的关系在数学的世界里，偏导数和可微连续是两个看似复杂的概念，但它们之间的关系其实不那么神秘。

让我们从头开始，逐步揭开这层神秘的面纱，看看它们如何相互关联、影响，最终成就一个完整的数学美景。

1. 偏导数的基本概念首先，什么是偏导数呢？简单来说，偏导数就是我们用来描述一个函数在某个方向上变化快慢的工具。

如果你有一个二维的函数，比如z=f(x, y)，偏导数就是描述函数z对x或y的变化情况。

1.1 偏导数的意义当我们说偏导数时，可以想象你在平面上滑行，可能你的车轮只在x轴方向上移动，或者只在y轴方向上移动。

偏导数就是告诉你，每当你在这些方向上移动时，函数的值会怎么变。

1.2 如何计算计算偏导数其实不难。

你只需要对函数中的一个变量求导数，其他变量都当做常数对待。

比如，z=f(x, y) 对x的偏导数，公式是∂f/∂x。

这样，你就能看到x变化时，z是怎么变化的。

2. 可微连续的概念接下来，我们来聊聊“可微连续”。

这说白了就是一个函数在某一点上的平滑程度。

如果一个函数在某一点上很光滑，没有任何尖角或突变，那么我们就说它在这点上是可微的。

2.1 可微的定义函数在某一点上可微，就意味着你可以在这点画一条切线，而且这条切线的斜率就是函数的导数。

如果你在这点上的函数图像很光滑，那么函数在这点上就是可微的。

2.2 连续性的要求但光是可微还不够，函数还需要连续。

也就是说，函数在这点上的值必须与它周围的值没有突兀的跳跃。

连续性是可微性的前提，没有连续性，谈论可微性就像是空中楼阁。

3. 偏导数与可微连续的关系现在我们进入重头戏：偏导数和可微连续之间到底有什么关系？这个问题其实很有意思，因为它关系到我们如何理解函数的平滑性和变化性。

3.1 偏导数的存在与可微性的关联一个函数如果在某点上可微，那么它的所有偏导数也都存在。

这是因为在那个点上，函数的变化在各个方向上都是可以预测的，没有任何突如其来的变化。

所以，偏导数的存在是函数可微的一个重要标志。

偏导数连续证明可微过程

偏导数连续证明可微过程要证明偏导数连续是可微过程，首先需要明确连续与可微的定义。

定义1：连续对于函数f(x, y)，如果在点(x0, y0)处lim (x, y)→(x0, y0) f(x, y) = f(x0, y0)，则称函数f(x, y)在点(x0, y0)处连续。

定义2：可微对于函数f(x, y)，如果在点(x0, y0)处存在一点(x, y)，满足h =x - x0 和 k = y - y0，且lim (h,k)→(0,0) [f(x0 + h, y0 + k) -f(x0, y0) - A(h, k)] = 0，其中A(h, k)为关于h和k的线性函数，则称函数f(x, y)在点(x0, y0)处可微。

现在我们需要证明当偏导数连续时，函数连续，并且可微。

证明：首先证明偏导数连续时，函数连续。

根据偏导数连续的定义，对于函数f(x,y)，如果∂f/∂x和∂f/∂y在点(x0,y0)处连续，则函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续。

我们可以用反证法证明偏导数连续蕴含函数连续。

假设∂f/∂x和∂f/∂y这两个偏导数在点(x0,y0)处连续，但是函数f(x,y)在点(x0,y0)处不连续。

根据不连续的定义，存在一个ε>0，使得对于任意一个δ>0，都存在一个(x,y)，满足，(x,y)-(x0,y0)，<δ，但，f(x,y)-f(x0,y0)，≥ε。

现在我们来考虑∂f/∂x，根据偏导数连续的定义，对于点(x0,y0)，存在一个δ1>0，使得当，(x,y)-(x0,y0)，<δ1时，有，∂f/∂x(x,y)-∂f/∂x(x0,y0)，<ε/2类似地，对于∂f/∂y，存在一个δ2>0，使得当，(x,y)-(x0,y0)，<δ2时，有，∂f/∂y(x,y)-∂f/∂y(x0,y0)，<ε/2取δ = min(δ1, δ2)，则，(x, y) - (x0, y0)，< δ，根据ε的取法，应该有，f(x, y) - f(x0, y0)，< ε。

多元函数的连续性偏导数方向导数及可微性之间的关系

多元函数的连续性偏导数方向导数及可微性之间的关系首先，我们来回顾一下这些概念的定义和性质：1.多元函数的连续性：设有一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，若对于任意给定的点(x1,x2, ..., xn)，当自变量的每一个分量变化时，函数值都趋于其中一个确定的数，则称此函数在点(x1, x2, ..., xn)连续。

多元函数在定义域内的每一个点处都连续时，称此函数在该定义域上连续。

2.多元函数的偏导数：设有一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，对于其中的其中一个自变量xi，在其他自变量固定的情况下，当xi取得一个微小的变化Δxi时，相应的函数值f(x1, x2, ..., xn)也会发生变化，偏导数是指函数值的这种变化相对于Δxi的比率的极限。

对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，xi的偏导数记作∂f/∂xi。

3.多元函数的方向导数：设有一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，对于函数上的其中一点(x1, x2, ..., xn)和以该点为起点的任意方向向量v=(v1, v2, ..., vn)，方向的导数是指函数在该点沿着方向v的变化率的极限，记作D_vf(x1,x2, ..., xn)。

4.多元函数的可微性：设有一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，若对于给定点(x1,x2, ..., xn)附近的一个小邻域内的任一点(x1+Δx1, x2+Δx2, ...,xn+Δxn)，都有一个线性函数L(x1+Δx1, x2+Δx2, ..., xn+Δxn)，使得当Δx1, Δx2, ..., Δxn趋于零时，有f(x1+Δx1, x2+Δx2, ...,xn+Δxn) = f(x1, x2, ..., xn) + L(x1+Δx1, x2+Δx2, ..., xn+Δxn) + o(Δxi)，则称此函数在点(x1, x2, ..., xn)处可微。

可微偏导数连续之间的关系

可微偏导数连续之间的关系可微偏导数连续的关系是一个重要的数学概念，在数学分析中有着广泛应用。

在本文中，我们将探讨可微偏导数连续的概念及其在实际应用中的重要性。

一、可微偏导数连续的定义在数学分析中，偏导数是对于多元函数中某一变量进行求导的过程，而偏导数连续，则是指在某一点处，对于每个变量求导后得到的结果都是连续的。

偏导数连续的定义如下：设函数f(x1, x2, ..., xn)在点P0(x10, x20, ..., xn0)的某个邻域内存在所有偏导数，若对于每个i = 1, 2, ..., n，函数在点P0的邻域内对于xi的偏导数∂f/∂xi 都存在，且在点P0处这些偏导数都是连续的，则称函数在点P0处可微，并称其偏导数连续。

二、可微偏导数连续的例子我们可以通过一个简单的例子来理解可微偏导数连续的概念。

考虑函数f(x, y) = xy，其偏导数分别为∂f/∂x = y，∂f/∂y = x。

这两个偏导数在每个点处都存在，且在所有点处都连续，因此函数f(x, y)在整个平面上都是可微的。

三、可微偏导数连续的重要性可微偏导数连续的概念在数学分析中有着广泛应用，特别是在微积分、偏微分方程、优化等领域。

以下是一些具体的例子：1. 极值问题。

对于多元函数的极值问题，可微偏导数连续是一个必要条件。

如果一个函数在某点处的偏导数不连续，那么该点就不可能是函数的极值点。

2. 梯度下降法。

在优化算法中，梯度下降法是一种常用的算法，它可以用于求解多元函数的最小值。

梯度下降法的前提是函数可微，因为只有函数可微才能求得函数的梯度（即偏导数），从而进行优化。

3. 泰勒级数展开。

泰勒级数展开是一种将函数用无限多个多项式逼近的技术，它在信号处理、计算机图像等领域有着重要应用。

一个函数的泰勒级数展开式需要第一阶可导，因此函数至少需要满足偏导数连续的条件。

四、总结可微偏导数连续是多元函数分析中的一个重要概念。

它可以用于判断函数的极值点、进行优化算法以及求解泰勒级数展开等。

多元函数可微与偏导数都存在、连续、极限存在的关系

多元函数可微与偏导数都存在、连续、极限存在的关系什么是多元函数可微？在数学中，多元函数可微是指函数的各个方向上的偏导数都存在且连续。

这意味着函数在某一点处可以用一个线性近似代替。

具体而言，设函数f(x, y)是由两个变量x 和y 决定的多元函数。

如果在某一点(a, b) 处，函数在该点的各个方向上的偏导数都存在且连续，那么函数在该点处可微。

多元函数可微与极限存在的关系多元函数在某一点处可微，意味着函数在该点处的极限存在。

具体而言，如果函数在点(a, b) 处可微，那么函数在该点的极限lim[(x, y)→(a, b)] f(x, y)存在。

这个性质可以通过函数的线性近似来解释。

由于函数在可微的点处可以用线性近似代替，所以函数在该点处的极限也就存在。

多元函数可微与偏导数的关系多元函数在某一点处可微，意味着函数在该点的各个方向上的偏导数存在且连续。

具体而言，如果函数在点(a, b) 处可微，那么函数在该点的偏导数?f/?x和?f/?y都存在且连续。

这个性质可以通过可微的定义来证明。

由于可微意味着可以用线性近似代替函数，而偏导数描述了函数在各个方向上的变化率，所以可微必然要求偏导数存在且连续。

例子考虑函数f(x, y) = 3x^2 + 2y，我们来判断其是否可微。

1. 求偏导数计算?f/?x = 6x和?f/?y = 2。

由于偏导数都存在且连续，我们可以继续进行下一步。

2. 判断极限存在由于偏导数存在且连续，函数在点(a, b) 处的极限也存在。

因此，函数f(x, y) = 3x^2 + 2y在任意点处可微。

可微则二阶偏导数连续

可微则二阶偏导数连续
可微则二阶偏导数连续，是指函数在满足可微则一阶偏导数连续的情形下，其二阶偏导数也连续。

它是判断局部极小值的一种充分条件，它被广泛应用于函数分析及复变函数中。

具有可微则二阶偏导数连续的重要功能，学术界普遍认为这是一项必不可少的运算工具。

具有可微则二阶偏导数连续的优越性，乃在于它可作为定义函数单调下降和单调上升的重要参考，以及给出最小和最大值的可靠依据。

相应地，对函数形成全局有界性的优越性也是无可置疑的，二阶偏导数的绝对值的上限也是衡量函数的可分析性的重要参考指标。

同时，无论是由可微则二阶偏导数连续推导出的函数也是由函数推导出的可微则二阶偏导数连续，它们都有着类似的应用功能，能够实现几何和微积分的两大类数学运算。

在实际应用中，可微则二阶偏导数连续风格及其应用方式不断完善，只要有正确的理论支撑，就能够达到有效的解决问题效果。

综上所述，可微则二阶偏导数连续，可以说是无价的智慧，早已被学术界赋予重要的意义。

它的重要性，所体现的工具功能，众口相声，共同推崇，是一件值得推荐的良好学术风格。

偏导函数连续和可微的关系

偏导函数连续和可微的关系偏导函数是数学分析学科中十分重要的概念。

通常情况下，一元函数可以被看作是一种特殊的偏导函数，它存在的意义是帮助求出多元函数在某个固定方向的变化率。

在研究多元函数时，我们通常将其看作是一个空间中的曲面，而偏导函数则是该曲面上某点处的切线斜率。

如果某个函数的偏导函数在某点处连续，那么我们可以说它在该点处可微。

从实际应用来看，偏导函数在各类工程学科中具有十分广泛的应用，比如在机械设计、化学反应、经济学、统计学等诸多领域都有其独特的作用。

举例来说，当我们在处理一种二元函数时，如果需要在其中找到某个局部最小值或最大值，那么就需要使用偏导函数来帮助我们快速求解。

如果我们希望知道某个物理系统在不同状态下的能量变化，那么也可以通过求这个系统的偏导函数来实现。

总体来说，就偏导函数的连续和可微性而言，下面向读者介绍一些基本的概念和结论：第一，对于一个多元函数f(x1, x2, …, xn)，如果它在某个点x（x1, x2, …, xn）处存在偏导数，那么我们可以将其写作如下的形式：∂f(x)/∂xi。

其中xi代表自变量中的第i个分量。

第二，如果我们希望求出在某个点x0处的偏导数，那么一个常见的技巧是将多元函数f(x1, x2, …, xn)置于一个以x0为中心的小区域中，通过将xi的取值分别向x0推进一个微小的量h来求出函数f 在x0处的偏导数，如下所示：∂f(x0)/∂xi = [f(x1, …, xi + h, …, xn) –f(x1, …, xi, …, xn)] / h。

这样一来，我们针对每个自变量xi都能得到一个偏导数，如果这些偏导数都在点x0处存在且连续，那么我们可以进一步说这个函数在该点处可微。

第三，对于一个多元函数，如果它在某点处所有偏导数都存在并且连续，那么它就是在该点处可微的。

如果一个函数在某处可微，则该函数在该点处连续，但反之并不一定成立。

总之，从数学的角度来讲，只有当一个多元函数在某一点处的偏导数连续，它才是在这个点处可微。

偏导数连续和可微分的关系

偏导数连续和可微分的关系1. 引言偏导数，听起来是不是有点高深？别担心，咱们今天就像喝茶聊天一样，轻松聊聊偏导数的连续性和可微分性。

想象一下，在数学的世界里，偏导数就像一个个小精灵，帮助我们探索多变量函数的秘密。

你知道吗？当一个函数的偏导数连续时，它能让我们更轻松地判断这个函数是否可微分。

简直是个好帮手啊！2. 偏导数的概念2.1 什么是偏导数？偏导数就是当我们只关注某一个变量的变化时，函数对这个变量的变化率。

就像你在一个聚会上只跟一个朋友聊天，完全不在乎其他人的话题。

比如说，假设你在做一个蛋糕，偏导数就能告诉你，如果你多加一点糖，蛋糕的甜度会怎样变化。

太神奇了，对吧？2.2 连续性的重要性那么，什么叫偏导数的连续性呢？简单来说，就是当你在某个点附近移动时，偏导数的值不会突然冒出一个“哎呀”，跳到另一个地方去。

就像你在河边散步，水流平稳，走起来很舒服。

如果偏导数不连续，函数就可能出现一些奇怪的“坑”，让我们摸不着头脑。

3. 可微分性的概念3.1 什么是可微分？说到可微分，那就要谈到函数的光滑度。

可微分的函数就像是马路上的柏油路，走起来平平整整，没有颠簸。

如果一个函数在某点可微分，说明它在这个点附近就像一条直线，变化率是稳定的。

而这又和偏导数有啥关系呢？3.2 偏导数与可微分的关系好了，接下来就是重点了。

当一个函数的偏导数在某个点连续时，通常情况下，这个函数在该点是可微分的。

就好比你在开车，方向盘转动得平顺，那车的行驶也不会乱掉。

但如果偏导数不连续，虽然可能函数在某个点可微分，但我们就得多加小心了，可能会出现一些意外。

4. 实际例子4.1 简单的函数例子让我们来看个简单的例子，比如函数 ( f(x, y) = x^2 + y^2 )。

这个函数的偏导数在每一点都是连续的，所以你可以放心大胆地说，这个函数在任何一点都是可微分的。

真的是，简简单单，一切都是那么美好。

4.2 复杂的情况再看一个稍微复杂点的例子，假设 ( g(x, y) = frac{xy{x^2 + y^2 )。

偏导连续和可微的关系

在多变量函数的微积分中，偏导连续和可微是两个相关但不完全相同的概念。

偏导连续：如果一个函数的偏导数在某个点处存在且连续，那么我们称该函数在该点是偏导连续的。

换句话说，对于每个自变量，函数在该点的偏导数存在且连续。

偏导连续是指在每个方向上的偏导数都存在且连续。

可微：如果一个函数在某个点处的所有偏导数都存在且连续，并且存在一个线性逼近函数（线性近似），使得在该点附近的微小变化范围内，函数值与该线性逼近函数的差异趋近于零，那么我们称该函数在该点是可微的。

可微性表示函数在某一点附近可以用线性逼近来近似描述。

从定义上看，可微性要求函数在某点处的偏导数存在且连续，但可微性的要求更严格，还要求存在一个线性逼近函数。

需要注意的是，可微性是偏导连续的充分条件，但不是必要条件。

也就是说，如果一个函数在某点可微，则在该点处的偏导数一定存在且连续；但是反过来，并不一定能推出可微性。

例如，函数在某点处的偏导数存在且连续，但该函数在该点处的偏导数不满足线性逼近的条件，那么该函数在该点就不可微。

总结起来，偏导连续是函数在每个方向上的偏导数存在且连续，而可微性要求函数在某点的偏导数存在且连续，并且可以用一个线性逼近函数来近似描述。

可微性是偏导连续的一个更严格的条件。