3.1线性代数方程组的解法——列主元高斯消去算法讲解

当方程组阶数较高时，计算量很大，因此克莱姆法则通 常仅有理论上的应用价值，计算线性方程组的解还要考 虑数值解法。
求解线性方程组的数值方法分为直接解法和迭代解法：
直接解法 若计算过程没有舍入误差，经过有限次算术 运算就能求出方程组（1）精确解的数值方法。
迭代解法 若计算过程没有舍入误差，也不能经过有限 次算术运算求得方程组（1）的精确解，而只能是逐步 逼近的数值方法。
①交换矩阵的两行； ②某一行乘以一个非零的数； ③某一行乘以一个数，加到另一行。
消去法 就是对增广矩阵作上述行变换，化为可以直接求解的
3种方程之一，而后求解。
思 Gauss消去法就是先将(1)的系数矩阵A化为上三角阵， 路: 再回代求解。
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1 2 3 14
r3 5r2
0 1
4
10
0 0 24 72
x3
72
24
3
1
x2
(10
4x3 ) 1
2
x1
(14
2x2
3x3 ) 1
1
x 2 3
下面看求解n元线性方程组的一般过程，
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Mathematical Methods & its Applications 2020/8/13
Mathematical Methods & its Applications 2020/8/13
线性方程组的解法
考虑如下线性方程组
a11
x1
a1n xn
b1
an1x1 ann xn bn
写成矩阵形式
Ax b
其中 det(A) 0 ,
J. G. Liu
(1)
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我们先考虑直接方法。
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1 基本思想
Gauss消去法
J. G. Liu
我们知道，下面有3种方程的解我们可以直接求出： n次运算
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J. G. Liu
2 计算步骤
例1 求解方程组 1 2 3 x1 14
2
5
2
x
2
18
3 1 5 x3 20
解:
1
Ab 2
2 5
3
2
14 18
J. G. Liu
第一步： 若 a11 0 ，
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
b1 a11 b2 0
a12 a(2)
22
a1n
a(2) 2n
b1 b(2)
2
an1
an2
ann
bn
0
a(2) n2
a(2) nn
b(2) n
即 第i行 第1行 ai1 , i 2, , n
1
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由克莱姆法则可知 (1)有唯一的解，而且解为：
xi
Di D
,D
det( A),
(i 1, 2,
其中
a11
Di
det
Hale Waihona Puke an1a1i1 b1 a1i1 ani1 bn ani1
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③
(n＋1)n/2
u11
A
u12 u22
次运算
u1n
u2n
unn
xi
bi
n
uij x j
j i 1
uii
,i
n,,1
众所周知，对方程组作如下变换，解不变，
①交换两个方程的次序； ②一个方程的两边同时乘以一个非零的数； ③一个方程的两边同时乘以一个数，加到另一个方程上。
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a11
[
A
|
b]
a21
a12
a22
a1n
a2n
b1 b2
an1 an2 ann bn
a(1) 11 0
a(1) 12
a(2) 22
a (1) 13
a(2) 23
0
0
a(3) 33
0 0 0
rr32
2r1 3r1
1 0
2 1
3 14
4
10
3 1 5 20
0 5 4 22
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J. G. Liu
J. G. Liu
, n)
a1n
ann
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J. G. Liu
若行列式用按行（列）展开的方法计算 ，
用克莱姆法则求解（1）的计算量为: (n 1)(n 1)n!
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考虑到：
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方程组（1）
增广矩阵 (A，b)
J. G. Liu
因此，对应的，对增广矩阵(A，b)，作如下的行变换，解不变，
其中
a(2) ij
aij
①
A
②
A
diag(a11, a22 ,, ann )
l11
l21 l22
xi
ln1 ln2 lnn
xi bi
bi aii
i 1
j 1
lii
,i 1,, n
(n＋1)n/2
lij x j
次运算
,i 1,, n
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其中
J. G. Liu
a (1) 1j
a1 j (
j
1,2,, n),
b1(1) b1
a(k) kk
, (k
1,2,,
n)
a (1) 1n
a(2) 2n
——主元素
b(1) 1
b(2) 2
a(3) 3n
b(3) 3
a(n) nn
b(n) n
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