近世代数作业
近世代数(专升本)作业网课答案
1. (判断题) 指数是2的子群一定是不变子群. ( )(本题2.0分)A、正确B、错误学生答案:A标准答案:A解析:得分:22. (判断题) 任何一个群都同一个变换群同构. ( )(本题2.0分)A、正确B、错误学生答案:A标准答案:A解析:得分:23. (判断题) 设上传图片是一个群同态映射,则的不变子群的逆象是的不变子群. ( )(本题2.0分)A、正确B、错误学生答案:A标准答案:A解析:得分:24. (判断题) 若群的子群是循环群,那么也是循环群.( )(本题2.0分)A、正确B、错误学生答案:B标准答案:B解析:得分:25. (判断题) 模的剩余类环是域. ( )(本题2.0分)A、正确B、错误学生答案:B标准答案:B解析:得分:26. (判断题) 一个除环里每一个元素必有逆元. ( )(本题2.0分)A、正确B、错误学生答案:B标准答案:B解析:得分:27. (判断题) 欧氏环一定是一个唯一分解环,主理想环一定是一个欧氏环. ( )(本题2.0分)A、正确B、错误学生答案:B标准答案:B解析:得分:28. (判断题) 设是环同态满射,.若不是零因子,则不是零因子.(本题2.0分)A、正确B、错误学生答案:B标准答案:B解析:得分:29. (判断题) 若群的子群是循环群,那么也是循环群. ()(本题2.0分)A、正确B、错误学生答案:B标准答案:B解析:得分:210. (判断题) 设和是群,若且,则.()(本题2.0分)A、正确B、错误学生答案:A标准答案:A解析:得分:211. (单选题) blob.pngblob.png(本题4.0分)A、 6.0B、24.0C、10.0D、12.0学生答案:B标准答案:B解析:得分:412. (单选题) blob.png(本题4.0分)A、blob.pngB、blob.pngC、blob.pngD、blob.png学生答案:B标准答案:B解析:13. (单选题) blob.png(本题4.0分)A、blob.pngB、blob.pngC、blob.pngD、blob.png学生答案:A标准答案:A解析:得分:414. (单选题) blob.png(本题4.0分)A、blob.pngB、blob.pngC、blob.pngD、blob.png学生答案:A标准答案:A解析:得分:415. (单选题) blob.pngblob.png(本题4.0分)A、blob.pngB、blob.pngC、blob.pngD、blob.png学生答案:D标准答案:D解析:得分:416. (单选题) blob.png(本题4.0分)A、blob.pngB、blob.pngC、blob.pngD、blob.png学生答案:D标准答案:D解析:得分:417. (单选题) blob.pngblob.png(本题4.0分)A、 2.0B、 5.0C、7.0D、10.0学生答案:D标准答案:D得分:418. (单选题) blob.png(本题4.0分)A、blob.pngB、blob.pngC、blob.pngD、blob.png学生答案:C标准答案:C解析:得分:419. (单选题) blob.png(本题4.0分)A、blob.pngB、blob.pngC、blob.pngD、blob.png学生答案:C标准答案:C解析:得分:420. (单选题) blob.png blob.png(本题4.0分)A、blob.pngB、blob.pngC、blob.pngD、blob.png学生答案:C标准答案:C解析:得分:421. (单选题) blob.png blob.png(本题4.0分)A、 2B、 5C、7D、10学生答案:D标准答案:D解析:得分:422. (单选题) blob.png(本题4.0分)A、blob.pngB、blob.pngC、blob.pngD、blob.png学生答案:D标准答案:D解析:得分:423. (单选题) n阶有限群G的子群H的阶必须是n的( )(本题4.0分)A、倍数B、次数C、约数D、指数学生答案:D标准答案:D解析:得分:424. (单选题) 在群G中方程ax=b,ya=b, a,b∈G都有解,这个解是( )乘法来说(本题4.0分)A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)学生答案:B标准答案:B解析:得分:425. (单选题) 当G为有限群,子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数( )(本题4.0分)A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。
近世代数试题及答案
近世代数试题及答案一、选择题(每题4分,共20分)1. 下列哪个选项不是群的性质?A. 封闭性B. 存在单位元C. 存在逆元D. 交换律答案:D2. 有限群的阶数为n,那么它的子群的个数至少为:A. nB. 1C. n-1D. n+1答案:B3. 以下哪个命题是正确的?A. 任意两个子群的交集仍然是子群B. 任意两个子群的并集仍然是子群C. 子群的子群仍然是子群D. 子群的补集仍然是子群答案:A4. 群G的阶数为n,那么它的元素的阶数不可能是:A. 1B. nC. 2D. n+1答案:D5. 以下哪个不是环的性质?A. 封闭性B. 交换律C. 分配律D. 结合律答案:B二、填空题(每题4分,共20分)1. 如果集合S上的二元运算*满足结合律,那么称S为________。
答案:半群2. 一个群G的所有子群的集合构成一个________。
答案:格3. 一个环R中,如果对于任意的a,b∈R,都有a+b=b+a,则称R为________。
答案:交换环4. 一个环R中,如果对于任意的a,b∈R,都有ab=ba,则称R为________。
答案:交换环5. 一个群G中,如果存在一个元素a,使得对于任意的g∈G,都有ag=ga=e,则称a为G的________。
答案:单位元三、简答题(每题10分,共30分)1. 请简述子群和正规子群的区别。
答案:子群是群G的非空子集H,满足H中的任意两个元素的乘积仍然在H中,并且H对于G的运算是封闭的。
正规子群是子群N,满足对于任意的g∈G和n∈N,都有gng^-1∈N。
2. 请解释什么是群的同态和同构。
答案:群的同态是两个群G和H之间的函数f,满足对于任意的g1,g2∈G,都有f(g1g2)=f(g1)f(g2)。
群的同构是同态,并且是双射,即存在逆映射。
3. 请解释什么是环的零因子和非零因子。
答案:在环R中,如果存在非零元素a和b,使得ab=0,则称a和b 为零因子。
如果环R中不存在零因子,则称R为无零因子环。
近世代数参考答案
近世代数参考答案《近世代数》A/B 模拟练习题参考答案⼀、判断题(每题4分,共60分)1、如果循环群G=(a)中⽣成元a 的阶是⽆限的,则G 与整数加群同构。
( √ )2、如果群G 的⼦群H 是循环群,那么G 也是循环群。
( × )3、两个⼦群的交⼀定还是⼦群。
( × )4、若环R 满⾜左消定律,那么R 必定没有右零因⼦。
( √ )5、任意置换均可表⽰为若⼲个对换的乘积。
( √ )6、F (x)中满⾜条件p(a)=0的多项式叫做元a 在域F 上的极⼩多项式。
( × )7、已知H 是群G 的⼦群,则H 是群G 的正规⼦群当且仅当g G ?∈,都有 1gHg H -= ( √ )8、唯⼀分解环必是主理想环。
( × )9、已知R 是交换环,I 是R 的理想,则I 是R 的素理想当且仅当是/R I 整环。
( √ )10、欧⽒环必是主理想环。
( √ )11、整环中,不可约元⼀定是素元。
( √ )12、⼦群的并集必是⼦群。
( × )13、任何群都同构于某个变化群。
( √ )14、交换环中可逆元与幂零元的和是可逆元。
( √ )15、集合,A Z B N ==,::2f A B nn →+是从A 到B 的映射。
( × )⼆、证明题(每题20分,共300分)1Q 上的最⼩多项式。
解:令=u 32==u u .于是3223323315(32-?-=+-+=u u u u u u .移项后得32152(3+-=-u u u 两边平⽅,得到3222(152)(35)5+-=-?u u u .这是u 上满⾜的Q 上6次⽅程,故[():]6≤Q u Q .⼜3(2=u ()Q u .由[]2=Q Q 及[]|[():]Q Q Q u Q ,知2|[():]Q u Q .u (()=Q u Q u .⼜[]3=Q Q 及[]|[():]Q Q Q u Q ,得3|[():]Q u Q .于是6|[():]Q u Q ,因⽽[():]6=Q u Q . 由于3222(152)(35)50+---?=u u u ,故6次多项式3222(152)5(35)+---x x x 是u 在Q 上的最⼩多项式.2、求出阶是32的循环群(a )的所有⼦群,这些⼦群是否都是不变⼦群。
近世代数作业
4. 设 A {1, 2, ,100} . (1)请给出 A 的元间的一个等价关系 (2)请给出 A 的一个分类,并给出这个分类的一个全体代表团
9
第二章 群论 §1 群的定义
1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?
2. 举一个有两个元的群和一个有三个元的群。
3. 证明全体整数构成的集合 Z 对于普通加法是一个群
4. 证明,我们也可以用条件Ⅰ,Ⅱ以及下面的条件Ⅳ′,Ⅴ′来做群的定义: Ⅳ′. G 里至少存在一个右单位元 e 能让 ae a 对于 G 的任何元 a 都成立。 Ⅴ′. 对于 G 的每一个元 a ,在 G 里至少存在一个右逆元 a 1 ,能让
aa 1 e
10
§2 单位元、逆元、消去律
)。
4. 下列法则,不是有理数集 的代数运算的是(
1 A. a b = (a b) 2
C. a b = 10a b
B. a b = a 2 2ab b 2
1 D. a b = [a (a 1) b(b 1)] 2
2
§4 结合律
1. A {所有不等于零的实数}. 是普通除法: a b 适合结合律?
2. 设 A ={所有有理数}。找一个 A 的对于普通加法来说的自同构(映射 x x 除 外) 。
3. 设 M 2 (Q) 为有理数域 Q 上所有 2 阶方阵构成的集合,请找一个 M 2 (Q) 的对于 矩阵加法来说的自同构(恒等映射 M M 除外)
4. 设 M n () 是实数域 上的 n 阶方阵构成的集合,请给出从 M n () 到 上关于 矩阵乘法和实数的普通乘法的一个满同态映射。
n ,这里 d (n, r ) 是 n 和 r 的最大公因 d
近世代数作业
练习题第一次作业1、设A={x| x R, |x|5},B={x|x R, -6x<0}.求AB,AB,AB,BA。
2、设A,B是U的子集,规定A+B=(AB)(BA)。
证明:(1) A+B=B+A(2) A+=A(3) A+A=。
3、求下列集合的所有子集:(1) A={a, b, }(2) B={}(3) C={1}4、设f:AB和g:BC是映射,证明:(1) 如果f和g是单射,则gf是单射(2) 如果f和g是满射,则gf是满射(3) 如果gf是单射,则f是单射(4) 如果gf是满射,则g是满射.5、对于下面给出的整数集Z到整数集Z的映射f, g ,h:f: x3xg: x3x+1h: x3x+2(1) 计算fg, gf, gh, hg, fgh(2) 分别求f, g, h的一个左逆映射(3) 求f, g, h的一个共同的左逆映射(4) 求f, g的一个共同的左逆映射,但不是h的左逆映射。
6、设R是实数集合,在RR上规定二元关系“~”为:(a, b)~ (c, d)a+d=b+c证明“~”是R上的一个等价关系。
7、设A={a, b, c, d, e}, S={{a},{b},{c, d, e}},求A上的一个等价关系R,使A 在R下的分类恰为S。
8、设A={1,2,3,4},在幂集中规定二元关系“~”:S~TS与T所含元素个数相同证明“~”是上的一个等价关系,并写出商集/~。
第二次作业1、设G={(a, b)| a, b R, a0}, 规定G中元素运算:(a, b)(c, d)=(ac, bc+d)证明:G是一个群,但不是交换群。
2、设G={a, b, c},G的乘法表如下:a b ca ab cb a b cc a b c证明:(G,)是一个半群。
3、设G是群,证明:(1) 如果G的每一个元素a的逆元还是a本身,则G是交换群,举例说明反之不对。
(2) 如果G是非交换群,则存在元素a、bG, ab,并且它们均非单位元,使得ab=ba.4、在对称群中计算:(1 2 4 3)(3 5 4), (2 1 4 3)(1 3 2 4), (1 2 3 4 5)(1 2 3 4 5)5、设=(1 2 3 4 5 6),计算。
近世代数经典题与答案
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解:S3显然有以下子群:本身;((1))={(1)};((12))={(12),(1)};((13))={(13),(1)};((23))={(23),(1)};((123))={(123),(132),(1)}若S3的一个子群H包含着两个循环置换,那么H含有(12),(13)这两个2-循环置换,那么H含有(12)(13)=(123),(123)(12)=(23),因而H=S3。
同理,若是S3的一个子群含有两个循环置换(21),(23)或(31),(32)。
这个子群也必然是S3。
用完全类似的方法,可以算出,若是S3的一个子群含有一个2-循环置换和一个3-循环置换,那么这个子群也必然是S3。
7.试求高斯整环的单位。
解设 () 为的单位, 则存在 , 使得 , 于是因为 , 所以 . 从而 , , 或 . 因此可能的单位只有显然它们都是的单位. 所以恰有四个单位:5.在中, 解下列线性方程组:解: 即 , .12. 试求的所有理想.解设为的任意理想, 则为的子环,则 , , 且 .对任意的 , , 有 ,从而由理想的定义知, 为的理想. 由此知, 的全部理想为且 .13、数域上的多项式环的理想是怎样的一个主理想。
解由于,所以,于是得。
14、在中, 求的全部根. 解共有16个元素: , , , , 将它们分别代入 ,可知共有下列4个元素, , , 为的根.20.设R为偶数环.证明:问:是否成立?N是由哪个偶数生成的主理想?解::故另外故总之有另方面,由于且而且实际上N是偶数环中由8生成的主理想,即,但是因此,.实际上是22、设,求关于的所有左陪集以及右陪集.解 , 的所有左陪集为:;;.的所有右陪集为:;;.1.在群中, 对任意 , 方程与都有唯一解.证明令 , 那么 , 故为方程的解。
近世代数试题及答案
近世代数试题及答案一、单项选择题(每题3分,共30分)1. 群的元素a的阶是指最小的正整数n,使得a^n=e,其中e是群的()。
A. 单位元B. 零元C. 负元D. 逆元答案:A2. 环R中,如果对于任意的a,b∈R,都有a+b=b+a,则称R 是()。
A. 交换环B. 非交换环C. 整环答案:A3. 向量空间V中,如果存在非零向量α,使得对于V中任意向量β,都有α⊥β,则称α是V的一个()。
A. 基B. 零向量C. 法向量D. 正交向量答案:C4. 有限域F中,如果存在元素a∈F,使得a^p=a对于所有a∈F 成立,则称F是()。
A. 素域B. 特征域C. 完全域答案:B5. 群G的一个子群H,如果对于任意的h∈H,g∈G,都有ghg^-1∈H,则称H是G的一个()。
A. 正规子群B. 非正规子群C. 子群D. 群答案:A6. 环R中,如果对于任意的a,b∈R,都有ab=ba,则称R是()。
A. 交换环B. 非交换环C. 整环答案:A7. 向量空间V中,如果存在一组向量α1,α2,…,αn,使得V中任意向量都可以表示为这些向量的线性组合,则称这组向量是V的一个()。
A. 基B. 零向量C. 法向量D. 正交向量答案:A8. 群G的一个子群H,如果H=G,则称H是G的一个()。
A. 正规子群B. 非正规子群C. 子群答案:C9. 环R中,如果对于任意的a,b∈R,都有a-b=b-a,则称R 是()。
A. 交换环B. 非交换环C. 整环D. 除环答案:A10. 向量空间V中,如果存在一组向量α1,α2,…,αn,使得这些向量线性无关,并且V中任意向量都可以表示为这些向量的线性组合,则称这组向量是V的一个()。
A. 基B. 零向量C. 法向量D. 正交向量答案:A二、填空题(每题4分,共40分)1. 群G中,如果对于任意的a,b∈G,都有ab=ba,则称G是________。
答案:交换群2. 环R中,如果对于任意的a,b∈R,都有ab=0,则称R是________。
2023年新版近世代数练习题题库
§1 第一章基础知识1.1鉴定题:1.2设和所有是非空集合, 那么。
()1.3A×B = B×A ()1.4只要是到一一映射, 那么必有唯一逆映射。
()1.5假如ϕ是A到A一一映射,则ϕ[ϕ(a)]=a。
( )1.6集合A到B可逆映射一定是A到B双射。
()1.7设、、所有是非空集合, 则到每个映射所有叫作二元运算。
()1.8在整数集Z上, 定义“”:a b=ab(a,b∈Z), 则“”是Z一个二元运算。
()1.9整数整除关系是Z一个等价关系。
( )1.10填空题:1.11若A={0,1} , 则A⨯A= __________________________________。
1.12设A = {1, 2}, B = {a, b}, 则A×B =_________________。
1.13设={1,2,3} B={a,b},则A⨯B=_______。
1.14设A={1,2}, 则A⨯A=_____________________。
1.15设集合;, 则有。
1.16假如是和间一一映射, 是一个元, 则。
1.17设A ={a1, a2,…a8}, 则A上不同样二元运算共有个。
1.18设A、B是集合, | A |=| B |=3, 则共可定义个从A到B映射, 其中有个单射, 有个满射, 有个双射。
1.19设A是n元集, B是m元集, 那么A到B映射共有____________个.1.20设A={a,b,c},则A到A一一映射共有__________个.1.21设A={a,b,c,d,e}, 则A一一变换共有______个.1.22集合元间关系~叫做等价关系, 假如~适合下列三个条件: _____________________________________________。
1.23设 A ={a, b, c}, 那么A所有不同样等价关系个数为______________。
近世代数网络作业(3)(1)
《近世代数》练习题一、(10分)证明:若群G 中每个元a 都满足2a e =,其中e 为群的单位元,则群G 是交换群。
(来自教材18页习题1.1第9题)二、(10分)求对称群10S 中置换乘积(147)(7810)(3109)(942)(356)的轮换表达式。
(来自教材19页习题1.1第21题)三、(10分)将下列置换写成不相交轮换的乘积。
123456712345678910,712654324597108316⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
(来自教材18页习题1.1第19题)四、(10分)记*\{0}C C =表示非零复数集合构成的乘法群,{|}i U e R θθ=∈是模为1的复数集合构成的乘法群, R +表示正实数集合构成的乘法群,证明*/C U R +≅ 。
(来自教材59页习题1.10第4题)五、(10分)求出9中可逆元的群及其乘法表.(来自教材92页习题2.5第2题)六、(10分)设R 是有单位元1的除环,在R 中规定新的运算:1a b a b ⊕=+-,a b a b ab =+-证明: (,,)R ⊕构成有单位元的除环。
(提示:先验证R 满足环的定义,再验证有单位元,且每个非零元有逆元)七、(10分)解同余方程组1(mod 2),2(mod 5),3(mod 7),4(mod 9).x x x x ≡⎧⎪≡⎪⎨≡⎪⎪≡⎩ (来自教材102页习题2.8第1题)八、(10分)用费尔马小定理求{}0,1,2,3,4x ∈,使得1237(mod 5)x ≡.(来自教材92页习题2.5第4题)九、(10分)令{}[]|,,i a bi a b =+∈它是环。
{}2[]22|,i a bi a b =+∈是[]i 的主理想,问[]/2[]i i 中是否有零因子?(来自教材89页习题2.8第2题)十、(10分)在8中的所有理想,并指出哪些是极大理想.(来自教材89页习题2.4第5题)。
《近世代数》练习题及参考答案
《近世代数》练习题及参考答案1.设A={a ,b ,c ,d}试写出集合A 的所有不同的等价关系。
2.证明::实数域R 上全体n 阶方阵的集合Mn(R),关于矩阵的加法构成一个交换群。
3.证明:实数域R 上全体n 阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群.这个群称为n 阶正交群.4.设G=。
⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,a R a a a a a 证明:G 关于矩阵的乘法构成群。
5.证明:所有形如n m 32的有理数(m ,n ∈Z )的集合关于数的乘法构成群。
参考答案1. 设A= 试写出集合A 的所有不同的等价关系。
解2.证明::实数域R 上全体n 阶方阵的集合Mn(R),关于矩阵的加法构成一个交换群。
证:(1)显然,Mn(R)为一个具有“+”的代数系统。
(2)∵矩阵的加法满足结合律,那么有结合律成立。
(3)∵矩阵的加法满足交换律,那么有交换律成立。
(4)零元是零矩阵。
∀A ∈Mn(R),A+0=0+A=A 。
(5)∀A ∈Mn(R),负元是-A 。
A+(-A)=(-A)+A=0。
∴(Mn(R),+)构成一个Abel 群。
3.证明:实数域R 上全体n 阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群.这个群称为n 阶正交群.证:(1)由于E ∈On (R),∵On (R)非空。
(2 ) 任意A,B ∈On (R),有(AB )T=B T A T =B -1A -1=(AB) -1,∴AB ∈On(R),于是矩阵的乘法在On(R)上构成代数运算。
(3) ∵矩阵的乘法满足结合律,那么有结合律成立。
(4)对任意A ∈On (R),有AE=EA=A .∴E 为On (R)的单位元。
(5)对任意A ∈On (R),存在A T ∈On (R),满足AA T =E=AA -1, A T A=E=A -1A .∴A T 为A 在On (R)中的逆元。
∴On (R)关于矩阵的乘法构成一个群。
{}d c b a ,,,4.设G=。
福建师范大学2024年2月课程考试《近世代数》作业考核试题
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▆《近世代数》试卷共1页(第1页)选择题答案写在选择题答题区内,其它各题在答案区域内作答,超出黑色边框区域的答案无效!▆
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10的所有理想和所有极大理想。
中,我们可以列出所有的理想和极大理想。
的所有理想可以表示为
▆《近世代数》试卷共2页(第2页)选择题答案写在选择题答题区内,其它各题在答案区域内作答,超出黑色边框区域的答案无效!▆
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▆《近世代数》试卷共1页(第3页)选择题答案写在选择题答题区内,其它各题在答案区域内作答,超出黑色边框区域的答案无效!▆。
近世代数作业一
近世代数作业(一)1 若C A B A ⋂=⋂。
问:是否有C B =?把⋂改成⋃是又如何?2 设A 是有限集合,且n A =||。
证明:n A P 2|)(|=。
3 设B A ,是两个有限集合。
证明:||||||||B A B A B A +=⋂+⋃。
4 设}5,4,3,2,1{=X ,}10,8,6,4,2,0{=Y 。
试给出X 到Y 的两个单射。
5 设X 数域F 上全体n 阶方阵作成的集合,问:||:A A →α是否为X 到F 的一个映射?其中||A 为A 的行列式。
是否为满射?6 设A 与B 是数域F 上两个n 阶相似方阵,][A F 为系数属于F 的关于A 的一切多项式作成的集合。
问:法则)()(:B f A f →ϑ是否为][A F 到][B F 的映射?其中)(x f 是系数属于F 的任意多项式,是否为单射或满射?7 设M 是自然数集。
下列各法则哪些是M 的代数运算?(1) b a b a = ;(2)2-+=b a b a ;(3)a b a = 。
8设},,{c b a M =,试对M 规定两不同的代数运算。
9 设 与_集合M 的两个代数运算,如果在M 中存在元素使b a ,b a b a _≠则称 与_ 是M 的两个不同的代数运算。
如果n M =||。
问:可以为M 规定出多少不同的代数运算?10 设M 为实数集,问: b a b a 32+= ),(M b a ∈ 是否满足结合律和交换律?11设M 为实数集,代数运算是普通率乘法。
问:以下各映射是否为的自同态映射?是否为自同态满射?说明理由。
(1) ||x x →;(2)2x x →;(3)x x 2→;(4)x x -→。
12设Q 是有理数集,代数运算是普通加法。
试给出Q 的一个除恒等变换以外的自同构。
13 令}10,6,4,2,1{=M 规定||4b a aRb +⇔。
问:R 是否M 为的一个关系?是否满足反射性、对称 性和传递性?14 问:整数集Z 对运算1=b a 是否作成群?为什么?15 设}0,|),{(≠=a b a b a G 为实数且,并规定),(),(),(b ad ac d c b a += 。
(word版)近世代数期末考试题库(包括模拟卷和1套题)
多所高校近世代数题库一、〔2021年近世代数〕判断题〔以下命题你认为正确的在题后括号内打“√〞,错的打“×〞;每题1分,共10分〕1、设A与B都是非空集合,那么A B xx A且x B。
〔〕2、设A、B、D都是非空集合,那么AB到D的每个映射都叫作二元运算。
〔〕3、只要f是A到A的一一映射,那么必有唯一的逆映射G f1。
〔〕4G a中生成元a的阶是无限的,那么与整数加群同构。
〔〕、如果循环群5、如果群G的子群H是循环群,那么G也是循环群。
〔〕6、近世代数中,群G的子群H是不变子群的充要条件为gG,h H;g1Hg H。
〔〕7、如果环R的阶2,那么R的单位元10。
〔〕8、假设环R满足左消去律,那么R必定没有右零因子。
〔〕9、F(x)中满足条件p()0的多项式叫做元在域F上的极小多项式。
〔〕10、假设域E的特征是无限大,那么E含有一个与Z同构的子域,这里Z是整数环,p是由素数p生成的主理想。
p〔〕二、〔2021年近世代数〕单项选择题〔从以下各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。
答案选错或未作选择者,该题无分。
每题f是1分,共10分〕、设12n和D 都是非空集合,而12An到D的一个映射,那么〔〕1A,A,,A AA①集合A1,A2,,A n,D中两两都不相同;②A1,A2,,A n的次序不能调换;③A1A2A n中不同的元对应的象必不相同;④一个元a1,a2, ,a n的象可以不唯一。
2、指出以下那些运算是二元运算〔〕①在整数集Z上,a b a b②在有理数集Q上,a b ab;;ab③在正实数集R上,ab alnb;④在集合n Zn0上,a ba b。
3、设是整数集Z上的二元运算,其中a b maxa,b 〔即取a与b中的最大者〕,那么在Z中〔〕①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。
4、设G,为群,其中G是实数集,而乘法:a b a b k,这里k为G中固定的常数。
近世代数2-12习题
[G : N ] 6 / 3 2 N
(132)(132) (123)
G
16:47
G / N { N , (12) N }
2018/11/9
15. (1) 15 (12345) 51 (13524) 51 1 (14253) 51 1 (15432) 5 5 2 (25) (34) 11 22 (13) (45) 11 22 (15) (24) 11 22 3 4 (14) (23) 11 22 1 22 (12) (35) 1 1 5 N 3 4 3 5 33 30 10
h1n1 , h2n2 HN , (h1 , h2 H , n1 , n2 N ) 1 1 1 h1n1 h2n2 n1 h1 h2 n2 1 n1 h3n2 h3n3n2 h3 n3n2 HN
2018/11/9 16:47
10. 指数为2的子群一定是不变子群. 证明: [G : H ] 2
得证一一变换群的单位元是恒等变换.
6. 找出3次对称群的所有子群. 解:
S3 6 S3 (1),(12),(13),(23),(123),(132)
子群的阶整除群的阶 1阶子群只含1阶元,即单位元 2阶子群只含1个1阶元和1个2阶元 3阶子群只含1个1阶元和2个3阶元 6阶子群是其本身
2 3 4 5 6 1 (123)(46) 3 1 6 5 4 1 2 (321)(46) 2 3 4 5 6 1 (1362) 1 6 4 5 2 1 3 (2631) 求(1)循环置换分解, | | 6 | | 6 | | 4 (2)逆元,(3)阶 , (23654) (346) (4)
近世代数(含答案)
近世代数一、单项选择题1、6阶有限群的任何一个子群一定不是( C )。
A .2阶 B .3阶 C .4阶 D .6阶2、设G 是群,G 有( C )个元素,则不能肯定G 是交换群。
A .4个B .5个C .6个D .7个3、下面的代数系统(,*)G 中,( D )不是群。
A .G 为整数集合,*为加法B .G 为偶数集合,*为加法C .G 为有理数集合,*为加法D .G 为有理数集合,*为乘法4、设G 有6个元素的循环群,a 是生成元,则G 的子集( C )是子群。
A .{}aB .{},a eC .{}3,e aD .{}3,,e a a5、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( B )A .*a b a b =−B .{}*max ,a b a b =C .*2a b a b =+D .a b a b +=−二、填空题1、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于( 25 )。
2、一个有单位元的无零因子的( 交换环 )称为整环。
3、群的单位元是( 唯一 )的,每个元素的逆元素是( 唯一 )的。
4、一个子群H 的右、左陪集的个数( 相等 )。
5、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的( 特征 )。
6、设群G 中元素a 的阶为m ,如果na e =,那么m 与n 存在整除关系为( |m n )。
7、如果f 是A 与A 间的一一映射,a 是A 的一个元,则1[()]f f a −=( a )。
8、循环群的子群是( 循环群 )。
9、若{}2,5A =,{}1,0,2B =−,则A B ×=( {}(2,1),(2,0),(2,2),(5,1),(5,0),(5,2)−− )。
10、如果G 是一个含有15个元素的群,那么,对于a G ∀∈,则元素a 的阶只可能是( 1,3,5,15 )。
三、问答题 1、什么是集合A 上的等价关系?举例说明。
【答案】设R 是某个集合上的一个二元关系。
近世代数模拟试题及答案
近世代数模拟试题及答案一、选择题1. 下列哪个集合不是群?A. 自然数集NB. 整数集ZC. 有理数集QD. 实数集R答案:A2. 在群G中,若a, b属于G,且a*b=b*a对所有a, b成立,则称G 为交换群。
以下哪个不是交换群?A. 整数加法群B. 奇数乘法群C. 偶数乘法群D. 所有实数的加法群答案:C二、填空题1. 一个环R,如果满足乘法交换律,则称R为_________。
答案:交换环2. 有限群的阶是指群中元素的个数,设群G的阶为n,则群G的拉格朗日定理表明,G的任何子群的阶都是n的_________。
答案:因数三、简答题1. 解释什么是子群,并给出一个例子。
答案:子群是指一个群G的一个非空子集H,使得H中的元素在G的运算下封闭,并且包含G的单位元。
例如,整数集Z在加法运算下构成自然数集N的一个子群。
2. 描述什么是环的零因子,并给出一个例子。
答案:在环R中,如果存在非零元素a和b,使得a*b=0,则称a和b为零因子。
例如,在模6的剩余类环Z6中,元素3和3是零因子,因为3*3=9≡0 (mod 6)。
四、计算题1. 给定群G={1, a, a^2, a^3},其中a^4=1,求证G是一个群,并找出它的所有子群。
答案:首先验证群的四个基本性质:- 封闭性:对于任意g, h属于G,g*h也属于G。
- 结合律:对于任意g, h, k属于G,(g*h)*k = g*(h*k)。
- 单位元:1是G的单位元,因为对于任意g属于G,1*g = g*1 = g。
- 逆元:对于任意g属于G,存在g的逆元g^(-1),使得g*g^(-1) = g^(-1)*g = 1。
例如,a的逆元是a^3。
G的子群有:- {1}:平凡子群。
- {1, a^2}:由a^2的幂构成的子群。
- G本身:{1, a, a^2, a^3}。
2. 证明在任何交换环中,如果a和b是可逆元素,则它们的乘积ab也是可逆的。
答案:设a和b是交换环R中的可逆元素,存在a^(-1)和b^(-1)使得a*a^(-1)=1且b*b^(-1)=1。
《近世代数》习题及答案
《近世代数》作业一.概念解释1.代数运算 2.群的第一定义 3.域的定义 4.满射 5.群的第二定义 6.理想7.单射 8.置换 9.除环 10.一一映射 11.群的指数 12.环的单位元二.判断题1.Φ是集合n A A A ⨯⨯⨯ 21列集合D 的映射,则),2,1(n i A i =不能相同。
2.在环R 到环R 的同态满射下,则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。
3.设N 为正整数集,并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈,那么N 对所给运算 能作成一个群。
4.假如一个集合A 的代数运算 适合交换率,那么在n a a a a 321里)(A a i ∈,元的次序可以交换。
5.在环R 到R 的同态满射下,R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。
6.环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是:1)若,,S b a ∈则S b a ∈-; 2),,S b a ∈,则S ab ∈。
7.若Φ是A 与A 间的一一映射,则1-Φ是A 与A 间的一一映射。
8.若ε是整环I 的一个元,且ε有逆元,则称ε是整环I 的一个单位。
9.设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射,如果σ,τ都是单射,则τσ是A 到C 的映射。
10.若对于代数运算 ,,A 与A 同态,那么若A 的代数运算 适合结合律,则A 的代数运算也适合结合律。
11.整环中一个不等于零的元a ,有真因子的冲要条件是bc a =。
12.设F 是任意一个域,*F 是F 的全体非零元素作成的裙,那么*F 的任何有限子群G 必为循环群。
13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。
( )14. 设1H ,2H 均为群G 的子群,则21H H ⋃也为G 的子群。
( )15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。
( )三.证明题1. 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合,证明:对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。
近世代数练习题(附答案)
《近世代数》练习题(附答案)一.选择题1. 设R 是实数集, 则对任意的,a b R ∈, 代数运算2a b a b =+ ( C )(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律2. 在群G 中,a G ∈, a 的阶为12, 则8a 的阶为 ( B )(A) 12 (B) 3 (C) 4 (D) 63.在7次对称群7S 中(25)(437)π=和(13)(546)λ=, 则πλ等于( A )(A) (1376524) (B) (137)(6524) (C) (65)(24137) (D) (1746253)4.在一个无零因子环R 中,,a b R ∈,,0a b ≠对加法来说,有( C )(A) a 的阶<3b 的阶 (B) a 的阶>3b 的阶(C) a 的阶=3b 的阶 (D) 4a 的阶>3b 的阶5.设p 为整环I 中素元, 则下列正确的是 ( D )(A) p 为零元 (B) p 为单位 (C) p 有真因子 (D) p 仅有平凡因子6. 假定φ是A 与A 间的一一映射,A a ∈, 则)]([1a φφ-和)]([1a -φφ分别为 ( D )(A) a , a (B) 无意义, a (C) 无意义,无意义 (D) a ,无意义7. 在群G 中, G b a ∈,, 则方程b ax =和b ya =分别有唯一解为 ( B )(A) 1-ba , b a 1- (B) b a 1-, 1-ba (C) a b 1-, b a 1- (D) b a 1-, 1-ab8. 设M 是正整数集, 则对任意的,a b R ∈, 下面“o ”是代数运算的是( B ) (A) b a b a = (B) b a b a = (C) 2a b a b =+- (D) 2a b ab =- 9. 设M 是实数集, 代数运算是普通加法,下列映射是M 的自同构的是( D )(A) 2x x → (B) sin x x → (C) x x → (D) 5x x →-10. 在偶数阶群G 中阶等于2的元数为 ( A )(A) 奇数 (B) 偶数 (C) 1 (D) 不可确定11.在5次对称群5S 中元1(15)(24)π=和2(154)π=的乘积12ππ是( D )(A) (14)(25) (B) (124) (C) (152) (D) (142)12.若群G 的阶为48, G 的真子群H 的阶不可能为 ( C )(A) 12 (B) 16 (C) 18 (D) 2413.群G 中元a 的阶为24中,那么G 的循环子群9()a 的阶为 ( C )(A)3 (B) 4 (C) 8 (D) 914.在一个环R 里如果有一个消去律成立,那么下面不正确的是( B )(A) 另一个消去律也成立 (B) R 中非零元都有逆元(C) R 是无零因子环 (D) R 中非零元对加法的阶都一样15.假定F 是一个域,则一元多项式环[]F x 一定是 ( A )(A) 欧式环 (B) 除环 (C) 域 (D) 无法确定16.设12,εε为唯一分解环I 中单位, a 是I 中任意元, 则下列正确的是 ( B )(A) 12εε+ 也是单位 (B) 12,εε互为相伴元(C) 12,εε 都是a 的真因子 (D) a 有唯一分解17.一个30个元的域的特征可能是( A )(A) 5 (B) 6 (C) 10 (D) 1518.假定域R 与R 同态, 则R 是( C )(A) 域 (B) 整环 (C) 环 (D) 除环19.若I 是一个唯一分解环,I a ∈且a 21p p =和a 21q q =(其中2121,,,q q p p 都为素元),则下列说法正确的是 ( D )(A) 1p 与1q 互为相伴元 (B) 1p 与1q 互为相伴元和2p 与2q 互为相伴元(C) 2p 与2q 互为相伴元 (D) 1p 与1q 互为相伴元或1p 与2q 互为相伴元20.假定)(a 和)(b 是整环I 的两个主理想, 若)()(b a =, 则 ( A )(A) b 是a 的相伴元 (B) b 与a 互素 (C) b 是a 的真因子 (D) |b a 21.=A {所有整数},令τ: 2a a →,当a 是偶数;21+→a a ,当a 是奇数.则τ为 ( B )(A) 单射变换 (B) 满射变换 (C) 一一变换 (D) 不是变换22.若)(a G =,且a 的阶为有限整数n ,则下列说法正确的是 ( A )(A) G 与模n 的剩余类加群同构 (B) G 的阶可能无限(C) 元21012,,,,,---n a a a a a 中没有相同元 (D) G 与整数加群同构23.若R 是一个特征为有限整数n 的无零因子环,且R b a ∈,,则 ( D )(A) 0,00≠≠⇒=b a b a (B) 21n n n =,其中21,n n 为素数(C) 存在R 中元c 的阶为无限整数 (D) R 对乘法成立两个消去律24. 设Q 是有理数集, 则对任意的,a b Q ∈,下列“o ”是代数运算的是( C ) (A)22a b b a b =+ (B)b a b a= (C) 22a b a ab b =-+ (D) 10a b a b += 25. 在群G 中, ,,a b c G ∈, 则方程xaxba xbc =的唯一解为 ( D )(A)11abca b -- (B) 111bca a b --- (C) 111a b a bc --- (D) 111a bca b ---26.在6次对称群6S 中123456326514π⎛⎫= ⎪⎝⎭的阶是( A ) (A) 5 (B) 24 (C) 12 (D) 627.除环有理想( C )(A) 4个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷个28.假定F 是一个域,则一元多项式环[]F x 一定是 ( B )(A) 除环 (B) 欧式环 (C) 域 (D) 无法确定29.若Q 是一个域, 不正确的是 ( B )(A) Q 是交换除环 (B) Q 对乘法作成群(C) Q 无零因子 (D) Q 中不等于零的元都有逆元30.若I 是主理想环, p 是I 中素元, 且I b a ∈, 则 ( C )(A) 主理想)(p 不是I 的最大理想 (B) a 没有唯一分解(C) 若p |ab ,有p |a 或p |b (D) I /()p 不是域31. 设R 是实数集, 则对任意的,a b R ∈, 代数运算a b a b =- ( C )(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律32. 设Q 是有理数集, 则对任意的,a b Q ∈,下列“o ”是代数运算的是( A )(A) 2a b a b =+ (B)b a b a= (C) a b b a = (D) 10a a b = 33. 在群G 中, ,a b G ∈, 则方程xaxb xb =的唯一解为 ( D )(A)1aba - (B) 11a b -- (C) 11ba b -- (D) 1a -34.在5次对称群5S 中1234532541π⎛⎫= ⎪⎝⎭的阶是( B )(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 535.除环有理想( C )(A) 4个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷个36.假定R 是一个整环,则一元多项式环[]R x 一定是 ( A )(A) 整环 (B) 除环 (C) 域 (D) 无法确定37. 在16阶循环群()G a =中 , 循环子群6()a 的阶为 ( D )(A) 6 (B) 3 (C) 4 (D) 838.一个有8个元的域的特征是( A )(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 839.设p 为整环I 中素元, 则下列正确的是 ( D )(A) p 为零元 (B) p 为单位 (C) p 有真因子 (D) p 仅有平凡因子40.若群G 的阶为48, G 的子群H 的阶为16,则H 在G 中的指数为( C )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 441. 设R 是实数集, 则对任意的,a b R ∈, 代数运算a b a b =- ( C )(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律42. 设Q 是有理数集, 则对任意的,a b Q ∈,下列“o ”是代数运算的是( C ) (A)a b b a = (B)b a b a= (C) 2a b a b =+ (D) 10a a b = 43. 在群G 中, ,a b G ∈, 则方程xaxb xb =的唯一解为 ( C )(A)1aba - (B) 11a b -- (C) 1a - (D) 11ba b --44.在5次对称群5S 中1234532541π⎛⎫= ⎪⎝⎭的阶是( B ) (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 545.除环有理想( C )(A) 4个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷个46.假定R 是一个整环,则一元多项式环[]R x 一定是 ( A )(A) 整环 (B) 除环 (C) 域 (D) 无法确定47. 在16阶循环群()G a =中 , 循环子群6()a 的阶为 ( D )(A) 6 (B) 3 (C) 4 (D) 848.一个有8个元的域的特征是( )(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 849.设p 为整环I 中素元, 则下列正确的是 ( D )(A) p 为零元 (B) p 为单位 (C) p 有真因子 (D) p 仅有平凡因子50.若群G 的阶为48, G 的子群H 的阶为16,则H 在G 中的指数为( C )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4二.填空题1.设是集合A 的元间的一个等价关系,那么满足反射律、 对称律 、 推移律 .2.若G 为群,,,a b c G ∈,则3211()b c a c --- 123c ac b .3.循环群()a 的阶是50,则它的子群15()a 的阶是 10 .4. 群G 的中心N 是G 的一个 不变 子群.5.n 次对称群n S 的阶为 !n .6.假定B A ⊂,那么B A A , B A B .7. 假定A 和A 同态, A 和A 同态, 则A 和A 也同态 .8. 在群G 中, G b a ∈,, 则方程b ya =有唯一解为 1ba .9.设集合A 的元数为3 ,那么A 共有子集 8 个,A 的元间的关系共有 512 个.10.若G 为群, 方程1x ax bx -=的唯一解为 1ba .11.一个有限非可换群至少含有______ 6 ______个元素 .12.设~是集合A 的元间的一个等价关系,那么~满足自反律、对称律 、 推移律 .13.若G 为群,,,a b c G ∈,则211()bc a --- 21ac b .14.5次对称群5S 的阶为 120 .15.若φ是环R 与R 的同态满射, 则同态核中元都是R 中 单位元 e 的逆象,且同态核是R 的一个 理想 .16.设A 是有单位元的交换环R 的一个最大理想,那么剩余类环R A 是一个 域 .17.在整数环Z 中,理想(3,7)等于主理想 (1) .18.设9Z 为模9的剩余类环,那么[5]的负元为 [4] ,逆元为 【2】 .19.设G 是17阶群,则G 的生成元有 16 个.20.除环的最大理想是 零理想 .21.设R 是模7的剩余类环,在多项式环[]R x 中2([6][4])([2][5])x x x +-+=32[6][6]x x x -++22.设10Z 为模10的剩余类环,那么[3]的负元为 [7] ,逆元为[7] .23.在整数环I 中,主理想()()a b =当且仅当b 是a 的 相伴元 .24.设{,,}A a b c =,{,,,}R aRa aRc cRa cRc =.那么由R 决定的A 的分类为 {,},{}a c b .25.设I 是一个唯一分解环,那么多项式环[]I x 是 唯一分解 环.26.设9Z 为模9的剩余类环,那么[7]的负元为 [2] ,逆元为[4] .27.设I 是一个唯一分解环,那么I 的元12,,,n a a a 的两个最大公因子d 和d '相差一个相伴元 .28.若群的元a 的阶是15,b 的阶是8,且ab ba =, 则8a 和ab 的阶分别是 15 和 120 .29.在一个特征为p 的无零因子的交换环R 中,有p 为 素 数,且()p a b += p p a b + .30. 若群G 的阶为60, G 的子群H 的阶为15,则H 在G 中的指数为 4 .31. 若φ是环R 与R 的同态满射,则对,,a b c R ∈,它们的象分别为,,a b c ,则元()a b c +的象为 ()a b c + .32.设A 是环R 的一个最大理想,那么包含A 的R 的理想仅有 A 和R .33.在整数环Z 中,理想(42,35)等于主理想 (7) .34.在唯一分解环I 中,若素元p 能整除ab ,则p 必能整除 ,a b 中一个元 .35. 若G 是由集合A 的全体一一变换所作成, 则G 是一个 变换 群.36.若R 是有单位元的交换环,则R 的主理想)(a 中的元有形式为 ,ra r R . 37.0R 是有单位元的交换环, x 是0R 的子环R 上的未定元, 则仅当 010n a a a时,才有010=+++n n x a x a a 成立.38. R 是一个有单位元的环, 且}0{≠R ,则在R 中必有一个元没有逆元, 它是 0 ; 必有两个元有逆元,它们是 1和-1 .39.唯一分解环I 中的元a 和b 的两个最大公因子d 和d '只能差一个 相伴元 .40.设}2,1{=A ,}4,3{=B .那么=⨯B A { (1,3),(1,4),(2,3),(2,4) } .41.若群G 和集合G 同态,则G 是 群 ,并且有G 中元e 和1-a 的象为G 中元e 和1a .42.在无零因子环R 中,如果对R b a ∈,有0=ab , 那么必有 0a 或0b .43.群的元a 的阶是n ,若d 是整数r 和n 的最大公因子,则r a 的阶是 n d. 44.在一个域Q 中,若有0,0,,≠≠∈d b Q d c b a ,则=+d c b a ad bc bd. 45.设φ是环R 与R 的同态满射, 则φ的核是环R 的一个 理想 . 46.在整环中必有一个元没有逆元,它是 0 ; 必有两个元有逆元,它们是 1和-1 .47.整环I 的元a 是][x I 的多项式)(x f 的根, 当且仅当)(x f 能被 xa 整除.三.判断题1.设}4,3,2,1{=A ,则能找到A A ⨯到A 的一一映射. ( × )2.无限群中的元的阶都无限. ( × )3.除环的最大理想是单位理想. ( × )4.整环中的素元只能有有限个数的因子. ( × )5.任何欧式环一定是主理想环,也一定是唯一分解环. ( √ )6.A 为不等于零的实数的全体,那么普通除法适合结合律. ( × )7.有限群中存在某个元的阶无限. ( × )8.假定域R 与R 同态, 则R 也是域. ( × )9.整环中的单位ε同素元p 的乘积p ε还是一个素元. ( √ )10.除环除了零理想和单位理想还有其它理想. ( × )四.解答题1. 用循环置换的方法写出三次对称群3S 的全体元.说明集合})23(,)1({=N 是3S 的子群,并且写出N 的所有左陪集.解: )}132(),123(),23(),13(),12(),1{(3=S ,(2分) 因为N 是有限集合, 由)1()1)(1(=,)23()23)(1(=,)23()1)(23(=,)1()23)(23(=知N 是封闭的,所以N 是3S 的子群.(4分) N 的全体左陪集为(6分):)}23(),1{()23()1(==N N ,)}132(),12{()132()12(==N N ,)}123(),13{()123()13(==N N .2. 求模6的剩余类环F 的所有子环.解:因为剩余类环F 是循环加群,所有子环为主理想:([1]),([2]),([3]),([6]).3. 设A 是整数集,规定A 中元间的关系R 如下:)6(b a aRb ≡⇔说明R 是A 中元间的等价关系,并且写出模6的所有剩余类.解: 因为对任意的整数 c b a ,,有(1)反射律: a 与a 模6同余;(2分)(2)对称律: 若a 与b 模6同余,那么必有b 与a 模6同余;(2分)(3)推移律: 若a 与b 模6同余,b 与c 模6同余,那么必有a 与c 模6同余, 所以R 是A 中元间的等价关系.(2分)模6的全体剩余类为(6分):},12,6,0,6,12,{]0[ --=, },13,7,1,5,11,{]1[ --=,},14,8,2,4,10,{]2[ --=, },15,9,3,3,9,{]3[ --=,},16,10,4,2,8,{]4[ --=, },17,11,5,1,7,{]5[ --=.4.求出阶是32的循环群()a 的所有子群.这些子群是否都是不变子群.解: 因为()a 为循环群,所以()a 为交换群,又因为32的所有正整数因子为:1,2,4,8,16,36. (2分) 所以循环群()a 的所有子群为循环子群:()a ,2()a ,4()a ,8()a ,16()a 360()(){}a a e ==. (8分)并且这些子群都是不变子群. (10分)5.设Z 是整数环,请把Z 的理想(3)(4)和(3,4)的元列出来.解: Z 是整数环,理想(3)(4)和(3,4)如下:(3)(4){,9,6,3,0,3,6,9,}{,12,8,4,0,4,8,12,}=------ (2分){,24,12,0,12,24,}=-- (4分)(12)= (6分) (3,4)(1){,3,2,1,0,1,2,3,}Z ===--- (10分)6.设R 是模8的剩余类环,在一元多项式环[]R x 中把32([2][7][3])([5][2])x x x x +--+计算出来,并求432()[4][5][2][7]f x x x x x =-+-+的导数. 解: R 是模8的剩余类环(1) 32([2][7][3])([5][2])x x x x +--+543322[2][5][2][2][2][7][5][7][7][2][3][5][3][3][2]x x x x x x x x =-++-+-+- (1分)543322[2][2][4][3][7][6][7][3][6]x x x x x x x x =-++-+-+- (3分) 5432[2][2][7][6][6]x x x x x =-+-+- (5分)(2) 多项式432()[4][5][2][7]f x x x x x =-+-+的导数为32()4[1]3[4]2[5][2]f x x x x '=-+- (2分)32[4][4][2][2]x x x =-+-.7.找出对称群3S 的所有子群.解:因为3{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}S =,它的子群的阶只可能为:1,2,3,6.所以它的所有子群为:1阶子群1{(1)}H =; (1分) 2阶子群21{(1),(12)}H =,22{(1),(13)}H =,23{(1),(23)}H =; (4分) 3阶子群3{(1),(123),(132)}H =; (5分) 6阶子群3{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}S =。
《近世代数》练习题及答案.doc
《近世代数》练习题及答案1. B u A,但B不是A的真子集,这个情况什么时候才能出现?解只有在A=B时才能出现。
证明如下:当A=B时,即有BA, A(Z B,若有' a e A而a £ B ,显然矛盾;若BuA,但B不是A的真子集,可知凡属于A的兀素不可能不属于B,故A=B2.A=(1, 2, 3, .... , 100},找一个AXA 到 A 的映射。
解S(a"2)= 1易证。
102都是AXA到A的映射。
3.在你为习题1所找的映射下,是不是A的每一个元都是AXA的一个元的象?解在0]下,有' A的元不是AX A的任何元的象;容易验证在啊下,A的每个元都是AXA的一个元的象。
4.A={所有实数}。
O (a, b) Ta+b=aOb这个代数运算适合不适合结合律?解这个代数运算不适合结合律。
(aOb) Oc=a+2b+2c, aO (bOc) =a+2b+4c(aOb) Oc#aO (bOc)除c=05.假定巾是A与A间的一个---- 映射,a是A的一个元。
厂[0(a)] = ?,如尸(«)] = ?解厂渺(a)] = a0[户(a)]未必有意义;当巾是A的一个一一变换时(/)-' [©(a)] =。
0[厂(a)] = a.6.假定A和,对于代数运算。
和:来说同态,云和云对于代数运算:和;来说同态, 证明A和云对于代数运算。
和;来说同态。
、〒S '• a — a表示A到屈勺同态满射iiE /Il —— ». _—,©2 :。
t。
表示A SU A的同态满射容易验证。
是A到葡满射a。
b T ONMa。
b)l =(/)2(a。
b) = a。
b所以6是A到工的关于代数运算:和;来说同态满射。
7.A={所有有理数},找一个A的对于普通加法来说的自同构(映射x<^x除外)证© : x —> 2x对于普通加法来说是A的一个同构,很容易验证。
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练习题
第一次作业
1、设A={x| x R, |x|5},B={x|x R, -6x<0}.求AB,AB,AB,BA。
2、设A,B是U的子集,规定A+B=(AB)(BA)。
证明:
(1) A+B=B+A
(2) A+=A
(3) A+A=。
3、求下列集合的所有子集:
(1) A={a, b, }
(2) B={}
(3) C={1}
4、设f:AB和g:BC是映射,证明:
(1) 如果f和g是单射,则gf是单射
(2) 如果f和g是满射,则gf是满射
(3) 如果gf是单射,则f是单射
(4) 如果gf是满射,则g是满射.
5、对于下面给出的整数集Z到整数集Z的映射f, g ,h:
f: x3x
g: x3x+1
h: x3x+2
(1) 计算fg, gf, gh, hg, fgh
(2) 分别求f, g, h的一个左逆映射
(3) 求f, g, h的一个共同的左逆映射
(4) 求f, g的一个共同的左逆映射,但不是h的左逆映射。
6、设R是实数集合,在RR上规定二元关系“~”为:
(a, b)~ (c, d)a+d=b+c
证明“~”是R上的一个等价关系。
7、设A={a, b, c, d, e}, S={{a},{b},{c, d, e}},求A上的一个等价关系R,使A 在R下的分类恰为S。
8、设A={1,2,3,4},在幂集中规定二元关系“~”:
S~TS与T所含元素个数相同
证明“~”是上的一个等价关系,并写出商集/~。
第二次作业
1、设G={(a, b)| a, b R, a0}, 规定G中元素运算:
(a, b)(c, d)=(ac, bc+d)
证明:G是一个群,但不是交换群。
2、设G={a, b, c},G的乘法表如下:
a b c
a a
b c
b a b c
c a b c
证明:(G,)是一个半群。
3、设G是群,证明:
(1) 如果G的每一个元素a的逆元还是a本身,则G是交换群,举例说明反之
不对。
(2) 如果G是非交换群,则存在元素a、bG, ab,并且它们均非单位元,使得
ab=ba.
4、在对称群中计算:
(1 2 4 3)(3 5 4), (2 1 4 3)(1 3 2 4), (1 2 3 4 5)(1 2 3 4 5)
5、设=(1 2 3 4 5 6),计算。
6、将对称群中如下元素表示成不相连的循环置换乘积和对换乘积
7、设,, 如果=( ),证明:
=(()()())
8、在中,求(1 2 4)生成的子群H的所有元素。
9、设G是群,C(G)={x| xG, yG, xy = yx}, 证明:C(G)是G的子群。
(称C(G)
是群G的中心)。
10、设H={(1),(234),(243)},证明:H是4次对称群的子群。
H是否为不变
子群?
11、设A,B是群G的子群,证明AB是G的子群的充分且必要条件
是AB=BA。
12、证明有理数加群Q关于Z的商群(,+)的任意有限子群都是循环群。
13、设p, q是两个不同的素数,问:pq阶循环群的生成元有几个?求25阶
循环群的所有生成元。
14、设G=(R-{0},),证明:f:GG:x是群同态,但g:GG:x2x不是群
同态。
15、设f:G是群满同态,H是G的不变子群,并且Ker(f)H, 证明:f (H)是
的不变子群,并且
16、设G和H都是有限群,|G|与|H|互素,证明G到H并且H到G的群同态都
是唯一的。
17、证明:。
18、设A,B是群G的两个不变子群,并且G=AB,证明:
19、证明群G在左商集上的作用的核是含在H中G的最大不变子群。
即如
果f:GE() 使f(a)(xH)=axH, 则Ker(f)是含在H中的G的最大不变子群。
20、设G是群,A是G的一个非空子集,记={x | xG, xA=Ax},证明:
(1) 是G的子群。
(2) 如果=G,则A是G的不变子群吗?
第三次作业
1、设R是交换环,证明:
(1) R中任意两个幂零元的和仍然是幂零元。
(2) R中任意元素与幂零元的乘积是幂零元。
(3) R中可逆元与幂零元的和是可逆元。
2、设R是一个元素个数大于1的有限集,证明:关于数的加法和乘
法,R不能构成环。
3、在中计算下面两个多项式的加法运算和乘法运算:
f(x)=, g(x)=
4、求出中次数不超过2的所有可逆多项式。
5、在环中,求元素。
6、 在整数环Z中,求生成元a, b使得<a>=<24>+<36>, <b>=<24>
<36>.
7、设、、、都是环R的理想,如果
证明这些理想的并集是R的理想。
8、设f:R 是环的满同态,证明:
(1) 如果R是交换环,则也是交换环。
(2) 举例说明:是交换环,但R未必是交换环。
9、证明整数环Z到其自身的环同态只能是零同态或是恒等同态。
10、设R是有单位元1的环,证明是多项式环的真子环(即不等于
的子环),并且有环同构:。
11、 设={a+bi | a, b Z},,证明:
(1) 按复数的通常运算,是一个整环。
(通常称是高斯整环)
(2) 如果p是一个素数,证明。
12 、R是无单位元的环,A是R的理想,如果是R的有单位元的典范
扩张环,则是的理想,并求商环。
(1) 讨论有理数域Q上关于加法群的自同态环。
(2) 在有理系数多项式环Q[x]中,证明:<x> 是极大理想,也是素
理想。
13、设p是素数,在偶数环2Z中,证明主理想<2p>是极大理想,但<2p>是
素理想的充分且必要条件:p是不等于2的素数。
14、 设R={a+3bi | a, b Z},
(1) 按通常数的运算,证明:R是整环。
(2) 求R的所有可逆元。
15、高斯整环中,证明3是素元,但2不是素元。
16、证明高斯整环是欧氏环。
17、证明域都是欧氏环。
18、在高斯整环中将元素15进行既约元因子分解。
19、将下列多项式分解为既约多项式的乘积:
(1) 中多项式
(2) 中多项式
20、证明:按数的通常运算,={a + bi | a, b Q} 是一个域。
()。