近世代数作业

练习题

第一次作业

1、设A={x| x R, |x|5},B={x|x R, -6x<0}.求AB，AB，AB，BA。

2、设A，B是U的子集，规定A+B=(AB)(BA)。证明：

(1) A+B=B+A

(2) A+=A

(3) A+A=。

3、求下列集合的所有子集：

(1) A={a, b, }

(2) B={}

(3) C={1}

4、设f：AB和g：BC是映射，证明：

(1) 如果f和g是单射，则gf是单射

(2) 如果f和g是满射，则gf是满射

(3) 如果gf是单射，则f是单射

(4) 如果gf是满射，则g是满射.

5、对于下面给出的整数集Z到整数集Z的映射f, g ,h:

f: x3x

g: x3x+1

h: x3x+2

(1) 计算fg, gf, gh, hg, fgh

(2) 分别求f, g, h的一个左逆映射

(3) 求f, g, h的一个共同的左逆映射

(4) 求f, g的一个共同的左逆映射，但不是h的左逆映射。

6、设R是实数集合，在RR上规定二元关系“~”为：

（a, b）~ (c, d)a+d=b+c

证明“~”是R上的一个等价关系。

7、设A={a, b, c, d, e}, S={{a},{b},{c, d, e}},求A上的一个等价关系R，使A 在R下的分类恰为S。

8、设A={1，2，3，4}，在幂集中规定二元关系“~”：

S~TS与T所含元素个数相同

证明“~”是上的一个等价关系，并写出商集/~。

第二次作业

1、设G={(a, b)| a, b R, a0}, 规定G中元素运算：

(a, b)(c, d)=(ac, bc+d)

证明：G是一个群，但不是交换群。

2、设G={a, b, c},G的乘法表如下：

a b c

a a

b c

b a b c

c a b c

证明：（G，）是一个半群。

3、设G是群，证明：

(1) 如果G的每一个元素a的逆元还是a本身，则G是交换群，举例说明反之

不对。

(2) 如果G是非交换群，则存在元素a、bG, ab,并且它们均非单位元，使得

ab=ba.

4、在对称群中计算：

(1 2 4 3)(3 5 4), (2 1 4 3)(1 3 2 4), (1 2 3 4 5)(1 2 3 4 5)

5、设=（1 2 3 4 5 6），计算。

6、将对称群中如下元素表示成不相连的循环置换乘积和对换乘积

7、设,, 如果=( )，证明：

=(()()())

8、在中，求(1 2 4)生成的子群H的所有元素。

9、设G是群，C(G)={x| xG, yG, xy = yx}, 证明：C(G)是G的子群。(称C(G)

是群G的中心)。

10、设H={(1),(234),(243)}，证明：H是4次对称群的子群。H是否为不变

子群？

11、设A，B是群G的子群，证明AB是G的子群的充分且必要条件

是AB=BA。

12、证明有理数加群Q关于Z的商群（，+）的任意有限子群都是循环群。

13、设p, q是两个不同的素数，问：pq阶循环群的生成元有几个？求25阶

循环群的所有生成元。

14、设G=（R-{0}，）,证明：f：GG：x是群同态，但g：GG：x2x不是群

同态。

15、设f：G是群满同态，H是G的不变子群，并且Ker(f)H, 证明：f (H)是

的不变子群，并且

16、设G和H都是有限群，|G|与|H|互素，证明G到H并且H到G的群同态都

是唯一的。

17、证明：。

18、设A，B是群G的两个不变子群，并且G=AB，证明：

19、证明群G在左商集上的作用的核是含在H中G的最大不变子群。即如

果f：GE() 使f(a)(xH)=axH, 则Ker(f)是含在H中的G的最大不变子群。

20、设G是群，A是G的一个非空子集，记={x | xG, xA=Ax},证明：

(1) 是G的子群。

(2) 如果=G，则A是G的不变子群吗？

第三次作业

1、设R是交换环，证明：

(1) R中任意两个幂零元的和仍然是幂零元。

(2) R中任意元素与幂零元的乘积是幂零元。

(3) R中可逆元与幂零元的和是可逆元。

2、设R是一个元素个数大于1的有限集，证明：关于数的加法和乘

法，R不能构成环。

3、在中计算下面两个多项式的加法运算和乘法运算：

f(x)=, g(x)=

4、求出中次数不超过2的所有可逆多项式。

5、在环中，求元素。

6、 在整数环Z中，求生成元a, b使得=<24>+<36>, =<24>

<36>.

7、设、、、都是环R的理想，如果

证明这些理想的并集是R的理想。

8、设f：R 是环的满同态，证明：

(1) 如果R是交换环，则也是交换环。

(2) 举例说明：是交换环，但R未必是交换环。

9、证明整数环Z到其自身的环同态只能是零同态或是恒等同态。

10、设R是有单位元1的环，证明是多项式环的真子环（即不等于

的子环），并且有环同构：。

11、 设={a+bi | a, b Z},,证明：

(1) 按复数的通常运算，是一个整环。（通常称是高斯整环）

(2) 如果p是一个素数，证明。