2015年广东高考数学试卷文科

绝密★启用前 试卷类型：B
2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（文科）
本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的
市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置
上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答
案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1.若集合{1,1}M =-，{2,1,0}N =-,则M N ⋂=（ ）
A.{0,1}-
B.{1}
C.{0}
D.{1,1}-
2.
已知i 是虚数单位，则复数2(1)i +=（ ） A.2i B.2i - C.2 D.2-
3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A.sin2y x x =+ 2
B.cos y x x =- 1
C.22x x y =+
2D.sin y x x =+ 4.若变量,x y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
，则23z x y =+的最大值为（ ）
A.2
B.5
C.8
D.10 5.设ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若3a=2,c=23,cos A 2=且b c <，则b =（ ）
A.3
B.22
C.2
D.3
6.若直线1l 与2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确
的是（ ）
12A.,l l l 与都不相交 12B.,l l l 与都相交
12C.,l l l 至多与中的一条相交 12D.,l l l 至少与中的一条相交
7.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）
A.0.4
B.0.6
C.0.8
D.1 8.已知椭圆22
21025x y m m +=>（
）的左焦点为1-F （4,0），则=m （ ） A.2 B.3 C.4
D.9 9.在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，(1,2),(2,1)AB AD =-=则AD AC =（ ）
A.5
B.4
C.3
D.2 10.若集合{}(,,,)|04,04,04,,,E p q r s p s q s r s p q r s N =≤<≤≤<≤≤<≤∈且，
{}(,,,)|04,04,,,,F t u v w t u v w t u v w N =≤<≤≤<≤∈且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card E card F +=（ ）
A.200
B.150
C.100
D.50
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.
（一）必做题（11-13题）
11. 不等式2340x x --+>的解集为 .（用区间表示）
12. 已知样本数据12,,,n x x x 的均值5x =，则样本1221,21,,21n x x x +++的均值为 .
13. 若三个正数a,b,c 成等比例，其中526,526a c =+=-，则b = .
（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）
14. (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极
坐标系，曲线1C 的极坐标方程(cos sin )2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为222x t y t
⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）. 则1C 与2C 交点的直角坐标为 ．
15. (几何证明选讲选做题)如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 延长线上一点，过点E 作圆O 的切线，切点为C 过点A 作直线EC 的垂线，垂足为D ，若4,23AB CE ==，则AD = .
图1
三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
16.（本小题满分12分）
已知tan 2a =.
（1）求)4tan(πα+
的值； （2）求
2sin2sin sin cos cos21
a a a a a +--的值.
17.（本小题满分12分）
某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图2，
（1）求直方图中x 的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？
18.（本小题满分14分）
如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD=PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3.
（1）证明：BC ∥平面PDA ；
（2）证明：BC ⊥PD ；
（3）求点C 到平面PDA 的距离.
19.（本小题满分14分） 设数列{}n a 的前n 项和为*,n S n ÎN ，已知123351,,,24
a a a ===且当2n ³时，211458n n n n S S S S ++-+=+. （1）求4a 的值；
（2）证明：⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-+n n a a 211为等比数列； （3）求数列{}n a 的通项公式.
20．（本小题满分14分）
已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B.
（1）求圆1C 的圆心坐标；
（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
（3）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.
21.（本小题满分14分）
设a 为实数，函数2()()(1)f x x a x a a a =-+---.
（1）若1)0(≤f ，求a 的取值范围；
（2）讨论()f x 的单调性；
（3）当2≥a 时，讨论4()f x x +
在区间),0(+∞内的零点个数.。