传染病模型
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背景
传染病模型
随着人类文明的不断发展，卫生设施的改善 和医疗水平的提高，以前曾经肆虐全球的一些传 染性疾病已经得到了有效的控制，但是，伴随着 经济的增长，一些新的传染性疾病，如2003年时 曾给世界人民带来深重灾难的SARS病毒和如今 依然在世界范围蔓延的艾滋病毒，仍在危害着全 人类的健康.长期以来，建立传染病模型来描述传 染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律， 预报传染病高潮的到来等，一直是各国专家学者 关注的课题.
di d t si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
(4.13)
方程(4.13)无法求出s(t)和i(t)的解析解，我们 转到相平面s~i上来讨论解的性质.相轨线的定义域 (s，i)∈D应为： D＝{(s，i)|s≥0，i≥0，s＋i≤1} (4.14)
2.模型的建立与求解 根据假设，总人数为N，每个病人每天可使 λs(t)个健康者变为病人，因为病人人数为Ni(t)， 所以每天共有λNs(t)i(t)个健康者被感染，于是 λNs(t)i(t)就是病人数Ni(t)的增加率，即有 di N Ns (t )i (t ) (4.1) dt
又因为
s(t)＋i(t)＝1
1
图4-1
3.模型的分析讨论 由式(4.3)、(4.4)及图4-1可知: (1)当 i 1 时， d i 达到最大值 ( d i )m ，这 dt 2 dt 个时刻为 1 1 tm ln( 1) (4.5) i0 这时病人人数增加得最快，预示着传染病高潮 的到来，是医疗卫生部门关注的时刻.tm与λ 成反比， 因为日接触率λ 表示该地区的卫生水平，λ 越小卫 生水平越高，所以改善保健设施，提高卫生水平可 以推迟传染病高潮的到来.
1
• 图 4-3
3.模型的分析讨论
下面根据式(4.13)、(4.16)和图4-3分析t→∞时
s(t)、i(t)和r(t)的变化情况(它们的极限值分别记
作s∞，i∞和r∞). (1)首先，由式(5.4.13)， d s 0
dt
，而
dr s(t)≥0，故s∞存在；由式(5.4.12)知， 0 ，而 dt
2.模型的建立与求解 由条件(1)，有 s ( t ) ＋i ( t ) ＋r ( t ) ＝1 (4.11) 根据条件(2)，方程(4.6)仍成立.对于病愈免疫的移 出者而言，应有
dr N Ni dt
(4.12)
再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是 s0(>0)和i0(>0)(不妨设移出者的初始值r0＝0)，则 由式(4.6)、(4.11)和(4.12)，SIR模型的方程可以 写为：
和医疗水平有助于控制传染病的蔓延.
1 是传染期内一个病人 从另一方面看， s s
传染的健康者的平均数，称为交换数，其含义是一
个病人被ζ s个健康者交换.所以当 s 1 ，即 0
ζ s0≤1时，必有ζ s≤1.既然交换数不超过1，病人 比例i(t)绝不会增加，传染病就不会蔓延.
我们看到在SIR模型中接触数ζ 是一个重要参 数.ζ 可以由实际数据估计，因为病人比例的初始值 i0通常很小，在式(4.18)中略去i0可得 ln s0 ln s (4.19) s0 s 于是当传染病结束而获得s0和s∞以后，由式 (4.19)能算出ζ .另外，对血样作免疫检验也可以根 据对检验无反应和有反应，估计出s0和s∞，然后计 算ζ .
(2)当t→∞时，i→1，即所有人终将被感染， 全变为病人，这显然不符合实际情况，其原因是模 型中没有考虑到病人可以治愈. 为了修正上述结果必须重新考虑模型的假设.下 面两个模型中我们讨论病人可以治愈的情况.
4.2 模型Ⅱ——SIS模型 有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低， 可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变为健康者， 健康者还可以再被感染变为病人，我们就这种情况 建立的模型称为SIS模型.
式(4.2)不变，于是式(4.3)应改为：
di i (1 i ) i d t i(0) i0
(4.7)
方程(4.7)的解可表示为：
1 ( ) t 1 [ ( ) e ] , i 0 i (t ) 1 1 ( t ) , i0
1.模型的假设
SIS模型的假设条件(1)、(2)与SI模型的假设相
同，增加的条件(即条件(3))为: (3)病人每天被治愈的占病人总数的比例为μ ， 称为日治愈率，病人治愈后成为仍可被感染的健康 者，则
1
是这种传染病的平均传染期.
2.模型的建立与求解 考虑到假设(3)，SI模型的式(4.1)应修正为： di N Nsi Ni (4.6) dt
(2)最终未被感染的健康者比例是s∞，在式 (4.16)中令i＝0，得到s∞是方程 1 s
( s0 i0 ) s
ln
s0
0
(4.18)
在 (0, ) 内的单根，在图4-3中s∞是相轨线 与s轴在 (0, ) 内交点的横坐标.
1
1
(3)若 s0 1 ，则i(t)先增加，当 s 1 时，
其中 (4.22)容易算出
.从式
dr 2 d t 2s 2 ch 2 (t ) 0 2
(4.23)
然后取定参数s0、ζ 等，画出式(4.23)的图形， 如图4-4中的曲线，实际数据在图中用圆点表示.可 以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错.
• 图 4-4
5.SIR模型的应用 下面介绍SIR模型的两个应用. 1)被传染比例的估计 在一次传染病的传播过程中，被传染人数的比 例是健康者人数比例的初始值s0与t→∞的极限值 s∞之差，记作x，假定i0很小，s0接近于1，由式 (4.18)可得
在方程(4.13)中消去dt，并利用式(4.9)，可 得
di 1 1 ds s i |s s i0 0
(4.15)
容易求出方程(4.15)的解为：
s (4.16) i ( s0 i0 ) s ln s0 则在定义域D内，相轨线如图4-3所示.图中箭 头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋向.
平，使阈值 1 变大以外，另一个途径是降低s0， 这可以通过如预防接种使群体免疫的办法做到.忽略 病人比例的初始值i0，有s0＝1－r0，于是传染病不 会蔓延的条件 s0
x x ln(1 ) 0 s0 1
(4.24)
取对数函数泰勒展开的前两项有
x x(1 2 )0 s0 2s0
1
(4.25)
记 s0 1 , ，δ 可视为该地区人口比例
超过阈值 1 的部分.当
x 2s0 ( s0
1时式(4.25)给出
di i dt i (0) i0
i(t ) i0 e
t
t i ?
必须区分已感染者(病 人)和未感染者(健康人)
若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加
4.1 模型Ⅰ——SI模型 1.模型的假设条件 SI模型有下面两个假设条件： (1)人群分为易感染者(Susceptible)和已感染 者(Infective)两类(取两个单词的第一个字母，称 之为SI模型).以下简称为健康者和病人，t时刻这两 类人在总人数中所占的比例分别记作s(t)和i(t). (2)每个病人每天有效接触的平均人数是常数λ， λ称为日接触率，当病人与健康者有效接触时，使 健康者受感染变为病人.
• 图 4-2
4.3 模型Ⅲ——SIR模型 1.模型的假设 大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治 愈后均有很强的免疫力，所以治愈后的人既非健康 者(易感染者)也不是病人(已感染者)，他们已经退 出传染系统.这种情况下的模型假设条件为： (1)人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者 (Removed)三种，称SIR模型.三类人在总人数N中所 占的比例分别为s(t)、i(t)和r(t)； (2)病人的日接触率为λ ，日治愈率为μ ，ζ ＝ λ /μ .
r(t)≤1，故r∞存在；再由式(5.4.11)知i∞存在.
其次，若i∞＝ε >0，则由式(4.12)，对于充分 大的t，有 ，这将导致r∞＝∞，与r∞ 存在相矛盾.故不论初始条件s0，i0如何，病人终将 消失，即 i ∞＝0 (4.17) 从图4-3上看，不论相轨线从p1或从p2出发，它 终将与s轴相交.
(4.8)
3.模型的分析讨论 定义
1
(4.9)
注意到λ 和 的含义可知，ζ 是一个传染期内 每个病人的有效接触的平均人数，称接触数，由式 (4.8)和(4.9)容易得到，当t→∞时，
1 1 , 1 i ( ) 0, 1
(4.10)
根据式(4.8)~(4.10)可以画出i(t)~t的图形 如图4-2所示. 接触数ζ ＝1是一个阈值，当ζ ≤1时病人比例 i(t)越来越小，最终趋于零，这是由于传染期内经 有效接触从而使健康者变为病人的人数不超过原来 病人人数的缘故；当ζ >1时，i(t)的增减性取决于 i(0)的大小，但其极限值i(∞)＝1－1ζ 随ζ 的增加 而增加. SI模型可视为本模型的特例.
4.模型验证 本世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所 有病人都死亡了.死亡相当于移出传染系统，有关部 门记录了每天移出者的人数，依此实际数据， Kermack等人用这组数据对SIR模型作了验证. 首先，由方程(4.11)、(4.13)可以得到
s(t ) s0e r (t )
dr (1 r s0 e r ) dt
1、问题的提出
•描述传染病的传播过程 •分析受感染人数的变化规律
•预报传染病高潮到来的时刻
•预防传染病蔓延的手段
•按照传播过程的一般规律，用机理分析方 法建立模型
分析
假设 建模
已感染人数 (病人) i(t)
• 每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为
i(t t ) i(t ) i(t )t
(4.2)
再记初始时刻(t＝0)病人的比例为i0，则有
di i (1 i) d t i (0) i0
(4.3)
方程(4.3)是Logistic模型，它的解为
1 (4.4) 1 ( 1) e t i0 di i(t)~t和 d t i 的图形如图4-1所示.
i (t )
i(t)达到最大值
im s0 i0 1
(1 ln s0 )
i(t)减小且趋于零，s(t)则单调减小至s∞.
(4)若 s0
1
小至s∞.
，则i(t)减小且趋于零，s(t)则单调减
可以看出，如果仅当病人比例 i(t)有一段增长的时期才 1 1 认为传染病在蔓延，那么 阈值
(4.20) (4.21)
当
r
1
1 s0
时，取式(4.21)右端e－ζ r泰勒展
开的前3项，在初始值r0＝0下的解为：
r (t )
2
[( s0 1) th(
t
2
)]
s0 1
(4.22)
2 ( s0 1) 2 2s0i0 2 , th
1
) 2
(4.26)
这个结果表明，被传染人数比例约为δ 的2倍. 对一种传染病，当该地区的医疗和卫生水平不变，
即ζ 不变时，这个比例就wenku.baidu.com会改变.而当阈值
时，δ 减小，于是这个比例就会降低.
1
提高
2)群体免疫和预防
根据对SIR模型的分析，当 s0
1
时传染病
不会蔓延.所以为制止蔓延，除了提高卫生和医疗水
是一个阈值，当
s0
时传染病就会蔓延.而减小传染期接触数ζ ，即提高
1
的初始值s0是一定的，通常可认为s0≈1)，我们注意到在
，使得 s0
1
，传染病就不会蔓延(健康者比例
平越高，日治愈率μ 越大，于是ζ 越小，所以提高卫生水平
中，人们的卫生水平越高，日接触率λ 越小，医疗水
传染病模型
随着人类文明的不断发展，卫生设施的改善 和医疗水平的提高，以前曾经肆虐全球的一些传 染性疾病已经得到了有效的控制，但是，伴随着 经济的增长，一些新的传染性疾病，如2003年时 曾给世界人民带来深重灾难的SARS病毒和如今 依然在世界范围蔓延的艾滋病毒，仍在危害着全 人类的健康.长期以来，建立传染病模型来描述传 染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律， 预报传染病高潮的到来等，一直是各国专家学者 关注的课题.
di d t si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
(4.13)
方程(4.13)无法求出s(t)和i(t)的解析解，我们 转到相平面s~i上来讨论解的性质.相轨线的定义域 (s，i)∈D应为： D＝{(s，i)|s≥0，i≥0，s＋i≤1} (4.14)
2.模型的建立与求解 根据假设，总人数为N，每个病人每天可使 λs(t)个健康者变为病人，因为病人人数为Ni(t)， 所以每天共有λNs(t)i(t)个健康者被感染，于是 λNs(t)i(t)就是病人数Ni(t)的增加率，即有 di N Ns (t )i (t ) (4.1) dt
又因为
s(t)＋i(t)＝1
1
图4-1
3.模型的分析讨论 由式(4.3)、(4.4)及图4-1可知: (1)当 i 1 时， d i 达到最大值 ( d i )m ，这 dt 2 dt 个时刻为 1 1 tm ln( 1) (4.5) i0 这时病人人数增加得最快，预示着传染病高潮 的到来，是医疗卫生部门关注的时刻.tm与λ 成反比， 因为日接触率λ 表示该地区的卫生水平，λ 越小卫 生水平越高，所以改善保健设施，提高卫生水平可 以推迟传染病高潮的到来.
1
• 图 4-3
3.模型的分析讨论
下面根据式(4.13)、(4.16)和图4-3分析t→∞时
s(t)、i(t)和r(t)的变化情况(它们的极限值分别记
作s∞，i∞和r∞). (1)首先，由式(5.4.13)， d s 0
dt
，而
dr s(t)≥0，故s∞存在；由式(5.4.12)知， 0 ，而 dt
2.模型的建立与求解 由条件(1)，有 s ( t ) ＋i ( t ) ＋r ( t ) ＝1 (4.11) 根据条件(2)，方程(4.6)仍成立.对于病愈免疫的移 出者而言，应有
dr N Ni dt
(4.12)
再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是 s0(>0)和i0(>0)(不妨设移出者的初始值r0＝0)，则 由式(4.6)、(4.11)和(4.12)，SIR模型的方程可以 写为：
和医疗水平有助于控制传染病的蔓延.
1 是传染期内一个病人 从另一方面看， s s
传染的健康者的平均数，称为交换数，其含义是一
个病人被ζ s个健康者交换.所以当 s 1 ，即 0
ζ s0≤1时，必有ζ s≤1.既然交换数不超过1，病人 比例i(t)绝不会增加，传染病就不会蔓延.
我们看到在SIR模型中接触数ζ 是一个重要参 数.ζ 可以由实际数据估计，因为病人比例的初始值 i0通常很小，在式(4.18)中略去i0可得 ln s0 ln s (4.19) s0 s 于是当传染病结束而获得s0和s∞以后，由式 (4.19)能算出ζ .另外，对血样作免疫检验也可以根 据对检验无反应和有反应，估计出s0和s∞，然后计 算ζ .
(2)当t→∞时，i→1，即所有人终将被感染， 全变为病人，这显然不符合实际情况，其原因是模 型中没有考虑到病人可以治愈. 为了修正上述结果必须重新考虑模型的假设.下 面两个模型中我们讨论病人可以治愈的情况.
4.2 模型Ⅱ——SIS模型 有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低， 可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变为健康者， 健康者还可以再被感染变为病人，我们就这种情况 建立的模型称为SIS模型.
式(4.2)不变，于是式(4.3)应改为：
di i (1 i ) i d t i(0) i0
(4.7)
方程(4.7)的解可表示为：
1 ( ) t 1 [ ( ) e ] , i 0 i (t ) 1 1 ( t ) , i0
1.模型的假设
SIS模型的假设条件(1)、(2)与SI模型的假设相
同，增加的条件(即条件(3))为: (3)病人每天被治愈的占病人总数的比例为μ ， 称为日治愈率，病人治愈后成为仍可被感染的健康 者，则
1
是这种传染病的平均传染期.
2.模型的建立与求解 考虑到假设(3)，SI模型的式(4.1)应修正为： di N Nsi Ni (4.6) dt
(2)最终未被感染的健康者比例是s∞，在式 (4.16)中令i＝0，得到s∞是方程 1 s
( s0 i0 ) s
ln
s0
0
(4.18)
在 (0, ) 内的单根，在图4-3中s∞是相轨线 与s轴在 (0, ) 内交点的横坐标.
1
1
(3)若 s0 1 ，则i(t)先增加，当 s 1 时，
其中 (4.22)容易算出
.从式
dr 2 d t 2s 2 ch 2 (t ) 0 2
(4.23)
然后取定参数s0、ζ 等，画出式(4.23)的图形， 如图4-4中的曲线，实际数据在图中用圆点表示.可 以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错.
• 图 4-4
5.SIR模型的应用 下面介绍SIR模型的两个应用. 1)被传染比例的估计 在一次传染病的传播过程中，被传染人数的比 例是健康者人数比例的初始值s0与t→∞的极限值 s∞之差，记作x，假定i0很小，s0接近于1，由式 (4.18)可得
在方程(4.13)中消去dt，并利用式(4.9)，可 得
di 1 1 ds s i |s s i0 0
(4.15)
容易求出方程(4.15)的解为：
s (4.16) i ( s0 i0 ) s ln s0 则在定义域D内，相轨线如图4-3所示.图中箭 头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋向.
平，使阈值 1 变大以外，另一个途径是降低s0， 这可以通过如预防接种使群体免疫的办法做到.忽略 病人比例的初始值i0，有s0＝1－r0，于是传染病不 会蔓延的条件 s0
x x ln(1 ) 0 s0 1
(4.24)
取对数函数泰勒展开的前两项有
x x(1 2 )0 s0 2s0
1
(4.25)
记 s0 1 , ，δ 可视为该地区人口比例
超过阈值 1 的部分.当
x 2s0 ( s0
1时式(4.25)给出
di i dt i (0) i0
i(t ) i0 e
t
t i ?
必须区分已感染者(病 人)和未感染者(健康人)
若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加
4.1 模型Ⅰ——SI模型 1.模型的假设条件 SI模型有下面两个假设条件： (1)人群分为易感染者(Susceptible)和已感染 者(Infective)两类(取两个单词的第一个字母，称 之为SI模型).以下简称为健康者和病人，t时刻这两 类人在总人数中所占的比例分别记作s(t)和i(t). (2)每个病人每天有效接触的平均人数是常数λ， λ称为日接触率，当病人与健康者有效接触时，使 健康者受感染变为病人.
• 图 4-2
4.3 模型Ⅲ——SIR模型 1.模型的假设 大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治 愈后均有很强的免疫力，所以治愈后的人既非健康 者(易感染者)也不是病人(已感染者)，他们已经退 出传染系统.这种情况下的模型假设条件为： (1)人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者 (Removed)三种，称SIR模型.三类人在总人数N中所 占的比例分别为s(t)、i(t)和r(t)； (2)病人的日接触率为λ ，日治愈率为μ ，ζ ＝ λ /μ .
r(t)≤1，故r∞存在；再由式(5.4.11)知i∞存在.
其次，若i∞＝ε >0，则由式(4.12)，对于充分 大的t，有 ，这将导致r∞＝∞，与r∞ 存在相矛盾.故不论初始条件s0，i0如何，病人终将 消失，即 i ∞＝0 (4.17) 从图4-3上看，不论相轨线从p1或从p2出发，它 终将与s轴相交.
(4.8)
3.模型的分析讨论 定义
1
(4.9)
注意到λ 和 的含义可知，ζ 是一个传染期内 每个病人的有效接触的平均人数，称接触数，由式 (4.8)和(4.9)容易得到，当t→∞时，
1 1 , 1 i ( ) 0, 1
(4.10)
根据式(4.8)~(4.10)可以画出i(t)~t的图形 如图4-2所示. 接触数ζ ＝1是一个阈值，当ζ ≤1时病人比例 i(t)越来越小，最终趋于零，这是由于传染期内经 有效接触从而使健康者变为病人的人数不超过原来 病人人数的缘故；当ζ >1时，i(t)的增减性取决于 i(0)的大小，但其极限值i(∞)＝1－1ζ 随ζ 的增加 而增加. SI模型可视为本模型的特例.
4.模型验证 本世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所 有病人都死亡了.死亡相当于移出传染系统，有关部 门记录了每天移出者的人数，依此实际数据， Kermack等人用这组数据对SIR模型作了验证. 首先，由方程(4.11)、(4.13)可以得到
s(t ) s0e r (t )
dr (1 r s0 e r ) dt
1、问题的提出
•描述传染病的传播过程 •分析受感染人数的变化规律
•预报传染病高潮到来的时刻
•预防传染病蔓延的手段
•按照传播过程的一般规律，用机理分析方 法建立模型
分析
假设 建模
已感染人数 (病人) i(t)
• 每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为
i(t t ) i(t ) i(t )t
(4.2)
再记初始时刻(t＝0)病人的比例为i0，则有
di i (1 i) d t i (0) i0
(4.3)
方程(4.3)是Logistic模型，它的解为
1 (4.4) 1 ( 1) e t i0 di i(t)~t和 d t i 的图形如图4-1所示.
i (t )
i(t)达到最大值
im s0 i0 1
(1 ln s0 )
i(t)减小且趋于零，s(t)则单调减小至s∞.
(4)若 s0
1
小至s∞.
，则i(t)减小且趋于零，s(t)则单调减
可以看出，如果仅当病人比例 i(t)有一段增长的时期才 1 1 认为传染病在蔓延，那么 阈值
(4.20) (4.21)
当
r
1
1 s0
时，取式(4.21)右端e－ζ r泰勒展
开的前3项，在初始值r0＝0下的解为：
r (t )
2
[( s0 1) th(
t
2
)]
s0 1
(4.22)
2 ( s0 1) 2 2s0i0 2 , th
1
) 2
(4.26)
这个结果表明，被传染人数比例约为δ 的2倍. 对一种传染病，当该地区的医疗和卫生水平不变，
即ζ 不变时，这个比例就wenku.baidu.com会改变.而当阈值
时，δ 减小，于是这个比例就会降低.
1
提高
2)群体免疫和预防
根据对SIR模型的分析，当 s0
1
时传染病
不会蔓延.所以为制止蔓延，除了提高卫生和医疗水
是一个阈值，当
s0
时传染病就会蔓延.而减小传染期接触数ζ ，即提高
1
的初始值s0是一定的，通常可认为s0≈1)，我们注意到在
，使得 s0
1
，传染病就不会蔓延(健康者比例
平越高，日治愈率μ 越大，于是ζ 越小，所以提高卫生水平
中，人们的卫生水平越高，日接触率λ 越小，医疗水