第9章 应力状态与强度理论(3)

解：（1）求主应力
σ τ

x y x y 2 2 2 2 ( ) xy = ( ) 2 2 2 2
x y x y 2 ( ) xy 2 = ( ) 2 2 2 2 2 2
0
1. 强度理论的概念
考虑应力状态的可比性 10 3 10 5
如何比较这两个应力状态？
10
主应力
12
10
15
20
如何比较这两个应力状态？
主应力的数性函数
§9–6 一般应力状态下的强度条件
1. 强度理论的概念
考虑实验的可行性
实际工况
1, 2, 3
r：相当应力，由三个主应力按
一定的形式组合而成
受同一规律支配
x y x y 2 ( ) xy 2 2 2 10 23 10 23 2 2 = ( ) 11 29.3 MPa 2 2
动脑又动笔
x y x y 2 ( ) xy 2 2 2 10 23 10 23 2 2 = ( ) 11 3.7 MPa 2 2
dV dW 1 F 2
F
F
V W
o

dx
dy

单向应力状态下的应变能密度
dz
dx
1
1 dV 2 (dydz )(dx ) 1 v dV dxdydz 2
§9–5 一般应力状态下的应力-应变关系
三向应力状态下的应变能密度
那么一般三向应力状态的应变能密度为
将用主应力表示的三向应力状态分解为a、b两种应力状态的叠加。
2

1
2


(a)

3
(b)
1
3
a) 为三向等拉应力状态，任意斜截面上都没有切应力，微 元只产生体积改变，而无形状改变。 b) 微元的体积应变为零，只产生形状改变，而无体积改变。
§9–5 一般应力状态下的应力-应变关系
r1= 1≤[]
r2= 1-ν(2+ 3)≤[]
1 2 2 2 r4 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 3 1 [ ] 2
r3= 1-3 ≤[]
动脑又动笔
【例8】构件内某点的应力状态如图所示，试用第三和第四强度理 论建立相应的强度条件。
该点的三个主应力分别为
1
( )2 2 2 0 2 2
3=
( )2 2 2 2
动脑又动笔
钢材在这种应力状态下可能发生屈服，故可采用第三或第四强度理论进
行强度计算，即
r 3 1 3 2 4 2 [ ]
1 2 2 2 2 2 r4 ( ) ( ) ( ) 3 [ ] 1 2 2 3 3 1 2 将 =116.7MPa， = 46.3MPa 带入上式，可得
D


只改变体积不改变形状 第四强度理论相当应力
r4
1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) [ ] 1 2 2 3 3 1 2
既改变体积又改变形状 第四强度理论相当应力又称 米泽斯应力。 第三、第四强度理论属于塑性屈服强度理论。
动脑又动笔
该点的三个主应力分别为
2 2 1 ( ) 2 2
2 0
3
( )2 2 2 2
（2）由第三和第四强度理论的强度条件为：
r 3 1 3 2 4 2 [ ]
r4
1 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 3 [ ] 1 2 2 3 3 1 2
v 1 2 2 [ 12 2 3 2 ( 1 2 2 3 3 1 )] 2E
2

2
1
3
体积改变能密度 畸变能密度



3
1
1 2 3 3
vv
vd
3(1 2 ) 2 1 2 ( 1 2 3 ) 2 2E 6E
1 v ( 1 1 2 2 3 3 ) 2
1 [ 1 ( 2 3 )] E 1 2 [ 2 ( 3 1 )] E 1 3 [ 3 ( 1 2 )] E
yபைடு நூலகம்
2 1 3
x
1
z
v
1 2 2 [ 1 2 32 2 ( 1 2 2 3 3 1 )] 2E
0
该点的三个主应力分别为
1=29.3MPa，2 =3.7MPa，3 = 0
显然
1=29.3MPa≤ [σ]+=30MPa
故此危险点的强度是足够的。
动脑又动笔
【例10】某构件上危险点的应力状态如图所示， =116.7MPa， = 46.3MPa。材料为钢，许用应力[σ]=160MPa，试校核此构件是否安
max
1 ( 1 3 ) 2
S 1 [ ] s S S s s 2 2n 2
第三强度理论相当应力
r3= 1-3 ≤[]
第三强度理论相当应力又称 特雷斯卡应力。
§9–6 一般应力状态下的强度条件
第四强度理论 破坏的原因是形状改变比能超过许用值。
1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 6E 2 1 2 1 S 1 D S S [ ]2 3E 3E n 3E
§9–6 一般应力状态下的强度条件
强度理论的适用性 选择强度理论首先考虑材料性质，同时也需考虑应力状态。 在三向等拉的应力状态下，塑性 材料也会出现脆性断裂现象。 在三向等压的应力状态下，脆性 材料也会出现塑性屈服现象。
§9–6 一般应力状态下的强度条件
强度理论的适用性 脆性材料通常以断裂形式失效，宜采用第一或第二强度理论。 塑性材料通常以屈服形式失效，宜采用第三或第四强度理论。 在三向拉伸应力状态下，如果三个拉应力相近，无论是塑性材料或 脆性材料都将以断裂形式失效，宜采用第一强度理论。 在三向压缩应力状态下，如果三个压应力相近，无论是塑性材料或 脆性材料都可引起塑性变形，宜采用第三或第四强度理论。
1
两者第一主应力相等，第一主应变不等
b [ ] b b b [ ] b b E nE E
E nE E
r2= 1-ν(2+ 3)≤[]
第一、第二强度理论属于脆性断裂强度理论。
§9–6 一般应力状态下的强度条件
第三强度理论（最大切应力准则） 破坏的原因是最大切应力超过许用切应力。
全。
解：由题意可知
σ τ
x y x y 2 2 2 2 ( ) xy = ( ) 2 2 2 2
x y x y 2 ( ) xy 2 = ( ) 2 2 2 2 2 2
0
r=f (1, 2, 3)≤[]
强度理论
实验室的单向拉伸试验 关于材料在不同应力状态下失 效的共同原因的各种假设。
1= b/s, 2=0, 3=0
§9–6 一般应力状态下的强度条件
2. 四个常用的强度理论
第一强度理论（最大拉应力准则）
破坏的原因是第一主应力超过许用应力。当最大拉应力达到了与材料性质有 关的某一极限值，材料就会发生脆性断裂。
动脑又动笔
【例9】已知铸铁构件上危险点的应力状态如图所示，若铸铁的抗 拉许用应力[σ]+=30MPa，试校核该点是否安全。
23MPa 解：根据图示应力状态，在微元面上只有 拉应力无压应力，可认为铸铁将发生脆性 10MPa 11MPa 断裂，故采用最大拉应力理论，即
1

x =10MPa y=23MPa xy =-11MPa
2
dy
3
1
1 2 3
3 1 2 ( 1 2 3 ) E 3
dx
dz
体积胡克定律


K
K E 3(1 2 )
式中：体积弹性模量
平均应力

( 1 2 3 ) 3
§9–5 一般应力状态下的应力-应变关系
四、体积胡克定律 根据能量守恒原理，材料在弹性范围内 工作时，微元三对面上的力（其值为应力与 面积之乘积）在由各自对应应变所产生的位 移上所作之功dW，全部转变为应变能dV贮 存于微元内。
1
b
b
n
[ ]
第一强度理论相当应力
r1= 1≤[]
§9–6 一般应力状态下的强度条件
第二强度理论（最大拉应变准则） 破坏的原因是第一主应变超过许用应变。
1 1 1 ( 2 3 ) 1 E 1 ( 2 3 )
E
第二强度理论相当应力
构件都是安全的。
dy
3
1
dx
dz
定义：单位体积的体积改变 称为体应变，用 表示。
V1 V 1 2 3 V
§9–5 一般应力状态下的应力-应变关系
1 1 [ 1 ( 2 3 )] E 1 2 [ 2 ( 3 1 )] E 1 3 [ 3 ( 1 2 )] E
§9–5 一般应力状态下的应力-应变关系
三、体积胡克定律
2
单元体的体积 变形前： V dxdydz 变形后： V1 (dx 1dx )(dy 2dy )(dz 3dz )
(1 1 )(1 2 )(1 3 )dxdydz (1 1 2 3 )dxdydz